等差数列重难点突破

等差数列教学设计等差数列教学设计（精选5篇）作为一名默默奉献的教育工作者，时常要开展教学设计的准备工作，借助教学设计可以让教学工作更加有效地进行。

一份好的教学设计是什么样子的呢？以下是店铺帮大家整理的等差数列教学设计（精选5篇），欢迎大家分享。

等差数列教学设计1教学目标：1.知识与技能目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握并会用等差数列的通项公式，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

2.过程与方法目标：培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力;在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。

3.情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究培养学生主动探索、勇于发现的求知的精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

教学重点：等差数列的概念及通项公式。

教学难点：(1)理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

(2)等差数列的通项公式的推导过程及应用。

教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.回忆上一节课学习数列的定义，请举出一个具体的例子。

表示数列有哪几种方法——列举法、通项公式、递推公式。

我们这节课接着学习一类特殊的数列——等差数列。

2.由生活中具体的数列实例引入(1).国际奥运会早期，撑杆跳高的记录近似的由下表给出：你能看出这4次撑杆条跳世界记录组成的数列，它的各项之间有什么关系吗?(2)某剧场前10排的座位数分别是：48、46、44、42、40、38、36、34、32、30引导学生观察：数列①、②有何规律?引导学生发现这些数字相邻两个数字的差总是一个常数，数列①先左到右相差0.2，数列②从左到右相差-2。

二.新课探究，推导公式1.等差数列的概念如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

强调以下几点：① “从第二项起”满足条件;②公差d一定是由后项减前项所得;③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数” );所以上面的2、3都是等差数列，他们的公差分别为0.20，-2。

等差数列数学教案精选案例大全等差数列是指从其次项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。

这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

下面就是我给大家带来的高中数学优质课程《等差数列》教案，盼望能关心到大家!数学《等差数列》教案一【教学目标】1. 学问与技能(1)理解等差数列的定义，会应用定义推断一个数列是否是等差数列：(2)账务等差数列的通项公式及其推导过程：(3)会应用等差数列通项公式解决简洁问题。

2.过程与方法在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培育同学的观看、分析、归纳力量和严密的规律思维的力量，体验从特别到一般，一般到特别的认知规律，提高熟识猜想和归纳的力量，渗透函数与方程的思想。

3.情感、态度与价值观通过老师指导下同学的自主学习、相互沟通和探究活动，培育同学主动探究、用于发觉的求知精神，激发同学的学习爱好，让同学感受到胜利的喜悦。

在解决问题的过程中，使同学养成细心观看、仔细分析、擅长总结的良好习惯。

【教学重点】①等差数列的概念;①等差数列的通项公式【教学难点】①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;①等差数列的通项公式的推导过程.【学情分析】我所教学的同学是我校高一(7)班的同学(平行班同学)，经过一年的高中数学学习，大部分同学学问阅历已较为丰富，他们的智力进展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维力量和演绎推理力量，但也有一部分同学的基础较弱，学习数学的爱好还不是很浓，所以我在授课时注意从详细的生活实例动身，注意引导、启发、讨论和探讨以符合这类同学的心理进展特点，从而促进思维力量的进一步进展.【设计思路】1.教法①启发引导法：这种方法有利于同学对学问进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动同学的主动性和乐观性，发挥其制造性.①分组争论法：有利于同学进行沟通，准时发觉问题，解决问题，调动同学的乐观性.①讲练结合法：可以准时巩固所学内容，抓住重点，突破难点.2.学法引导同学首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种力量的同学引导熟悉多元的推导思维方法.【教学过程】一：创设情境，引入新课1.从0开头，将5的倍数按从小到大的挨次排列，得到的数列是什么?2.水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的方法清理水库中的杂鱼.假如一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开头放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位(单位：m)组成一个什么数列?3.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息.根据单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%，那么根据单利，5年内各年末的本利和(单位：元)组成一个什么数列?老师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数.同学：1：0，5，10，15，20，25，….2：18，15.5，13，10.5，8，5.5.3:10072，10144，10216，10288，10360.(设置意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让同学感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型.通过分析,由特别到一般，激发同学学习探究学问的自主性，培育同学的归纳力量.二：观看归纳，形成定义①0，5，10，15，20，25，….①18，15.5，13，10.5，8，5.5.①10072，10144，10216，10288，10360.思索1上述数列有什么共同特点?思索2依据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗?思索3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗?老师：引导同学思索这三列数具有的共同特征，然后让同学抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念.同学：分组争论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合肯定规律;这些数都是根据肯定挨次排列的…只要合理老师就要赐予确定.老师引导归纳出：等差数列的定义;另外，老师引导同学从数学符号角度理解等差数列的定义.(设计意图：通过对肯定数量感性材料的观看、分析，提炼出感性材料的本质属性;使同学体会到等差数列的规律和共同特点;一开头抓住：“从其次项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的精确表达.)三：举一反三，巩固定义1.判定下列数列是否为等差数列?若是，指出公差d.(1)1,1,1,1,1;(2)1,0,1,0,1;(3)2,1,0,-1,-2;(4)4,7,10,13,16.老师出示题目,同学思索回答.老师订正并强调求公差应留意的问题.留意：公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0 .(设计意图：强化同学对等差数列“等差”特征的理解和应用).2思索4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗?为什么?(设计意图：强化等差数列的证明定义法)四：利用定义，导出通项1.已知等差数列：8，5，2，…，求第200项?2.已知一个等差数列{an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢?老师出示问题，放手让同学探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展现.依据同学在课堂上的详细状况进行详细评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法;让同学初步尝试处理数列问题的常用方法.(设计意图：引导同学观看、归纳、猜想，培育同学合理的推理力量.同学在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决方法，老师要逐一点评，并准时确定、赞扬同学擅长动脑、勇于创新的品质，激发同学的制造意识.鼓舞同学自主解答，培育同学运算力量)五：应用通项，解决问题1推断100是不是等差数列2，9，16，…的项?假如是，是第几项?2在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.3求等差数列3,7,11，…的第4项和第10项老师：给出问题，让同学自己操练，老师巡察同学答题状况.同学：老师叫同学代表总结此类题型的解题思路，老师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式(设计意图：主要是熟识公式,使同学从中体会公式与方程之间的联系.初步熟悉“基本量法”求解等差数列问题.)六：反馈练习：教材13页练习1七：归纳总结：1.一个定义：等差数列的定义及定义表达式2.一个公式：等差数列的通项公式3.二个应用：定义和通项公式的应用老师：让同学思索整理，找几个代表发言，最终老师给出补充(设计意图：引导同学去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使同学能在新的高度上去重新熟悉和把握基本概念，并敏捷运用基本概念.)【设计反思】本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥同学学习的主动性，增加同学学习数列的爱好.在探究的过程中，同学通过分析、观看，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由详细到抽象，由特别到一般的思维过程，有助于提高同学分析问题和解决问题的力量.本节课教学采纳启发方法，以老师提出问题、同学探讨解决问题为途径，以相互补充绽开教学，总结科学合理的学问体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率.数学《等差数列》教案二[教学目标]1.学问与技能目标：把握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的推导过程;了解等差数列的函数特征;能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。

