湖北省武汉市武昌区2011届高三年级元月调研测试 数学理

参考答案一、选择题：1．A 2．B 3．B 4．B 5.B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C二、填空题：11． 0 12． a n ＝2n ，或a N ＝2N 13.14.（Ⅰ）126；（Ⅱ）34579 15． 4 16． 2三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为()a x x x f ++=2cos 2sin 3，所以()a x x f ++=)62sin(2π.因为时，，所以时的取得最小值.依题意，，所以；…………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1)62sin(2++=πx x f . 要使，即. 所以Z ∈+≤+≤-k k x k ,6726262πππππ，即Z ∈+≤≤-k k x k ,26ππππ. 当时，；当时，.又，故使成立的x 的集合是.…………………………（11分）18．解：（Ⅰ）设数列的公差为，依题意，1，，成等比数列，所以，即，所以或.因此，当时，；当时，.…………………………………（6分）（Ⅱ）当时，，此时不存在正整数n ，使得； 当时，()()12121531311+⨯-++⨯+⨯=n n T n )]121121()5131()3111[(21+--++-+-=n n 12)1211(21+=+-=n n n . 由，得，解得.故的最大值为1006. …………………………………………………（12分）19．解：设.以D 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：，，，，,，, ,,.（Ⅰ）因为，， 所以()()02,2,22,2,11=--⋅--=⋅x x E C F A .所以.………………………………………（4分）（Ⅱ）因为BEF BEF BEF B S BB S V ∆∆-=⨯=323111， 所以当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值.因为()()11122≤--=-=∆x x x S BEF ， 所以当时，即E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点时，三棱锥B 1-BEF 的体积取得最大值，此时E ，F 坐标分别为,.设平面的法向量为， 则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅=--⋅=⋅,00,1,1,,,02,1,0,,1c b a c b a B 得 取，得.显然底面的法向量为.设二面角的平面角为，由题意知为锐角. 因为31||||,cos -=⋅>=<n m ，所以，于是. 所以，即二面角的正切值为.………………………………（12分）20．解：（Ⅰ）设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则 P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P (A 2)＝0.05，所以P (B )＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049. …………………………………………………（6分） （Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为027.0)7.01()0(303=-⋅==C X P ，189.0)7.01(7.0)1(213=-⋅⋅==C X P ，441.0)7.01(7.0)2(223=-⋅⋅==C X P ，343.07.0)3(333=⋅==C X P .X 的分布列为因为X ～B (3，0.7)12分）21．解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 解得a 2＝6，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程是. …………………………………………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线PQ 的方程为x ＝my +2，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1. 消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3. 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为.因为，所以直线FT 的斜率为，其方程为.当时，，所以点的坐标为，此时直线OT 的斜率为，其方程为.将M 点的坐标为代入，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m . 解得. ………………………………………………（8分） （ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线上任意一点可得，点T 点的坐标为.于是，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m ]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m . 所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m 414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(3，1)或(3，－1)．…………………………………………（14分）22．解：（Ⅰ）由，得.又，所以.所以，.由，得.所以函数在区间上单调递减，在上单调递增. ………………（4分） (Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知4ln 112ln 2e)2(ln )(2ln min -=--==f x f .所以，即，.令，则.所以在上单调递增，所以0)0(1e )(2=>--=g x x g x ，即.……（8分） (Ⅲ)首先证明：当时，恒有.证明如下：令，则.由(Ⅱ)知，当时，，所以，所以在上单调递增，所以，所以.所以，即.依次取，代入上式，则，，nn n n 1ln 33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312nn n n n +⨯⨯⨯>+++++ 所以()1ln 33ln )131211(+>++++++n n nn ， 所以()n n n n --+>++++3ln 1ln 3131211 ，即()n n n n e 31ln 1312113+>++++ .………（14分） 另解：用数学归纳法证明（略）。

武昌区2011届高三年级元月调研测试理科数学试题参考答案及评分细则一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D C B B D AD 二、填空题11．[)(]1,00,4 -； 12．96； 13.25； 14．(3,8)； 15．①②④三、解答题16．（本小题满分12分）解:（Ⅰ）由余弦定理即已知条件得，422=-+ab b a .……………………2分 又因为ABC ∆的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得4=ab .………………4分联立方程，得⎩⎨⎧=-+=,4,422ab b a ab 解得2,2==b a .………………6分（Ⅱ）由题意的()()A A A B A B cos sin 4sin sin =-++，即A A AB c o s s i n 2c o s s i n =.………7分当0cos =A 时，6,2ππ==B A ，332,334==b a .当0cos ≠A 时，得A B sin 2sin =，由正弦定理得，a b 2=.………………9分 联立方程，得⎩⎨⎧=-+=4222ab b a a b ，解得334,332==b a .所以ABC ∆的面积为332sin 21==∆C ab S ABC ．………………12分17．（本小题满分12分）解：如图，饮料罐的表面积222R Rh S ππ+=.…………2分由h R V 2π=，得2R Vh π=，则()02222222>+=+=R R R V R R V R S ππππ.………4分 令0422/=+-=R R VS π，解得32πV R =………6分 当320πV R <<时，0/<S ,当32πV R >时，0/>S .………………8分 所以32πV R =时，S 取得最小值，并且这个极小值是最小值.………………10分把32πV R =代入2R V h π=，得322πV h =，即R h 2=.………………11分 答：当饮料罐的高与底面的直径相等时，所用材料最省. …………12分18.（本小题满分12分） 解：设222===PA AB BC .（Ⅰ）过A 作PD AN ⊥于N,连结MN . ⊥PA 面ABCD ，CD PA ⊥∴.又AD CD ⊥，⊥∴CD 面PAD . ⊥∴CD AN .⊥∴AN 面PCD .则AMN ∠为直线AM 与平面PCD 所成的角. …………3分在PAM ∆中，1cos 222=∠⋅⋅-+=APM PM PA PM PA AM .在PAD Rt ∆中，求得52=AN .552sin ==∠∴AM AN AMN .………………6分 （Ⅱ）过B 作⊥BE 平面PCD 于E ，过点B 作PC BF ⊥于F.连结EF ,则PC EF ⊥.∴BFE ∠为二面角D PC B --的的平面角的补角. ………………8分在PBC Rt ∆中,求得32=BF .由PAC B BCD P V V --=,得1122131512131⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅BE ,解得52=BE .…………………10分 在AEF Rt ∆中,求得515sin ==∠BF BE BFE . 所以所求二面角的大小为515arcsin -π.…………………………12分 19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）直线1MA 和2MA 的斜率分别为1+x y 与1-x y ()1±≠x依题意311=-⨯+x y x y ，即3322-=-x y . 所求轨迹方程为1322=-y x ()1±≠x . …………5分 （Ⅱ）假设存在点()y x M ,()1>x ，使()y x M ,到点()0,2-B 和点的距离之和MC MB +最小，由（Ⅰ）可知，点()y x M ,在双曲线1322=-y x ()1±≠x 的右支上， 由双曲线的定义知右焦点为()0,2F ，……………6分22=CF 且2=-MF MB ，即2+=MF MB .……………8分 所以22222+=+≥++=+CF MF MC MC MB .……………10分当三点F M C ,,共线时MC MB +最小值为222+.……………11分这时，直线2:=+y x CF 代入双曲线1322=-y x ()1±≠x ,得07422=-+x x . 解得2231±-=x ，因为1>x ，所以2231+-=x ，此时22332-=-=x y . 