(新高考)2021届高三11月高考模拟特供卷 数学(四)教师版

浙江省嘉兴市2021届新高考数学仿真第四次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若1tan 2α=，则cos2=α( ) A ．45-B ．35C ．45D ．35【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果． 【详解】 ∵1tan 2α=， ∴22222211cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++， 故选D 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 【答案】C 【解析】 【分析】根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭,即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.【详解】设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1'23h x m x=-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫+∞⎪+⎝⎭上单调递减, 当1023x m <<+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递增.故在123x m =+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪++⎝⎭. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当21t e >时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减； 当210t e <<时, ()'0k t >,()k t 在210,e⎛⎫⎪⎝⎭递增. 故在21t e =处()h t 取得极大值,为22221111ln 1=k e e e e⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为21e. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题. 3．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．128【答案】B 【解析】 【分析】列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 【详解】第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.4．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．3【答案】B 【解析】 【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果.过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB pTS p∴==. 故选：B . 【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 5．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-5【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i|22345=+=， 得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为5-．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 6．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ） A ．2 B ．5 C ．1 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.故选:B . 【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.7．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等【答案】B 【解析】 【分析】由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论． 【详解】 对于甲，179888282939185.86x +++++=≈；对于乙，272748189969985.26x +++++=≈，故A 正确；甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误；对于乙，方差22106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189852+=，故D 正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．8．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π= D ．e e x x y -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误；D 中，()xxy f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.9．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.10．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ． B ．C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.【详解】每一次成功的概率为，服从二项分布，故.故选：. 【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.11．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得01m <<，(1)0f =，则()f x 为减函数，从而得出函数|()|f x 的单调性，可比较a 和b ，因为()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限， 所以01m <<，(1)0f =，所以函数()f x 为减函数，函数|()|f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 又因为31382412422<=<=<，所以a b <，又|(0)|1c f m ==-，2|(2)|f m m =-，则|2|(2)||(0)|10f f m -=-<， 即|(2)||(0)|f f <， 所以a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.12．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ） A ．160 B ．240C ．280D ．320【答案】C 【解析】 【分析】首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数，二者相乘即可求解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181rr r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为7271771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=. 故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省普通高中2021届高考数学仿真试卷(四)一、单选题（本大题共15小题，共60.0分）1.设集合A={y|y=1nx,x≥1}，B={y|y=1−2x,x∈R}，则A∩B=()A. [0.1)B. [0,1]C. (−∞,1]D. [0,+∞)2.A. −2B. − 12C. 12D. 23.下列函数中，值域是(0,+∞)的是A. y=B. y=(x∈(0,+∞))C. y=(x∈N)D. y=4.已知向量a⃗=(x+1,2)，b⃗ =(−1,x).若a⃗与b⃗ 垂直，则x=()A. 1B. √2C. 2D. 45.欧拉三角形定义如下：△ABC的三个欧拉点(顶点与垂心连线的中点)构成的三角形称为△ABC的欧拉三角形．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，△ABC的垂心为P，AP，BP，CP的中点分别为A1，B1，C1，△A1B1C1即为△ABC的欧拉三角形，则向△ABC中随机投掷一点，该点落在△PA1B1内的概率为()A. 19B. 18C. 332D. 7646.方程y=k(x−2)表示()A. 过点(−2,0)的一切直线B. 过点(2,0)的一切直线C. 过点(2,0)且不垂直于x轴的一切直线D. 过点(2,0)且除去x轴的一切直线7.如图所示，甲、乙、丙是三个空间立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是()①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱．A. ③②④B. ②①③C. ①②③D. ④③②8.已知两个平面垂直，下列四个命题中，正确命题的个数是()①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．A. 0B. 1C. 2D. 39.设函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A. 13B. 3C. 6D. 910.sin275°−cos275°的值是()A. 12B. √32C. −12D. −√3211.4、过点M(2,)，且与圆x2+y2=10相切的直线方程是A. x+y=B. x+y=10C. 4x+6y==D. 2x+y=1012.在△ABC中，sinAsinBsinC=18，且△ABC面积为1，则下列结论不正确的是()A. ab|a−b|<8B. ab(a+b)>8C. a(b2+c2)<16D. a+b+c>613.已知函数则函数的所有零点之和是()A. B. C. D.14.下列结论正确的是()A. 当且时，B. 当时，C. 当时，的最小值为2D. 当时，无最大值15.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则该数列的第1项等于()A. 27B. 163C. 812D. 8二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）16.某县中学高二年级文科班共有学生350人，其中，男生70人，女生280人，为了调查男女生数学成绩性别差异，现要从350名学生中抽取50人，则男生应抽取______ 人．17.分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是______．18.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a+b=5，sinCsinAsinB =3√72，c=4b，则△ABC的面积为______．19.若直线ax+4y+1=0与直线2x+y−2=0互相平行，则a的值等于______ ．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）20.如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC//PD，且PD=2EC，(1)求证：BE//平面PDA；(2)若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；(3)若PDAD=√2，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．(n∈N∗)，数列{b n}中，b n=a n−a n+1．21.设数列{a n}的通项公式是a n=(2n+1)×12n−1(Ⅰ)若数列{b n}的前n项和T n<λ对于n∈N∗恒成立，求λ的最小值；(Ⅱ)利用裂项相消法求数列{a n}的前n项和S n，并写出数列{(An+B)×q n}(q≠0且q≠1)的前n项和S n′.22.在三角形ABC的对边分别为a，b，c，且b=acosC+csinA(1)求角A的大小(2)若a=3，求三角形ABC的面积的最大值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵集合A={y|y=1nx,x≥1}={x|x≥0}，B={y|y=1−2x,x∈R}={x|x<1}∴A∩B={x|0≤x<1}故选：A．根据对数函数和指数函数图象化简集合A和B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．本题主要考查对数函数和指数函数的值域，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2.答案：D解析：本题考查对数的运算，属于基础题．解：．故选D．3.答案：D解析：本小题主要考查二次函数的值域、绝对值函数的值域、分式函数的值域等基础知识，考查运算求解能力．解：对于A，，值域是[0,+∞)，故错；对于B，(x∈(0,+∞))值域是{y|y>1}，故错；对于C，(x∈N)，由于x∈N，值域中数是一系列孤立的数，不是(0,+∞)，故错；对于D，，值域是R+，故正确；故选：D．4.答案：A解析：解：根据题意，向量a⃗=(x+1,2)，b⃗ =(−1,x)．若a⃗与b⃗ 垂直，则有a⃗⋅b⃗ =(x+1)×(−1)+2x=x−1=0，解可得x=1；故选：A ．根据题意，由向量垂直的判定方法，有a ⃗ ⋅b ⃗ =(x +1)×(−1)+2x =x −1=0，解可得x 的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算公式，关键是得到关于x 的方程．5.答案：D解析：解：以BC 所在的直线为x 轴以线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，由题意可得：AO =√AB 2−BO 2=√32−12=2√2， B(−1,0)，C(1,0)，A(0,2√2)，设垂心P(0,b)，则BP ⊥AC ，即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，而AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2√2)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,b)，∴1×1−2√2b =0，解得b =2√2=√24，即P(0,√24)，设P 到AB 的距离为d ，则S △ABC =12BC ⋅OA =2⋅12⋅AB ⋅d +12⋅BC ⋅OP ，即2×2√2=2×3d +2×√24，解得：d =7√212， 所以S △PAB =12AB ⋅d =12×3×7√212=7√28， 因为A 1，B 1是PA ，PB 的中点，所以A 1B 1是三角形PAB 的中位线， 所以S PA 1B 1=14S △PAB =7√232，而S △ABC =12BC ⋅OA =12×2×2√2=2√2，所以S △PA 1B 1S △ABC=7√2322√2=764，由几何概型的概率公式可得该点落在△PA 1B 1内的概率为764， 故选：D ．由几何概型的概率求法可得点落在△PA 1B 1内的概率为三角形PA 1B 1的面积与三角形ABC 的面积之比，由题意可得三角形ABC 的面积，建立适当的平面直角坐标系，由P 为垂心可得，BP ⊥AC ，即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得P 的坐标，再由等面积法求出P 到AB 的距离，进而求出三角形PAB 的面积，而A 1，B 1为中点，所以由相似三角形面积之比等于相似比的平方可得三角形PA 1B 1的面积，进而求出三角形PA 1B 1的面积与三角形ABC 的面积之比，即求出概率． 考查几何概型的概率求法及相似三角形性质，属于中档题．6.答案：C解析：由方程y =k(x −2)知直线过点(2,0)且直线的斜率存在，可得结论．本题考查恒过定点的直线，容易误选B．解：由方程y=k(x−2)知直线过点(2,0)且直线的斜率存在．故选：C．7.答案：D解析：解：根据甲、乙、丙的三视图，得出甲是圆柱体，乙是三棱锥，丙是圆锥；∴甲乙丙对应的标号应是④③②．故选：D．根据甲、乙、丙的三视图，得出甲、乙、丙各个几何体几何特征，进而可得答案．本题考查了空间几何体的三视图的知识，解题时应根据几何体的三视图能判断该几何体是什么，是基础题．8.答案：B解析：利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断即可．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题．解：对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α，∴l⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，条件中“任意一点”有可能就在交线上，这时候再作垂线，垂线不一定在第一平面里面，此垂线不一定垂直于另一个平面，故④错误．故选：B．9.答案：C解析：解：f(x)的周期T=2πω，函数图象平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以π3=k⋅2πω，k∈Z.令k=1，可得ω=6．故选：C．函数图象平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．10.答案：B解析：解：sin275°−cos275°=−cos150°=cos30°=√32．故选：B．由余弦函数的二倍角公式把sin275°−cos275°等价转化为−cos150°，再由诱导公式进一步简化为cos30°，由此能求出结果．本题考查余弦函数的二倍角公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式的灵活运用．11.答案：D解析：12.答案：C解析：解：S=12absinC，S=12bcsinA，S=12casinB，sinAsinBsinC=18，且△ABC面积为S=1，1=18(abc)2sinAsinBsinC，可得abc=8，由|a−b|<c<a+b，可得ab|a−b|<abc=8，ab(a+b)>8，故A，B正确；a+b+c≥3√abc3=3×2=6，当且仅当a=b=c取得等号，由于sinAsinBsinC=18≠3√38，故等号不成立，可得a+b+c>6，故D正确；由a(b2+c2)≥2abc=16，故C错误．故选：C．由三角形的面积公式可得abc=8，由三角形的边角关系和基本不等式可判断A，B，D正确；C错误．本题考查三角形的面积公式，以及三角形的边角关系、基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．13.答案：B解析：试题分析：如图分别作出函数f(x)和g(x)的图象如下：由图象可知：由=0得：g(x)=2或g(x)=−2；由g(x)=2得到：，解得；由g(x)=−2得到：，解得；故得函数的所有零点之和是：，故选B。

高三文科数学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x x x =--≥，{}23B x x =-<≤，则A B =I （ ） A ．[)2,3- B ．[]2,1--C ．[]1,1-D ．[)1,3【答案】B 2．()()231i 1i +=-（ ）A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--【答案】D3．已知F 为双曲线()22:40C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．2m D ．4m【答案】A4．一次数学考试中，4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为（ ） A ．516B ．38C ．78D ．1516【答案】C5．设()f x 是周期为4的奇函数，当01x ≤≤时，()()1f x x x =+，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．34-B ．14-C ．14D ．34【答案】A6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A．2B．52C．3 D．72【答案】D7．我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想．如图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入110011a =，2k =，6n =，则输出b 的值为（ ）A ．19B ．31C ．51D ．63【答案】C8．在等比数列{}n a中，2a =，3a 112011172017a a a a +=+（ ）A ．29B ．49C ．23D ．89【答案】D9．某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系是：sin cos T a t b t =+，()0,t ∈+∞，其中a ，b 是正实数．如果该房间的最大温差为10摄氏度，则a b +的最大值是（ ） A．B ．10C．D ．20【答案】A10．设函数()()41lg 121f x x x =+-+，则使得()()324f x f x ->-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U【答案】D11．已知抛物线2:4C y x =，点()2,0D ，()4,0E ，M 是抛物线C 异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接MD ，ND 并分别延长交拋物线C 于点P ，Q ，连接PQ ，若直线MN ，PQ 的斜率存在且分别为1k ，2k ，则21k k =（ ） A ．4 B ．3 C ．2D ．1【答案】C12．若函数()f x 满足()()3e xxf x f x x '-=，()10f =，则当0x >时，()f x （ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设向量,a b 满足1==a b ，12=⋅﹣a b ，则|2|=+a b ____________．【答案】14．若,x y 满足约束条件20,1,70,x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≥≤则y x 的最大值是__________．【答案】615．设等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足201611S S -=，则2017S =__________． 【答案】2017201516．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的．这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm 且以每秒1cm 等速率缩短，而长度以每秒20cm 等速率增长．已知神针的底面半径只能从12cm 缩到4cm 为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm 时其体积最大．假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为_________cm ． 【答案】4三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知ABC △的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )B c A a C b +=．（1）证明：A ，B ，C 成等差数列； （2）若ABC △b 的最小值． 【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）因为2cos (cos cos )B c A a C b +=，所以由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin B C A A C B +=， 即2cos sin()sin B A C B +=．在ABC △中，sin()sin A C B +=且sin 0B ≠，所以1cos 2B =． 因为B ∈π（0，），所以3B π=．又因为A B C++=π，所以223A C Bπ+==．所以A，B，C成等差数列．（2）因为1sin2ABCac B==△S，所以6ac=．所以222222cos6b ac ac B a c ac ac=+-=+-=≥，当且仅当a c=时取等号．所以b18．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且60DAB∠=︒，EF AC∥，2AD=，EA ED EF===（1）证明：AD BE⊥；（2）若BE=F ABD-的体积．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）如图，取AD的中点O，连接EO，BO．因为EA ED=，所以EO AD⊥．因为四边形ABCD为菱形，所以AB AD=，因为60DAB∠=︒，所以ABD△为等边三角形，所以BA BD=，所以BO AD⊥．因为BO EO O=I，所以AD⊥平面BEO．因为BE⊂平面BEO，所以AD BE⊥．（2）在EAD△中，EA ED=，2AD=，所以EO=．因为ABD△为等边三角形，所以2AB BD AD===，BO=．因为BE=222EO OB BE+=，所以EO OB⊥．又因为EO AD⊥，AD OB O=I，所以EO⊥平面ABCD．因为EF AC∥，11222ABDS AD OB=⋅⋅=⨯△=所以1133F ABD E ABD ABDV V S EO--==⋅==△．19．某地区2008年至2016年粮食产量的部分数据如下表：（1）求该地区2008年至2016年的粮食年产量y与年份t之间的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2008年至2016年该地区粮食产量的变化情况，并预测该地区2018年的粮食产量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆn ni i i ii in ni ii it t y y t y nt ybt t t nt====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bt=-．