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椭圆柱体二维液态声子晶体声波禁带的研究

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2005207224收到第1稿,2005209213收到修改稿.椭圆柱体二维液态声子晶体声波禁带的研究黄　飞　何　锃(华中科技大学力学系,武汉　430074)

摘要　将椭圆柱体引入2维声子晶体中,采用平面波展开法计算了该系统的声波禁带结构.对于不同的椭圆柱体截面形状以及旋转角度,该体系都发现了完全禁带,但其禁带的位置与大小有很大不同.当晶格常数a1=4cm,a2=3.2cm,填充率F=0.35时,椭圆柱体截面不旋转的体系只产生一个禁带,其宽度为0.453,而截面旋转π/4的体系产生3个声波禁带,其宽度分别为0.458,0.023和0.062.研究结果表明:在这种2维非均匀液态体系中,声波禁带结构受到填充率,椭圆柱体截面形状以及旋转角度的影响.

关键词　声子晶体,周期性结构,声子禁带,能带结构

引言近年来,人们对弹性波在声子晶体中传播特性的研究产生了广泛兴趣[1～11].理论和试验研究都

已证明,声子晶体可以产生一定的弹性波禁带,能够禁止某些频率的弹性波或声波在其内部传播.声子晶体在工程上具有广泛的应用前景,如环境的减振降噪,精密仪器的隔振,舰艇的消声瓦等.

声子晶体(phononiccrystal)一般是指由两相或者两相以上的弹性介质在空间上形成的周期性结构,通常情况下将晶体中连续的相称为基体,不连续的相称为散射体.根据声子晶体在空间坐标的分布,可以将其分为一维(1D),二维(2D),三维(3D)声子晶体:一维声子晶体,一般代表周期性层

状结构;二维声子晶体,一般针对柱体材料的中心轴线平行于某一方向并将其埋入另一基体中形成的周期性点阵结构;三维声子晶体就是球形散射体埋入某一基体中形成的周期性点阵结构.

声子晶体中弹性波禁带结构的计算方法有平面波展开法(PWE)[3～8],时域有限差分法

(FDTD)[9],多重散射法(MST)[10]等.人们已经研

究了不同结构和不同组成材料的声子晶体,3D的有面心立方结构[11],简单立方结构等[3];2D的有

正方晶格[4],长方晶格[5],三角晶格[6]以及氮化硼(BN)[7]晶格等;其组成成分可以是固体,液体或者

气体;在上述声子晶体中人们都发现了完全禁带.人们对大量不同结构的2D双组分液态声子晶体进行了研究,但他们总是将散射体的截面形状假设为圆形或者正方形,如Kushwahaetal[4,6]研究了圆截面散射体的正方晶格和六角晶格的2D海水/水银体系,Vasseuretal[7,8]研究了近似BN结构的2D海水/水银体系,吴福根等人研究了具有正方形截面散射体的长方晶格2D水/水银体系[5].到目前为止,其他截面形状的散射体很少被涉及到.本文引入了椭圆这种散射体截面形状,采用平面波展开法计算了椭圆截面的无限水柱被水银基体包围形成长方晶格体系的禁带结构,探讨椭圆截面的形状变化以及截面绕中心轴旋转时,对弹性波禁带结构产生的影响.本文采用水(水银)的材料参数ρ=0.998(13.5)×103kg/m3,cl=1496.7(1450.0)m/s.1　平面波算法的基本原理声波在液体中传播的波动方程为(C11)-152Φ5t2=󰃝・(ρ-1󰃝Φ)(1)此处C11=ρc2l是体积弹性模量(bulkmodulusofelasticity),ρ为密度,cl为声波在液体中的传播速度.利用2D声子晶体结构上的空间周期性,将平面波算法引入到波动方程的计算中,其基本思想是,将波动方程中的位移、弹性参数等物理量在倒

第3卷第4期2005年12月动力学与控制学报JOURNALOFDYNAMICSANDCONTROLVol.3No.4Dec.2005格矢空间以平面波叠加的形式近似展开为Fourier

级数,然后将波动方程转化成一个本征方程,求解本征值便可得到本征频率与波矢之间的色散关系,

即能带结构.

图1为典型的2D长方点阵旋转椭圆截面散射柱体声子晶体的横截面图,Z方向垂直于XY平面,

白色表示基体b,黑色表示插入基体中的椭圆散射柱体i,它的中心轴线平行于Z轴,a1,a2为晶格常数,α为椭圆截面绕中心轴的旋转角度.当b和i都是液体时,采用一种密度和弹性常数与i相同的橡胶材料包覆i,即可以形成2D液相声子晶体[4,6～8].

