18版高中数学课时天天提分练10三角函数的简单应用必修4

课时分层作业(十二) 三角函数的简单应用(建议用时：40分钟)一、选择题1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A.甲 B ．乙 C.丙D ．丁C [因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，所以乙的位置将移至丙处．]2．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200时，电流I 为( )A.5 B ．52 C.2D ．－5B [把t ＝1200代入I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝52，故选B.]3．某城市6月份的平均气温最高，为29.45°C ；12月份平均气温最低，为18.35°C.若x 月份的平均气温为y °C ，满足条件的一个模拟函数可以是( )A.y ＝23.9－5.55sin π6xB ．y ＝23.9－5.55cos π6xC.y ＝23.9－5.55tan π6xD ．y ＝23.9＋5.55cos π6xB [将x ＝6，x ＝12分别代入验证可知，只有B 项符合要求，故选B.]4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A.gπB ．g2πC.gπ2D．g4π2D[∵T＝2πgl，∴gl＝2πT＝2π，∴l＝g4π2.]5．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是( )A B C DC[由l＝αR可知α＝lR，结合圆的几何性质可知d2＝R sinα2，所以d＝2R sinα2＝2R sinl2R，又R＝1，所以d＝2sinl2，故结合正弦函数图像可知，选C.]二、填空题6．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝12sin⎝⎛⎭⎪⎫2t＋π2，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率分别是________．12，1π[t＝0时，θ＝12sinπ2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故频率为1π.] 7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．8 [根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.]8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.20．5 [由题意可知，A ＝28－182＝5，a ＝28＋182＝23. 从而，y ＝5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）＋23，故10月份的平均气温值为y ＝5cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6×4＋23＝20.5 ℃.] 三、解答题9.如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心O 高度相同)时开始计时(按逆时针方向转).(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米． [解] (1)以O 为坐标原点，以OP 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(略)，设摩天轮上某人在Q 处，则在t 分钟内OQ 转过的角为2π20t ，所以t 分钟时，Q 点的纵坐标为10·sin2π20·t ，故在t 分钟时此人相对于地面的高度为 y ＝10sin π10t ＋12(米).(2)令y ＝10sin π10t ＋12≤10，则sin π10t ≤－15，因为0≤t ≤20，所以10.64≤t ≤19.36，故约有8.72分钟此人相对于地面的高度不超过10米．10．如图，某动物种群数量1月1日(t ＝0时)低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式(其中t 以年初以来的月为计量单位)； (2)估计当年3月1日动物种群数量．[解] (1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin (ωt ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×6＝12，∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900， ∴900＝100sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800，∴sin (π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴可取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.1．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y 与时间x (秒)满足函数关系式y ＝A sin (ωx ＋φ)＋7，则( )A.ω＝2π15，A ＝10B ．ω＝152π，A ＝10C.ω＝2π15，A ＝17D ．ω＝ 152π，A ＝17A [T ＝604＝15，ω＝2π15，A ＝10.]2．一种波的波形为函数y ＝－sin π2x 的图像，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A.5 B ．6 C ．7 D ．8C [由y ＝－sin πx2的图像知，要使在区间[0，t ]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t ]的长度不小于2T －T 4＝7T 4，即t ≥74·2π|ω|＝74·2ππ2＝7，故选C.]3．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8等量，最高亮度距平均亮度0.2等量，则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为________．y ＝0.2sin π5t ＋3.8(t >0)(答案不唯一) [假设三角函数模型为y ＝A sin ωt ＋b ，由题意知，A ＝0.2，b ＝3.8，T ＝10，∴ω＝2π10＝π5，∴y ＝0.2sin π5t ＋3.8(t >0).]4.设偶函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为________．34 [取K ，L 中点N (图略)，则MN ＝12， 因此A ＝12，由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝12cos πx ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.]5．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin (ωt ＋φ)＋h .(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m) (3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m? [解] (1)依题意知T ＝2πω＝12，故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2，A ＝16－12.2＝3.8，所以d ＝3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋12.2.又因为t ＝4时，d ＝16， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π6＋φ＝1， 所以φ＝－π6，所以d ＝3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2.(2)t ＝17时，d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫17π6－π6＋12.2＝3.8sin 2π3＋12.2≈15.5(m).(3)令3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2＜10.3，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＜－12，因此2k π＋7π6＜π6t －π6＜2k π＋11π6(k ∈Z )，所以2k π＋4π3＜π6t ＜2k π＋2π，k ∈Z ，所以12k ＋8＜t ＜12k ＋12，k ∈Z . 令k ＝0，得t ∈(8，12)； 令k ＝1，得t ∈(20，24).故这一天共有8 h 水深低于10.3 m ．。