【答案】（1）()ˆ 6.52012260.2y t=-+；（2）预测该地区2018年的粮食产量为299.2万吨．【解析】（1）由所给数据可以看出，粮食年产量y与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得420245x--+++==，2111019293.25y--+++==，∴()()()()()()2222242121121942950 3.2260ˆ 6.540422450b-⨯-+-⨯-+⨯+⨯-⨯⨯===-+-++-⨯，ˆ 3.2 6.50 3.2a=-⨯=．由上述计算结果，知所求线性回归方程为()()ˆˆˆ2572012 6.52012 3.2y b t a t-=-+=-+，即()ˆ 6.52012260.2y t=-+．（2）由（1）知，ˆ 6.50b=>，故2008年至2016年该地区粮食产量逐年增加，平均每两年增加6.5万吨．将2018t =代入（1）中的线性回归方程，得ˆ 6.56260.2299.2y=⨯+=，故预测该地区2018年的粮食产量为299.2万吨． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为，点()2,1M 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线平行于OM ，且与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．若AOB ∠为钝角，求直线在y 轴上的截距m 的取位范围．【答案】（1）22182x y +=；（2）()(U ．【解析】（1）依题意有22411,a b =⎨⎪+=⎪⎩解得228,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程为22182x y +=． （2）由直线平行于OM ，得直线的斜率12OM k =， 又在y 轴上的截距为m ，所以直线的方程为12y x m =+．由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-=． 因为直线与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，所以()()2224240m m ∆=-->，解得22m -<<．设()()1122,,,A x y B x y ，又AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<u u u r u u u r且0m ≠， 则121212121122OA OB x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ()212125042m x x x x m =+++<，将122x x m +=-，21224x x m =-代入上式，化简整理得22m <，即m << 故m的取值范围是()(U ．21．设函数()e ln xf x x x =-，()xg x =，其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数．（1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：()32f x >． 【答案】（1）()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；（2）见解析．【解析】（1）因为())0x g x x =>，所以()321e 2x g x x x -⎛⎫'=- ⎪⎝⎭．所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>．故()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．（2）∵()e ln x f x x x =-，从而()32f x >等价于13223ln e 2xx x x+>．由（1）知()g x 在()0,+∞的最小值为1212g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设函数()323ln 2x h x x+=，则()5253ln 42h x x x -⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭．所以当560,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当56e ,x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<．故()h x 在560,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递増，在56e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，从而()h x 在()0,+∞的最大值为55642e e 3h -⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为381e 4>34e >15242e 3>．综上，当0x >时，()()g x h x >，()32f x >． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为cos sin 0m ρθθ-=．（1）若1m =，求直线交曲线C 所得的弦长；（2）若C 上的点到直线的距离的最小值为1，求m 的值． 【答案】（1（2）6m =±．【解析】（1）曲线C 的普通方程为224x y +=． 当1m =时，直线的普通方程为10x -=． 设圆心到直线的距离为d ，则12d ==． 从而直线交曲线C所得的弦长为2=．（2）直线的普通方程为0x m -=． 则圆心到直线的距离2m d =． ∴由题意知212m-=，∴6m =±． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x a =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（2）若x ∀∈R ，()3f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ；（2）(][),24,-∞-+∞U ．【解析】（1）当1a =-时，()11f x x x =-++． 由()3f x ≥得113x x -++≥．当1x -≤时，不等式可化为113x x ---≥，即32x -≤， 此时不等式()3f x ≥的解集为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．当11x -<≤时，不等式可化为113x x -++≥，即23≥， 此时不等式()3f x ≥的解集为∅．当1x >时，不等式可化为113x x -++≥，即32x ≥， 此时不等式()3f x ≥的解集为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．综上知不等式()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ．（2）方法一：∵()1113f x x x a x x a a =-+---+=-≥≥，∴13a -≥或13a --≤，即4a ≥或2a -≤． ∴a 的取值范围是(][),24,-∞-+∞U ．方法二：若1a =，()21f x x =-，不满足题设条件．若1a <，()21,,1,1,21, 1.x a x a f x a a x x a x -++⎧⎪=-<<⎨⎪--⎩≤≥此时()f x 的最小值为1a -．若1a >，()21,1,1,1,21,.x a x f x a x a x a x a -++⎧⎪=-<<⎨⎪--⎩≤≥此时()f x 的最小值为1a -．所以x ∀∈R ，()3f x ≥的充要条件是13a -≥， 从而a 的取值范围是(][),24,-∞-+∞U ．。

山东省2021届高三数学新高考模拟试题卷四第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．[0,1] C ．(0,2] D ．[－1,0]2．若复数z ＝1＋i1＋a i (i 表示虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．0C ．－12D ．－13．设{a n }为公差不为0的等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p ＋q >k ＋l ”是“a p ＋a q >αk ＋a l ”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知a ＝2，b ＝log 2 13，c ＝log 13，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个(m 为正整数)，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是( )A.18B.17C.16D.156．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BCAC ＝5－12.根据这些信息，可得sin 234°＝( )A.1－254 B ．－3＋58 C ．－5＋14 D ．－4＋587．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，F 1关于直线l 的对称点F ′1在以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B.3 C ．2 D ．38．已知△ABC 为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋2μ的最大值为( )1312A.12 B ．1＋33 C.52 D ．2＋32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知a >b ≥2，则( )A ．b 2<3b －aB ．a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2C ．ab >a ＋b D.12＋2ab >1a ＋1b10．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则△ADE 在翻折过程中，下列说法正确的是( )A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使DE ⊥A 1C C ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置，使MB ⊥平面A 1DE11．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论正确的是( )A ．曲线C 经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)B ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2 C ．曲线C 围成区域的面积大于4πD ．方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy >0)表示的曲线C 在第一象限和第三象限12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)满足f (x 0)＝f (x 0＋1)＝－12，且f (x )在(x 0，x 0＋1)上有最小值，无最大值．则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝－1 B ．若x 0＝0，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π6 C ．f (x )的最小正周期为3D ．f (x )在(0,2 019)上的零点个数最少为1 346个第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)14．已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3，均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是________．15．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，若|AF |＝4|BF |，则p ＝________，三角形CDF 的面积为________． 16．在三棱锥P ­ ABC 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且AB ＝2，P A ＝PC ＝5，PB 与底面ABC 所成的角的正弦值为13，则三棱锥P ­ ABC 的外接球的体积为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)如图，在△ABC 中，C ＝π4，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，且tan ∠CBD ＝12.(1)求sin A ；(2)若CA →·CB →＝28，求AB 的长．18.(12分)在①a 2n ＋1－a 2n ＝3(a n >0)，②a 2n －a n a n －1－3a n －1－9＝0，③S n ＝n 2－2n ＋2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知：数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，________. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对大于1的自然数n ，是否存在大于2的自然数m ，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．19．(12分)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AB ＝2DC ＝2BC ，E 为AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，使得点A 到点P 位置，且PE ⊥EB ，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点(与点B ，C 不重合)．(1)证明：平面EMN ⊥平面PBC ；(2)是否存在点N ，使得二面角B ­ EN ­ M 的余弦值为66，若存在，确定N 点位置；若不存在，说明理由．20．(12分)沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大．为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群．经研究，每只蝗虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．∑i ＝17x i ＝192，∑i ＝17y i ＝569，∑i ＝17x i y i ＝18 542，∑i ＝17x 2i＝5 414，∑i ＝17z i ＝25.2848，∑i ＝17x i z i ＝733.7079.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫其中z i ＝ln y i ，z ＝17∑i ＝17z i (1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c e dx (其中e ＝2.718…自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程．(计算结果精确到小数点后第三位)(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p (0<p <1)．①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为f (p )，求f (p )的最大值，并求出相应的概率p . ②当f (p )取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差．附：线性回归方程系数公式b ^＝∑i ＝1n(x i －x )·(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .21．(12分)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，定点A (1,0)，P 为平面内一动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点Q (2，3)的直线l 与C 交于E ，F 两点，已知点D (2,0)，直线x ＝x 0分别与直线DE ，DF 交于S ，T 两点．线段ST 的中点M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝e x －ax －cos x ，其中a ∈R .(1)求证：当a ≤－1时，f (x )无极值点；(2)若函数g (x )＝f (x )＋ln(x ＋1)，是否存在a ，使得g (x )在x ＝0处取得极小值？并说明理由． 四1．答案：A解析：求得A ＝[－1,2]，B ＝[0,4)，所以A ∩B ＝[0,2]，故选A. 2．答案：D解析：设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ，解得a ＝－1， 故选D. 3．答案：D解析：设等差数列的公差为d ， a p ＋a q >a k ＋a l ⇒a 1＋(p －1)d ＋a 1＋(q －1)d >a 1＋(k －1)d ＋a 1＋(l －1)d ⇒d [(p ＋q )－(k ＋l )]>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ d >0p ＋q >k ＋l 或⎩⎪⎨⎪⎧d <0p ＋q <k ＋l， 显然由p ＋q >k ＋l 不一定能推出a p ＋a q >a k ＋a l ， 由a p ＋a q >a k ＋a l 也不一定能推出p ＋q >k ＋l ，因此p ＋q >k ＋l 是a p ＋a q >a k ＋a l 的既不充分也不必要条件， 故选D. 4．答案：C 解析：a ＝＝∈(0,1)；b ＝log 2 13<0；c ＝＝log 23>1，∴c >a >b ，故选C. 5．答案：B解析：设首项为a 1，因为和为80， 所以5a 1＋12×5×4×m ＝80，故m ＝8－12a 1.因为m ，a 1∈N *，1-321312⎛⎫ ⎪⎝⎭121log 3所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，m ＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，m ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，m ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，m ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝10，m ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，m ＝1. 因此“公”恰好分得30个橘子的概率是17.故选B. 6．答案：C解析：由题可知∠ACB ＝72°， 且cos 72°＝12BC AC ＝5－14，cos 144°＝2cos 2 72°－1＝－5＋14， 则sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－5＋14. 故选C. 7．答案：C解析：方法一：直线l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，则不妨设直线l 为y ＝ba x ，∵F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点， ∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵F 1关于直线l 的对称点为F ′1，则F ′1为(x ，y )， ∴y x ＋c＝－a b ，y ＋02＝b a ·x －c2，解得x ＝b 2－a 2c ，y ＝－2abc ，∴F ′1⎝⎛⎭⎫b 2－a 2c，－2ab c ，∵F ′1在以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上， ∴⎝⎛⎭⎫b 2－a 2c －c 2＋⎝⎛⎭⎫－2ab c －02＝c 2， 整理可得4a 2＝c 2，即2a ＝c ， ∴e ＝ca＝2，故选C.方法二：由题意知|F ′1O |＝|OF 1|＝|OF 2|＝|F ′1F 2|， 所以三角形F ′1F 1F 2是直角三角形，且∠F ′1F 1F 2＝30°， 又由焦点到渐近线的距离为b ，得|F ′1F 1|＝2b ， 所以2b ＝3c ，所以e ＝2. 故选C. 8．答案：C解析：设△ABC 的边长为2，不妨设线段BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，则点A (0，3)、B (－1,0)、C (1,0)，以线段BC 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， 设点P (cos θ，sin θ)，则＝(－1，－3)，＝(1，－3)，＝(cos θ，sin θ－3)， 由于＝λ＋μ，则－λ＋μ＝cos θ，－3λ－3μ＝sin θ－3， 解得λ＝12－36sin θ－12cos θ，μ＝12－36sin θ＋12cos θ， 所以λ＋2μ＝⎝⎛⎭⎫12－36sin θ－12cos θ＋2⎝⎛⎭⎫12－36sin θ＋12cos θ＝32－32sin θ＋12cos θ ＝32－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 因此，λ＋2μ的最大值为52.故选C. 9．答案：BC解析：对于A ，因为a >b ≥2， 所以b 2－(3b －a )＝(a －b )＋b (b －2)>0， 故A 错误；对于B ，可通过作差证明，B 正确； 对于C ，ab －(a ＋b )＝ab －2a ＋ab －2b2＝a (b －2)＋b (a －2)2>0，故C 正确；对于D ，若12＋2ab >1a ＋1b 成立，当a ＝10，b ＝2时，左边＝右边＝35，故D 错误． 所以，选BC. 10．答案：AC解析：对A ，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，由∠A 1DE ＝∠MFB ，MF ＝12A 1D 为定值，FB ＝DE 为定值，由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB cos ∠MFB ， 所以FB 为定值，A 正确；若B 正确，即DE ⊥A 1C ，由∠AED ＝∠BEC ＝45°， 可得DE ⊥CE ，则DE ⊥平面A 1EC ，所以DE ⊥A 1E ，而这与DA 1⊥A 1E 矛盾，故B 错误；因为B 是定点，所以M 在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，故C 正确； 取CD 中点F ，连接MF ，BF ， 则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，由面面平行的判定定理得平面MBF ∥平面A 1DE ， 即有MB ∥平面A 1DE ，可得D 错误． 故选AC. 11．答案：BD解析：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2≤16⎝⎛⎭⎫x 2＋y 222， 解得x 2＋y 2≤4(当且仅当x 2＝y 2＝2时取等号)，则B 正确； 将x 2＋y 2＝4和(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2联立， 解得x 2＝y 2＝2，即圆x 2＋y 2＝4与曲线C 相切于点(2，2)，(－2，2)，(－2，－2)，(2，－2)， 则A 和C 都错误；由xy >0，得D 正确．综上，选BD. 12．答案：AC解析：(x 0，x 0＋1)区间中点为x 0＋12，根据正弦曲线的对称性知f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝－1， 故选项A 正确；若x 0＝0，则f (x 0)＝f (x 0＋1)＝－12，即sin φ＝－12，不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π6，满足条件，但f ⎝⎛⎭⎫13＝1为(0,1)上的最大值，不满足条件， 故选项B 错误；不妨令ωx 0＋φ＝2k π－5π6，ω(x 0＋1)＋φ＝2k π－π6，k ∈Z ，两式相减得ω＝2π3，即函数的周期T ＝2πω＝3，故C 正确；区间(0,2 019)的长度恰好为673个周期， 当f (0)＝0时，即φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )在开区间(0,2 019)上零点个数至少为673×2－1＝1 345， 故D 错误．故正确的是AC. 13．答案：660解析：若甲小区2人，乙、丙、丁其中一小区2人，共有C 26C 24A 33种，若甲小区3人，乙、丙、丁每小区1人，共有C 36A 33种，则不同的分配方案共有C 26C 24A 33＋C 36A 33＝660种．14．答案：⎝⎛⎭⎫3－5π6，＋∞ 解析：求导得f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0，得x ＝π6，易得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3＋λ， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2＋λ， 又由题意知f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2＋λ>0， 且f ⎝⎛⎭⎫π2＋f ⎝⎛⎭⎫π2>f ⎝⎛⎭⎫π6，由此解得λ的取值范围为λ>3－5π6. 15．答案：2 5解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)， 所以p ＝2，准线为x ＝－1， 设过焦点的直线方程为x ＝my ＋1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0，∴y 1y 2＝－4 ①又|AF |＝4|BF |，y 1＝－4y 2 ②由①②解得y 1＝－4，y 2＝1或y 1＝4，y 2＝－1， 所以|CD |＝|y 1－y 2|＝5，所以三角形CDF 的面积为12×2×5＝5.16．