等差数列前n项和优秀教案一、教学目标知识与技能：1. 理解等差数列的定义及其性质；2. 掌握等差数列前n项和的公式；3. 会运用等差数列前n项和公式解决实际问题。

过程与方法：1. 通过探究等差数列的性质，引导学生发现等差数列前n项和的规律；2. 利用公式法、图象法、列举法等多种方法求解等差数列前n项和；3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

情感态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和自信心；2. 培养学生勇于探索、积极思考的精神；3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点重点：1. 等差数列前n项和的公式；2. 运用等差数列前n项和公式解决实际问题。

难点：1. 等差数列前n项和的公式的推导；2. 灵活运用等差数列前n项和公式解决复杂问题。

三、教学准备教师准备：1. 等差数列的相关知识；2. 等差数列前n项和的公式；3. 教学案例和练习题。

学生准备：1. 掌握等差数列的基本知识；2. 具备一定的数学思维能力；3. 准备笔记本，做好笔记。

四、教学过程1. 导入：通过复习等差数列的基本知识，引导学生回忆等差数列的性质，为新课的学习做好铺垫。

2. 探究等差数列前n项和的公式：引导学生发现等差数列前n项和的规律，引导学生利用已知的等差数列性质推导出前n项和的公式。

3. 讲解等差数列前n项和的公式：讲解公式的含义、推导过程及其应用，让学生理解并掌握公式的运用。

4. 运用公式法、图象法、列举法等多种方法求解等差数列前n项和：通过具体案例，让学生学会运用不同的方法求解等差数列前n项和，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

5. 练习与巩固：布置一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。

五、课后反思教师在课后要对教案进行反思，分析教学过程中的优点与不足，针对性地调整教学方法，以提高教学效果。

关注学生的学习情况，了解学生在学习等差数列前n项和过程中遇到的问题，及时给予解答和指导。

《等差数列》的教学设计一．设计思想数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能在让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。

基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。

在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。

这正是新课程所倡导的数学理念。

本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。

二．教材分析高中数学必修五第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。

研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。

通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。

本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。

在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。

同时也是培养学生数学能力的良好题材。

等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

三．学情分析学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。

他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

等差数列求和详细教案一、教学目标1. 知识目标：掌握等差数列的概念及公式，掌握等差数列求和公式的推导过程和应用方法。

2. 技能目标：能够应用等差数列求和公式解决实际问题，培养学生分析和解决问题的能力。

3. 情感目标：通过学习和实践，提高学生的数学能力和自信心，培养学生发现规律和思考的能力。

二、教学重难点1. 重点：等差数列的概念、公式和性质。

2. 难点：等差数列求和公式的推导和应用。

三、教学内容及时间安排1. 等差数列的概念及公式（20分钟）a. 等差数列的定义和性质；b. 公差的定义和计算方法；c. 等差数列通项公式；d. 常用的等差数列公式，如前n项和、通项和、中项等。

2. 等差数列求和公式的推导（30分钟）a. 初步推导：前n项和Sn(n≥1)的个数是n项，每项的平均值为(a1+an)/2，因此Sn=n(a1+an)/2；b. 深入推导：将Sn表示为n项的和，通过把每一项和其对应的项相加，得到Sn=n(a1+an)/2。

3. 等差数列求和公式的应用（30分钟）a. 常见的求和类型：求前n项和、通项和、中项等；b. 实际问题的应用：如阶梯状收入、等差数列补缺等。

4. 练习与讲评（40分钟）a. 练习：课后练习题；b. 讲评：分析解题思路，提高解决问题的能力。

五、教学资源黑板、彩色粉笔、PPT、课件、练习题六、教学过程一、引入（5分钟）教师通过引入生活中的实际问题，如等差数列补缺，引起学生的兴趣。

引导学生自主思考，回顾巩固等差数列的基本概念和公式。

二、讲解等差数列的概念及公式（20分钟）1. 等差数列的定义和性质定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等，那么这个数列就是等差数列。

