新北师大版七年级数学第二章知识点加习题

一、选择题1.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则式子∣a∣+∣b∣+∣a+b∣−∣b−c∣化简结果为( )A．2a+b−c B．2a+b+c C．b+c D．3b−c2.如图，点A，B在数轴上，点O为原点，OA=OB．按如图所示方法用圆规在数轴上截取BC=AB，若点A表示的数是a，则点C表示的数是( )A．2a B．−3a C．3a D．−2a3.一个点在数轴上距原点3个单位长度开始，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是( )A．6B．0C．−6D．0或64.已知a，b，c为有理数，且a+b+c=0，b≥−c>∣a∣，且a，b，c与0的大小关系是( )A．a<0，b>0，c<0B．a>0，b>0，c<0C．a≥0，b<0，c>0D．a≤0，b>0，c<05.当式子∣x+2∣+∣x−5∣取得最小值时，x的取值范围为( )A．−2≤x<5B．−2<x≤5C．x=2D．−2≤x≤56.在数轴上有两个点，分别表示数x和y，已知∣x∣=1，且x>0，∣y+1∣=4，那么这两个点之间距离为( )A．2或6B．5或3C．2D．37.如果∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=−1，那么ab∣ab∣+bc∣bc∣+ac∣ac∣+abc∣abc∣的值为( )A．−2B．−1C．0D．不确定8.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算21=222=423=8⋯新运算log 22=1log 24=2log 28=3⋯指数运算31=332=933=27⋯新运算log 33=1log 39=2log 327=3⋯根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216=4，② log 525=5，③ log 212=−1，其中正确的是 ( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③9. 【例 9−2 】已知 ∠AOB =60∘，∠AOC =13∠AOB ，射线 OD 平分 ∠BOC ，则 ∠COD 的度数为( ) A ． 20∘ B ． 40∘ C ． 20∘ 或 30∘ D ． 20∘ 或 40∘10. 下面四个数中，最大的数为 ( ) A ． (−1)2021B ． −∣−2∣C ． (−2)3D ． −12二、填空题11. 若 a +b +c >0，且 abc <0 则 a ，b ，c ，中有 个正数．12. 电子跳蚤落在数轴上的某点 k 0，第一步从 k 0 向左跳 1 个单位到 k 1，第二步由 k 1 向右跳 2个单位到 k 2，第三步由 k 2 向左跳 3 个单位到 k 3，第四步由 k 3 向右跳 4 个单位到 k 4，⋯，按以上规律跳了 140 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 k 140 所表示的数恰是 2019．则电子跳蚤的初始位置 k 0 点所表示的数是 ．13. 现定义某种运算“∗”，对给定的两个有理数 a ，b (a ≠0)，有 a ∗b =a −a b ，则 (−3)∗2= ．14. 如图所示是计算机程序计算，若开始输入 x =−1，则最后输出的结果是 ．15. 已知实数 a ，b ，定义运算：a ⋇b ={a b ,a >b 且 a ≠0b a,a ≤b 且 a ≠0，若 a ⋇(a −3)=1，则 a = ．16. 观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，⋯根据你发现的规律写出272019的末位数字是．17.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为16，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，⋯，则第2017输出的结果为．三、解答题18.阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为∣a−b∣．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1) 数轴上表示3与−2的两点之间的距离是．(2) 数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为．(3) 代数式∣x+8∣可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若∣x+8∣=5，则x=．(4) 求代数式∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值．19.计算下列各式的值．(1) −3−(−8)−(+7)+5．(2) 49÷74×(−47)÷(−16)．(3) 7−(156−23−34)÷124．(4) −32÷(−3)2+3×(−2)+∣−1∣．20.如图，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数−26，−10，10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，(1) Q点出发3秒后所到的点表示的数为；此时P，Q两点的距离为．(2) 问当点Q从A点出发几秒钟时，能追上点P？(3) 问当点Q从A点出发几秒钟时，点P和点Q相距2个单位长度？直接写出此时点Q在数轴上表示的有理数．21.已知两点A，B在数轴上，AB=9，点A表示的数是a，且a与(−1)3互为相反数．(1) 写出点B表示的数；(2) 如图1，当点A，B位于原点O的同侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，3秒后两动点相遇，当动点Q到达点4时，运动停止．在整个运动过程中，当PQ=2时，求点P，Q所表示的数；(3) 如图2，当点A，B位于原点O的异侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒；当动点Q运动2秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动5秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当∣OM−ON∣=2时，求动点P，Q运动的速度．22.【背景知识】数轴上A点，B点表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=∣a−b∣，．若a>b，则可简化为AB=a−b，线段AB的中点M表示的数为a+b2【问题情境】已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为−10，8，点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t>0）．【综合运用】(1) A，B两点的距离为，线段AB的中点C所表示的数；(2) 点P所在的位置的点表示的数为，点Q所在位置的点表示的数为（用含t的代数式表示）；(3) P，Q两点经过多少秒会相遇？23.探究规律，完成相关题目．定义“∗”运算：(+2)∗(+4)=+(22+42)，(−4)∗(−7)=+[(−4)2+(−7)2]，(−2)∗(+4)=−[(−2)2+(+4)2]，(+5)∗(−7)=−[(+5)2+(−7)2]，0∗(−5)=+(−5)∗0=(−5)2，(+3)∗0=0∗(+3)=(+3)2，0∗0=02+02=0．归纳∗运算的法则（用文字语言叙述）：(1) 两数进行∗运算时，．特别地，0和任何数进行∗运算，或任何数和0进行∗运算，．(2) 计算：(−3)∗[0∗(+2)]=．(3) 是否存在有理数m，n，使得(m+1)∗(n−2)=0，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．24.若有理数x，y满足∣x∣=5，∣y∣=2，且∣x+y∣=x+y，求x−y的值．25.数学是一门充满思维乐趣的学科，现有3×3的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a∗b为数阵中第a行第b列的数．例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以3∗2=3．(1) 对于数阵A，2∗3的值为．若2∗3=2∗x，则x的值为．(2) 若一个3×3的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：条件一：a∗a=a；条件二：(a∗b)∗c=a∗c．则称此数阵是“有趣的”．①请判断数阵A是否是“有趣的”你的结论：（填“是”或“否”）．②已知一个“有趣的”数阵满足1∗2=2，试计算2∗1的值．③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律a∗b=b∗a？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】观察数轴可得：−1<a<0<b<c，∣a∣<∣b∣<∣c∣，∴∣a∣+∣b∣+∣a+b∣−∣b−c∣=−a+b+a+b−(c−b)=3b−c．【知识点】绝对值的化简、利用数轴比较大小2. 【答案】B【解析】∵OA=OB，点A表示的数是a，∴点B表示的数为−a，AB=−2a，∵BC=AB，∴点C表示的数是−3a．【知识点】数轴的概念3. 【答案】D【解析】∵该点距离原点3个单位，∴该点表示的数是3或−3，①若该点表示的数是3，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是：3+4−1=6；②若该点表示的数是−3，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是：3+4−1=0；故选D．【知识点】绝对值的几何意义4. 【答案】D【解析】∵∣a∣≥0，则b≥−c>∣a∣≥0，b>0，−c>0，即c<0，a+b+c=0，即a+b=−c≤b，即a≤0，∴a≤0，b>0，c<0．【知识点】绝对值的几何意义、利用数轴比较大小、有理数的加法法则及计算5. 【答案】D【解析】利用数轴，设A点表示的数为−2，B点表示的数为5，P点表示的数为x，则∣x+2∣+∣x−5∣=PA+PB，∴当P在A，B之间时，PA+PB最小，∴当−2≤x≤5时，∣x+2∣+∣x−5∣取得最小值．【知识点】绝对值的几何意义6. 【答案】A【解析】∵∣x∣=1，且x>0，∴x=1，∵∣y+1∣=4，∴y=−5或3，∴这两个点之间距离为1−(−5)=6或3−1=2．【知识点】绝对值的几何意义7. 【答案】C【解析】∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=−1，所以a，b，c中有一个正数，二个负数，假设a>0，b<0，c<0，则ab∣ab∣+bc∣bc∣+ac∣ac∣+abc∣abc∣=−1+1−1+1=0．【知识点】绝对值的性质与化简8. 【答案】B【知识点】有理数的乘方9. 【答案】D【解析】当OC在∠AOB内时，如图1，则∠BOC=∠AOB−∠AOC=60∘−13×60∘=40∘，∴∠COD=12∠BOC=20∘；当OC在∠AOB外时，如图2，则∠BOC=∠AOB+∠AOC=60∘+13×60∘=80∘，∴∠COD=12∠BOC=40∘．综上，∠COD=20∘或40∘．故选：D．【知识点】角的计算10. 【答案】D【解析】 (−1)2021=−1；−∣−2∣=−2；(−2)3=−8；且 −8<−∣−2∣<(−1)2021<−12， ∴ 最大的数是 −12，故选D ．【知识点】有理数的乘方、绝对值的化简二、填空题 11. 【答案】 2【解析】 ∵ 有理数 a ，b ，c 满足 a +b +c >0，且 abc <0， ∴a ，b ，c 中负数有 1 个，正数有 2 个． 【知识点】有理数的加法法则及计算、有理数的乘法12. 【答案】 1949【解析】由题意可知：k 140=k 0−1+2−3+4−⋯−139+140=2019， 即 k 0+(−1+2)+(−3+4)+⋯+(−139+140)=2019， k 0+1+1+⋯+1⏟70 个 1=2019，∴k 0+70=2019，解得：k 0=1949．则电子跳蚤的初始位置 k 0 点所表示的数是 1949． 【知识点】有理数的加法法则及计算13. 【答案】 −12【解析】 ∵a ∗b =a −a b ， ∴(−3)∗2=(−3)−(−3)2=(−3)−9=−12.【知识点】有理数的乘方14. 【答案】−22【解析】把x=−1代入计算程序中得：(−1)×6−(−2)=−6+2=−4>−5，把x=−4代入计算程序中得：(−4)×6−(−2)=−24+2=−22<−5，则最后输出的结果是−22．【知识点】有理数的乘法15. 【答案】3或±1【解析】∵a>a−3，a⋇(a−3)=1，根据题中的新定义得：a a−3=1，∴a−3=0或a=1或a=−1，∴a=3或±1．【知识点】有理数的乘方16. 【答案】3【解析】272019=(33)2019=36057，末位的循环为3，9，7，1，6057÷4=1514⋯1，所以末位为3．【知识点】有理数的乘方17. 【答案】1【解析】根据题意，x=16，第一次输出结果为：8，第二次输出结果为：4，第三次输出结果为：2，第四次输出结果为：1，第五次输出结果为：4，第六次输出结果为：2，第7次输出结果为：1，第8次输出结果为：4，由上规律可知：从第二次输出结果开始，每3次输出后重复一次，故(2017−1)÷3=672，故输出结果为：1．【知识点】有理数的加法法则及计算、有理数的乘法三、解答题18. 【答案】(1) 5(2) ∣x−7∣(3) −8；−3或−13(4) 如图，∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值即∣1007−(−1008)∣=2015．【解析】(1) ∣3−(−2)∣=5．【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法法则及计算19. 【答案】(1) 原式=−3+8−7+5=5−7+5=−2+5=3.(2) 原式=49×47×47×116=1.(3) 原式=7−(116−23−34)×24=7−(116×24−23×24−34×24) =7−(44−16−18)=7−10=−3.(4) 原式=−9÷9+(−6)+1 =−1−6+1=−6.【知识点】有理数的除法、有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数的乘法20. 【答案】(1) −17；10(2) Q点出发时，PQ两点距离为(−10)−(−26)=16，Q点速度比P点速度快(3−1)=2个单位/秒，162=8秒，∴当Q从A出发8秒钟时，能追上点P．(3) 设A点出发t秒，点P和Q相距2个单位长度，当Q点还没追上P点时，Q，P速度差为2，∴2t=−10−(−26)−2=14，解得t=7，Q点在数轴上表示的数为−26+3×7=−5，当Q点超过P点时，Q，P速度差为2，∴2t=−10−(−26)+2=18，解得：t=9，−26+3×9=1．故Q点在数轴上表示的有理数为1．综上所得，当Q从A出发7或9秒时，点P和点Q相距2个单位长度，此时Q表示数轴的有理数为−5或1．【解析】(1) P到B点时，Q从A出发，Q点速度为每秒3个单位长度，3秒运动距离为3×3=9，−26+9=−17，∴Q点出发3秒后所到的点表示为−17，3秒钟P点运动距离为3×1=3，又−10+3=−7，PQ两点距离为−7−(−17)=10，∴Q点出发3秒后所到点表示数为−17，此时P，Q两点的距离为10．【知识点】数轴的概念21. 【答案】(1) ∵a与(−1)3互为相反数，∴a=1，∵AB=9，∴①当点A、点B在原点的同侧时，点B所表示的数为1+9=10，如图1所示；②当点A、点B在原点的异侧时，点B所表示的数为1−9=−8，如图2所示．故点B所表示的数为10或−8．(2) 当点A，B位于原点O的同侧时，点B表示的数是10．设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x．∵3秒后两动点相遇，∴3(x+2x)=9，解得：x=1．∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2．运动t秒后PQ=2有两种情形：①相遇前，由题意有：2t+2+t=9，解得：t=73；∴点P表示的数为：1+2×73=173，点Q表示的数为：10−73=233；②相遇后，再运动y秒，P，Q两点相距2，由题意有：y+2y=2，解得：y=23．∴点P表示的数为：1+3×2+23×2=253，点Q表示的数为：10−3×1−23×1=193．(3) 根据题意得，点P和点Q在点A处相遇，此时点Q运动5秒，运动9个单位长度．∴点Q的运动速度为：9÷5=1.8．设点P的速度为v，∵∣OM−ON∣=2，∴∣9+1−(5v+1)∣=2，解得：v=75或115．∴点P的速度为75或115．【知识点】数轴的概念、相遇问题22. 【答案】(1) 18；−1(2) −10+5t；8−3t(3) 依题意有5t+3t=18，解得t=94．故P，Q两点经过94秒会相遇．【解析】(1) A，B两点的距离为8−(−10)=18，线段AB的中点C所表示的数[8+(−10)]÷2=−1．(2) 点P所在的位置的点表示的数为−10+5t，点Q所在位置的点表示的数为8−3t（用含t的代数式表示）．【知识点】绝对值的几何意义23. 【答案】(1) 同号得正、异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数得平方(2) −25(3) ∵(m+1)∗(n−2)=0，∴±[(m+1)2+(n−2)2]=0，∴m+1=0，n−2=0，解得m=−1，n=2，即m=−1，n=2即为所求．【解析】(1) 由题意可得：两数进行∗运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加0和任何数进行运算，或任何数和0迸行∗运算，等于这个数的平方．(2) (−3)∗[0∗(+2)]=(−3)∗(+2)2=(−3)∗(+4)=−[(−3)2+(+4)2]=−25.【知识点】有理数的乘方24. 【答案】∵∣x∣=5，∴x=±5，又∣y∣=2，∴y=±2，又∵∣x+y∣=x+y，∴x+y≥0，∴x=5，y=±2，当x=5，y=2时，x−y=5−2=3，当x=5，y=−2时，x−y=5−(−2)=7．【知识点】有理数的减法法则及计算25. 【答案】(1) 2；1或2或3(2) ①是．② ∵1∗2=2∴2∗1=(1∗2)∗1，∵(a∗b)∗c=a∗c，∴(1∗2)∗1=1∗1，∵a∗a=a，∴1∗1=1，∴2∗1=1．③方法一：不存在理由如下：若存在满足交换律的"有趣的”数阵，依题意，对任意的a，b，c有：a∗c=(a∗b)∗c=(b∗a)∗c=b∗c，这说明数阵每一列的数均相同．∵1∗1=1，2∗2=2，3∗3=3，∴此数阵第一列数均为1，第二列数均为2，第三列数均为3，∴1∗2=2；2∗1=1，与交换律相矛盾，因此，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．【解析】(1) 由题意可知：2∗3表示数阵，第2行第3列所对应的数是2，∴2∗3=2．∵2∗3=2∗x，∴2∗x=2，由题意可知：数阵第1行中3列数均为1，∴x=1，2，3．(2) 方法二：不存在理由如下：由条件二可知，a∗b只能取1，2或3，由此可以考虑a∗b取值的不同情形．例如考虑1∗2：情形一：1∗2=1．若满足交换律，则2∗1=1，再次计算1∗2可知：1∗2=(2∗1)∗2=2∗2=2，矛盾．情形二：1∗2=2，由（2）可知，2∗1=1，1∗2≠2∗1，不满足交换律，矛盾．情形三：1∗2=3，若满足交换律，即2∗1=3，再次计算2∗2可知：2∗2=(2∗1)∗2=3∗2=(1∗2)∗2=1∗2=3，与2∗2=2矛盾．综上，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．【知识点】有理数的乘法。

