三角形内角和1

课题：7.5三角形内角和（1）教学设计赣榆县初级中学相小琳教学目标【知识与技能】（1）探究并掌握三角形内角和定理。

（2）了解三角形的分类，直角三角形的分类，直角三角形中两锐角互余。

（3）掌握三角形的外角定理。

【过程与方法】让学生分组探究，然后进行交流，探究三角形内角和定理，并进行应用。

【情感、态度与价值观】通过三角形内角和定理的证明，提高学生的逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态度。

教学重点难点【重点】三角形内角和的性质。

【难点】推理说明三角形内角和定理。

教学过程（一）创设情景导入新课情景1.还记得小学学过的三角形内角和的关系吗？当时老师是用什么方法告诉大家它的由来的呢？其中有什么数学道理呢？今天我们一起来探讨三角形内角和的由来。

ACB（设计意图：利用学生的最近发展区，唤醒学生的回忆，激发学生的学习热情。

）（二）自主学习，互助探究活动1：小学时用的拼图法，再试一试！学生：动手制作一个三角形验证结论活动2：除去小学时的方法，你还可以想出其他的方法吗？学生：分小组讨论，设想几个可行的方案，整理汇报活动3：验证讨论的方法是否可行方法一：画不同形状的三角形，分别用量角器度量各角的度数并分别求每个三角形的内角和 说明：学生想到的可能性很大，验证较容易方法二：撕去三角形的一个角，形成如图所示的图形加以验证说明:此种方法可能有一部分学生想到，教学时要让学生自主探索该方法的可行性，说出可行的理论依据方法三：做辅助线（如图所示）过点A 做BC 的平行线说明：因为学生刚刚接触几何，此种方法学生想到的可能性很小，在教学时若学生没有想到的，教师可以加以引导，给出图示，让学生自主探究是否可以验证学法指导：1、 指导学生动手操作2、引导学生感悟3、启发学生们把感悟转化为数学问题（建模）4、帮助学生将说理过程进行规范（设计意图：活动一通过让学生动手做一做，让学生在感性上对结论有一定的认识。

