广东省广州市广大附属实验学校2018届高三下学期数学周测

广东省2018届高三年级四校联考理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1. 集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】．故选.2.是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】，在复平面上对应的点位于第三象限．故选.3. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. 21B. 17C. 14D. 5【答案】B【解析】作可行域为如图所示的，其中，设，则，表示斜率为，纵截距为的直线，作直线并平移，使其经过可行域内的点，当直线过点时，取得最大值，．故选.4. 已知两个单位向量的夹角为，则的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B，所以当时，取得最小值．故选.解法2：如图，，因为，所以点在直线上运动，则，显然，当时，取得最小值，此时．故选.5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法，求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为4和2，则输出的值为（）A. 32B. 64C. 65D. 130【答案】C【解析】程序运行循环时变量值为：；；；，退出循环，输出，故选C．6. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选.7. 已知函数，若函数为奇函数，则的值为（）A. B. C. 0 D. 2【答案】B【解析】，令，得，又，所以函数的对称中心为，所以函数的对称中心为，根据题意可得，解得，所以．故选.8. 已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】当时，，当时，或，，两式相减，得或，，即或，，又因为，所以的最小值为．故选.解法2：直接令，得，解得．故选.9. 已知关于的方程在区间上有两个根，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，所以，作出函数的图像，由图可知，要使得方程在区间上有两个根，且，则，即．故选.10. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，，连结，分别交抛物线于点，且三点共线，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】直线的方程为，将其代入，解得，故；直线的方程为，将其代入，解得，故，又，所以，因为三点共线，所以，即，解得．故选.11.为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（）A. 或或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解析】作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线相切，则，即，设，则，当时，，分析可知，当时，函数有极大值也是最大值，，所以当时，有唯一解，此时直线与曲线相切．分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数有唯一零点．故选.【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.12. 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取中点，连接，则，，所以，设外接圆圆心为，半径为，则所以．同理可得：的外接圆半径也为2，因为，所以是等边三角形，，即二面角为，球心在平面上，过平面的截面如图所示，则，所以，所以，即，所以外接球的表面积．故选.【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法.在解决有关几何体外接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，再找另一个面的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 如图是一组数据的散点图，经最小二乘法计算，与之间的线性回归方程为，则_____________．【答案】【解析】，将代入，解得：．14. 的展开式中的系数为_____________．【答案】1【解析】，所以展开式中的系数为．15. 过双曲线右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_____________．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，根据题意可得，所以离心率，所以离心率的取值范围是．【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线，考查离心率和的关系，考查数形结合的数学思想方法.由于题目所给过右顶点的直线和双曲线右支交于两点，转化为渐近线的斜率小于该直线的斜率.双曲线的渐近线，在图像上显示的即是函数的图象无限的接近渐近线.在双曲线中，在椭圆中.16. 如图在平面四边形中，，则四边形的面积为_____________．【答案】【解析】连接，则，此时，，所以，取中点，连接，则，，，所以．【点睛】本题考查不规则四边形面积的求法，考查余弦定理解三角形.由于四边形是不规则的，所以要将求四边形面积的问题转化为求三角形面积的问题来求解.在连接将四边形分成两个三角形后，利用余弦定理和三角形内角和定理，结合解三角形与三角形面积公式，可求得面积.三、解答题：17. 已知等差数列的前项和为，，．（1）求的值；（2）求数列的前项和．【答案】（1）1（2）【试题解析】（1）因为，代入，可得：，整理可得，因为，所以，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，当时，，当时，，因为，所以，若数列为等差数列，则有，解得．（2）由（1）可得，所以所以，即．18. 依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．试估计该河流在8月份水位的中位数；（1）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（2）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用（单位：万元）方案一无措施0方案二防控1级灾害40方案三防控2级灾害100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．【答案】（1）（2）应选方案二．【解析】【试题分析】中位数是左右两边小长方形面积为的地方.（1）由于乙图中频率分成个部分，故将水位频率和对应级灾害的频率对应起来，利用相互独立事件概率计算公式，将发生级灾害的概率计算出来.（2）分别计算方案、方案和方案对应的利润分布列及数学期望，由此判断出方案较合理. 【试题解析】（1）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：，．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以．记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件．则．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．（2）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（1）知．的分布列为X1500 －100 －1000P 0.81 0.155 0.035则该企业在8月份的利润期望（万元）．选择方案二，则（万元）的取值为：，由（1）知，，的分布列为：X2460 －1040P 0.965 0.035则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．19. 已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且平面．（1）证明：；（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）连结交于点，连结．根据菱形有，根据等腰三角形有，所以以平面，.利用线面平行的性质定理有，故，所以.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量来计算二面角的余弦值.【试题解析】（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，因为且平面，所以平面，因为平面，所以．因为平面，平面，且平面平面，所以，所以．（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，所以，因为，所以．分别以，，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以．记平面的法向量为，则，令，则，所以，记平面的法向量为，则，令，则，所以，记二面角的大小为，则．所以二面角的余弦值为．20. 已知椭圆的离心率为，圆与轴交于点，为椭圆上的动点，，面积最大值为．（1）求圆与椭圆的方程；（2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围．【答案】（1）圆的方程为，椭圆的方程为．（2）【解析】【试题分析】（1）根据离心率可有，依题意可知为椭圆的焦点，故.当位于椭圆上顶点时，面积取得最大值，由此列方程可解得的值，并求得圆和椭圆的方程.（2）当直线斜率存在时，设出直线方程为，利用圆和直线相切求得的等量关系式，利用韦达定理和弦长公式计算出弦长并利用配方法求得弦长的取值范围.当直线斜率不存在时，直线的方程为，可直接得到的坐标求出弦长.【试题解析】（1）由题意得，解得：①因为，所以，点为椭圆的焦点，所以，设，则，所以，当时，，代入①解得，所以，所以，圆的方程为，椭圆的方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，因为直线与圆相切，所以，即，联立，消去可得，，令，则，所以，所以，所以②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，综上，的取值范围是．【点睛】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.21. 已知函数，其中为自然对数的底数，常数．（1）求函数在区间上的零点个数；（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极大值点？说明理由．【答案】（1）1（2）存在【解析】【试题分析】（1）对函数求导后得到函数的单调区间，利用二分法判断函数在给定区间上只有一个零点.（2）原命题等价于，存在无数个，使得成立，求得的表达式，构造为函数，利用导数证得存在负值即可.【试题解析】（1），当时，单调递减；当时，单调递增；因为，所以存在，使，且当时，，当时，．故函数在区间上有1个零点，即．（2）（法一）当时，．因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．下证：当时，，即证．，记…，所以在单调递增，由，所以存在唯一零点，使得，且时，单调递减，时，单调递增．所以当时，．……由，得当时，．故．当时，单调递增；当时，单调递减．所以存在，使得为的极大值点．（2）（法二）因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．所以存在无数个，使得为函数的极大值点，即存在无数个，使得成立，①…由（1），问题①等价于，存在无数个，使得成立，因为，记…因为，当时，，所以在单调递增，因为，所以存在唯一零点，使得，且当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时，，②…由，可得，代入②式可得，当时，，所以，必存在，使得，即对任意有解，所以对任意，函数存在极大值点为．…【点睛】本小题主要考查利用导数求解关于零点个数问题.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．【答案】（1），（2）【解析】【试题分析】（1）对于曲线直接代入公式即可得到极坐标方程，对于先消去参数转化为直角坐标方程，再代入公式得到极坐标方程.（2）利用极坐标表示，然后利用辅助角公式化简求得最大值.【试题解析】（1）曲线的极坐标方程为，即．曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．（2）由（1）知，…由知，当，即时，有最大值．…23. [选修4—5：不等式选讲]已知函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将变为分段函数来求解不等式.（2）利用绝对值不等式的性质求得的最小值为，且，由解求的的取值范围.【试题解析】（1）当时，，所以或或，解得或，因此不等式的解集的（2），且，所以，所以存在，使得，等价于，所以，解得，所以实数的取值范围是…。