第二章《有理数及其运算》基础概念整数：像-2,-1,0,1,2这样的数称为整数。

正整数、零与负整数构成整数系。

整数不包括小数,分数。

自然数：零和正整数统称。

正数：大于0的数。

负数：是小于0的数。

0：既不是正数也不是负数。

有理数：按照定义分为整数和分数。

按照性质分为正有理数、零、负有理数。

数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。

相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数是0。

注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

倒数：在数学上是指与某数相乘的积为1的数。

0没有倒数。

绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

反馈练习题一、选择题1．下列说法中正确的是（）。

（1）带正号的数是正数，带负号的数是负数（2）任意一个正数，前面加上负号就是一个负数（3）0是最小的正数（4）大于0的数是正数A．（1）（2）B．（2）（4）C．（1）（2）（4）D．（3）2.下面说法正确的是（）。

A．有理数是正数和负数的统称B．有理数是整数C．整数一定是正数D．有理数包括整数和分数3.下列说法不正确的是（）。

A．任何一个有理数的绝对值都是正数B．0既不是正数也不是负数C．有理数可以分为正有理数，负有理数和零D．0的绝对值等于它的相反数4.在下列说法中，正确的有（）。

①符号相反的数就是相反数②每个有理数都有相反数③互为相反数的两个数一定不相等④正数和负数互为相反数A．1个B．2个C．3个D．4个5.如果两个数不相等，在下列四种情况中，绝对值肯定相等的是（）。

A．两个数都是正数B．两个都是负数C．两个数一正一负D．两个数互为相反数6.下列说法正确的是（）。

A．0不是正数，不是负数，也不是整数B．正整数与负整数包括所有的整数C．–0.6是分数，负数，也是有理数D．没有最小的有理数，也没有最小的自然数7．下列说法中错误的是（）。

初中数学进阶训练（2）有理数的加法解答题及应用题训练 －、解答题。

1、计算：(－212)＋(－113)；； 2、计算：0.36＋(－7.4)＋0.3＋(－0.6)＋0.64；3、计算：4、用简便方法计算下列各题：（1） （2）（3） （4）（5）5、如图，请用表示与的和． )316()324(315-+-+).517(4.3212)5.2()414(25.2-+++-+-+)127()65()411()310(-++-+75.9)219()29()5.0(+-++-)539()518()23()52()21(++++-+-)4.2()6.0()2.1()8(-+-+-+-)37(75.0)27()43()34()5.3(-++++-+-+-b a 、a b6、已知│a │= 8，│b │= 2. （1）当a 、b 同号时，求a+b 的值；（2）当a 、b 异号时，求a+b 的值.7、已知且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋c 的值。

8、已知，计算下题： （1）的相反数与的倒数的相反数的和； （2）的绝对值与的绝对值的和。

9、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积1为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：04512=-+-b a a b a b11111111248163264128256+++++++＝__________.10、阅读下面文字： 对于（﹣565）+（﹣932）+1743+（﹣3 21 ） 可以如下计算：原式=[（﹣5）+（﹣65 ）]+[（﹣9）+（﹣32）]+（17+43）+[（﹣3）+（﹣21）] =[（一5）+（﹣9）+17+（一3）]+[（﹣65）+（﹣32）+ 43 +（﹣21）] =0+（﹣141 ） =﹣1 41上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？仿照上面的方法，请你计算：（﹣121）+（﹣200065 ）+400043 +（﹣199932 ）二、应用题1、每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录如下：（1）10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克?（2）10袋小麦的总重量是多少千克？想一想，你会怎样计算，再把自己的想法与同伴交流一下.2、某储蓄所在某日内做了7件工作，取出950元，存入5000元，取出800元，存入12000元，取出10000元，取出2000元.问这个储蓄所这一天，共增多少元？3、一建筑工地星期一和星期二仓库水泥的进货量和出货量如下，其中进货为正，出货为负（单位:吨).（1）分别列出算式表示这两天水泥进货和出货的合计量，并算出结果；（2）星期一该建筑工地仓库的水泥库存是增加了还是减少了？星期二呢？4、某加工公司，沿环形路上依次排列有五座加工厂，它们依次有面粉加工原料150吨、70吨、110吨、30吨，140吨，为使各工厂里面粉加工原料数相同，允许一些工厂向相邻工厂调配加工原料，问怎样调配才能使调出的面粉加工原料数最小？并求出需调出面粉加工原料的吨数。

新北师大版七年级数学上册第二章相交线与垂直线知识点梳理汇总
本文档旨在对新北师大版七年级数学上册第二章相交线与垂直线的知识点进行梳理和汇总。

一、相交线与垂直线的定义
1. 相交线：两条线段共有的一个或多个点称为相交点，而这两条线段称为相交线。

2. 垂直线：两条互相垂直的线段称为垂直线。

二、相交线与垂直线的性质
1. 垂直线性质：
- 垂直线的两条互相垂直的线段相交于一点。

- 垂直线的两条互相垂直的线段上的任意一点，被另一条垂直线分成两个互为垂直的线段。

- 垂直线的两条互相垂直的线段上的任意一点，与另一条垂直线的两条互相垂直的线段上的任意一点连接起来，构成的两条线段是互相垂直的。

2. 相交线性质：
- 相交线的两条线段互相垂直。

- 相交线的两条互相垂直的线段上的任意一点，与另一条相交线的两条互相垂直的线段上的任意一点连接起来，构成的两条线段是互相垂直的。

- 相交线的两条互相垂直的线段上的任意一点，被另一条相交线分成两个互为垂直的线段。

三、应用
1. 通过相交线与垂直线的性质，可以在几何图形中确定垂直关系，帮助解决几何问题。

本文档总结了新北师大版七年级数学上册第二章相交线与垂直线的定义、性质以及应用。

掌握这些基础知识，有助于理解几何图形的垂直关系，解决相关问题。

北师大版数学七年级上册 第二章 有理数及其运算 2．4 有理数的加法同步练习题1. 若a 与1互为相反数，则|a ＋1|等于()A ．－1B ．0C ．1D ．22. 计算：|－5＋3|的结果是( )A ．－2B ．2C ．－8D ．83. 下列运算正确的有( )①(－2)＋(－2)＝0；②(－6)＋(＋4)＝－10；③0＋(－5)＝－5； ④(＋56)＋(－16)＝23；⑤－(－34)＋(－734)＝－7.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 在一条东西方向的跑道上，小亮先向东走了8 m ，记作“＋8 m ”，又向西走了10 m ，此时他的位置可记作()A ．＋2 mB ．－2 mC ．＋18 mD ．－18 m5. 一天早晨的气温是－7 ℃，中午的气温比早晨上升了11 ℃，中午的气温是()A ．11 ℃ B．4 ℃ C．18 ℃ D．－11 ℃6. 在5，－5，－6这三个数中，任意两数之和的最大值是()A ．0B ．－1C ．11D ．－117. 若两个有理数的和为负数，那么这两个有理数()A ．一定是负数B ．一正一负，且负数的绝对值大C ．一个为零，另一个为负数D ．至少有一个为负数8. 有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则a ＋b 的值()A．大于0 B．小于0 C．小于a D．大于b9. 两个有理数相加，如果和比其中任何加数都小，那么这两个加数()A．都是正数 B．都是负数C．互为相反数 D．异号10. 若b＝－5，则a，a＋(－b)，a＋b中最大的是()A．a B．a＋(－b) C．a＋b D．还要看a的符号才能确定11. 一个数是－10，另一个数比－10的相反数小2，则这两个数的和为() A．18 B．－2 C．－18 D．212. 下列结论不正确的是()A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0B．若a＜0，b＜0，则a＋b＜0C．若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a＋b＞0D．若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，则a＋b＞013. 已知a＞b且a＋b＝0，则()A．a＜0 B．b＞0 C．b≤0 D．a＞014. 计算：(1)(＋2)＋(＋3)＝____；(2)(－3)＋(－5)＝____．15. 如图，数轴上点A，B所表示的两个数的和的绝对值是____．16. 已知两个数是15和－21，那么这两个数和的绝对值是____，绝对值的和是____．17. 计算：|－2|＋2＝____．18. 已知a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＝2，|b|＝1，求a＋b的值．19. 下表列出了几个城市与北京的时差(带“＋”号的数表示同一时刻比北京时间早的小时数)．城市时差(小时)伦敦－8华盛顿－13东京＋1开罗－6列式计算解答下列问题：(1)如果现在北京时间是8：00时，那么现在东京是什么时间？(2)如果现在北京时间是15：00时，那么现在华盛顿是什么时间？(3)如果现在伦敦时间是12：00时，那么现在北京是什么时间？20. 若|a－2|与|b＋5|互为相反数，求a＋b的值．参考答案：1---13 BBCBB ADADB BDD14. (1) ＋5(2）－815. 116. 6 3617. 418. 解：由数轴可知，a＜0，b＞0.而|a|＝2，|b|＝1.所以a＝－2，b＝1.所以a＋b＝(－2)＋1＝－119. 解：(1)8＋1＝9.东京是9：00(2)15＋(－13)＝2.华盛顿是凌晨2：00(3)12＋8＝20，北京是20：0020. 解：因为|a－2|≥0，|b＋5|≥0，所以：a－2＝0，b＋5＝0，即：a＝2，b＝－5，a＋b＝2＋(－5)＝－3。