因此存在一点⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2233,2231M ，使MC MB +最小.……………12分 20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1=n 时，324412111-+==a a a S ，得034121=--a a ，31=a 或11-=a ，由条件0>n a ，所以31=a . ………………2分当2≥n 时，3242-+=n n n a a S ，3241211-+=---n n n a a S则32324412121+---+=----n n n n n n a a a a S S ，所以1212224----+=n n n n n a a a a a ，()()0211=--+--n n n n a a a a ， ………………4分由条件01>+-n n a a ，所以21=--n n a a ， ………………5分故正数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以12+=n a n . ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）n n a n n b 2221121===-+-，n n n n b a 212+=，………………7分 ∴n n n n n T 212212272523132++-++++=- .…………① 将上式两边同乘以21，得143221221227252321+++-++++=n n n n n T …………② ………………8分①—②，得∴1322122222222321++-++++=n n n n T =125225++-n n .所以52525<+-=nn n T .………………10分 又231=T ，4112=T ，8293=T ，416774>=T . ………………11分 若c n T nn <+-=2525恒成立， ∴使c T n <恒成立的最小正整数c 是5. ………………13分21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由01>+x ,得1->x .∴()x f 的定义域为()+∞-,1.………………………………1分因为对x ∈()+∞-,1,都有()()1f x f ≥，∴()1f 是函数()x f 的最小值，故有()01='f .…………2分,022,12)(/=+∴++=b x b x x f 解得4-=b . ………………………3分 经检验，4-=b 时，)(x f 在)1,1(-上单调减，在),1(+∞上单调增.)1(f 为最小值.故得证. …………4分 （Ⅱ）∵,12212)(2/+++=++=x b x x x b x x f 又函数()x f 在定义域上是单调函数，∴()0≥'x f 或()0≤'x f 在()+∞-,1上恒成立.…………6分若()0≥'x f ，则012≥++x b x 在()+∞-,1上恒成立, 即x x b 222--≥=21)21(22++-x 恒成立,由此得≥b 21；……………………8分 若()0≤'x f ,则012≤++x b x 在()+∞-,1上恒成立, 即x x b 222--≤=21)21(22++-x 恒成立. 因21)21(22++-x 在()+∞-,1上没有最小值，∴不存在实数b 使()0≤'x f 恒成立. 综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.………………………10分（Ⅲ）当1-=b 时，函数()()1ln 2+-=x x x f . 令()()()1ln 233+-+-=-=x x x x x f x h ，则()()1131123232+-+-=+-+-='x x x x x x x h .当()+∞∈,0x 时，()0<'x h ，所以函数()x h 在()+∞,0上单调递减.又()00=h ，∴当[)+∞∈,0x 时，恒有()()00=<h x h ，即()321ln x x x <+-恒成立. 故当()+∞∈,0x 时，有()3x x f <.……………………………………12分*∈N k ，()+∞∈∴,01k .取k x 1=，则有311k k f <⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴33311312111n k f n k +⋅⋅⋅+++<⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=.所以结论成立. ………………………………………14分。

理 科 数 学 试 卷本试题卷共5页，共22题。

满分150分，考试用时120分钟★祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。

2．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷上无效。

3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。

答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。

4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，若i 3)i 3(-=+z ,则=||z A ．1 B ．2C ．3D ．22．已知⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≤-≤-=1|1|1|1|),(y x y x A ,()()}111|),{(22≤-+-=y x y x B ，“存在点A P ∈”是“B P ∈”的A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 3．若62)(xb ax +的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．根据如下样本数据y 就 A ．增加4.1个单位 B ．减少4.1个单位C ．增加2.1个单位D ．减少2.1个单位5.如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面α上.用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为圆S 和圆环S ，那么A ．圆S >圆环SB ．圆S =圆环SC ．圆S <圆环SD ．不确定6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是A ．24+26和40B ．24+26和72C ．64+26和40D ．50+26和727．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 8．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0,—1)，B (π,—1)，C (π,1)，D (0,1)，正弦曲线f (x )=sin x 和余弦曲线g (x )=cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是A ．π21+ B ．π221+ C ．π1D ．π219．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足32π=∠AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 A ．3 B ．23C ．33D ．4310．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，它的图象关于直线1=x 对称，且()x x f =()10≤<x .若函数()a xx f y --=1在区间[]10,10-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 A ．]54,54[-B ．)54,54(- C ．]101,101[- D ． )101,101(-俯视图 正视图侧视图二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点, F 为AD 的中点,则=⋅_______.12．根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是_______.13.设斜率为22的直线l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 交于不同的两点P 、Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是 .14. “渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）. （Ⅰ）共有 个五位“渐升数”（用数字作答）；（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是 .（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若PA ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧+==at y t x ,（t 为参数，a 为实数常数），曲线2C 的参数方程是⎩⎨⎧+-=-=bt y t x ,（t 为参数，b 为实数常数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程是1=ρ. 若1C 与2C 分曲线3C 所成长度相等的四段弧，则=+22b a .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分11分）已知函数a x x x x x f +-+-++=22sin cos )62sin()62sin()(ππ的在区间]2,0[π上的最小值为0.（Ⅰ）求常数a 的值；（Ⅱ）当],0[π∈x 时，求使0)(≥x f 成立的x 的集合.18．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的首项为1，前n 项和为n S ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n T 为数列}1{1nn a a +的前n 项和，是否存在正整数n ，使得20151007<n T ？若存在，求n 的最大值；若不存在，说明理由.19．（本小题满分12分）如图,在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE=BF .（Ⅰ）求证：A 1F ⊥C 1E ；（Ⅱ）当三棱锥BEF B -1的体积取得最大值时，求二面角B EF B --1的正切值.AB CD EF A 1B 1C 1D 120．（本小题满分12分）（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（Ⅱ）用X 表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X 的分布列和数学期望．21．