数学（文科）试题A 第 1 页 共 8 页2018届广州市高三年级调研测试 文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．10 14．21- 15．1ln 2+ 16．1三、解答题17． 解：（1）当1n =时，114a =．………………………………………………………………………1分 因为221*123-144+44,4n n n n n a a a a a n --++++=∈N L ， ①所以22123-1-1444,24n n n a a a a n -++++=≥L ． ②……………………………………3分①－②得1144n n a -=．……………………………………………………………………………………4分所以()*1=2,4n n a n n ≥∈N ．……………………………………………………………………………5分由于114a =也满足上式，故*1=()4n n a n ∈N ．…………………………………………………………6分（2）由（1）得421n n n a b n =+=121n +．………………………………………………………………………7分所以()()11111=212322123n n b b n n n n +⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭．………………………………………………9分数学（文科）试题A 第 2 页 共 8 页故1111111235572123n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭L ……………………………………………………10分 1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭…………………………………………………………………………………11分 69nn +=．…………………………………………………………………………………………12分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA P ，且12OF PA =， 因为DE PA P ，且12DE PA =， 所以OF DE P ，且OF DE =．…………………………………………………………………………1分 所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF P ，即BD EF P ．………………………………2分 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………4分 因为BD EF P ，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………………5分 因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分 （2）解法1：因为60ABC ∠=o ，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．………………………7分又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥．所以122PAC S PA AC ∆=⨯=．……………………………………………………………………………8分 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高． ……………………………………………9分因为EF DO BO ===……………………………………………………………………………10分 所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯…………………………………………………………………11分1233=⨯=．………………………………………………………………………12分 解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD 为等边三角形．………………7分 取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=CM ．………………………………………8分数学（文科）试题A 第 3 页 共 8 页因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA =I ，所以CM ⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．………………………………………9分因为122PAE S PA AD ∆=⨯=．…………………………………………………………………………10分 所以三棱锥ACE P -的体积13P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==⨯……………………………………11分1233=⨯=．…………………………………………12分19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．…………………1分因为51()()(3)(1)000316ii i xx y y =--=-⨯-++++⨯=∑， ………………………………………2分，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ………………………………………………3分==……………………………………………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． …………………………………………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元． …………………………………………………………………8分 当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元． …………………………………………………………………9分 当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y =3×3000=9000元． …………………………………………………………………………10分 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． ………………………………………………12分数学（文科）试题A 第 4 页 共 8 页20． 解：（1）抛物线的准线方程为2p x =-， 所以点E ()2t ，到焦点的距离为232p+=．…………………………………………………………1分解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．………………………………………………………………………2分（2）解法1：设直线l 的方程为()10x my m =->．………………………………………………………3分将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+=，………………………………………………4分 由()24160m ∆=->，解得1m >．……………………………………………………………………5分 设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()11,D x y -，则124y y m +=， 124y y =，……………………………………………………………………………6分因为()()()2212121212·11(1)2484FA FB x x y y m y m y m y y =--+=+-++=-u u u r u u u r ，………………7分因为FA FB ⊥，所以0FA FB =u u u r u u u rg ．即2840m -=，又0m >，解得m =．…………………………………………………………8分所以直线l的方程为10x -+=． 设AB 的中点为()00,x y , ，0013x my =-=，……………………………………………………9分 所以直线AB的中垂线方程为)3y x -=-． 因为AD 的中垂线方程为0y =，所以△ABD 的外接圆圆心坐标为()5,0．……………………………………………………………10分因为圆心()5,0到直线l 的距离为AB ==……………………………………………………………11分 所以△ABD 的外接圆的方程为()22524x y -+=．…………………………………………………12分数学（文科）试题A 第 5 页 共 8 页解法2：依题意可设直线()():10l y k x k =+>．……………………………………………………3分 将直线l 与抛物线C 联立整理得0)42(2222=+-+k x k x k ．………………………………………4分 由04)42(422>--=∆k k ，解得10<<k ．………………………………………………………5分 设),,(),,(2211y x B y x A 则1,4221221=+-=+x x k x x ．…………………………………………………………………………6分 所以4)1(2121221=+++=x x x x k y y ，因为12121224()18FA FB x x x x y y k⋅=-+++=-u u u r u u u r ，…………………………………………………7分因为FA FB ⊥，所以0FA FB =u u u r u u u rg ．所以2480k-=，又0k > ，解得22=k ．…………………………………………………………8分 以下同解法1．21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x af x x x x+'=+=．………………………………1分① 当0a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．………………………………2分 ② 当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，所以函数()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以函数()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．………………………3分 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．………4分（2）因为对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，所以()max e 1f x ≤-．……………………………5分数学（文科）试题A 第 6 页 共 8 页当0a b +=即a b =-时，()ln b f x b x x =-+，()()11bb b x b f x bx x x---'=+=． 令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >．所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，…………………………………………7分()max f x 为1e e b f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e b f b =-+中的较大者．…………………………………………8分设()()1e e e 2e b b g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >， 则()e e220bbg b -'=+->=，所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而()max f x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．………………………………………………………………………9分所以e e 1bb -+≤-即e e 10b b --+≤．设()=e e 1bb b ϕ--+()0b >，则()=e 10bb ϕ'->．…………………………………………………10分所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10b b --+≤的解为1b ≤．……………………………………………………11分 因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………………12分22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．………………………………………………2分所以2C 的普通方程为224x y ''+=．……………………………………………………………………3分 所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．…………………………………………………………5分数学（文科）试题A 第 7 页 共 8 页（2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==．…………8分 当cos +=14απ⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d2-．……………9分 当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d+10分 解法2：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分 因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ，…………………………7分因为225>，所以圆2C 与直线l 相离．………………………………………………………………8分 所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………………………………1分①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．…………………………………2分 ②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分 ③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．…………………………………………4分 综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………………5分（2）解法1：①当3a ≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩………………………………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．………………………………………………………7分②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………………………………………8分数学（文科）试题A 第 8 页 共 8 页所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………………………………………………………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞U ．………………………………………………………10分 解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，……………………………………………7分 所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ．所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………………………………………8分因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥．所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞U ．………………………………………………………………10分。