性质：等差数列各项的和等于项数乘以首项与末项的平均数。

2. 公差的定义和计算方法定义：等差数列中相邻两项之间的差叫做公差。

计算方法：公差等于任意两项之差。

3. 等差数列的通项公式通项公式：an=a1+(n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。

《等差数列》教学设计一、教学目标：教学目标：知识与技能目标:（1）知识目标：理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数列是否为等差数列；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，并能用通项公式解决一些简单的实际问题．（2）过程与方法目标:会判断一个数列是等差数列，会用等差数列通项公式，由an ，a1，n，d的三个量求另外一个量．经历等差数列的探究过程，发展学生观察分析、归纳总结能力，及知识、方法的迁移能力．（2）情感与态度目标：通过对等差数列定义的研究，养成学生细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；通过对等差数列通项公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神．二、教学的重点、难点重点：1.等差数列的概念的理解与掌握.2.等差数列的通项公式的推导及应用.难点：1.理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；2.从方程的观点看通项公式并解决一些简单的实际问题．三、课型:新授课四、教具学具准备:多媒体、课件.五、教学方法:启发发现法、诱导思维法、类比分析法、分组讨论法、讲练结合法．六、教学过程：（一）创设情境引入课题(约2分钟)通过上节课学习内容，引入本节课.前面我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法—通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映了数列的特点，本节课我们来研究一个特殊的数列．幻灯片展示两则小故事，引导阅读两则小故事，激发学生学习的兴趣, 引入新课．1．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000 她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，…（问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）2．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只yes,no,you,me,he5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，…（问：多少天后他的单词量达到3000？）学生仔细观察，认真思考．（板书课题）（教学设想：创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力．使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的．学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化．）（二）、新课探究，推导公式1.等差数列的概念．(约10分钟)引导学生观察下面几组列数，并分析它们的共同特点，归纳出等差数列的定义．观察下面几组列数，并分析它们的共同特点：38,40,42,44,46,48,50,52,54,56.10500, 10000, 9500, 9000, 8500,8000,7500.2，2，2，2，2，2，2 ，2……学生积极思考，找出上述数列的共同特点．师生共同归纳出等差数列的定义．定义：一般地,如果一个数列从第２项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.数学语言：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）师生共同分析等差数列的定义，对等差数列进一步的理解，培养学生的观察归纳能力．强调定义的理解：第二项起；每一项与它的前一项的差,不能颠倒；“同一个常数”，可以是整数，也可以是0和负数；求公差d时，可以用d=an–an－1 ，也可以用d=an+1–an；d =an–an－1或d=an+1–an是证明或判断等差数列的依据；公差d∈R，当d=0时，数列为常数列，d>0时,数列为递增数列，d<0时,数列为递减数列．练习：判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d.(1)3，0，-3，-6，-9；(2)(3)lg1，lg2，lg4，lg8，lg16；(4)(5)(6) –1，1，-1，1，–1，1．（教学设想：通过练习，加深对概念的理解）2．等差数列的通项公式：(约8分钟)方法一：不完全归纳法如果等差数列｛an｝首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义可得：即：即：即：……［提出问题］：如果等差数列｛an｝首项是a1，公差是d，那么这个等差数列的通项公式如何表示？由此可得：验证：当n=1时,上式两边均等于a1，即等式也成立这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式.［教师此时指出］：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，学习后续有关知识后我们可对这个公式进行严格的证明］．在这里向大家介绍另外一种求数列通项公式的办法-叠加法：方法二：叠加法将这（n－1）个等式左右两边分别相加，则可得：an-a1=(n-1)d an=a1+(n-1)d验证：当n=1时,上式两边均等于a1，即等式也成立这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式.由此得到等差数列的通项式an=a1+(n-1)dan第n项a1首项n项数d公差强调理解：已知a1与d,可以求得数列中的任一项，也可以检验某数是否为该数列中的一项；在an，a1，n，d这四个变量中，知道其中三个量就可以求余下的一个量，即知三求一.（三）应用例解: (约15分钟)例1.(1)求等差数列8，5，2,……的第20项．(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13……的项？如果是，是第几项？(1) 分析：由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20，强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字．解：由题意得，a1=8,d=-3∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49(2) 分析：实际上是求一个方程的正整数解的问题．这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an =-401成立．解：由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401an=a1+(n-1)d-401=-5+(n-1)×(-4)∴n=100∴-401是这个数列的第100项．例2.在等差数列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d．分析：等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系．当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量．解：由题意，即解之得a1=-2 d=3.思考: 已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组．现在能求出任一项吗？比如能求出a25吗？解：由上面所解得：若不求首项只求公差，能求出a25吗？这种题型有简便方法吗？通项公式的推广公式：思考：已知等差数列{an}中，am,d是常数，如何任一项an的值.试求an的值. 解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：- 得：an-am=a1+(n–1)d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d∴an=am +(n-m)d由此得到通项公式的推广公式：an=am +(n-m)d注意本公式当m≠n有一个变式：强调理解：已知等差数列的任意两项，可以确定数列的任意一项.例3.已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12和a3n.分析：已知等差数列中的a3和a9，可以先利用公式求出公差d，再用公式求出a12和a3n.解:由公式得：(四)．练习反馈强化目标(约8分钟)P113练习第1题和第2题．（要求学生在规定时间内做完上述题目，教师提问，教学设想：对学生进行基本技能训练,培养学生的计算速度和计算能力.）（五）归纳小结提炼精华(约2分钟)本节课我们主要学习了：1.等差数列的概念及数学表达式：an-an-1=d(n≥2)，要会由定义判定一个数列是否等差数列.2.等差数列的通项公式an=a1+(n－1)d（n∈N*），能灵活应用通项公式（应用方程的思想，会知三求一）.3.还要注意对一个重要的推广公式an=am+(n-m)d的理解与应用．（六）课后作业运用巩固．（1）课本P114习题3.2 第1，2，3题．（2）预习课本P112-113.预习提纲：1. 例三，例四，如何由等差数列的定义及通项公式解决实际问题；2.什么是数列的等差中项，它有哪些性质？3.如何从函数观点来理解数列的通项公式?板书设计：§3.2等差数列1、定义2、数学表达式3、等差数列的通项公式4、推广公式例1（略）例2（略）例3（略）本节课的重点是等差数列的定义及其通项公式与应用，因此把强调的问题放在较醒目的位置，突出了重点，同时还给学生留有作题的地方，整个板面看上去自然、清晰、美观，还能充分表现出精讲多练的教学方法．。