答案：9π2或8989π6解析：如图，取AC 中点O ′，因为P A ＝PC ＝5，AB ＝BC ， 所以AC ⊥PO ′，AC ⊥O ′B ，所以AC ⊥平面PO ′B ，所以平面PO ′B ⊥平面ABC ， 易知∠O ′BP 即为PB 与底面ABC 所成的角或补角． O ′B ＝2，O ′P ＝3，所以在△O ′PB 中， (2)2＋PB 2－2·2·PB ·cos ∠O ′BP ＝(3)2， 因为sin ∠O ′BP ＝13，当cos ∠O ′BP ＝223时，求得PB ＝3，此时∠PCB ＝∠P AB ＝90°.故PB 为三棱锥P ABC 外接球直径，V ＝9π2；当cos ∠O ′BP ＝－223时，求得PB ＝13，延长BO ′交外接球于Q ，则BQ 为圆O ′的直径， 则△QBP 的外接圆直径为球的直径， 由PQ 2＝BQ 2＋BP 2－2·BQ ·BP ·cos ∠QBP ＝(22)2＋⎝⎛⎭⎫132－2·22·13⎝⎛⎭⎫－223＝899， 球的直径为2R ＝PQ sin ∠QBP ＝89，可求得V ＝8989π6.综上外接球的体积为9π2或8989π6.17．解析：(1)设∠CBD ＝θ，因为tan θ＝12，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故sin θ＝55，cos θ＝255，则sin ∠ABC ＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×55×255＝45，cos ∠ABC ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×45－1＝35，故sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋2θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2θ＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫45＋35＝7210.(2)由正弦定理BC sin A ＝ACsin ∠ABC ， 即BC 7210＝AC45，所以BC ＝728AC ，又·＝22||||＝28，所以||||＝282，所以AC ＝42，又由AB sin C ＝AC sin ∠ABC ，得AB 22＝AC45，所以AB ＝5.18．解析：方案一：选条件①.(1)由a 2n ＋1－a 2n ＝3，得{a 2n }是公差为3的等差数列，由a 1＝1，得a 21＝1，则a 2n ＝3n －2，又a n >0，所以a n ＝3n －2.(2)根据a 1，a n ，a m 成等比数列，得到a 2n ＝a 1a m ，即3n －2＝3m －2，则有m ＝3n 2－4n ＋2，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝3n 2－4n ＋2∈N *，当n ＝2时，m min ＝6；方案二：选条件②.(1)因为a 2n －a n a n －1－3a n －1－9＝0⇔(a n ＋3)(a n －a n －1－3)＝0，因为a 1＝1，所以a n －a n －1－3＝0，则{a n }是等差数列，则a n ＝3n －2.(2)要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1a m ，即(3n －2)2＝3m －2，则有m ＝3n 2－4n ＋2，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝3n 2－4n ＋2∈N *，当n ＝2时，m min ＝6；方案三：选条件③.(1)由S n ＝n 2－2n ＋2，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 n ＝12n －3 n ≥2.(2)要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1a m ，即(2n －3)2＝2m －3，则有m ＝2n 2－6n ＋6，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝2n 2－6n ＋6∈N *，当n ＝2时，m min ＝2.19．解析：(1)证明：因为PE ⊥EB ，PE ⊥ED ，EB ∩ED ＝E ， 所以PE ⊥平面EBCD ，又PE ⊂平面PEB ，所以平面PEB ⊥平面EBCD ，而BC ⊂平面EBCD ，BC ⊥EB ，所以平面PBC ⊥平面PEB ，由PE ＝EB ，PM ＝MB 知，EM ⊥PB ，于是EM ⊥平面PBC . 又EM ⊂平面EMN ，所以平面EMN ⊥平面PBC .(2)假设存在点N 满足题意，取E 为原点，直线EB ，ED ，EP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz ，不妨设PE ＝EB ＝2，显然平面BEN 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)，设BN ＝m (0<m <2)，则＝(1,0,1)，＝(2，m,0)．设平面EMN 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则由·n 2＝·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (1，0，1)·(x ，y ，z )＝0(2，m ，0)·(x ，y ，z )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝02x ＋my ＝0， 故可取n 2＝(m ，－2，－m )，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝(0，0，1)·(m ，－2，－m )2m 2＋4＝－m 2m 2＋4， 依题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 2m 2＋4＝66， 解得m ＝1∈(0,2)，此时N 为BC 的中点．综上知，存在点N ，使得二面角B EN M 的余弦值为66， 此时N 为BC 的中点．20．解析：(1)根据散点图可以判断，y ＝c e dx 更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型；对y ＝c e dx 两边取自然对数，得ln y ＝ln c ＋dx ；令z ＝ln y ，a ＝ln c ，b ＝d ，得z ＝a ＋bx ； 因为＝∑i ＝17(x i －x )(z i －z )∑i ＝17 (x i －x )2＝＝40.1820147.7143≈0.272， ＝z －x ＝3.612－0.272×27.429≈－3.849；所以z 关于x 的回归方程为＝0.272x －3.849；所以y 关于x 的回归方程为＝e 0.272x－3.849.(2)①由f (p )＝C 35·p 3·(1－p )2，得f ′(p )＝C 35·p 2(1－p )(3－5p )， 因为0<p <1，令f ′(p )>0，得3－5p >0， 解得0<p <35； 所以f (p )在⎝⎛⎭⎫0，35上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫35，1上单调递减，所以f (p )有唯一的极大值为f ⎝⎛⎭⎫35，也是最大值；所以当p ＝35时，f (p )max ＝f ⎝⎛⎭⎫35＝216625； ②由①知，当f (p )取最大值时，p ＝35，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫5，35，所以X 的数学期望为E (X )＝5×35＝3，方差为D (X )＝5×35×25＝65.21．解析：(1)设以AP 为直径的圆的圆心为B ，切点为N ， 则|OB |＝2－|BA |，∴|OB |＋|BA |＝2.取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′P ，故|A ′P |＋|AP |＝2(|BO |＋|BA |)＝4>2.所以点P 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a ＝2，c ＝1，曲线C 方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋(2－3t )，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，直线DE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，故y S ＝y 1x 1－2(x 0－2)，同理y T ＝y 2x 2－2(x 0－2)；所以2y 0＝y S ＋y T ＝y 1x 1－2(x 0－2)＋y 2x 2－2(x 0－2)，即2y 0x 0－2＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2 ＝y 1t (y 1－3)＋y 2t (y 2－3) ＝2y 1y 2－3(y 1＋y 2)t [y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋3]③联立⎩⎨⎧ x ＝ty ＋(2－3t )3x 2＋4y 2－12＝0，化简得(3t 2＋4)y 2＋(12t －63t 2)y ＋9t 2－123t ＝0，所以y 1＋y 2＝63t 2－12t 3t 2＋4，y 1y 2＝9t 2－123t3t 2＋4 代入③得，2y 0x 0－2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9t 2－123t 3t 2＋4－3×63t 2－12t3t 2＋4t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9t 2－123t 3t 2＋4－3×63t 2－12t 3t 2＋4＋3＝－123t 12t ＝－3⇒3x 0＋2y 0－23＝0，所以点M 都在定直线3x ＋2y －23＝0上．22．解析：(1)证明：对f (x )求导得f ′(x )＝e x ＋sin x －a ，显然e x >0，sin x ≥－1，所以e x ＋sin x －a >0－1－a ≥0，即f ′(x )>0，所以f (x )在其定义域上是单调递增函数，故f (x )无极值点；(2)解法一：对g (x )求导得g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－a ＋sin x (x >－1)，又注意到g ′(0)＝2－a ，令g ′(0)＝2－a ＝0，得a ＝2.此时g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x ，令h (x )＝g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x ，则h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x ，显然，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上，e x >1>1(x ＋1)2，cos x >0，此时h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x >0，故h (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以h (x )>h (0)＝0，即g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x >0；又当x ∈(－1,0)时，令s (x )＝(x ＋1)2e x ，t (x )＝(x ＋1)2cos x ，则s ′(x )＝(x ＋1)(x ＋3)e x >0，s (x )是(－1,0)上的增函数，所以s (－1)<s (x )<s (0)，即0<s (x )<1，故存在区间(x 1,0)⊂(－1,0)，使s (x )>12，即e x >12(x ＋1)2；又0<(x ＋1)2<1，cos 1<cos x <1，即0<t (x )<1，故存在区间(x 2,0)⊂(－1,0)，使t (x )>12，即cos x >12(x ＋1)2，现设(x 1,0)∩(x 2,0)＝(x 0,0)，则在区间(x 0,0)上，e x >12(x ＋1)2，cos x >12(x ＋1)2同时成立，即h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x >0，故h (x )在(x 0,0)上是增函数，h (x )<h (0)＝0.从而存在区间(x 0,0)， 使得g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x <0；因此存在a ＝2，使得g (x )在x ＝0处取得极小值．解法二：x ＝0是f (x )的极小值点的必要条件是f ′(0)＝2－a ，即a ＝2. 此时，g ′(x )＝e x ＋11＋x －2＋sin x ，显然当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，g ′(x )＝e x ＋11＋x －2＋sin x≥1＋x ＋11＋x －2＋sin x >0；当－14<x <0时，(1＋x )⎝⎛⎭⎫1－x ＋32x 2＝1＋x 22(3x ＋1)>1⇒11＋x <1－x ＋32x 2.令m (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋x ＋x 22e －x ，m ′(x )＝－x 22e －x ≤0，故m (x )是减函数．因此，当x <0时，m (x )>m (0)＝1，即e x <1＋x ＋x 22.令h (x )＝sin x －12x ，h ′(x )＝cos x －12.当－1<x <0时，h ′(x )>cos 1－12>0，故h (x )在(－1,0)上单调递增．因此，当－1<x <0时，h (x )<h (0)＝0，即sin x <12x .故当x ∈⎝⎛⎭⎫－14，0时，g ′(x )＝e x ＋11＋x －2＋sin x≤⎝⎛⎭⎫1＋x ＋x22＋⎝⎛⎭⎫1－x ＋32x 2－2＋x 2＝2x 2＋x 2<0；因此，a ＝2时x ＝0是g (x )的极小值点．。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（4）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,3,4}P =，{3,4,5}Q =，则()U P Q =（ ）A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5}D.{1,2}2.复数z 满足(i)(2i)5z --=，则z =（ ）A.22i --B.22i -+C.22i -D.22i +3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）A.7B.15C.25D.354.曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为（ ）A.1y x =-B.1y x =-+C.22y x =-D.22y x =-+5.函数π()sin cos 6f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的值域为（ ）A.[2,2]-B.[C.[1,1]-D.,22⎡-⎢⎣⎦6.函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ）A.0B.1C.2D.37.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P35 310 110则X 的数学期望E X =()（ ）A.32B.2C.52D.38.已知实数x ，y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设某中学的高中女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据i i (,)x y (i 1,2,3,,)n =，用最小二乘法近似得到回归直线方程为0.85 5.1ˆ87yx =-，则下列结论中正确的是（ ） A.y 与x 具有正线性相关关系 B.回归直线过样本的中心点(,)x yC.若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该中学某高中女生身高为160cm ，则可估计其体重为50.29kg10.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且1MD NB ==，G 为MC 的中点．则下列结论中正确的是（ ）A.MC AN ⊥B.GB AMN 平面C.CMN AMN ⊥平面平面D.DCM ABN 平面平面11.能够把圆22:9O x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数()f x 称为圆O 的“亲和函数”，下列函数中，是圆O 的“亲和函数”的为（ ）A.32()4f x x x =+B.5()ln5xf x x -=+ C.e e ()2x xf x -+=D.()tan5x f x =12.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一个宋时小文物，如图，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面由半椭圆1C ：22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆2C ：22221(0)x y x c b+=<（其中222a b c =+，0a b c >>>）组成．设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是轴截面与x ，y 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，若宝珠的体积是32π3，1F ，2F 在宝珠珠面上，012F F F 是等边三角形，给出以下四个命题，其中是真命题的有（ ）A.椭圆1C 的离心率为217B.椭圆2C 的离心率大于椭圆1C 的离心率C.椭圆2C 的焦点在y 轴上D.椭圆2C 的长、短轴之比大于椭圆1C 的长、短轴之比第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。

2021届高考数学（新高考）仿真模拟卷（四）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知复数2i1iz =+，则z z ⋅的值 A ．0B ．2iC ．2D ．12．命题“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是 A ．0x R ∃∈，使得200210x x ++> B ．0x R ∃∈，使得200210x x ++≤ C ．x R ∀∈，2210x x ++≤ D ．x R ∀∈，2210x x ++<3．已知向量()2,1m =-，(),2n λ=，若()2m n m -⊥，则λ= A ．94B ．94-C ．7-D ．74．如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME -7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为A ．n a n =，*n N ∈B ．n a =*n N ∈C ．n a =，*n N ∈D ．2n a n =，*n N ∈5．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则1231⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b 的最小值为A ．14+B ．25C ．24D ．6．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2sin 2BA C +=.2a =，3c =，则sin 2A 的值为A ．7-B ．14C ．7D ．14-7．已知a 、b 满足0a b e <<<，则ln +ba a a 与ln +ab b b的大小关系为 A ．ln ln +>+a ba ba b a b B ．ln ln +=+a ba b a b a bC ．ln ln +<+a ba b a b a bD ．不能确定8．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．德国数学家狄里克雷（1805—1859）在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个x ，都有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数D(x )，即：当自变量x 取有理数时，函数值为1，当自变量x 取无理数时，函数值为0.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数D(x )的性质表述正确的是A ．()0D π=B ．()D x 是奇函数C ．()D x 的值域是{}0,1D ．()()1D x D x +=10．若2nx⎛ ⎝的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的可能值为A ．9B ．10C ．11D ．1211．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有 A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．在Rt ABC 中，2A π∠=，2AC =，那么CB CA ⋅=_____；14．夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为____.15．设函数()()21,11,1x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，()lg g x x =，则函数()()()F x f x g x =-零点的个数有______个.16．若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2121232222n n a a a a n n -++++=+，则n a =______n S =_____四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．如图，ABC 中的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，8c =，1cos 7ACB ∠=-且14cos b B =．（1）求B（2）点D 在BC边的延长线上，且AD =CD 的长．18．设33M a =-，22N a =，4T a =，给出以下四种排序：①M ，N ，T ；②M ，T ，N ；③N ，T ，M ；④T ，N ，M ．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题．已知等比数列{}n a 中的各项都为正数，11a =，且__________依次成等差数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅰ）设,01,{1,1,n n n n na ab a a <≤=>数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足100n n S b >的最小正整数n ．注：若选择多种排序分别解答，按第一个解答计分．19．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km h 的有40人，不超过100km h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km h 的有20人，不超过100km h 的有25人.（1）完成下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为“平均车速超过100km h 与性别有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.（2）在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；（3）以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km h 且为男性驾驶员的车辆数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .20．如图，在四棱锥P −ABCD 中，AD //BC ，AD =2BC =4，AB =2√3，∠BAD =90∘，M,O 分别为线段CD,AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面PBM ⊥平面PAC ；（2）是否存在线段PM 上一点N ，使得ON //平面PAB ，若存在，求PN PM的值；若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x yc b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:e e =A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值. 22．已知函数()22xf x x ax e =+-在R 上单调递减.（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在非零实数1x ，2x 满足1f x ，()0f ，2f x 依次成等差数列.求证：120x x +<.参考答案1．C 2．B 3．A 4．C 5．A 6．C 7．C 8．C 9．ACD 10．ABC 11．ACD 12．ACD 13．4 14．1315．8 16．1212n n -+ 125102n n -+- 17．（1）3B π=；（2）7CD =.【解析】（1）因为1cos 7ACB ∠=-，(0,)ACB π∠∈，所以sin ACB ∠== 在ABC 中，由正弦定理得：sin sin b c B ACB=∠，所以sin sin 3c B b B ACB ==∠，又14cos b B =14cos B B =，所以tan B = 因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由（1）可得11472b =⨯=，在ACD △中，1cos cos 7ACD ACB ∠=-∠=， 由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠，即22217277CD CD =+-⋅⋅⋅，即22350CD CD -⋅-=， 解得：7CD =或5-（舍去）， 所以7CD =.18．