高三数学训练题2018年2月12日15：00—17：00本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第 I 卷 （选择题 共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概其中R 表示球的半径率k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若U ＝｛1，2，3，4，5｝，M ＝｛1，2，4｝，N ＝｛3，4，5｝，则U （M ∩N ）＝（A ）｛4｝ （B ）｛1，2，3｝ （C ）｛1，3，4｝ （D ）｛1，2，3，5｝（2）2211lim 21x x x x →-=--（A ）12 （B ）23（C ）0 （D ）2（3）不等式 |x |≤|x ＋2| 的解集是 （A ）｛x |x ≥－1｝ （B ）｛x |x ≤－1｝ （C ）{x |－1≤x ＜1} （D ）{x |x ≥1} （4）直线y ＝m 与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则m 的值是（A ）1 （B ）3 （C ）1或3 （D ）2或4（5）在△ABC 中，“A ＝3π”是“sinA 2（A ）充分而不必要条件 （B ）充分且必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）在等差数列｛a n ｝中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 28＋a 29＋a 30＝165，则此数列前30项和等于（A ）810 （B ）840 （C ）870 （D ）900 （7）椭圆2291x y +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作PF 1⊥x 轴，交椭圆于点P ，则|PF 2|＝（A ）173 （B ）53 （C ）13 （D ）83（8）39(x-的展开式中常数项是（A ）84 （B ）－84 （C ）36 （D ）－36（9）已知球的表面积为4π，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A（B（C（D（10）函数22()sin 3cos f x x x =+的最小正周期是（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （11）将4名医生分配到3间医院，每间医院至少1名医生，则不同的分配方案共有（A ）48种 （B ）12种 （C ）24种 （D ）36种（12）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM ＝13，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是 （A ）圆 （B ）抛物线 （C ）双曲线 （D ）直线_ B _1_ A _1_ D _1 _ C _1 _ C _ B_ A _ D_ P _ M高三数学训练题第 Ⅱ 卷 （非选择题 共90分）注意事项：⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． ⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上.（13）设复数12z =-+，则2z z += （14）某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15∶3∶2.为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量n ＝：______ ___________班别：___________姓名：_______ _______学号：_________封 线 内 答 题（15）设x ，y 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则z ＝3x ＋y 的最大值是（16）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本题满分12分）如图，在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关J A 、J B 、J C ，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内开关J A 、J B 、J C 能够闭合的概率分别是45、35、25，计算：（Ⅰ）在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率；（Ⅱ）在这段时间内线路正常工作的概率.（18）（本题满分12分）已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =.（Ⅰ）当a b ⊥时，求tan 2θ； （Ⅱ）求｜a b +｜的最大值.（19）（本题满分12分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝12AA 1，点G 为CC 1上的点， 且114CG CC . （Ⅰ）求证：C D 1⊥平面ADG ；（Ⅱ）求二面角C －AG －D 的大小（结果用反余弦表示）：_________________班别：____________姓名：______________学号：______________ D（20）（本题满分12分）已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，3(1)2n n S a =-（n ∈N *）（Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）求1lim n n n SS →∞+．（21）（本题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，以双曲线22115y x -=的左准线为准线.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线:1(1)l y k x -=-（k ≠0）垂直平分抛物线C 的弦，求实数k 的取值范围._______班别：____________姓名：________ ______学号：_________不 要 在 密 封 线 内 答 题（22）（本题满分14分）f x a x（a∈R）设()ln（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）证明ln x<高三数学训练题参考答案一、DBACA BAADC DB 二、（13）－1 （14）40 （15）3 （16）①、②、④ 三、（17）解：（Ⅰ）记这段时间内开关J A 能够闭合为事件A ，开关J B 能够闭合为事件B ，开关J C 能够闭合为事件C ，则4()5P A =，3()5P B =，2()5P C = … … … … … 3分根据相互独立事件同时发生的概率公式，在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率是43224()()()()555125P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=… … … … … 5分 答：在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率是24125… … … … 6分（Ⅱ）依题意在这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中至少有1个能够闭合. 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是1236()()()()[1()][1()][1()]555125P A B C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=---=⨯⨯=… 9分 因此，这段时间内线路正常工作的概率是1191()125P A B C -⋅⋅= … … … …11分答：在这段时间内线路正常工作的概率是119125… … … … … 12分（18）解：（Ⅰ）3cos sin 0a b θθ⊥⇔+= … … … … … 2分tan 0tan θθ+=⇔= … … 4分∴22tan tan 21tan θθθ==- … … … … … 6分（Ⅱ）(cos ,sin ))(cos 1)a b θθθθ+=+=+ … … … … 7分 ｜a b +｜ … … 8分== … … … … … 9分2= … … 10分当0sin(60)1θ+=时，max ||53a b += … … 12分 （19）解法1（空间向量法）设AB ＝1，11,,2DA i DC j DD k ===，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系D －xyz … … … … … 1分则D （0,0,0），A （1,0,0），C （0,1,0），D 1（0,0,2），B （1,1,0），G （0,1,12）…… 2分（Ⅰ）∵DA ＝（1，0，0），DG ＝（0，1，12）， 1CD ＝（0，－1，2）∴DA ·1CD ＝0， 10DG CD ⋅= ∴1CD DA ⊥，1CD DG ⊥ … … … … 4分 由线面垂直判定定理知CD 1⊥平面ADG（Ⅱ）∵BD ＝（－1，－1,0），AG ＝（－1,1，12），CG ＝（0,0，12） ∴BD ·AG ＝0，BD ·CG ＝0 ∴BD ⊥AG ，BD ⊥CG∴BD ⊥平面CAG ，即BD 为平面CAG 的法向量… … … … 8分 又C D 1⊥平面ADG ，即1CD 为平面AGD 的法向量∴〈BD ，1CD 〉是二面角C －AG －D 的平面角 … … … … 9分 且cos 〈BD ，1CD〉11||||2BD CD BD CD ⋅===…… … 11分 故二面角C －AG －D 的大小为 … … … … 12分 解法2（综合推理法）（Ⅰ）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中AD ⊥平面CDD 1，D 1C ⊂平面CDD 1 ∴CD 1⊥AD … … … … 1分在Rt △CDD 1与Rt △GCD 中，1112CD AB DD AA ==，11142CC GC CD AB ==∴1CD GC DD CD= ∴Rt △CDD 1∽Rt △GCD … … … … 3分 ∴∠CD 1D ＝∠GDC ，∠CDG ＋∠DCD 1＝900 ∴CD 1⊥DG … … … … 4分又AD ∩DG ＝D ，AD ⊂平面ADG ，DG ⊂平面ADG ， ∴CD 1⊥平面ADG … … … … 6分（Ⅱ）记DG ∩CD 1＝E ，在平面ACG 中，作CH ⊥AG ，交AG 于H ，连结HE . …7分 又CD ⊥平面ADG ，由三垂线定理的逆定理知，EH ⊥AG∴∠CHE 是二面角C －AG －D 的平面角 … … … 9分设CG ＝1，则CC 1＝4CG ＝4，AB ＝AD ＝12AA 1＝12CC 1＝2在Rt △GCD 中，CD CG CE DG ⋅===在Rt △ACG 中，AC CG CH AG ⋅=在Rt △CEH 中，EH∴cosEH CHE CH ∠==CHE ∠=为所求 … … … 12分 （20）解（Ⅰ）方法1．由113(1)2S a =-，得113(1)2a a =-，∴13a = … … … 1分当n ≥2时，1133(1)(1)22n n n n n a S S a a --=-=---13n n a a -= … … … … … … 4分 ∴数列｛a n ｝是首项为3，公比为3的等比数列 … … … … 6分 ∴a n ＝3n … … … … … … 8分方法2．由1113(1)2a S a ==-，得13a = … … … … … … 1分由21223(1)2S a a a =+=-，得29a = … … … … … … 2分猜想a n ＝3n（n ∈N ＊） … … … … … … 3分 用数学归纳法证明之（略） … … … … … … 8分（Ⅱ）∵a n ＝3n ，∴33(1)(31)22n n n S a =-=- … … … … … … 9分∴1111()311013lim lim lim1313313()3nnn n n n n nn S S +→∞→∞→∞+---====--- … … … … 12分 （21）解（Ⅰ）双曲线22115yx -=的左准线方程是14x =- … 2分故抛物线C 的方程为2y x = … 4分（Ⅱ）设抛物线C 被直线l 垂直平分的弦PQ 的方程为0x ky c ++= … 5分 2200y x y ky c x ky c ⎧=⇒++=⎨++=⎩ … … 6分 ∴△＝240k c -> … … ① … … 7分 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则2121212,()()2y y k x x ky c ky c k c +=-+=-+-+=-又PQ 中点G 22(,)22k c k--在直线1(1)y k x -=-上∴221(1)22k k c k ---=- 即 322k k c k -+=… … … … 9分 代入①得322(2)0k k k k-+-> … … … … 10分即 32240,(2)(22)0k k k k k k k-+<+-+<解之得 20k -<<. 故k 的取值范围是（－2,0）. … … … … 12分（22） 解（Ⅰ）函数f (x )的定义域为（0，＋∞） … … … … 1分()af x x' （x ＞0） … … … … 3分①若0a ≤，则()a f x x'=-＞0对一切x ∈（0，＋∞）恒成立 … … 4分 ②若a ＞0，则当x ＞0时，()0af x x'>⇔> 2x ⇔>222440x a x a ⇔--> … … … … 5分∴ 222x a >+ … … … … 6分222()0440f x x a x a '<⇔--<∴ 2022x a <<+ … … … … 7分 综上所述，当0a ≤时，f (x )在（0，＋∞)内单调递增；当a ＞0时，f (x )在（0，222a +）内单调递减，在（222a +，＋∞)内单调递增. … … … 8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知g (x )＝ln x 在（0，2+）内单调递减，在（2+，＋∞)内单调递增. … … … 9分min ()(2ln(2g x g =+=+1ln(2=+ … … … 10分∴ln 1ln(2x ≥+. … … … 11分又 2+5＜2e ，∴ 21ln(21ln 10e +>=> … … … 13分∴ ln x > … … … 14分。

