江苏省南京市2017-2018学年高一数学上学期期中试题

2017-2018学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14分，每小题3分，共42分．1．（3分）已知集合A={2，m}，B={2m，2}．若A=B，则实数m=．2．（3分）若幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4），则实数a=．3．（3分）函数y=的定义域为．4．（3分）设A={1，2，3}，则集合A的子集有个．5．（3分）若函数f（x）=x2﹣ax是偶函数，则a=．6．（3分）已知lg2=a，lg3=b，则log36=（用含a，b的代数式表示）．7．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）=x+1，则f（﹣2）=．8．（3分）已知函数f（x）=x2+2x﹣1，函数y=g（x）为一次函数，若g（f（x））=2x2+4x+3，则g（x）=．9．（3分）若函数f（x）=，则方程f（x）=2所有的实数根的和为．10．（3分）设a=log37，b=21.1，c=0.81.1，则a，b，c三者的大小关系是．（用“＜”连接）11．（3分）已知函数f（x）=xlog2x﹣3的零点为x0，若x0∈（n，n+1），n∈Z，则n=．12．（3分）已知函数f（x）=|x+1|在区间[a，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是．13．（3分）已知函数y=f（x）是定义在区间[﹣3，3]上的偶函数，它在区间[0，3]上的图象是如图所示的一条线段，则不等式f（x）+f（﹣x）＞x的解集为．14．（3分）如图，过原点O的直线AB与函数y=log9x的图象交于A、B两点，过A、B分别作x轴的垂线，与函数y=log3x的图象分别交于D、C两点，若BD 平行于x轴，则四边形ABCD的面积为．二．解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（8分）已知全集U=R，集合A={x|x＜3}，B={x|log2x≥1}．（1）求A∩B．（2）求（∁U A）∪（∁U B）．16．（8分）求值：（1）（）﹣2+（）﹣（﹣）0（2）log32×log49+2．17．（10分）已知函数f（x）=（a x﹣1）（a x+2a﹣1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=5．（1）求实数a的值．（2）若x∈[﹣1，3]，求函数f（x）的值域．18．（10分）某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过30吨时，按每吨3元收取；当该用户用水量超过30吨时，超出部分按每吨4元收取．（1）记某用户在一个收费周期的用水量为x吨，所缴水费为y元，写出y关于x 的函数解析式．（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为260元，且甲、乙两用户用水量之比为3：2，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量和水费．19．（10分）已知函数f（x）=log a（a x﹣1）（a＞0，a≠1 ）（1）讨论函数f（x）的定义域；（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；（3）当a=2时，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣1|，x∈R．（1）求不等式f（x）＜6的解集．（2）记f（x）在[0，a]上最大值为g（a），若g（a）＜2，求正实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14分，每小题3分，共42分．1．（3分）已知集合A={2，m}，B={2m，2}．若A=B，则实数m=0．【分析】由集合相等的性质，有m=2m，由此能求出m的值．【解答】解：∵集合A={2，m}，B={2m，2}．A=B，∴由集合相等的性质，有m=2m，解得m=0．故答案为：0．【点评】本题考查实数值的求法，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（3分）若幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4），则实数a=2．【分析】把点的坐标代入函数解析式进行求解即可．【解答】解：将点坐标代入f（x）=x a，得2a=4，∴a=2．故答案为：2【点评】本题主要考查幂函数的应用，利用代入法是解决本题的关键．3．（3分）函数y=的定义域为[，+∞）．【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则2x﹣1≥0，得x≥，即函数的定义域为[，+∞），故答案为：[，+∞）【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键．4．（3分）设A={1，2，3}，则集合A的子集有8个．【分析】根据集合子集的定义和公式即可得到结论．【解答】解：集合含有3个元素，则子集的个数为23=8个，故答案为：8【点评】本题主要考查集合子集个数的求解，含有n个元素的子集个数为2n个，真子集的个数为2n﹣1个．5．（3分）若函数f（x）=x2﹣ax是偶函数，则a=0．【分析】解法一是利用偶函数的定义f（﹣x）=f（x），求出a的值；解法二是求出二次函数的对称轴方程，再利用偶函数图象的对称轴为y轴，从而建立方程求出a的值．【解答】解法一：由于函数f（x）=x2﹣ax是偶函数，则f（﹣x）=f（x），即（﹣x）2﹣a（﹣x）=x2﹣ax，化简得2ax=0，对任意的x∈R恒成立，则a=0，故答案为：0．解法二：二次函数f（x）=x2﹣ax的对称轴方程为，由于函数f（x）为偶函数，则该函数的对称轴为y轴，所以，，因此，a=0，故答案为：0．【点评】本题考查偶函数的定义，考查对定义的理解以及基本运算能力，属于基础题．6．（3分）已知lg2=a，lg3=b，则log36=（用含a，b的代数式表示）．【分析】由换底公式，可得log36=，由此能够准确地利用a，b表示log36．【解答】解：∵lg2=a，lg3=b，∴log36==．故答案：．【点评】本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．7．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）=x+1，则f（﹣2）=﹣3．【分析】根据函数的奇偶性进行转化求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）=x+1，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（2+1）=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．8．（3分）已知函数f（x）=x2+2x﹣1，函数y=g（x）为一次函数，若g（f（x））=2x2+4x+3，则g（x）=2x+5．【分析】设出函数的解析式，利用待定系数法转化求解即可．【解答】解：由题意，函数y=g（x）为一次函数，由待定系数法，设g（x）=kx+b，k≠0，g（f（x））=k（x2+2x﹣1）+b=2x2+4x+3，即kx2+2kx+b﹣k=2x2+4x+3由对应系数相等，得k=2，b=5．则g（x）=2x+5．故答案为：2x+5．【点评】本题考查函数的解析式的求法，是基本知识的考查．9．（3分）若函数f（x）=，则方程f（x）=2所有的实数根的和为．【分析】利用分段函数，求解方程的解即可．【解答】解：函数f（x）=，则方程f（x）=2，可得4x=2，解得x=，5﹣x=2，解得x=3，则方程f（x）=2所有的实数根的和为：3+=．故答案为：．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．10．（3分）设a=log37，b=21.1，c=0.81.1，则a，b，c三者的大小关系是c＜a＜b．（用“＜”连接）【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵1＜a=log37＜2，b=21.1＞21=2，c=0.81.1＜0.80=1，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．（3分）已知函数f（x）=xlog2x﹣3的零点为x0，若x0∈（n，n+1），n∈Z，则n=2．【分析】由函数的解析式判断单调性，求出f（2），f（3）的值，可得f（2）•f （3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x﹣7的零点所在的区间【解答】解：由零点定理，∵f（2）=2log22﹣3=﹣1＜0，f（3）=3log23﹣3＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得：函数f（x）=xlog2x﹣3的零点所在的区间是（2，3），所以n=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．12．（3分）已知函数f（x）=|x+1|在区间[a，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．【分析】当x≥﹣1时，f（x）是增函数；当x＜﹣1时，f（x）是减函数，从而区间[a，+∞）左端点a应该在﹣1的右边，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=|x+1|=，函数f（x）=|x+1|在区间[a，+∞）是增函数，当x≥﹣1时，f（x）是增函数；当x＜﹣1时，f（x）是减函数，∴区间[a，+∞）左端点a应该在﹣1的右边，即a≥﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．13．（3分）已知函数y=f（x）是定义在区间[﹣3，3]上的偶函数，它在区间[0，3]上的图象是如图所示的一条线段，则不等式f（x）+f（﹣x）＞x的解集为{x|﹣3≤x≤} ．【分析】由函数f（x）过点（0，2），（3，0），y=﹣+2．作出函数f（x）在[﹣3，3]上的图象，当x∈[﹣3，0）的时候，y=2f（x）的图象恒在y=x的上方，当x∈[0，3]时，令2f（x）=x，得x=，由此能求出f（x）+f（﹣x）＞x的解集．【解答】解：由题意，函数f（x）过点（0，2），（3，0），∴y=﹣+2．又∵f（x）是偶函数，关于y轴对称，∴f（x）=f（﹣x），∴2f（x）＞x．又作出函数f（x）在[﹣3，3]上的图象，当x∈[﹣3，0）的时候，y=2f（x）的图象恒在y=x的上方，当x∈[0，3]时，令2f（x）=x，得x=，即当x∈[﹣3，）时，满足2f（x）＞x，故f（x）+f（﹣x）＞x的解集为{x|﹣3≤x≤}．故答案为：{x|﹣3≤x≤}．【点评】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．14．（3分）如图，过原点O的直线AB与函数y=log9x的图象交于A、B两点，过A、B分别作x轴的垂线，与函数y=log3x的图象分别交于D、C两点，若BD平行于x轴，则四边形ABCD的面积为．【分析】点D和点B的纵坐标相等，设点D的横坐标为a，点B的横坐标为b，则有log3a=log9b．推出b=a2．又A，B在一条过原点的直线上，求出a，然后转化求解四边形的面积即可．【解答】解：因为点D和点B的纵坐标相等，设点D的横坐标为a，点B的横坐标为b，则有log3a=log9b．．∵，∴b=a2．又A（a，log9a），B（a2，）在一条过原点的直线上，∴==2，∴a2=2a，∴a=2．A（2，log92），B（4，），C（4，log34），D（2，log32），所以=．故答案为：．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．二．解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（8分）已知全集U=R，集合A={x|x＜3}，B={x|log2x≥1}．（1）求A∩B．（2）求（∁U A）∪（∁U B）．【分析】（1）根据题意，解log2x≥1可得集合B，由交集的定义可得集合A∩B，（2）根据题意，（∁U A）∪（∁U B）=∁U（A∩B），由（1）的结论，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，B={x|log2x≥1}={x|x≥2}，则A∩B={x|2≤x＜3}；（2）根据题意，由（1）的结论，A∩B={x|2≤x＜3}，则（∁U A）∪（∁U B）=∁U（A∩B）={x|x＜2或x≥3}．【点评】本题考查集合间的混合运算，关键是掌握集合交、并、补的定义，属于基础题．16．（8分）求值：（1）（）﹣2+（）﹣（﹣）0（2）log32×log49+2．【分析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解．（2）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【解答】解：（1）（）﹣2+（）﹣（﹣）0=（2）﹣2+[（）3]﹣1==．（2）log32×log49+2=log32×log23+=1+4=5．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17．（10分）已知函数f（x）=（a x﹣1）（a x+2a﹣1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=5．