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第2讲 相似三角形中的辅助线及动点在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线一、作平行线例1. 如图，D A B C 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF CF BDCE=例2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ， 证明：AB ·DF=AC ·EF 。
二、作垂线二、作垂线例3. 已知：如图两个等积ABC D 、DBC D ，若AC 、BD 交于E ，EF ∥AB ，EG ∥CD ，分别交BC 于F 、G ，求证：CF=BG 。
如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：例 4. 如图从2AB=AEACADAF×。
+×三、作延长线三、作延长线例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的的面积。
面积为21，求△HBC的面积。
例6. 如图，Rt D ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG^AB于G，求证：FG2=CF·BF 四、作中线四、作中线D中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
例7 如图，ABC动点题型1、如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？为顶点的三角形相似？2、如图，正方形ABCD的边长为2，AE AE＝＝EB EB，，MN MN＝＝1，线段MN的两端在CB CB、、CD上滑动，当CM为何值时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？为顶点的三角形相似？H EDCBAP3、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F . (1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由. (2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长。
相似三角形添加辅助线得方法举例例１:已知:如图,△ABC中,AＢ＝AC,BD⊥AC于D.求证: BＣ2＝2CD·AC、例2.已知梯形中,,,就是腰上得一点,连结(1)如果,,,求得度数;(２)设与四边形得面积分别为与,且,试求得值例3。
如图４-1,已知平行四边ABCD中,E就是AB得中点,,连E、Ｆ交AC于G.求ＡＧ:ＡC得值.例4、如图4—5,B为AC得中点,E为BD得中点,则AＦ:AE=_＿＿___＿____。
例5、如图４—7,已知平行四边形ＡＢＣD中,对角线ＡC、ＢＤ交于O点,E为AB延长线上一点,OE交BＣ于F,若AＢ=a,ＢＣ=b,ＢE＝c,求BF得长.例6、已知在△ＡBC中,ＡＤ就是∠BAC得平分线、求证:.相似三角形添加辅助线得方法举例答案例１: 已知:如图,△A ＢC 中,A Ｂ=AC,BD ⊥AC 于D. 求证: B Ｃ2＝２ＣD ·AC.分析:欲证 ＢC 2＝２ＣD ·ＡC,只需证.但因为结论中有“２”,无法直接找到它们所在得相似三角形,因此需要结合图形特点及结论形式,通过添加辅助线,对其中某一线段进行倍、分变形,构造出单一线段后,再证明三角形相似.由“2”所放得位置不同,证法也不同、证法一(构造2C Ｄ):如图,在ＡＣ截取ＤE ＝D Ｃ, ∵BD ⊥AC 于D,∴B Ｄ就是线段ＣE 得垂直平分线, ∴ＢC ＝ＢE,∴∠C ＝∠B ＥC, 又∵ ＡB ＝AC, ∴∠C ＝∠A ＢC. ∴ △BCE ∽△ACB. ∴, ∴∴BC ２＝2C Ｄ·A Ｃ.证法二(构造2AC):如图,在ＣＡ得延长线上截取AE=AC,连结BE, ∵ AB=ＡC, ∴ AB=ＡC=AE. ∴∠E ＢＣ=９0°,又∵BD ⊥ＡC 。
∴∠EBC=∠BD Ｃ=∠EDB=90°, ∴∠E=∠DBC, ∴△EB Ｃ∽△BDC∴即∴B Ｃ２=2CD ·AC 。
（专题）相似三角形的常见辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系．主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A”“X”型例11．如图，D是△ABC的BC边上的点，BD:DC=2:1，E是AD的中点，求：BE:EF的值．例22．在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F．求证：EF×BC=AC×DF变式1－13．如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD=AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCF =BDCE变式1－24．如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB⋅DF= AC⋅EF．二、作垂线构造相似直角三角形例35．如图从▱ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：AB⋅AE+AD⋅AF= AC2根据模型二构造一线三等角例46．在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且∠BED=2∠CED=∠BAC=90°，则DB与DC的数量关系为____________．变式2－17．△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：PA:PB=CM:CN．变式2－28．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=1DB，作EF⊥DE2并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是__________．三、作延长线构造相似三角形例59．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积．例610．在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=120°，AD=BD，BC=4，CD=6，则AC=______．变式3－111．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是斜边AB的中点，E是BC边上一动点，连接DE、AE，当∠AED=45°时，求CE的长．变式3－212．如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG交AB于G，求证：FG2＝FC•FB．