《等差数列》教学设计一、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学5》（人教A版）第二章《数列》的第二节内容，即《等差数列》第一课时。

研究等差数列的定义和通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。

本节是第二章的基础，为以后学习等差数列求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容，也是高考重点考察的内容之一，它有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

二、教学目标1、知识与技能:(1)能够准确的说出等差数列的特点;(2)能够推导出等差数列的通项公式，并可以利用等差数列解决些简单的实际问题。

2、过程与方法:通过实例展示，让学生能从具体实例中归纳出等差数列的概念，培养学生的观察能力和抽象概括能力3、情感态度价值观:通过对等差数列的研究，激发主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

三、教学重点难点：重点:等差数列的概念，等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点:等差数列通项公式的推导，用“数学建模"的思想解决实际问题。

四、教学过程（一）、情景导入：1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会。

观察数据1896，1900，1904，…，2008，2012，（）你能预测出第31届奥运会的时间吗？思考1：1、你能根据规律在（）内填上合适的数吗？（1）1682，1758，1834，1910，1986，（2062）.（2） 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）.（3） 1，4，7，10，（），16，…（4）2， 0， -2， -4， -6，（）…看下面几个例子：（1）我们课本的页码数从小到大依次为：1, 2，3, 4，……（2）某人贷款买房，需要月均等额还款。

2．2 等差数列（一）教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

（二）教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

教学用具：投影仪（四）教学设想[创设情景]上节课我们学习了数列。

在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。

今天我们就先学习一类特殊的数列。

[探索研究]由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……2021年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。

该项目共设置了7个级别。

其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：g）：48，53，58，63。

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。

如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。

（等差数列）教案一、教学目标（知识与技能）能够复述等差数列的概念，能够学会等差数列的通项公式的推导过程及蕴含的数学思想。

（过程与方法）在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，提高知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高分析问题和解决问题的能力。

（感情态度与价值观）通过对等差数列的研究，具备主动探究、勇于发觉的求知精神;养成细心观察、认真分析、特长总结的良好思维习惯。

二、教学重难点（重点）等差数列的概念、等差数列的通项公式的推导过程及应用。

（难点）等差数列通项公式的推导。

三、教学过程环节一：创设情境、导入新课教师PPT展示几道题目：1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5一个数，可以得到数列：0，5，15，20，252.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92。

3.2022年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重正式列为比赛工程，该工程共设置了7个级别，其中交情的4个级别体重组成数列(单位：kg)：48，53，58，63。

教师提问学生这几组数有什么特点学生答复从第二项开始，每一项与前一项的差都等于一个常数，教师引出等差数列。

环节二：师生互动、探究新知1.等差数列的概念学生阅读教材，同桌商量，类比等比数列总结出等差数列的概念如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

问题1：等差数列的概念中，我们应该注意哪些细节呢强调：“从第二项起〞满足条件;公差d肯定是由后项减前项所得;每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数〞);数学表达式：问题2：推断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

(1)9，8，7，6，5，4，……;(2)0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……;(3)0，0，0，0，0，0，……;引导学生发觉第—个数列公差小于0,第二个数列公差大于0，第三个数列公差等于0。

1 1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)nnnnaaaa为同一常数。 (2)通项公式法：

①若 = +（n-1）d= +（n-k）d ，则na为等差数列； ②若 ，则na为等比数列。 (3)中项公式法：验证中项公式成立。

2. 在等差数列na中,有关nS的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当1a>0,d<0时，满足100mmaa的项数m使得mS取最大值. (2)当1a<0,d>0时，满足100mmaa的项数m使得取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

三、注意事项 1．证明数列na是等差或等比数列常用定义，即通过证明11nnnnaaaa 或

11nnnnaaa

a

而得。

3．注意ns与na之间关系的转化。如：na=1100nnSSS 21nn， na=nkkkaaa211)(．

一、求等差与等比数列数列基本量 1已知2，a,b,c,4成等比数列,则b=

2如果数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1是首项为1公比2的等比数列,那么an= 3已知实数列-9,a1,a2,-1是等差数列,是-9,b1,b2,b3,-1等比数列则b2(a2-a1)= 4设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9求数列的公比q. 2

5在各项为正数的等比数列中,若a5a6=9,则3132310logloglogaaa A 12 B 10 C 8 D 2+3log5 6等差数列{an},a10=100,a100=10,a110= 二、数列通项与前项和关系 1已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-2,求an