白云区2018届高三三模数学试题（理科）2018.5.第I 卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(原创)已知集合{}1log 2<=x x A ，{}x x x B >=2，则=B A ( )A ．{}21<<x xB ．{}20<<x xC ．{}10<<x xD ．{}2>x x （学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威） 2. (原创)已知复数z 满足i b z z )1(-=⋅,(R b ∈),则=-+ib z 1( )A ．2B ．3C ．22 D ．33 （学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威） 3 . (原创)已知函数)0)(sin (cos 22)(>+=ωωωx x x f 的最小正周期为π,若 32)2(=αf ,则=α2sin ( ) A ．94 B ．95 C ．94- D ． 95- （学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）4．(原创)若平面向量,1=，()1,3-=，若与的夹角⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,3ππθ,-的最大值是 ( )A ．2B ．7C ．5D ．6 （学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）5. (2017厦门一模改编) 我国古代数学典籍《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺. 蒲生日自半, 莞生日自倍,问几何日而长等?”以下给出了问题的4个解,其中精确度最高的是( ) (参考数据:30.02lg ≈,48.03lg ≈) A ．3.1日 B ．8.1日 C ．6.2日 D ．2.3日 （学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）6. (改编)在报名的10名男生和5名女生中任选3名参加志愿者服务, 则选到的3名同学中既有男生又有女生的概率为（ ） A ．97 B ．53 C ．74 D ．75（学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）7. (原创)设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，4236+=S S ，则987a a a ++的最小值 为( )A ．12B ．14C ．16D ．20 （学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）8. (原创)设实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+yx y x y x 021,且y t x )1(-+的最大值是35,则实数=t ( )A ．21B ．2C ．3D ．4 （学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）9．(2018江西联考)设6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项为)(x f ，若mx x f ≤)(在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(),5-∞B ．(],5-∞C ．()5,+∞D ．[)+∞,5 （学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）10. (2018长沙模拟改编)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的四点,,,A B C D 满足AC AB AD =+，若直线AD 的斜率与直线AB 的斜率之积为2，则此双曲线的渐近线方程为（ ）A.x y 3±=B. x y 2±=C.x y 22±= D. x y 33±=（学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）11.(原创)在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,其外接圆直径为2,且BB A B A cos 2)sin(tan tan =++,则ABC ∆面积的最大值是( ) A.523 B. 433 C. 322 D. 253 （学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）12.(2017安徽蚌埠模拟改编)已知函数xkxe x f x +-=-)()0(>x ,若存在实数)(,n m n m <使不等式0)(≤x f 的解集恰好为[]n m ,,则实数k 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B.⎥⎦⎤⎝⎛e 1,0 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-e 1, D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-e1,（学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）第II 卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. (改编)执行如图所示的程序框图，若输入的b a ,的值分别为0和9，则输出的i 的值 为_____________;（学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）(第13题图)60°3388(第15题图)14. (原创)已知函数)(x f 满足0)()(=--x f x f ,当0>x 时,x x x f 3ln )(-=,则曲线)(x f y =在点))1(,1(--f 处的切线方程是_________________;（学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）15. (改编)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________________;（学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）16.(2016全国III 卷)已知直线:l 033=-++m y mx 和圆1222=+y x 交于B A ,两点,过B A ,分别作l 的垂线与x 轴交于DC ,两点,若32=AB ,则=CD ______________.（学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤，17．(本小题满分12分）(2017湖南联考题改编) 已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足nn nS a S 11212=+()2≥n . (1) 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2) 证明：当2≥n 时，1231113 (232)n S S S S n ++++<. （学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）18. (本小题满分12分）(2018湖北荆州)随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除传统的打电话外，手机的功能越来越强大，人们可以玩游戏，看小说，观电影，逛商城等，真是“一机在手，天下我有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图(如图所示).(1) 频率分布表中的①、②位置分别应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名市民的平均年龄；(2) 在抽出的100名市民中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[)30,40的选取2名担任主要发言人．记这2名发言人年龄在[)30,35的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威） 19.(本小题满分12分）(2018郑州模拟) 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，且PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===，PC 与底面ABCD 所成角为30 .（1）证明：平面PBD ⊥平面PAC ； （2）求平面APB 与平面PCD 所成二面角 （锐角）的余弦值.（学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）ACDP20.(本小题满分12分）(2016兰州模拟)已知椭圆C 的焦点坐标是)0,1(1-F 、)0,1(2F ，过2F 且垂直于长轴的 直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且3=BD . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 是否存在过点)1,2(P 的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足45=⋅PM ？若存在，求出直线1l 的方程；若不存在，请说明理由． （学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）21.(本小题满分12分）(原创)已知函数x a x x f ln 2)2)(1()(---=. （1）讨论函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f 在区间)21,0(上无零点,求实数a 的取值范围. （学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）选做题 (请在22和23题中选其中一题作答)22.（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程(2018成都模拟)已知曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点A ，1F 、2F 是此曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线2AF 的极坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线交此圆锥曲线于M ,N 两点,求11||||MF NF -的值．（学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）23.（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲 (2017湖南模拟)已知函数()13f x x x =-++． （1）解不等式()8f x ≥；（2）若不等式()23f x a a <-的解集不是空集，求实数a 的取值范围． （学校: 广州市广大附属实验学校 命题教师：熊 威）。

高三综合能力测试数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分为150分。

