分析力学第二章虚功原理及应用

刚体的虚功原理和应用1. 背景介绍刚体是物理学中一个重要的概念，它指的是在力的作用下，其形状和大小不发生变化的物体。

虚功原理是研究刚体力学性质的一种重要方法，它在解决刚体静力学和动力学问题中起到关键作用。

本文将介绍刚体的虚功原理以及其在实际应用中的相关案例。

2. 刚体的虚功原理虚功原理是指刚体平衡条件的一个重要理论基础。

它可以通过物理实验和数学推导来证明。

2.1 虚位移虚功原理中关键的概念是虚位移。

虚位移是指在物体受力作用下，被限制在某些条件下的位移。

虚位移的特点是没有实际发生位移，而是一种假想的状态。

虚位移可以用来推导刚体平衡条件。

2.2 刚体平衡条件刚体平衡条件是指刚体处于平衡状态时，作用在刚体上的各个力和力矩之间存在一种平衡关系。

根据虚功原理，刚体平衡的必要条件是所有作用在刚体上的外力和力矩的虚功之和等于零。

这一条件可以用数学表达式来表示。

3. 刚体虚功应用案例3.1 杠杆原理虚功原理可以应用于杠杆的分析。

杠杆是一种常见的刚体应用，它可以将力的大小和方向进行调整。

虚功原理可以用来解释杠杆的工作原理，以及杠杆的力矩平衡条件。

3.2 倾斜平面虚功原理还可以应用于倾斜平面的分析。

倾斜平面是一个倾斜角度不为零的平面，它可以改变物体所受到的重力和摩擦力。

通过虚功原理的分析，我们可以推导出倾斜平面上物体的受力情况，以及物体在倾斜平面上的静态和动态平衡条件。

3.3 扭矩原理除了杠杆和倾斜平面，虚功原理还可以应用于扭矩的分析。

扭矩是指刚体受到力矩作用时所产生的转动效应。

虚功原理可以帮助我们理解扭矩的平衡条件，以及在实际应用中如何利用扭矩来实现机械工作。

4. 总结刚体的虚功原理是一种重要的力学方法，在解决刚体平衡和运动问题中具有广泛的应用。

本文介绍了虚功原理的概念、刚体平衡条件和一些相关应用案例。

通过对虚功原理的学习和理解，我们可以更好地理解刚体的力学性质，并在实际应用中应用这一原理。

虚功原理ΔCΔCyΔCxiP静定结构结构位移计算§4.1 应⽤虚⼒原理求刚体体系位移1、结构的位移：结构在荷载作⽤下，要产⽣内⼒和变形，结构的变形引起结构的位移，位移⼀般分为线位移和⾓位移两种，线位移是指结构上点的移动，⾓位移是指杆件横截⾯产⽣的转动。

2、产⽣位移的主要原因产⽣位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作⽤、②温度改变和材料胀缩、③⽀座移动和制造误差。

(1)荷载使静定结构产⽣内⼒、变形、位移；（2）温度改变或材料胀缩使静定结构不产⽣内⼒、但能产⽣变形、位移；（3）⽀座移动或制造误差使静定结构不产⽣内⼒变形、但能产⽣位移；§4.2 结构位移计算的⼀般公式如结构在荷载、温度改变、⽀座移动等因素作⽤下⽽发⽣了图1所⽰变形和位移，这是结构的实际的位移状态。