2已知数列{an}的前n项和为Sn, Sn= 13(an-1)(n∈N+) ⑴求a1,a2 ⑵求证:数列{an}是等比数列

专题01 等差数列必备知识点与考点突破答案◆知识点1:等差数列例:【答案】A 【解析】∵a 1 = 11n s +n s = 1，∵{}n S 是以1为首项，以1为公差的等差数列，n S n ，即2n S n =，∵当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，11a =也适合上式，所以21n a n =-.故选：A.◆知识点2:等差数列的性质例:【答案】C 【详解】∵数列{}n a 是等差数列，且31140a a +=，∴3117240a a a +==，∴720a =， ∴6787360a a a a ++==故选：C ．例:【答案】B 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以147a a a ++，258a a a ++，369a a a ++也成等差数列， 所以369a a a ++2582()a a a =++147()a a a -++2211527=⨯-=．故选：B ．◆知识点3:等差数列前n 项和例:【答案】12或13【详解】等差数列{}n a 中，1015S S =，则11121314150a a a a a ++++=， ∵1350a =，即130a =，又120a =，易得53d =-，∵()2155125202366n n n S n n n -⎛⎫=+⨯-=-+ ⎪⎝⎭， 当12n =或13时，n S 取得最大值，∵存在正整数k ，使任意*n N ∈，都有k n S S ≥恒成立，且k 为12或13． 故答案为：12或13．◆知识点4:等差数列前n 项和的性质例:【答案】D 【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1020103020S S S S S --，，构成等差数列， 即310，3012203101220S --，构成等差数列， 则()301220212203103101510S -=--=，则302730S = 故选：D例:【答案】B 【解析】在等差数列{}n a 中，由7945a a =，得()()11313711717913131345221717175852a a S a a a S a +==⨯=⨯=+，故选：B 【核心考点】◆考点1:等差中项1．【答案】D 【解析】解：依题意()22142x x x +=++，解得0x =；故选：D2．【答案】A 【解析】由等差中项的定义得：则a ，b 的的等差中项为：32322a b+++-=32323-++==A ．3．【答案】D 【解析】由题意可知，5a ，34a ，42a -成等差数列，所以45328a a a -=，即233328a q a q a -=，所以2280q q --=，4q =或2q =-（舍），所以2428a a q ==，421764a a a ==，故选：D.4．【答案】D 【解析】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为231a a a ⋅=，所以223111a a a q a q a =⋅=，解得3141a q a ==，因为4a 与72a 的等差中项为58，则有475228a a +=⨯，即3445228a a q +⋅=⨯，解得12q =，所以4138a a q ==，故141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，则18a =，24a =，32a =，41a =，所以1234842164a a a a ⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=．故选：D ．◆考点2:等差数列的证明1．【答案】D 【解析】数列{}n a 为等差数，设其公差为d ，则等差数列{}n a 的前n 项和()112n d S n n na -=+，所以()112nd S n a n -=+，所以112n n S S d n n +-=+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 的等差数列；所以10122212102S S d-=⨯=-，所以2d =-.故选：D. 2．【答案】B 【解析】解：因为等比数列{}n a 满足11a =，12q =，则111121--===n n n n a a a q a ，111a 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A 错误；则221221log log lo l 1g og ---===-nn n n a a a q a ，12log 0a =故数列{}2log n a 是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B 正确；由A 知：112n na-=。

高中等差数列重难点分析几年来，随着高考命题方向的变化，高中数学学习的重点也随之不断地进行调整，数列作为高中数学中一个独立的学习单元，其重点地位不言而喻。

根据最近几年的高考命题方向来看，数列的考察比重呈现上不断升趋势。

数列这类问题虽然没有解析几何那样大的计算量，没有太多需要理解的东西，也不需要立体几何中的空间想象力，然而数列中涉及到的的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧贯穿与整个高中数学之中，高中最常见的数列题型就是求通项公式和数列求和两种了，我本人从事多年高中数学教学工作，结合我多年的教学经验，下面依次给大家介绍一下数列的几种常见解题思路。

1. 几种常见求通项公式的方法（1）观察法。

此类方法通过观察前面几项的特征和规律来总结出它的通项公式，在应试的时候一般适用于选择题或填空题，可以快速的得到答案，节省思考时间，但要注意的是看清楚题设条件。

（2）逆推法。

既已知Sn，反过来求an的方法。

这一类的题目在试卷中比较常见，属于常规的考察题目，用逆向思维来思考解题思路会比较容易，利用求和公式Sn+1=Sn+an+1要特别注意a1的情况不能忽略。

以上五类是平时考察最多，也最常用的求数列通项的方法，做题之前要结合题目所给数列的特征，具体问题具体分析，注意题目中常量之间的隐含的数量关系，然后再选择合适的解题思路和方法，就能很轻松的达到求解目的。