北师大版数学七年级上册 第二章 有理数及其运算 练习题(有答案)2．1 有理数基础题知识点1 认识正数与负数1．(连云港中考)下列各数中;为正数的是(A)A ．3B ．－12C ．－2D ．02．(临沂中考)四个数－3;0;1;2;其中负数是(A)A ．－3B ．0C ．1D ．2 3．在－1;0;1;2这四个数中;既不是正数也不是负数的是(B) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．下列各数：－101.2;＋18;0.002;－60;0;－45;＋3.2;属于正数的有＋18;0.002;＋3.2；属于负数的有－101.2;－60;－45．知识点2 用正、负数表示具有相反意义的量5．(咸宁中考)冰箱冷藏室的温度零上5 ℃;记作＋5 ℃;保鲜室的温度零下7 ℃;记作(B) A ．7 ℃ B ．－7 ℃ C ．2 ℃ D ．－12 ℃ 6．下列不具有相反意义的是(C) A ．前进5 m 和后退5 m B ．节约3 t 和浪费3 tC ．身高增加2 cm 和体重减少2 kgD ．超过5 g 和不足5 g7．若火箭发射点火前5秒记作－5秒;则火箭发射点火后10秒应记作(D) A ．－10秒 B ．－5秒 C ．＋5秒 D ．＋10秒8．如果＋80 m 表示向东走80 m;那么－60 m 表示向西走60__m ． 知识点3 有理数的概念及分类9．在0;1;－2;－3.5这四个数中;为负整数的是(C) A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－3.510．有理数可按正、负性质分类;也可按整数、分数分类： ①按正、负性质分类： ②按整数、分数分类：有理数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数0负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数 11．下列各数：3;－5;－12;0;2;0.97;－0.21;－6;9;23;85;1;其中正数有7个;负数有4个;正分数有2个;负分数有2个．12．如图是数学果园里的一棵“有理数”知识树;请仔细辨别分类;把各类数填在它所属的相应横线上．中档题13．在数－5;3;0;－32;100;0.4中;非负数有(A)A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 14．下列说法正确的是(D) A ．＋2是正数;但3不是正数 B ．一个数不是正数就是负数 C ．含有负号的数就是负数 D ．－0.25是负分数15．请按要求填出相应的两个有理数：(1)既是正数也是分数：212;34(答案不唯一)；(2)既不是负数也不是分数：2;0(答案不唯一)． 16．“一只闹钟;一昼夜误差不超过±12秒．”这句话的含义是：闹钟走一天的时间比标准时间最多慢12秒或最多快12秒．17．下面是几个家庭五月份用电支出比上月支出变化情况： 赵力减少25% 肖刚增加10% 王辉减少17% 李玉增加5% 田红增加8% 陈佳减少12%分别用正、负数写出这几家五月用电支出比上月支出的增长率． 解：这六家五月用电支出比上月支出的增长率分别为：赵力－25%;肖刚＋10%;王辉－17%;李玉＋5%;田红＋8%;陈佳－12%.18．请用两种不同的分类标准将下列各数分类：－15;＋6;－2;－0.9;1;35;0;314;0.63;－4.95.解：分类一：整数：－15;＋6;－2;1;0；分数：－0.9;35;314;0.63;－4.95.分类二：正数：＋6;1;35;314;0.63；0；负数：－15;－2;－0.9;－4.95.19．小米家住黄河边的某市;黄河大堤高出某市区20米;另有铁塔高约58米;是该市的一大景观;小米和好朋友小华、玲玲出去玩;小米站在黄河大堤上;玲玲站在地面放风筝;顽皮的小华则爬上了铁塔顶;小米说：“以大堤为基准;记为0米;则玲玲所在的位置高为－20米;小华所在位置高为＋58米．”小华说：“以铁塔顶为基准;记为0米;则玲玲所在的位置高为－58米;小米所在的位置高为－38米．”玲玲说：“小华的位置比我高58米．”他们谁说得对？解：小华和玲玲说得对．理由：用正、负数表示具有相反意义的量时;由于“基准”(0米点)的选法不同;表示的结果也不同;小米以大堤为基准;玲玲所在的位置高为－20米;小华所在位置高为38米．综合题20．将一串有理数按下列规律排列;回答下列问题：(1)在A处的数是正数还是负数？(2)负数排在A、B、C、D中的什么位置？(3)第2 017个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？解：(1)在A处的数是正数．(2)B和D位置是负数．(3)第2 017个数是负数;排在对应于B的位置．2．2 数轴基础题知识点1 认识数轴1．关于数轴;下列说法最准确的是(D) A ．一条直线B ．有原点、正方向的一条直线C ．有单位长度的一条直线D ．规定了原点、正方向、单位长度的直线 2．下列各图中;所画数轴正确的是(D)知识点2 在数轴上表示数 3．如图;在数轴上点A 表示(A)A ．－2B ．2C ．±2D ．04．在如图的数轴上;表示－2.75的点是(D)A ．点EB ．点FC ．点GD ．点H5．在数轴上表示数－3;0;5;2;－1的点中;在原点右边的有(C) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个6．在数轴上;表示－2的点在原点的左侧;它到原点的距离是2个单位长度． 7．画数轴;并在数轴上表示下列各数：2;－2.5;0;13;－4.解：如图：知识点3 利用数轴比较有理数的大小 8．如图;下列说法中正确的是(B)A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a ＞0D ．b ＞09．(成都中考)在－3;－1;1;3四个数中;比－2小的数是(A)A ．－3B ．－1C ．1D ．310．已知有理数x;y 在数轴上的位置如图所示;则下列结论正确的是(C)A ．x>0>yB ．y>x>0C ．x<0<yD ．y<x<011．把下列各数在数轴上表示出来;并用“<”把各数连接起来：－212;4;－4;0;412.解：如图;大小关系为：－4＜－212＜0＜4＜412.中档题12．下列语句中;错误的是(B)A ．数轴上;原点位置的确定是任意的B ．数轴上;正方向可以是从原点向右;也可以是从原点向左C ．数轴上;单位长度可根据需要任意选取D ．数轴上;与原点的距离等于8的点有两个13．(济宁中考)在0;－2;1;12这四个数中;最小的数是(B)A. 0 B ．－2 C. 1 D.1214．数轴上的点A;B;C;D 分别表示a;b;c;d 四个数;已知A 在B 的左侧;C 在A;B 之间;D 在B 的右侧;则下列式子成立的是(A)A ．a<c<b<dB ．a<b<c<dC ．a<d<c<bD ．a<c<d<b15．将一刻度尺如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm);刻度尺上的“0 cm ”和“15 cm ”分别对应数轴上的－3.6和x;则(C)A ．9＜x ＜10B ．10＜x ＜11C ．11＜x ＜12D ．12＜x ＜1316．若数轴上的点A 表示＋3;点B 表示－4.2;点C 表示－1;则点A 和点B 中离点C 较远的是点A ． 17．如图所示;数轴上的点A 向左移动2个单位长度得到点B;则点B 表示的数是－1．18．小红在做作业时;不小心将墨水洒在一个数轴上;如图所示;根据图中标出的数值;判断被墨迹盖住的整数共有多少个？解：因为－13＜－12.6＜－12;－8＜－7.4＜－7;所以此段整数有－12;－11;－10;－9;－8共5个；同理10＜10.6＜11;17＜17.8＜18;所以此段整数有11;12;13;14;15;16;17共7个;所以被墨迹盖住的整数共有5＋7＝12(个)．19．如图;点A 表示的数是－4.(1)在数轴上表示出原点O ； (2)指出点B 所表示的数；(3)在数轴上找一点C;它与点B 的距离为2个单位长度;那么点C 表示什么数？ 解：(1)如图． (2)点B 表示3. (3)点C 表示1或5.综合题20．(1)借助数轴;回答下列问题．①从－1到1有3个整数;分别是－1、0、1；②从－2到2有5个整数;分别是－2、－1、0、1、2；③从－3到3有7个整数;分别是－3、－2、－1、0、1、2、3； ④从－200到200有401个整数；⑤从－n 到n(n 为正整数)有(2n ＋1)个整数；(2)根据以上规律;直接写出：从－2.9到2.9有5个整数;从－10.1到10.1有21个整数；(3)在单位长度是1厘米的数轴上随意画出一条长为1 000厘米的线段AB;求线段AB 盖住的整点的个数．解：1 000个或1 001个．2.3 绝对值基础题知识点1 相反数的概念1．(河南中考)－13的相反数是(B)A ．－13 B.13C ．－3D ．32．相反数等于本身的数为(C)A ．正数B ．负数C ．0D ．非负数 3．下列各组数中互为相反数的是(D) A ．2与－3B ．－3与－13C ．2 016与－2 015D ．－0.25与144．下列说法中正确的是(C) A ．一个数的相反数是负数 B ．0没有相反数C ．只有一个数的相反数等于它本身D ．表示相反数的两个点;可以在原点的同一侧 5.16和－16互为相反数；－2 017的相反数是2__017；1的相反数是－1. 知识点2 绝对值的意义及计算6．在数轴上表示－2的点到原点的距离等于(A) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．4 7．(安徽中考)－2的绝对值是(B)A ．－2B ．2C ．±2 D.128．若|－a|＝5;则a 的值是(D)A ．－5B ．5 C.15D ．±59．－3的绝对值是3；－|－2.5|＝－2.5；绝对值是6的数是±6． 10．计算：|4|＋|0|－|－3|＝1． 知识点3 绝对值的性质11．任何一个有理数的绝对值一定(D) A ．大于0 B ．小于0 C ．不大于0 D ．不小于0 12．在有理数中;绝对值等于它本身的数有(D) A ．一个 B ．两个 C ．三个 D ．无数个 13．(1)①正数：|＋5|＝5;|12|＝12； ②负数：|－7|＝7;|－15|＝15； ③零：|0|＝0；(2)根据(1)中的规律发现：不论正数、负数和零;它们的绝对值一定是非负数;即|a|≥0. 知识点4 利用绝对值比较有理数的大小 14．下列各式中正确的是(D)A ．|－3|＞|－4|B ．－2＞|－5|C ．0＞|－0.000 1|D ．|－89|＞－91015．用“＞”或“＜”填空： (1)－7＜－6.5； (2)－3＞－4；(3)－5＜－4.中档题16．如果a 与1互为相反数;那么|a|等于(C) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 17．下列说法正确的是(D) A ．－|a|一定是负数B ．只有两个数相等时它们的绝对值才相等C ．若|a|＝|b|;则a 与b 相等D ．若一个数小于它的绝对值;则这个数为负数18．(南京中考)数轴上点A;B 表示的数分别是5;－3;它们之间的距离可以表示为(D) A ．－3＋5 B ．－3－5 C ．|－3＋5| D ．|－3－5|19．如果a>0;b<0;a<|b|;那么a 、b 、－a 、－b 的大小顺序是(A) A ．－b>a>－a>b B ．a>b>－a>－b C ．－b>a>b>－a D ．b>a>－b>－a20．绝对值小于6的整数有11个;它们分别是±5;±4;±3;±2;±1;0；绝对值大于3且小于6的整数是±5;±4．21．(河北中考改编)若有理数m;n 满足|m －2|＋|2 017－n|＝0;则m ＋n ＝2__019． 22．比较下列各对数的大小： (1)0和|－2|； 解：0<|－2|.(2)－45和－23；解：－45<－23.(3)－(－4)和|－4|. 解：－(－4)＝|－4|.23．计算：(1)|＋223|×|－9|；解：原式＝83×9＝24.(2)|－34|÷|－178|.解：原式＝34×815＝25.24．光明奶粉每袋质量为500克;在质量检测中;若质量超出标准质量2克记作＋2克;若质量低于标准质量3克以上;(1)这10(2)质量最大的是哪袋？它的实际质量是多少？ 解：(1)第4袋和第6袋不合格．(2)质量最大的是第9袋;实际质量是505克．综合题25．已知a;b;c为有理数;且它们在数轴上的位置如图所示．(1)试判断a;b;c的正负性；(2)在数轴上分别标出a;b;c的相反数的位置；(3)根据数轴化简：①|a|＝－a；②|b|＝b；③|c|＝c；④|－a|＝－a；⑤|－b|＝b；⑥|－c|＝c．(4)若|a|＝5.5;|b|＝2.5;|c|＝7;求a;b;c的值．解：(1)a为负;b为正;c为正．(2)如图．(4)a＝－5.5;b＝2.5;c＝7.小专题(一) 绝对值的应用类型1 利用绝对值比较大小 1．比较下面各对数的大小： (1)－0.1与－0.2；解：因为|－0.1|＝0.1;|－0.2|＝0.2;且0.1＜0.2;所以－0.1＞－0.2.(2)－45与－56；解：因为|－45|＝45＝2430;|－56|＝56＝2530;且2430<2530; 所以－45>－56.2．比较下列各对数的大小：(1)－821与－|－17|；解：－|－17|＝－17;因为|－821|＝821;|－17|＝17＝321;且821＞17;所以－821＜－|－17|.(2)－2 0152 016与－2 0162 017.解：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2 0152 016＝2 0152 016;⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2 0162 017＝2 0162 017;且2 0152 016＜2 0162 017; 所以－2 0152 016＞－2 0162 017.类型2 巧用绝对值的性质求字母的值3．已知|x －3|＋|y －5|＝0;求x ＋y 的值． 解：由|x －3|＋|y －5|＝0;得 x －3＝0;y －5＝0. 解得x ＝3;y ＝5. 所以x ＋y ＝3＋5＝8.4．若x 的相反数是－3;|y|＝5;且x ＜y;求y －x 的值． 解：因为x 的相反数是－3;所以x ＝3. 因为|y|＝5;所以y ＝±5. 因为x ＜y;所以x ＝3;y ＝5. 所以y －x ＝5－3＝2.类型3 绝对值在生活中的应用5．司机小李某天下午的营运全是在南北走向的鼓楼大街进行的．假定向南为正;向北为负;他这天下午行车里程如下(单位：千米)：＋15;－3;＋14;－11;＋10;＋4;－26.若汽车耗油量为0.1 L/km;这天下午汽车共耗油多少升？解：0.1×(|＋15|＋|－3|＋|＋14|＋|－11|＋|＋10|＋|＋4|＋|－26|)＝8.3(L)．6．在活动课上;有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球;直径可以有0.02毫米的误差;超过规定直径的毫米数记(1)(2)指出哪个同学做的乒乓球质量最好;哪个同学做的质量最差？(3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；(4)用学过的绝对值知识来说明以上问题．解：(1)张兵、蔡伟．(2)蔡伟做的乒乓球质量最好、李明做的乒乓球质量最差．(3)蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明．(4)这是绝对值在实际生活中的应用;对误差来说绝对值越小越好．小专题(二) 三种方法比较有理数的大小方法1 利用数轴比较大小1．如图;在数轴上有a;b;c;d 四个点;则下列说法正确的是(C)A ．a>bB ．c<0C ．b<cD ．－1>d2．有理数a 在数轴上对应的点如图所示;则a;－a;－1的大小关系是(C)A ．－a<a<－1B ．－a<－1<aC ．a<－1<－aD ．a<－a<－1 3．大于－2.5而小于3.5的整数共有(A) A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个4．在数轴上表示下列各数;并把这些数用“＞”连接起来．3．5;3.5的相反数;－12;绝对值等于3的数;最大的负整数．解：各数分别为：3.5;－3.5;－12;±3;－1.在数轴上表示如图：这些数由大到小用“>”连接为：3.5＞3＞－12＞－1＞－3＞－3.5.5．点A 、B 在数轴上的位置如图所示;它们分别表示数a 、b.(1)请将a;b;1;－1四个数按从小到大的顺序排列起来；(2)若将点B 向右移动3个单位长度;请将a 、b 、－1三个数按从小到大的顺序排列起来． 解：(1)b<－1<a<1. (2)－1<a<b.方法2 利用比较大小的法则比较大小 6．下列各式成立的是(B)A ．－1>0B ．3>－2C ．－2<－5D ．1<－27．(安徽中考)在－4;2;－1;3这四个数中;比－2小的数是(A) A ．－4 B ．2 C ．－1 D ．38．(西双版纳中考)若a ＝－78;b ＝－58;则a;b 的大小关系是a ＜b(填“＞”“＜”或“＝”)．9．已知数：0;－2;1;－3;5. (1)用“>”把各数连接起来； 解：5>1>0>－2>－3.(2)用“<”把各数的相反数连接起来； 解：－5<－1<0<2<3.(3)用“>”把各数的绝对值连接起来． 解：|5|>|－3|>|－2|>|1|>|0|. 方法3 利用特殊值比较大小10．如图;数轴上的点表示的有理数是a;b;则下列式子正确的是(B)A ．－a ＜bB ．a ＜bC ．|a|＜|b|D ．－a ＜－b11．a;b 两数在数轴上的对应点的位置如图;下列各式正确的是(D)A．b＞a B．－a＜bC．|a|＞|b| D．b＜－a＜a＜－b2.4 有理数的加法第1课时 有理数的加法法则基础题知识点1 有理数的加法法则1．下列各式的结果;符号为正的是(C)A ．(－3)＋(－2)B ．(－2)＋0C ．(－5)＋6D ．(－5)＋5 2．(天津中考)计算(－3)＋(－9)的结果是(B) A ．12 B ．－12 C ．6 D ．－6 3．(梅州中考)计算(－3)＋4的结果是(C) A ．－7 B ．－1 C ．1 D ．7 4．已知a;b 两数互为相反数;则a ＋b ＝(C) A ．2a B ．2b C ．0 D ．1 5．下列结论不正确的是(D) A ．若a>0;b>0;则a ＋b>0 B ．若a<0;b<0;则a ＋b<0C ．若a>0;b<0;且|a|>|b|;则a ＋b>0D ．若a<0;b>0;且|a|>|b|;则a ＋b>06．在每题的横线上填写和的符号或结果． (1)(＋3)＋(＋5)＝＋(3＋5)＝8； (2)(－3)＋(－5)＝－(3＋5)＝－8； (3)(－16)＋6＝－(16－6)＝－10； (4)(－6)＋8＝＋(8－6)＝2； (5)(－2 015)＋0＝－2__015． 7．计算：(1)(－4)＋(－6)； 解：原式＝－10.(2)(－12)＋5； 解：原式＝－7.(3)0＋(－12)；解：原式＝－12.(4)(－2.5)＋(－3.5)． 解：原式＝－6.知识点2 有理数加法的应用8．小明家冰箱冷冻室的温度为－5 ℃;调高4 ℃后的温度为(C) A ．4 ℃ B ．9 ℃ C ．－1 ℃ D ．－9 ℃9．一个物体在数轴上做左右运动;规定向右为正;按下列方式运动;列出算式表示其运动后的结果： (1)先向左运动2个单位长度;再向右运动7个单位长度．列式：－2＋7； (2)先向左运动5个单位长度;再向左运动7个单位长度．列式：－5＋(－7)． 10．某人某天收入265元;支出200元;则该天节余65元．11．已知飞机的飞行高度为10 000 m;上升3 000 m 后;又上升了－5 000 m;此时飞机的高度是8__000m.中档题12．(玉林、防城港中考)下面的数中;与－2的和为0的是(A) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－1213．有理数a 、b 在数轴上对应的位置如图所示;则a ＋b 的值(A)A ．大于0B ．小于0C ．小于aD ．大于b 14．如果两个数的和是正数;那么(D) A ．这两个数都是正数 B ．一个为正;一个为零C ．这两个数一正一负;且正数的绝对值较大D ．必属上面三种情况之一15．一个数是25;另一个数比25的相反数大－7;则这两个数的和为(B) A ．7 B ．－7 C ．57 D ．－5716．若x 是－3的相反数;|y|＝5;则x ＋y 的值为(D) A ．2 B ．8C ．－8或2D ．8或－217．已知A 地的海拔高度为－53米;而B 地比A 地高30米;则B 地的海拔高度为－23米． 18．如图;三个小球上的有理数之和等于－2．19．计算： (1)32＋(－32)； 解：原式＝0.(2)116＋(－4)；解：原式＝－256.(3)715＋(－235)；解：原式＝＋(715－235)＝435.(4)－8.75＋(－314)．解：原式＝－(8.75＋314)＝－12.20．已知有理数a;b;c 在数轴上的位置如图所示;请根据有理数的加法法则判断下列各式的正负性：①a ；②b ；③－c ；④a ＋b ；⑤a ＋c ；⑥b ＋c ；⑦a ＋(－b)． 解：①③⑦为正；②④⑤⑥为负．综合题21．若|a －2|与|b ＋5|互为相反数;求a ＋b 的值．解：因为|a－2|与|b＋5|互为相反数; 所以|a－2|＋|b＋5|＝0.所以a＝2;b＝－5.所以a＋b＝2＋(－5)＝－3.第2课时 有理数的加法运算律基础题知识点1 有理数的加法运算律1．计算314＋(－235)＋534＋(－825)时;用运算律最为恰当的是(B)A ．[314＋(－235)]＋[534＋(－825)]B ．(314＋534)＋[(－235)＋(－825)]C ．[314＋(－825)]＋[(－235)＋534]D ．[(－235)＋534]＋[314＋(－825)]2．计算512＋(＋4.71)＋712＋(－6.71)的结果为(D)A ．－2B ．3C ．－3D ．－13．在下面的计算过程后面填上运用的运算律． 计算：(－2)＋(＋3)＋(－5)＋(＋4)．解：原式＝(－2)＋(－5)＋(＋3)＋(＋4)(加法交换律) ＝[(－2)＋(－5)]＋[(＋3)＋(＋4)](加法结合律) ＝(－7)＋(＋7) ＝0.4．在计算323＋(－2.53)＋(－235)＋3.53＋(－23)时;比较简便的计算方法是先计算323＋(－23)和(－2.53)＋3.53． 5．计算：(1)(－0.8)＋1.2＋(－0.7)＋(－2.1) ＝[(－0.8)＋(－0.7)＋(－2.1)]＋1.2 ＝－3.6＋1.2＝－2.4； (2)32.5＋46＋(－22.5)＝[32.5＋(－22.5)]＋46＝10＋46＝56． 6．运用加法的运算律计算下列各题： (1)24＋(－15)＋7＋(－20)；解：原式＝(24＋7)＋[(－15)＋(－20)] ＝31＋(－35) ＝－4.(2)18＋(－12)＋(－18)＋12；解：原式＝[18＋(－18)]＋[(－12)＋12] ＝0＋0 ＝0.(3)137＋(－213)＋247＋(－123)．解：原式＝(137＋247)＋[(－213)＋(－123)]＝4＋(－4) ＝0.知识点2 有理数加法运算律的应用7．李老师的银行卡中有5 500元;取出1 800元;又存入1 500元;又取出2 200元;这时银行卡中还有3__000元钱．。