要利⽤虚功⽅程求位移Δi2（状态②中i ⽅向的位移）。

应先虚拟⼒状态：在欲求位移处沿着求位移的⽅向，加上与所求位移相应的⼴义单位荷载（如图2）。

求出虚拟⼒状态的内⼒和反⼒。

由虚功⽅程，即得平⾯杆系结构位移计算的⼀般公式：该式适⽤于：①静定结构和超静定结构；②弹性体系和⾮弹性体系；③各种因素产⽣的位移计算。

4.3 荷载作⽤下的位移计算如果弹性体系由荷载产⽣了内⼒（M P ，N P ，Q P ），⽽内⼒产⽣的变形可由材料⼒学公式得到：(a )M PM(b )注意：1．该式可⽤来求弹性体系由荷载产⽣的位移；2．该式既⽤于静定结构也⽤于超静定结构；3．第⼀、⼆、三项分别表⽰弯曲变形、轴向变形、剪切变形产⽣的位移；4．结构不同简化为：梁、刚架只考虑弯曲变形：桁架只有轴向变形：组合结构：对于具有弹性⽀承和内部弹性联结的结构，在位移计算公式中应增加⼀项弹性⼒的虚功项：N i N P /k ，N i ，N P 分别为虚拟状态和实际状态中弹性⽀承和内部弹性联结的弹性⼒，两者⽅向⼀致时，乘积为正，否则取负，k 是弹性⽀承和内部弹性联结的为刚度系数。

虚功原理(物理竞赛)§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F δ。

虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。

这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。

三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F 有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。

这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。

第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。

②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。

一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在杆子的质心上。

因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。

③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。

现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。

列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。

为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。

这种方法既方便而又不容易搞错。

在列方程时必须要注意这个问题。

∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B 取正，∴此力的虚功为负的，即：0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。

虚功原理
在物理学中，虚功原理是一个重要的概念，它在力学、电磁学等领域有着广泛的应用。

虚功原理是基于能量守恒和力学平衡的原理，通过考虑系统内部各部分之间的相互作用，从而得出系统达到平衡的条件。

1. 虚功原理的基本概念
在力学中，虚功原理可以简单地表述为：在一个平衡的力学系统中，作用在系统内所有部分的外力所作的虚功之和为零。

这意味着系统内各个部分之间的相互作用满足一个使得整个系统保持平衡的条件。

2. 虚功原理在力学中的应用
在力学中，虚功原理可以应用于弹簧系统、摩擦力系统等各种力学问题的分析中。

通过将系统分解为各个部分，并考虑各部分之间的相互作用，可以利用虚功原理来求解系统的平衡条件和运动规律。

3. 虚功原理在电磁学中的应用
在电磁学中，虚功原理同样具有重要的作用。

在电磁场中，电荷之间的相互作用可以通过虚功原理来描述，从而推导出麦克斯韦方程组等电磁学的基本规律。

4. 虚功原理的应用举例
以简单的弹簧振子系统为例，可以通过虚功原理来推导出系统的振动方程，并进一步分析系统的动力学行为。

类似地，可以将虚功原理应用于其他复杂系统的分析中，从而揭示系统的运动规律和平衡条件。

5. 结语
虚功原理作为力学和电磁学中的重要原理之一，对于系统的分析和理解具有重要意义。

通过应用虚功原理，可以更深入地理解自然界中的各种物理现象，为科学研究和工程应用提供有力的理论支持。

在今后的研究和应用中，虚功原理必将继续发挥重要作用，推动科学技术的发展和进步。

虚功原理概念
虚功原理是力学中的重要概念，主要运用于静力学和弹性力学的问题中。

该原理是通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力之间的差异，来推导出力学问题的解析解。

虚功原理的基本思想是，如果一个力系统处于平衡状态，则在任意虚位移下，系统所受到的合力必然为零。

这意味着在虚位移下，系统没有做任何实际的功。

因此，可以根据虚功原理来解决平衡问题。

虚功原理的应用主要涉及到两个方面：平衡条件和变形计算。

在平衡条件中，通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力，可以得出力的平衡条件。

在变形计算中，可以通过比较系统在实际变形和虚位移情况下的变形能量，来计算系统的位移和应变。

虚功原理的使用需要考虑以下几个要点：
1. 虚位移应满足几何约束条件，即虚位移必须满足系统的边界条件和约束条件。

2. 虚功原理可以应用于单个物体或整个力系统，这取决于具体的力学问题。

3. 虚功原理可以推广到三维空间中的力学问题，并且可以应用于弹性体和非弹性体。

4. 虚功原理还可以推广到动力学问题，即考虑物体的运动和加速度。

总之，虚功原理是力学中非常重要的概念，可以用于平衡条件
和变形计算。

通过应用虚功原理，可以简化力学问题的分析，得到解析解。