要特别注意的是无论什么情况都不能忽略了特殊情况，也就是a1的数值。

2. 几种常用的数列求和方法（1）公式法。

此类方法适用于一些能够直接判断题目中数列基本类型的题目，直接应用数列的有关性质和公式能很快写出前n项和，在这里不做过多介绍。

（2）分组求和法。

若题目所给数列的通项公式既不是等比数列也不是等差数列，但是通项公式却可以分解为一个等差数列和一个等比数列的和，那么我们就采用分组的方法进行求和。

此时分组以后会构成一个等差数列和一个等比数列的和的形式，可以分别利用求和公式求和之后再相加。

等差列必备知识点与考点突破【必备知识点】◆知识点1:等差数列1.定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母d 表示.2.等差数列的判定(1)1n n a a d +-=(定义法); (2)112n n n a a a -+=+(中项法);(3)n a kn b =+(通项法, 一次函数); (4)2n S An Bn =+(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点).3.等差数列通项公式11(1);1n n a a a a n d d n -=+-=-的几何意义是过()()11,,,n a n a 两点的直线的斜率. 例:已知数列{an }的前n 项和为S n ，满足a 1 = 11n s +n s = 1，则an =（ ） A ．2n －1 B ．n C ．2n － 1 D ．2n -1【答案】A 【解析】∵a 1 = 11n s +n s = 1，∵{}n S 是以1为首项，以1为公差的等差数列，n S n =，即2n S n =，∵当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 当1n =时，11a =也适合上式， 所以21n a n =-. 故选：A.◆知识点2:等差数列的性质设{}n a 为等差数列,公差为d ,则1.若()*,,,m n p q m n p q +=+∈N ,则m n p q a a a a +=+. 特别地,(1)若2m n p +=,则()*2,,m n p a a a m n p +=∈N ;2.若m n t p q r ++=++,则()*,,,,,m n t p q r a a a a a a m n t p q r ++=++∈N ;3.若{}n a 是有穷等差数列,则与首、末两项等距离的两项之和都相等, 且等于首、末两项之和,即 12132n n n a a a a a a --+=+=+=.4.数列{}(,n a b b λλ+ 是常数)是公差为d λ的等差数列.5.若{}n b 是公差为d '的等差数列,{}n a 与{}n b 的项数一致,则数列{1n a λ+}(212,n b λλλ为常数)是公差为12d d λλ'+的等差数列.6.下标成等差数列且公差为m 的项()*2,,,,k k m k m a a a k m ++∈N 组成公差为md 的等差数列.7.在等差数列{}n a 中,若,,n m a m a n m n ==≠,则有0m n a +=.例:已知数列{}n a 是等差数列，且31140a a +=，则678a a a ++等于（ ） A ．84 B ．72C ．60D ．43【答案】C 【详解】∵数列{}n a 是等差数列，且31140a a +=， ∴3117240a a a +==，∴720a =， ∴6787360a a a a ++== 故选：C ．例:{}n a 是等差数列，且14715a a a ++=，25821a a a ++=，则369a a a ++的值（ ） A ．24 B ．27C ．30D ．33【答案】B 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以147a a a ++，258a a a ++，369a a a ++也成等差数列， 所以369a a a ++2582()a a a =++147()a a a -++2211527=⨯-=． 故选：B ．◆知识点3:等差数列前n 项和1.等差数列前n 项和公式(1)()12n n n a a S +=(2)1(1)2n n n S na d -=+ (3) 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(关于前n 项和的最大值与最小值可选择此二次函数形式)2.等差数列前n 项和公式与二次函数的关系等差数列{}n a 的前n 项和211(1)222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭,令1,22d dA aB =-=,则 2n S An Bn =+. (1) 当0,0A B ==(即10,0d a ==)时,0n S =是常数函数,{}n a 是各项为0的常数列. (2) 当0,0A B =≠(即10,0d a =≠)时,n S Bn =是关于n 的一次函数,{}n a 是各项为非零的常数列.(3) 当0,0A B ≠≠(即10,0d a ≠≠)时,2n S An Bn =+是关于n 的二次函数(常数项为0).从上面的分析,我们可以看出:(1)一个数列{}n a 是等差数列的条件是其前n 项和公式()n S f n =是关于n 的二次函数或一次函数或常数函数,且2( n S An Bn A B =+为常数).(2)若一个数列{}n a 前n 项和的表达式为2(,,n S An Bn C A B C =++为常数),则当0C ≠时,数列{}n a 不是等差数列,但从第2项起为等差数列;(3)由二次函数图象可知,当0d >时({}n a 是递增数列),n S 有最小值;当0d <时({}n a 是递减数列),n S 有最大值.例:在等差数列{}n a 中，120a =，前n 项和为n S ，且1015.S S =若对一切正整数n ，均有k n S S ≥ 成立，则正整数k =_____________．【答案】12或13 【详解】等差数列{}n a 中，1015S S =，则11121314150a a a a a ++++=，∵1350a =，即130a =，又120a =，易得53d =-，∵()2155125202366n n n S n n n -⎛⎫=+⨯-=-+ ⎪⎝⎭， 当12n =或13时，n S 取得最大值，∵存在正整数k ，使任意*n N ∈，都有k n S S ≥恒成立，且k 为12或13． 故答案为：12或13．◆知识点4:等差数列前n 项和的性质1.等差数列中依次k 项之和232,,,k k k k k S S S S S -- 组成公差为2k d 的等差数列2.若等差数列的项数为()*2n n ∈N ,则() 121,,n n n n nS a S n a a S S nd S a ++=+-==偶奇偶奇 3.若等差数列的项数为()*21n n -∈N ,则21(21)n n S n a -=-⋅(n a 是数列的中间项),1,n S n S S a S n--==偶奇偶奇 4.{}n a 为等差数列n S n ⎧⎫⇒⎨⎬⎩⎭为等差数列 5.若{}{},n n a b 都为等差数列,,n n S T 分别为它们的前n 项和,则2121m n m n a S b T --= 例:设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10203101220S S ==，，则30S =（ ） A ．2330 B ．2130 C ．2530 D ．2730【答案】D 【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1020103020S S S S S --，，构成等差数列， 即310，3012203101220S --，构成等差数列， 则()301220212203103101510S -=--=，则302730S = 故选：D例:设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7945a a =，则1317SS =（ ）A ．1317B ．5285C ．1713D ．8552【答案】B在等差数列{}n a 中，由7945a a =，得()()11313711717913131345221717175852a a S a a a S a +==⨯=⨯=+， 故选：B【核心考点】◆考点1:等差中项1．等差数列{}n a 的前三项依次为x ，21x +，42x +，则x 的值为（ ） A ．55+x B ．21x + C ．2 D ．0【答案】D 【解析】解：依题意()22142x x x +=++，解得0x =； 故选：D 2．已知32a =+，32b =-a ，b 的等差中项为（ ）A 3B 2C 3D 2【答案】A 【解析】由等差中项的定义得： 则a ，b 的的等差中项为：32322a b+++-=32323-++==故选：A ．3．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（ ）A ．4B ．8C ．32D ．64【解析】由题意可知，5a ，34a ，42a -成等差数列，所以45328a a a -=，即233328a q a q a -=，所以2280q q --=，4q =或2q =-（舍），所以2428a a q ==，421764a a a ==，故选：D.4．已知{}n a 为等比数列，若231a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为58，则1234a a a a ⋅⋅⋅的值为（ ）． A ．5 B ．512 C ．1024 D ．64【答案】D 【解析】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为231a a a ⋅=，所以223111a a a q a q a =⋅=，解得3141a q a ==，因为4a 与72a 的等差中项为58，则有475228a a +=⨯，即3445228a a q +⋅=⨯，解得12q =，所以4138a a q ==，故141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，则18a =，24a =，32a =，41a =， 所以1234842164a a a a ⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=． 故选：D ．◆考点2:等差数列的证明1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若101221210S S -=-则公差d =（ ） A ．1 B ．2C ．－1D ．－2【答案】D数列{}n a 为等差数，设其公差为d ， 则等差数列{}n a 的前n 项和()112n d S n n na -=+，所以()112nd S n a n -=+，所以112n n S S d n n +-=+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 的等差数列；所以10122212102S S d-=⨯=-，所以2d =-. 故选：D.2．已知等比数列{}n a 满足11a =，12q =，则（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差等列B ．数列{}2log n a 是等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列D ．数列{}2log n a 是递增数列【答案】B 【解析】解：因为等比数列{}n a 满足11a =，12q =， 则111121--===n n n n a a a qa ，111a 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A错误；则221221log log lo l 1g og ---===-nn n n a a a q a ，12log 0a =故数列{}2log n a 是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B 正确；由A 知：112n n a -=。