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅰ）答案见解析. 【解析】（解答一）选②或③：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则0q >．由条件得423223a a a =-，又因为11a =，所以32223q q q =-，即22320q q +-=，解得12q =（负值舍去）．所以112n n a -=．（Ⅰ）由题意得112n n b -=，则1112121212n nn n S ---==-．由100n n S b >得 112110022n n n --->，即2101>n ，又因为*n ∈N ，所以n 的最小值为7． （解答二）选①或④：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则0q >．由条件得24343a a a =-，又因为11a =，所以3243q q q =-，即2340q q --=，解得4q =（负值舍去）．所以14n n a -=．（Ⅰ）由题意得114n n b -=，则11141413414n n n n S ---==⨯-．由100n n S b >得 1141100344n n n --->⨯，即4301n >，又因为*n ∈N ，所以n 的最小值为5． 19．（1）答案见解析，能；（2）2552；（3）答案见解析，65.【解析】（1）完成的22⨯列联表如下：()22100402515208.2497.87955456040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“平均车速超过100km h 与性别有关”. （2）平均车速不超过100km h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为240C ，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ， 则事件A 所包含的基本事件数为111525C C ，所以所求的概率()111525240152525203952C C P A C ⨯===⨯. （3）根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车， 平均车速超过100km h 且为男性驾驶员的概率为4021005=， 故2(3,)5XB .所以0332327(0)()()55125P X C ===；()12323541()()55125P X C ===； ()22323362()()55125P X C ===；3303238(3)()()55125P X C ===. 所以X 的分布列为()2701231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或()26355E X =⨯=）.20．（1）证明见解析；（2）λ=13. 【解析】试题分析：（1）以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz ，可得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)， BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，BM ⊥AC 又BM ⊥PO 得BM ⊥平面PAC ，进而得结论；（2）设OP =ℎ，可得平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(0,−ℎ,1)，再根据ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2λℎ+ℎ−λℎ=0可解得λ. 试题解析：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz ，B(2√3,0,0)，C(2√3,2,0)，D(0,4,0)，所以CD 中点M(√3,3)，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3)×(2√3)+3×2=0，所以BM ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，所以BM ⊥PO ，由AC ∩PO =O ， 所以BM ⊥平面PAC ，又BM ⊂平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面PAC .（2）法一：设OP =ℎ，则O(√3,1,0)，P(√3,1,ℎ)，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−ℎ)， 设平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(x 0,y 0,z 0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,ℎ)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)， 所以{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，则{√3x 0+y 0+ℎz 0=02x 0=0 ，令z 0=1，得n ⃗ =(0,−ℎ,1)，设PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ,−λℎ) (0≤λ≤1)，则 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ,ℎ−λℎ)， 若ON//平面PAB ，则ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2λℎ+ℎ−λℎ=0，解得λ=13.法二：（略解）：连接MO 延长与AB 交于点E ，连接PE ，若存在ON//平面PAB ，则ON//PE ， 证明OE EM=13即可.21．（1）22193x y +=；（2）2. 【解析】（1）由题意知1c e a =，2e c c==，因为12:e e =2c a c=⋅，22， 将等号两边同时平方，得42243840c a c a -+=，即()()22222230a c a c --=，所以2232a c =，又222a b c =+，所以3a b ，c =，所以),0A ，()0,B b -，所以直线AB 的方程为2y x b =-，与椭圆1C ：222213x y b b +=联立并消去y ，得222332x x b b ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得10x =，25x =，所以,55b P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为185PB =185=，得b =3a =，椭圆1C 的方程为22193x y +=. （2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ， 得()222124260k x knx m +++-=，因为直线MN 与椭圆2C 相切，所以()()222216412260k m km ∆=-+-=，整理得()22630*k m +-=， 将直线MN 与椭圆1C 方程联立并消去y ，得()222136390k x kmx m +++-=， 由()*式可得()()()22222223641339129336k m k m k m k ∆=-+-=+-=.设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则2613M N km x x k -+=+，223913M N m x x k-=+，所以213M NMN xk=-==+设213k t+=，则1t>，2MN==≤，22<，所以当4t=，即1k=±时，MN最大，且最大值为2.22．（1）(],2-∞；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意，()220xf x x a e'=+-≤恒成立，即()maxf x'≤，设()()g x f x'=，则()22xg x e='-.令0g x，得0x=，当0x<时，0g x，()g x 单调递增；当0x>时，0g x，()g x单调递减.所以()()max02g x g a==-.所以20a-≤，即2a≤.故a的取值范围为(],2-∞.（2）由题意得()()()1202f x f xf+=，因为()f x单调递减，不妨设12x x<<.设()()()22x xf x f xF x x e e-+-==--，则()2x xF x x e e-'=-+.设()()G x F x'=，则()20x xG x e e-'=--≤，所以()G x单调递减，即()F x'单调递减.当0x<时，()()00F x F''>=，所以()F x在,0上单调递增.因为10x<，所以()()1F x F<，即()()()()()1112022f x f x f x f x f +-+<=，整理可得()()12f x f x -<. 因为()f x 在R 上单调递减，所以12x x ->，即120x x +<.。

江西省赣州市2021届新高考数学仿真第四次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A 【解析】试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ． 考点：集合的运算．2．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π= D ．e e x x y -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误； D 中，()xxy f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.3．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A．13B．12C．23D．34【答案】B【解析】【分析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率.【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，所以，所求的概率3162 P==.故选：B.【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．4．定义运算()()a a ba bb a b≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x=⊕的图象是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0xx x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩，只有选项A 中的图象符合要求，故选A.5．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】B 【解析】 【分析】先分别判断命题,p q 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论. 【详解】p 为真命题；命题q 是假命题，比如当0a b >>,或=12a b =-，时，则22a b > 不成立. 则p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假. 故选:B 【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题. 6．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．12y x = B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-【答案】C 【解析】 【分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案. 【详解】因为函数12,2x y x y ==和1y x =-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减.故选：C 【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.7．已知向量a r 与b r 的夹角为θ，定义a b ⨯r r 为a r 与b r 的“向量积”，且a b ⨯r r是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=r r r r ，若()2,0u =r ，(1,u v -=r r ，则()u u v ⨯+=r r r（ ）A ．BC ．6D ．【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量坐标运算求出(u v +=r r和cos ,u u v +r r r ，进而求出sin ,u u v +r r r ，代入题中给的定义即可求解. 【详解】由题意()(v u u v =--=r r r r ，则(u v +=r r ，cos ,2u u v +=r r r ，得1sin ,2u u v +=r r r ，由定义知()1sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯=r r r r r r r r r ，故选:D. 【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目. 8．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.9．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．4【答案】A 【解析】 【分析】224442+=()()2222224+=22222+=的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法. 【详解】最底层正方体的棱长为8，224442+= ()()2222224+=，222222+=， ()()22222+=，22112+=2222122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211222⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题. 10．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<<B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}A B x x =-<<U【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<,2{|log 1}{|02}B x x x x =<=<<,所以{|01}A B x x =<<I ,{|12}A B x x =-<<U ,故选D ．11．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ； ③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（ ） A ．①② B ．③④C ．①④D ．②④【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④. 【详解】对于①，若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，α，β两平面相交，但不一定垂直，故①错误； 对于②，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故②正确；对于③，若//m n ，m α⊂，//αβ，当n β⊂，则n 与β不平行，故③错误； 对于④，若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故④正确； 故选：D 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,抛物线C 与圆22:(3C x y +-='交于M,N 两点,若||MN =,则MNF V 的面积为( )A B ．38C ．8D ．4【分析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由3C M C N ''==，6MN =，得C M C N ''⊥，从而直线MN倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积． 【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图， 由于3C M C N ''==，6MN =，∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p =⨯，3p =， ∴3(,0)F ，11333228FMN N S MF y ∆=⨯=⨯⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省六安市2021届新高考数学仿真第四次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A ．10 B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.2．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】分析：根据流程图中的2a a a =+可知，每次循环a 的值应是一个等比数列，公比为32；根据流程图中的2b b =可知，每次循环b 的值应是一个等比数列，公比为2，根据每次循环得到的,a b 的值的大小决定循环的次数即可.详解： 记执行第n 次循环时，a 的值记为有n a ，则有3322nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 记执行第n 次循环时，b 的值记为有n b ，则有122nn b =⨯.令3321222n n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，则有3348n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故 4n ≥，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前n 和、前n 项积等）. 3．已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．45B ．45-C ．45iD ．45-i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【详解】()()()53453434343455i z i i i i -===-++-，则复数z 的虚部为45-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 4．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由折线图可知A 、B 项均正确，该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确. 故选：D. 【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.5．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】C 【解析】 【分析】连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=，进而12c a c =-，由此能求出椭圆的离心率. 【详解】如图，连接OM ，Q 椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限， 直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点∴OM 为ABC ∆的中位线， ∴OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=， 12c a c ∴=-， 解得椭圆E 的离心率13c e a ==. 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.6．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E∠=，即可得出结果. 【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ，而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥， 由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形， 所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I , 所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ， 则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则122AA =，13A E =，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E ∠===， ∴13πCA E ∠=. 故选：C. 【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.7．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④ B ．②③C ．①③④D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ．8．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A．y x =±B．y x = C ．2x y =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线2214x y -=的渐近线方程是2x y =±.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．9．已知向量()()1,3,2a m b ==-v v ，，且()a b b +⊥vv v ，则m=( )A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D由已知向量的坐标求出a b +rr 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-r r r r ，又()a b b +⊥rr r ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝1． 故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．10．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A ．12B ．14C ．15D ．110【答案】D 【解析】 【分析】把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率． 【详解】3本不同的语文书编号为,,A B C ，2本不同的数学书编号为,a b ，从中任意取出2本，所有的可能为：,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab 共10个，恰好都是数学书的只有ab 一种，∴所求概率为110P =． 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率． 11．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．83该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选C .12．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】化简得到34z i =--，得到答案. 【详解】()117i z i +=-，故()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，对应点在第三象限. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省阜阳市2021届新高考数学仿真第四次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)12g x x π=- B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简三角函数式，结合12x π=为函数()f x 的一条对称轴可求得a ，代入辅助角公式得()f x 的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数()g x 的解析式.【详解】函数()sin 2cos 2f x x a x =+，由辅助角公式化简可得()()2,tan f x x a θθ=+=， 因为12x π=为函数()sin 2cos 2f x x a x =+图象的一条对称轴，代入可得sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即122+=(20a -=，即a =所以()sin 22f x x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度可得()g x ， 则()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C. 【点睛】本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.2．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】化简复数为a bi +的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案. 【详解】211(1)(1)22i i i ii i i i+++==---⋅111222i i -+==-+ ∴对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 3．