考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第一部分 选择题(共50分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P (A ＋B )=P (A )＋P (B ) S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P (A ·B )=P (A )·P (B )球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．1．已知集合P ={ 0，m }，Q ={x │Z x x x ∈<-,0522}，若P ∩Q ≠Φ，则m 等于 （*）(A) 1(B) 2(C) 1或25(D)1或22．在ABC ∆中，若C ∠为钝角，则tan A·tan B 的值为（*）(A)小于1 (B) 等于1 (C) 大于1 (D) 不能确定3．若双曲线 x 28 - y 2m2 =1 (m >0)的一条准线与抛物线y 2 = 8x 的准线重合，则m 的值为（*）(A) 2 (B) 2 2 (C) 4 (D) 4 24．动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是(*)(A)4)3(22=++y x (B)1)3(22=+-y x(C)14)32(22=+-y x(D)21)23(22=++y x5．若 | a | = 2, | b | = 5, | a +b | = 4，则| a -b |的值为（*）(A) 13 (B) 3 (C) 42 (D) 76．已知直线a , b ，平面α ，且b ⊂ α ，那么“a ∥b ”是“a ∥α ”的（*）(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 7．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（*）(A ）m ≤－1 （B ）－1≤m ＜0 （C ）m ≥1(D) 0＜m ≤18．若x ≥0，y ≥0且x +2y = 1，那么2x +3y 2的最小值为 （* )（A ）2 （B ）34 （C ）23（D ）09．有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现用一张正方形包装纸将其完全包住 （不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（*） （A ）262+a （B ）()26+a （C ） 132+a（D ） ()13+a10．已知a n = log (n +1) (n +2)，我们把使乘积a 1a 2…a n 为整数的数n 称为“劣数”，则在区间（0，2018）内所有劣数的个数为（*） （A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10第二部分 非选择题(共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤x +1 x +y ≤2x ≥0 y ≥0 ，则z = x -2y 的最大值为*****.12．椭圆125922=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是*****.13．已知函数f (x )= ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x+2) x>0x x －1 x≤0 ，则f (- 12 ) = *****；（2分）f－1(3 ) = *****。

广州市2018年高三数学综合测试（一）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分．考试时间 120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数和差化积公式2sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin ϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθ-+-=--+=+-+=--+=+正棱台、圆台的侧面积公式：S 台侧=l c c )'(21+，其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式V 台体=h S S S S )''(31++，其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）满足条件M ⊂{0，1，2}的集合M 共有A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个（2）在等比数列{a n }中，a 1=31，公比q =31，前n 项和为S n ，则∞→n lim S n 的值为 A ．0 B ．31 C ．21 D ．1 （3）(x 2＋x1)12的展开式的常数项是 A ．第四项 B ．第五项 C ．第八项 D ．第九项（4）与圆 (x －2)2＋y 2=2相切，且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条（5）复数z 1、z 2在复平面上对应的点分别是A 、B ，O 为坐标原点，若z 1=2 (cos60°＋i sin60°)·z 2，|z 2|=2，则△AOB 的面积为A ．43B ．23C ．3D ．2（6）函数y =lg11-x 的图象大致是A B C D（7）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列命题中正确的是A ．α∥β⇒l ⊥mB ．α⊥β⇒l ∥mC ．l ∥β⇒m ⊥αD ．l ⊥m ⇒α∥β（8）在极坐标系中，已知等边三角形ABC 的两个顶点A (2，4π)、B (2，45π)，顶点C 在直线32)43cos(=-πθρ上，那么顶点C 的极坐标是 A ．(4732π，) B ．(2，47π) C ．（2，43π） D ．（23，43π） （9）设函数f (x )的定义域为（－∞，＋∞），对于任意x 、y ∈（－∞，＋∞），都有f (x ＋y )= f (x )＋f (y )，当x >0时，f (x ) <0，则函数f (x ) 为A ．奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数B ．奇函数，且在（－∞，＋∞）上为减函数C ．偶函数，且在（－∞，0）上为增函数，在（0，＋∞）上为减函数D ．偶函数，且在（－∞，0）上为减函数，在（0，＋∞）上为增函数（10）函数y =sin 2x ＋2cos x (3π≤x ≤34π)的最大值和最小值分别是 A ．最大值为47，最小值为－41 B ．最大值为47，最小值为－2C ．最大值为2，最小值为－41 D ．最大值为2，最小值为－2（11）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =AC =13，BB 1=BC =6，E 、F 为侧棱AA 1上的两点，且EF =3，则多面体BB 1C 1CEF 的体积为A ．30B ．18C ．15D ．12（12）三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有A ．6种B ．8种C ．10种D ．16种第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.（13）已知函数f (x )=1＋(21)1－x ，则f －1(5)= ． （14）已知圆台的轴截面面积为Q ，母线与底面成30°的角，则该圆台的侧面积为 ．（15）某校有一个由18名学生组成的社区服务小组，其中女生多于男生．现从这个小组内推选二女一男共3名学生参加某街道的科普宣传活动，不同的推选方法的总数恰为该组内女生人数的33倍，则这个小组内女生人数为 （用数字作答）．（16）长度为a 的线段AB 的两个端点A 、B 都在抛物线y 2=2px (p >0，且a >2p )上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）解不等式 1＋log 21(x ＋4)< 2log 21(x －2) ．（18）（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 22C B －cos2A =27． （Ⅰ）求角A 的度数；（Ⅱ）若a =3，b ＋c =3，求b 和c 的值．（19）（本小题满分12分）正方形ABCD 的边长为a ，E 、F 分别为边AD 、BC 的中点（如图甲所示）．现将该正方形沿其对角线BD 折成直二面角，并连结AC 、EF ，得到如图乙所示的棱锥A －BCD ．在棱锥A －BCD 中，（Ⅰ）求线段AC 的长；（Ⅱ）求异面直线EF 和AB 所成角的大小．图 甲 图 乙（20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =21，且经过点M (－1，23)． （Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若椭圆C 上有两个不同的点P 、Q 关于直线y =4x ＋m 对称，求m 的取值范围．（21）（本小题满分14分）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感．据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制．从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人．到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8670人．问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．（22）（本小题满分14分）已知函数f (x )=12 a a(a x －a －x )，其中a >0，a ≠1． （Ⅰ）判断函数f (x )在 (－∞，＋∞) 上的单调性，并根据函数单调性的定义加以证明； （Ⅱ）若n ∈N ，且n ≥2，证明f (n )>n ．。

2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学2018．3一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足()2i =1i z -，则复数z 的共轭复数z =A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合{}=0,1,2,3,4,5,6A ，{}=2,B x x n n A =∈，则A B =IA ．{}0,2,4B ．{}2,4,6C ．{}0,2,4,6D ．{}0,2,4,6,8,10,123．已知向量()2,2OA =uu r ，()5,3OB =uu u r ，则OA AB =-uuu r uuu rA ．10BCD ．24．等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n5．执行如图所示的程序框图，则输出的S =A ．920B ．49C ．29D ．9406．在四面体ABCD 中，E F ，分别为AD BC ，的中点，AB CD =， AB CD ^，则异面直线EF 与AB 所成角的大小为A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是A ．ln y x x=B ．ln 1y x x x =-+C ．1ln 1y x x =+-D ．ln 1xy x x=-+- 8．椭圆22194x y +=上一动点P 到定点()1,0M 的距离的最小值为A ．2BC ．1D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．10+ B．14+C．4+D ．410．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为 A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知数列{}n a 满足12a =，2121n n na a a +=+，设11n n n a b a -=+，则数列{}n b 是 A ．常数列B ．摆动数列C ．递增数列D ．递减数列12．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，2=5AE AC uu u r uuu r，双曲线过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为AB．C ．3D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生， 则小学与初中共需抽取的学生人数为 名．14．若x ，y 满足约束条件230,10,10x y x y -+--⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥，则z x y =-+的最小值为 ．在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，则32S = ．16．已知函数()()21,1,ln 2,1x x xf x x x +⎧<-⎪=⎨⎪+-⎩≥，()224g x x x =--．设b 为实数，若存在实数a ，使得()()1f a g b +=成立，则b 的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知21=a ，1=-b c ，△ABC（1）求角A 的值； （2）求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，a y bx =-$$．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，点E 在线段PA 上，PC P 平面BDE ． （1）求证：AE PE =；（2）若△PAD 是等边三角形，2AB AD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的体积为E 到平面PCD 的距离．20．（本小题满分12分）已知两个定点()1,0M 和()2,0N ，动点P满足PN =．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若A ，B 为（1）中轨迹C 上两个不同的点，O 为坐标原点．设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ．当123k k =时，求k 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()e 1x f x ax a =-+-． （1）若()f x 的极值为e 1-，求a 的值；()()()121nx x y y i i i b nx x ii =--∑=-∑=$（2）若),[+∞∈a x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．数学文答案1-5：ACCAD 6-10：BDBAB 11-12：DA13、85 14、0 15、32 16、［－32，72］17、18、19、20、21、22、23、。

2018届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题秘密★启用前试卷类型： A2018届广州市高三年级调研测试理科数学2017．12本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