（本小题满分14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为1:3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线)2,(≠∈=t t t x R 上纵坐标不为0的任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求t 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当||||PQ TF 最小时，求点T 的坐标．22．（本小题满分14分）已知函数1e )(--=ax x f x(a 为常数)，曲线y ＝f (x )在与y 轴的交点A 处的切线斜率为－1.(Ⅰ)求a 的值及函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)证明：当0>x 时，1e 2+>x x ；(Ⅲ)证明：当*∈N n 时，()nn n e)3(1ln1312113+>++++ .武昌区2015届高三年级元月调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题：1．A 2．B 3．B 4．B 5.B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C 二、填空题：11． 0 12． a n ＝2n，或a N ＝2N13. 214.（Ⅰ）126；（Ⅱ）34579 15． 4 16． 2 三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为()a x x x f ++=2cos 2sin 3，所以()a x x f ++=)62sin(2π.因为]2,0[π∈x 时，]67,6[62πππ∈+x ，所以67π=x 时)(x f 的取得最小值a f +-=1)67(π. 依题意，01=+-a ，所以1=a ；…………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1)62sin(2++=πx x f .要使()0≥x f ，即21)62sin(-≥+πx . 所以Z ∈+≤+≤-k k x k ,6726262πππππ，即Z ∈+≤≤-k k x k ,26ππππ. 当0=k 时，26ππ≤≤-x ；当1=k 时，2365ππ≤≤x .又],0[π∈x ，故使0)(≥x f 成立的x 的集合是],65[]2,0[πππ .………………………………（11分）18．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，1，d +2，d 64+成等比数列，所以()d d 6422+=+，即022=-d d ，所以0=d 或2=d .因此，当0=d 时，1=n a ；当2=d 时，12-=n a n .……………………………………………（6分）（Ⅱ）当1=n a 时，1≥=n T n ，此时不存在正整数n ，使得20151007<n T ； 当12-=n a n 时，()()12121531311+⨯-++⨯+⨯=n n T n)]121121()5131()3111[(21+--++-+-=n n 12)1211(21+=+-=n nn .由20151007<n T ，得2015100712<+n n ，解得1007<n .故n 的最大值为1006. …………………………………………………（12分）19．解：设x BF AE ==.以D 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：()0,0,0D ，()0,0,2A ，()0,2,2B ，()0,2,0C ，()2,0,01D ,()2,0,21A ，()2,2,21B ,()2,2,01C ,()0,,2x E ,()0,2,2x F -.（Ⅰ）因为)2,2,(1--=x F A ，)2,2,2(1--=x E C ， 所以()()02,2,22,2,11=--⋅--=⋅x x C A .所以E C F A 11⊥.………………………………………（4分） （Ⅱ）因为BEF BEF BEF B S BB S V ∆∆-=⨯=323111， 所以当BEF S ∆取得最大值时，三棱锥BEF B -1的体积取得最大值. 因为()()11122≤--=-=∆x x x S BEF ，所以当1=x 时，即E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点时，三棱锥B 1-BEF 的体积取得最大值，此时E ，F 坐标分别为()0,1,2E ,()0,2,1F .设平面EF B 1的法向量为()c b a ,,=，则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅=--⋅=⋅,00,1,1,,,02,1,0,,1c b a EF m c b a E B m 得⎩⎨⎧=-=+.0,02b a c b 取1,2,2-===c b a ，得()1,2,2-=.显然底面ABCD 的法向量为()1,0,0=. 设二面角B EF B --1的平面角为θ，由题意知θ为锐角. 因为31||||,cos -=⋅>=<n m n m ，所以31cos =θ，于是322sin =θ. 所以22tan =θ，即二面角B EF B --1的正切值为22.………………………………（12分）20．解：（Ⅰ）设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P (A 2)＝0.05，所以P (B )＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049. …………………………………………………（6分） （Ⅱ）X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为027.0)7.01()0(303=-⋅==C X P ，189.0)7.01(7.0)1(213=-⋅⋅==C X P ，x441.0)7.01(7.0)2(223=-⋅⋅==C X P ，343.07.0)3(333=⋅==C X P .X 的分布列为因为X ～B (3，0.7)（12分）21．解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 解得a 2＝6，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . …………………………………………………（4分） （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线PQ 的方程为x ＝my +2，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3. 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm . 因为PQ TF ⊥，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y . 当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=. 将M 点的坐标为)32,36(22+-+m m m 代入，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m .解得3=t . ………………………………………………（8分）（ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线3=x 上任意一点可得，点T 点的坐标为),3(m -. 于是1||2+=m TF ，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m . 所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m 414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值33． 故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(3，1)或(3，－1)．………………………………………………（14分）22．解：（Ⅰ）由1e )(--=ax x f x ，得a x f x -='e )(.又11)0(-=-='a f ，所以2=a .所以12e )(--=x x f x ，2e )(-='xx f .由02e )(>-='xx f ，得2ln >x .所以函数)(x f 在区间)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增. ……………………（4分）(Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知4ln 112ln 2e )2(ln )(2ln min -=--==f x f . 所以4ln 1)(-≥x f ，即4ln 112e -≥--x x，04ln 22e >-≥-x x. 令1e )(2--=x x g x，则02e )(>-='x x g x.所以)(x g 在),0(+∞上单调递增，所以0)0(1e )(2=>--=g x x g x ，即1e 2+>x x .…………（8分）(Ⅲ)首先证明：当0>x 时，恒有331e x x>. 证明如下：令331e )(x x h x-=，则2e )(x x h x -='. 由(Ⅱ)知，当0>x 时，2e x x >，所以0)(>x h ，所以)(x h 在),0(+∞上单调递增，所以01)0()(>=>h x h ，所以331e x x>. 所以)31ln(3x x >，即x x ln 33ln >+.依次取nn x 1,,23,12+= ，代入上式，则12ln 33ln 12>+，23ln 33ln 23>+， nn n n 1ln 33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312n n n n n +⨯⨯⨯>+++++ 所以()1ln 33ln )131211(+>++++++n n nn ，所以()n n n n --+>++++3ln 1ln 3131211 ，即()n n n n e31ln 1312113+>++++ .………（14分）另解：用数学归纳法证明（略）。