图1　二维椭圆截面长方点阵声子晶体的横截面图Fig.1　Atransversecrosssectionof2Dphononiccrystal:arectangulararrayofinfiniteellipticalcylindersperiodicallydistributedinaninfinitehost根据Bloch理论,(1)式的解Φ(r,t)可以表示为Φ(r,t)=ei(K・r-ωt)∑GΦK+GeiG・r

(2)

此处的K为二维Bloch波矢,r是晶体中任意格矢量,G是倒易空间的任意格矢量[12].利用密度

和体积弹性模量的2D周期性,将ρ-1(r)和

C-111(r)用Fourier级数表示ζ(r)=∑GζGeiG・r

(3)

其中ζG=S-1∫d2rζ(r)e-iG・r

(4)

此处,ζ(r)表示ρ-1和C

-1

11,S表示单元晶格的面

积,积分在整个单元晶格上进行.

假设散射体i的填充率为F,其密度和体积弹性模量表示为ρi和C

11i

,相应的基体b的填充率为

1-F,密度和体积弹性模量为ρb和C11b,可以得到ζG=ζiF+ζb(1-F)≡󰁦ζ,(ζi-ζb)P(G)≡(Δζ)P(G),G=0G≠0(5)此处的P(G)定义为结构函数,它仅仅与组元i的几何形状有关,而与具体的排列无关.P(G)=S-1∫id2re-iG・r(6)此处的积分在椭圆散射柱体的横截面上进行.将方程(2)、(3)和(5)代入方程(1),可以得到[󰁡ρ-1|K+G|2-󰁫C-111ω2]ΦK+G+∑G′≠GP(G- G′)[(k+G′)Δρ-1-ΔC-111ω2]ΦK+G=0(7)上式可以变为标准特征方程∑G′AGG′ΦK(G)′=ω2ΦK(G)(8)其中A=M-1N,而矩阵M和N分别定义如下,MGG′=P(G-G′)(ΔC-111)(1-δGG′)+ δGG′󰁫C-111NGG′=[P(G-G′)(Δρ-1)(1-δGG′)+ δGG′󰁡ρ-111](K+G)(G+G′)(9)式(8)表示对无限多个倒格矢G进行求和,本文用L个倒格矢的求和来替代,只要L取的足够大,就可以保证结果的收敛性,这样,标准方程就变成了L×L的矩阵的计算.令波矢K扫过整个不可约Brillouin区[12],求解矩阵A的特征值后即可得到频率带ωn(K),其中n代表不同阶频率带.2　椭圆截面的结构函数本文研究了散射体截面形状为椭圆的2D长方点阵结构声子晶体,其倒易向量G可以表示为G=h1a31+h2a32=2πh1a1i+h2a2j(10)其中a31=2πi/a1,a32=2πj/a2,h1,h2是整数,当声子晶体散射体的截面形状为椭圆时,结构函数P(G)与椭圆截面的半径以及旋转角度有关,考虑以下两种情况(1)椭圆截面不旋转,即图1中α=0,考虑椭圆方程x2r2x+y2r2y=1(11)其中rx,r

y

为椭圆的半径,引入临时变量r和R,令

78第4期黄　飞等:椭圆柱体二维液态声子晶体声波禁带的研究x=rxRrcosθ;y=ryRrsinθ(12)则椭圆截面的结构函数可以表示为

P(G)=S-1∫iexp(-iG・r′)dr′2=

S

-1

∫R0rxryR2rdr∫2π

0exp-i

2π

a1

hii+

2πa2

h2j・rxRrcosθi+ryRrsingθjd

θ

=

rxry

R2S∫

R

0rdr∫2π0exp×

-i・2πh21a21r2x+h22a22r2yR-1rcosθ

′

dθ

′

(13)其中

θ′=θ+β;tanβ=

h1a2rx

h2a1ry

(14)

最终,结构函数为

P(G)=2FJ1(G0r0)

G0r0

(15)

其中

G0r0=2πh21a21r2x+h22a22r2y(16)

式中J1为一阶的第一类Bessel函数.填充率F=

πr

xry/a1a2,

其最大值随着椭圆半径的变化而

变化.

(2)椭圆截面绕其中心轴旋转α,即图1中α≠0,假设逆时针为正,引入坐标变换x2y2=cosαsinα-sinαcosαx1

y1

(17)

采用相同的方法经过变换可以得到结构函数P(G)=2FJ1(2πA21r2x+A22r2y)

2πA21r2x+A22r

2

y

(18)

其中A1=h1a1cosα+h2

a2

sinα

A2=-h1a1sinα+h2

a2

cosα(19)

填充率F的最大值随着椭圆半径以及α的变化而变化.当a

1=4cm,a2=3.2cm,

椭圆的半径及α

任意变化时,F的最大值如图2实线所示,当限定ry=0.8rx

而α任意变化时,F的最大值如图2虚

线所示.