（1）求实数a的值．（2）若x∈[﹣1，3]，求函数f（x）的值域．【分析】（1）根据f（1）=5建立方程关系进行求解即可．（2）利用换元法结合一元二次函数的性质求函数的最值即可求函数的值域．【解答】解：（1）由f（1）=5，得（a﹣1）（a+2a﹣1）=5，即（a﹣1）（3a﹣1）=5，得3a2﹣4a﹣4=0即（a﹣2）（3a+2）=0，解得a=2或a=﹣又∵a＞0且a≠1，∴a=2．（2）由（1）知f（x）=（2x﹣1）（2x+3），设t=2x，x∈[﹣1，3]，∴t∈[，8]，则y=g（t）=（t﹣1）（t+3）=t2+2t﹣3=（t+1）2﹣4，易知g（t）在t∈[，8]内单调递增，故最小值为y=g（）=﹣，最大值为g（8）=77．故f（x）的值域为[﹣，77]．【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及函数值域的计算，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．18．（10分）某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过30吨时，按每吨3元收取；当该用户用水量超过30吨时，超出部分按每吨4元收取．（1）记某用户在一个收费周期的用水量为x吨，所缴水费为y元，写出y关于x 的函数解析式．（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为260元，且甲、乙两用户用水量之比为3：2，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量和水费．【分析】（1）分别求得x≤30时，x＞30时，函数的解析式，可得所求函数y的解析式；（2）假设乙用户用水量为30吨，则甲用户水量为45吨，得到甲乙两用户用水超过30吨，设为3a，2a，代入函数式可得a的方程，解方程即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意知，当x≤30时，y=3x；当x＞30时，y=90+4（x﹣30），则y=；（2）假设乙用户用水量为30吨，则甲用户水量为45吨，则甲乙所交水费所缴水费之和为90+90+60=240＜260，∴甲乙两用户用水量都超过30吨．设甲用水3a吨，乙用水2a吨，则有90+4（3a﹣30）+90+4（2a﹣30）=260，解得a=16，故甲用水48吨，水费为162元；乙用水32吨，水费为98元．【点评】本题考查分段函数的解析式和应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19．（10分）已知函数f（x）=log a（a x﹣1）（a＞0，a≠1 ）（1）讨论函数f（x）的定义域；（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；（3）当a=2时，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由a x﹣1＞0，得a x＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a ＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【解答】解：（1）由a x﹣1＞0，得a x＞1．（1分）当a＞1时，x＞0；（2分）当0＜a＜1时，x＜0．（3分）所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（﹣∞，0）．（4分）（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，（5分）则ax1＜ax2，所以ax1﹣1＜ax2﹣1．（6分）因为a＞1，所以loga（ax1﹣1）＜loga（ax2﹣1），即f（x1）＜f（x2）．（8分）故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．∵f（x）＜f（1）；∴a x﹣1＜a﹣1，∵a＞1，∴x＜1；（3）∵令g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣在[1，3]上是单调增函数，∴g（x）min=﹣log23，∵m＜g（x），∴m＜﹣log23．【点评】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣1|，x∈R．（1）求不等式f（x）＜6的解集．（2）记f（x）在[0，a]上最大值为g（a），若g（a）＜2，求正实数a的取值范围．【分析】（1）由题意知，f（x）=，分段解不等式即可．（2）①当x≥1时，令f（x）＜2，解得1≤x＜2．②当0≤x＜1时，令f（x）＜2，解得0≤x＜1．即可求解．【解答】解：（1）由题意知，f（x）=，①当x≥1时，令f（x）＜6，解得1≤x＜3．②当x＜1时，令f（x）＜6，解得x＜1．综上所述不等式f（x）＜6的解集（﹣∞，3）．（2）①当x≥1时，令f（x）＜2，解得1≤x＜2．②当0≤x＜1时，令f（x）＜2，解得0≤x＜1．故x∈[0，2）时，f（x）＜2，故正实数a的取值范围为（0，2）．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．。

江苏省南京市2017-2018学年高一数学上学期期中试题一.填空题: （本大题共14个小题，每小题5分，共70分）1.集合{1,1},{0,1,-2}P Q =-=，则P Q ⋂= _______________.2.2lg 2lg 25+=______________ .3.已知函数()f x 与()g x 分别由下表给出，那么((4))g f =_______________ .4.已知集合{}()|1,,A x x B a =>=+∞，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ..5.设20.40.50.6,2,log 2a b c ===，则c b a ,,的大小关系是 ____________（从小到大排列）.6.函数2()23f x x x =--的零点是 __________________.7.已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，若()1f a =,则a 的值是 ____________. 8.已知函数75()5f x x ax bx =++-，且(3)5f -=，那么(3)f = ________.9.已知函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()2x f x x a =++，那么(1)f -= .10.已知1123,2a b m a b==+=且，则实数m 的值为 . 11.若方程062ln =-+x x 在Z n n n ∈+),1,(内有一解，则n = _____________.12.某老师2014年九月十日用8100元买一台笔记本. 由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低， 每经过一年计算机的价格降低三分之一，到2017年九月十日该老师这台笔记本还值 ________元．13.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，()20f =，则不等式()2log 0f x >的解集为 .14．已知函数(21)72(1)() (1)x a x a x f x a x -+-<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递减，则a 的取值范围是 .二、解答题：15.（本题满分14分）U R =，{}{}。

(这是边文，请据需要手工删加)南京市2017～2018学年度第一学期期中考试数学参考答案1. {2，3}2. －1－i3. 35 4. 600 5.2或5 6. 12 7. －2 8. 2－1 9. －4 10. －1411. 9 12. －4 13. ⎝⎛⎦⎤0，1e ＋1 14. y＝22x15. (1) a ＋b ＝(sin x －1，3cos x ＋1)． 因为(a ＋b )∥c ，所以sin x －1＝3cos x ＋1，则sin x －3cos x ＝2， 可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1.因为x ∈[0，π]，所以x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，故x －π3＝π2，解得x ＝5π6.(2) 因为a ·b ＝12，所以－sin x ＋3cos x＝12，即sin x －3cos x ＝－12， 可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝－12，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14.因为⎝⎛⎫x ＋π6－⎝⎛⎭⎫x －π3＝π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3. 由x ∈[0，π]，可得x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，又sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14<0，则x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，0，故可得cos ⎝⎛⎭⎫x －π3>0. 因为sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154.16. (1) 如图，连结OE.由四边形ABCD 是正方形知O 为BD 的中点．因为PD ∥平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ACE ＝OE ，所以PD ∥OE.在△PBD 中，PD ∥DE ，O 为BD 为中点，所以E 为PB 的中点．(2) 在四棱锥PABCD 中，AB ＝2PC ， 因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC ＝2AB ＝2OC ，则AB ＝2OC ，所以PC ＝OC.在△CPO 中，PC ＝OC ，G 为PO 的中点，所以CG ⊥PO.因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PC ⊥BD.因为四边形AC ⊥BD ，因为AC ，PC ⊂所以BD ⊥平面因为CG ⊂平面因为PO ，BD ⊂O ，所以CG ⊥平面17. (1) ＝DB 1＝h ，则AC ＝12(AB －h ＝AC·tan 60故V(x)＝Sh ＝694x 2(30－x)，0<x<30. (2) V′(x)＝94(60x x ＝20.当x ∈(0，20)30)时，V ′(x)>0，所以V(x)在(030)单调递减， 所以当且仅当x 值9 000. cm 时，容318. (1) 316， 所以3a 4－16a 2a 2＝43.所以椭圆C y 2＝1.(2) 设F 2(c ，0)0)，B(－x 1，－y 1)，故M ⎝⎛⎭⎫x 1－c 2，y 12①由题意，得→因为函数h(x)的最小值为－1e ，所以x ＝－1是不等式f(x)≤g(x)的解， 所以－1＋a ≤－1e ，即a ≤1－1e .故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，1－1e . (3) 因为h(x)＝g(x)，所以g(x)≥f(x)恒成立，即x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立．令p (x )＝x 2－e x ，即p ′＝2x －e x ，p ″(x )＝2－e x ，当x >ln 2，p ″(x )<0；当x <ln 2，p ″(x )>0， 所以p ′(x )max ＝2ln 2－2<0，所以p (x )＝x 2－e x 在R 上单调递减． x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立等价于 ①当x >0时，问题转化为a ≥p (x )在R 上恒成立；②当x ＝0时，不等式恒成立，则a ∈R ； ③当x <0时，问题转化为a ≤p (x )在R 上恒成立．因为p (x )＝x 2－e x 是R 上的单调减函数， 所以当x >0时，p (x )<p (0)＝－1，所以a ≥－1；当x <0时，p (x )>p (0)＝－1，所以a ≤－1.综上所述，a ＝－1.20. (1) 由g ⎝⎛⎭⎫－12－g(1)＝f(0)，得(－2b ＋4c)－(b ＋c)＝－3，故b 、c 所满足的关系式为b －c －1＝0. (2) 方法一：由b ＝0，b －c －1＝0，可得c ＝－1.方程f(x)＝g(x)，即ax －3＝－x －2，可转化为ax 3－3x 2＋1＝0在(0，＋∞)上有唯一解．令h(x)＝ax 3－3x 2＋1，则h′(x)＝3ax 2－6x ＝3x(ax －2)．当a ≤0时，h ′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减．又h(0)＝1>0，h(1)＝a －2<0，h(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存性定理，知h(x)在(0，1)内存在唯一零点，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；当a>0时，令h′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2a ，所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，在(2a ，＋∞)上单调递增，所以h(x)min ＝h ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2. 