数学（理科）试题A 第 2 页共 11 页数学（理科）试题A 第 3 页 共 11 页4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则A B =IA ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,3-D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()12i 1i z +=-，则z =A ．25B ．35 C．5D3．在等差数列{}na 中，已知22a =，前7项和756S=，则公差d =A ．2B ．3C ．2-D ．3- 4．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．5D ．6 5．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为A．212-B．92-C．92D．2126．在如图的程序框图中，()if x'为()i f x的导函数，若0()sinf x x=，则输出的结果是A．sin x-B．cos xC．sin xD．cos x-7．正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，点M为1CC的中点，点N为线段1DD上靠近1D的三等分点，平面BMN交1AA于点Q，则AQ的长为A．23B．12C．16D．138．已知直线2y kx=-与曲线lny x x=相切，则实数k的值为A．ln2B．1C．1ln2-D．1ln2+9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学数学（理科）试题A 第 4 页共 11 页数学（理科）试题A 第 5 页 共 11 页2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 A ．36种 B ．24种 C ．22种 D ．20种10．()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为A ．6πB ．12πC ．4πD ．3π 11．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为ABC．1+ D．2+12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当数学（理科）试题A 第 6 页 共 11 页x ∈R，且0x ≠时，都有()0xf x '>； ③ 当120xx <<，且12xx =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x =-+；()2e 1xf x x =--；()()3ln 1,0,0;2,x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩()411,0,2120,0.xx x f x x ⎛⎫+≠ ⎪-⎝⎭=⎧⎪=⎨⎪⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ，若a b P ，则向量a 的模为________．14．在各项都为正数的等比数列{}na 中，若20182a=，则2017201912a a +的最小值为________．15．过抛物线C ：22(0)ypx p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A，B 两点．若6AF =，3BF =，则p 的值为________．16．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥数学（理科）试题A 第 7 页 共 11 页的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，cos (2)cos a B c b A=-．（1）求角A 的大小； （2）求△ABC 周长的最大值．18.（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，EDBCAPP，且22ED PA==．PA ED（1）证明：平面PAC⊥平面PCE；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为o45，求二面角-的余弦值．P-DCE19.（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土Array栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家数学（理科）试题A 第 8 页共 11 页数学（理科）试题A 第 9 页 共 11 页为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：周光照量X （单位：小时） 3050X <<5070X ≤≤70X >光照控制仪最多可运行台数3 2 1若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20.（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221y x a b +=()0a b >>的上焦点为1F ，椭圆C 的离心数学（理科）试题A 第 10 页 共 11 页率为12，且过点1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B（B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若110F B F H •=u u u r u u u u r ，且MO MA =，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,e e x x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线C是哪一种曲线，并将曲线2C的方程化2为极坐标方程；（2）已知点M是曲线C上的任意一点，求点M到直线l2的距离的最大值和最小值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()||=+．f x x a（1）当1=a时，求不等式()211≤+-的解集；f x x（2）若函数()()3=-+的值域为A，且[]2,1Ag x f x x-⊆，求a的取值范围．数学（理科）试题A 第 11 页共 11 页。

数学（理科）试题 A 第 1 页 共 11 页( )2018 届广州市高三年级调研测试理科数学试题答案及评分参考评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACBBAADDBACC二．填空题13．1014．415．416．11π三、解答题17．（1）解法 1：由已知，得 a cos B + b cos A = 2c cos A ．由正弦定理，得sin A c os B + sin B cos A = 2 sin C cos A ，… ........................................................... 1 分 即sin( A + B ) = 2 s in C cos A ．… ........................................................................................................... 2 分因为sin( A + B ) = sin(- C ) = sin C ， ..................................................................................................... 3 分所以sin C = 2 s in C cos A ．... .. (4)分因为sin C ≠ 0 ，所以cos A =π1． .......................................................................................................... 5 分2因为0 < A < π ，所以 A = ．… .......................................................................................................... 6 分 3a 2 + c 2 -b 2解法 2：由已知根据余弦定理，得 a ⨯= 2c - b ⨯ 2acb 2 +c 2 - a 2 2bc．… ........................... 1 分 即b 2 + c 2 - a 2 = bc ． .............................................................................................................................. 3 分 b 2 + c 2 - a 21 所以cos A = = 2bc ． .............................................................................................................. 5 分2数学（理科）试题 A 第 2 页 共 11 页⎪ 因为0 < A < π ， 所以 A = π ．… .......................................................................................................... 6 分3（2）解法 1：由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，得bc + 4 = b 2 + c 2 ，… .............................................................................................................................. 7 分即(b + c )2 = 3bc + 4 ． ............................................................................................................................... 8 分⎛ b + c ⎫2因为bc ≤ ，… .............................................................................................................................. 9 分2 ⎝ ⎭ 所以(b + c )2 ≤3 (b + c )2 +4 ． 4 即b + c ≤ 4 （当且仅当b = c = 2时等号成立）．... .. (11)分所以 a + b + c ≤ 6 ．故△ ABC 周长 a + b + c 的最大值为6 ．… ........................................................................................... 12 分 解法 2：因为a =b =c= 2R ，且 a = 2 ， A = π，sin A sin B sin C 3所以b =sin B ，c = 3sin C ．… ............................................................................................... 8 分 34 34 3 ⎡ ⎛ 2π ⎫⎤所以 a + b + c = 2 + (sin B + sin C ) = 2 +3 3 ⎢sin B + sin 3 - B ⎪⎥ ............................. 9 分 ⎣⎝ ⎭⎦= 2 + 4 s in ⎛B + π ⎫ ．…................................................................................................... 10 分6 ⎪ ⎝ ⎭2π π因为0 < B < ，所以当 B = 3 时， a + b + c 取得最大值6 ． 3故△ ABC 周长 a + b + c 的最大值为6 ．… ........................................................................................... 12 分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设 PC 中点为 F ，P连接OF ， EF ．因为O ， F 分别为 AC ， PC 的中点， FE所以OF PA ，且OF = 1PA ，2A因为 DE P A ，且DE = 1 PA ， O2BC所以OF D E ，且OF = DE ． ............................................................................................................ 1 分4 3 4 3 D数学（理科）试题 A 第 3 页 共 11 页2 3 2 2 ⋅ 2所以四边形OFED 为平行四边形，所以ODE F ，即 BD E F ． ................................................... 2 分 因为 PA ⊥ 平面 ABCD ， BD ⊂ 平面 ABCD ，所以 PA ⊥BD ． 因为 ABCD 是菱形，所以 BD ⊥ AC ．因为 PA AC = A ，所以 BD ⊥ 平面 PAC ． ....................................................................................... 