武昌区 2017 届高三年级元月调研考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1．设,A B 是两个非空集合，定义集合{}|A B x x A -=∈∈且x B ．若{}|05,A x N x =∈≤≤{}2|7100B x x x =--<,则 （）A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}2．已知复数2a iz i +=-（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是( )A.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.(),2-∞-D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3．执行如图所示的程序框图，若输入的 x = 2017 ，则输出的i = ( )A ．2B ．3C ．4D ．54．已知函数f ( x )=2ax –a +3 ，若0x ∃()1,1∈-， f ( x 0 )=0 ，则实数 a 的取值范围是( )A. ()(),31,-∞-+∞B. (),3-∞-C. ()3,1-D.()1,+∞5．小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A ＝“4 个人去的景点不相同”， 事件B =“小赵独自去一个景点”，则P ( A |B )=( )A. 29B.13C.49D. 596．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为 12.6（立方寸），则图中的x =（ ）A. 1.2B. 1.6C. 1.8D.2.47.若n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（ ） A. -270 B. 270 C. -90 D.908．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A. 甲B. 乙C.丙D.丁9．已知函数 f ( x ) 的部分图象如图所示，则 f ( x ) 的解析式可以是（ ）A. ()222x f x x -=B. ()2cos x f x x = C. ()2cos x f x x = D. ()cos x f x x= 10.设 x ，y 满足约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =( )A. -5B. 3C. -5或3D.5或-311. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交l 1 ，l 2 于 A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF 与FB 反向，则该双曲线的离心率为( )B. D.5212. 在锐角三角形ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若2sin a b C =，则tan A+ tan B+tan C 的最小值是( )A. 4B.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 13．已知抛物线 Γ：y 2 8x 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为K ，点 P 在 Γ 上且PK ,则PKF ∆的面积为 .14.函数()sin 25sin 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为 . 15. 已知平面向量,a b 的夹角为 120°，且1,2a b ==．若平面向量 m 满足1m a m b ⋅=⋅=，则m = .16.若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，即 AB=CD ，AC =BD ，AD =BC ．给出下列结论：①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体 ABCD 每个面的面积相等；③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180；④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=9 ，a 2为整数，且5.n S S ≤（1）求{a n }的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：4.9n T ≤18.（本题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面 SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1 ．（Ⅰ）证明：SD ⊥平面 SAB ；（Ⅱ）求 A B 与平面 SBC 所成角的正弦值．18.（本题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准 x （吨），用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的 分布情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5) ，[0.5,1) ，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中 a 的值；（Ⅱ）若该市政府希望使 85﹪的居民每月的用水量不超过标准 x （吨），估计 x 的值，并说明理由；（Ⅲ）已知平价收费标准为 4 元/吨，议价收费标准为 8元/吨．当 x =3时，估计该市居民的月平均水费．（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）20.（本题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点，直线()0y kx k =>与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E,F 两点.（1）若6ED DF =，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()()211ln .2f x x a x a x =+-- （1）讨论()f x 的单调性；（2）设0a >，证明：当0x a <<时，()()f x a f a x +<-；（3）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：120.2x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

湖北省武汉市武昌区2011届高三年级元月调研测试理科综合试卷★祝考试顺利★本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共126分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共21小题，每小题6分，共126分。

可能用到的相对原子质量：H－1 C－12 N－14 O－16 Si－28 S－32 Fe－56一、选择题：（本题包括13小题．每小题只有一个选项符合题意）．．．．1．下列关于组成生物体的化学元素的说法中，正确的是A．在肺炎双球菌的化学组分中,P元素仅存在于DNA和RNA 分子中B．O元素是活细胞中含量最多的元素，C元素是生物体内最基本的元素C．人体内血钠含量过低，会引起心肌的自动节律异常，甚至导致心律失常D．随着叶龄的增加，叶片中各种元素的含量将逐渐增加2．下列有关动物和人体内激素的叙述，正确的是A．胰岛A细胞分泌的胰高血糖素促进葡萄糖合成为糖元B．生长激素和性激素均能与双缩脲试剂发生作用，产生紫色反应C．垂体分泌的孕激素能够调控某些动物对幼仔的照顾行为D．人在寒冷的环境中，血液中的甲状腺激素和肾上腺素都将增加3．下列有关生物变异的叙述，正确的是A．发生在真核细胞基因编码区的碱基改变，不一定会导致可遗传变异B．无籽番茄是用秋水仙素处理番茄幼苗形成的，属于染色体变异C．同源染色体的非姐妹染色单体之间局部交叉互换不会导致基因重组D．基因突变和基因重组两者都能够丰富种群的基因库并改变基因频率4A．甲图表示氧气浓度对人体红细胞K+的吸收速度的影响B．乙图中432C．丙图中，施用含该元素的肥料到a浓度时最有利于植物生长D．丁图中，若根向地侧对应的生长素浓度为A,则根背地侧不可能为B5．下图为DNA测序仪显示的某真核生物DNA片段一条链中的部分碱基序列图。

第十一章 概率综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．(2011·湖北高三月考试题)一个口袋中，有红、黑、白球各一个，从中任取一个球后，再放回进行第二次抽取，这样连续抽了3次，记3次抽取球颜色不全相同的概率为P 1,3次抽取球颜色全不同的概率为P 2,3次抽取球全无红色的概率为P 3，则( )A ．P 1＝89 P 2＝29 P 3＝827B ．P 1＝89 P 2＝827 P 3＝29C ．P 1＝827 P 2＝29 P 3＝89D ．P 1＝29 P 2＝89 P 3＝827解析：P 1＝1－3·13·13·13＝89，P 2＝C 31C 213×3×3＝29，P 3＝C 21C 21C 213×3×3＝827答案：A2．(2011年广东省汕头市第一次学业水平测试)将一颗骰子连掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ；向量p ＝(m ，n )，q ＝(3,6)，则向量p 与q 共线的概率为( )A.112 B.124C.136D.18解析：由向量p 与q 共线得，6m ＝3n 即2m ＝n ，符合要求的(m ，n )有：(1,2)，(2,4)，(3,6)，则向量p 与q 共线的概率为336＝112，故选A.答案：A3．(河北省保定市2011届高三年级第一次调研考试)某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张，则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为( )A.14B.15C.120D.1100解析：由分层抽样知，在普通职员中抽30人，中级管理人员中抽8人，高级管理人员中抽2人．由古曲概型知，所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为120，选C.答案：C4．(武汉市武昌区2011届高三年级元月调研测试)过三棱柱任意两个顶点作直线，在这些直线中任取两条，则它们成为异面直线的概率是( )A.635B.835C.27D.1235解析：从三棱柱的6个顶点中任取两个顶点可作出C 62＝15条直线，从15条直线中任取两条共有C 152＝105种不同的取法；从三棱柱的六个顶点中任取四个顶点可作C 64－3＝12个四面体，每个四面体中有三对异面直线，所以对三棱柱任意两个顶点作直线，在所有这些直线中任取两条异面的概率是P ＝12×3105＝1235，故选D.答案：D5．(2011·邯郸市高三月考试题)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512 B.12 C.712D.34解析：依题意得P (A )＝12P (B )＝16，事件A ，B 中至少有一件发生的概率等于1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－12×56＝712，选C.答案：C6．(2011·郑州市高三月考试题)一城市每天均有3辆开往北京且分为上、中、下等级的客车，一天刘先生准备在该城市乘车前往北京出差，但他不知道客车情况，也不知道发生顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取了如下措施：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好，则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为( )A.12B.14C.23D.34解析：构建基本事件空间，一一列举计数算概率，上，中，下三辆车的发生顺序是任意的，可能情况有：(上，中，下)、(上，下，中)、(中，上，下)、(中，下，上)、(下，中，上)、(下，上，中)共有6种情况，第二辆比第一辆好有三种情况：(下，中，上)、(下，上，中)、(中，上，下)，符合条件的情况共有2种，若第二辆不比第一辆好有三种情况：(中，下，上)、(上，中，下)、(上，下，中)，其中只有1种情况满足条件，故其概率为12A.