若h ⎝⎛⎭⎫2a ＝0，即a ＝2，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)≥0，当且仅当x ＝2a 时，h(x)＝0，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a >0，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上不存在零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a <0，因为h(0)＝1>0，h ⎝⎛⎭⎫3a ＝1>0， 所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 和⎝⎛⎭⎫2a ，3a 内各有一个零点，即函数h(x)的零点不唯一．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}．方法二：由方法一可知a ＝3x －1－x －3.令x －1＝t ，则由题意可得a ＝3t －t 3在(0，＋∞)上有唯一解．令h(t)＝3t －t 3(t>0)，则由h′(t)＝3－3t 2＝0，可得t ＝1，当0<t<1时，由h′(t)>0，可知h(t)在(0，1)上是单调增函数；当t>1时，由h′(t)<0，可知h(t)是在(1，＋∞)上是单调减函数，故当t ＝1时，h(t)取得最大值2； 当0<t<1时，h(t)>h(0)＝0， 所以f(x)＝g(x)在(0，1)无解； 当t>1时，因为h(3)＝0，所以当t>3时，h(t)<0，由零点存在性定理可知h(t)在(1，＋∞)只有一个零点．故当a ＝2或a ≤0时，方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)有唯一解．从而所求a 的取值范围是{a|a ＝2或a ≤0}．(3) 由b ＝1，b －c －1＝0，可得c ＝0. 由A ＝{x|f(x)>g(x)且g(x)<0}得ax －3>1x 且x<0，即ax 2－3x －1<0且x<0.当a>0时，A ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－9＋4a 2a ，0；当a ＝0时，A ＝⎝⎛⎭⎫－13，0； 当a<－94时，A ＝(－∞，0)；当－94≤a<0时，A ＝(－∞，3＋9＋4a 2a )∪(3－9＋4a2a，0)． 数学附加题21. B. 由题意知M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋a 2b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，2b －1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123－1.由|M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123－1＝－7得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤172737－17. C. 因为ρ＝2cos θ－2sin θ， 即ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1， 所以圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，－22. 因为直线的普通方程为x －y ＋42＝0，所以圆心C 到直线l 距离是⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5，故直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是52－12＝2 6.22. (1) 如图，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0，0，0)，B(0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)．设平面A 1BC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.取z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以平面A 1BC 1的一个法向量为n 1＝(0，4，3)．同理可得平面BB 1C 1的一个法向量为n 2＝(3，4，0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1625.因为〈n 1，n 2〉∈[0，π]，所以二面角A 1BC 1B 1的正弦值为34125.(2) 假设存在．设D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→，0≤λ≤1，则(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)，所以x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)． 因为AD ⊥A 1B ，所以AD →·A 1B →＝0， 即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0，1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，此时BD BC 1＝λ＝925.23. (1) 从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35(种)取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个，所以P(X＝3)＝6 35.(2)由题意，X的可能取值为3，223，3 3.其中X＝3的三角形如△ABF，角形共有6个；其中X＝2的三角形有两类，如△个)，△PAB(6个)，共有9个；其中X＝6的三角形如△PBD，角形共有6个；其中X＝23的三角形如△CDF 三角形共有12个；其中X＝33的三角形如△BDF。

一、填空题1．已知集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x|2≤x ≤6}，那么A ∩B ＝_____．2．函数y ＝x 21-＋lg(x ＋1)的定义域为____________．3．若f （2x ）＝x 2−1，则f （x ）的解析式为________________．4．函数f （x ）＝x 21-的值域是_______________．5．已知集合A ＝{−1，0，1}，B ＝{0，1}，那么从A 到B 的映射共有___________个．6．若幂函数f （x ）的图象经过点(2，41)，则f （6）的值为____________． 7．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤--0,0,12x x x x ，那么f[f （−3）]的值为____________． 8．已知f(x)＝x 5＋3x a ＋bx −8，且f （−2017）＝16，那么f （2017）的值为___________． 9．若函数y ＝f （x ）在R 上为奇函数，且当x ≥0时，f （x ）＝2x ＋2x ＋c ，则f （−2）的值为___________．10．若函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，3），则函数y ＝f （−x ）＋1的图象必定经过的点的坐标是_____________．11．若方程lg|x|＋|x|−5＝0在区间（k ，k ＋1）上有解（k ∈Z ），则满足条件的所有k 的值的集合为_______________．12．已知函数f （x ）在[0，＋∞）上是增函数，g （x ）＝f （|x|），若g （lgx ）＞g （1），则x 的取值范围是_______________．13．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>-≤+-1,731,2x ax x ax x ，若存在x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，使得f （x 1）＝f （x 2）成立，则实数a 的取值范围是______________．14．设t ∈R ，若函数f （x ）＝|x 2−2x −t|在区间[0，3]上的最大值为5，则实数t 的值为_______．二、解答题15．计算下列各式的值：（1）0.12531-−(89)0＋[(−2)2]23＋(2×33)6； （2）log 3427＋lg25＋lg4−3．16．已知集合A ＝{x|1≤x ＜6}，B ＝{x|3≤x ≤9}，C ＝{x|a ＜x ≤2a ＋3}．（1）求A ∪B ，A ∩（∁R B ）；（2）若非空集合C 满足A ∩C ＝C ，求实数a 的取值范围．17．已知函数f （x ）＝log a （1＋x ），g （x ）＝log a （1−x ），（a ＞0，a ≠1）．（1）设a ＝2，函数f （x ）的定义域为[3，63]，求f （x ）的最值；（2）求使不等式f （x ）−2g （x ）＞0成立的x 的取值范围．18．经市场调查，新街口某新开业的商场在过去的一个月内（以30天计），顾客人数f （t ）千人与时间t （天）的函数关系近似满足f （t ）＝4＋t1（t ∈N* ），人均消费g （t ）（元）与时间t （天）的函数关系近似满足 g （t ）＝⎩⎨⎧∈≤<-∈≤≤**),307(,130),71(,100N t t t N t t t （1）求该商场的日收益w （t ）（千元）与时间t （天）（1≤t ≤30，t ∈N*）的函数关系式；（2）求该商场日收益的最小值（千元）．19．已知函数f （x ）＝3x ，x ∈R ．（1）若f （x ）−|)(|1x f ＝2，求x 的值； （2）对于任意实数x 1，x 2，试比较2)()(21x f x f +与f(221x x +)的大小； （3）若方程f （ax 2−4x ）＝9在区间[1，2]上有解，求实数a 的取值范围．20．设函数f （x ）＝x 2−1−k|x −1|，其中k ∈R ．（1）若函数y ＝f （x ）为偶函数，求实数k 的值；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[0，2]上的最大值；（3）若方程f （x ）＝0有且仅有一个解，求实数k 的取值范围．。

2017-2018学年江苏省南京一中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每题3分，共42分）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B=．2．函数f（x）=的定义域为．3．函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点．4．幂函数y=f（x）的图象经过点，则其解析式是．5．设，则a，b，c的大小关系是．（按从小到大的顺序）6．lg=．7．设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为．8．x2﹣3x+1=0，则=．9．设P和0是两个集合，定义集合P•Q={x|x∈P，且x≠Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P•Q等于．10．若函数f（x）=log a（x+）是奇函数，则a=．11．不等式：|x﹣1|+2x＞4的解集是．12．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．13．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．14．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共5小题，共58分）15．（10分）分解下列因式（1）5x2+6xy﹣8y2（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．16．（10分）设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0，a≠1．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，x∈[﹣2，1]的值域．18．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=，其中x是仪器的产量（单位：台）；（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？19．（14分）设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求实数a的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范围．2016-2017学年江苏省南京一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题3分，共42分）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2} ．