§1.6三角函数模型的简单应用课时目标1.会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质 (1)y max ＝________，y min ＝________.(2)A ＝________________，k ＝________________________________. (3)ω可由________________确定，其中周期T 可观察图象获得．(4)由ωx 1＋φ＝________，ωx 2＋φ＝________，ωx 3＋φ＝______，ωx 4＋φ＝____________，ωx 5＋φ＝________中的一个确定φ的值． 3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *)C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或34. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )5．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫πt ＋π，t ∈[0,24] 6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 7．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________． 8．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．三、解答题9. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝A sin ωt＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)能力提升11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()12．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60].1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．§1.6 三角函数模型的简单应用答案知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2 (3)ω＝2πT (4)0 π2 π 32π 2π3．周期 作业设计 1．A 2.A3．D [因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的对称轴．所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＝±3.因此选D.] 4．C [d ＝f (l )＝2sin l2.]5．A [在给定的四个选项A 、B 、C 、D 中，我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.] 6．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28. 7．80解析 T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T＝80(次/分)．8.g 4π2 解析 T ＝2πgl＝1.∴ g l ＝2π.∴l ＝g4π2.9．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t . 由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.10．解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6.又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．11．C [∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin(t －π4)，∴d ＝2|sin(t －π4)|.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.]12．10sin πt60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.。

1 周期现象、角的概念的推广答案：B解析：由图易得周期为4，由2014＝503×4＋2，知箭头的指向如选项B 中的图所示．二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．答案：－960°解析：分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×223＝－960°. 8.与－496°终边相同的角是________；它们是第________象限的角；它们中最小正角是________；最大负角是________．答案：k ·360°－496°(k ∈Z )；三；224°；－136°.解析：－496°＝－360°－136°＝－720°＋224°.9．终边在第一或第三象限角平分线上的角的集合为________，终边在第二或第四象限角平分线上的角的集合为________．答案：{α|α＝k ·180°＋45°，k ∈Z } {α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z }解析：根据终边在第一象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }，而终边在第三象限角平分线上的角的集合为{x |x ＝k ·360°＋225°，k ∈Z }，可知终边在第一或第三象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k ·180°＋45°，k ∈Z }，同理可得，终边在第二或第四象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z }．三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．如图是一个单摆的振动图像，根据图像，回答下面问题：(1)单摆的振动是周期现象吗？(2)若是周期现象，其振动的周期是多少？(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少？解：由题图可知：(1)单摆的振动是周期现象．(2)其振动周期是0.8 s.(3)单摆离开平衡位置的最大距离是0.5 cm.11．已知α是第三象限角，则α3是第几象限角？ 解：∵α是第三象限角，∴180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°(k ∈Z )，∴60°＋k ·120°<α3<90°＋k ·120°(k ∈Z )． 当k ＝3n (n ∈Z )时，60°＋n ·360°<α3<90°＋n ·360°(n ∈Z )， ∴α3是第一象限角；位置上的角的集合；包括边界)的角的集合．位置上的角的集合为{α|α＝135°＋位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，影部分(包括边界本文档仅供文库使用。

