广义Cantor 集张北一中 郭彦军摘要：本文考察了包括直线上的各种广义Cantor 集，由相似变换导出它们的级数表达式，给出它们维数的定义及计算方法，并考察了它们的性质。
关键词：广义Cantor 集；迭代函数系；Hausdorff 维数 1．定义：选取[]1,0区间作为初始元，然后进行m 等分，从中选取l 个小闭区间作为生成元，如此生成的分形集我们称之为广义Cantor 集，记作C 。
2．迭代函数系：广义Cantor 集C 的构造过程可描述为迭代函数系ma x m x f ma x m x f ma x m x f l l +=+=+=1)(1)(1)(2211[]1,0=∈I x其中i a 取}{1,2,1,0-m 中的某些值，l i ,2,1=。
即广义Cantor 集满足l 个相似变换： ma mf x ii +==ξξ)( l i ,2,1= ， 10≤≤x ，10≤≤ξ。
3．将[]1,0区间推广到任意区间[]b a ,： 首先我们给出这样一个一一对应：x a b a y )(-+= []1,0=∈I x则mb a a a m m a a b a m b i i i i +-=-+=)()( 下面给出任意区间[]b a ,上的相似变换：mb mag y ii +-==ηη)( b a ≤≤η b y a ≤≤ i b 取}{b m a b a m ma )1(,)1(,-++- 中的某些值。
4．广义Cantor 集的级数表示：首先回顾一下广义Cantor 集的定义过程：第一次生成l 个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=m m a ma F i i i 1,0)1()1(,1 {}l i a a a a ,,21)1(∈区间长度为mL 11=。
第二次对每个小闭区间i F ,1进行m 等分，从中选取l 个闭区间，得2l 个闭区间2)2()1()2()1()1()1(*)1(ma m a m a m a m m a m a i i i i i i +=-++ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=22)2()1(2)2()1(,21,m m a m a m a m a F i i i i i }{l i i a a a a a ,,,21)2()1(∈区间长度为=2L 21m 。