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】直接利用并集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={0，1，2}∪{﹣1，0，1}={﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．【点评】本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型．2．函数f（x）=的定义域为[﹣2，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣2≤x≤3，故函数的定义域是[﹣2，3]，故答案为：[﹣2，3]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3．函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数恒过定点（0，1），结合图象的平移变换确定结果．【解答】解：因为y=a x恒过定点（0，1），而y=a x+1是由y=a x沿y轴向上平移1个单位得到的，所以其图象过定点（0，2）．故答案为（0，2）【点评】本题考查了指数函数过定点的性质以及图象的平移变换．属于基础题．4．幂函数y=f（x）的图象经过点，则其解析式是f（x）=x﹣2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；函数的性质及应用．【分析】幂函数的一般形式是f（x）=xα，再利用图象经过点（2，），得f（2）=，可以求出α，问题解决．【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，因为图象经过点（2，）∴f（2）==2﹣2，从而α=﹣2函数的解析式f（x）=x﹣2，故答案为：f（x）=x﹣2．【点评】本题考查了幂函数的概念，属于基础题．值得提醒的是准确把握幂函数的表达式的形式和理解函数图象经过某点的意义是解决本题的关键．5．（2010秋•南通期中）设，则a，b，c的大小关系是b＜a＜c．（按从小到大的顺序）【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】由0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3﹣2=＞1，能判断a，b，c的大小关系．【解答】解：∵0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3﹣2=＞1，∴b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c．【点评】本题考查对数值、指数值大小的比较，是基础题，解题地要认真审题，注意指数函安息、对数函数性质的灵活运用．6．lg=lg6+．【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：原式===lg6+．故答案为：lg6+．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2014秋•建湖县校级期中）设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为4．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】由函数f（x）=，知f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，所以f[f（﹣1）]=f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，∴f[f（﹣1）]=f（2）=22+2﹣2=4，故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．x2﹣3x+1=0，则=11．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】推导出x﹣=3，由此能求出x2+的值．【解答】解：∵x2﹣3x﹣1=0，∴x﹣=3，两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=9，则x2+=11．故答案为：11．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．9．设P和0是两个集合，定义集合P•Q={x|x∈P，且x≠Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P•Q等于（0，1] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据对数函数的定义域及单调性求出集合P中的不等式的解集，求出集合Q中的绝对值不等式的解集，然后根据题中的新定义即可求出P﹣Q．【解答】解：由集合P中的不等式log2x＜1=log22，根据2＞1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域，得到0＜x＜2，所以集合P=（0，2）；集合Q中的不等式|x﹣2|＜1可化为：，解得1＜x＜3，所以集合Q=（1，3），则P•Q=（0，1]故答案为：（0，1]【点评】此题要求学生掌握对数函数的定义域的求法及对数函数的单调性，会求绝对值不等式的解集．学生做题时应正确理解题中的新定义．10．（2005•江西）若函数f（x）=log a（x+）是奇函数，则a=．【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由函数是奇函数，将函数的这一特征转化为对数方程解出a的值．【解答】解：∵函数是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0即log a（x+）+log a（﹣x+）=0∴log a（x+）×（﹣x+）=0∴x2+2a2﹣x2=1，即2a2=1，∴a=±又a对数式的底数，a＞0∴a=故应填【点评】考查奇函数的定义及利用对数的去处法则解对数方程，主要训练对定义与法则的理解与掌握．11．不等式：|x﹣1|+2x＞4的解集是{x|x≥1} ．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】综合题；转化思想；演绎法；不等式的解法及应用．【分析】把要解的不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由不等式：|x﹣1|+2x＞4可得①，或．解①求得x≥1，解②求得x∈∅，故原不等式的解集为{x|x≥1}，故答案为{x|x≥1}．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．12．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是（，1）．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），可得f（x）的偶函数，当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），可知f（x）在（﹣∞，0]是单调增函数．即可将f（m+1）＞f（2m）转化为等式求解．【解答】解：由题意：f（x）的偶函数，f（x）在（﹣∞，0]是单调增函数，∴f（m+1）＞f（2m）转化为|m+1|＞|2m|吗，两边平方得：（m+1）2＞4m2，解得：，所以实数m的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性运用能力．属于基础题．13．（2015秋•苏州校级期中）已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是[，）．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意可得，从而可求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，∴解得≤a＜．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数单调性的性质，得到（3a﹣1）×1+4a≥a1是关键，也是难点，考查理解与运算能力，属于基础题．14．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为a≤﹣1或a≥8．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的对称性求出当x＞0时的解析式，利用基本不等式的性质求出函数f（x）的最值即可得到结论．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0．∵当x＜0时，，∴f（﹣x）=﹣x﹣+7．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x+﹣7．∵f（x）≥a+1对一切x≥0成立，∴当x＞0时，x+﹣7≥a+1恒成立；且当x=0时，0≥a+1恒成立．①由当x=0时，0≥a+1恒成立，解得a≤﹣1．②由当x＞0时，x+﹣7≥a+1恒成立，可得：2|a|﹣7≥a+1解得a≤﹣8或a≥8．综上可得：a≤﹣1或a≥8．因此a的取值范围是：a≤﹣1或a≥8．故答案为：a≤﹣1或a≥8．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的奇偶性求出函数的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解决本题的关键．二、解答题（本大题共5小题，共58分）15．（10分）分解下列因式（1）5x2+6xy﹣8y2（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．【考点】因式分解定理．【专题】计算题；转化法．【分析】（1）利用十字相乘法，可进行分解；（2）利用十字相乘法和提公因式法，可进行分解；【解答】解：（1）5x2+6xy﹣8y2=（5x﹣4y）（x+2y）（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a=（x+5）（x﹣3）﹣a（x+5）=（x+5）（x﹣3﹣a）【点评】本题考查的知识点是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．16．（10分）（2015秋•张家港市校级期中）设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x ﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【考点】对数函数的定义域；并集及其运算；函数的值域．【专题】计算题．【分析】（1）集合A即函数y=log2（x﹣1）定义域，B即y=﹣x2+2x﹣2，x∈R的值域．（2）先求出集合C，由B∪C=C 可得B⊆C，∴﹣＞﹣1，解不等式得到实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|y=log2（x﹣1）}={x|（x﹣1）＞0}=（1，+∞），B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}={y|y=﹣（x﹣1）2﹣1，x∈R}=（﹣∞，﹣1]．（2）集合C={x|2x+a＜0}={x|x＜﹣}，∵B∪C=C，∴B⊆C，∴，∴实数a的取值范围（﹣∞，2）．【点评】本题考查函数的定义域、值域的求法，利用集合间的关系求参数的取值范围．17．（12分）（2015秋•苏州校级期中）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0，a≠1．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，x∈[﹣2，1]的值域．【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）代入值计算即可，（2）根据函数的单调性，即可求其值域．【解答】解：（1）把代入f（x）=a x﹣1，得．（2）由（1）得f（x）=（）2x﹣（）x﹣2+8=∵x∈[﹣2，1]∴，当时，f（x）max=8，当时，f（x）min=4∴函数f（x）的值域为[4，8]．【点评】本题主要考查了质数函数的单调性和利用函数的最值求值域，属于基础题．18．（12分）（2014秋•高邮市期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=，其中x是仪器的产量（单位：台）；（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．【解答】解：（1）当0≤x≤400时，当x＞400时，f（x）=80000﹣100x﹣20000=60000﹣100x所以…（7分）（2）当0≤x≤400时当x=300时，f（x）max=25000，…（10分）当x＞400时，f（x）=60000﹣100x＜f（400）=20000＜25000…（13分）所以当x=300时，f（x）max=25000答：当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元．…（15分）【点评】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．19．（14分）设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求实数a的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）判断f（x）在[0，4]上的单调性，根据单调性求出f（x）的最值，得出值域；（2）令g（x）=f（x）﹣5，根据对称轴与区间[a，a+2]的关系求出g（x）的最大值，令g max （x）＜0解出a的取值范围．