北师大版七年级数学上册第二章知识点整理北师大版七年级数学上册第二章知识点整理七年级上册第二章有理数及其运算1.有理数:有理数=整数+分数(包括有限小数+无限循环小数)整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数有理数=正有理数+0+负有理数正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数l 正数的概念：数轴上0右边的数即比0大的数叫正数，形如+1，+0.5，+10.1，0.001…l 负数的概念：数轴上0左边的数，形如-3，-0.2，-100…（负号不能省略）. l 0既不是正数也不是负数，0是整数也是偶数.① 正负数的表示方法：盈利，亏损；足球比赛胜，负；收入，支出；提高，降低；上升，下降；② 不投入不支出，不盈也不亏，海平面的海拔，某一个标准或基准….用0表示；2.数轴：概念：规定了原点，正方向和单位长度的直线数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：原点，正方向，单位长度；画法：首先画一条直线；在这条直线上任取一点，作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正，画上箭头，反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度；数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.3. 相反数：（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数（在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧，并且到原点的距离相等），0的相反数是0；a,b互为相反数 a+b=0;（2）求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数，当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-”；下面的a,b即可以是数字，字母，也可以是代数式；（3）一般地，数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数、0.4. 绝对值：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；（2）代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）对于任何有理数a，都有a的绝对值≥0 ,即绝对值非负性；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数同时为0；（4）比较两个负数，绝对值大的反而小；5.倒数：（1）乘积为1的两个数互为倒数，所以数a(a≠0) 的倒数是 1/a，0没有倒数；（2）求一个整数的倒数，写成这个整数分之一；求一个小数的倒数，先将其化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，先将其化为假分数，再求出倒数.（3）用1除以一个非0数，商就是这个数的倒数.6. 有理数的四则运算：⑴ 加法法则：① 同号两数相加，符号不变，把绝对值相加；② 异号两数相加，绝对值相等时（即互为相反数的两个数）相加得0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③ 一个数同0相加，仍得这个数；有理数加法运算律：交换律和结合律（互为相反数的可先相加；相加可得整数的可先相加；同分母的分数可先相加；符号相同的可先相加；易于通分的可先相加）.⑵ 减法法则：① 减去一个数，等于加上这个数的相反数，依据加法法则② 加减混合运算，通过减法法则将减法转化为加法，统一成只含有加法运算的和式；减法没有交换律.⑶ 乘法法则：① 两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；② 任何数同0相乘，得0；（另外1乘任何数都等于这个数本身；-1乘以任何数都等于这个数的相反数.）③ 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正.乘法的运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律.⑷ 除法法则：① 两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除；② 0除以任何非0的数都得0.③ 除以一个数，等于乘上这个数的倒数，即 .⑸ 乘方：① 求几个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂；，表示n个相同因数乘积的运算；② 负数乘方要用括号括起来；分数乘方要用括号括起来；当指数是1时，可省略不写；③ 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（奇次幂 2n+1,2n-1; 偶次幂 2n）；0的正整数次幂都是0.⑹ 混合运算：① 从左到右的顺序进行；② 先乘方，再乘除，后加减；如有括号，应先算括号里面的；7. 科学记数法（1）把一个大于10的数表示成的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1，），这种记数方法叫科学记数法；（2）准确数与近似数：与实际完全相符的数是准确数；与实际相接近的数是近似数；（3）精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示；一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位；所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量；（4）有效数字：在近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数；。

第一讲两条直线的位置关系知识点一两条直线的位置关系1.在同一平面内两条直线的位置关系有、 .2. 的两条直线叫做平行线。

例1、下列说法正确的是（）A.同一平面内，不相交的两条射线是平行线。

B. .同一平面内，两条直线不相交就重合。

C. .同一平面内，没有公共点的直线是平行线。

D. .不相交的两条直线是平行线。

练习1、在同一平面内，两条直线的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.平行、相交或垂直知识点二对顶角3.如果两个角有，且它们的两边互为，那么这样的两个角叫做对顶角。

对顶角。

例2、如图，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．练习2、如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变了______度．知识点三互为余角、互为补角的概念与性质4.如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角，如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角。

同角（或等角）的余角，同角（或等角）的补角。

例3、一个角的余角是30º，则这个角的补角是 .练习3、已知∠1+∠2=90°，∠3+∠4=180°，下列说法正确的是（）A．∠1是余角B．∠3是补角C．∠1是∠2的余角D．∠3和∠4都是补角知识点四垂直的概念与性质、点到直线的距离5.当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫。

6.垂线的性质：1.平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；2.直线外一点与直线上各点的连接的所有线段中，。

7.点到直线距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

例4、如图，已知0A⊥m，OB⊥m，所以OA与OB重合，其理由是（）A．过两点只有一条直线B．过一点只能作一条垂线C．经过一点只有一条直线垂直于已知直线D．垂线段最短练习4、点到直线的距离是指（）A.从直线外一点到这条直线的连线B. 从直线外一点到这条直线的垂线段C. 从直线外一点到这条直线的垂线的长D. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长练习2、如图2，点A到直线CD的距离是线段______的长。

七年级数学上册第二章《有理数》难题、易错题讲解类型一 0+0型例：已知|m-3|+|n+2|=0,求m 、n 的值。

练习：1、已知|x+2|+|y+32|=0,试比较x ，y 的大小。

2、|a-21|+|b+31|+|c+52|=0 (1)试比较a 、b 、c 的大小。

（2）计算|a|+|(-b)|+|c|的值。

3、若|x+1|+|y-2|+|z+3|=0,求|x|+|y|+|z|的值。

4、试讨论：x 为有理数，|x-1|+|x-3|有没有最小值？如果有，求出这个最小值；如果没有，请说明理由。

类型二 化简计算型例：计算|9911001-|+|10011011-| - |9911011-|练习1、 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|b|-|a+b|2、若a 、b 、c 三数在数轴上对应位置如图所示，化简|a|-|a+b|+|c-b|+|a+c|3、若有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b|-|a-b|-|-b|4、a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图所示，化简式子： cc b b a a ||||||++5、|2131-|++-+-|4151||3141|…|2011120121-|类型三 比较大小（数轴上可特值法）例：有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a+b ＞a ＞b ＞a-bB 、a ＞a+b ＞b ＞a-bC 、a-b ＞a ＞b ＞a+bD 、a-b ＞a ＞a+b ＞b练习 1、如果a 、b 均为有理数，且b ＜0，则a 、a-b 、a+b 的大小关系。

( )A 、a ＜a+b ＜a-bB 、a ＜a-b ＜a+bC 、a+b ＜a ＜a-bD 、a-b ＜a+b ＜b2、有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，用不等号把a 、b 、-a 、-b 连接起来：________________________类型四 探索规律型 例：观察下列等式：311⨯=)311(21-，)4121(21421-=⨯，)5131(21531-=⨯ （1）猜想：=+)2(1n n ____________________ （2）试写出：)3(1+n n =__________________________练习1 、一只跳蚤从数轴上的原点出发，第一次向右跳1个单位，第二次向左跳2个单位，第三次向右跳3个单位，第四次向左跳4个单位，…，按这样的规律跳100次，跳蚤到圆原点的距离是____________个单位。