§1.6 三角函数模型的简单应用1．函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的[解析]式可以是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos xxC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x ·⎝⎛⎭⎫x －π2·⎝⎛⎭⎫x －3π2 [解析] 由题图象可知f (x )是奇函数，可排除选项D ，又f (π2)＝0，可排除A ，f (0)＝0，可排除B ，故选C ．[答案] C2．如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角为β＝1°，当θ很小时，可取sin θ≈θ，试估算气球的高BC 的值约为( )A．70 m B．86 m C．102 m D．118 m[解析]AC＝CDsin β＝3sinπ180≈3π×180≈172(m)，又∠BAC＝30°，∴BC＝12AC＝86 m．[答案] B3．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()[解析] 设AP 所对的圆心角为α，则α＝l ， 弦AP 的长d ＝2·|OA |·sin α2，即有d ＝f (l )＝2sin l2．[答案] C4．已知某种交流电流I (A)随时间t (s)的变化规律可以拟合为函数I ＝52sin ⎝⎛⎭⎫100πt －π2，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s 内往复运动________次．[解析] 据I ＝52sin(100πt －π2)知ω＝100π rad/s ，该电流的周期为T ＝2πω＝2π100π＝0.02 s ，则这种交流电电流在0.5 s 内往复运行次数为 n ＝2·t T ＝2×0.50.02 s ＝50(次)．[答案] 505．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60]．[解析] 将[解析]式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt 60．[答案] 10sinπt 606．如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (0<φ<π2)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数[解析]式． 解 (1)最大用电量为50万kW·h ， 最小用电量为30万kW·h ．(2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40．∵12×2πω＝14－8， ∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40． 将x ＝8，y ＝30代入上式， 又∵0<φ<π2，∴解得φ＝π6．∴所求[解析]式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．7．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b ．(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解 (1)由表中数据知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5． 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0． ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1．(2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24．∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00．能力提升8．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12][解析] 设动点A 与x 轴正方向夹角为α，则t ＝0时，α＝π3，每秒钟旋转π6，在t ∈[0,1]上，α∈[π3，π2]，在[7,12]上α∈[3π2，7π3]，动点A 的纵坐标y 关于t 都是单调递增的，故选D ．[答案] D9．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20][解析] 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C ．[答案] C10．一种波的波形为函数y ＝－sin π2x 的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________．[解析] 由T ＝2πω＝4可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x ≤1时函数单调递减，1<x <3时函数单调递增，x ＝3时，y ＝1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x 值为3，第二个波峰对应的x 值为7，所以要区间[0，t ]上至少两个波峰，则t 至少为7．[答案] 711．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，则f (16)的值为________．[解析] 取K ，L 中点N ，则MN ＝12，因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π．∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝34．[答案]3412．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解 (1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0,0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500．根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧ －A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时，f (x )最小， 当x ＝8时，f (x )最大，故sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝⎛⎭⎫8×π6＋φ＝1． 又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6．所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300．(2)由条件可知，200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400，化简得sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z ．因为x ∈N *，且1≤x ≤12，所以x ＝6,7,8,9,10． 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物． 13．(选做题)下表是某地某年月平均气温(华氏)：以月份为x 轴(x ＝月份－1)，以平均气温为y 轴． (1)用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T 和振幅A ；(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①y A ＝cos πx 6；②y －46A ＝cos πx 6；③y －46－A ＝cos πx 6． 解 (1)如图．(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0， 故T2＝7－1＝6，所以T ＝12． 因为2A 的值等于最高气温与最低气温的差，即2A ＝73.0－21.4＝51.6，所以A ＝25.8． (3)因为x ＝月份－1，所以不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0．代入①，得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，故①不适合；代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π6，故②不适合．所以应选③．。