（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8等价于M﹣m≤8，结合二次函数的性质可求【解答】解：（1）当t=1时，f（x）=x2﹣2x+2，∴f（x）的对称轴为x=1，∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，4]上单调递增，∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，当x=4时，f（x）取得最大值f（4）=10．∴f（x）在区间[0，4]上的取值范围是[1，10]．（2）∵f（x）＜5，∴x2﹣2x+2＜5，即x2﹣2x﹣3＜0，令g（x）=x2﹣2x﹣3，g（x）的对称轴为x=1．①若a+1≥1，即a≥0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a+2）=a2+2a﹣3，∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，∴a2+2a﹣3＜0，解得0≤a＜1．②若a+1＜1，即a＜0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a）=a2﹣2a﹣3，∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，∴a2﹣2a﹣3＜0，解得﹣1＜a＜0，综上，实数a的取值范围是（﹣1，1）．（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8”等价于“M﹣m≤8”．①当t≤0时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（0）=2．由M﹣m=18﹣8t﹣2=16﹣8t≤8，得t≥1．从而t∈∅．②当0＜t≤2时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=18﹣8t﹣（2﹣t2）=t2﹣8t+16=（t﹣4）2≤8，得．，⇒③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=2﹣（2﹣t2）=t2≤8，得﹣2≤t≤2⇒2＜t≤2；④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18﹣8t．由M﹣m=2﹣（18﹣8t）=8t﹣16≤8，得t≤3．从而t∈∅．综上，t的取值范围为区间[4﹣2，2]【点评】本题考查了二次函数的单调性与最值，函数恒成立问题，常根据对称轴与区间的关系来判断单调性，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．。

南京外国语学校2017-2018学年度第一学期期中高一年级数学试题一、填空题（42分）1.设全集 A = {x|x ≤ 2x +1≤5} , B = {x |0 < x ≤3},则A∩B = .2. 4lg2 + 3lg5 - lg 51 = . 3.若)3(log 244a a --有意义，则a 的取值范围是 . 4.已知)1＞＞(25log log b a a b b a =+，则224ba b a ++的值为 . 5.若集合{x|ax 2+ x +1 = 0}有且只有一个元素，则实数a 的取值集合 .6.已知函数|lg |)(x x f =，若 a ≠ b，且)()(b f a f =，则 ab = .7.已知⎩⎨⎧≥+-=1,1＜,4)14()(x a x a a x f x ，是(-∞, +∞)上的减函数，则a 的取值范围是 .8.已知 a,b 为常数，若2410)(,34)(22++=+++=x x b ax f x x x f ，则5a-b = .9.已知 a - a -1 = 2，则=--++---442233)2)((aa a a a a . 10.已知函数)32(log )(221+-=ax x x f 是偶函数，则 k = .11.已知函数)32(log )(221+-=ax x x f ，若函数的值域为R ，则常数a 的取值范围是 .12.若函数)1,0＞)(31(log ≠-=a a ax y a 在区间（0,2)上是单调增函数，则常数a 的取值范围是 .13. 已知函数)(x f 为R 上的奇函数，满足)()2(x f x f =+，当x ∈(0,1)时，22)(-=x x f ，则)6(log 21f = .14. 函数)4lg(1)(k a a x f x x -+=-的定义域为R (常数a > 0，a ≠1），则实数的取值范围为 .二、解答题15.(8 分）设集合 A = {x | 2 < x < 4}， B = {a < x < 3a}.(1)若A∩B≠φ，求实数a 的范围.⑵若A ∪ B = {x|2< x < 6}，求实数a 的值.16.(8分）函数a x x x f 2)(2-+=，若)(x f y =在区间(-1,1)内有零点，求a 的取值范围.17. (8 分）已知R x x f x x x∈+=,244)( (1)求证：对一切实数x ，)1()(x f x f -=恒为定值.(2)计算：).7()6()0()3()4()5()6(f f f f f f f ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-18.(12分）画出函数|22|-=x y 的图象，并利用图象回答:(1)函数|22|-=x y 的值域与单调增区间；(2)k 为何值时，方程|2x - 2| = k 无解？有一解？有两解?19.(12分）对于在区间[m, n]上有意义的两个函数)(x f 与)(x g ，如果对任意],[n m x ∈均有1|)()(|≤-x g x f ，则称)(x f 与)(x g 在[m,n]上是接近的；否则称)(x f 与)(x g 在[m,n]上是非接近的.现有两个函数)3(log )(1a x x f a -=，与)1,0＞(1log )(2≠-=a a ax x f a，给定区间[a+2,a+3].(1)若)(1x f 与)(1x f 在给定区间[a+2,a+3]上都有意义，求a 的取值范围；(2)讨论)(1x f 与)(1x f 在给定区间[a+2, a+3]上是否是接近的?20.(10分）已知)(x f ,)(x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且x x g x f 3)()(=+ . (1)求 )(),(x g x f ；(2)若对于任意实数t∈[0,1]，不等式0＜)()2(t ag t f +恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若存在m ∈ [-2,-1]，使得不等式0＜)2()(m g m af +成立，求实数a 的取值范围.。

2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）2015°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣23．（5分）集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（N∪P）B．M∩∁U（N∪P） C．M∪∁U（N∩P） D．M∪∁U（N∪P）4．（5分）在直径为4cm的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm5．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1 7．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]8．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．129．（5分）f（x）为定义域R，图象关于原点对称，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b （b为常数），则x＜0时，f（x）解析式为（）A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+110．（5分）设函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．335 B．340 C．1680 D．201512．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（5）=．14．（5分）求值：=．15．（5分）函数的单调增区间是．16．（5分）下列几个命题中真命题的序号是．（1）已知函数f（x）的定义域为[2，5），则f（2x﹣1）的定义域为[3，9）；（2）函数是偶函数，也是奇函数；（3）若f（x+1）为偶函数，则f（x+1）=f（﹣x﹣1）；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，则实数a≥5．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），求sinα+2cosα的值；（2）已知tanβ=2，求sin2β+2sinβcosβ的值．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2a＜x＜a+4}，全集为R，（1）当a=1时，求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．19．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．20．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？21．（12分）已知函数，且，f（0）=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）．22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．（1）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若不等式f（x）≤3﹣|t﹣a|a对所有x∈[﹣1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求实数t的范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）2015°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【分析】利用终边相同角的表示方法，化简即可判断角所在象限．【解答】解：由2015°=1800°+215°，并且180°＜215°＜270°，可知2015°是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查象限角与轴线角的应用，基本知识的考查．2．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【分析】设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得α的值，求出幂函数的解析式，从而求得f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，∴α=，即f（x）=，故f（2）==，故选：A．【点评】本题主要考查求幂函数的解析式，求函数的值的方法，属于基础题．3．（5分）集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（N∪P）B．M∩∁U（N∪P） C．M∪∁U（N∩P） D．M∪∁U（N∪P）【分析】根据题目所给的图形得到以下几个条件：①在集合M内；②不在集合P 内；③不在集合N内．再根据集合的交集、并集和补集的定义得到正确答案．【解答】解：根据图形得，阴影部分含在M集合对应的椭圆内，应该是M的子集，而且阴影部分不含集合P的元素，也不含集合N的元素，应该是在集合P∪N的补集中，即在C U（P∪N）中，因此阴影部分所表示的集合为M∩C U（P∪N），故选B．【点评】本题着重考查了用Venn图表达集合的关系及集合的三种运算：交集、并集、补集的相关知识，属于基础题．4．（5分）在直径为4cm的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】，再利用弧长公式l=αr即可得出．【解答】解：=（弧度）．∴36°的圆心角所对的弧长==cm．故选：B．【点评】本题考查了弧长公式l=αr，属于基础题．5．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c ＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．6．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．故选B．【点评】本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力．8．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．9．