第二章有理数及其运算2．1有理数基础题知识点 1认识正数与负数1．( 连云港中考 ) 下列各数中，为正数的是(A)1A． 3B．－2C．－ 2D． 0 2．( 临沂中考 ) 四个数－ 3， 0，1， 2，其中负数是 (A)A．－ 3 B ． 0C． 1D． 2 3．在－ 1， 0， 1， 2 这四个数中，既不是正数也不是负数的是(B) A．－ 1B． 0C． 1D． 24．下列各数：－ 101.2 ，＋ 18，0.002418，0.002 ，＋ 3.2 ；属于负数的有，－ 60，0，－，＋ 3.2 ，属于正数的有＋54－ 101.2 ，－ 60，－．5知识点 2用正、负数表示具有相反意义的量5．( 咸宁中考 ) 冰箱冷藏室的温度零上 5 ℃，记作＋ 5 ℃，保鲜室的温度零下 7℃，记作 (B) A．7 ℃B．－7 ℃C．2 ℃D．－ 12 ℃6．下列不具有相反意义的是(C)A．前进 5 m 和后退 5 mB．节约 3 t和浪费 3 tC．身高增加 2 cm 和体重减少 2 kgD．超过 5 g 和不足 5 g7．若火箭发射点火前 5 秒记作－ 5 秒，则火箭发射点火后10 秒应记作 (D)A．－ 10 秒B．－5秒C．＋5秒D．＋ 10 秒8．如果＋ 80 m 表示向东走80 m，那么－ 60 m 表示向西走 60__m．知识点 3有理数的概念及分类9．在 0， 1，－ 2，－ 3.5 这四个数中，为负整数的是 (C)A． 0B． 1C．－ 2D．－ 3.510．有理数可按正、负性质分类，也可按整数、分数分类：①按正、负性质分类：②按整数、分数分类：正整数正整数正有理数正分数整数有理数0有理数负整数负整数分数正分数负有理数负分数负分数1211．下列各数： 3，－ 5，－2，0， 2， 0.97 ，－ 0.21 ，－ 6，9，3， 85， 1，其中正数有 7 个，负数有 4 个，正分数有 2 个，负分数有 2 个．12．如图是数学果园里的一棵“有理数”知识树，请仔细辨别分类，把各类数填在它所属的相应横线上．中档题313．在数－ 5， 3， 0，－2， 100， 0.4 中，非负数有 (A)A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个14．下列说法正确的是(D)A．＋ 2 是正数，但 3 不是正数B．一个数不是正数就是负数C．含有负号的数就是负数D．－ 0.25 是负分数15．请按要求填出相应的两个有理数：1 3(1)既是正数也是分数： 22，4( 答案不唯一 ) ；(2)既不是负数也不是分数： 2， 0( 答案不唯一 ) ．16．“一只闹钟，一昼夜误差不超过±12 秒．”这句话的含义是：闹钟走一天的时间比标准时间最多慢12 秒或最多快12秒．17．下面是几个家庭五月份用电支出比上月支出变化情况：赵力减少25%肖刚增加10%王辉减少17%李玉增加5%田红增加8%陈佳减少12%分别用正、负数写出这几家五月用电支出比上月支出的增长率．解：这六家五月用电支出比上月支出的增长率分别为：赵力－25%，肖刚＋ 10%，王辉－ 17%，李玉＋ 5%，田红＋ 8%，陈佳－ 12%.18．请用两种不同的分类标准将下列各数分类：3 1－15，＋ 6，－ 2，－ 0.9 ， 1，5， 0， 34， 0.63 ，－ 4.95.解：分类一：整数：－15，＋ 6，－ 2， 1， 0；31分数：－ 0.9 ，5， 34， 0.63 ，－ 4.95.3 1分类二：正数：＋ 6， 1，5， 34， 0.63 ；0；负数：－ 15，－ 2，－ 0.9 ，－ 4.95.19．小米家住黄河边的某市，黄河大堤高出某市区20 米，另有铁塔高约58 米，是该市的一大景观，小米和好朋友小华、玲玲出去玩，小米站在黄河大堤上，玲玲站在地面放风筝，顽皮的小华则爬上了铁塔顶，小米说：“以大堤为基准，记为 0 米，则玲玲所在的位置高为－ 20 米，小华所在位置高为＋ 58 米．”小华说：“以铁塔顶为基准，记为 0 米，则玲玲所在的位置高为－ 58 米，小米所在的位置高为－ 38 米．”玲玲说：“小华的位置比我高 58 米．”他们谁说得对？解：小华和玲玲说得对．理由：用正、负数表示具有相反意义的量时，由于“基准”(0 米点 ) 的选法不同，表示的结果也不同，小米以大堤为基准，玲玲所在的位置高为－20 米，小华所在位置高为38 米．综合题20．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：(1)在 A 处的数是正数还是负数？(2)负数排在 A、 B、C、 D 中的什么位置？(3) 第 2 017 个数是正数还是负数？排在对应于A、 B、 C、D 中的什么位置？解： (1) 在 A 处的数是正数．(2)B 和 D位置是负数．(3) 第 2 017 个数是负数，排在对应于 B 的位置．2．2数轴基础题知识点 1认识数轴1．关于数轴，下列说法最准确的是(D)A．一条直线B．有原点、正方向的一条直线C．有单位长度的一条直线D．规定了原点、正方向、单位长度的直线2．下列各图中，所画数轴正确的是(D)知识点 2在数轴上表示数3．如图，在数轴上点 A 表示 (A)A．－ 2B． 2C．± 2D． 04．在如图的数轴上，表示－ 2.75 的点是 (D)A．点E B．点FC．点 G5．在数轴上表示数－A．0 个C．2 个D．点 H3， 0， 5，2，－ 1 的点中，在原点右边的有B．1 个D．3 个(C)6．在数轴上，表示－ 2 的点在原点的左侧，它到原点的距离是7．画数轴，并在数轴上表示下列各数：2 个单位长度．12，－ 2.5 ，0，3，－ 4.解：如图：知识点 3利用数轴比较有理数的大小8．如图，下列说法中正确的是(B)A． a＞ b B． b＞ aC． a＞ 0D． b＞ 09．( 成都中考A．－ 3) 在－ 3，－ 1， 1，3 四个数中，比－B．－ 12 小的数是C． 1(A)D． 310．已知有理数x， y 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是(C)A． x>0>y B． y>x>0C． x<0<y D． y<x<011 11．把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把各数连接起来：－2， 4，－ 4， 0， 4.解：如图，大小关系为：－11 4＜－ 22＜ 0＜4＜ 42.中档题12．下列语句中，错误的是(B)A．数轴上，原点位置的确定是任意的B．数轴上，正方向可以是从原点向右，也可以是从原点向左C．数轴上，单位长度可根据需要任意选取D．数轴上，与原点的距离等于8 的点有两个1(B) 13．( 济宁中考 ) 在 0，－ 2， 1，这四个数中，最小的数是2A. 0B．－ 2 C. 11 D.214．数轴上的点 A， B， C， D分别表示 a， b， c， d 四个数，已知A在 B的左侧， C在 A，B 之间， D在 B的右侧，则下列式子成立的是 (A)A． a<c<b<d B． a<b<c<dC． a<d<c<b D． a<c<d<b15．将一刻度尺如图所示放在数轴上( 数轴的单位长度是 1 cm) ，刻度尺上的“ 0 cm”和“ 15 cm ”分别对应数轴上的－ 3.6和 x，则 (C)A． 9＜ x＜ 10B． 10＜ x＜11C． 11＜ x＜12D． 12＜ x＜1316．若数轴上的点 A 表示＋ 3，点 B 表示－ 4.2 ，点 C 表示－ 1，则点17．如图所示，数轴上的点 A 向左移动 2 个单位长度得到点B，则点A和点 B 中离点B 表示的数是－C较远的是点1．A．18．小红在做作业时，不小心将墨水洒在一个数轴上，如图所示，根据图中标出的数值，判断被墨迹盖住的整数共有多少个？解：因为－ 13＜－ 12.6 ＜－ 12，－ 8＜－ 7.4 ＜－ 7，所以此段整数有－12，－ 11，－ 10，－ 9，－ 8 共 5 个；同理 10＜ 10.6 ＜ 11，17＜ 17.8 ＜ 18，所以此段整数有11，12，13，14，15，16，17 共 7 个，所以被墨迹盖住的整数共有5＋7＝ 12( 个) ．19．如图，点 A 表示的数是－ 4.(1)在数轴上表示出原点 O；(2)指出点 B 所表示的数；(3) 在数轴上找一点 C，它与点解： (1) 如图．B 的距离为 2 个单位长度，那么点C表示什么数？(2)点 B表示 3.综合题20．(1) 借助数轴，回答下列问题．①从－ 1 到 1 有 3 个整数，分别是－1、 0、 1；②从－2到2有5个整数，分别是－2、－ 1、 0、 1、 2；③从－3到3有7个整数，分别是－3、－ 2、－ 1、 0、 1、2、 3；④从－ 200 到 200有 401 个整数；⑤从－ n 到 n(n 为正整数 ) 有(2n ＋ 1)个整数；(2)根据以上规律，直接写出：从－2.9 到 2.9 有 5 个整数，从－ 10.1 到 10.1 有 21 个整数；(3)在单位长度是 1 厘米的数轴上随意画出一条长为 1 000 厘米的线段 AB，求线段 AB盖住的整点的个数．解： 1 000 个或 1 001 个．2.3绝对值基础题知识点 1相反数的概念11．( 河南中考 ) －的相反数是 (B)311A．－3 B. 3C．－ 3D． 3 2．相反数等于本身的数为(C)A．正数B．负数C． 0D．非负数3．下列各组数中互为相反数的是(D)1A．2 与－ 3B．－ 3 与－31C． 2 016 与－ 2 015D．－ 0.25 与44．下列说法中正确的是(C)A．一个数的相反数是负数B． 0 没有相反数C．只有一个数的相反数等于它本身D．表示相反数的两个点，可以在原点的同一侧115.6和－6互为相反数；－ 2 017 的相反数是 2__017； 1 的相反数是－ 1.知识点 2绝对值的意义及计算6．在数轴上表示－ 2 的点到原点的距离等于(A)A． 2B．－ 2C．± 2D． 47．( 安徽中考 ) － 2的绝对值是 (B)A．－ 2B． 2C．± 21 D.28．若 | － a| ＝ 5，则 a 的值是 (D)1A．－ 5B． 5 C. 5D．± 59．－ 3 的绝对值是3；－ | － 2.5|＝－ 2.5 ；绝对值是 6 的数是± 6．10．计算： |4| ＋ |0| －| － 3| ＝1．知识点 3绝对值的性质11．任何一个有理数的绝对值一定(D)A．大于 0B．小于 0C．不大于 0D．不小于 012．在有理数中，绝对值等于它本身的数有(D)A．一个B．两个C．三个D．无数个13．(1) ①正数： | ＋ 5| ＝ 5， |12|＝ 12；②负数： | － 7| ＝ 7，| － 15| ＝15；③零： |0| ＝ 0；(2) 根据 (1)中的规律发现：不论正数、负数和零，它们的绝对值一定是非负数，即|a| ≥ 0.知识点 4利用绝对值比较有理数的大小14．下列各式中正确的是 (D)A．| －3| ＞| －4|B．－ 2＞ | －5|89C． 0＞ | － 0.000 1|D．| －9| ＞－1015．用“＞”或“＜”填空：(1) － 7＜－ 6.5；(2) － 3＞－ 4；(3) － 5＜－ 4.中档题16．如果 a 与 1 互为相反数，那么 |a| 等于 (C)A． 2B．－ 2C． 1D．－ 117．下列说法正确的是 (D)A．－ |a| 一定是负数B．只有两个数相等时它们的绝对值才相等C．若 |a| ＝|b|，则 a 与 b 相等D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数18．( 南京中考 ) 数轴上点 A， B 表示的数分别是5，－ 3，它们之间的距离可以表示为 (D)A．－ 3＋ 5B．－ 3－ 5C．| －3＋ 5|D． | －3－ 5|19．如果 a>0， b<0， a<|b|，那么 a、 b、－ a、－ b 的大小顺序是 (A)A．－ b>a>－ a>b B． a>b>－ a>－ bC．－ b>a>b>－ a D． b>a>－ b>－ a20．绝对值小于 6 的整数有11 个，它们分别是±5，± 4，± 3，± 2，± 1，0；绝对值大于 3 且小于 6 的整数是± 5，± 4．21．( 河北中考改编) 若有理数m， n 满足 |m－ 2| ＋ |2 017 －n| ＝ 0，则 m＋ n＝ 2__019．22．比较下列各对数的大小：(1)0 和 | －2| ；解： 0<| － 2|.4 2(2)－5和－3；4 2解：－ <－ .5 3(3)－( －4)和| －4|.解：－ (－4)＝| －4|.23．计算：2(1)|＋2 |×|－9|；38解：原式＝3× 9＝ 24.3－7|.(2)| － | ÷|148382解：原式＝4×15＝ 5.以上，则这袋奶粉视为不合格产品．现抽取10 袋样品进行质量检测，结果如下：( 单位：克 )袋号12345678910记作－ 203－ 4－ 3－ 5445－ 3(1)这 10 袋奶粉中，有哪几袋不合格？(2)质量最大的是哪袋？它的实际质量是多少？解： (1) 第 4 袋和第 6 袋不合格．(2)质量最大的是第 9 袋，实际质量是 505 克．综合题25．已知 a，b， c 为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示．(1)试判断 a， b， c 的正负性；(2)在数轴上分别标出 a， b，c 的相反数的位置；(3)根据数轴化简：①|a| ＝－ a；② |b| ＝ b；③ |c| ＝ c；④| － a| ＝－ a；⑤ | － b| ＝ b；⑥ | － c| ＝ c．(4)若 |a| ＝5.5 ， |b| ＝ 2.5 ，|c| ＝ 7，求 a， b，c 的值．解：(1)a 为负， b 为正， c 为正．(2)如图．(4)a ＝－ 5.5 ， b＝ 2.5 ， c＝ 7.小专题 ( 一)绝对值的应用类型 1利用绝对值比较大小1．比较下面各对数的大小： (1) － 0.1 与－ 0.2 ；解：因为 | － 0.1| ＝ 0.1 ， | －0.2| ＝ 0.2 ，且 0.1 ＜ 0.2 ，所以－ 0.1 ＞－ 0.2.4 5 (2) －与－；5644 245 5 25解：因为 | －5| ＝5＝30，| －6| ＝6＝30，24 25且30<30，4 5所以－ 5>－ 6.2．比较下列各对数的大小： (1) － 8与－|－1|；21 71 1 解：－ | －7| ＝－ 7，881 1 3 8 1因为 | － 21| ＝ 21， | －7| ＝ 7＝ 21，且 21＞ 7，所以－8 21＜－ |1－ 7|.2 0152 016(2) － 2 016 与－2017.2 015 2 015 2 0162 016解：因为 －2 016 ＝2 016， －2 017 ＝ 2 017 ，2 015 2 016且2 016＜2 017，2 015 ＞－ 2 016所以－ .2 016 2 017类型 2巧用绝对值的性质求字母的值3．已知 |x －3| ＋ |y －5| ＝ 0，求 x ＋ y 的值． 解：由 |x －3| ＋ |y －5| ＝ 0，得 x － 3＝ 0， y － 5＝ 0. 解得 x ＝ 3， y ＝ 5. 所以 x ＋ y ＝ 3＋ 5＝ 8.4．若 x 的相反数是－ 3， |y| ＝5，且 x ＜y ，求 y －x 的值．解：因为 x 的相反数是－ 3，所以 x ＝ 3. 因为 |y| ＝ 5，所以 y ＝± 5. 因为 x ＜ y ，所以 x ＝3， y ＝ 5. 所以 y － x ＝ 5－ 3＝ 2.类型 3绝对值在生活中的应用5．司机小李某天下午的营运全是在南北走向的鼓楼大街进行的．假定向南为正，向北为负，他这天下午行车里程如下 ( 单位：千米 ) ：＋ 15，－ 3，＋ 14，－ 11，＋ 10，＋ 4，－ 26. 若汽车耗油量为0.1 L/km ，这天下午汽车共耗油多少升？解： 0.1 × (| ＋15| ＋| －3| ＋| ＋14| ＋| －11| ＋| ＋ 10| ＋| ＋4| ＋ | －26|)＝ 8.3(L)．6．在活动课上，有 6 名学生用橡皮泥做了 6 个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表：做乒乓李明张兵王敏余佳赵平蔡伟球的同学检测结果＋ 0.031－ 0.017＋ 0.023－ 0.021＋ 0.022－ 0.011(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？(2)指出哪个同学做的乒乓球质量最好，哪个同学做的质量最差？(3)请你对 6 名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；(4)用学过的绝对值知识来说明以上问题．解： (1) 张兵、蔡伟．(2)蔡伟做的乒乓球质量最好、李明做的乒乓球质量最差．(3)蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明．(4)这是绝对值在实际生活中的应用，对误差来说绝对值越小越好．小专题 ( 二)三种方法比较有理数的大小方法 1 利用数轴比较大小1．如图，在数轴上有 a， b， c，d 四个点，则下列说法正确的是 (C)A． a>b B． c<0C． b<c D．－ 1>d2．有理数 a 在数轴上对应的点如图所示，则a，－ a，－ 1 的大小关系是 (C)A．－ a<a<－ 1B．－ a<－ 1<aC． a<－ 1<－ a D． a<－ a<－ 13．大于－ 2.5 而小于 3.5的整数共有 (A)A．6 个B．5 个C．4 个D．3 个4．在数轴上表示下列各数，并把这些数用“＞”连接起来．13． 5， 3.5 的相反数，－2，绝对值等于3的数，最大的负整数．1解：各数分别为： 3.5 ，－ 3.5 ，－，± 3，－1.在数轴上表示如图：1这些数由大到小用“>”连接为： 3.5 ＞3＞－2＞－ 1＞－ 3＞－ 3.5.5．点 A、 B 在数轴上的位置如图所示，它们分别表示数a、b.(1)请将 a， b， 1，－ 1 四个数按从小到大的顺序排列起来；(2)若将点 B 向右移动 3 个单位长度，请将 a、 b、－ 1 三个数按从小到大的顺序排列起来．解：(1)b< － 1<a<1.(2)－ 1<a<b.方法 2利用比较大小的法则比较大小6．下列各式成立的是(B)A．－ 1>0B． 3>－ 2C．－ 2<－ 5 7．( 安徽中考A．－ 4D． 1<－ 2) 在－ 4， 2，－ 1，3 这四个数中，比－B．2C．－ 12 小的数是D． 3(A)8．( 西双版纳中考) 若75a＝－ 8，b＝－ 8，则a， b 的大小关系是a＜ b( 填“＞”“＜”或“＝”) ．9．已知数： 0，－ 2，1，－ 3，5. (1)用“ >”把各数连接起来；解： 5>1>0>－ 2>－ 3.(2)用“ <”把各数的相反数连接起来；解：－ 5<－1<0<2<3.(3)用“ >”把各数的绝对值连接起来．解： |5|>|－3|>|－2|>|1|>|0|.方法 3利用特殊值比较大小10．如图，数轴上的点表示的有理数是a， b，则下列式子正确的是(B)A．－ a＜ b B． a＜bC． |a| ＜ |b|D．－ a＜－ b11．a， b 两数在数轴上的对应点的位置如图，下列各式正确的是(D)A． b＞ a B．－ a＜ bC． |a| ＞ |b|D． b＜－ a＜ a＜－ b2.4有理数的加法第 1课时有理数的加法法则基础题知识点 1 有理数的加法法则1．下列各式的结果，符号为正的是(C)A．( －3) ＋( －2)B．( －2) ＋0C．( －5) ＋6D．( －5) ＋52．( 天津中考 ) 计算 ( － 3) ＋ ( －9) 的结果是 (B)A． 12B．－ 12C． 6D．－ 63．( 梅州中考 ) 计算 ( － 3) ＋ 4 的结果是 (C)A．－ 7B．－ 1C． 1D． 74．已知 a，b 两数互为相反数，则a＋ b＝ (C)A． 2a B． 2bC． 0D． 15．下列结论不正确的是 (D)A．若 a>0， b>0，则 a＋ b>0B．若 a<0， b<0，则 a＋ b<0C．若 a>0， b<0，且 |a|>|b|，则 a＋ b>0D．若 a<0， b>0，且 |a|>|b|，则 a＋ b>06．在每题的横线上填写和的符号或结果．(1)( ＋3) ＋( ＋5) ＝＋ (3 ＋ 5)＝8；(2)( －3) ＋( －5) ＝－ (3 ＋ 5)＝－ 8；(3)( － 16) ＋ 6＝－ (16 － 6) ＝－ 10；(4)( － 6) ＋8＝＋ (8 － 6) ＝ 2；(5)( － 2 015) ＋ 0＝－ 2__015．7．计算：(1)( －4) ＋( －6) ；解：原式＝－ 10.(2)( － 12) ＋ 5；解：原式＝－ 7.1(3)0 ＋( －2) ；1解：原式＝－.(4)( － 2.5) ＋ ( － 3.5) ．解：原式＝－ 6.知识点 2有理数加法的应用8．小明家冰箱冷冻室的温度为－A．4 ℃5 ℃，调高B．9 ℃4 ℃后的温度为(C)C．－ 1℃D．－ 9℃9．一个物体在数轴上做左右运动，规定向右为正，按下列方式运动，列出算式表示其运动后的结果：(1)先向左运动 2 个单位长度，再向右运动7 个单位长度．列式：－2＋ 7；10 ．某人某天收入 265 元，支出 200 元，则该天节余 65 元．11 ．已知飞机的飞行高度为 10 000 m ，上升 3 000 m 后，又上升了－5 000 m ，此时飞机的高度是 8__000m.中档题12 ．( 玉林、防城港中考 ) 下面的数中，与－ 2 的和为 0 的是 (A) A ． 2 B ．－ 2 C. 1 12 D ．－213 ．有理数 a 、 b 在数轴上对应的位置如图所示，则 a ＋ b 的值 (A)A ．大于 0B ．小于 0C ．小于 aD ．大于 b14．如果两个数的和是正数，那么 (D)A ．这两个数都是正数B ．一个为正，一个为零C ．这两个数一正一负，且正数的绝对值较大D ．必属上面三种情况之一 15 ．一个数是 25，另一个数比 25 的相反数大－ 7，则这两个数的和为 (B) A ． 7 B ．－ 7 C ． 57 D ．－ 5716 ．若 x 是－ 3 的相反数， |y| ＝ 5，则 x ＋ y 的值为 (D)A ． 2B ． 8C ．－8或 2D ．8 或－ 217 ．已知 A 地的海拔高度为－53 米，而 B 地比 A 地高 30 米，则 B 地的海拔高度为－23 米．18 ．如图，三个小球上的有理数之和等于－2．19．计算：3 3 (1)＋(－ )；22解：原式＝ 0.1(2)1 6＋( －4)；5解：原式＝－ 26.13(3)7 5＋ ( － 25) ；13解：原式＝＋ (7 5－ 25)3 ＝ 45.1(4) －8.75 ＋( －34)．1解：原式＝－ (8.75 ＋ 34)＝－ 12.20．已知有理数a， b，c 在数轴上的位置如图所示，请根据有理数的加法法则判断下列各式的正负性：①a；② b；③－ c；④ a＋ b；⑤ a＋ c；⑥ b＋ c；⑦ a＋ ( －b) ．解：①③⑦为正；②④⑤⑥为负．综合题21．若 |a － 2| 与 |b ＋ 5| 互为相反数，求a＋ b 的值．解：因为 |a － 2| 与 |b ＋ 5| 互为相反数，所以 |a － 2| ＋ |b ＋ 5| ＝ 0.所以 a＝ 2， b＝－ 5.所以 a＋ b＝ 2＋ ( － 5) ＝－ 3.第 2 课时 有理数的加法运算律基础题知识点 1有理数的加法运算律1 3 32 1．计算 3＋( －2 ) ＋5 ＋( － 8 ) 时，用运算律最为恰当的是 (B)4545133 2A ． [3 4＋ ( －25)] ＋ [5 4＋ ( － 85)]1 3 32 B ．(3 4＋54) ＋[( －25) ＋( －85)] 1 2 3 3 C ． [3 4＋ ( －85)] ＋ [( － 25) ＋54]3 3 1 2D ．[( －2 ) ＋5 ] ＋[34 ＋( －8 )]5 4557 ＋ ( －6.71) 的结果为 (D)2．计算 ＋( ＋ 4.71)＋1212A ．－2B ．3C ．－3D ．－13．在下面的计算过程后面填上运用的运算律． 计算： (－2)＋(＋3)＋(－5)＋(＋4)．解：原式＝ ( －2) ＋( －5) ＋( ＋3) ＋( ＋4)( 加法交换律 )＝ [( － 2) ＋( － 5)] ＋[( ＋ 3) ＋( ＋ 4)]( 加法结合律 )＝ ( －7) ＋ (＋7) ＝ 0.2 3 22 2 4．在计算3 ＋ ( － 2.53)＋ ( － 2 ) ＋ 3.53 ＋ ( － ) 时，比较简便的计算方法是先计算3 ＋( － ) 和 (－2.53) ＋3.53 ．3 5 3335．计算：(1)( － 0.8) ＋ 1.2 ＋ ( － 0.7) ＋( － 2.1) ＝ [( － 0.8) ＋ ( － 0.7) ＋ ( － 2.1)] ＋ 1.2 ＝－ 3.6 ＋ 1.2 ＝－ 2.4 ； (2)32.5 ＋ 46＋ ( － 22.5)＝ [32.5 ＋ ( － 22.5)] ＋ 46＝ 10＋46＝ 56． 6．运用加法的运算律计算下列各题： (1)24 ＋ ( －15) ＋ 7＋( － 20) ；解：原式＝ (24 ＋ 7) ＋ [( － 15) ＋ ( － 20)] ＝ 31＋ ( － 35) ＝－ 4.