如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转 4圈，水 轮上的点 P 到水面的距离 y (米)与时间x (秒)满足函数关系 y = A sin( w x + $ ) + 2,则有 ( )答案：A4.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7千元的基础上，按月呈f (x ) = A sin( w x + $ ) + b课时作业10三角函数模型的简单应用|基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1.电流 I (A)随时间t (s)变化的关系是I = 3sin100 n t , t € [0 ,+^)，则电流I 变化的周期是( ) 1A.50 1C.100 解析：T=d 1 答案：A2.已知A , 50 100 2 n = 1 00 n 50 个多边形是( A.正六边形 C.矩形 解析：由题意，得 A,…A 为凸多边形的内角，且 lgsin A + lgsin A+…+ lgsin A= 0,则这 ) B . D . 梯形 含锐角菱形 sin A • sin A ........ s in A= 1, =sin A= 1, /• sin A = sin A=・・・ ••• A = A =•••= A= 90°. 根据多边形的内角和得 n x 90°= (n — 2) x 180°, 解得n = 4. 答案：C3.2n15 A .w ~, A=3 Bw '—15 ' 2 n2n15C w A= 5 Dw15 '2 n,A = 3解析：周期T = 15秒,,A = 52 n 2 n W= T = 15A>0, w >0, | $ |<亍的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7 月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A. f(x) = 2sin 才x—丁k 7(1 仝 x< 12, x € N)位：秒)的函数的单调递增区间是 ( ) A. [0,1] B . [1,7]C. [7,12] D . [0,1] , [7,12]2 n n从而可设y 关于t 的函数为y = sin ；t +(. 又t = 0时，y =芈，即卩sin (=申，不妨取(=专,71|t+3 .冗冗冗冗•••当 2k n — — w —t + — w2 k n + 亏(k € Z)，即 12k — 5w t w 12k + 1( k € Z)时，该函数2 63 2 单调递增，•/ 0w t w 12,「.函数的单调递增区间为 [0,1] , [7,12]. 答案：DB.C. f (x ) = 2D.9— 5解析：令x = 3可排除D,令x = 7可排除B,由A = 2 = 2可排除C ;或由题意, 9— 5可得A = 22 n 2, b = 7,周期 T =——=2X (7 — 3) = 8, • Q 八3 47t/• f (x ) = 2sin4y = 9,(f) + 7 = 9,•••当 x = 3 时， ；3 n•/ 2sin+ <4 即 sin j 3. I 4「( i<;, •( =—4.*•/ f (x ) = 2sin yx — — + 7(1 w x w 12, x € N).7t I (=1. )答案：A 5.动点A (x , y )在圆x 2+ y 2= 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转， 12秒旋转一周,已知时间t = 0时，点A 的坐标是 则当O w t w 12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单解析：•/ T = 12,/ 12 6••• y =sin 6f (x ) = 9sin< x < 12, x € N) f (x ) = 2sin 7(1 w x w 12, x € N)二、填空题(每小题5分，共15分)6.设某人的血压满足函数式p(t) = 115+ 25si n( 160 n t)，其中p( t)的血压(mmHg, t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是____________ .2 n 1解析：T= -------- =—(分)160 n 80(分),f = T= 80(次/ 分).答案：802n 5cos = 20.5.答案：20.5n x&有一冲击波，其波形为函数 y = — sin 2的图象，若其在区间［0 , t ］上至少有2个答案：7三、解答题 9. 心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压， 血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数 120/80 mmHg^标准值，设某人的血压满足方程式F (t ) = 115+ 25sin(160 n t )，其中P (t )为血压(mmHg , t 为时间(min)，试回答下列问题:(1) 求函数P (t )的周期；(2) 求此人每分钟心跳的次数； (3) 画出函数P (t )的草图；(4) 求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较.2 n 2 n 1解析：(1)由于3 = 160 n 代入周期公式 T =——，可得T ==an (min),3 160 n 801 所以函数P (t )的周期为80min. 1⑵ 函数F (t )的频率f = 丁= 80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.描点、连线并左右扩展得到函数P (t )的简图如图所示.7•某城市一年中 12个月的月平均气温 y 与月份x 的关系可近似地用函数 ~nA cos 才 x —0 x = 1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为 12月份的月平均气温最低，为 18C ，则10月份的月平均气温为 n 解析：根据题意得28= a + A,18= a +A cos U ^—b 16C.=a — A 解得 a = 23, y = a +28C,A = 5,n所以函数 y = 23+ 5cos —& ，令 x = 10，得 y = 23 + 5cos23 +波峰，则正整数t 的最小值是 ___________ .n x解析：由y =— sin 2的图象知，要使在区间T 7T 2T -4= t ］的长度不小于4，即 t 》4 • l 2n l44 | 3 |［0 , t ］上至少有2个波峰，必须使区间［0 , 2 n ——=7. n"2(每小题10分，共20分) ⑶列表:1320160 3；0丄80 t /minR t )/mmHg115 14011590115⑷此人的收缩压为115+ 25= 140(mmHg),舒张压为115 —25= 90(mmHg),与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高.10. 已知电流1(A)与时间t(s)的关系为I = A sin( 31 +0 )( A>0, 3 >0, | $ |< ；).