（5分）f（x）为定义域R，图象关于原点对称，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b （b为常数），则x＜0时，f（x）解析式为（）A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+1【分析】根据已知可得f（x）为奇函数，由f（0）=0，可得：b=﹣1，进而根据当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）得到x＜0时，f（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）为定义域R，图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，f（0）=20+b=0，解得：b=﹣1，当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x﹣2x﹣1，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x+2x+1，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．10．（5分）设函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}【分析】利用函数是奇函数且在（0，+∞）内是增函数，得到函（﹣∞，0）上单调递增，利用f（﹣3）=0，得f（3）=0，然后解不等式即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，f（﹣3）=0，∴f（﹣3）=﹣f（3）=0，解f（3）=0．∵函数在（0，+∞）内是增函数，∴当0＜x＜3时，f（x）＜0．当x＞3时，f（x）＞0，∵函数f（x）是奇函数，∴当﹣3＜x＜0时，f（x）＞0．当x＜﹣3时，f（x）＜0，则不等式f（x）＜0的解是0＜x＜3或x＜﹣3．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系，利用函数奇偶性的对称性，可解不等式的解集．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．335 B．340 C．1680 D．2015【分析】可得函数f（x）是R上周期为6的周期函数，计算f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）可得结论．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），∴函数f（x）是R上周期为6的周期函数，∵当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=f（1）+f（2）+f（3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）=1+2+3+0﹣1+0=5，∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=335×5+1+2+3+0﹣1=1680故选：C．【点评】本题考查函数的周期性，涉及函数值的求解，属基础题．12．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（5）=0．【分析】令2x+1=t，可得x=，代入所给的条件求得f（t）=﹣（t﹣1），由此求得f（5）的值．【解答】解：∵已知f（2x+1）=x2﹣2x，令2x+1=t，可得x=，∴f（t）=﹣（t﹣1），故f（5）=4﹣4=0，故答案为0．【点评】本题主要考查用换元法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．14．（5分）求值：=102．【分析】直接利用对数与指数的运算法则化简求解即可．【解答】解：=（lg2）2+（lg5）2+2lg2lg5+1+0.4﹣2×42=1+1+=2+100=102．故答案为：102．【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．15．（5分）函数的单调增区间是．【分析】由复合函数单调性和二次函数的单调性结合定义域可得．【解答】解：由﹣x2+x+6＞0可解得﹣2＜x＜3，对数函数y=log0.8t在（0，+∞）单调递减，二次函数t=﹣x2+x+6在（，+∞）单调递减，由复合函数单调性结合定义域可得原函数的单调递增区间为．故答案为：．【点评】本题考查对数函数的单调性，涉及二次不等式的解法和复合函数单调性，属基础题．16．（5分）下列几个命题中真命题的序号是（2）（4）．（1）已知函数f（x）的定义域为[2，5），则f（2x﹣1）的定义域为[3，9）；（2）函数是偶函数，也是奇函数；（3）若f（x+1）为偶函数，则f（x+1）=f（﹣x﹣1）；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，则实数a≥5．【分析】（1）由f（x）的定义域为[2，5），知2x﹣1∈[2，5），解出x的范围即为定义域；（2）求出定义域可得函数为y=0，满足f（x）=f（﹣x），也满足f（x）=﹣f（﹣x），故是偶函数，也是奇函数，（3）由f（x+1）为偶函数，由定义可知f（﹣x+1）=f（x+1）；（4）利用二次函数的对称轴可得﹣a≤﹣5，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为[2，5），∴2x﹣1∈[2，5），∴x∈[，3），故错误；（2）的定义域为{1，﹣1}，此时y=0，故是偶函数，也是奇函数，故正确；（3）f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1），故错误；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，∴﹣a≤﹣5，∴a≥5，故正确．故正确选项为（2）（4）．【点评】考查了符合函数的定义域和奇偶性，二次函数的单调性判断．属于基础题型，应熟练掌握．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），求sinα+2cosα的值；（2）已知tanβ=2，求sin2β+2sinβcosβ的值．【分析】（1）由P的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果；（2）原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanβ的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），∴sinα=﹣=﹣，cosα==，则原式=﹣+=；（2）∵tanβ=2，∴原式====．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2a＜x＜a+4}，全集为R，（1）当a=1时，求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，再求出A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，则B⊆A，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|﹣2≤x≤4}，a=1时，B={x|2＜x＜5}，∴A∪B={x|﹣2≤x＜5}，A∩（C R B）={x|﹣2≤x≤2}…（6分）（2）∵A∩B=B，∴B⊆A．B=∅时，2a≥a+4，∴a≥4；B≠∅时，，∴﹣1≤a≤0．综合：a≥4或﹣1≤a≤0…（6分）【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．19．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【分析】（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或∴．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题．20．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【分析】（1）根据利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润f（x）=；（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）2+25000，∴当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，∴f（x）=60000﹣100×400＜25000．∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．21．（12分）已知函数，且，f（0）=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）．【分析】（1）根据f（1）和f（0）列方程，求出a，b；（2）由y=，分离2x=＞0，求得值域；（3）构造函数g（x）=f（x）﹣lnx，运用函数零点存在定理，确定函数在（1，3）存在零点．【解答】解：（1）由已知可得，，解得，a=1，b=﹣1，所以，；（2）∵y=f（x）=，∴分离2x得，2x=，由2x＞0，解得y∈（﹣1，1），所以，函数f（x）的值域为（﹣1，1）；（3）令g（x）=f（x）﹣lnx=﹣lnx，因为，g（1）=f（1）﹣ln1=＞0，g（3）=f（3）﹣ln3=﹣ln3＜0，根据零点存在定理，函数g（x）至少有一零点在区间（1，3），因此，方程f（x）﹣lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，函数值域的求法，以及方程根的存在性及根的个数判断，属于中档题．22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．（1）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若不等式f（x）≤3﹣|t﹣a|a对所有x∈[﹣1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求实数t的范围．【分析】（1）由奇函数的定义和单调性的定义，将n换为﹣n，即可得到；（2）由题意可得f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]递增，可得不等式组，解得即可；（3）由题意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2对a∈[1，3]恒成立．再由绝对值的含义，可得对a∈[1，3]恒成立，分别求得两边函数的最值，即可得到t的范围．【解答】解：（1）用﹣n代替n得：[f（m）+f（﹣n）]（m﹣n）＞0，又f（x）为奇函数，则[f（m）﹣f（n）]（m﹣n）＞0，根据符号法则及单调性的定义可知：f（x）为增函数；（2）若，即为f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]递增，可得，解得；（3）由题意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2对a∈[1，3]恒成立．即对a∈[1，3]恒成立，由于a﹣在[1，3]递增，可得a=3时，取得最大值；a+≥2=2，当且仅当a=取得最小值．即有．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：求最值和解不等式，考查不等式恒成立问题的解法注意转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．。

2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合A={0，1，2}，B={2，4}，则A∪B=．2．（5分）函数的定义域为．3．（5分）求值：（log23）（log34）=．4．（5分）计算：=．5．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出：则f（g（1））．6．（5分）化简式子的结果是．7．（5分）函数的值域是．8．（5分）已知，则幂函数y=x a的图象不可能经过第象限．9．（5分）设实数a=30.5，b=30.8，c=2.30.5，则a，b，c的大小关系为，（按由小到大的顺序排列）．10．（5分）已知函数y=﹣x2+4ax在区间[﹣1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式的x的取值范围是．12．（5分）若，则lgx•lgy的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）=3﹣x﹣3x，则关于的下列结论：①f（0）=0②f（x）是奇函数③f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数④对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，其中正确的有（填写序号即可）．14．（5分）已知a∈R，函数f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a在区间[1，5）上的最大值是4，则a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，（1）求A∩B．（2）已知函数y=ln（x+3）的定义域为E，求∁E（A∩B）．16．（14分）已知f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=x2+6x+10．（1）求f（x）的解析式．（2）若f（x）在区间[0，a]上的最小值是5，求实数a的值．17．（14分）已知函数．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）已知g（x）=f（x）+mx3+3，且，试求的值．