答案：A7．(2011·辽宁省大连市高三上期期末联考试题)分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为( )A.710B.310C.35D.25解析：如右图矩形面积为(4－1)×(6－1)＝15，阴影面积为2＋52×3＝212，P ＝21215＝710，故选A.答案：A8．(2011·抚顺六校联合考试)如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是23，则阴影区域的面积为()A.34B.83C.23D ．无法计算解析：正方形面积为2×2＝4，阴影的面积为4×23＝83，故选B.答案：B9．(湖北省黄冈市高三年级2011年3月份质量检测)将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一行，如果满足：从任何一个位置(含这个位置)开始向右数，数到最末一个球，黑球的个数大于或等于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为( )A.12B.15C.14D.110解析：依题意得，这六个球的总的排列方式共有C 63＝20种，其中的“有效排列”共有5种(要形成“有效排列”，则自左向右的第一个位置必须是白球且第六个位置必须是黑球，其余四个球的总的排列方式共有C 42＝6种，这其中的排列“白、黑、黑、白、白、黑”也不是“有效排列”，因此其中的“有效排列”共有6－1＝5种)，所求概率等于520＝14，故选C.答案：C10．(2011·陕西省西安市铁一中高三一模考试)连续抛掷两次骰子得到点数分别为m 和n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上下的概率是( )A.13B.14C.16D.112解析：n ＝6×6＝36，m ＝3×1＝3，P ＝m n ＝112，故选D.答案：D11．(2011·安徽省名校高三一模试题)甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排照像，甲与乙不相邻即甲与丙也不相邻，那么概率为( )A.320 B.15 C.310D.35解析：n ＝A 55＝120，先排丁、戊，再插入甲、乙，最后排丙，m ＝A 22A 33×3＝36，∴p ＝m n ＝310，故选C. 答案：C12.(2011·甘肃省兰州市高三第一次诊断考试)如右图，一辆车要通过某十字路口，直行时前方刚好由绿灯转为红灯，该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶)．已知前4辆恰有2辆左转行驶的概率是827，则前4辆中恰有2辆直行的概率是( )A.827B.3281C.89D.1127解析：令每辆车左转的概率为p ， 则它直行的概率为1－p ， ∴C 42p 2(1－p )2＝827.∴p ＝13或23.记p i (i ＝2,3,4)为有i 辆车直行的概率， 则P 2＝C 42·(23)2·(13)2＝827.答案：A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上．) 13．(2011·安徽重点中学联考)一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为________．解析：P ＝C 21·C 31＋C 31·C 21C 51·C 51＝1225. 答案：122514．(2011年北京市海淀区高三年级第一学期期末练习)在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被监测到．那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为____________．解析：根据几何概型得所求的概率为P ＝π(200)2(1000)2＝π25.答案：π2515．(武汉市2011届高三年级2月调研考试)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为____________．解析：依题意得，这两个零件中恰有一个一等品的概率等于23×(1－34)＋(1－23)×34＝512.答案：51216．(2011·浙江高三月考试题)有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k ，k ＋1，其中k ＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)不小于14”为A ，则P (A )＝________.解析：P ＝1－7＋820＝1－34＝14.卡片如下图． 0，1 1，2 2，3 …19，20 共20张．任取一张“其各位数字之和小于14”的分两种情况：①两个1位数从0,1到6,7共有7种选法；②有两位数的卡片从9，10 10，11 …15，16 和19，20 共8种选法，故如上式得P (A )＝14.答案：14三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．) 17．(本小题满分10分)(湖北省孝感市2011届高三第一次统考)某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为23，被乙小组攻克的概率为34.(1)求攻关期满时至少有一个小组已攻克技术难题的概率；(2)设a 表示攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的绝对值，记“函数f (x )＝(52－a )x在定义域内单调递减”为事件A ，求事件A 发生的概率．解析：记事件M ：攻关期满时甲小组攻克了技术难题；事件N ：攻关期满时乙小组攻克了技术难题．(1)解法一：所求的概率为P ＝P (M ·N ＋M ·N ＋M ·N )＝P (M ·N )＋P (M ·N )＋P (M ·N )＝23(1－34)＋(1－23)×34＋23×34＝1112. 解法二：所求的概率为P ＝1－P (M ·N )＝1－P (M )·P (N )＝1－13×14＝1112.(2)依题意可知，a ＝0或a ＝2.又函数f (x )＝(52－a )x 在定义域内单调递减，∴a ＝2.∴事件A 发生的概率为P (A )＝P (M ·N )＋P (M ·N ) ＝23×34＋(1－23)×(1－34)＝712. 18．(本小题满分12分)(武汉市2011届高三年级2月调研考试)现有编号分别为1,2,3,4的四道不同的代数题和编号分别为5,6,7的三道不同的几何题．甲同学从这七道题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两道题的编号分别为x 、y ，且x <y ”．(1)求共有多少个基本事件，并全部列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和大于6且小于10的概率．解析：(1)共有21个基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共21个．(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和大于6，且小于10”为事件A ， 即A ＝{(x ，y )|x ＋y ∈(6,10)且x ，y ∈{1,2,3,4,5,6,7}，其中x <y }． 由(1)可知，事件A 包含9个基本事件，列举如下：(1,6)，(1,7)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，共9个， 所以P (A )＝921＝37.19．(本小题满分12分)(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)第十一届世博会于2010年10月22日至26日在成都举行，本届世博会以“绿色改变生活，技术引领发展”为主题．如此重要的国际盛会，自然少不了志愿者这支重要力量，“志愿者成为世博会最亮丽的风景线”，通过他们的努力和付出，已把志愿者服务精神的种子播撒到人们心中. 某大学对参加了本次世博会的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45、23、23，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； (2)求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数的概率．解析：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“志愿者甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E ，事件A 、B 、C 相互独立，事件A ·B ·C 与事件E 是对立事件．P (E )＝1－P (A ·B ·C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－15×13×13＝4445(2)记“在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数”为事件F ，即三名志愿者考核为优秀的人数为1人或3人，则P (F )＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝2445＝815. 20．(本小题满分12分)(2011年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(一))甲、乙两人在某游乐场玩射气球游戏，若甲、乙两人每次射击击中气球的概率分别为34、45，且每次射击相互之间没有影响．(1)若甲单独射击3次，求恰好两次击中气球的概率； (2)若两人各射击2次，求至少3次击中气球的概率．解析：(1)甲射击3次，可以看作三次独立重复试验，则恰好两次击中气球的概率P ＝C 32(34)2·14＝2764.(2)两人各射击2次，至少3次击中气球含两种情况：记3次击中气球为事件A ， 则P (A )＝(342×C 21×45×15＋C 21×34×14(45)2＝2150记4次击中气球为事件B ，则P (B )＝(342×(45)2＝925；所求概率为P (D ＋E )＝P (D )＋P (E )＝2150＋925＝395021．(本小题满分12分)(河北省保定市2011届高三年级第一次调研考试)中国篮球职业联赛(CBA )的总决赛采用七局四胜制．当两支实力水平相当的球队进入总决赛时，根据以往经验，第一场比赛中组织者可获票房收入3a 万元，以后每场比赛票房收入比上一场增加a 万元，当两队决出胜负后，求：(1)组织者至少可以获得多少票房收入？(2)组织者获得票房收入不少于33a 万元的概率．解析：(1)设n 为比赛的场数，a n 为第n 场比赛的票房收入， 则a 1＝3a ，a n ＝a n ＋2a ，S n ＝n 2＋5n2a .∵n ≥4，∴组织者至少可以获得票房收入是：S 4＝42＋5×42a ＝18a 万元．(2)由题意及(1)得S n ≥33a ⇒n 2＋5n －66≥0⇒n ≥6.①当n ＝6时，前5场2 3，且比分领先的一方第六局胜： P (6)＝C 53(12)5＝516；②当n ＝7时，前6场3 3，此时的概率为P (7)＝C 63(12)6＝516故收入不少于33a 万元的概率为P (6)＋P (7)＝58.22．(本小题满分12分)(武汉市武昌区2011届高三年级元月调研测试)袋中装有形状大小完全相同的2个白球和3个黑球．(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求至少摸出1个白球的概率． 解析：(1)记“摸出一球，放回后再摸出一个球，使两球颜色不同”为事件A .摸出一球是白球的概率为25.摸出一球是黑球的概率为35.∴P (A )＝25×35＋35×25＝1225.答：两球颜色不同的概率是1225.(2)因为摸出的两球均为黑球的概率为35×24＝310.所以至少摸出1个白球的概率为1－310＝710.答：至少摸出1个白球的概率是710.。