(2)18 ＋ ( －12) ＋ ( －18) ＋ 12；解：原式＝ [18 ＋ ( －18)] ＋ [( －12) ＋ 12]＝ 0＋ 0 ＝ 0.3 14 2(3)1 7＋ ( － 23) ＋ 27＋( － 13) ．3 4 12解：原式＝ (1 7 ＋27) ＋[( －23) ＋( －13)] ＝ 4＋( －4) ＝ 0.知识点 2 有理数加法运算律的应用7．李老师的银行卡中有5 500 元，取出 1 800 元，又存入 1 500 元，又取出 2 200 元，这时银行卡中还有 3__000元钱．8．检修小组从 A 地出发，在东西路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中行驶记录如下 ( 单位：千米 ) ：－ 4，＋ 7，－ 9，＋ 8，＋ 6，－ 4，－ 3. 那么收工时距 A 地东 1 千米． ( 说明方向和距离 ) 9．某公司 2016 年前四个月盈亏的情况如下 ( 盈余为正 ) ：－ 160.5 万元，－ 120 万元，＋ 65.5 万元， 280 万元．试问 2016 年前四个月该公司总的盈亏情况．解： ( － 160.5) ＋ ( －120) ＋ ( ＋65.5) ＋ 280＝ [( － 160.5) ＋ ( ＋ 65.5)] ＋[( － 120) ＋ 280]＝ ( － 95) ＋160＝ 65( 万元 )．答：盈余 65 万元．中档题10 ．下列算式正确的是 (B) A ．3＋( － 2)＝2＋ 3B ．4＋( － 6)＋3＝ (－6) ＋ 4＋3C ． [5 ＋ ( －2)] ＋ 4＝[5 ＋ ( －4)] ＋ 2151 5D. 6＋( －1)＋( ＋6) ＝( 6＋ 6) ＋( ＋ 1)115 111 ．计算 0.75 ＋ ( － 4 ) ＋ 0.125 ＋ ( － 7) ＋( － 48) 的结果是 (B)5 5C ．522 A ． 6B ．－ 67 D ．－ 57 7712 ．已知 a ＋c ＝－ 2 016 ， b ＋ ( － d) ＝ 2 017 ，则 a ＋ b ＋ c ＋ ( － d) ＝1．13 ．上周五某股民小王买进某公司股票1 000 股，每股 35 元，下表为本周内每日股票的涨跌情况(单位：元 )：星期 一 二 三 四 五每股涨跌＋ 4＋ 4.5－1－ 2.5－ 6则在星期五收盘时，每股的价格是 34 元．14 ．用适当方法计算：(1)0.36 ＋ ( － 7.4) ＋0.5 ＋ ( －0.6) ＋ 0.14 ；解：原式＝ (0.36 ＋ 0.14) ＋ [( －7.4)＋ ( － 0.6)] ＋0.5＝ 0.5 ＋ ( －8) ＋ 0.5 ＝－ 7.(2)( －51) ＋( ＋12) ＋( －7) ＋( －11) ＋( ＋ 36) ；解：原式＝ [( －51) ＋( －7) ＋( －11)] ＋[( ＋12)＋ ( ＋36)]＝－ 69＋ 48＝－ 21.1 11 (3)( －1) ＋2＋( － 3) ＋ 6；1 1 1解：原式＝ ( －1) ＋[ 2＋( －3) ＋ 6]1 ＝( －1) ＋32＝－ .33 1 1) ＋5 ．(4)3 ＋ (－8 )＋(＋ 2 ( －1 )3115解：原式＝ [3 4＋ ( ＋ 22)] ＋ [( － 86) ＋ ( －16)]1＝64＋ ( － 10)3＝－ 34.15．每袋大米的标准重量为50 千克， 10 袋大米称重记录如下：＋ 1.2 ，－ 0.4 ，＋ 1，0，－ 1.1 ，－ 0.5 ，＋ 0.3 ，＋0.5 ，－ 0.6 ，－ 0.9( 超过记为正，不足记为负) ．问这 10 袋大米总计超过多少千克或不足多少千克？10 袋大米的总重量是多少千克？解： 1.2 ＋ ( － 0.4) ＋ 1＋0＋ ( － 1.1) ＋ ( － 0.5) ＋ 0.3 ＋ 0.5 ＋ ( － 0.6) ＋ ( － 0.9) ＝ (1.2 ＋ 1＋ 0＋ 0.3 ＋ 0.5) ＋ [( － 0.4)＋( －1.1) ＋( －0.5) ＋( － 0.6) ＋( －0.9)] ＝3＋( －3.5) ＝－ 0.5( 千克 ) ，50× 10＋ ( － 0.5) ＝ 499.5( 千克 ) ．答：这 10 袋大米总计不足 0.5 千克， 10 袋大米的总重量是499.5 千克．综合题16．一只小虫从某点 O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为 ( 单位：厘米 ) ：＋ 5，－ 3，＋ 10，－ 8，－ 6，＋ 12，－ 10. 问：(1) 小虫最后是否回到出发点O?(2)小虫离开出发点 O最远是多少厘米？(3)在爬行过程中，如果每爬行1 厘米奖励 2 粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？解： (1)( ＋5) ＋ ( －3) ＋ ( ＋10) ＋( －8) ＋( －6) ＋( ＋12) ＋( － 10) ＝ [( ＋5) ＋( ＋12)] ＋[( － 3) ＋( － 8)＋( －6)] ＋[( ＋ 10) ＋ ( － 10)] ＝17＋ ( －17) ＋ 0＝0( 厘米 ) ．答：小虫最后回到出发点O.(2) 小虫每次爬行后分别到达位置为：＋5，＋ 2，＋ 12，＋ 4，－ 2，＋ 10， 0. 故小虫离开出发点O最远是 12 厘米．(3)2 ×(| ＋5| ＋| －3| ＋| ＋10| ＋| －8| ＋| －6| ＋| ＋12| ＋| －10|) ＝108( 粒) ．答：小虫一共得到108 粒芝麻．2.5有理数的减法基础题知识点 1有理数的减法法则1．( 甘孜中考 ) 计算 2－ 3 的结果是 (B)A．－ 5B．－ 1C． 1D．5 2．( 天津中考 ) 计算 ( － 2) － 5 的结果等于 (A)A．－ 7B．－ 3C． 3D．7 3．与－ 3 的差为0 的数是 (B)A． 3B．－ 311C. 3D．－34．已知 a，b 在数轴上的位置如图所示，则a－ b 的结果的符号为 (B)A．正B．负C． 0D．无法确定5．下列计算正确的是 (B)A．( －14) －( ＋5) ＝－ 9B．0－( － 3)＝3C．( －3) －( －3) ＝－ 6D．|5 －3| ＝－ (5 －3)6．计算：(1)( － 6) －9；(2)( －6) －( －9) ；解：原式＝－ 15.解：原式＝ 3.(3)0 － 57;(4)( －2.8) － 2；解：原式＝－ 57.解：原式＝－ 4.8.(5)1.8 － ( － 2.6);(6)(12－2 )－4 .33解：原式＝ 4.4.解：原式＝－ 7.知识点 2 有理数减法的应用7．( 宁夏中考 ) 某地一天的最高气温是8℃，最低气温是－ 2 ℃，则该地这天的温差是(A)A．10 ℃B．－ 10 ℃C．6 ℃D．－6 ℃8．甲地的海拔是150 m，乙地的海拔是130 m，丙地的海拔是－105 m，甲地的海拔最高，丙地的海拔最低，最高的地方比最低的地方高255 米，丙地比乙地低 235 米．9．某日，北京、大连等 6 个城市的最高气温与最低气温记录如下表，哪个城市温差最大？哪个城市温差最小？分别是多少？城市北京大连哈尔滨沈阳武汉长春最高气温12℃ 6 ℃ 2 ℃ 3 ℃18 ℃ 3 ℃最低气温2℃－ 2 ℃－12 ℃－ 8 ℃ 6 ℃－10 ℃解：北京： 12－ 2＝ 10( ℃ ) ；大连： 6－ (－2) ＝ 8(℃) ；哈尔滨： 2－( －12) ＝14( ℃) ；沈阳： 3－ (－8) ＝ 11(℃) ；武汉： 18－6＝ 12( ℃) ；长春： 3－ ( － 10)＝13( ℃) ．所以哈尔滨温差最大，为14 ℃；大连温差最小，为8 ℃.中档题10．如图，数轴上 A 点表示的数减去 B 点表示的数，结果是(B)A． 8B．－ 8C． 2D．－ 211．下列说法正确的是(D)A．减去一个数，等于加上这个数B．零减去一个数仍得这个数C．两个相反数相减得零D．在有理数加法或减法中，和不一定比加数大，被减数不一定比减数或差大12．当 x>0，y<0， |x|>|y| 时， x、 x＋ y、x－ y、 y 中最大的是 (C)A． x B． x＋ yC． x－ y D． y13．如果－ 2＋△＝－ 6，那么“△”表示的数是－ 4．14．( 济南中考 ) 计算： | － 7－ 3| ＝ 10．15．填空： (1)( － 5) －5＝－ 10； (2)15 －28＝－ 13；11(3)0 －2＝－2； (4)12 － ( － 13) ＝ 25.16．北京与巴黎两地的时差是－ 7( 带正号的数表示同一时间比北京早的小时数) ，如果现在北京时间是7：00，那么巴黎的时间是0： 00．17．武汉地区 2 月 5 日早上 6 时的气温为－ 1 ℃，中午12 时为 3 ℃，晚上11 时为－ 4 ℃，中午 12时比早上 6 时高4℃，晚上 11 时比早上低 3℃ .18．计算：4 2(1)( －3) －( －3) ；4 2解：原式＝ ( －3) ＋( ＋3)4 2＝－ ( 3－3)2＝－.31 1(2)( －23) －( －32) ；1 1解：原式＝ ( －2 ) ＋3327＝.6(3)3 －( － 8)－( － 7)－18；解：原式＝ 3＋ 8＋ 7＋ ( － 18)＝0.(4)( － 5) －( － 7)－( －6) －10.解：原式＝ ( － 5)＋ 7＋ 6＋ ( －10)＝－ 2.高度相差多少？解： 8 844 － ( － 392) ＝ 8 844 ＋ 392＝ 9 236(m) ．答：两处高度相差9 236 m.20．已知有理数a， b，c 在数轴上的位置如图所示，请判断下列各式的正负性：(1)a － b； (2)a － c；(3)c － b.解： (1) 为正． (2) 为正． (3) 为负．综合题21．若 a、 b、 c 是有理数， |a| ＝ 3， |b| ＝ 10， |c| ＝ 5，且 a、 b 异号， b、 c 同号，求 a－ b－ ( － c) 的值．解：由题意，当 a＝－ 3， b＝10， c＝ 5 时，a－ b－ ( － c) ＝－ 3－10－ ( －5) ＝－ 8；当 a＝ 3， b＝－ 10，c＝－ 5 时，a－ b－ ( － c) ＝ 3－ ( － 10) － 5＝8.2.6有理数的加减混合运算第 1 课时有理数的加减混合运算基础题知识点有理数的加减混合运算1．计算 (2 －3) ＋ ( － 1) 的结果是 (A)A．－ 2B． 0C． 1D． 22．计算 ( － 25) － ( － 16) ＋ 2 的结果是 (B)A． 7B．－ 7C． 8D．－ 8733．－ 3 减去－5与－5的和的结果是(D)1911A．－5B．－5C．－ 5D．－ 114．已知 a＝－ 12， b＝－ 2， c＝2，则 |a| ＋ |b| － |c| 等于 (A)11A． 12B．－1211C． 52D．－25．某天上午 6： 00 虹桥水库的水位为 30.4 米，到上午11： 30 水位上涨了 5.3 米，到下午 6：00 水位下跌了 0.9米，则到下午 6： 00 水位为 (B)A．26 米B． 34.8 米C． 35.8 米D． 36.6 米6．计算：(1)( －9) －( ＋6) ＋( －8) －( －10) ＝－ 13；(2)1 －2＋ 3－ 4＋ 5－6＝－ 3．7．若 a＝ 5，b＝－ 3， c＝－ 7，则 a－ b＋c 的值为 1．8．某地一天早晨的气温是－7 ℃，中午气温上升了 11℃，下午又下降了9 ℃，晚上又下降了 5 ℃，则晚上的温度为－10℃.9．计算：12(1) 3－3＋ 1；1解：原式＝－3＋ 12＝ .367(2)( －13) ＋( －13) －2；解：原式＝－ 1－ 2＝－ 3.(3)5 － 9＋ 7－ 4；解：原式＝ (5 ＋ 7) －(9 ＋ 4)＝12－ 13＝－ 1.1112(4) －2＋( －6) －( －4) －( ＋3) ．2 12解：原式＝－3＋4－313＝－12.中档题10．计算 ( －5) － ( ＋ 3) ＋ ( － 9) － ( － 7) ＋1，所得结果正确的是(B) A．－ 10B．－ 9C． 8D．－ 2311．设A． 2a 是最大的负整数， b 是绝对值最小的有理数，B． 1c 是最小的正整数，则b－ c＋ a 的值是(D)C．－ 1D．－ 212．－ 7，－ 12，＋ 2 的和比它们的绝对值的和小A．－ 38B．－ 4(D)C．4D．3813．小明近期几次数学测试成绩如下：第一次88 分，第二次比第一次高8 分，第三次比第二次低12 分，第四次又比第三次高10 分，那么小明第四次测试成绩是(C)A．93 分B．78 分C．94 分D．84 分14．河里的水位第一天上升了 6 厘米，第二天下降了 5 厘米，第三天又下降了 3 厘米，第四天上升了7 厘米，则第四天河水水位比刚开始时的水位上升了 5 厘米．15．根据如图所示的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为－ 5．16．计算：(1)( －49) －( ＋91) －( －5) ＋( －9) ；解：原式＝－ 49－ 91＋ 5－ 9＝－ 144.(2)－ 7.2 －0.9 － 5.6 ＋ 1.7 ；解：原式＝－ 8.1 － 5.6 ＋ 1.7＝－ 13.7 ＋1.7＝－ 12.25(3)( －5) ＋ ( －6) － ( －4.9) － 0.6.37 493解：原式＝－30＋10－546＝15.小明：,4.5) 3.2,1.1) 1.4小红：,8)2,－6)－ 7解：小明：－ 4.5 ＋ 3.2 － 1.1 ＋ 1.4 ＝－ 1，小红：－ 8＋ 2－ ( － 6) － 7＝－ 7.因为－ 7<－1，所以小红的结果小，为胜者．综合题18．若“三角”表示运算a－ b＋ c，“方框”表示运算x－ y＋z＋ w，求＋表示的运算，并计算结果．解：根据题意得：＋＝ (1－1＋1)＋ [( －2) －3＋( － 6) ＋3] ＝( －1)＋(－8)＝－81.4261212第 2 课时有理数加减混合运算中的简便计算基础题知识点有理数加减混合运算中的简便计算5351．计算－＋(－2) 的结果是 (C)6885511 A．－ 36B．－ 26C．－ 26D．26 2．计算 ( － 3)＋( ＋2.5) ＋ ( －0.5) ＋4－ (－3) 的结果是 (B)A． 3B． 6C． 7D． 942113．计算： 1＋5－( ＋3) －( －5) －( ＋13) ＝0．4．计算： (1)－ 4.27 ＋ 3.8 － 0.73 ＋ 1.2 ＝0；131461(2)8 4＋ 67－ 34＋ 57－37＝ 137．5．计算：(1)－ 8－ 6＋ 22－ 9；解：原式＝－ 23＋ 22＝－ 1.(2)0 － 16＋( － 29) －( － 7) －( ＋ 11) ．解：原式＝－ 16－ 29＋ 7－ 11＝－ 56＋ 7＝－ 49.中档题6．计算：1312(1)2 ＋ 6＋( －2)＋(－5 )；3535解：原式＝ [21132＋ (－2 )] ＋[6＋( －5 )] 33551＝0＋ 151＝15.137(2)0.25＋(－8)－4－|－8|.1 1 37解：原式＝4－8－4－81 317＝( 4－4) －( 8＋8)1＝－2－13＝－.27．某气象站每天下午 4 点需要测量一次气温，下面是某地星期一至星期五气温变化情况，该地上个星期日下午4点的气温是 12 ℃ . 求该地星期五下午 4 点的气温．星期一二三四五气温的变升降升升降化( 与前0．2 ℃0．7 ℃0．3 ℃0．8 ℃0．6 ℃一天比较 )解：由题意，得(0.2 － 0.7 ＋ 0.3 ＋0.8 － 0.6)＋ 12＝(0.2 ＋ 0.3 ＋ 0.8) ＋ ( － 0.7 － 0.6) ＋12＝1.3 － 1.3 ＋ 12＝12.答：该地星期五下午 4 点的气温是 12℃.综合题8．(1) 有 1、2、 3、, 11、 12 共 12 个数字，请在每两个数字之间添上“＋”或“－”，使它们的和为 0；(2) 有 1、2、3、, 2 015 、2 016 共 2016个数字，请在每两个数字之间添上“＋”或“－”，使它们的和为0；(3)根据 (1)(2) 的规律，试判断能否在 1、 2、 3、, 2 016、 2 017，共 2 017 个数字的每两个数字之间添上“＋”或“－”，使它们的和为 0. 若能，请说明添法；若不能，请说明理由．解： (1)1 －2＋ 3－ 4＋ 5－ 6－7＋ 8－ 9＋10－ 11＋12＝ 0.( 答案不唯一 )(2)1 与 2 016 是正的， 2 与 2 015 是负的； 3 与 2 014 是正的， 4 与 2 013是负的；依次类推,1007 与 1010 是正的， 1 008 与 1 009 是负的．即： 1－ 2＋3－ 4＋, ＋ 1 007 － 1 008 －1 009 ＋1 010 －, － 2 013 ＋2 014－2 015 ＋2 016 ＝0.(3) 不能，因为由 (1)(2)可知：数字的总个数应该是偶数个．第 3课时有理数加减混合运算的应用基础题知识点有理数加减混合运算的应用1．某运动员先后参加了 10 次百米竞赛，成绩的变化情况如下表( 第一次成绩为10.8 秒) ：序号2345678910成绩( 与＋ 0.1＋ 0.1－ 0.3＋ 0.5－0.1－ 0.3＋0.2－ 0.3＋ 0.2前一次相比 )请问这位运动员跑10 次百米竞赛的平均成绩为(A)A． 10.91 秒B． 10.92 秒C． 10.93 秒D． 10.94 秒2．下表为张先生家的一张存折的一部分，从表中可知，截止2017 年 3 月 2 日，此张存折还结余4__800 元．日期摘要存入(＋)/ 支出(－)余额操作柜员20161020现存＋5 800 5 800aklj20161220现取－2 000aklj20170302现存＋1 000aklj3.检查一商店某水果罐头 10 瓶的质量，超出记为“＋” ，不足记为“－” ，情况如下：－ 3 克，＋ 2 克，－ 1 克，－ 5 克，－ 2 克，＋ 3 克，－ 2 克，＋ 3 克，＋ 1 克，－ 1 克．(1)总的情况是超出还是不足？超出或不足多少？(2)这些罐头平均超出或不足为多少？(3)最多与最少相差是多少？解： (1) － 3＋ 2－ 1－5－ 2＋ 3－2＋ 3＋ 1－1＝－ 5( 克 ) ，即总的情况是不足 5 克．(2)5÷ 10＝0.5( 克 ) ，即平均不足 0.5 克．(3)3－ ( － 5) ＝ 8( 克 ) ，即最多与最少相差8 克．中档题4．红星中学初一 (1) 班学生期末数学平均成绩是90 分．(1)下表给出了该班 6 名同学的成绩情况，试完成下表：姓名小新小雪小丽丁丁小天小亮成绩9188908610085成绩与平均＋1－ 20－4＋ 10－ 5成绩的差值(2)谁的成绩最好？谁的成绩最差？(3)成绩最好的比成绩最差的高多少分？解： (2) 小天成绩最好，小亮成绩最差．(3)100 － 85＝ 15( 分 ) ．综合题5．小明去一水库进行水位变化的实地测量，他取警戒线作为0 m，记录了这个水库一周内的水位变化情况( 测量前一天的水位达到警戒水位，单位：m)：10 月10 月10 月10 月10 月10 月10 月时间5 日6 日7 日8 日9 日10 日11 日水位－ 0.2＋ 0.13－ 0.1＋0.14－ 0.25＋ 0.15＋ 0.15变化 (m)注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降．(1)这一周内，哪一天水库的水位最高？哪一天水库的水位最低？它们位于警戒线水位之上，还是位于警戒线水位之下，与警戒线水位的距离分别是多少？(2)与测量前一天比，一周内水库的水位是上升了，还是下降了？(3)以警戒线水位为 0 点，用折线统计图表示这一周的水位变化情况．解： (1) 这一周内， 10 月 5 日的水位最高，是＋0.15 m ， 10 月 10 日的水位最低，是－0.13 m ； 10 月 5 日水位位于警戒线之上，距离是0.15 m ； 10 月 10 日水位位于警戒线之下，距离是0.13 m.(2)与测量前一天比，一周内水库的水位是上升了．(3)折线统计图如图．周周练 (2.1 ～ 2.6)( 时间： 45 分钟满分：100分)一、选择题 ( 每小题 3 分，共 24 分 )1．( 甘孜中考 ) － 3 的绝对值是 (C)11A. 3B．－3C． 3D．－ 32．( 河南中考 ) 下列各数中，最小的数是(D)1A． 0 B. 31C．－3D．－ 33．( 梅州中考 ) 计算 ( － 3) ＋ 4 的结果是 (C)A．－ 7B．－ 1C． 1D．74．下面说法正确的是 (D)A．两数之和不可能小于其中的一个加数B．两数相加就是它们的绝对值相加C．两个负数相加，和取负号，绝对值相减D．不是互为相反数的两个数，相加不能得零5．( 哈尔滨中考 ) 哈市某天的最高气温为28 ℃，最低气温为21 ℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为(C)A．5 ℃B．6 ℃C．7 ℃D．8 ℃6．下列各式中，其和等于 4 的是 (D)1 1A．(－1 )＋(－2 )4 41 5 3B．3 －5 －| －7 |28413C．( －2) －( －4) ＋235D．( －4) ＋0.125 －( －48)7．( 宁波中考 ) 杨梅开始采摘啦！每筐杨梅以 5 千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图．则这 4 筐杨梅的总质量是 (C)A． 19.7千克B． 19.9千克C． 20.1千克D． 20.3千克8．已知有理数 a， b， c 在数轴上的位置如图，则下列结论错误的是(C)A． c－ a＜ 0B． b＋ c＜ 0C． a＋ b－ c＜ 0D． |a ＋ b| ＝ a＋ b二、填空题 ( 每小题 4 分，共 24 分 )9．如果将低于警戒线水位0.27 m 记作－ 0.27 m ，那么＋ 0.42 m 表示高于警戒线水位0.42__m．10．按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”号分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是酥脆．威化咸味甜味酥脆＋ 10(g)－ 8.5(g)＋5(g)－ 3(g)11. 从－ 5 中减去－ 1，－ 3， 2 的和，所得的差是－3．12．如果 a 的相反数是最小的正整数， b 是绝对值最小的数，那么a＋b＝－ 1， b－ a＝ 1．13．一只小虫从数轴上表示－ 1 的点出发，先向左爬行 2 个单位长度，再向右爬行 5 个单位长度到点C，则点 C 表示的数是 2．14．已知 |m| ＝ 15， |n| ＝ 27，且 m＋ n>0，则 m－ n＝－ 12 或－ 42．三、解答题 ( 共 52 分)15．(8 分 ) 将下列各数填在相应的集合里：31＋6，－ 2，－ 0.9 ，－ 15， 1，5， 0， 34， 0.63 ，－ 4.92.15316．(8分 ) 在数轴上表示下列各数：－2， | － 2| ，－ ( － 3) ， 0，2，－ ( ＋2) ，并用“ <”将它们连接起来．解：在数轴上表示数略．315－( ＋2)< －2<0<| － 2|< 2<－ ( －3) ．17．(16 分 ) 计算：(1)( －10) ＋( ＋7) ；解：原式＝－ 3.5 1(2)( ＋2) －( －3) ；176(3)12 － ( －18) ＋ ( －7) － 15；解：原式＝ 12＋ 18－(7 ＋ 15)＝30－ 22＝8.12411(4)2＋(－3)－(－5)＋(－2)－(＋3)．11214解：原式＝ ( 2－2) ＋(－3－3) ＋5＝0－1＋451＝－5.(1)求 a， b 的值；(2)求 8－ a＋ b－ c 的值．解： (1) 因为 a 的相反数是3， b 的绝对值是7，所以 a＝－ 3， b＝± 7.(2)因为 a＝－ 3， b＝± 7， c 与 b 的和是－ 8，所以当 b＝7 时， c＝－ 15，当 b＝－ 7 时， c＝－ 1.当 a＝－ 3， b＝ 7， c＝－ 15 时，8－ a＋ b－ c＝ 8－ ( －3) ＋ 7－( － 15) ＝33；当 a＝－ 3， b＝－ 7， c＝－ 1 时，8－ a＋ b－ c＝ 8－ ( －3) ＋ ( －7) － ( － 1) ＝ 5.19．(10 分 ) 某自行车厂本周计划每天生产100 辆自行车，由于工人实行轮休，每天上班人数不一定相等，实际每天产量与计划产量对比如下表：( 超出的辆数为正数，不足的辆数为负数)星期一二三四五六日增减－5＋4－3＋4＋10－2－15(1)本周总产量与计划产量相比，增加( 或减少 ) 了多少辆？(2)日平均产量与计划产量相比，增加( 或减少 ) 了多少辆？解： (1)( －5) ＋4＋( －3) ＋4＋10＋( －2)＋( －15) ＝－ 7( 辆) ．答：本周总产量与计划产量相比，减少了7 辆．(2)( － 7) ÷7＝－ 1( 辆 ) ．答：日平均产量与计划产量相比，减少了 1 辆．。