习题练13．如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标为（-2，1），点C 的纵坐标是4，则B ，C 两点的坐标分别是（）A ．（32，3），（−23，4）B ．（74，72），（−23，4）C ．（32，3），（−12，4）D ．（74，72），（−12，4）14．已知：如图，ΔABC 中，AB =AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F .求证：BP 2=PE ⋅PF .15．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上中线，E 是AC 上一点，连接ED 且交AB 的延长线于F 点．求证：AE:EC =AF:BF ．16．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．问题引入：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=（用图中已有线段表示）．探索研究：（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想ODAD +OECE+OFBF的值，并说明理由．17．已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AFBF =AEEC18．已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：BC2=2AC⋅CD谢谢观看。
相似三角形中的辅助线在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，∆ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF CF BDCE=BDA CFE证明：过点C 作CG//FD 交AB 于GF∴=AD AG AEAC又 AD AE =，∴=AG AC ∴=DG CEGC DF //，∴=BD DG BFCF∴=BD CE BF CF小结：本题关键在于AD ＝AE 这个条件怎样使用。
由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。
例2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF 。
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。
欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然AB DF AC EF AB AC EFDF⋅=⋅=不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）。
∴=⋅=⋅EM AB ECAC EM AC AB EC 即， ∴=AB AC EM EC同理可得∆∆EMF DBF ~ ∴=EF DF EMBD， 又， BD EC EM EC EMBD=∴=（为中间比），EMBD∴=AB AC EF DF，∴⋅=⋅AB DF AC EF方法二：如图，过D 作DN//EC 交BC 于N则有，，∆∆BDN BAC ~∴=⋅=⋅BD AB DNAC BD AC AB DN ，即（比例的基本性质） ∴=AB AC BD DN同理，∆∆ECF DNF ~∴==EC DN EFDF BD EC ，而（已知） ∴=BD DN EC DN EC DN （为中间比），∴=∴⋅=⋅AB AC EF DFAB DF AC EF ，二、作垂线3. 已知：如图两个等积ABC ∆、DBC ∆，若AC 、BD 交于E ，EF ∥AB ，EG ∥CD ，分别交BC 于F 、G ，求证：CF=BG 。
相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，∆ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCE=BDA CFE证明：过点C作CG//FD交AB于GF小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。
由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。
例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。
欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然AB DF AC EFABACEFDF⋅=⋅=不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）。
∴=⋅=⋅EM AB EC AC EM AC AB EC 即，∴=AB AC EMEC同理可得∆∆EMF DBF ~ ∴=EF DF EMBD，又， BD EC EM EC EM BD =∴=（为中间比），EMBD∴=AB AC EF DF， ∴⋅=⋅AB DF AC EF方法二：如图，过D 作DN//EC 交BC 于N则有，，∆∆BDN BAC ~∴=⋅=⋅BD AB DNAC BD AC AB DN ，即（比例的基本性质） ∴=AB AC BD DN同理，∆∆ECF DNF ~∴==EC DN EFDF BD EC ，而（已知） ∴=BD DN EC DN ECDN （为中间比）， ∴=∴⋅=⋅AB AC EFDFAB DF AC EF ，又 BCM ADN ∆≅∆ ∴ AN=CM∴ 2)(AC CM AM AC AF AD AE AB =+=⋅+⋅三、作延长线例5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。
相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到 成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“ A ”“ X ”型变式：如图，D 是△ABC 的 BC 边上的点，BD ：DC=2 ：1，E 是AD 的中点,例1：如图，D 是△ ABC 的 BC 边上的点， BD ： 的中点， 求：BE ：EF 的值 . 解法一： 过点 D 作CA 的平行线交 BF 于点 P ，PEFEDE 1， BP AE PFBDD B C D2 ,∴ PE=EF BP=2PF=4EF 所以 BE=5EF ∴BE ： EF=5： 1. 解法二：过点 D 作BF 的平行线交 AC 于点 Q ，则 DEF Q BF BC BE BF EF3,DQ DC 3DQ EF 6EF EF 5EF ，∴BE ：EF=5：1.解法三：过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 S ，解法四：过点 E 作 AC 的平行线交 BC 于点BE BT；EF TC ；∵ BD=2DC ∴BT52DC ，DC=2： 1， 2DA EA∴BE ：T ，则DTT ，连结BE 并延长交 AC 于F,例 2：如图，在△ ABC 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E ， ＝AE ，BF BDDE 延长线与 BC 延长线相交于 F ，求证：CF CE证明：过点 C 作 CG//FD 交 AB 于 G )例3：如图，△ ABC 中， AB<AC ，在 AB 、AC 上分别截取 交于点 F ，证明： AB ·DF=AC · EF.分析： 证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。
