【试卷】2020广州二模理科数学

2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．
1．若集合 A {x | y 2 x}, B {x | x2 x ≤ 0} ，则 A B （ ）
A．[0,1)
B．[0,1]
17．（本小题满分 12 分）
33
△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 a 1, B ，△ABC 的面积为 ．
3
4
（1）求△ABC 的周长；
（2）求 cos(B C) 的值．
18．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形， AC AB1, B1C BC1 O ．
作为概率的估计值．
（i）现有 3 名借阅者每人借阅一本图书，记此 3 人增加的积分总和为随机变量 ，求 的分布列和数学期
望； （ii）现从只借阅一本图书的借阅者中选取 16 人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？
附： K 2
n(ad bc)2
，其中 n a b c d ．
(a b)(c d )(a c)(b d )
正方形的边长为 a (0 a r) ，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是 p ，则圆周率 的值
为（ ）
a2
A．
(1 p)r2
a2
B．
(1 p)r2
a
C．
(1 p)r
a
D．
(1 p)r
6． 在三棱柱 ABC A1B1C1 中， E 是棱 AB 的中点，动点 F 是侧面 ACC1A1 （包括边界）上一点，若
（1）求证： B1C AB ；
（2）若 CBB1 60 ， AC BC ，且点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O ，求二面角 B AA1 C 的余
弦值．
A
A1
C
C1
O
B
B1
19．（本小题满分 12 分）
已知点 A, B 分坐标分别为 ( 2, 0), ( 2, 0) ，动点 M (x, y) 满足直线 AM 和 BM 的斜率之积为 3 ，记 M 的轨迹为曲线 E ． （1）求曲线 E 的方程； （2）直线 y kx m 与曲线 E 相交于 P, Q 两点，若曲线 E 上存在点 R ，使得四边形 OPRQ 为平行四边 形（其中 O 为坐标原点），求 m 的取值范围．
20．（本小题满分 12 分）
当今世界科技迅猛发展，信息日新月异．为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某市图书馆开展了以
“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查．该图
书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取 100 名，数据统计如下表：
借阅科技类图书（人） 借阅非科技类图书（人）
C． b a c
D． a c b
4．首项为 21的等差数列从第 8 项起开始为正数，则公差 d 的取值范围是（ ）
A． d 3
7 B． d
2
7 C． 3≤ d
2
7 D． 3 d ≤
2
5．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”， 也就是人们常说的“天圆地方” ．我国古代铜钱的铸造
也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为 r ，
EF / / 平面 BCC1B1 ，则动点 F 的轨迹是（
A．线段
B．圆弧
1 7．函数 f (x) 2x 的图象大致是（
x
） C．椭圆的一部分
）
D．抛物线的一部分
8．如图，在梯形 ABCD 中， AB / / CD, AB AD, AB 2AD 2DC, E 是 BC 的中点， F 是 AE 上一
C．[0, 2)
D．[0, 2]
z 2．已知复数 z 1 bi (b R) ， 是纯虚数，则 b （ ）
2i
A． 2
1 B．
2
1
C．
2
D．1
3 3．若 a log3 2 ,
1 b ln ,
2
c 0.6 0.2 ，则 a, b, c 的大小关系为（
）
A． c b a
B． c a b
（1）求 2a2 b2 的最小值； （2）求证： aabb ≥ ab ．
1 A． y x
2
B． y x
C． y 2x
2 D． y x
5
12．若关于 x 的不等式 e2x a ln x ≥ 1 a 恒成立，则实数 a 的取值范围是（
）
2
A．[0, 2e]
B． (, 2e]
C．[0, 2e2 ]
D． (, 2e2 ]
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
年龄不超过 50 岁
20
25
年龄大于 50 岁
10
45
（1）是否有 99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关？
（2）该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分 2 分，每借阅一
本非科技类图书奖励积分 1 分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书．用上表中的样本频率
13．已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P(2, 1) 在角 的终边上，则
sin 2
．
14．下表是某厂 2020 年 1～4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据
月份 x
1
2
3
4
用水量 y
2.5
3
4
4.5
由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较明显的线性相关关系．其线性回归方程是 yˆ bˆx 1.75 ，预测
4
1 3sin2
．
（1）写出曲线 C1 和 C2 的直角坐标方程；
（2）已知 P 为曲线 C2 上的动点，过点 P 作曲线 C1 的切线，切点为 A ，求 PA 的最大值．
23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) x 1 2x 2 的最大值为 M ，正实数 a, b 满足 a b M ．
P(K 2 ≥ k)
0.050
k
21．（本小题满分 12 分）
3.841
已知函数 f (x) ln x sin x ax (a 0) ．
0.010 6.635
0.001 10.828
（1）若
a
1 ，求证：当
x
1,
2
时，
f
(x)
2x
1；
（2）若 f (x) 在 (0, 2 ) 上有且仅有 1 个极值点，求 a 的取值范围．
）
22020 2
A．
3
22020 2
B．
3
22021 2
C．
3
22021 2
D．
3
x2 y2
11．过双曲线 C : a2
b2
1(a 0,b 0) 右焦点 F2 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为 P ，与双曲线交
于点 A ，若 F2P 3F2 A ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）
点， AF 2FE ，则 BFБайду номын сангаас （ ）
D
C
1 1 A． AB AD
23
1 1 C． AB AD
23
1 1 B． AB AD
32
1 1 D． AB AD
32
E F
A
B
n
9．已知命题 p :
x2
1
的展开式中，仅有第 7 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 495；命
平面 被此四棱锥所截的截面面积为
，平面 将此四棱锥分成的两部分体积的比值为
．
（第一个空 2 分，第二个空 3 分）
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
x
题 q :随机变量 服从正态分布 N (2, 2 ) ，且 P( 4) 0.7 ，则 P(0 2) 0.3 ．现给出四个命题：
① p q ，② p q ，③ p (q) ，④ (p) q ，其中真命题是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
10．设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 a1 2, an an1 2n (n N ) ，则 S2020 （
2020 年 6 月份该厂的用水量为
百吨．
15．过抛物线 y2 4x 焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点，且 AB 4 ，若原点 O 是△ABC 的垂心，
则点 C 的坐标为
．
16．正四棱锥 P ABCD 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2 ，过点 A 作一个与侧棱 PC 垂直的平面 ，则
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
x cos
在直角坐标系
xOy
中，曲线 C1
的参数方程为
y
2
sin
（
为参数）．以坐标原点 O
为极点，
x
轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2