北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算 计算题专题练习题专题(一) 有理数的加减运算1、计算：(－2)＋3＋1＋(－3)＋2＋(－4)．解：原式＝[(－2)＋2]＋[3＋(－3)]＋1＋(－4)＝0＋0＋1＋(－4)＝－3.2、计算：(＋9)－(＋10)＋(－2)－(－8)＋3.解：原式＝9－10－2＋8＋3＝(9＋8＋3)－(10＋2)＝20－12＝8.3、计算：(1)－23－35＋78－13－25＋18； 解：原式＝(－23－13)＋(－35－25)＋(78＋18) ＝－1－1＋1＝－1.(2)－479－(－315)－(＋229)＋(－615)． 解：原式＝[－479－(＋229)]＋[－(－315)＋(－615)] ＝－7－3＝－10.4、计算：|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋|－18|＋78. 解：原式＝0.75－3＋0.25＋18＋78＝(0.75＋0.25)＋(18＋78)－3 ＝1＋1－3＝－1.5、计算：－156＋(－523)＋2434＋312. 解：原式＝(－1－56)＋(－5－23)＋(24＋34)＋(3＋12) ＝[(－1)＋(－5)＋24＋3]＋[(－56)＋(－23)＋34＋12] ＝21＋(－14) ＝2034. 6、计算：634＋313－514－312＋123. 解：原式＝6＋34＋3＋13－5－14－3－12＋1＋23＝(6＋3－5－3＋1)＋(34＋13－14－12＋23) ＝2＋1＝3.7、计算：(1)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)；解：原式＝－7－5－4＋10＝－6.(2)3.5－4.6＋3.5－2.4；解：原式＝(3.5＋3.5)＋(－2.4－4.6)＝7－7＝0.(3)－9＋6－(＋11)－(－15)；解：原式＝－9＋6－11＋15＝(－9－11)＋(6＋15)＝－20＋21＝1.(4)12＋(－23)＋45＋(－12)＋(－13)； 解：原式＝[12＋(－12)]＋[(－23)＋(－13)]＋45＝0＋(－1)＋45＝－15.(5)－478－(－512)＋(－412)－318；解：原式＝－478＋512－412－318＝(－478－318)＋(512－412) ＝－8＋1＝－7.(6)0.25＋112＋(－23)－14＋(－512)； 解：原式＝14＋112＋(－23)－14＋(－512) ＝(14－14)＋[112＋(－23)＋(－512)] ＝－1.(7)|－12|－(－2.5)－(－1)－|0－212|； 解：原式＝12＋2.5＋1－212＝(12＋1)＋(2.5－212) ＝112.(8)－205＋40034＋(－20423)＋(－112)； 解：原式＝(－205)＋400＋34＋(－204)＋(－23)＋(－1)＋(－12) ＝(400－205－204－1)＋(34－23－12)＝－10＋(－512) ＝－10512.(9)0＋1－[(－1)－(－37)－(＋5)－(－47)]＋|－4|； 解：原式＝1－[(－1)＋37－5＋47]＋4 ＝1－[(－1＋37＋47)－5]＋4 ＝10.(10)－12－16－112－120－130－142－156－172； 解：原式＝－(12＋16＋112＋120＋130＋142＋156＋172) ＝－(1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＋16－17＋17－18＋18－19) ＝－(1－19) ＝－89.(11)1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋97－98－99＋100.解：原式＝(1－2)＋(－3＋4)＋(5－6)＋(－7＋8)＋…＋(97－98)＋(－99＋100) ＝－1＋1－1＋1－…－1＋1＝0.8、观察下列各式：12＝11×2＝1－12，16＝12×3＝12－13，112＝13×4＝13－14，…，根据规律完成下列各题．(1)19×10＝19－110； (2)计算12＋16＋112＋120＋…＋19 900的值为99100．专题(二) 有理数的混合运算1、计算：531×(－29)×(－2115)×(－412)． 解：原式＝－531×29×3115×92＝－(531×3115)×(29×92) ＝－13×1 ＝－13.2、计算：(14－16＋124)×(－48)． 解：原式＝14×(－48)－16×(－48)＋124×(－48) ＝－12＋8－2＝－6.3、计算：4×(－367)－3×(－367)－6×367. 解：原式＝－367×(4－3＋6) ＝－27.4、计算：(16－27＋23)÷(－542)． 解：原式＝(16－27＋23)×(－425) ＝16×(－425)－27×(－425)＋23×(－425) ＝－75＋125－285＝－235.5、计算：(能用简便方法的尽量用简便方法计算)(1)－0.75×(－112)÷(－214)； 解：原式＝－34×(－32)×(－49)＝－12.(2)－(3－5)×32÷(－1)3；解：原式＝－(－2)×9÷(－1)＝－2×9÷1＝－18.(3)(－1.5)×45÷(－25)×34； 解：原式＝32×45×52×34＝94.(4)－14＋16÷(－2)3×(－3－1)；解：原式＝－1＋16÷(－8)×(－4)＝－1＋8＝7.(5)(－5)÷(－127)×(－214)÷7； 解：原式＝－5×79×94×17＝－54.(6)0.7×1949＋234×(－14)＋0.7×59＋14×(－14)； 解：原式＝0.7×(1949＋59)－14×(234＋14) ＝0.7×20－14×3＝－28.(7)391314×(－14)； 解：原式＝(40－114)×(－14)＝40×(－14)－114×(－14) ＝－560＋1＝－559.(8)1318÷(－7)； 解：原式＝1318×(－17) ＝(14－78)×(－17) ＝－2＋18＝－178.(9)12.5×6.787 5×18＋1.25×678.75×0.125＋0.125×533.75×18； 解：原式＝(12.5×6.787 5＋1.25×678.75＋0.125×533.75)×18＝[125×(0.678 75＋6.787 5＋0.533 75)]×18＝125×8×18＝125.(10)(－5)－(－5)×110÷110×(－5)； 解：原式＝(－5)－(－5)×110×10×(－5)＝－5－25＝－30.(11)(－42)÷(223)2＋512×(－16)－(－0.5)2； 解：原式＝(－16)÷649－1112－14＝－94－1112－14＝－4112.(12)148÷(38－56＋14)； 解：因为(38－56＋14)÷148＝(38－56＋14)×48 ＝38×48－56×48＋14×48 ＝18－40＋12＝－10，所以148÷(38－56＋14)＝－110.(13)(－12)÷(－4)－27÷(－3)×(－13)； 解：原式＝3－9×13＝3－3＝0.(14)(－2)3－16×(38－1)＋2÷(12―14―16)． 解：原式＝－8－16×38＋16＋2÷(612－312－212) ＝－8－6＋16＋2÷112＝2＋24＝26.。