18．（16分）某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（单位：元）与月处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元，如果该项目不获利，那么亏损数额将由国家给予补偿．（1）求x=30时，该项目的月处理成本．（2）当x∈[100，200]时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额（单位：元）的范围是多少？19．（16分）（1）求函数f（x）=x2+3x﹣4的零点．（2）试确定关于x的方程的解的个数．（3）如果（2）的解记为x0，且x0∈[k，k+1]，k∈Z，那么k的值是多少？20．（16分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1的图象经过点A（1，2），B（3，8）．（1）求a，b的值．（2）当x≤﹣2时，函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，求实数m的取值范围．（3）定义在[p，q]上的一个函数m（x），如果存在一个常数M＞0，使得式子对一切大于1的自然数n都成立，则称函数m（x）为“[p，q]上的H函数”（其中，P=x0＜x1＜…＜x i＜x＜…＜x n=q）．﹣1试判断函数f（x）是否为“[﹣1，3]上的H函数”．若是，则求出M的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）．2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合A={0，1，2}，B={2，4}，则A∪B={0，1，2，4} ．【分析】由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集，根据定义进行求解即可．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={2，4}，∴A∪B={0，1，2，4}故答案为：{0，1，2，4}【点评】本题主要考查了并集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于容易题，送分题．2．（5分）函数的定义域为．【分析】直接由分母中根式内部的代数式大于0求解．【解答】解：由2x+1＞0，得x．∴函数的定义域为．故答案为：．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3．（5分）求值：（log23）（log34）=2．【分析】直接利用换底公式后运用对数式的运算性质化简求值．【解答】解：：（log23）（log34）=．故答案为2．【点评】本题考查换底公式的应用，对数的运算性质，是基础题．4．（5分）计算：=．【分析】根据分数指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：分数指数幂的运算，故答案为：【点评】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出：则f（g（1））1．【分析】推导出g（1）=3，f（3）=1，从而f（g（1））=f（3）=1．【解答】解：由题意得：g（1）=3，f（3）=1，∴f（g（1））=f（3）=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（5分）化简式子的结果是a﹣b．【分析】分数指数幂的化简，因为a＞0，b＜0，且结果一定非负．【解答】解：=|b﹣a|=a﹣b，故答案为：a﹣b【点评】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．7．（5分）函数的值域是．【分析】直接利用指数函数的单调性求解．【解答】解：∵，∴函数（x∈[﹣3，2]）单调递减，又f（2）=，f（﹣3）=9，∴函数（x∈[﹣3，2]）的值域为，故答案为．【点评】本题考查函数值域的求法，考查指数函数的单调性，是基础题．8．（5分）已知，则幂函数y=x a的图象不可能经过第二、四象限．【分析】当a=﹣1或a=3时，幂函数y=x a的图象经过一、三象限，当时，幂函数y=x a的图象经过第一象限．【解答】解：当a=﹣1或a=3时，幂函数y=x a的图象经过一、三象限，当时，幂函数y=x a的图象经过第一象限．∴幂函数y=x a的图象不可能经过第二、四象限．故答案为：二、四．【点评】本题考查幂函数的图象所在象限的判断，考查幂函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查函数思想，是基础题．9．（5分）设实数a=30.5，b=30.8，c=2.30.5，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b，（按由小到大的顺序排列）．【分析】根据幂函数和指数函数的单调性，判断出c＜a且a＜b．【解答】解：根据幂函数y=x0.5是定义域R上的单调递增函数，所以2.30.5＜30.5；又因为指数函数y=3x是定义域R上的单调递增函数，所以30.5＜30.8；所以c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点评】本题考查了利用幂函数和指数函数的单调性判断大小的应用问题，是基础题．10．（5分）已知函数y=﹣x2+4ax在区间[﹣1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是；．【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析可得y=﹣x2+4ax开口方向以及对称轴，进而可得2a≤﹣1，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数y=﹣x2+4ax为二次函数，且开口向下，其对称轴为x=2a，若其在区间[﹣1，2]上单调递减，则2a≤﹣1，所以，即a的取值范围为；故答案为：．【点评】本题考查二次函数的性质，注意分析二次函数的对称轴以及开口方向．11．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式的x的取值范围是（，）．【分析】根据题意，由函数奇偶性与单调性的关系，分析可得若，则，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，若，则，即，解可得：＜x＜，即；故答案为：（，）．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性，将原不等式转化为关于x的不等式．12．（5分）若，则lgx•lgy的最大值是4．【分析】先根据对数的定义可得，利用换元法，令t=lgy（t∈R），可得lgx=8﹣4t，根据二次函数的性质可得【解答】解：等号两边同时取对数，得lg（•y）=lg100=2即，利用换元法，令t=lgy（t∈R），则lgx=8﹣4t，∴lgx•lgy=（8﹣4t）t=﹣4t2+8t=﹣4（t﹣1）2+4，当t=1时，取最大值，最大值为4，故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数的性质、对数的运算法则，属于基础题．13．（5分）已知函数f（x）=3﹣x﹣3x，则关于的下列结论：①f（0）=0②f（x）是奇函数③f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数④对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，其中正确的有（填写序号即可）①②④．【分析】由奇函数的定义判定函数为实数集上的奇函数，可得①②正确；由指数函数的单调性可得f（x）为实数集上的减函数，结合值域为R判断③④．【解答】解：∵f（x）=3﹣x﹣3x，f（﹣x）=3x﹣3﹣x=﹣（3﹣x﹣3x），∴f（x）=﹣f（﹣x），即函数f（x）=3﹣x﹣3x是奇函数，由奇函数的性质，①②均正确；又，是R上的单调递减函数，y=3x是R上的单调递增函数，由函数单调性的性质，减函数﹣增函数=减函数，∴f（x）=3﹣x﹣3x在R上单调递减．又∵函数值域为R，对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，∴③错误，④正确．∴正确的有①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性性质的判定与应用，是中档题．14．（5分）已知a∈R，函数f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a在区间[1，5）上的最大值是4，则a的取值范围是（﹣∞，] ．【分析】由题意知，x∈[1，5），2|x﹣3|∈[1，4]，故2|x﹣3|﹣a∈[1﹣a，4﹣a]，讨论①a≤1时，②时，③时，④a＞4时，结合指数函数的单调性和绝对值的意义，可得所求范围．【解答】解：由题意知，x∈[1，5），2|x﹣3|∈[1，4]，故2|x﹣3|﹣a∈[1﹣a，4﹣a]，①a≤1时，f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a=|2|x﹣3|∈[1，4]，故符合题意；②时，1﹣a＜0，4﹣a＞0且a﹣1≤4﹣a，∴|2|x﹣3|﹣a|∈[0，4﹣a]，故f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a∈[a，4]，故符合题意；③时，1﹣a＜0，4﹣a＞0，且a﹣1＞4﹣a，∴|2|x﹣3|﹣a|∈[0，1﹣a]，故f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a∈[a，1]故不符合题意；④a＞4时，f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a=2a﹣2|x﹣3|∈[2a﹣4，2a﹣1]，故不符合题意．综上所述：（﹣∞，]．【点评】本题考查含绝对值函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，（1）求A∩B．（2）已知函数y=ln（x+3）的定义域为E，求∁E（A∩B）．【分析】（1）化简集合B，根据交集的定义写出A∩B；（2）求出函数y的定义域E，计算∁E（A∩B）即可．【解答】解：（1）集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}；（2）函数y=ln（x+3）的定义域为E={x|x+3＞0}={x|x＞﹣3}，由（1）知A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}，∴∁E（A∩B）={x|﹣3＜x≤﹣2或x≥﹣1}．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．16．（14分）已知f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=x2+6x+10．（1）求f（x）的解析式．（2）若f（x）在区间[0，a]上的最小值是5，求实数a的值．【分析】（1）设x＞0，则﹣x＜0，可得f（﹣x）=（﹣x2）+6（﹣x）+10=x2﹣6x+10，结合函数为偶函数可得f（x）的解析式；（2）由（1）知，当x∈[0，a]时，f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，然后对a分类求解得答案．【解答】解：（1）当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=（﹣x2）+6（﹣x）+10=x2﹣6x+10，又由于f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x），故当x＞0时，f（x）=f（﹣x）=x2﹣6x+10，故：；（2）由题意知：当x∈[0，a]时，f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，若a≥3，f min（x）=f（3）=1，不符合题意，当0＜a＜3时，f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1在[0，a]内单调递减，∴f min（x）=f（a）=5，解得：a1=1，a2=5（舍）．综上所述：a=1．【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数的奇偶性及单调性的应用，是中档题．17．（14分）已知函数．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）已知g（x）=f（x）+mx3+3，且，试求的值．【分析】（1）先求函数的定义域，结合奇函数的定义进行证明即可（2）利用函数奇偶性的性质，利用代入法进行求解即可．【解答】解：（1）由题意知：，解得f（x）的定义域为：（1，1），定义域关于原点对称．∵，∴f（x）是奇函数．（2）设h（x）=g（x）﹣3=f（x）+mx3由（1）知，h（x）为奇函数，∴，即，解得：．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断和奇偶性的应用，利用奇偶性的定义和性质是解决本题的关键．18．（16分）某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（单位：元）与月处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元，如果该项目不获利，那么亏损数额将由国家给予补偿．