【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。
在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
xM图2-17图2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。
【解答】图2-17：上（y =0）左(x =0) 右（x =b ）l0 -1 1 m-1() x f s()1g y h ρ+()1g y h ρ-+() yfs1gh ρ代入公式（2-15）得①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0;===-+=x xy x x g y h σρτ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：()(),0yxy y y gh σρτ===-=③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()220,0====y hy h u v这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：10,,0s N F F gh b M ρ==-=由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：()()()222100000b y y h by y h bxy y h dx gh b xdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）lmx f (s)y f (s)2h y =-0 -1 0 q2h y =1-1q-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有/20/2/20/2/20/2()()()h xy x Sh h x x N h h x x h dx Fdx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。
首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：110,xN NN N F F F q l F q l F ''=+=⇒=-∑ 0,0yS S S S FF F ql F ql F ''=++=⇒=--∑2211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=⇒=---∑由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故M'/21/22/21/2/2/2()()22()h x x l N Nh h x x l S h h xy x l S Sh dy F q l Fq lh ql ydy M M F l dy F ql Fσστ=-=-=-⎧'==-⎪⎪⎪'==---⎨⎪⎪'==--⎪⎩⎰⎰⎰【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA 边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？【解答】由于hl ，OA 为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：(a)上端面OA 面上面力q bxf f y x ==,0由于OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有()()()0000200000022120bb b y y y b b b y y y byx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx σστ===⎧=-=-=-⎪⎪⎪⎛⎫=-=-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(对OA 中点取矩) (ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y 向为正，主矩为负，则()()()00200002120by N y by y b xy y qb dx F qb xdx M dx σστ===⎧=-=-⎪⎪⎪=-=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ 综上所述，在小边界OA 上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。
【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：2qb212qb 图2-19y图2-20 图2-21（a）图2-20，22xyqb，0==y xyστ。
【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。
（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且0==x yf f∂∂+=∂∂yxxx yτσ∂∂+=∂∂y xyy xστ显然满足（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有等式左=()2222x yx yσσ⎛⎫∂∂++⎪∂∂⎝⎭=22≠qb=右应力分量不满足相容方程。
因此，该组应力分量不是图示问题的解答。
（b）图2-21，由材料力学公式，=xMyIσ，*=sxyF SbIτ(取梁的厚度b=1)，得出所示问题的解答:332=-xx yqlhσ，22233-(4)4=-xyq xh ylhτ。
又根据平衡微分方程和边界条件得出：333222=--yq xy xy q xqlh lh lσ。
试导出上述公式，并检验解答的正确性。
【解答】（1）推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对中性轴（Z轴）的惯性矩312=hI，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程()23(),62=-=-q qxM x x F xl l。
所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：()332==-x M x x y y q I lhσ()()2222233431.424⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭s xy F x y q x h y bh h lhτ。
根据平衡微分方程第二式（体力不计）。
0∂∂+=∂∂y xy yxστ得： 333.22=-+y q xy xy q A lh lhσ 根据边界条件()/20==yy h σ得 q .2=-xA l故 333.2.22=--y q xy xy q xq lh lh lσ将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：22336.60x y x yq q lh lh=-+==左右 满足第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23）()22223312.12.0⎛⎫∂∂=++=--≠= ⎪∂∂⎝⎭左右x y xy xyq q x y lh lh σσ应力分量不满足相容方程。
故，该分量组分量不是图示问题的解答。
【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F （图2-22），体力可以不计。
试根据材料力学公式，写出弯应力0y σ=，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。
【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程()M x Fx =-，横截面对中性轴的惯性矩为3/12z I h =，根据材料力学公式弯应力3()12x z M x Fy xy I hσ==-； 该截面上的剪力为()s F x F =-，剪应力为()*2233()/262241/12s xy z F x S F h h y F h y b y y bI h h τ⎛⎫--⎛⎫⎡⎤==⋅-⋅⋅+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⨯⎝⎭⎣⎦⎝⎭取挤压应力0y σ=（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：2312120F Fy y h h=-+==左右第二式：左=0+0=0=右该应力分量满足平衡微分方程。
（3）将应力分量代入应力表示的相容方程2()0x y σσ=∇+==左右 满足相容方程 （4）考察边界条件①在主要边界/2y h =±上，应精确满足应力边界条件(2-15)lmx fyf2h y =-上0 -1 0 0 2h y =上1代入公式（2-15），得()()()()-/2/2/2/20,0;0,0y xy y yx y h y h y h y h στστ==-======②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩/20/2/20/22/2/2203/2/2()0()06()()4h x x h h x x h h h xy x h h dy x ydy F h dy y dy F y h σστ=-=-=--⎧⎪==⎪⎪==⎨⎪⎡⎤⎪=--=-=⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎰⎰⎰⎰向面力主矢面力主矩向面力主矢满足应力边界条件M③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，0,,N S F F F M Fl ==-=-其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：/2/23/2/212()0h h x x l Nh h Fdy lydy F h σ=--=-==⎰⎰/2/223/2/212()h h x x l h h F ydy ly dy Fl M h σ=--=-=-=⎰⎰2/2/223/2/26()4h h xy x l S h h F h dy y dy F F h τ=--⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭⎰⎰满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
第一章 平面问题的直角坐标解答【3-4】试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?【解答】⑴相容条件:不论系数a 取何值，应力函数3ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).⑵求应力分量当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得6,0,0x y xy yx ay σσττ====⑶考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()00y xy x f τ===右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ=== 应力分布如图所示，当l h 时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩yxf xf主矢的中心在矩下边界位置。
即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。
偏心距e ：因为在A 点的应力为零。