第二章知识点整理七年级上册第二章有理数及其运算1.有理数:有理数=整数+分数(包括有限小数+无限循环小数)整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数有理数=正有理数+0+负有理数正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数l 正数的概念：数轴上0右边的数即比0大的数叫正数，形如+1，+0.5，+10.1，0.001…l 负数的概念：数轴上0左边的数，形如-3，-0.2，-100…〔负号不能省略〕.l 0既不是正数也不是负数，0是整数也是偶数.①正负数的表示方法：盈利，亏损；足球比赛胜，负；收入，支出；提高，降低；上升，下降；②不投入不支出，不盈也不亏，海平面的海拔，某一个标准或基准….用0表示；2.数轴：概念：规定了原点，正方向和单位长度的直线数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：原点，正方向，单位长度；画法：首先画一条直线；在这条直线上任取一点，作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正，画上箭头，反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度；数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

有理数的大小比拟：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.3. 相反数：〔1〕只有符号不同的两个数叫做互为相反数〔在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧，并且到原点的距离相等〕，0的相反数是0；a,b互为相反数 a+b=0;〔2〕求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-〞即得原数的相反数，当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-〞；下面的a,b即可以是数字，字母，也可以是代数式；〔3〕一般地，数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数、0.4. 绝对值：〔1〕几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；〔2〕代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.〔3〕对于任何有理数a，都有a的绝对值≥0 ,即绝对值非负性；假设几个数的绝对值的和等于0，那么这几个数同时为0；〔4〕比拟两个负数，绝对值大的反而小；5.倒数：〔1〕乘积为1的两个数互为倒数，所以数a(a≠0) 的倒数是 1/a，0没有倒数；〔2〕求一个整数的倒数，写成这个整数分之一；求一个小数的倒数，先将其化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，先将其化为假分数，再求出倒数.〔3〕用1除以一个非0数，商就是这个数的倒数.6. 有理数的四那么运算：⑴加法法那么：①同号两数相加，符号不变，把绝对值相加；②异号两数相加，绝对值相等时〔即互为相反数的两个数〕相加得0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数；有理数加法运算律：交换律和结合律〔互为相反数的可先相加；相加可得整数的可先相加；同分母的分数可先相加；符号相同的可先相加；易于通分的可先相加〕.⑵减法法那么：①减去一个数，等于加上这个数的相反数，依据加法法那么②加减混合运算，通过减法法那么将减法转化为加法，统一成只含有加法运算的和式；减法没有交换律.⑶乘法法那么：①两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；②任何数同0相乘，得0；〔另外1乘任何数都等于这个数本身；-1乘以任何数都等于这个数的相反数.〕③几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正.乘法的运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律.⑷除法法那么：①两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除；② 0除以任何非0的数都得0.③除以一个数，等于乘上这个数的倒数，即 .⑸乘方：①求几个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂；，表示n个相同因数乘积的运算；②负数乘方要用括号括起来；分数乘方要用括号括起来；当指数是1时，可省略不写；③正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数〔奇次幂2n+1,2n-1; 偶次幂 2n〕；0的正整数次幂都是0.⑹混合运算：①从左到右的顺序进行；②先乘方，再乘除，后加减；如有括号，应先算括号里面的；7. 科学记数法〔1〕把一个大于10的数表示成的形式〔其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1，〕，这种记数方法叫科学记数法；〔2〕准确数与近似数：与实际完全相符的数是准确数；与实际相接近的数是近似数；〔3〕精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示；一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位；所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量；〔4〕有效数字：在近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数；。

北师⼤版七年级上册数学第⼆章相反数（知识点归纳题型总结）相反数知识点总结1.相反数的概念：在数轴上分别位于原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表⽰的数，叫做互为相反数。

特别地，0的相反数是0。

（1）“0的相反数是0”是相反数定义的⼀部分，千万不能把它漏掉.（2）相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的⼀个数不能说是相反数.（3）注意区别“相反数”与“相反意义的量”。

前者是指具有相反符号的⼀对数，后者指相对具有相反意义的量。

2.相反数的性质：任何⼀个数都有相反数，⽽且只有⼀个相反数，正数的相反数⼀定是负数；负数的相反数⼀定是正数；0的相反数仍是0. 若两个数互为相反数，则它们的和为0.3.相反数的表⽰⽅法：⼀般的，⼀个数a的相反数可以表⽰为-a。

（1）数a表⽰任意⼀个数，可以是正数、负数和0，还可以表⽰任意的⼀个式⼦。

（2）⼀个数的前⾯加上“-”号表⽰这个数的相反数，加上“+”号表⽰这个数本⾝。

4.相反数的求法：（1）-a的相反数是-（-a），即a；（2）a+b的相反数是-（a+b）；（3）-（-2）的相反数是-[-(-2)]，即-2.5.多重符号的化简：当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负。

题型1：对相反数的认识1.下列说法正确的是（）A、若两个数互为相反数,则这两个数⼀定是⼀个正数,⼀个负数；B、如果两个数互为相反数,则它们的商为-1；C、如果 a+ b=0,则数 b和数a 互为相反数；D、互为相反数的两个数⼀定不相等；2.下列说法正确的是（）A、正数和负数互为相反数B、a的相反数是负数C、相反数等于它本⾝的数只有0D、-a的相反数是正数3.下列说法正确的是（）A．带“＋号”和带“－”号的数互为相反数B．数轴上原点两侧的两个点表⽰的数是相反数C．和⼀个点距离相等的两个点所表⽰的数⼀定互为相反数D．⼀个数前⾯添上“－”号即为原数的相反数4.下列叙述正确的是（）A．符号不同的两个数互为相反数 B．⼀个数的相反数⼀定是负数C．⾮负数的相反数是⾮整数 D．正数的相反数是分数5.⼀个数的相反数⼩于它本⾝，这个数是（）A．正数 B．负数 C．⾮正数 D．⾮负数6.⼀个数的相反数⼤于它本⾝，这个数是（）A．正数 B．负数 C．⾮正数 D．⾮负数7.⼀个数的相反数是⾮负数，则这个数⼀定是（）A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或08.⼀个数的相反数是⾮正数，则这个数⼀定是（）A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或09.下列说法中不正确的是（）A ．⼀个数与它倒数之积是1B ．⼀个数与它的相反数之商为-1C ．两个数的商为-1，这两个数互为相反数D ．两个数的积为1，这两个数互为倒数．10. 如果a=-a ，那么表⽰a 的点在数轴上的位置是（）A ．原点左侧B ．原点右侧C ．原点D ．原点或原点右侧11. 如果a 表⽰有理数，那么下列说法中正确的是（）A ．+a 和﹣（﹣a ）互为相反数B ．+a 和﹣a ⼀定不相等C ．﹣a ⼀定是负数D ．﹣（+a ）和+（﹣a ）⼀定相等12. 如果a+b=0，那么a 与b 之间的关系是（）13. 若a 的相反数是b ，则下列结论错误的是（）A ．a=-bB ．a+b=0；C ．a 和b 都是正数D ．⽆法确定a ，b 的值14. 判断(1)符号相反的数叫相反数；（）(2)数轴上原点两旁的数是相反数；（）(3) -(-3)的相反数是3；（）(4) -a ⼀定是负数；（） (5)若两个数之和为0，则这两个数互为相反数；（）(6)若两个数互为相反数，则这两个数⼀定是⼀个正数⼀个负数。