(1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；300900°\ /羸1⑵如果t在任意一段s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么3的最150小值是多少？(11)1 2n解析：(1)由图可知A= 300,周期T= 2〔了80+ 900 1= 75，二° =~j~ = 150 n .1 f 1 、又当t =180时，丨=°，即sin 150 冗・180+O = 0,而丨0 |< ~2，二0 =百n 故所求的函数解析式为I = 300sin(150 n t +—).6（2）依题意，周期1 2 n 1 T w ，即<,°》300 n ,故°的最小值为300 n .|能力提升|（20分钟，40分)11. 初速度为v o,发射角为0，则炮弹上升的高度y与v o之间的关系式（t是飞行的时间）为（）A. y = V0tB. y = V0t sin 01 2C. y = V0t sin 0 —2gtD. y = v o t cos 0解析：由速度的分解可知炮弹上升的初速度为wsin 0 .故炮弹上升的高度y= v0t sin 01 2—2gt，故选C.答案：C12 .一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为_________________________ 秒.解析：过O作水平面的垂线，垂足为Q,如图所示4 圈,由已知可得OQ= 3, OP= 6, 则cos / PO= 2,即/ PO= 60°,1则水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转 120°,即3个周期, 又由水轮每分钟转动 4圈，可知周期是15秒，故水轮上点P 从水中浮现时开始到第一次达到最高点的用时为 5秒.答案：513.如图，某动物种群数量 1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间 又周期 T = 2X(6 — 0) = 12, - 2 n n所以3 =T = y ,所以 y = 100sin +© + 800( t >0).又当 t = 6 时，y = 900,所以 900= 100sin 才 x 6+ + 800, 所以 sin( n +0 ) = 1,所以 sin (^ =— 1,n所以取0 =— 2 ,所以 y = 100sin j 6 t — ； + 800.r ,in n(2)当 t = 2 时，y = 100sin 6 x 2— 2 + 800= 750,即当年3月1日动物种群数量约是 750.14.某港口水深 y (米)是时间t (0 < t w 24,单位：小时)的函数，记作 y = f (t )，下面 是某日水深的数据• t /小时 03691215182124y /米10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 9.9 7.010.0经长期观察，y = f (t )的曲线可近似地看成是函数 y =A sin 3 t + b 的图象. (1) 试根据以上数据，求出函数 y = f (t )的近似解析式.(2) 一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为 5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可 )•某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间 (忽略进出港所需的时间)?解析：(1)由已知数据，描出曲线如图：-A + b = 700,则 A + b = 900,解得 A = 100, b = 800.依正弦型曲线变化. (1) 求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式(其中t 以年初以来的月为计量单位 )；(2) 估计当年3月1日动物种群数量. 解析：(1)设动物种群数量 y 关于t 的解析式为y = A sin( 3 t +© ) + b (A >0, 3 >0),111易知函数y = f (t )的周期T = 12,振幅A = 3, b = 10,2 n n . n 一 • •3 = _j_ = a ，.. y = 3sin t + 10.16 6 (2)由题意，该船进出港时，水深应不小于 5 + 6.5 = 11.5米,n由 y > 11.5，得 3sin 百 t + 10> 11.5 ,・n 1厂、•- sin t > .①6 2 •/ 0< t < 24,• - 0 W -^t W4 n .②化简得 1W t W5 或 13W t W 17.•该船最早能在凌晨 1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港•每次至多可以在 港内停留4小时.5n 或 136n W 6t W 6 6 6 17n612。

课时分层作业(十三) 三角函数模型的简单应用(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．如图1­6­6，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆摆动一个周期所需的时间为 ( )图1­6­6A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 sD [依题意是求函数s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6的周期，T ＝2π2π＝1，故选D.]2．函数f (x )的部分图象如图1­6­7所示，则下列选项正确的是( )【导学号：84352132】图1­6­7A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos xxC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2C [观察图象知函数为奇函数，排除D 项；又函数在x ＝0处有意义，排除B 项；取x ＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，A 项不合适，故选C.]3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：A ．y ＝a cos πx6B ．y ＝a cosx －π6＋k (a ＞0，k ＞0) C ．y ＝－a cosx －π6＋k (a ＞0，k ＞0)D ．y ＝a cos πx6－3C [当x ＝1时图象处于最低点，且易知a ＝－5.9＋22.82＞0.故选C.]4．如图1­6­8，为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )【导学号：84352133】图1­6­8A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5A [由题目可知最大值为5，∴5＝A ×1＋2⇒A ＝3.T ＝15，则ω＝2π15.故选A.] 5．如图1­6­9是函数y ＝sin x (0≤x ≤π)的图象，A (x ，y )是图象上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交其图象于另一点B (A ，B 可重合)．设线段AB 的长为f (x )，则函数f (x )的图象是( )图1­6­9A [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝π－2x ；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝2x －π，故选A.]二、填空题6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为_______℃.【导学号：84352134】20．5 [由题意可知A ＝28－182＝5，a ＝28＋182＝23.从而y ＝5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －＋23.