图2　最大填充率Fmax与旋转角度α的关系;

实线表示椭圆截面的半径rx,ry任意变化,

虚线表示限定r

y=0.8rx,其中a1=4cm,a2=3.2cm.

Fig.2　ThemaximumfillingfractionFmaxvsrotatingangleα.Thesolidlinerepresentsthatrxandrycanvaryarbitrarily.Thedashedlinerepresentsry=0.8rx.(a1=4cmanda2=3.2cm)在计算中,h1和h2满足-L≤h1,h2≤+L,

为了保证收敛性,取441(即L=10)个平面波和

4900个K点,即沿着第一Brillouin区(FBZ)的ΓX

方向取70个K点.图3所示即为长方点阵的FBZ.

在本文中,如不作特别说明,则晶格常数取为a

1=

4cm,a2=3.2cm,填充率为F=0.35.

图3　二维长方点阵第一Brillouin区Fig.3　ThefirstBrillouinzoneoftherectangularreciprocallattice

3　计算结果分析图4表示α=0时椭圆截面散射柱体的水/水银声子晶体中前10阶频带结构图和DOS图(densityofstate)

,图中的阴影部分即为声波禁带.

图中纵轴表示归一化的频率Ωn=(ωna1/2󰁡cl),

其

中󰁡c

l=(󰁡ρ-1/󰁫C-111)1/2.图4(a

)的横轴表示无量纲

的波矢向量k=Ka

1/2π,它表示当k

仅仅扫过

FBZ中MΓXMYΓ的周边时的频率带.图4(b)的横

88动　力　学　与　控　制　学　报2005年第3卷

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二维声子晶体带隙影响因素研究

二维声子晶体带隙影响因素研究


根 据 Ｂｏｈ定 理 ， 维 声 子 晶 体 的 位 移 本 征 场 ｌ ｃ 二
（ ）具 有如 下形式 Ｊ ， ： ｕ ｒ ｔ ＝ｅ …ｕ （ ） （ ，） “ ｔ ， （） ３
求 便 （） ３ 式中， ｋ＝ ［ ｂｒ 为布洛赫波矢 ， ａ， 在第一布里 程 ， 解其特 征值 ， 能得 到对 应 的频 率 。 当 ｋ取 遍
念， 并对 Ｎ—ｌ ｉ 四方排列的周期复合结构材料 ， Ａ 利用
平 面波 展开 法 计 算 获得 了在 剪 切 模 态 下 的 弹性 波 禁 带 。１９ ９５年 Ｍａｔｅ．ａ ｒｎｚＳｌ ｉ ａ等 对 马德 里 的一 座 ２０年前 制作 的雕 塑“ 动的旋 律 ” ０ 流 进行 声 学特 性 测 试， 第一 次从实 验 上证 实 了 弹性 波禁 带 的存 在 。声 子 晶体作 为一 种声 功 能材 料 ， 能 通 过对 其 周 期 结 可
子 晶体 具有 很 多 奇 妙 的特 性 Ｊ如 表 面态 、 陷 态 ， 缺 以及 负 折射 率 等 ， 这对 于 制 作声 表 面器 件 、 波 导 声
器件 有着 重要 的意义 。
体， 设 轴 与散 射 体 平 行 ， 失 一 般 性 ， 不 限定 波 仅 在 ｘｙ平 面 内传 播 。 于是 ， 以 得 到 两 个 解 耦 的波 动 ｏ 可 方 程 ， 是 只有 轴 方 向位 移 分 量 的剪 切模 态 的 一个 控 制方程
ｌ０ ３３
＝
Ｐ
｛（ ＋ ［ ＋， 毒Ａ 毒 （ Ｏ］ ） … ） ｕ Ｚ １
（） ２
而 与元胞 的形状无 关 ， 于半 径 为 足 的 圆柱形 散 射 对 体， 结构 函数 的具 体形 式 为 ｊ ：
ＰＧ （ Ｆ （） ９
（ ） 中 ：， ， ； Ｉ（ ）为位 移矢 量 Ｕ的 ２式 Ｚ＝ ｙ Ｉ ， 第 分 量 ； 分别 为介 质 的拉 梅 常数 和剪切 模量 。 Ａ
声子晶体带结构研究

声子晶体带结构研究

III
Yan Lin
Master Dissertation, Xiangtan University
scatterers (cube, cuboid and sphere) are taken into account. It is shown that, (1) the computational results are almost the same for SC、FCC and BCC structures when the scatterers are cuboid. The band gap width will increase at first and then decrease as the ratio of height and length increases. The largest band gap corresponds to the case of the ratio 1; (2) When the scatterers are cube with revolving angle θ （0ｏ≤θ≤45ｏ）, the (lowest) band gap width will decrease as the angle θ increases for SC and FCC structures. Totally differently, the largest gap for BCC structure appears at θ= 45ｏ; (3) The (lowest) band gap is the largest when scatterers are arranged in FCC structure and the band gap is the smallest when scatterers are arranged in SC structure.
声子学中的声子晶体结构及其特性研究