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥β D ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】对于A ，当//m n ，m α⊂，n β⊂时，则平面α与平面β可能相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故A 错误；对于B ，当//m n ，m α⊥，n β⊥时，则//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故B 错误； 对于C ，当m n ⊥，//m α，//n β时，则平面α与平面β相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故C 错误；对于D ，当m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则一定能得到αβ⊥，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.4．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．C．2log D【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.5．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为0.080.080.080.08log 0.042log 0.2log 0.2log0a ===>=，0.30.3log 0.2log 10b =>=，所以0.20.211log 0.08,log 0.3a b ==且0.2log y x =在()0,∞+0.080.3< 所以11a b>，所以b a >，又因为0.080.08log 0.2log0.081a =>=，0.0400.30.31c =<=，所以a c >，所以b a c >>. 故选：D. 【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小.6．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果. 【详解】 由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 7．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()RAB{|11},{|0}A x x B x x =-=<，所以 (){|1}RAB x x =-.故选：D 【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题. 8．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 9．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,10【答案】C 【解析】 【分析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足0+=i j a a 的i 的取值集合. 【详解】设公差为d ，由题知43a =-⇒133a d +=-，1224S =⇒1121112242a d ⨯+=， 解得19a =-，2d =，所以数列为9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,-----，故{}1,2,3,4,5i ∈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(0d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠ B ．5m ≠ C ．4m ≠ D ．3m ≠【答案】B 【解析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC F D ．三棱锥B CEF -的体积为定值【答案】B 【解析】 【分析】根据平行的传递性判断A ；根据面面平行的定义判断B ；根据线面垂直的判定定理判断C ；由三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，判断D.【详解】在A 中，因为,F M 分别是,AD CD 中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；在B 中，由于直线BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故B 错误；在C 中，由平面几何得BM CF ⊥，根据线面垂直的性质得出1BM C C ⊥，结合线面垂直的判定定理得出BM ⊥平面1CC F ，故C 正确；在D 中，三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年广东省普通高中高考数学仿真试卷（四）一、单选题（本大题共15小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|(x −4)(x +2)<0}，B ={−3,−1,1，3，5}，则A ∩B =( )A. {−1,1，3}B. {−3,−1,1，3}C. {−1,1，3，5}D. {−3,5}2. log 42−log 48等于( )A. −2B. −1C. 1D. 2 3. 函数f(x)=√2−x +√x 的定义域为( )A. (2,+∞)B. (−∞,0)C. (0,2)D. [0,2]4. 已知向量a ⃗ =(1,3)，向量b ⃗ =(x,−1)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数x 的值为( )A. −3B. 3C. −1D. 15. 取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 不确定6. 倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2的直线方程是( )A. x −y +2=0B. x −y −2=0C. x +y −2=0D. x +y +2=07. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )A. 32πB. 2πC. 3πD. 4π8. 若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①m ⊥αm//n }⇒n ⊥α；②n ⊥αm⊥α}⇒m//n ；③n//αm⊥α}⇒m ⊥n ；④m ⊥n m//α}⇒n ⊥α． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个 9. 把函数y =sinx 的图象向右平移π4个单位得到y =g(x)的图象，再把y =g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为( )A. y =2sin(x −π4)B. y =2sin(x +π4)C. y =12sin(x −π4)D. y =12sin(x +π4) 10. 已知x ∈(−π2,0)，cosx =45，则tan2x 等于( )A. 724B. −724C. 247D. −247 11. 已知圆O ：x 2+y 2=5和点A(1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ( )A. 5B. 10C. 252D. 254 12. 在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2asinB =√3b ，则角A 等于( )A. π12B. π6C. π4D. π313.函数f(x)=ln|x|+1x的图象大致为()A. B.C. D.14.若直线xa +yb=1(a>0,b>0)过点(1,1)，则a+b的最小值等于()A. 2B. 3C. 4D. 515.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a6=()A. 1B. 2C. 4D. 8二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）16.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．17.一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球，从这个口袋中任取两个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是______ ．18.已知a，b，c分别为△ABC的三边，且3a2+3b2−3c2+2ab═0，则tan C=______ ．19.已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+(a−1)y+a2−1=0，若l1⊥l2，则a=______ ．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）20.如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点，求证：(1)FD//平面ABC；(2)AF⊥平面EDB．21.已知公差不为零的等差数列{a n}满足：a1=3，且a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)若S n表示数列{a n}的前n项和，求数列{1S n22.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m).如图所示，竖直放置的标杆BC的高度ℎ=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为A ={x|(x −4)(x +2)<0}=(−2,4)又B ={−3,−1,1，3，5}，所以A ∩B ={−1,1，3}．故选A ．通过不等式的解法求出集合A ，然后求解交集即可．本题考查二次不等式的求法，交集的运算，值域集合的条件的应用．2.【答案】B【解析】解：log 42−log 48=log 428=log 44−1=−1，故选：B ．根据对数的运算法则计算即可．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则{2−x ≥0x ≥0， 得{x ≤2x ≥0，即0≤x ≤2， 即函数的定义域为[0,2]，故选：D根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4.【答案】B【解析】解：∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =x −3=0，∴x =3．故选：B ．根据a ⃗ ⊥b ⃗ 即可得出a ⃗ ⋅b ⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．5.【答案】B【解析】解：记“两段的长都不小于1m ”为事件A ，则只能在中间1m 的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m ，所以事件A 发生的概率P(A)=13．故选：B ．根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m 的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m 处的两个界点，再求出其比值．本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于1m 的界点来．6.【答案】A【解析】解：因为倾斜角为45°，所以直线的斜率为k =tan45°=1，又在y 轴上的截距为2，所以所求直线的方程为y =x +2，即x −y +2=0．故选：A ．利用倾斜角求出直线的斜率，然后利用斜截式求解即可．本题考查了直线方程的求解，主要考查了斜截式方程的应用，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，∴圆柱的全面积是2×π(12)2+2π×12×1=3π2，故选：A ．几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，圆柱的表面积包括三部分，两个圆的面积和一个矩形的面积，写出表示式，得到结果．本题考查由三视图求几何体的表面积，考查有三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的条件比较简单，是一个送分题目．8.【答案】C【解析】解：①m ⊥α，则m 垂直于α内的两条相交直线，因为m//n ，所以n 也垂直于这两条直线，故n ⊥α，故①正确；②由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，结论正确；③n//α，所以存在直线b ⊂α，且b//n ，因为m ⊥α，所以m ⊥b ，所以m ⊥n ，③正确；④不正确，例如n 和m 确定的平面平行于α，则n//α．故选：C ．①可由线面垂直的判定定理进行证明；②由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，结论正确；③可在α内找n 的平行线进行证明；④不正确，可举反例说明．本题考查空间的线面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力．9.【答案】A【解析】解：把函数y =sinx 的图象向右平移π4个单位得到y =g(x)=sin(x −π4)的图象，再把y =g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为y =2sin(x −π4)，故选：A ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵cosx =45，x ∈(−π2,0)，∴sinx =−35.∴tanx =−34．∴tan2x =2tanx 1−tan 2x =−321−916=−32×167=−247． 故选：D ．先根据cos x ，求得sin x ，进而得到tan x 的值，最后根据二倍角公式求得tan2x ．本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．11.【答案】D【解析】解：由题意知，点A 在圆上，则A 为切点，则OA 的斜率k =2，则切线斜率为−12，则切线方程为：y −2=−12(x −1)，即x +2y −5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52，所以，所求面积为12×5×52=254．故选：D ．判断点A 在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积．判断A 是切点是解决本题的关键．12.【答案】D【解析】解：利用正弦定理化简已知等式得：2sinAsinB =√3sinB ，∵sinB ≠0，∴sinA =√32， ∵A 为锐角，∴A =π3．故选：D ．已知等式利用正弦定理化简，根据sin B 不为0求出sin A 的值，再由A 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题． 13.【答案】A【解析】解：当x→−∞时，f(x)=ln|x|+1x→+∞，由此排除C，D；当x>0时，f(x)=lnx+1x ，f′(x)=1x−1x2=x−1x2，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴图象A符合．故选：A．由x→−∞时，f(x)=ln|x|+1x→+∞，排除C，D；再由导数研究函数的单调性即可求得答案．本题考查函数的图象，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．14.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，涉及“乘1”凑配方法，属中档题．由已知可得1a +1b=1，从而a+b=(1a+1b)(a+b)展开后利用基本不等式求出即可．【解答】解：∵直线xa +yb=1(a>0,b>0)过点(1,1)，∴1a +1b=1(a>0,b>0)，所以a+b=(1a +1b)(a+b)=2+ba +ab≥2+2√ba⋅ab=4，当且仅当ba =ab且1a+1b=1，即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C．15.【答案】B【解析】解：由题意可得a72=a4a10=16，又数列的各项都是正数，故a7=4，故a6=a72=42=2故选：B．由题意结合等比数列的性质可得a7=4，由通项公式可得a6．本题考查等比数列的通项公式，属基础题．16.【答案】16人【解析】【分析】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中．根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数．【解答】解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，∴本校共有学生150+150+400+300=1000(人)，∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，∴每个个体被抽到的概率是401000=125，∵丙专业有400人，∴要抽取400×125=16人故答案为：16人17.【答案】23【解析】解：一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球，从这个口袋中任取两个球，基本事件总数n=C42=6，其中，取得的两个球中恰有一个红球包含的基本事件个数m=C21C21=4，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是P=mn =46=23．故答案为：23．基本事件总数n=C42=6，其中，取得的两个球中恰有一个红球包含的基本事件个数m=C21C21=4，由此能求出取得的两个球中恰有一个红球的概率．本题考查概率的运算，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．18.【答案】−2√2【解析】解：△ABC中，∵3a2+3b2−3c2+2ab=0，∴cosC=a2+b2−c22ab =−23ab2ab=−13，∴sinC=√1−cos2C=2√23，故tanC=sinCcosC=−2√2，故答案为−2√2．△ABC中，由余弦定理求得cos C的值，再利用同角三角函数的基本关系求出sin C的值，可得tan C的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、余弦定理的应用，属于中档题．19.【答案】23【解析】解：∵直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+(a−1)y+a2−1=0，且l1⊥l2，∴a×1+2(a−1)=0，即a+2a−2=0，解得a=23．故答案为：23．由两直线互相垂直，可得两直线系数间的关系，由此列关于a的方程求得a值．本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，关键是对垂直条件的记忆与应用，是基础题．20.【答案】证明(1)取AB的中点M，连接FM，MC．∵F，M分别是BE，BA的中点，∴FM//EA，FM=12EA=a，∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD//EA，∴CD//FM，又CD=a=FM∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD//MC，FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC∴FD//平面ABC．(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB又EA垂直于平面ABC∴CM⊥AE，又AE∩AB=A，所以CM⊥面EAB，∵AF⊂面EAB∴CM⊥AF，又CM//FD，从而FD⊥AF，因F是BE的中点，EA=AB所以AF⊥EB．EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF⊥平面EDB．【解析】(1)要证FD//平面ABC，可以通过证明FD//MC实现．而后者可以通过证明CD//FM，CD=FM，证明四边形FMCD是平行四边形而得出．(2)要证AF⊥平面EDB，可以通过证明AF⊥EB，AF⊥FD实现．AF⊥EB易证，而AF⊥FD可通过CM⊥面EAB，结合CM//FD证出．本题考查空间直线和平面的位置关系，考查空间想象能力、转化、论证能力．21.【答案】解：(1)公差不为零的等差数列{a n}满足：a1=3，且a1，a4，a13成等比数列．则：a42=a1⋅a13，即：(3+3d)2=3(3+12d)，解得：d=0或2(0舍去)，所以：a n=3+2(n−1)=2n+1．(2)由于：a n=2n+1，则：S n=n(2n+4)2=n2+2n，所以：1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)．则：T n=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2)，=12(1+12−1n+1−1n+2)，=34−2n+32(n+1)(n+2)．【解析】(1)利用已知条件求出数列的通项公式．(2)首先利用数列的通项公式求出数列的和，进一步利用求出的和求出它的倒数的关系式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．22.【答案】解：∵HAD=tanβ∴AD=Htanβ，∵AB=Htanα，∴BD=ℎtanβ．∵AD−AB=DB，∴Htanβ−Htanα=ℎtanβ，∵tanα=1.24，tanβ=1.20，ℎ=4m，∴H=ℎ⋅tanαtanα−tanβ=4×1.241.24−1.20=124．因此，电视塔的高度H是124m．故答案为：124．【解析】在Rt△ABE中可得AD=H tanβ，在Rt△ADE中可得AB=Htanα，BD=，再根据AD−AB=DB即可得到H的表达式，代入tanα=1.24，tanβ=1.20，ℎ=4m，可得答案．本题主要考查解三角形的知识，由已知构造出未知的边长对应的方程是解答的关键．。

江西省赣州市2021届新高考第四次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.2．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（ ） A ．若m ⊥α，n//α，则m ⊥n B ．若m//α，n//α，则m//n C ．若l ⊥α，l//β，则α⊥β D ．若α//β，l ⊄β，且l//α，则l//β【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A 选项的正确性.由线面平行有关知识判断B 选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C 选项的正确性.根据面面平行的性质判断D 选项的正确性. 【详解】A ．若//n α，则在α中存在一条直线l ，使得//,,l n m l αα⊥⊂，则m l ⊥，又//l n ，那么m n ⊥，故正确； B ．若//,//m n αα，则//m n 或相交或异面，故不正确；C ．若l β//，则存在a β⊂，使//l α，又,l a αα⊥∴⊥，则αβ⊥，故正确．D ．若//αβ，且//l α，则l β⊂或l β//，又由,//l l ββ⊄∴，故正确．故选：B 【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.3．已知非零向量a r 、b r ，若2b a =r r 且2a b -=r r ，则向量b r 在向量a r方向上的投影为（ ）AB ．12b rC ．D ．12b -r【答案】D 【解析】 【分析】设非零向量a r 与b r 的夹角为θ，在等式2a b -=r r 两边平方，求出cos θ的值，进而可求得向量b r在向量a r方向上的投影为cos b θr ，即可得解.【详解】2b a =r r Q ，由2a b b -=r r 得2223a b b -=r r r ，整理得22220a a b b -⋅-=r r r r，22222cos 40a a a a θ∴-⨯-=r r r r ，解得1cos 2θ=-，因此，向量b r 在向量a r 方向上的投影为1cos 2b b θ=-r r.故选：D. 【点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 4．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点5P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．10B ．10C ．10D 【答案】A 【解析】 【分析】根据单位圆以及角度范围，可得m ，然后根据三角函数定义，可得sin ,cos θθ，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：221m +=⎝⎭，又θ为锐角所以0m >，m =根据三角函数的定义：sin θθ==所以4sin 22sin cos 5θθθ==223cos 2cos sin 5θθθ=-=-由sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以43sin 24525210πθ⎛⎫+=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题. 5．复数2(1)i i +的模为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：2(1)22i i i +=-+Q ，∴复数2(1)i i +=故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．6．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．0【答案】A 【解析】 【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案.【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则11()ln 1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合图像变换知识得到答案. 【详解】 由图象知：7212122T T ππππ=-=⇒=，∴2ω=. 又12x π=时函数值最大，所以2221223k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+.