第十五章 复数综合能力测试(Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共100分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．(2011·南阳模拟)复数(2＋i )(1－i )21－2i 的值是( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i解析：原式＝(2＋i )(－2i )1－2i ＝－4i ＋21－2i ＝2(1－2i )1－2i ＝2.答案：A2．(2011·广东六校联考)若复数(1＋a i)(2＋i)＝3－i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±2D ．－2解析：(1＋a i)(2＋i)＝(2－a )＋(1＋2a )i ，由(2－a )＋(1＋2a )i ＝3－i 得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝31＋2a ＝－1，因此a ＝－1.答案：B3．(焦作一中2011届高三12月考试)若复数a ＋3i1＋2i a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6解析：∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(a ＋6)＋(3－2a )i5，∴a ＝－6.故选C. 答案：C4．(河南省卫辉市高级中学2011届第四次月考试题)设复数z 1＝1－i ，z 2＝1－x i(x ∈R )，若z 1＋z 2为实数，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．－2D ．2解析：z 1＋z 2＝(1－i)＋(1－x i)＝2－(x ＋1)i ∈R ，∴x ＋1＝0，即x ＝－1，故选B. 答案：B5．(河北省唐山市2011届高三年级第一次模拟考试)已知复数z 的实部为2，虚部为－1，则5iz＝( ) A ．2－i B ．2＋i C ．1＋2iD ．－1＋2i解析：z ＝2－i ，5i z ＝5i2－i ＝5i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝－1＋2i ，故选D.答案：D6．(河南省开封市2011届高三一模考试)已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋2i1－i，则复数Z 在复平面对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由z ＝1＋2i 1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，故选B. 答案：B7．(河北省衡水市2011届高三上学期教学质量检测)复数(1＋1i 4的值是( )A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4 解析：依题意得(1＋1i )4＝(1－i)4＝(－2i)2＝－4，选D.答案：D8．(湖北省孝感市2011届高三第一次统考)设复数z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z2z 1的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为( )A ．6B ．－6C ．2D ．－2解析：依题意得z 2z 1＝a ＋2i 1－i ＝(a －2)＋(2＋a )i2，∴2＋a 2＝2×a －22，由此解得a ＝6，选A.答案：A9．(四川省成都市2011届高三四校第一次联考)若a 是复数z 1＝1＋i2－i的实部，b 是复数z 2＝(1－i)3的虚部，则ab 等于( )A.25B ．－25C.23D ．－23解析：∵z 1＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋35i ，∴a ＝15.∵z 2＝(1－i)3＝1－3i ＋3i 2－i 3＝－2－2i ，∴b ＝－2.∴ab ＝－25.故选B.答案：B10．(广西百所重点中学2011届高三阶段性检测)在复平面内，复数i(1＋2i )2对应的点位于( )A ．第三象限B ．第四象限C ．第一象限D ．第二象限解析：由i (1＋2i )2＝i－3＋4i ＝i (－3－4i )(－3＋4i )(－3－4i )＝4－3i 25，知其对应的点位于第四象限． 答案：B11．(宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题)等比数列{a n }首项与公比分别是复数i ＋2(i 是虚数单位)的实部与虚部，则数列{a n }的前10项的和为( )A ．20B ．210－1 C ．－20D ．－2i解析：根据复数实部和虚部的概念求出这个等比数列的首项和公比，按照等比数列的求和公式进行计算．该等比数列的首项是2，公比是1，故其前10项之和是20.答案：A点评：数列、复数．本题把等比数列和复数交汇，注意等比数列的求和公式是分公比等于1和不等于1两种情况，在解题中如果公比是一个不确定的字母要注意分情况解决．12．(湖北省黄冈市高三年级2011年3月份质量检测(理))已知复数a ＋b i ＝2＋4i1＋i(a ，b ∈R )，函数f (x )＝2tan(ax ＋π6)＋b 图象的一个对称中心可以是( )A ．(－π6，0)B ．(－π6，1)C ．(－π18，0) D ．(－π18，1) 解析：依题意得a ＋b i ＝(2＋4i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3＋i ，所以a ＝3，b ＝1，f (x )＝2tan(3x ＋π6)＋1.注意到函数y ＝2tan(3x ＋π6)的对称中心是点(kπ6－π18，0)(注：函数y ＝tan x 的对称中心是点(kπ，0)，其中k ∈Z )，取k ＝0得，其一个对称中心是点(－π18，0)，因此f (x )＝2tan(3x ＋π6)＋1的一个对称中心是点(－π181)，故选D. 答案：D13．(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)已知i 是虚数单位，则复数2i1－i 等于( )A ．－1＋iB ．1－iC ．－2＋2iD ．1＋i解析：2i1－i ＝2i (1＋i )(1＋i )(1－i )＝i ＋i 2＝－1＋i ，故选A.答案：A14．(河北省保定市2011届高三年级第一次调研考试)i 是虚数单位，则(1＋i )(2－i )i 的虚部为( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3解析：因为(1＋i )(2－i )i ＝3＋ii ＝1－3i ，所以选C.答案：C15．(武汉市武昌区2011届高三年级元月调研测试)已知i 是虚数单位，若(a ＋b i)(1＋i)＝1＋2i ，a ，b ∈R ，则a ＋b 的值是( )A ．－12B ．－2C ．2D.12解析：(a ＋b i)(1＋i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ＝1＋2i ，所以a ＋b ＝2，故选C. 答案：C16．(2011·四川绵阳一模试题)设复数z ＝1＋i ，则复数1＋z 2在复平面上对应的点在第____________象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四解析：∵z 2＝(1＋i)2＝2i ，∴1＋z 2＝1＋2i ，位于第一象限，选A. 答案：A17．(2011·四川宜宾一模试题)设0<θ<π，若cos θ＋isin θ＝－1＋3i2i，则θ值为( ) A.2π3B.π2C.π3D.π6解析：∵－1＋3i 2i ＝32＋i ，∴cos θ＝32且sin θ＝120<θ<π，∴θ＝π6，故选D. 答案：D18．(2011·四川省资阳市一模试题)设i 为复数单位，则i 3(1＋i )1－i ＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i解析：i 3(1＋i )1－i ＝i 3(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝i 3×2i2＝1，故选B.答案：B19．(2011·四川省广元市一模试题)1＋i 1－i －i 2的值是( )A ．0B ．1C ．1－iD ．1＋i解析：1＋i 1－i －i 2＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋1＝2i2＋1＝1＋i ，故选D.答案：D20．(2011年山西省四校第一次联考)复数2i－1＋3i 的虚部是( )A.12 B ．－12C.12i D ．－12i解析：2i－1＋3i ＝2i (－1－3i )(－1＋3i )(－1－3i )＝2i (－1－3i )4＝32－12i ，虚部为－12，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上．) 21．(2011·广西南宁一中月考试题)已知z 是复数，i 是虚数单位，若(1－i)z ＝2i ，则z ＝________.解析：∵(1－i)z ＝2i ，z ＝2i1－i＝－1＋i.答案：－1＋i22．(长沙市一中2011届高三月考试卷(六))已知a 是实数，(a －i )(1－i )i 是纯虚数，则a的值是____________．解析：∵(a －i )(1－i )i ＝(a －1)(－a －1)ii＝－a －1＋(1－a )i ∴－a －1＝0，∴a ＝－1. 答案：－123．(2011年北京市西城区高三第一学期期末考试)i 为虚数单位，则2(1＋i )2＝____________.解析：2(1＋i )2＝21＋i 2＋2i ＝1i ＝－i ，故填－i. 答案：－i24．(2011·四川省乐山市高三一模试题)若2cos θ－1＋i(2sin θ－3)是纯虚数(其中i 是虚数单位)且θ∈[－π2，π2]，则θ＝____________.解析：⎩⎨⎧2cos θ－1＝02sin θ－3≠0，∴⎩⎨⎧cos θ＝12sin θ≠32，∴θ＝－π3，答案：－π325．(2011年上海市普通高等学校春季招生考试)为求解方程x 5－1＝0的虚根，可以把原方程变形为(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝0，再变形为(x －1)(x 2＋ax ＋1)(x 2＋bx ＋1)＝0，由此可得原方程的一个虚根为____________．