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五、混合战略纳什均衡
• 混合战略纳什均衡的含义：
• 纳什均衡要求每个参与人的混合战略是给定对方的混合战 * 0.2， *=0.5 略下的最优选择。因此在社会福利博弈中， 是唯一的混合战略纳什均衡。 • 从反面来说，如果政府认为流浪汉选择寻找工作的概率严 格小于0.2，那么政府的唯一最优选择是纯战略：不救济； • 如果政府以1的概率选择不救济，流浪汉的最优选择是寻 找工作，这又将导致政府选择救济的战略，流浪汉则选择 游荡。如此等等。
§扑克牌对色游戏
• AB玩扑克牌对色游戏，每人都有红黑两张扑克牌， 约定如果出牌颜色一样，A输B赢，如果出牌颜色 不一样，则A赢B输。
• 找到这个博弈的纳什均衡。
B 红 红 A 黑 -1， 1 黑 1， -1
1， -1
-1， 1
例 扑克牌对色游戏 反应函数法 A 红
B
黑
红 黑
-1 , 1 1 , -1
纳什均衡是：政府以1/2的概 率选择救助，流浪汉以1/5的 概率选择找工作。
1/5
1
r
p 1
练习2：利用反应函数法找出情侣博弈的所有纳什均衡
女 足球 男 足球 2 , 1 芭蕾 0 , 0
芭蕾
0,0 1,2
2/3
0
1/3
1
q
激励的悖论
• 一小偷欲偷有守卫看守的仓库，若小偷去偷时 守卫睡觉（不负责），则小偷偷窃成功（令其 价值是V），若守卫没有睡觉（尽职尽责）， 则小偷会被抓住坐牢（设其效用为-A）；再假 设守卫睡觉而未被偷的效用为S，守卫睡觉而 被偷则被解雇，其效用为-D。写出得益矩阵， 并分析如果想减少小偷偷东西的现象发生,如何 做效果更好?
1、假定政府采用混合策略：
G ,1 1 的概率选择不救济。 即政府以的概率选择救济，
2、流浪汉的混合策略为：
L ,1 1 的概率选择游闲。 即流浪汉以 的概率选择寻找工作，
解一: 支付最大化
流浪汉 找工作 游荡
政府 救济 不救济
流浪汉
寻找工作的概率小于0.2
政府
概率为1：不救济
流浪汉
寻找工作
政府 救济
讨论
• 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率选择纯 策略。也就是说，一个参与人选择不同策略的概 率不是由他自己的支付决定的，而是由他的对手 的支付决定的。 • 正是由于这个原因，许多人认为混合策略纳什均 衡是一个难以令人满意的概念。
第二章 完全信息静态信息博弈-纳什均衡
一 博弈的基本概念及战略表述 二 占优战略均衡 三 重复剔除的占优均衡
四 纳什均衡
五 混合战略纳什均衡
六 纳什均衡存在性及相关讨论
五、混合战略纳什均衡
猜谜游戏
两个儿童各 拿一枚硬币，
若同时正面 朝上或朝下， A给B 1分钱， 若只有一面 朝上，B给A 1分钱。 正面 反面
• 经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收 检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员等都 可以看成猜谜博弈。
五、混合战略纳什均衡
• 练习：模型化下述划拳博弈： • 两个老朋友在一起喝酒，每个人有四个纯战 略：杠子、老虎、鸡和虫子，输赢规则是： 杠子降老虎，老虎吃鸡，鸡吃虫子，虫子降 杠子，两人同时出令。如果一个打败另一个， 赢的效用为1，输的效用为-1，否则效用为0， 写出这个博弈的支付矩阵，这个博弈有纯战 略均衡吗？计算其混合战略纳什均衡。
五、混合战略纳什均衡
• 上述博弈的特征是：
在这类博弈中，都不存在纯纳什均衡。
参与人的支付取决于其他参与人的战略；以某 种概率分布随机地选择不同的行动 每个参与人都想猜透对方的战略，而每个参与 人又不愿意让对方猜透自己的战略。
这种博弈的类型是什么？如何找到均衡？
五、混合战略纳什均衡
• 请举一些这样的例子：
q
同理
U B ( p, q) 2q(2 p 1) (2 p 1)
因此B的最佳反应函数为
p 1 1/2 0
1, 当p 1 / 2 q [0,1],当p 1 / 2 0, 当p 1 / 2
p 1 1/2 0
1
q
( P* , q* ) (1/ 2,1/ 2)
纳什均衡是：A和B出红牌还 是出黑牌的概率都是1/2.