（1）求x=30时，该项目的月处理成本．（2）当x∈[100，200]时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额（单位：元）的范围是多少？【分析】（1）利用函数解析式，代值计算即可；（2）求出利润函数的解析式，利用配方法，根据函数的单调性即可求出．【解答】解：（1）当x=30时，y=300×30=9000，∴x=30时，该项目的月处理成本为9000元．（2）当x∈[100，200]时，利润g（x）=200x﹣（﹣10x2+2000x+48000），化简得：g（x）=10x2﹣1800x﹣48000=10（x﹣90）2﹣129000，g（x）为单调递增函数，故此时g（x）＜0，∴该项目不能获利；当x=100时，g min（x）=﹣128000，当x=200时，g max（x）=﹣8000，故补偿金额的范围是[8000，128000]．【点评】本题考查了二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（16分）（1）求函数f（x）=x2+3x﹣4的零点．（2）试确定关于x的方程的解的个数．（3）如果（2）的解记为x0，且x0∈[k，k+1]，k∈Z，那么k的值是多少？【分析】（1）根据题意，由函数零点的定义，令f（x）=x2+3x﹣4=0，解得x的值，即可得答案；（2）根据题意，设，y2=log3x，作出两个函数的图象，由数形结合法分析可得答案；（3）设，计算f（4）与f（5）的符号，由函数零点判定定理分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=x2+3x﹣4，令f（x）=x2+3x﹣4=0，解得：x1=﹣4，x2=1．即函数的零点为﹣4与1；（2）根据题意，设，y2=log3x，如图，两个函数只有一个交点，则方程只有一个解；（3）设，又由f（4）=2﹣log34＞0，，则f（x）在[4，5]必有零点，故k=4．【点评】本题考查函数的零点以及零点判定定理，关键是理解函数零点的定义．20．（16分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1的图象经过点A（1，2），B（3，8）．（1）求a，b的值．（2）当x≤﹣2时，函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，求实数m的取值范围．（3）定义在[p，q]上的一个函数m（x），如果存在一个常数M＞0，使得式子对一切大于1的自然数n都成立，＜x＜…＜x n=q）．则称函数m（x）为“[p，q]上的H函数”（其中，P=x0＜x1＜…＜x i﹣1试判断函数f（x）是否为“[﹣1，3]上的H函数”．若是，则求出M的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）．【分析】（1）把点A、B的坐标代入函数f（x）的解析式中，求得a、b和f（x）的解析式；（2）由题意构造函数y=g（x），根据题意结合函数的单调性求出函数最值以及m 的取值范围；（3）根据f（x）的单调性，结合题意求得的值，从而求得m的最小值．【解答】解：（1）点A（1，2），B（3，8）代入函数f（x）的解析式中，得，两式相比得a2=4，∵a＞0，∴a=2，b=1，f（x）=2x；（2）函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，代入a=2，b=1得函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，设，∵在（﹣∞，2]上单调递减，y=﹣4x在（﹣∞，﹣2]上单调递减，∴g（x）在（﹣∞，﹣2]上为单调递减函数，∴g min（x）=g（﹣2）=13﹣m，要使g（x）在x轴上方恒成立，即13﹣m＞0恒成立，即m＜13；（3）∵f（x）=2x在[﹣1，3]上单调递增，∴=|f（x1）﹣f（x0）|+|f（x2）﹣f（x1）|+…+|f（x n）﹣f（x n﹣1）|=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）+…+f（x n）﹣f（x n﹣1）=﹣f（x0）+f（x n）=f（3）﹣f（﹣1）=23﹣2﹣1=，∴m的最小值为．【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了数列求和的应用问题，是难题．。

2017-2018学年江苏省南京师大附中高一第一学期期中考试数学试题一、填空题1．已知集合，.若，则实数__________.【答案】0【解析】【分析】由集合相等的性质，有m=2m，由此能求出m的值．【详解】∵集合A={2，m}，B={2m，2}．A=B，∴由集合相等的性质，有m=2m，解得m=0．故答案为：0．【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．若幂函数的图像过点，则实数__________.【答案】2【解析】【分析】把点的坐标代入函数解析式进行求解即可．【详解】将点坐标代入，∵，∴.故答案为：2【点睛】本题主要考查幂函数的应用，利用代入法是解决本题的关键．3．函数的定义域为__________．【答案】【解析】由题得，所以．故填4．若集合，则集合的子集个数为__________.【答案】8【解析】【分析】根据集合子集的定义和公式即可得到结论．【详解】记是集合中元素的个数，集合的子集个数为个.故答案为：8【点睛】本题主要考查集合子集个数的求解，含有n个元素的子集个数为2n个，真子集的个数为2n-1个．5．若函数是偶函数，则__________．【答案】0【解析】由题得.故填0.6．已知，，则__________（用含，的代数式表示）.【答案】【解析】【分析】由换底公式，可得l，由此能够准确地利用a，b表示log36．【详解】由换底公式，.故答案为：本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．7．已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则__________. 【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性进行转化求解即可．【详解】根据函数的奇偶性的性质可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．8．已知函数，函数为一次函数，若，则__________.【答案】【解析】【分析】设出函数的解析式，利用待定系数法转化求解即可．【详解】由题意，函数为一次函数，由待定系数法，设（），，由对应系数相等，得，.即答案为.【点睛】本题考查函数的解析式的求法，是基本知识的考查．9．若函数，则方程所有的实数根的和为__________.【答案】【分析】利用分段函数，求解方程的解即可．【详解】由，得；又由，得，所以和为.【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．10．设，，，则，，三者的大小关系是__________．（用“”连接）【答案】【解析】∵，，，∴．故填.11．已知函数的零点为，若，，则__________. 【答案】2【解析】【分析】由函数的解析式判断单调性，求出f（2），f（3）的值，可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x-7的零点所在的区间【详解】由零点定理，，，.根据函数的零点的判定定理可得：函数f（x）=xlog2x-3的零点所在的区间是（2，3），所以n=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．12．已知函数在区间是增函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】【解析】当x≥-1时，f（x）是增函数；当x＜-1时，f（x）是减函数，从而区间[a，+∞）左端点a应该在-1的右边，由此能求出实数a的取值范围．【详解】∵函数，函数f（x）=|x+1|在区间[a，+∞）是增函数，当x≥-1时，f（x）是增函数；当x＜-1时，f（x）是减函数，∴区间[a，+∞）左端点a应该在-1的右边，即a≥-1，∴实数a的取值范围是[-1，+∞）．故答案为：[-1，+∞）．【点睛】本题考查实数值的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．13．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】由函数f（x）过点（0，2），（3，0），．作出函数f（x）在[-3，3]上的图象，当x∈[-3，0）的时候，y=2f（x）的图象恒在y=x的上方，当x∈[0，3]时，令2f（x）=x，得，由此能求出f（x）+f（-x）＞x的解集．【详解】由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：.【点睛】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．14．如图，过原点的直线与函数的图像交于，两点，过，分别作轴的垂线，与函数的图像分别交于，两点．若平行于轴，则四边形的面积为__________．【答案】【解析】因为点和点的纵坐标相等，设点的横坐标为，点的横坐标为，则有．∵，∴．又，在一条过原点的直线上，∴，∴，∴．，，，，所以．故填.点睛：本题的难点在于找到a的值，本题是通过，在一条过原点的直线上，根据相似得到的.在找方程时，注意学会根据几何条件找方程.二、解答题15．已知全集，集合，.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，解log2x≥1可得集合B，由交集的定义可得集合A∩B，（2）根据题意，（∁U A）∪（∁U B）=∁U（A∩B），由（1）的结论，计算可得答案．【详解】（1）由题意知，，故：.（2），，故：.【点睛】本题考查集合间的混合运算，关键是掌握集合交、并、补的定义，属于基础题．16．求值：（1）（2）【答案】（1）；（2）5【解析】试题分析：（1）第一题，主要是利用分数指数幂和整数指数幂的运算性质解答.(2)第二题，主要利用对数的换底公式和对数恒等式解答.试题解析：（）原式．（）原式．17．已知函数，其中且，又.（1）求实数的值；（2）若，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据f（1）=5建立方程关系进行求解即可．（2）利用换元法结合一元二次函数的性质求函数的最值即可求函数的值域．【详解】本题考查函数的性质．（1）由，得：，解得：，又∵且，∴.（2）由（1）知：，设，，∴，则，易知，在内单调递增，故，，故：的值域为．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及函数值域的计算，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．18．某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过吨时，按每吨元收取；当该用户用水量超过吨时，超出部分按每吨元收取．（1）记某用户在一个收费周期的用水量为吨，所缴水费为元，写出关于的函数解析式．（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为元，且甲、乙两用户用水量之比为，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量和水费．【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）第一问，主要是分类讨论得到一个关于x的分段函数. (2)第二问，先要分析出甲、乙两用户的用水量是否超过了30吨，确定后，得到一个方程，即可得到他们搁置的用水量和水费.试题解析：（）由题意知，．（）假设乙用户用水量为吨，则甲用户水量为吨，则甲乙所交水费所缴水费之和为，∴甲乙两用户用水量都超过吨．设甲用水吨，乙用水吨，则有，解得：，故：甲用水吨，水费为元；乙用水吨，水费为元．19．已知函数（，）（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，求关于的不等式的解集；（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由a x-1＞0，得a x＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令，可知在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【详解】本题考查恒成立问题．（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；（2）由题意知，（），定义域为，用定义法易知为上的增函数，由，知：，∴.（3）设，，设，，故，，故：，又∵对任意实数恒成立，故：.【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．20．已知函数，（1）求不等式的解集；（2）记在上最大值为，若，求正实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意知，，分段解不等式即可．（2）①当x≥1时，令f（x）＜2，解得1≤x＜2．②当0≤x＜1时，令f（x）＜2，解得0≤x＜1．即可求解．【详解】本题考查分段函数综合问题．（1）由题意知，，①当时，令，解得：；②当时，令，解得：，综上所述，；（2）①当时，令，解得：；②当时，令，解得：，故时，，故正实数的取值范围为．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．第 11 页共 11 页。