故10月份的平均气温值为y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＋23＝20.5.] 7．如图1­6­10是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．图1­6­10y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2t ＋π4 [由题图可设y ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝2，又T ＝2(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝2π0.8＝52π，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52πt ＋φ， 将点(0.1,2)代入y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t ＋φ中，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝1， 所以φ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，令k ＝0，得φ＝π4，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2t ＋π4.]8．一种波的波形为函数y ＝－sin π2x 的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________．7 [函数y ＝－sin π2x 的周期T ＝4.且x ＝3时y ＝1取得最大值，因此t ≥7.所以正整数t 的最小值是7.]三、解答题9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？【导学号：84352135】[解] (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x ＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃.所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12.而x ∈[4,16]，所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4,16]，所以x ＝343.故该细菌的存活时间为343－263＝83小时．10．如图1­6­11所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮作匀速转动，每2 min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点．图1­6­11(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m.【导学号：84352136】[解] 建立如图所示的平面直角坐标系(1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox 为始边，OP 0为终边的角，OP 在t min 内转过的角为2π2t ，即πt ∴以Ox 为始边，OP 为终边的角为(πt ＋φ)，即P 点纵坐标为40sin(πt ＋φ)，∴P 点距地面的高度为z ＝50＋40sin(πt ＋φ)，(0≤φ≤2π)， 由题可知，φ＝π2，∴z ＝50＋40sin ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π2＝50＋40cos πt . (2)当50＋40cos πt ≥70时，解之得，2k －13≤t ≤2k ＋13，持续时间为23min.即在摩天轮转动一圈内，有23min P 点距离地面超过70 m.[冲A 挑战练]1．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t2(0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20]C [当10≤t ≤15时，有32π<5≤t 2≤152<52π，此时F (t )＝50＋4sin t2是增函数，即车流量在增加．故应选C.]2．如图1­6­12，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )图1­6­12A B C DC [令AP 所对圆心角为θ，由|OA |＝1，得l ＝θ，sin θ2＝d 2，∴d ＝2sin θ2＝2sin l2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)，它的图象为C.]3．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P ＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωπt ＋π4＋60(美元)(t (天)，A ＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t ＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________.【导学号：84352137】1120 [因为A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπt ＋π4＋60＝80，sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωπt ＋π4≤1，所以A ＝20，当t ＝150(天)时达到最低油价， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150ωπ＋π4＝－1，此时150ωπ＋π4＝2k π－π2，k ∈Z ，因为ω＞0，所以当k ＝1时，ω取最小值， 所以150ωπ＋π4＝32π，解得ω＝1120.]4．已知角φ的终边经过点P (1，－1)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f (x 1)－f (x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.－22 [由条件|f (x 1)－f (x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π3，结合图象(略)可知函数f (x )的最小正周期为2π3，则由T ＝2πω＝2π3，得ω＝3.又因为角φ的终边经过点P (1，－1)，所以不妨取φ＝－π4，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin 5π4＝－22.]5．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数.【导学号：84352138】[解] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T ＝2π|ω|，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数p (t )的周期为180min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f ＝1T＝80(次)．(3)列表：(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg.。