活动二是为了激发学生的思维，让学生明确同一个问题解决的方法可能有许多种，可以试一试，同时也是为了进一步规范学生的说理。

三角形角与边的关系公式三角形是几何中最基本的形状之一，由三条边和三个内角组成。

在三角形中，角与边之间有许多重要的关系公式。

这些公式对于计算和解决三角形相关的问题非常重要。

在本文中，我们将介绍一些最常用的三角形角与边的关系公式。

一、三角形的角度关系：1.三角形内角和：三角形的内角和等于180度。

即三个内角的和等于180度。

可以表示为：A+B+C=180°。

2.三角形的外角和：三角形的外角和等于360度。

即三个外角的和等于360度。

可以表示为：A'+B'+C'=360°。

3.三角形的对顶角：三角形的一内角和另外两个内角的补角相等。

即三角形的对顶角相等。

可以表示为：A=B'，B=A'，C=C'。

4.三角形的同位角：同位角是指两个三角形中分别相对的内角或外角。

同位角之和等于180度。

即同位角之和等于180度。

可以表示为：A+A'=180°，B+B'=180°，C+C'=180°。

二、三角形的边长关系：1.余弦定理：余弦定理是用来计算三角形一边的长度的定理。

它表示为：c^2 =a^2 + b^2 - 2abcosC，其中c为三角形的斜边，a和b为三角形的两边，C为两边夹角的余弦。

2.正弦定理：正弦定理是用来计算三角形两边与其对应角度的比例的定理。

它表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

其中a、b、c为三角形的三条边，A、B、C为三角形的三个角度。

3.正切定理：正切定理是用来计算三角形两边与其夹角正切值的比例的定理。

它表示为：tanA = (a/b)，tanB = (b/a)。

其中a和b为三角形的两边，A和B为三角形的两个夹角。

4.边角关系定理：边角关系定理是用来计算三角形边与角度之间的关系的定理。

它表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。

三角形的定理
1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。

2. 三角形外角定理：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和。

3. 相似三角形定理：如果两个三角形的对应的角相等，那么它们的对应的边的比相等。

4. 直角三角形定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

5. 等腰三角形定理：等腰三角形的两个底角相等。

6. 等边三角形定理：等边三角形的三条边相等。

7. 正弦定理：在三角形ABC中，a/sinA = b/sinB = c/sinC。

8. 余弦定理：在三角形ABC中，c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。

这些是三角形的一些常见定理，它们可以帮助我们理解和解决三角形相关的问题。

三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．∵ AB ∥CD （已作），∴ ∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∵∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．∵DF ∥AC （已作），∴∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．∵DE ∥AB （已作）．∴∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．∴∠A=∠2（等量代换）．又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，∵1l ∥3l （已作）．∴∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∵1l ∥2l （已作），∴∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∵∠2+∠3=∠ACB ，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC 中，已知∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，试求∠A ，∠B 和∠C 的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C ＝180°就可以求出∠A ，∠B 和∠C 的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B ＝80°及∠A+∠B+∠C ＝180°，知∠C ＝100°．又∵ ∠C ＝2∠B ，∴ ∠B ＝50°．∴ ∠A ＝80°-∠B ＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C ＝180°．本题可以设∠B ＝x ，则∠A ＝80°-x ，∠C ＝2x 建立方程求解．【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图 ，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°类型三、三角形的内角、外角综合4.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．【思路点拨】要求∠BDF的度数，应从三角形内角和与三角形的外角出发，若将∠BDF看成△BDF的内角，只需求∠F的度数即可．【答案与解析】解：∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．【总结升华】三角形内角和与外角是进行与角有关的计算或证明的重要工具，本题也可将∠BDF看成△ADE的外角来求解．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC 于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG；理由如下：∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BAC，∠3＝12∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°，又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°，又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．。

三角形内角规律及关系如下：
1.三角形内角和为180度，即三角形三个内角大小之和为180
度。

2.在三角形中，有一个角是直角，则该三角形为直角三角形；如
果一个角大于90度，则该三角形为钝角三角形；如果一个三
角形中最大的角小于90度，则该三角形为锐角三角形。

3.三角形内角之间存在以下关系：
•如果一个三角形的两个内角相等，则第三个内角也相等，这个三角形是等边三角形；
•如果一个三角形的两个内角之和等于第三个内角，则这个三角形是直角三角形；
•如果一个三角形的两个内角之差等于第三个内角，则这个三角形是钝角三角形；
•如果一个三角形的两个内角之和等于180度减去第三个内角的度数，则这个三角形是锐角三角形。

1、读一读教材例题（教材第24页例题）老师：同学们，你们认同上面的两个三角形的话吗？（请学生发表自己的看法）学生A：一样大学生B：不知道。

学生C：大的三角形的内角和大。

......老师：既然大家的意见的不一样，那我们一起来探讨一下三角形内角和的关系。

1、小组活动：每人准备一个三角形，量一量，填一填老师：从图中可以清晰看到三角形有多少个内角呢？学生：3个。

老师：顾名思义，三角形的内角和代表什么呢？学生：三角形的三个内角的度数之和，即上诉图形中∠1，∠2，∠3度数之和。

小结：三角形的内角指三角形里面的三个角，即三角形每相邻两条边跑的夹角；三角形的内角和指的是这三个内角的度数之和。

（2）实际测量，探索三角形的内角和。

老师：现在我们已经知道什么是三角形的内角了，要想知道三角形的内角和，我们有什么方法呢？学生：用量角器量一量。

老师：不错，我们要想知道一个三角形的内角和，最熟悉的方法就是将三角形的三个内角加起来算一算。

老师：现在就让我们来量一量，算一算，填一填，完成下面这个表格（请学生汇报自己的表格）（PPT展示）2、小组交流发现了什么？老师：同学们，和小组里的其他成员讨论一下自己的表格是否和别人的一样。

同学：一样。

老师：那请同学分享一下自己的发现。

同学A：每个三角形的内角和都是180゜。

同学B：有些不是180゜。

老师：那不是180゜的，是否接近180゜呢？学生：接近。

老师：通过实际测量、计算发现，每个三角形的三个内角和都在180゜左右。

实际上，三角形的内角和就是180゜，只是因为测量有误差，导致计算出的内角和不都是180゜。

3、验证三角形内角和180゜。

验证三角形内角和等于180゜的方法。

方法一：把三角形的三个角撕下来，拼一拼。

老师：从量一量那里我们可以猜测三角形内角和180゜，说起180゜，我们还记得什么角是180゜吗？学生：一个平角是180゜。

老师：是的，要想证明三角形的内角和是否为180゜，我们就得看看三角形的三个内角是否可以拼成一个平角。