4 分 因为 BD E F ，所以 EF ⊥ 平面PAC ． ................................................................................................. 5 分 因为 FE ⊂ 平面 PCE ，所以平面 PAC ⊥ 平面 PCE ． ......................................................................... 6 分 （2）解法 1：因为直线 PC 与平面 ABCD 所成角为45o，所以∠PCA = 45 ，所以 AC = PA = 2 ． ............................................................................................... 7 分 所以 AC = AB ，故△ ABC 为等边三角形． 设 BC 的中点为 M ，连接 AM ，则 AM ⊥ BC ．以 A 为原点， AM ， AD ， AP 分别为 x ，y ，z 轴，建立空间直 角坐标系 A - xyz （如图）．则 P (0,0，2) ， C( 3,1，0)， E (0,2，1)， D (0,2，0)，PC = ( 3,1，- 2)， CE = (- 3,1，1)， DE = (0,0，1)．…………………………9 分设平面 PCE 的法向量为 n = {x 1, y 1, z 1}，⎧n = 0, ⎧ 3x + y - 2z = 0, ⎪ P C ⎪ 1 1 1 则⎨n 即⎨ ⎩⎪ CE = 0, ⎪⎩- 3x 1 + y 1 + z 1 = 0.令 y = 1, 则⎧⎪x 1 = 3,所以 n = ( 3,1, 2)．… ...................................................................................... 10 分1⎨ ⎩ z 1 = 2.设平面CDE 的法向量为 m = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，⎧⎪m ⋅ = 0, ⎧⎪z 2 = 0,⎧⎪ y = 3,DE 则⎨ 即⎨令 x = 1, 则⎨ 2 所以m = (1, 3, 0)．… .......... 11 分 m ⋅= 0, ⎪- 3x + y + z = 0. 2 ⎪ z = 0. ⎩⎪ CE⎩ 2 2 2 ⎩ 2设二面角 P - CE - D 的大小为，由于为钝角，所以cos= - cos n , m = -= - = - 6 ．4所以二面角 P - CE - D 的余弦值为-6 ．… ................................................................................... 12 分4解法 2：因为直线 PC 与平面 ABCD 所成角为45 ，且 PA ⊥ 平面 ABCD ，z PEADy BMCxn ⋅ m n ⋅ m数学（理科）试题 A第 4 页 共 11 页3 2 ⋅ 2⎨ A⎪m ⋅ 5所以∠PCA = 45 ，所以 AC = PA = 2 ．… ........................................................................................... 7 分 因为 AB = BC = 2 ，所以∆ABC 为等边三角形． 因为 PA ⊥ 平面 ABCD ，由（1）知 PA //OF ， 所以OF ⊥ 平面 ABCD ．因为OB ⊂ 平面 ABCD ， OC ⊂ 平面 ABCD ，所以OF ⊥ OB 且OF ⊥OC ． 在菱形 ABCD 中， OB ⊥ OC ．以点O 为原点， OB ， OC ， OF 分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系O - xyz （如图）．则O (0, 0, 0), P (0, -1, 2), C (0,1, 0), D (- 3, 0, 0), E (- 3, 0,1) ，则 CP = (0, -2, 2), CE = (- 3, -1,1), CD = (- 3, -1, 0) ． (9)分设平面 PCE 的法向量为 n = (x 1 , y 1 , z 1 ) ，⎧⎪n ⋅ CP = 0, ⎧⎪-2 y 1 + 2z 1 = 0, z 则⎨n ⋅ = 0, 即⎨- 3x - y + z P= 0.⎩⎪ CE⎩⎪ 1 1 1 令 y = 1 ，则⎧ y 1 = 1,，则法向量 n = (0,1,1) ．……………10 分E1 ⎨z = 1. ⎩ 1设平面CDE 的法向量为 m = (x 2 , y 2 , z 2 ) ，DO⎧⎪m ⋅ C E = 0, 则⎨ ⎩ CD = 0, ⎧⎪- 即⎨⎪⎩- 3x 2 - y 2 + z 2 = 0, 3x 2 - y 2 = 0.xBCy令 x 2= 1，则⎧⎪ y 2 = - ⎪⎩z 2 = 0.3,则法向量 m = (1, - 3, 0)．… ................................................................. 11 分设二面角 P - CE - D 的大小为，由于为钝角，则cos= - cosn , m = -= - = - 6 ． 4所以二面角 P - CE - D 的余弦值为-6 ． ................................................................................... 12 分419．解：（1）由已知数据可得 x =2 + 4 + 5 + 6 + 8= 5, y =3 +4 + 4 + 4 + 5= 4 ．… ............................1 分 55因为∑( xi- x )( y i - y ) = (-3) ⨯ (-1) + 0 + 0 + 0 + 3 ⨯1 = 6 ..................................................... 2 分i =1n ⋅ m n ⋅ m数学（理科）试题 A 第 5 页 共 11 页∑ i =1 5(x - x )2i(-1)2 + 02 + 02 + 02 + 122 ∑ i =1n n( x - x ) 2∑ i =1( y - y )2ii2 5 ⋅ 2 910= (-3)2 + (-1)2 + 02 +12 + 322………………………………………………3 分= ．… ....................................................................... 4 分∑( x i- x )( y i- y )6所以相关系数 r =i =1= =≈ 0.95 ．….................... 5 分因为 r > 0.75 ，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系． ................................................................. 6 分（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装 1 台，最多安装 3 台光照控制仪．①安装 1 台光照控制仪可获得周总利润 3000 元．… ............................................................................... 7 分 ②安装 2 台光照控制仪的情形：当 X >70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y =3000-1000=2000 元，当 30<X ≤70 时，2 台光照控制仪都运行，此时周总利润 Y =2×3000=6000 元， 故Y 的分布列为所以 EY = 2000 ⨯ 0.2 + 6000 ⨯ 0.8 = 5200 元． (9)分③安装 3 台光照控制仪的情形：当 X >70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y =1×3000-2×1000=1000 元， 当 50≤X ≤70 时，有 2 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y =2×3000-1×1000=5000 元， 当 30<X ≤70 时，3 台光照控制仪都运行，周总利润 Y =3×3000=9000 元， 故Y 的分布列为Y 1000 5000 9000 P0．20．70．1所以 EY = 1000 ⨯ 0.2 + 5000 ⨯ 0.7 + 9000 ⨯ 0.1 = 4600 元． (11)分综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装 2 台光照控制仪．… ................................... 12 分5 ∑ i =15( y - y )2inY 2000 6000 P0．20．8数学（理科）试题 A 第 6 页 共 11 页+= ⎝ 1 1 ⎝⎭ 2 ⎪20．解：（1）因为椭圆C 的离心率为 1 ，所以 c = 1，即a = 2c ．… ................................................... 1 分2a 23y 2x 2又 a 2= b 2+c 2，得b 2=3c 2，即b 2= a 2，所以椭圆C 的方程为 4 a 2 + 3 = 1 ． a 2 4⎛ 2 6 ⎫ 2把点 1, 3 ⎪ 代人C 中，解得 a = 4 ．… ........................................................................................... 2 分⎝ ⎭2 所以椭圆C 的方程为y x 1 ．… ...................................................................................................3 分 43（2）解法 1：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y = kx +2 ，⎧ y = kx + 2, 由 2 2得(3k 2 + 4) x 2 +12kx = 0 ．… ................................................................................... 4 分 ⎨ x + y= 1, ⎪⎩ 3 4设 A ( x A , y A ) ， B ( x B , y B ) ，则有 x A = 0 ， x B = -12k 3k 2 + 4，… ........................................................... 5 分所以 y B =-6k 2 + 8 ．3k 2+ 4⎛ -12k -6k 2 + 8 ⎫所以 B 3k 2 + , 4 3k 2+ 4 ⎪ ..................................................................................................... 6 分 ⎭因为 MO = MA ，所以 M 在线段OA 的中垂线上，所以 y = 1，因为 y = kx+ 2 ，所以 x = - 1 ，即 M ⎛ - 1 ,1⎫．… ........................................... 7 分M M M Mkk ⎪ ⎝ ⎭设 H (x H, 0) ，又直线 HM 垂直l ，所以 k MH = - ，即k 1 - 1 - x kH = - ．… ................................... 8 分 k所以 x= k - 1 ，即 H ⎛ k - 1 , 0 ⎫．… ................................................................................................... 9 分Hkk ⎪ ⎝ ⎭⎛ -12k 4 - 9k 2 ⎫⎛ 1 ⎫又 F 1 (0,1) ，所以 F 1B = 3k 2 +, 2⎪ ， F 1H = k - , -1⎪ ． ⎝4 3k + 4 ⎭ ⎝ k ⎭-12k ⋅⎛1 ⎫ 4 - 9k2 因为 F 1B ⋅ F 1H = 0 ，所以 3k 2 + 4 k - k ⎪ -3k 2 + 4= 0 ，… ....................................................... 10 分数学（理科）试题 A 第 7 页 共 11 页2 632 63⎝ ⎭⎪ ( 2)⎪解得 k 2 = 8．…....................................................................................................................................... 11 分3所以直线l 的方程为 y = ±x + 2 ．… ........................................................................................... 12 分解法 2：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程 y = kx +2 ，⎧ y = kx + 2, 由 2 2得(3k 2 + 4) x 2 +12kx = 0 ，… ................................................................................... 4 分 ⎨ x + y= 1, ⎪⎩ 3 4设 A ( x A , y A ) ， B ( x B , y B ) ，则有 x A = 0 ， x B = -12k 3k 2 + 4．… .......................................................... 