又()0,ϕπ∈， ∴3πϕ=，从而()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 22123g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 只需将()f x 的图象向左平移12π个单位即可得到()g x 的图象，故选C. 【点睛】已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+==.(2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求．8．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B 【解析】 【分析】由2xy =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解【详解】由函数2xy =是R 上的增函数，知命题p 是真命题． 对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得12x =-，无解，因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.9．若向量(0,2)m =-u r ，(3,1)n =r，则与2m n +u r r共线的向量可以是（ ） A ．(3,1)- B ．(1,3)-C ．(3,1)--D ．(1,3)--【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +v v,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】()()0,2,3,1m n =-=v vQ()23,3m n ∴+=-v v()()31,33,33-=--故选B 【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.10．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+B ．8163π+C ．32833π+ D ．321633π+ 【答案】B 【解析】该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为111V 44244223π=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯， 8163π=+.故选B点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 11．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ）A ．1B ．C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设直线l 的方程为x ＝12y 2p+，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 【详解】 由已知得F （2p，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0）， ∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2,故选C ． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．12．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．34【答案】C 【解析】 【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可. 【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x yy x ≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C 【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省漯河市2021届新高考第四次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{lgsin A x y x ==，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合(]0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2221g t t t =-++由二次函数的性质即可得值域. 【详解】由2sin 00390x x x >⎧⇒<≤⎨-≥⎩，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈Q ，(]0,1t ∴∈，所以得()2221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以()31,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即 ()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选A 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题2．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．C ．12D ．2【答案】D 【解析】 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =u u u r u u u r，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =u u u r u u u r. 而(),BF c b =--u u u r ，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x yC a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以2e =. 即椭圆C的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题. 3．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.4．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件【解析】 【分析】结合纯虚数的概念，可得0,0a b =≠，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项. 【详解】若复数z a bi =+为纯虚数，则0,0a b =≠，所以0ab =，若0ab =，不妨设1,0a b ==，此时复数1z a bi =+=，不是纯虚数，所以“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的充分不必要条件.故选：D 【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题. 5．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当x π=时，sin 0xx=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．6．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）A ．16-B ．6-C ．274-D ．274【答案】B 【解析】 【分析】由目标函数3z x y =+的最大值为9，我们可以画出满足条件 件0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值． 【详解】画出x ，y 满足的0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9， 可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ， 使目标函数3z x y =+取得最大值， 将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．故选：B ． 【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．7．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.8．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ） A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的周期求得2w =，再由平移后的函数图像关于直线2x π=对称，得到223ππϕ⨯+-2k ππ=+，由此求得满足条件的ϕ的值，即可求得答案. 【详解】分析：由函数的周期求得ω2=，再由平移后的函数图像关于直线πx 2=对称，得到πππ2φk π232⨯+-=+，由此求得满足条件的φ的值，即可求得答案. 详解：因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<， 所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到sin(2)3y x πϕ=+-，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U【答案】C 【解析】 【分析】()f x 恰有两个极值点，则()0f x ¢=恰有两个不同的解，求出()f x ¢可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,+?，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以()0f x ¢=恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，且这个解不等于1. 令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在()0,+?上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题. 10．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x ； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确； 因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++， ()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22f x f x ππ+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的极大值与最小值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=，③正确；因为5444x πππ≤-≤，所以1)4x π-≤-≤()f x 的最小值为1-，④正确． 故选D ．11．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =u u u r u u u r，则AB 为( ) A ．409B ．40C ．16D ．163【答案】D 【解析】【分析】如图所示，过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D ，利用APC BPD ∆∆:和FPM BPD ∆∆:，联立方程组计算得到答案. 【详解】如图所示：过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D .2PA AF=u u u r u u u r ，则2433AC FM ==， 根据APC BPD ∆∆:得到：AP ACBP BD =，即4343AP BD AP BD =++， 根据FPM BPD ∆∆:得到：AF FM BP BD =，即42343AP BD AP BD +=++，解得83AP =，4BD =，故163AB AF BF AC BD =+=+=. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.12．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】求出函数在1x =处的导数后可得曲线在()()1,1f 处的切线方程，从而可求切线的纵截距. 【详解】()2321f x x x '=-+，故()12f '=，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()()21121y x f x =-+=-. 令0x =，则1y =-，故切线的纵截距为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与y 轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三数学模拟试卷（04）（含解析）新人教A版一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）.1．若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为__________．2．已△知△ABC三边长分别为a，b，c且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=__________ 3．设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=__________．4．若不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数m的取值范围是__________．5．定义运算ab=ab2+a2b，则sin15°cos15°的值是__________．6．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为__________．7．已知△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，D、E分别为边CA、CB上的点，且•=6，•=8，则•=__________．8．已知曲线S：y=3x﹣x3及点P（2，2），则过点P可向曲线S引切线，其切线共有__________条．9．已知函数y=tanωx在（﹣π，π）内是减函数，则实数ω的范围是__________．10．已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是__________．11．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数f（x）在[0，6]上有__________个零点．12．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是__________．13．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f 的值为=__________．14．设首项不为零的等差数列{a n}前n项之和是S n，若不等式对任意a n和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为__________．二、解答题.15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．16．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．（1）求角B的大小；（2）如果b=1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．17．已知向量（1）求的最大值（2）若，且，求cosβ的值．18．经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升（L）7.5元．（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？19．（16分）如图，平面直角坐标系中，射线y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分别依次有点A1、A2，…，A n，…，和点B1，B2，…，B n…，其中，，．且，（n=2，3，4…）．（1）用n表示|OA n|及点A n的坐标；（2）用n表示|B n B n+1|及点B n的坐标；（3）写出四边形A n A n+1B n+1B n的面积关于n的表达式S（n），并求S（n）的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=ax3+|x﹣a|，a∈R．（1）若a=﹣1，求函数y=f（x）（x∈[0，+∞）的图象在x=1处的切线方程；（2）若g（x）=x4，试讨论方程f（x）=g（x）的实数解的个数；（3）当a＞0时，若对于任意的x1∈[a，a+2]，都存在x2∈[a+2，+∞），使得f（x1）f（x2）=1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．三、附加卷21．变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应用的变换矩阵是．（Ⅰ）求点P（2，1）在T1作用下的点P′的坐标；（Ⅱ）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．22．[选做题]已知圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．若直线l与圆C相切，求实数m的值．23．在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为p，判断错误的概率为q，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完n题后总得分为S n”．（1）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望及方差；（2）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．24．设r，s，t为整数，集合{a|a=2r+2s+2t，0≤t＜s＜r}中的数由小到大组成数列{a n}．（1）写出数列{a n}的前三项；（2）求a36．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学xx届高考数学模拟试卷（04）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）.1．若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为﹣2．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数（1﹣i）（2i+m）=m+2+（m﹣2）i是纯虚数，∴，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了复数运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．2．已△知△ABC三边长分别为a，b，c且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=60°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：利用a2+b2﹣c2=ab，代入到余弦定理中求得cosC的值，进而求得C解答：解：∵a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==∴C=60°故答案为60°点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．3．设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=﹣9．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答．解答：解：令g（x）=f（x）﹣1=x3cosx则g（x）为奇函数，又∵f（a）=11，∴g（a）=f（a）﹣1=11﹣1=10∴g（﹣a）=﹣10=f（﹣a）﹣1∴f（﹣a）=﹣9故答案为：﹣9点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造出奇函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，是解答本题的关键．4．若不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数m的取值范围是．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由已知中不等式＜0成立的一个充分非必要条件是＜x＜，我们分别讨论2m=m﹣1时，2m＜m﹣1时，2m＞m﹣1时满足条件的实数m的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到答案解答：解：∵设不等式＜0的解集为A∵不等式＜0成立的一个充分非必要条件是＜x＜，则（，）⊊A①当2m=m﹣1时，A=∅，不成立；②当2m＜m﹣1，即m＜﹣1时，不等式解为A=（ 2m，m﹣1），不符合条件，舍去；③当2m＞m﹣1时，不等式解为A=（m﹣1，2m），则m﹣1≤且2m≥，解得≤m≤，即m取值范围是≤m≤．故答案为：≤m≤点评：本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，不等式的基本性质，其中根据已知条件分讨论，并在每种情况下构造关于m的不等式组，是解答本题的关键5．定义运算ab=ab2+a2b，则sin15°cos15°的值是．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：新定义．分析：先根据题中的运算定义表示出sin15°cos15°，然后利用二倍角公式及两角和的正弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值得到即可．解答：解析：依题意，可知sin15°cos15°=sin15°cos215°+sin215°cos15°=sin15°cos15°（cos15°+sin15°）=×2sin15°cos15°（sin45°cos15°+cos45°sin15°）=sin30°sin（15°+45°）=．故答案为点评：考查学生会利用题中规定的新运算法则进行化简求值，会利用二倍角公式及两角和的正弦函数公式进行化简，会利用特殊角的三角函数值进行求值．学生做题时会变换角是解题的关键．6．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为[，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：若f（x）=是R上的单调函数，根据第二段函数为减函数，故第一段也应该为减函数，且x=1时，第二段的函数值不小于第一段的函数值，进而构造关于a的不等式组，解不等式组可得实数a的取值范围．解答：解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）点评：本题考查的知识点是分段函数的单调性，其中根据已知构造关于a的不等式组，是解答的关键．7．已知△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，D、E分别为边CA、CB上的点，且•=6，•=8，则•=﹣14．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，通过向量的坐标运算、数量积运算即可得出．解答：解：如图所示，C（0，0），A（3，0），B（0，4），设D（x，0），E（0，y）．则=（x，﹣4），=（3，0），=（﹣3，y），=（0，4）．∵•=6，•=8，∴3x=6，4y=8，解得x=2，y=2．则•=（﹣3，2）•（2，﹣4）=﹣6﹣8=﹣14．故答案为：﹣14．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算，属于基础题．8．已知曲线S：y=3x﹣x3及点P（2，2），则过点P可向曲线S引切线，其切线共有3条．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求函数的导数，设切点为M（a，b），利用导数的几何意义，求切线方程，利用点P （2，2）在切线上，求出切线条数即可．解答：解：∵y=3x﹣x3，∴y'=f'（x）=3﹣3x2，∵P（2，2）不在曲线S上，∴设切点为M（a，b），则b=3a﹣a3，f'（a）=3﹣3a2则切线方程为y﹣（3a﹣a3）=（3﹣3a2）（x﹣a），∵P（2，2）在切线上，∴2﹣（3a﹣a3）=（3﹣3a2）（2﹣a），即2a3﹣6a2+4=0，∴a3﹣3a2+2=0，即a3﹣a2﹣2a2+2=0，∴（a﹣1）（a2﹣2a﹣2）=0，解得a=1或a=1，∴切线的条数为3条，故答案为：3．点评：本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力．注意点P不在曲线上，所以必须单独设出切点．9．已知函数y=tanωx在（﹣π，π）内是减函数，则实数ω的范围是．考点：三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正切型函数的图象，要使函数y=tanωx在（﹣π，π）内是减函数，则ω＜0且函数y=tanωx的周期T≥2π．解答：解：∵函数y=tanωx在（﹣π，π）内是减函数，∴ω＜0，||≥2π解得：．故答案为：．点评：本题考查了正切型函数的图象与性质，解题时要根据函数在（﹣π，π）内是减函数，先判断ω的正负，再利用周期求ω的范围．10．已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是7．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题意得m＞2，n＞1，（m﹣2）（n﹣1）=4，再由基本不等式得=2≤=，变形可得m+n 的最小值．解答：解：∵f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，m＞2，n＞1，∴log2（m﹣2）+log2（2n﹣2）=3，log2（m﹣2）2（n﹣1）=3，（m﹣2）2（n﹣1）=8，（m﹣2）（n﹣1）=4，∴=2≤=（当且仅当m﹣2=n﹣1=2时，取等号），∴m+n﹣3≥4，m+n≥7．