不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添AF ：CF 的值.解法一：过点 D 作CA 的平行线交 BF 于点 P ， 解法二：过点 D 作BF 的平行线交 AC 于点 Q ， 解法三：过点 E 作BC 的平行线交 AC 于点 S ， 解法四：过点 E 作AC 的平行线交 BC 于点 T ，行线方法一：过 E 作EM//AB ，交BC 于点M，则△ EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）方法二：过 D 作DN//ECBC于N.例4：在△ ABC中，D 为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD ，DE 交AB 于F。
小专题(六) 相似三角形的辅助线添作技巧本专题主要通过添加适当的辅助线构造相似三角形,运用相似三角形的知识来解决数学问题.添作辅助线的方法有:添作平行线、添作垂线、连接线段等.类型1 巧添平行线求线段的比1.如图,在△ABC 中,点D ,E 分别在BC ,AC 上,BE 与AD 交于点F ,且BD=DC ,AE ∶AC=1∶3,求AFFD 的值.解:过点A 作AG ∥BC 交BE 的延长线于点G ,那么△AEG ∽△CEB ,△AFG ∽△DFB ,∴AG BC =AE EC =12,又BD=DC , ∴AG=BD ,∴AFFD =AGBD =1.2.如图,在▱ABCD 中,E 是BC 的中点,在AB 上截取BF=12FA ,EF 交BD 于点G ,求BG ∶GD 的值.解:过点E 作EM ∥AB 交BD 于点M ,那么△BFG ∽△MEG ,∴BGGM =BFEM .∵AB ∥CD ,∴EM ∥CD ,∵BE=EC ,∴BM=MD ,∴EM=12CD ,∵BF=12FA ,∴BF=13AB , ∵AB=CD ,∴BFEM =BGGM =23,∵BM=MD ,∴BG ∶GD=2∶8=1∶4.类型2 巧连线段证线段之间的关系3.如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 中点,以M 为顶点作∠BMN=∠MBC ,MN 交CD 于点N. 求证:DN=2NC.解:延长MN ,BC 交于点E ,连接MC ,设AB=2a ,那么AM=a ,BM=√5a.由△BAM≌△CDM,那么BM=MC,且∠BCM=∠CBM=∠BMN.∴△BMC∽△BEM.∴BMBE =BCBM,即√5aBE=√5a,∴BE=52a,∴CE=BE-BC=52a-2a=12a.∵四边形ABCD为正方形,∴∠D=∠DCB=90°,即∠D=∠NCE=90°.∵∠DNM=∠CNE,∴△MDN∽△ECN,∴DNNC =MDCE=a12a=2,即DN=2NC.4.如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处(AE为折痕,点E在CD上),在AD上截取DG,使DG=CF.求证:(1)△ABF∽△FCE;(2)BD⊥GE.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABF=∠C=∠ADC=90°,∴∠BAF+∠BFA=90°,由折叠的性质可得∠AFE=∠ADC=90°,∴∠CFE+∠BFA=90°,∴∠BAF=∠CFE,∴△ABF∽△FCE.(2)由(1)知EFAF =FCAB,又EF=ED,AF=AD,FC=GD,∴DEAD=GDAB.又∵∠BAD=∠GDE=90°,∴△BAD∽△GDE,∴∠ADB=∠DEG,又∠ADB+∠BDC=90°,∠DEG+∠BDC=90°,∴BD⊥GE.类型3巧添垂线求线段的长5.如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,点F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE,DB相交于点M,N,求MN的长.解:过点F作FH⊥AD于点H,交ED于点O,那么FH=AB=2,∵BF=2FC,BC=AD=3,∴BF=AH=2,FC=HD=1,∴AF=√FH 2+AH 2=√22+22=2√2,∵OH ∥AE ,∴HO AE =DH AD =13,∴OH=13AE=13,∴OF=FH-OH=2-13=53,∵AE ∥FO ,∴△AME ∽FMO ,∴AM FM =AE FO ,即AM FM =153=35,∴AM=38AF=3√24,∵AD ∥BF ,∴△AND ∽△FNB ,∴ANFN =AD BF =32,∴AN=35AF=6√25,∴MN=AN-AM=6√25−3√24=9√220. 类型4 巧添垂线求线段的比6.如图,在△ABC 中,AB=AC ,E ,F ,G 分别是BC ,AB ,AC 上一点,∠FEG=2∠B. (1)求证:∠BFE=∠AGE ; (2)假设BECE =12,求EFEG 的值.解:(1)∵2∠B+∠A=180°,∴∠FEG+∠A=180°,∴∠BFE=∠AGE. (2)过点E 作EM ⊥AB 于点M ,作EN ⊥AC 于点N ,∴△EMF ∽△ENG ,∴EFEG =EM EN ,易证△EBM ∽△ECN ,∴EM EN=BECE=12,∴EF EG=12.7.如图,△ABC 中,AB=AC ,∠BAC<60°,D 为BC 延长线上一点,E 为∠ACD 内部一点,且∠ABE=∠ECD=45°,求BE AC的值.解:作AF ⊥BC 于点F ,BG ⊥CE 交EC 的延长线于点G.∵AB=AC ,∴BF=FC=12BC.∵∠ABE=∠ECD=∠BCG=45°,∴∠CBG=45°,BG=√22BC=√2BF.又∵∠ABF=∠EBG ,∴Rt △ABF ∽Rt △EBG ,∴BEAB =BGBF =√2,∴BEAC =√2.8.如图,将一个直角三角板的直角顶点P 放在矩形ABCD 的对角线BD 上滑动,并使其一条直角边始终经过点A ,另一条直角边与BC 相交于点E ,且AD=10,DC=8,求AP ∶PE 的值.解:过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,易证△APM∽△EPN,那么AP∶PE=PM∶PN=AD∶DC=10∶8=5∶4.。