课时分层作业(四) 三角函数线及其应用(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0C [π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.]2．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜bC [如图，作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b ＝OM ＞0，a ＝MP ＜0，c ＝AT ＜0，且MP ＞AT .∴b ＞a ＞c ，即c ＜a ＜b .]3．sin 3的取值所在的范围是( )【导学号：84352035】A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎪⎫－22，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22 B [因为3π4＜3＜π；作出图形(如图)观察可知sin π＜sin 3＜sin 3π4，即0＜sin 3＜22，故选B.]4．角α(0＜α＜2π)的正弦线、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( )A.π4B.3π4C.7π4D.3π4或7π4D [由已知得角α的终边应落在直线y ＝－x 上， 又0＜α＜2π，所以α＝3π4或7π4.]5．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是( ) A ．cos 1＞cos 2＞cos 3 B ．cos 1＞cos 3＞cos 2 C ．cos 3＞cos 2＞cos 1D ．cos 2＞cos 1＞cos 3A [作出已知三个角的余弦线(如图)，观察图形可知cos 1＞0＞cos 2＞cos 3.] 二、填空题6．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________. 【导学号：84352036】AT >MP >OM [如图：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .] 7．下列四个命题中：①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上． 其中正确命题的序号为________．①④ [①正确．②错误．例如π7和6π7有相同的正弦线，但是它们不相等，③错误．当α＝π2时，α＋π＝3π2，这两个角都不存在正切线．④正确．]8．函数y ＝2cos x －1的定义域为________.【导学号：84352037】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) [因为2cos x －1≥0， 所以cos x ≥12.如图：作出余弦值等于12的角：－π3和π3，在图中所示的阴影区域内的每一个角x ，其余弦值均大于或等于12，因而满足cos x ≥12的角的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．]三、解答题9．求函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域． [解] 由题意得，要使函数有意义，则须⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0且sin x ≠1，2cos x ＋1＞0，如图所示，阴影部分(不含边界与y 轴)即为所求．所以所求函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ＜2k π＋π2，或2k π＋π2＜x ＜2k π＋23π，k ∈Z .10．利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1.【导学号：84352038】[证明] 在△OMP 中，OP ＝1，OM ＝|cos α|，MP ＝|sin α|， 因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin α|＋|cos α|≥1.[冲A 挑战练]1．在(0,2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 C [|sin x |＞|cos x |可转化为x 的正弦线的长度大于余弦线的长度，观察图形可知在(0,2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4.]2．点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵56π＜3＜π，作出单位圆如图所示．设MP ，OM 分别为a ，b . sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |， 所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．] 3．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________． ⎝⎛⎭⎪⎫－1，22 [作出角θ终边所在的区域(如图)观察正弦线的变化范围可知sin θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22.] 4．已知集合E ＝{θ|cos θ＜sin θ，0≤θ＜2π}，F ＝{θ|tan θ＜sin θ}，则E ∩F ＝________.【导学号：84352039】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π2＜θ＜π [结合正弦线、余弦线可知 E ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π4＜θ＜54π， 而π4＜θ＜π2时，tan θ＞sin θ；θ＝π2时，tan θ不存在；π≤θ＜5π4时，tan θ≥sin θ，所以F ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π2≤θ＜π， 所以E ∩F ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π2＜θ＜π.] 5．利用三角函数线证明：若0＜α＜β＜π2，则有β－α＞sin β－sin α.【导学号：84352040】[证明] 如图，单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，与角α，β的终边分别交于点Q ，P ，过P ，Q 分别作OA 的垂线，设垂足分别为点M ，N ，则由三角函数线定义可知：sin α＝NQ ，sin β＝MP ，过点Q 作QH ⊥MP 于点H ，于是MH ＝NQ ，则HP ＝MP －MH ＝sin β－sin α.由图可知HP ＜＝β－α，即β－α＞sin β－sin α.。

11 单元测试卷一f x－，x答案：D解析：由三角函数的单调性知D 正确．6．电流强度I (A)随时间t (s)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的图像如图所示，则当t ＝1100s 时，电流强度是( )A ．－5 AB ．5 AC ．5 3 AD ．10 A 答案：A解析：由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴T ＝150，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．又⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10在图像上，∴100π×1300＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100 s 时，l ＝－5 A ，故选A. 7．下列四个命题：①函数y ＝tan x 在定义域内是增函数；②函数y ＝tan(2x ＋1)的最小正周期是π；③函数y ＝tan x 的图像关于点(π，0)成中心对称；④函数y ＝tan x 的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0成中心对称．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：C解析：对于①，函数y ＝tan x 仅在区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内递增，如π4＜5π4，但tan π4＝tan 5π4，所以①不正确；对于②，其最小正周期是π2，所以②也不正确；观察正切曲线可知命题③④都正确．