专题01 等差数列必备知识点与考点突破【必备知识点】◆知识点1:等差数列1.定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母d 表示.2.等差数列的判定(1)1n n a a d +-=(定义法); (2)112n n n a a a -+=+(中项法);(3)n a kn b =+(通项法, 一次函数); (4)2n S An Bn =+(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点).3.等差数列通项公式11(1);1n n a a a a n d d n -=+-=-的几何意义是过()()11,,,n a n a 两点的直线的斜率. 例:已知数列{an }的前n 项和为S n ，满足a 1 = 11n s +n s = 1，则an =（ ） A ．2n －1B ．nC ．2n － 1D ．2n -1◆知识点2:等差数列的性质设{}n a 为等差数列,公差为d ,则1.若()*,,,m n p q m n p q +=+∈N ,则m n p q a a a a +=+. 特别地,(1)若2m n p +=,则()*2,,m n p a a a m n p +=∈N ; 2.若m n t p q r ++=++,则()*,,,,,m n t p qra a a a a a m n t p q r ++=++∈N ;3.若{}n a 是有穷等差数列,则与首、末两项等距离的两项之和都相等, 且等于首、末两项之和,即12132n n n a a a a a a --+=+=+=.4.数列{}(,n a b b λλ+ 是常数)是公差为d λ的等差数列.5.若{}n b 是公差为d '的等差数列,{}n a 与{}n b 的项数一致,则数列{1n a λ+}(212,n b λλλ为常数)是公差为12d d λλ'+的等差数列.6.下标成等差数列且公差为m 的项()*2,,,,k k m k m a a a k m ++∈N 组成公差为md 的等差数列.7.在等差数列{}n a 中,若,,n m a m a n m n ==≠,则有0m n a +=.例:已知数列{}n a 是等差数列，且31140a a +=，则678a a a ++等于（ ） A ．84B ．72C ．60D ．43例:{}n a 是等差数列，且14715a a a ++=，25821a a a ++=，则369a a a ++的值（ ） A ．24B ．27C ．30D ．33◆知识点3:等差数列前n 项和1.等差数列前n 项和公式(1)()12n n n a a S +=(2)1(1)2n n n S na d -=+ (3) 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(关于前n 项和的最大值与最小值可选择此二次函数形式)2.等差数列前n 项和公式与二次函数的关系等差数列{}n a 的前n 项和211(1)222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭,令1,22d dA aB =-=,则 2n S An Bn =+. (1) 当0,0A B ==(即10,0d a ==)时,0n S =是常数函数,{}n a 是各项为0的常数列.(2) 当0,0A B =≠(即10,0d a =≠)时,n S Bn =是关于n 的一次函数,{}n a 是各项为非零的常数列.(3) 当0,0A B ≠≠(即10,0d a ≠≠)时,2n S An Bn =+是关于n 的二次函数(常数项为0).从上面的分析,我们可以看出:(1)一个数列{}n a 是等差数列的条件是其前n 项和公式()n S f n =是关于n 的二次函数或一次函数或常数函数,且2( n S An Bn A B =+为常数).(2)若一个数列{}n a 前n 项和的表达式为2(,,n S An Bn C A B C =++为常数),则当0C ≠时,数列{}n a 不是等差数列,但从第2项起为等差数列;(3)由二次函数图象可知,当0d >时({}n a 是递增数列),n S 有最小值;当0d <时({}n a 是递减数列),n S 有最大值. 例:在等差数列{}n a 中，120a =，前n 项和为n S ，且1015.S S =若对一切正整数n ，均有k n S S ≥ 成立，则正整数k =_____________．◆知识点4:等差数列前n 项和的性质1.等差数列中依次k 项之和232,,,k k k k k S S S S S -- 组成公差为2k d 的等差数列2.若等差数列的项数为()*2n n ∈N,则() 121,,n n n n nS a S n a a S S nd S a ++=+-==偶奇偶奇 3.若等差数列的项数为()*21n n -∈N ,则21(21)n n S n a -=-⋅(n a 是数列的中间项),1,n S n S S a S n--==偶奇偶奇 4.{}n a 为等差数列n S n ⎧⎫⇒⎨⎬⎩⎭为等差数列 5.若{}{},n n a b 都为等差数列,,n n S T 分别为它们的前n 项和,则2121m n m n a S b T --=例:设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10203101220S S ==，，则30S =（ ） A ．2330 B ．2130 C ．2530D ．2730例:设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7945a a =，则1317SS =（ ）A ．1317B ．5285C ．1713D ．8552【核心考点】◆考点1:等差中项1．等差数列{}n a 的前三项依次为x ，21x +，42x +，则x 的值为（ ） A ．55+x B ．21x +C ．2D ．02．已知32a =+32b =-a ，b 的等差中项为（ ）A 3B 2C 3D 2 3．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（ ） A ．4B ．8C ．32D ．644．已知{}n a 为等比数列，若231a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为58，则1234a a a a ⋅⋅⋅的值为（ ）．A ．5B ．512C ．1024D ．64◆考点2:等差数列的证明1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若101221210S S -=-则公差d =（ ） A ．1B ．2C ．－1D ．－22．已知等比数列{}n a 满足11a =，12q =，则（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差等列B ．数列{}2log n a 是等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列D ．数列{}2log n a 是递增数列3．数列{n a }中()*115332N n n a a a n +==-∈，，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（ ） A ．67a a ⋅ B ．78a a ⋅ C ．89a a ⋅ D ．910a a ⋅4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =且()22n n n n S a S a n =-≥，则10S =（ ）A ．18-B ．110C ．310D ．25◆考点3:等差数列的性质1．已知数列{}n a 满足()1122n n n a a a n -+=+≥，24612a a a ++=，1359a a a ++=，则34a a +=（ ） A ．6B ．7C ．8D ．92．