故答案为：7．点评：本题考查对数的运算性质，基本不等式的应用．考查计算能力．11．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数f（x）在[0，6]上有7个零点．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：探究型．分析：先求出方程f（x）=0在区间[0，2）上的根的个数，再利用其周期为2的条件即f （x+2）=f（x），即可判断出所有根的个数．解答：解：当0≤x＜2时，令f（x）=x3﹣x=0，则x（x﹣1）（x+1）=0，解得x=0，或1；已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，∴f（0）=f（2）=f（4）=f（6）=0，f（1）=f（3）=f（5）=0，故在区间[0，6]上，方程f（x）=0共有7个根，∴函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7．故答案为7．点评：正确求出一个周期内的根的个数和理解周期性是解题的关键．12．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．考点：简单线性规划；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：确定约束条件的平面区域，求得与原点连线的斜率的范围，再分离参数，利用函数的单调性，确定函数的最值，即可得到结论．解答：解：实数x、y满足的可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别为（1，4），（2，4），与原点连线的斜率分别为4，2，∴a（x2+y2）≥（x+y）2等价于a≥1+∵∈[2，4]∴≤+≤4+=∴a≥1+=∴实数a的最小值是故答案为：点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．13．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f 的值为=0．考点：函数的周期性；奇偶函数图象的对称性；函数的值．专题：证明题．分析：根据题意得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）即函数的周期为3．由函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称得到f （﹣﹣x）=f （x+），所以可得函数f（x）是偶函数．结合奇偶性、周期性可得答案．解答：解：由f （x）=﹣f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x，﹣y）．即若y=f （x），则必﹣y=f （﹣﹣x），或y=﹣f （﹣﹣x）．而已知f （x）=﹣f （x+），故f （﹣﹣x）=f （x+），今以x代x+，得f （﹣x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．而xx=3×670，于是f =0；故答案为0．点评：解决此类问题的关键是周期利用函数的对称性与周期性得到函数是偶函数，再结合着函数的三个性质求解问题，xx届高考经常考查这种周期性、单调性、奇偶性、对称性相结合的综合问题．14．设首项不为零的等差数列{a n}前n项之和是S n，若不等式对任意a n和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为．考点：数列与不等式的综合．专题：计算题．分析：等差数列{a n}中，首项不为零，前n项和S n=；由不等式，得a n2+≥λa12，整理得++≥λ；若设t=，求函数y=t2+t+的最小值，得λ的最大值．解答：解：在等差数列{a n}中，首项不为零，即a1≠0；则数列的前n项之和为S n=；由不等式，得a n2+≥λa12，∴a n2+a1a n+a12≥λa12，即++≥λ；设t=，则y=t2+t+=+≥，∴λ≤，即λ的最大值为；故答案为．点评：本题考查了数列与不等式的综合应用，其中用到换元法求得二次函数的最值，应属于考查计算能力的基础题目．二、解答题.15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m的值；（2）由（1）解出的集合A，B，因为A⊆C R B，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解答：解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}．（1）∵A∩B=[0，3]∴∴，∴m=2；（2）C R B={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}∵A⊆C R B，∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，∴m＞5，或m＜﹣3．点评：此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是xx届高考中的常考内容，要认真掌握．16．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．（1）求角B的大小；（2）如果b=1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．考点：解三角形；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（1）由两向量共线，得到向量的坐标表示列出一个关系式，根据三角形的内角和定理得到A+C=π﹣B，利用诱导公式化简这个关系式后，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，得到tan2B的值，又三角形为锐角三角形，由B的范围求出2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）根据余弦定理表示出b2=a2+c2﹣2accosB，把（1）求出的B的度数与b的值代入得到一个关于a与c的式子，变形后，根据基本不等式即可求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式，由ac的最大值及sinB的值，表示出三角形ABC的面积，即为三角形面积的最大值．解答：解：（1）∵向量、共线，∴2sin（A+C）（2﹣1）﹣cos2B=0，又A+C=π﹣B，∴2sinBcosB﹣cos2B，即sin2B=cos2B，∴tan2B=，又锐角△ABC，得到B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，故B=；（2）由（1）知：B=，且b=1，根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：a2+c2﹣ac=1，∴1+ac=a2+c2≥2ac，即（2﹣）ac≤1，ac≤=2+，∴S△ABC=acsinB=ac≤，当且仅当a=c=时取等号，∴△ABC的面积最大值为．点评：此题考查了平面向量的数量积的坐标表示，三角函数的恒等变形，余弦定理及三角形的面积公式．学生作第二问时注意利用基本不等式求出ac的最大值是解本题的关键．17．已知向量（1）求的最大值（2）若，且，求cosβ的值．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．专题：计算题．分析：（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．解答：解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有||=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由，得，即．∴，于是．…．点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．考查计算能力．18．经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升（L）7.5元．（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）由题意，当0＜v≤50时，y==，当v＞50时，=，由此能将y表示成速度v的函数关系式．（2）当0＜v≤50时，是单调减函数，故v=50时，y取得最小值，当v＞50时，，由导数求得当v=100时，y取得最小值+600=2400，由于3150＞2400，知当卡车以100km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．解答：解：（1）由题意，当0＜v≤50时，y==30•=，当v＞50时，==，∴．（2）当0＜v≤50时，是单调减函数，故v=50时，y取得最小值，当v＞50时，，由==0，得v=100．当50＜v＜100时，y′＜0，函数单调递增，∴当v=100时，y取得最小值+600=2400，由于3150＞2400，所以，当v=100时，y取得最小值．答：当卡车以100km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是xx 届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．19．（16分）如图，平面直角坐标系中，射线y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分别依次有点A1、A2，…，A n，…，和点B1，B2，…，B n…，其中，，．且，（n=2，3，4…）．（1）用n表示|OA n|及点A n的坐标；（2）用n表示|B n B n+1|及点B n的坐标；（3）写出四边形A n A n+1B n+1B n的面积关于n的表达式S（n），并求S（n）的最大值．考点：数列与解析几何的综合；数列递推式．专题：计算题．分析：（1）由，能求出．（2）由，知，由此能用n表示|B n B n+1|及点B n的坐标．（3）由，写出四边形A n A n+1B n+1B n的面积关于n的表达式S（n），并求出S（n）的最大值．解答：解：（1）∵…∴…（2）…，∴…（3），∴…∵，∴n≥4时，S（n）单调递减．又，．∴n=2或3时，S（n）取得最大值…（18分）点评：本题考查数列与解析几何的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是xx届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．20．（16分）已知函数f（x）=ax3+|x﹣a|，a∈R．（1）若a=﹣1，求函数y=f（x）（x∈[0，+∞）的图象在x=1处的切线方程；（2）若g（x）=x4，试讨论方程f（x）=g（x）的实数解的个数；（3）当a＞0时，若对于任意的x1∈[a，a+2]，都存在x2∈[a+2，+∞），使得f（x1）f（x2）=1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出图象在x=1处的切线方程；（2）若g（x）=x4，方程等价于x=a或或，分类讨论，即可讨论方程f（x）=g（x）的实数解的个数；（3）确定函数f（x）在（a，+∞）上是增函数，且f（x）＞f（a）=a4＞0，对任意的x1∈[a，a+2]，都存在x2∈[a+2，+∞），使得f（x1）f（x2）=1024，所以[，]⊆[f（a+2），+∞），即可得出结论．解答：解：（1）当a=﹣1，x∈[0，+∞）时，f（x）=﹣x3+x+1，从而f′（x）=﹣3x2+1．当x=1时，f（1）=1，f′（1）=﹣2，所以函数y=f（x）（x∈[0，+∞））的图象在x=1处的切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3=0．…（2）f（x）=g（x）即为ax3+|x﹣a|=x4．所以x4﹣ax3=|x﹣a|，从而x3（x﹣a）=|x﹣a|．此方程等价于x=a或或…所以当a≥1时，方程f（x）=g（x）有两个不同的解a，﹣1；当﹣1＜a＜1时，方程f（x）=g（x）有三个不同的解a，﹣1，1；当a≤﹣1时，方程f（x）=g（x）有两个不同的解a，1．…（3）当a＞0，x∈（a，+∞）时，f（x）=ax3+x﹣a，f′（x）=3ax2+1＞0，所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数，且f（x）＞f（a）=a4＞0．所以当x∈[a，a+2]时，f（x）∈[f（a），f（a+2）]，∈[，]，当x∈[a+2，+∞）时，f（x）∈[f（a+2），+∞）．…因为对任意的x1∈[a，a+2]，都存在x2∈[a+2，+∞），使得f（x1）f（x2）=1024，所以[，]⊆[f（a+2），+∞）．…从而≥f（a+2）．所以f 2（a+2）≤1024，即f（a+2）≤32，也即a（a+2）3+2≤32．因为a＞0，显然a=1满足，而a≥2时，均不满足．所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}．…（16分）点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、附加卷21．变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应用的变换矩阵是．（Ⅰ）求点P（2，1）在T1作用下的点P′的坐标；（Ⅱ）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．考点：逆变换与逆矩阵；逆矩阵的简单性质（唯一性等）．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先写出时针旋转的旋转变换矩阵M1，再利用矩阵的乘法，求出点P'的坐标；（Ⅱ）先求M=M2M1，再求点的变换，从而利用函数y=x2求出变换的作用下所得曲线的方程解答：解：（Ⅰ），所以点P（2，1）在T1作用下的点P'的坐标是P'（﹣1，2）．…（Ⅱ），设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则，也就是{，，即，所以，所求曲线的方程是y﹣x=y2点评：本题以变换为载体，考查矩阵的乘法，考查点在变换下点的坐标的求法，属于中档题22．[选做题]已知圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．若直线l与圆C相切，求实数m的值．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线l与圆C相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数m的值解答：解：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，即圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，∴圆的圆心坐标为（2，0），半径为2又由消t，得x﹣y﹣m=0，∵直线l与圆C相切，∴圆心到直线的距离等于半径∴，解得．点评：本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径，研究直线与圆相切．23．在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为p，判断错误的概率为q，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完n题后总得分为S n”．（1）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望及方差；（2）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题．分析：（1）由题意知变量的可能取值是1，3，结合变量对应的事件和独立重复试验的概率公式写出变量对应的概率和分布列，做出期望和方差．（2）本题要求的概率是答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题，包括若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；和若第一题正确和第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题，两种情况，写出概率．解答：解：（1）∵ξ=|S3|的取值为1，3，又；∴，．∴ξ的分布列为：∴Eξ=1×+3×=；Dξ==（2）当S 8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题，又已知S i≥0（i=1，2，3，4），若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题正确，第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题．此时的概率为．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年xx届高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．24．设r，s，t为整数，集合{a|a=2r+2s+2t，0≤t＜s＜r}中的数由小到大组成数列{a n}．（1）写出数列{a n}的前三项；（2）求a36．考点：组合及组合数公式；有理数指数幂的运算性质；数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：（1）由于r，s，t为整数，且0≤t＜s＜r，下面对r进行分类讨论：r最小取2时，符合条件的数a有一个，当r=3时，符合条件有的数a有3个，由此求得数列{a n}的前三项．（2）同理可得r=4时，r=6时，r=7时，分别算出符合条件的数a的个数，最后利用加法原理计算即得．解答：解：（1）∵r、s、t为整数且0≤t＜s＜r，∴r最小取2，此时符合条件的数a有=1；…当r=3时，s，t 可在0，1，2中取，符合条件有的数a有=3；…故数列{a n}的前三项为：20+21+22=7，20+21+23=11，20+22+23=13．（2）同理，r=4时，符合条件有的数a有=6；…r=5时，符合条件有的数a有=10；…r=6时，符合条件有的数a有=15；…r=7时，符合条件有的数a有=21；…因此，a36是r=7中的最小值，即 a36=20+21+27=131．…点评：本题主要考查两个基本计数原理及数列的通项公式等基本概念，既要会合理分类，又要会合理分步，一般是先分类，后分步． 33034 810A 脊@20894 519E 冞I30717 77FD 矽`26336 66E0 曠}29015 7157 煗31610 7B7A 筺38307 95A3 閣20532 5034 倴。

2021年高三高考仿真（四）（数学文）说明：1．本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分.其中第一大题为选择题.2．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3．所有题目的解答均应在答题卡上做答，在本试卷和草稿纸上做答无效.做选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A) P(B)如果事件A在一次实验中发生的概率为P，那么n次独立重复实验中恰好发生k次的概率：球的表面积公式S=4，球的体积公式第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设A={x|y=}，B={y|y=2x-x2}，则A∪B=（）Ａ．RＢ．Ｃ．Ｄ．2..抛物线y=2x2的准线方程是（）A.8x+1=0B.8y+1=0C.8y-1=0D.4y+1=03. 直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A.x＋2y－1＝0B.2 x＋y－1＝0C.2 x＋y－3＝0D.x＋2y－3＝04.已知由正数组成的数列{a n}满足a1=1, a2=2，（n≥2），则对数的值为（）Ａ．100 Ｂ．99Ｃ．50 Ｄ． 5．给出下列三个等式：f (xy )=f (x )+f (y )，f (x +y )=f (x ) f (y )， ．下列函数中不满足其中任何一个等式的是 （ ） A ．f (x )= B ．f (x )=sin x +cos x C ． D ． 6．命题“对任意的”的否定是 （ ） A ．不存在 B ．存在 C ．存在 D ．对任意的 7.设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++， 则的值为 （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 8.已知双曲线（a >0，b >0）的两条渐近线和抛物线y =x 2+相切，则双曲线的离心率是 （ ） A . B . C .2 D . 9.如果点P 在平面区域内，点Q 在曲线上，则|PQ |的最小值为（ ） A ．2 B . C . D . 10．已知三棱锥A —BCD 的外接球球心在CD 上，且AB =BC =，BD =1，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是 （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 10.在非直角△ABC 中，向量与向量的夹角为 （ ） A .锐角 B .直角 C .钝角 D .0 12．某班从5名男生和4名女生中选派4人去参加一个座谈会，要求男生甲和女生乙至少有一人参加，且男女生都有.则不同的选派方法有 （ ） Ａ．85种 Ｂ．86种 Ｃ．90种 Ｄ．91种 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二.填空题.（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.函数y =的最大值为_________. 14. 函数的图象与直线y =k 有且只有两个交点，则k 的取值范围是__________. 15.某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查 这 些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取_______名学生. 16.如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，在此棱锥的侧面、底面及对角面PAC 和PBD 中任取两个面，这两个面互相垂直的概率为_______. 三. 解答题 考号_______________ ________________________________________——————线—————————————_______________________________________17.（本题满分10分） 已知43cos sin cos sin 2cos sin )(344--++=x x x x x x x f . ⑴求的周期和单调减区间；⑵设A 为锐角三角形的内角，且，求tan A 的值.18.（本题满分12分）数学单选题，每个题都有4个选项，其中只有一个是正确的.一次数学测验中，共出12道选择题，每题5分.同学甲和乙都会做其中的9道题，另外3道题，甲只能随意猜；乙有两道题各能排除一个错误选项，另一题能排除两个错误选项.求：⑴同学甲和乙选择题都得55分的概率；⑵就选择题而言，乙比甲多得10分的概率.19.（本题满分12分）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，PD⊥底面ABCD，平面PBC⊥平面PBD，PA与BC成60°角.⑴求证：CD=2PD=2；⑵求侧面PAD与侧面PBC所成的锐二面角的大小.20.（本题满分12分）已知是公差为d（d>0）的等差数列, 的前n项的平均数.⑴证明数列也是等差数列，并指出公差；⑵记的前n项和为，的前n项和为的前n项和为，求证: .21.（本题满分12分）已知x+c.⑴如果b=0，且在x=1时取得极值，求a的值，并指出这个极值是极大值还是极小值，说明理由；⑵当a=-1时，如果函数y=的图象上有三个不同点处的切线与直线x+2y+3=0垂直，求b的取值范围.22.（本题满分12分）已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1、F2，上、下顶点分别为B1、B2，四边形B1F1B2F2的一个内角等于，椭圆过点P（1，）.⑴求椭圆E的方程；⑵直线l的斜率等于椭圆E的离心率，且交椭圆于A、B两点，直线PA和PB分别交x轴于点M、N，求证：|PM|=|PN|.唐山一中2011届高三年级数学仿真训练考试卷 （文科四）参考答案一、选择题1—5题ABDDB 6—10题CACDC 11—12题BB二、填空题13. 14.(1,) 15.40 16.三、解答题17. 解：⑴43)1sin 2(cos sin cos sin 2)cos (sin )(222222--+-+=x x x x x x x x f的周期为，减区间为(k ∈Z)；⑵由，得.∵0<A <，∴<4A +<, 4A +=,2A =.于是tan2A =，解得tan A =1+,或tan A =1-.∵tan A >0，∴tan A =1+.18. 解：⑴甲乙都得55分，就是二人各猜对2个题.甲猜对2个题的概率为乙猜对2个题的概率为二人各猜对2个题的概率为P 1=;⑵不会的3个题目，解答情况如下：乙对2道，甲对0道的概率为12815)411(]21)311(3121-1)31[(3122=-⨯⨯-⨯⨯+⨯C ）（ 乙对3道，甲对1道的概率为所以，乙比甲多得10分的概率.19. 解：⑴作DE ⊥PB 于E ,∵平面PBC ⊥平面PBD ，∴DE ⊥平面PBC ，得DE ⊥BC .又∵PD ⊥BC ，PD ∩DE =D ，∴BC ⊥平面PBD ，得BC ⊥BD .∵AB =AD =1,AB ∥CD ，∴∠CDB =∠DBA =45°.BC =BD =,CD =2.取CD 中点F ，连AF ，PF .则AF ∥BC ，∠PAF 为PA 与BC 所成的角，∴∠PAF =60°，∵Rt ΔADP ≌Rt ΔFDP ，∴PA =PF ，∴△PAF 为等边三角形，∴PD =AD =DF = 1;（2）延长DA ，CB 交于G ，连PG ，则PG 是所求二面角的棱.作DH ⊥PG 于H ，连CH ，根据三垂线定理，CH ⊥PG ，∴∠CHD 是侧面PAD 与侧面PBC 所成二面角的平面角， PD =1 ，GD =2，DH =，CD =2，tan ∠CHD =，∴侧面PAD 与侧面PBC 所成锐二面角的大小为arc tan ；解2：⑴建立空间直角坐标系如图，设CD =a ,PD =b ,则A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,a ,0),D (0,0,0), P (0,0,b ).设BD 中点为M （，0），则AM ⊥平面PBD ,所以是平面PBD 的一个法向量.=(-1,a -1,0),=(0,a ,-b ),设n =(x ,y ,z)是平面PBC 的法向量,则-x +(a -1)y =0,且ay -b z =0,令y =1,则x =a -1,z =,n =(a -1,1, ).∵平面PBC ⊥平面PBD ，∴·n ==0,得a =2.=(-1,1,0)，=(1,0,-b ),cos 60°=，解得b =1.所以,CD =2PD =2；⑵由⑴知,平面PBC 的法向量为n =(1,1,2)，=（1，0，0）是平面PAD 的法向量,设平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角为θ,则cos θ=.∴侧面PAD 与侧面PBC 所成锐二面角的大小为arc cos .20. 解.（1）∵2)1(2)1(...1121d n x n d n n nx n S n x x x x n n n ⋅-+=-+==+++= ∴{}是以x 1为首项，以d 2为公差的等差数列； （2）∵，∴∴)111(4)1(14111+-⋅=+⋅=-++n n d n n d T S n n ∴)]111(...)4131()3121()211[(4+-++-+-+-=n n d U n . 21. 解：⑴，∵x =1是f (x )的极值点，∴=a +2=0，a =-2 .此时，=x (x 2-x -2=x （x -1）（x +2）所以0<x <1时，<0，当x >1时，>0因此f (x )在x =1处取得极小值.⑵当a =-1时，+b ，直线x +2y +3=0的斜率为，依题意，方程+b =2有三个不等的实根.设g (x )= +b -2,由=3x 2+2x -1=(3x -1)(x +1)=0得x 1=-1,x 2=.列表讨论（略）知，在x =-1处取得极大值，在x =处取得极小值.极大值为g (-1)=b -1，极小值为g ()=b -，由b -1>0，且b -<0得，1<b <.22. 解：⑴由b >=c 知∠F 1B 1F 2=，由此可得，椭圆方程简化为，以点P (1，)代入得b 2=3，a 2=4.椭圆方程为；⑵c ==1，离心率e =.设直线l 的方程为y =x +m ，代入椭圆方程整理 得x 2+mx +m 2-3=0，所以x 1+x 2=-m ，x 1x 2=-m 2-3，要证|PM |=|PN |，只需证直线PA 的斜率k 1与直线PB 的斜率k 2互为相反数，k 1+k 2=)1)(1(2)1)(32()1)(32(1231232112212211----+--=--+--x x x y x y x y x y ∵=)1)(32()1)(32(1221--++--+x m x x m x=2x 1x 2+(2m -4)(x 1+x 2)+6-4m =2(m 2-3)+(2m -4)(-m )+6-4m =0所以，k 1+k 2=0，因此|PM |=|PN |.。