解析：由题可知，(x －1)(x 2＋ax ＋1)(x 2＋bx ＋1)＝(x －1)[x 4＋(a ＋b )x 3＋(2＋ab )x 2＋(a ＋b )x ＋1]，比较二次项、三次项系数知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1ab ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1＋52b ＝1－52，或⎩⎨⎧a ＝1－52b ＝1＋52，由此得原方程的一个虚根为－1－5±10－25i4，－1－5±10＋25i4中的一个．答案：－1－5±10－25i 4，－1＋5±10＋25i4中的一个虚根三、解答题(本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．) 26．(本小题满分10分)(2011·上海浦东中学月考试题)计算下列问题： (1)(1＋i )71－i ＋(1－i )71＋i －(3－4i )(2＋2i )34＋3i ；(2)(－32－12i )12＋(2＋2i 1－3i)8. 分析：对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式是知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅速简捷、少出错的效果．比如(1±i )2＝±2i ，1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，a ＋bi i ＝b －ai ，(－12±32i )3＝1，(12±32i )3＝－1等等． 解析：(1)原式＝[(1＋i )2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i )2]3·1－i 1＋i －8(3－4i )(1＋i )2(1－i )(3－4i )i＝(2i )3·i ＋(－2i )3·(－i )－8·2i (1＋i )i＝8＋8－16－16i ＝－16i . (2)(－32－12i )12＋(2＋2i 1－3i)8 ＝i 12·(－12＋32i )12＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋i 12＋32i 8＝[(－12＋32i )3]4＋[(1＋i )2]4(12－32i )[(12－32i )3]3＝1－(2i )4(12－32i )＝1－8＋83i ＝－7＋83i .27．(本小题满分10分)(2011·广东六校联考试题)求同时满足下列两个条件的所有复数z .(1)1＜z ＋10z≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数． 解析：设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则z ＋10z ＝x (x 2＋y 2＋10)x 2＋y 2＋y (x 2＋y 2－10)x 2＋y 2i .∵1＜z ＋10z ≤6，∴⎩⎪⎨⎪⎧y (x 2＋y 2－10)＝0， ①1＜x (x 2＋y 2＋10)x 2＋y 2≤6. ② 由①得y ＝0或x 2＋y 2＝10，将y ＝0代入②得1＜10x ＋x ≤6，与10x＋x ≥210＞6(x ＞0)矛盾，∴y ≠0.将x 2＋y 2＝10代入②得12＜x ≤3.又x ，y 为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝±3.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝±1.故z ＝1±3i 或z ＝3±i .28．(本小题满分10分)(2011·上海高三联考试题)设等比数列z 1，z 2，z 3，…，z n ，…，其中z 1＝1，z 2＝a ＋b i ，z 3＝b ＋a i(a ，b ∈R ，且a >0)．(1)求a ，b 的值；(2)试求使z 1＋z 2＋…＋z n ＝0的最小自然数n ； (3)对于(2)中的n ，求z 1z 2…z n 的值．分析：这是一道复数与数列的综合题，求解时需要综合运用等比中项、复数的运算法则等知识．解析：(1)因为z 1，z 2，z 3成等比数列，所以z 22＝z 1z 3；即(a ＋b i)2＝b ＋a i ，a 2－b 2＋2ab i＝b ＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝b 2ab ＝a ，(a >0)，解得a ＝32，b ＝12.(2)因为z 1＝1，z 2＝32＋12i ，所以公比q ＝32＋12i ，于是z n ＝(32＋12i)n －1. z 1＋z 2＋…＋z n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1＝1－q n1－q＝0， 所以q n ＝(32＋12i)n ＝(－i)n (－12＋32i)n ＝1， 即n 既是3的倍数又是4的倍数．故n 的最小值为12. (3)z 1z 2…z 12＝1·(32＋12i)·(32＋12i)2·…·(32＋12i)11＝(32＋12i)1＋2＋…＋11 ＝[(－i)(－12＋32i)]66＝(－i)66·(－12＋32i)66＝－1.。

武昌区2011届高三年级五月调研测试理 科 数 学 试 卷本试卷共150分，考试用时120分钟.★祝考试顺利 ★注意事项：1．本卷1-10题为选择题，共50分；11-21题为非选择题，共100分，全卷共4页，考试结束，监考人员将试题卷和答题卷一并收回.2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.3．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.4.非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在指定区域外无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知复数z 满足i i z -=+2)1(，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限件2. 已知1120≥<<xq x p ：，：，则p ⌝是q ⌝的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．已知数列{}n a 的前n 项和()01≠-=a a S n n ，那么数列{}n a （ ） A.一定是等比数列 B.一定是等差数列C.是等差数列或等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列4．已知函数()()1623++++=x m mx x x f 既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是( )A. ()2,1-B.()()+∞-∞-,63,C.()6,3-D. ()()+∞-∞-,21,5．在OAB ∆中，=，=，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON ，AM 交于点P ，则=( ) A ．32a -31b B ．-32a +31b C ．31a -32b D ．-31a +32b 6．对函数()x f 给出以下性质：①对任意∈x R ，)()(x f x f =+π恒成立；②图象关于直线3π=x 对称；③在]3,6[ππ-上是增函数. 则同时具有以上性质的函数是（ ）A ．)62sin()(π+=x x f B ．)62sin()(π-=x x fC ．)32cos()(π+=x x f D ．)62cos()(π-=x x f7．星期一有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课，若体育不排在第一节上,数学不排在第六、七节上，则这天课表的不同排法种数为（ ）A.7575A A -B.2545A AC.115565A A A D.61156455A A A A + 8．某射手射击一次，击中目标的概率是9.0，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互没有影响.给出下列结论： ①他第3次击中目标的概率是9.0； ②他恰好3次击中目标的概率是1.09.03⨯； ③他至少有一次击中目标的概率是41.01-. 其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P －DCE 的外接球的体积为（ ）A ．2734π B ．26πC ．86π D ．246π10．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是( )A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写. 填错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．21lim (32)n n n n →∞-=+ .12．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）：125，124，121，123，127.则该样本的标准差为 （克）（用数字作答）．13．已知n n n x a x a x a a x x x x ++++=++++++++ 221032)1()1()1()1(，且126210=++++n a a a a ，那么nxx )13(-的展开式中的常数项为 . 14．若关于实数x ，y 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≥-+0,3,022k y kx y y x 表示的平面区域的面积等于3，则y x +的最大值为 .15．设定义域为R 的函数()⎪⎩⎪⎨⎧<++≥-=-,0,44,0,1521x x x x x f x 若关于x 的方程()()()01222=++-m x f m x f 有7个不同的实数根，则实数=m .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知向量=a )2),(sin(ϕω+x ，=b ))cos(,1(ϕω+x )40,0(πϕω<<>，函数)(x f )()(b a b a -⋅+=的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛27,1M ，且该函数相邻两条对称轴间的距离为2.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）将函数)(x f y =图象按向量a )3,32(--=平移后，得到函数)(x g y =的图象，讨论函数)(x g y =在区间[]2,1上的单调性.17.(本小题满分12分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18.（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b ,随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望.18.(本小题满分12分)如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD所成角为60.