1/2 1 q
反应函数法
练习1：利用反应函数法找出政府与流浪汉博弈的纳什均衡
流浪汉 找工作 游荡 政府 救济 不救济 3,2
-1 , 1
-1 , 3
0,0
假设政府救济的概率为 ；流浪汉找工作的概率为 ； 则
u (5 1) , u
3,2 -1 , 1
, 3 0,0
假设政府救济的概率为 ；流浪汉找工作的概率为 ； 则 政府的期望效用函数为：
uG 3 11 1 01 5 1
解一: 支付最大化
uG 3 11 1 01 5 1
如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味 着政府在救济与不救济之间是无差异的，即：
uG 1, 4 1 uG 0, 0.2
• 解二: 支付等值法
如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意 味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的， 即： 流浪汉
1
2
[1 2 ] 3
0, 当r 1 / 5 [0,1],当r 1 / 5 1, 当r 1 / 5
1, 当 1 / 2 r [0,1],当 1 / 2 0, 当 1 / 2
1 1/2 0
( * , r * ) (1 / 2,1 / 5)
（3，2） （-1，3） （-1，1） （0，0）
政府和流浪汉的博弈
• 思考：政府会采用纯策略吗？流浪汉呢？这个 博弈有没有纯策略的纳什均衡？ • 那么政府和流浪汉最有可能采用什么策略？ • ——使自己的预期支付最大化。 • ——若能够猜得对方的策略，就可以采用针对 性的策略，使自己的支付增加。
求解混合策略纳什均衡
0.5
maxu G [3 (1 )] (1 )( )
maxu L [2 (1 )] 3(1 )
则 0.5, 0.2
解二: 支付等值法
• 政府选择救济策略
1
• 政府选择不救济策略
0
期望效用 期望效用 uG 1, 3 11 uG 0, 1 01 4 1
1 , -1 -1 , 1
假设A出红牌的概率为 p；B出红牌的概率为 q ；则
U A ( p, q) 2 p(1 2q) (2q 1)
因此A的最佳反应函数为
p 1
0, 当q 1 / 2 p [0,1],当q 1 / 2 1, 当q 1 / 2
0
1/2
1
零和博弈
博弈参与者有 输有赢，但结 果永远是0。
正面
1 -1，
反面
-1 1，
-1
1， -1，
1
没有一个战略组合构成纳什均衡
社会福利博弈
流浪汉
找工作 游荡
政府 救济 不救济 3， 2 -1，1 -1，3 0， 0
五、混合战略纳什均衡
• 警察与小偷
1万元
2万元
酒馆
东边
小偷
警察
银行 西边
警察与小偷的最优策略各是什么？
对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一阶条 件为：
uG 5 1 0 0.2
就是说，从政府的最优化条件找到流浪汉混 合策略——流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，0 .8 的概率选择游闲。
解一:支付最大化
流浪汉 找工作 游荡
政府 救济 不救济
3,2 -1 , 1
• 事实上，正是因为它在几个（或全部）策略之间 是无差异的，他的行为才难以预测，混合策略纳 什均衡才会存在。
讨论
• 尽管混合策略不像纯策略那样直观，但它确实是 一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比赛、 垒球比赛、划拳就是这样的例子，在这一类博弈 中，参与比赛的总是随机行动以使自己的行为不 被对方所预测。
五、混合策略纳什均衡
• 混合策略与期望支付 • 计算混合策略纳什均衡的三种方法
• 支付最大值法
• 支付等值法 • 反应函数法 • 多重纳什均衡及其甄别 • 混合博弈在现实经济中的运用案例
五、混合策略纳什均衡
• 纯策略(pure strategies)：如果一个策略规定参与 人在一个给定的信息情况下只选择一种特定的行 动。 • 混合策略(mixed strategies)：如果一个策略规定 参与人在给定的信息情况下，以某种概率分布随 机地选择不同的行动。
激励的悖论
• 用支付最大化值求出：
A 1 q* V VA 1 A
当加大对小偷的处罚，守卫 偷懒的概率会增加 A q*
S 1 p* S D 1 D S
找工作 政府 救济 不救济 3,2 游荡 -1 , 3
-1 , 1
0,0
u L 1, 1 3 u L 0, 0.5
五、混合战略纳什均衡
• 对 * 0.2 的解释：
• 如果流浪汉找工作的概率小于0.2, 则政府选择不 救济,如果大于0.2,政府选择救济 ,只有当概率等 于0.2时,政府才会选择混合战略或任何纯战略. • 对 * 0.5 的解释 • 如果政府救济的概率大于0.5,流浪汉的最优选择 是流浪,如果政府救济的概率小于0.5,流浪汉的最 优选择是寻找工作.
激励的悖论
• 小偷与守卫博弈