8．要得到函数y ＝sin2x 的图像，只需将函数y ＝cos(2x －π4)的图像( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位答案：B解析：将函数y ＝cos(2x －π4)向右平移π8个单位，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x ，故选B. 9．在△ABC 中，若sin A sin B cos C ＜0，则△ABC 是( )α－2cos ⎝⎭－－＋π＝________.答案：43π；α－2cos ⎝⎭－－＋π的交点中距离的最小值为。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.9 三角函数的简单应用课时训练 北师大版必修4一、选择题1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )A ．关于点(π3，0)对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称【解析】 由于T ＝2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋π3)．当x ＝π3时，sin(2π3＋π3)＝0， ∴该函数的图像关于点(π3，0)对称，故选A.【答案】 A2．函数y ＝8sin(6x ＋π3)取最大值时，自变量x 的取值集合是( )A ．{x |x ＝－5π6＋k π3，k ∈Z }B ．{x |x ＝π36＋k π3，k ∈Z }C ．{x |x ＝k π3，k ∈Z }D ．{x |x ＝π9＋k π3，k ∈Z }【解析】 ∵y 的最大值为8，此时sin(6x ＋π3)＝1，即6x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π3＋π36，(k ∈Z )，故选B.【答案】 B3．(2013·济南高一检测)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2C.32D.23【解析】 由题意知，函数在x ＝π3处取得最大值1，所以1＝sin ωπ3，故选C.【答案】 C4．下列函数中，图像关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x －π3)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝sin(2x ＋π6)D ．y ＝sin(x 2＋π6)【解析】 验证法，当x ＝π3时，A.sin(2π3－π3)＝sin π3≠±1；B.sin(2π3－π6)＝sinπ2＝1，故选B.【答案】 B5．将函数y ＝sin(2x ＋π4)的图像向右平移π8个单位，所得图像所对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．奇函数D ．偶函数【解析】 将函数y ＝sin(2x ＋π4)的图像向右平移π8个单位后，得函数y ＝sin[2(x －π8)＋π4]＝sin(2x －π4＋π4)＝sin 2x ，为奇函数，故选C. 【答案】 C 二、填空题 6．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin(x ＋π3)的最大值是________，最小值是________．【解析】 ∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤56π，∵当x ＋π3＝－π6，即x ＝－π2时，f (x )min ＝－22，当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f (x )max ＝ 2.【答案】2 －227．关于f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )有下列结论：①函数的最小正周期为π；②表达式可改写为f (x )＝4cos(2x －π6)；③函数的图像关于点(－π6，0)对称；④函数的图像关于直线x ＝－π6对称．其中正确结论的序号为________．【解析】 显然函数f (x )的周期T ＝2π2＝π，①正确；由于f (x )＝4sin(2x ＋π3)＝4cos[π2－(2x ＋π3)]＝4cos(－2x ＋π6)＝4cos(2x －π6)，所以②正确；当x ＝－π6时，sin(－π3＋π3)＝sin0＝0，所以③正确，④不正确． 【答案】 ①②③图1－8－78．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图1－8－7所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)的值等于________．【解析】 由图可知该函数的周期为8，得ω＝π4，A ＝2，代入点(2,2)，得sin(π4×2＋φ)＝1，π2＋φ＝π2，得φ＝0，∴y ＝2sin π4x .根据对称性有f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)＝0，从而f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝251×[f (1)＋f (2)＋…＋f (8)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝251×0＋2sin π4＋2sin π2＋2sin 34π＋2sin π＋2sin 54π＝2＋2.【答案】 2＋ 2 三、解答题9．(2013·石家庄高一检测)已知函数f (x )＝2sin(2x －π6)，x ∈R .(1)写出函数f (x )的对称轴方程、对称中心的坐标； (2)求函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值． 【解】 (1)由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )得，x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π3，k ∈Z .由2x －π6＝k π得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．所以函数f (x )的对称中心为(k π2＋π12，0)，k ∈Z .(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－1；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值2.10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．【解】 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，∴sin(2×π8＋φ)＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin(2x －3π4)．由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，∴函数y ＝sin(2x －3π4)的单调增区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．11．记函数f (x )＝5sin(k 5x －π3)(k ≠0)．(1)写出f (x )的最大值M ，最小值m ，最小正周期T ；(2)试求正整数k 的最小值，使得当自变量x 在任意两相邻整数间(包括整数本身)变化时，函数f (x )至少有一个值是M ，一个值是m .【解】 (1)M ＝5，m ＝－5，T ＝2π|k 5|＝10π|k |.(2)由题意知f (x )在相邻两整数之间(包括整数本身)至少有一个M 和一个m ，∴最小正周期T ≤1，则10π|k |≤1，∴|k ≥10π，又k 为正整数，∴正整数k 的最小值为32.。