甘肃省武威市2021届新高考第四次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ） A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b ，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b，∴b a ==双曲线的渐近线方程为：x y x==, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 2．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36【答案】B 【解析】【分析】 【详解】方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=168816x x =++≥=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则2222822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．3．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数，分当0x <，0x >，将问题转化为()f x k x=的零点问题，用数形结合的方法研究. 【详解】 当0x <时，()21f x k xx==，令()()2312g ,'0x g x x x ==->，()g x 在()0x ∈-∞，是增函数，0k >时，()f x k x=有一个零点， 当0x >时，()2ln f x xk xx ==，令()()23ln 12ln h ,x x x h x x x -'==当x ∈时，'()0h x ＞，∴()h x在上单调递增，当)x ∈+∞时，'()0h x ＜，∴()h x在)+∞上单调递减，所以当x e =时，()h x 取得最大值12e， 因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 所以当0x >时，()f x k x=有2个零点， 如图所示：所以实数k 的取值范围为1(0,)2e综上可得实数k 的取值范围为1(0,)2e， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题. 4．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16 B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得，，时，，将换为，两式相除，，，累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值．【详解】解：，即，，时，，，两式相除可得，则，，由，，，，，可得，且，正整数时，要使得成立，则，则，故选：．【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cm +D ．()2454cm +【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.侧面的高为22215+=，所以侧面积为1425452⨯⨯⨯=.所以该几何体的表面积是()2454cm +.故选：D 【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.6．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝3，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C ．32 D ．34【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝12×A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解. 【详解】由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题. 8．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【详解】因为3tan()4πα+=-,由诱导公式可得,sin 3tan cos 4ααα==-, 即3sin cos 4αα=-, 因为22sin cos 1αα+=, 所以216cos 25α=, 由二倍角的正弦公式可得,23sin 22sin cos cos 2αααα==-,所以31624sin 222525α=-⨯=-. 故选:D 【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.9．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭ ④()g x 存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,由cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可求得值域；利用代入检验法判断②③；对()g x 求导,并得到导函数的值域,即可判断④. 【详解】由题,21cos 2()sin 2x f x x -==,则向右平移12π个单位可得,1cos 21112()cos 22262x g x x ππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==--+ ⎪⎝⎭ cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,()g x ∴的值域为[0,1],①错误；当12x π=时,206x π-=,所以12x π=是函数()g x 的一条对称轴,②正确；当3x π=时,226x ππ-=,所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭,③正确； ()sin 2[1,1]6g x x π⎛⎫'=-∈- ⎪⎝⎭,则1212,,()1,()1x x R g x g x ''∃∈=-=,使得12()()1g x g x ''⋅=-,则()g x 在1x x =和2x x =处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个. 故选:C 【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.10．函数cos ()22x xx x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号，即可求解.【详解】由cos ()()22x xx xf x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02x π<<时，cos 0x >，cos ()220x xx xf x -∴=+＞，排除选项D ， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.11．已知函数()f x 满足(4)17f =，设00()f x y =，则“017y =”是“04x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：若04x =，则()0()417f x f ==，即017y =成立，若2()1f x x =+，则由00()17f x y ==，得04x =±，则“017y =”是“04x =”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题． 12．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[)0,+∞ B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】由已知先求出1max ()2n f x -=，即12n n a ，进一步可得21n n S =-，再将所求问题转化为292nn k -≥对于任意正整数n 恒成立，设n c =292nn -，只需找到数列{}n c 的最大值即可. 【详解】当222n x n -≤<时，则0222x n ≤+-<，(22)(22)(2)f x n x n x n +-=-+--， 所以，11()2[2(1)]2n n f x f x n --=--=-(22)(2)x n x n +--，显然当21x n =-时，1max ()2n f x -=，故12n na ，1(12)2112n n n S ⨯-==--，若对于任意正整数n 不等式 ()129n k S n +≥-恒成立，即229n k n ≥-对于任意正整数n 恒成立，即292nn k -≥对于任 意正整数n 恒成立，设n c =292n n -，111122n n n n c c ++--=，令111202n n +->，解得112n <， 令111202n n +-<，解得112n >，考虑到*n N ∈，故有当5n ≤时，{}n c 单调递增， 当6n ≥时，有{}n c 单调递减，故数列{}n c 的最大值为6633264c ==，所以364k ≥. 故选：C. 【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n 项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市普通高中2021届高考数学仿真试卷(四)一、单选题（本大题共27小题，共81.0分） 1.设p ，q 是两个命题：p ：log 12(|x|−3)>0,q ：x 2−56x +16>0，则p 是q 的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知函数f(x)={1−log 3(3−2x),x <13x−1,x ≥1，则f(−3)+f(log 315)=( )A. 2B. 4C. 6D. 83.若lna =log 13b =2c <1，则( ) A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. c >a >b4.点C 是线段AB 上任意一点，P 是直线AB 外一点，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，不等式m[λ2(μ+3)+μ2(λ+1)]≥(λ+1)(μ+3)(1−m ×3n )对满足条件的λ，μ及∀n ∈N 恒成立，则实数m 的取值范围( )A. [27,+∞)B. [12,+∞)C. [45,+∞)D. [56,+∞)5.在直角坐标系中，已知O 为坐标原点，A(−1,0)，B(1,0).点P 满足k PA ⋅k PB =3且|PA|+|PB|=4，则|OP|=( )A. 7√1313B. √855C. 5√1313D. √1326.直线x =π3，x =π2都是函数f(x)=sin(ωx +ϕ)(ω>0,−π<ϕ≤π)的对称轴，且函数f(x)在区间[π3,π2]上单调递减，则( )A. ω=6，φ=π2 B. ω=6，φ=−π2 C. ω=3，φ=π2D. ω=3，φ=−π27.已知角α的终边过点(12,−5)，则sinα+12cosα的值等于( )A. −113B. 113C. −112D. 1128.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成．若棱台两底面面积分别是400cm2，900cm2，高为9cm，长方体形凹槽的高为12cm，斗的密度是0.50g/cm3.那么这个斗的质量是()A. 3990gB. 3010gC. 6900gD. 6300g9.已知点，，若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为A. 4B. 3C. 2D. 1(a>0)，则点P的10.设定点F1(2,0)，F2(−2,0)，平面内一动点P满足条件|PF1|+|PF2|=4a+1a 轨迹是()A. 椭圆B. 双曲线C. 线段D. 椭圆或线段11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是1，线段B1D1上有两个动，则下列结论中错误的是()点E，F，且|EF|=√22A. AC⊥BEB. EF//平面ABCDC. 三棱锥A−BEF的体积为定值D. E，F，A，B四点共面12.直线a，b是异面直线是指①a∩b=⌀，且a与b不平行；②a⊂面α，b⊂面β，且平面α∩β=⌀；③a⊂面α，b⊂面β，且a∩b=⌀；④不存在平面α，能使a⊂α且b⊂α成立．上述结论正确的有()A. ①④B. ②③C. ③④D. ②④=()13.化简：1+sin4α+cos4α1+sin4α−cos4αA. cotαB. cot2αC. tanαD. tan2a14. 已知向量a⃗ =(2k −3,−6)，c ⃗ =(2,1)且a ⃗ //c ⃗ 则实数k =( ) A. −92B. 152C. 1515. 已知不重合的直线和平面，且， .给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；其中正确命题的个数( )A. 1B. 2C. 3D. 416. 给出函数f(x)=a 2x−1+2(a 为常数，且a >0，a ≠1)，无论a 取何值，函数f(x)恒过定点P ，则P 的坐标是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (1,3)D. (12,3)17. 若函数f(x)的定义域为[0,3)，则函数f(2x +1)的定义域是( )A. [1,7)B. [−12,7)C. [−12,1)D. [0,3)18. 设A ，B ，C 在一条直线上，O 在该直线外，已知OC⃗⃗⃗⃗⃗ =3x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−5x)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 等于( ) A. 0B. 0.5C. 1D. 1.519. 已知函数则函数的零点个数为( )A. B. C. D.20. 某小区有老年人28个，中年人57个，年轻人63个，为了调查他们的身体健康状况，从他们中抽取容量为21的样本，最适合抽取样本的方法是( )A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 先从中年人中随机剔除1人，再用分层抽样21. 某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n −m =( )A. 5B. 6C. 7D. 822. 设△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 2+b 2=abcosC +√3absinC ，则△ABC 的形状为( )A. 直角非等腰三角形B. 等腰非等边三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形23. 某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f(n)=k(n)(n −10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)=现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分，则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A. 600元B. 900元C. 1600元D. 1700元24. 2.已知直线和平面，则能推出的是( )A. B. C. D.25. 在某公司中秋联欢晚会上设计了一个抽奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中抽出3个球，至少抽到2个红球就中奖，则中奖的概率为( )A. 2091B. 2291C. 2491D. 269126. 从集合{1,2，3，4}中随机取一个元素a ，从集合{1,2，3}中随机取一个元素b ，则a >b 的概率是( )A. 512B. 12C. 712D. 2327. 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是13，乙解决这个问题的概率是14，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是( )A.B.C.D.二、解答题（本大题共4小题，共19.0分） 28. 定义行列式运算：∣∣∣x 1x 2x 3x 4∣∣∣=x 1x 4−x 2x 3，若函数f(x)=∣∣∣sin(ωx −π3)cosωx 01∣∣∣(ω>0)的最小正周期是π．(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)数列{a n}的前n项和S n=An2，且A=f(5π12)，求证：数列{2a n a n+1}的前n项和T n<1．29.如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P为AB的中点．(1)求证：平面PCF⊥平面PDE；(2)求四面体PCEF的体积．30.已知圆C：(x−1)2+y2=9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A、B两点．(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(写一般式)(2)当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．31.(12分)(2015・六安一中检测)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v(x)是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数f(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时同内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x・v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【答案与解析】1.答案：A解析：解：p ：∵0<|x|−3<1， ∴3<|x|<4，∴−4<x <−3或3<x <4，q ：(−∞,13)∪(12,+∞)，结合数轴知p 是q 的充分而不必要条件，故选A首先解两个不等式，再判断不等式解的范围，判断p ，q 条件关系．本题主要考查对数不等式的求解，多项式不等式的求解，以及命题的充要条件，充分条件，必要条件的判断．要认真掌握．2.答案：B解析：解：∵函数f(x)={1−log 3(3−2x),x <13x−1,x ≥1，∴f(−3)=1−log 3(3+6)=−1， f(log 315)=3log 315−1=153=5，f(−3)+f(log 315)=−1+5=4． 故选：B ．推导出f(−3)=1−log 3(3+6)=−1，f(log 315)=3log 315−1=153=5，由此能求出f(−3)+f(log 315)的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解∵2c <1，∴c <0，∵lna =log 13b =2c <1，∴0<lna =log 13b <1，∴1<a <e ，13<b <1， ∴a >b >c ， 故选：A ．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4.答案：D解析：解：根据向量共线定理得：λ+μ=1，即μ=1−λ，其中λ∈[0,1]， 所以(λ+1)(μ+3)>0， 所以可将不等式化简为：(3λ2−λ+1−λ2+3λ+4)m ≥1−m ×3n ，令f(λ)=3λ2−λ+1−λ+3λ+4，λ∈[0,1]，所以f′(λ)=(4λ−1)(2λ+7)(−λ2+3λ+4)2，当f′(λ)>0时，λ∈(14,1)，即f(λ)在(14,1)上单调递增， 当f′(λ)<0时，λ∈(0,14)，即f(λ)在(0,14)上单调递减， 所以f(λ)在14处取得最小值，因为该不等式对满足条件的λ，μ及∀n ∈N 恒成立， 所以(3λ2−λ+1−λ2+3λ+4)m ≥1−m ×3n ，当m =0时，不等式不成立，当m <0时，等价于(3n )max ≤(1m −f(λ))min 恒成立，因为3n 没有最大值，所以不符合题意，舍去， 当m >0时，等价于(3n )min ≥(1m −f(λ))max 恒成立，即(3n )min ≥1m −f(λ)min ， 因为(3n )min =1，f(λ)min =f(14)=15， 所以1≥1m −15， 解得m ≥56， 故选：D ．根据向量共线定理得μ=1−λ，λ∈[0,1]，不等式化简为：(3λ2−λ+1−λ2+3λ+4)m ≥1−m ×3n ，令f(λ)=3λ2−λ+1−λ+3λ+4，利用导数得到f(λ)在14处取得最小值，再对m 分情况讨论，结合f(λ)的最小值，求出符合题意的m 的取值范围即可．本题主要考查了平面向量基本定理及坐标表示，函数的单调性以及不等关系与不等式，是中档题．5.答案：B解析：解：设点P(x,y)，A(−1,0)，B(1,0)， k PA =yx+1，k PB =yx−1， 所以k PA ⋅k PB =yx+1⋅yx−1=3， x 2−y 23=1，x ≠0，…①又|PA|+|PB|=4，所以点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆， 所以2a =4，a =2，c =1，b 2=a 2−b 2=3， 椭圆方程为x 24+y 23=1，…②由①②解得{x 2=85y 2=95， 则|OP|=√x 2+y 2=√85+95=√855．故选：B ．设出点P(x,y)，根据k PA ⋅k PB =3得出x 2−y 23=1(x ≠0)，根据|PA|+|PB|=4得出x 24+y 23=1，两方程联立得出x 2、y 2的值，计算OP 的值．本题考查了椭圆与双曲线的定义与标准方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．6.答案：A解析：解：直线x =π3，x =π2都是函数f(x)=sin(ωx +ϕ)(ω>0,−π<ϕ≤π)的对称轴，且函数f(x)在区间[π3,π2]上单调递减，所以T =2×(π2−π3)=π3； 所以ω=2ππ3=6，并且1=sin(6×π3+ϕ)，−π<ϕ≤π，所以，ϕ=π2；故选A ．由题意求出函数的周期，利用周期公式求出ω，结合−π<ϕ≤π，利用对称轴求出ϕ的值，即可得到选项．本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，函数的基本性质，考查计算能力，推理能力．7.答案：B解析：解：∵α的终边过点(12,−5)， ∴r =√122+(−5)2=13，则sinα=−513，cosα=1213， 则sinα+12cosα=−513+12×1213=−513+613=113， 故选：B ．根据三角函数的定义求出sinα和cosα的值即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的定义进行求解是解决本题的关键．比较基础．8.答案：C解析：解：由题，棱台的体积V 1=13⋅9⋅(400+900+⋅√400⋅900)=5700(cm 3)，根据题意，长方体形凹槽是指长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体， 所以长方体的凹槽的体积是原长方体体积的34倍． 长方体形凹槽的体积V 2=34⋅900⋅12=8100(cm 3)，这个斗的质量为m =ρ⋅(V 1+V 2)=0.50×(5700+8100)=6900g ． 故选：C ．根据题意，分别求出棱台的体积和长方体凹槽的体积，根据质量等于密度乘以体积即可求得． 本题主要考查空间几何体的体积公式，考查学生数形结合的能力，属于基础题．9.答案：A解析：试题分析：因为，所以AB 所在的直线方程为x +y −2=0，设过点C 与AB 平行且距离为2的直线为x +y +c =0，则直线x +y +c =0与抛物线的交点即为满足条件的点C ，又由两平行线间的距离公式得：，则满足条件的直线有两条，经验证有四个交点，因此选A 。