声子学中的声子晶体结构及其特性研究

声子学中的声子晶体结构及其特性研究声子学是研究固体中声子（晶体中的准粒子）的产生、传播和相互作用的科学领域。

声子晶体是固体中的一种周期性结构，其晶格周期和原子晶格周期相互耦合，并且对声子的传播和能量传递产生显著影响。

本文将着重讨论声子晶体结构及其特性的研究。

声子晶体的结构是由周期性激励介质的阻抗变化所构成。

这种结构可以在任何尺度上存在，从纳米尺度的材料到宏观尺度的结构。

这种阻抗变化会导致声子的反射、折射和散射，从而影响声子的传播和能量传递。

因此，声子晶体可以具有一些特殊的声子特性，例如声子带隙和声子束缚态。

声子带隙是声子晶体的最重要特性之一。

类似于电子带隙，声子带隙是指在特定频率范围内声子的能量禁闭区域。

当声子频率落在带隙范围内时，它们将被禁止传播。

这使得声子晶体可以具有特殊的声波传播性质，例如声子的能量传输受到限制，从而导致声波的衍射和干涉现象。

声子束缚态是另一个与声子晶体相关的特性。

束缚态是指声子在晶体中的局域化现象，类似于电子在晶体中的束缚态。

在声子晶体中，声子的振动模式被限制在局部区域，形成了束缚态。

这种束缚态可以用于设计和控制声子传播的路径和行为。

例如，通过调整声子束缚态的位置和能量，可以实现声子的制导和信息传输，这对实现声子器件和声子电路具有重要意义。

声子晶体的研究有着广泛的应用前景。

首先，声子晶体的特殊声波传播性质可以用于开发新型声子器件和声子电路，例如声子波导和声子晶体谐振器。

这些器件可以在声学信号处理、声波传感、声子信息传输等领域发挥重要作用。

其次，声子晶体的研究对于材料科学和能源领域也具有重要意义。

通过研究声子晶体中的声子特性，可以揭示材料的声子输运行为，从而提高材料的热导率和热电性能。

这对于开发高效的能源转换材料和热管理材料至关重要。

另外，声子晶体还可以用于光子学领域的研究。

声子晶体可以用来制备具有光子带隙的材料，这些材料可以在特定频率范围内禁止光子传播，从而实现光的控制和调制。

声子晶体材料的声子能带结构研究

声子晶体材料的声子能带结构研究

声子晶体材料的声子能带结构研究声子晶体是一种具有周期性结构的晶体材料，其单位胞具有与原子晶体类似的周期性。

不同于晶体材料中的电子能带结构，声子晶体材料中存在声子能带结构。

声子能带结构的研究对于理解声子在晶体中的行为具有重要意义，并对声子学领域的深入发展具有指导作用。

声子能带结构的概念最早由Debye于1912年提出。

就像电子在晶体中存在带隙一样，声子也存在能带结构，只是这种带隙通常非常小。

声子晶体的声子能带结构可以通过声子分散关系来描述，即声子频率与波矢之间的关系。

在声子晶体中，声子的波动性和周期性结构导致了声子能带的形成。

声子的波动性可以通过动量和频率之间的关系来描述，而声子晶体的周期性结构会对声子的传播产生影响，从而形成声子能带。

声子能带结构可以通过声子周期势能和布里渊区的几何形状来解释。

声子能带结构不仅取决于晶体的结构，还受到晶体的弹性性质、原子振动模式以及晶格畸变等因素的影响。

这些因素都会对声子的传播和能带结构产生重要影响。

例如，在一些非晶态或者较为复杂的结构中，声子能带结构可能会出现带隙或者多重能带交叉现象。

声子能带结构的研究对于理解声子在晶体中的行为和性质具有重要意义。

通过研究声子能带结构，可以探索声子的传播、散射和吸收等现象，以及声子在晶体中输运和热导率等特性。

这有助于我们理解声子与晶体中其他粒子的相互作用，为材料的性能优化和设计提供理论依据。

随着材料科学和声子学领域的发展，声子晶体材料的设计和制备成为研究热点。

通过调控晶格结构和振动模式，可以制备出具有特殊声子能带结构的材料，从而实现声子在特定频率和波矢范围内的筛选传播。

这为声子器件和声子能量调控等应用提供了新的思路和方法。

总之，声子晶体材料的声子能带结构研究是声子学领域的重要课题。

通过对声子能带结构的深入研究，我们可以更好地理解声子在晶体中的行为，并为材料性能优化和声子器件的设计提供理论指导。

随着材料科学和声子学的不断发展，相信对于声子能带结构的研究会取得更多的突破和进展，为声子学领域的发展带来更多的机遇和挑战。