5 分所以 y B =-6k 2 + 8 ．3k 2+ 4⎛ -12k 4 - 9k 2 ⎫所以 F 1B = 3k 2 + , 4 3k 2 + 4 ⎪ ， F 1H = ( x H , -1) ．… ....................................................................... 6 分-12k 4 - 9k 2 9k 2 - 4因为 F 1B ⋅ F 1H = 0 ，所以 3k 2 + 4 ⋅ x H - 3k 2 + 4 = 0 ，解得 x H = 12k．… ............................... 7 分2 2 22 因为 MO = MA ，所以 x M + y M = x M + ( y M - 2) 1 ⎛ 9k 2 - 4 ⎫，解得 y M = 1．… ......................................... 8 分所以直线 MH 的方程为 y = - k x - 12k ⎪ ． (9)分⎧ y = kx + 2,⎪⎝ ⎭9k 2 + 20 联立⎨ y = - 1 ⎛ x - 9k 2 - 4 ⎫ ⎪ , 解得 y M = 12 (1+ k 2 ) ．… .............................................................. 10 分 ⎩k ⎝ 9k 2 + 20 12k ⎭ 2 8由 y M = = 1 ，解得 k = ．… .......................................................................................... 11 分 12 1+ k 3所以直线l 的方程为 y = ±x + 2 ．… ........................................................................................... 12 分21．解：（1）函数 f ( x ) 的定义域为(0, +∞) ．数学（理科）试题 A 第 8 页 共 11 页a- a2 - a 2 - a 2 1 1 a = ⎧ ⎛ 1 ⎫ ⎫ e e ⎭⎝ ⎭ 当b = 2 时， f ( x ) = a ln x + x 2 ，所以 f '( x ) = a + 2x = 2x 2+ a ．… ........................................... 1 分xx① 当 a > 0 时， f '( x ) > 0 ，所以 f ( x ) 在(0, +∞) 上单调递增，… ............................................... 2 分- 1⎛ - 1 ⎫⎛ - 1 ⎫2取 x 0 = e a， 则 f e a ⎪ = -1 + e a ⎪ < 0 ，… ................................................................................... 3 分⎝ ⎭ ⎝ ⎭（或：因为0 < x <且 x < 时，所以 f ( x ) = a ln x + x 2 < a ln x + a < a ln + a = 0 ．）e0 0 0 0e因为 f (1) = 1，所以 f ( x 0 ) f (1) < 0 ，此时函数 f ( x ) 有一个零点．… .......................................... 4 分②当 a < 0 时，令 f '( x ) = 0 ，解得 x =当0 < x 时， f '( x ) < 0 ，所以 f ( x ) 在⎛ 上单调递减；当 x f '( x ) > 0 ，所以 f ( x ) 在⎝ a ⎫ - , +∞ 上单调递增．2 ⎪ ⎭要使函数 f ( x ) 有一个零点，则 f= a l n - = 0 即 a = -2e ．… ............................... 5 分 2 综上所述，若函数 f ( x ) 恰有一个零点，则 a = -2e 或a > 0 ．… ....................................................... 6 分（2）因为对任意 x , x ∈⎡1 , e ⎤，有 f ( x ) - f ( x) ≤ e - 2 成立，1 2⎢⎣ e ⎥⎦1 2 因为 f ( x 1 ) - f ( x 2 ) ≤ ⎡⎣ f ( x )⎤⎦max - ⎡⎣ f ( x )⎤⎦min ，所以 ⎡⎣ f ( x )⎤⎦max - ⎡⎣ f ( x )⎤⎦min ≤ e - 2 ．… .............................................................................................. 7 分 因为 a + b = 0 ，则 a = -b ． 所以 f ( x ) = -b ln x + x b，所以 f '( x ) =-b + bx b -1 = b (x b -1) ．x x当0 < x < 1时， f '( x ) < 0 ，当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ， 所以函数 f ( x ) 在⎡1 ,1⎫上单调递减，在(1, e ]上单调递增， ⎡ f (x )⎤= f (1) = 1，… ................. 8 分⎢⎣ e ⎪⎣ ⎦min因为 f ⎛ 1 ⎫ = b + e -b与 f (e ) = -b + e b ，所以⎡ f ( x )⎤max f , f (e ) ．… ............... 9 分⎪ ⎣ ⎦max ⎨ ⎪ ⎬ ⎩ ⎝ ⎭ ⎭- a 2 - a 2 - a2数学（理科）试题 A 第 9 页 共 11 页222 e ⎪e ⎪ ⎩ 设 g (b ) =f (e ) - f ⎛ 1 ⎫ = e b - e -b- 2b (b > 0) ， ⎝ ⎭则 g '(b ) = e b + e -b - 2 > 2 - 2 = 0 ．所以 g (b ) 在(0, +∞) 上单调递增，故 g (b ) > g (0) = 0 ，所以 f (e ) > f ⎛ 1 ⎫ ．⎝ ⎭从而 ⎡⎣ f ( x )⎤⎦max = 分f (e )= -b + e b ． ............................................................................................................. 10 所以-b + e b -1 ≤ e - 2 即e b - b - e +1 ≤ 0 ， 设(b ) =e b - b - e +1 (b > 0) ，则'(b ) =e b -1．当b > 0 时，'(b ) > 0 ，所以(b ) 在(0, +∞) 上单调递增．又(1) = 0 ，所以e b - b - e +1 ≤ 0 ，即为(b ) ≤(1) ，解得b ≤ 1 ． ............................................... 11 分因为b > 0 ，所以b 的取值范围为(0,1] ．............................................................................................... 12 分22．解：（1）因为曲线C 的参数方程为⎧ x = cos（为参数），1⎧ x ' = 2x⎨y = 2 sin⎧ x ' = 2 cos 因为⎨ y ' = y . ，则曲线C 2 的参数方程⎨ y ' = 2 s in . ． ........................................................................ 2 分⎩ ⎩所以C 2 的普通方程为 x '2 + y '2 = 4 ． ...................................................................................................... 3 分所以C 2 为圆心在原点，半径为 2 的圆． ................................................................................................... 4 分所以C 2 的极坐标方程为2= 4 ，即= 2 ． ........................................................................................ 5 分（2）解法 1：直线l 的普通方程为 x - y - 10 = 0 ． ....................................................................................... 6 分|2cos- 2sin - 10||2 2cos(π- 10|曲线C 2 + ) 上的点M 到直线l 的距离d = =4 ． ................ 8 分当cos⎛+ π ⎫ =1即=2k π - π (k ∈ Z ) 时， d 取到最小值为|2 - 10| =5 - 2 ． ...................9 分4 ⎪ 4⎝ ⎭当cos ⎛+ π ⎫ = -1即= 3π + 2k π(k ∈ Z ) 时， d 取到最大值为|2 2 +10| =2 + 5．………10 分4 ⎪ 4 2 ⎝ ⎭解法 2：直线l 的普通方程为 x - y - 10 = 0 ．....................................................................................... 6 分2 e b ⋅ e -b2 2数学（理科）试题 A 第 10 页 共 11 页2 2 2 2 ⎨ ⎩⎨⎨ ⎩⎨a - 3 ≥ 1，因为圆C 2 的半径为 2，且圆心到直线l 的距离 d == 5 ，… ................................... 7 分因为5 > 2 ，所以圆C 2 与直线l 相离．… ........................................................................................... 8 分所以圆C 2 上的点 M 到直线l 的距离最大值为 d + r = 5 + 2 ，最小值为 d - r = 5 - 2 ．…10 分23．解：（1）当 a = 1 时， f (x ) =| x +1| ． ................................................................................................... 1 分①当 x ≤ -1时，原不等式可化为-x -1 ≤ -2x - 2 ，解得 x ≤ -1． ................................................. 2 分 ②当-1 < x < - 1时，原不等式可化为 x +1 ≤ -2x - 2 ，解得 x ≤ -1，此时原不等式无解．……3 分2③当 x ≥ - 1时，原不等式可化为 x +1 ≤ 2x ，解得 x ≥ 1． .......................................................... 4 分2 综上可知，原不等式的解集为{x x ≤ -1 或 x ≥ 1} ． .......................................................................... 5 分⎧3 - a , （2）解法 1：①当 a ≤ 3 时， g (x ) = ⎪-2x - a - 3, ⎪a - 3, 所以函数 g ( x ) 的值域 A = [a - 3, 3 - a ] ，x ≤ -3, - 3 < x < -a , x ≥ -a .……………………………………6 分因为[-2,1] ⊆ A ，所以⎧a - 3 ≤ -2解得 a ≤ 1 ． ................................................................................... 7 分⎩3 - a ≥ 1，⎧3 - a , ②当 a > 3 时， g ( x ) = ⎪2x + a + 3, ⎪a - 3, x ≤ -a , - a < x < -3, x ≥ -3.…………………………………………………8 分所以函数 g ( x ) 的值域 A = [3 - a , a - 3] ， 因为[-2,1] ⊆ A ，所以⎧3 - a ≤ -2解得 a ≥ 5 ． ................................................................................... 9 分⎩综上可知， a 的取值范围是(-∞,1] [5, +∞) ． .................................................................................. 10 分解法 2：因为| x +a | - | x +3 | ≤ ( x +a ) - (x +3) = a - 3 ， ................................................................... 7 分所以 g (x ) = f (x )- | x +3 |=| x +a | - | x +3 |∈[- | a - 3 |,| a - 3 |] ． | 0 - 0 - 10 |2数学（理科）试题 A 第 11 页 共 11 页 ⎨ 所以函数 g (x ) 的值域 A = [- | a - 3 |,| a - 3 |]． (8)分因为[-2,1] ⊆ A ，所以⎧- | a - 3 |≤ -2 解得 a ≤ 1 或 a ≥ 5 ． ⎩| a - 3 |≥ 1，所以a 的取值范围是(-∞,1] [5, +∞) ． ............................................................................................. 10 分。