(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.19.(本小题满分12分) 已知函数2()ln 20)f x a x a x=+-> (. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的()+∞∈,0x ，都有()2(1)f x a >-成立，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，方程()0=x g 在区间1[, ]e e -上有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.20.(本小题满分13分)已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O (O为坐标原点)，且0=⋅= （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）如果椭圆上的两点P ，Q ，使得直线CP ，CQ 与x 轴围成底边在x 轴上的等腰三A BCDFE角形，是否总存在实数λ，使得λ=.请给出证明.21.(本小题满分14分)已知数列{n a }满足关系式*+∈+=N n a na nn ,21，且21=a . （Ⅰ）求432,,a a a ； （Ⅱ）求证：111++<≤+n a n n ；（Ⅲ）求证：()3321111121-+<+++<-+n a a a n n.武昌区2011届高三年级5月调研测试理科数学试题参考答案及评分细则一、选择题：1. D2. A 3．C 4．B 5．B 6．B 7．D 8．C 9．C 10．D 二、填空题 11．1312．2 13．－540 14．2915．2三、解答题：16.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）)(x f 2222)()(b a b a b a b a -=-=-⋅+=1)(cos 4)(sin 22-+-++=ϕωϕωx x)22cos(3ϕω+-=x .∴)(x f 的最小正周期为2222⨯=ωπ，即4πω=. 又)(x f 的图象过点M （271，），∴)22cos(327ϕπ+-=，即212sin =ϕ. 而40πϕ<<，∴62πϕ=，则12πϕ=.∴)(x f )62cos(3ππ+-=x . .………………………………………………（6分）（Ⅱ）依题意，x x x g 2sin 3]6)32(2cos[3)(πππ=-++-=. ∵]2,1[∈x ，∴],2[2πππ∈x .∴函数)(x g y =在[1，2]上单调递减. ………………………………………（12分） 17.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）依题意，18.018=n，得100=n ..………………………………（2分） （Ⅱ）由3.010097=++a，得14=a .∵100654182097=++++++++b a ，∴17=b .………………………………（6分）（Ⅲ）由题意，知31=+b a ，且1712,10≤≤≥b a ，∴满足条件的),(b a 有：(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12)，共6组. ∵b a -=ξ，∴ξ的取值为1,3,5,7.3162)1(===ξP ，3162)3(===ξP ，61)5(==ξP ，61)7(==ξP . 故ξ的分布列为∴367653331=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .………………………………（12分）18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥.因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥， 从而AC ⊥平面BDE . ………………………………（4分）(Ⅱ)解：因为DE DC DA,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.因为BE 与平面ABCD 所成角为060，即60DBE ∠=，所以3=DBED.由3=AD ，可知DE =AF =则(3,0,0)A ，F ，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， 所以(0,BF =-，(3,0,EF =-.A BCDF E设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即3030y x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩.令z ==n (4,2,.因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-.所以cos ,32CA CA CA⋅〈〉===n n n 因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为1313.………………………………（8分） (Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t . 则(3,,0)AM t t =-. 因为//AM 平面BEF ，所以AM ⋅n 0=，即4(3)20t t -+=，解得2=t . 此时，点M 坐标为(2,2,0)， 即当13BM BD =时，//AM 平面BEF .………………………………（12分） 19.(本小题满分12分)解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.因为22()af x x x '=-+，且知直线2y x =+的斜率为1. 所以22(1)111af '=-+=-，所以1a =.所以2()ln 2f x x x =+-. 22()x f x x -'=.由()0f x '>，解得2x >；由()0f x '<，解得02x <<.所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2). ………………………………（4分）(II) 2222()a ax f x x x x -'=-+=. 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得20x a <<.所以()f x 在区间2(, )a +∞上单调递增，在区间2(0, )a上单调递减.所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2()y f a=. 因为对任意的()+∞∈,0x 都有()2(1)f x a >-成立， 所以2()2(1)f a a>-即可.则22ln 22(1)2a a a a+->-.即2ln a a a >解得20a e <<. 所以a 的取值范围是2(0, )e. ……………………………………………………（8分）(III)依题得2()ln 2g x x x b x =++--，则222()x x g x x +-'=.由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<.所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.又因为方程()0=x g 在区间1[, ]e e -上有两个不同的实根，所以1()0,()0,(1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩≥≥解得211b e e<+-≤. 所以b 的取值范围是2(1, 1]e e+-. …………………………………………（12分） 20.(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设椭圆的方程为12222=+by a x )0(>>b a ，依题意，2=a ，A(2，0).∵0=⋅→→BC AC ,→BC = 2→AC , ∴△AOC 为等腰直角三角形. ∴()1,1±C ,代入椭圆方程，得11412=+b ，∴342=b . 故椭圆方程为143422=+y x .……………………………………………（4分） （Ⅰ）依题意，不妨取点()1,1C ，可设直线PC 的方程为)0()1(1≠-=-k x k y ，代入椭圆方程消去y 得04)1(3)1(6)13(222=--+-++k x k k x k .则△0)13(4]4)1(3)[13(4)1(3622222>+=--+--=k k k k k .从而31-≠k 且0≠k . 设点P （11,y x ），而C （1,1），由根与系数的关系知，1316313)1(6122121+--=⇒+-=+k k k x k k k x .将P 点的坐标代入直线PC 的方程)0()1(1≠-=-k x k y ，得13123221++--=k k k y . 因为直线PC,CQ 与x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，所以直线PC,CQ 的斜率互为相反数，而31-≠k ，31≠k ，且0≠k ，故设点Q （22,y x ）， 同理可知13163222+-+=k k k x ，13123222+-+-=k k k y ，∴)134,1312(22++=→k k k k PQ . ∵椭圆是中心对称图形，∴B ()1,1--,→AB =()1,3--.故→→+-=AB k k PQ 1342，即总存在实数λ=1342+-k k，使=→PQ λ→AB .…………………………（13分）21.(本小题满分14分) 解：（Ⅰ）由题意，知252=a ，5143=a ，14434=a .………………………………（3分） （Ⅱ）由21+=+nn a na ，及21=a ，知0>n a . 下面用数学归纳法证明：（1）当1=n 时，21=a 满足111111++<≤+a ，成立.（2）假设当k n =(*∈N k )时，111++<≤+k a k k 成立，则当1+=k n 时，1121121++=+++>+=+k k k a ka k k .2121++≤+=+k k a ka kk .下面用分析法证明：1221++<++k k k .只需证()211++<++k k k k ，只需证()211++<++k k k k ，只需证()()[]22211++<++k k k k ，只需证012>+k ，此式显然成立.所以1221++<++k k k 成立.从而122121++<++<+=+k k ka ka kk .由（1），（2）可知，对一切*∈N k ，111++<≤+n a n n 成立. ………………（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ），知111111+≤<++n a n n，而n n nn n -+=++≥++111111，()()()23223211211+-+=+++<+++=+n n n n n n n ，所以()23211+-+<<-+n n a n n n. 所以()()()()23234211111221+-+++-<+++<-+++-n n a a a n n n.所以()3321111121-+<+++<-+n a a a n n.………………………………（14分）。