已知数列{}n a 是等差数列，且满足31150a a +=，则678a a a ++等于（ ） A ．84B ．72C ．75D ．563．在等差数列{}n a 中，261018a a a +=-，则48a a +=（ ） A ．8B ．12C ．16D ．204．设{}n a 是等差数列，且1212a a +=，3418a a +=，则56a a +=（ ） A ．12-B ．0C ．6D ．245．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若288a a +=，则9S =（ ） A ．20B ．27C ．36D ．456．等差数列{}n a 满足22474729a a a a ++=，则其前10项之和为（ ）A ．-9B ．-15C ．15D ．±157．已知等差数列{}n a 且()()26610143224a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．26B ．39C ．104D ．52◆考点4:已知Sn 和an 的关系求通项公式1．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，12n n a S +=.则2021a =（ ） A ．20203B ．20193C ．20202D ．201923⨯2．各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝（ ） A ．(5)2n n + B ．(51)2n n + C ．3(1)2n n + D ．(3)(5)2n n ++3．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则（ ） A ．1n a =B ．{}n a 是等差数列C ．{}n a 是等比数列D ．430S =-4．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，则2020S =（ ） A ．202021-B ．202121-C ．2020122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2021122⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知数列{a n }满足a 1＝1，S n ＝(1)2nn a +. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n ＝(－1)n ＋1121n n n a a a ++，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 2 021.◆考点5:等差数列前n 项和的性质1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,17m m S S ==，则3m S =（ ） A ．45B ．32C ．47D ．542．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若57399a a =，则913S S =（ ） A ．13B ．12C ．2D ．33．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20212020120212020S S =+且13a =，则( ) A ．21n a n =+ B ．1n a n =+ C ．22n S n n =+D ．24n S n n =-4．设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=-，则89a b =（ ） A ．3552B ．3150C ．3148D ．35465．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12S =，25S =，则3S =（ ） A ．11B ．7C ．9D ．126．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和S n ′，如果71427n n S n S n '+=+ (n ∈N *)，则1111a b 的值是（ ） A ．74B ．32C ．43D ．7871◆考点6:含绝对值的等差数列前n 项和1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35a =-，624S =- （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项的和n T .2．已知在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中，423222,102a a S -==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .◆考点7:数列的奇数项和偶数项性质1．已知等差数列{}n a 共有21n 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则1n a +的值为（ ）． A ．30B ．29C ．28D ．272．(多选)下列结论中正确的有（ ）A ．若{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列B ．若{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，则数列n S ，2n S ，3n S ，也是等差数列C ．若等差数列{}n a 的项数为()21n n >，它的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇，则1S n Sn +=奇偶D ．若等差数列{}n a 的项数为()211n n +>，它的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇，则1S n S n+=奇偶3．在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S S 奇偶＝1113，则公差d ＝________. 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．5．已知等比数列{}n a 共有32项，其公比3q =，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{}n a 的所有项之和是（ ） A ．30B ．60C ．90D ．1206．已知项数为奇数的等比数列{}n a 的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ） A ．5B ．7C ．9D ．117．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10◆考点8:等差数列前n 项和的函数特征1．已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和.则“43a a >”是“对于任意*n N ∈且3n ≠，3n S S >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(多选)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，4110a a +>，780a a ⋅<，则（ ） A ．数列{}n a 是递增数列 B ．96S S >C ．当7n =时，n S 最大D ．当0n S >时，n 的最大值为143．(多选)等差数列{an }的前n 项和记为Sn ，若a 15>0，a 16<0， 则（ ） A ．a 1>0B ．d <0C ．前15项和S 15最大D ．从第32项开始，Sn <0。