【最新】人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》优质公开课课件

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人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》优质课件

∴△OAM≌△OBM.
C
A M└ ●O
D
∴∠AMO= ∠ BMO. B ∴CD⊥AB
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒
⌒⌒
∴A⌒C =AB⌒CC和, AB⌒DC重=B⌒合D,. AD和BD重合.
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧.
▪ 推论2：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ
A
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和ＢＤ重合． Z,x,xk
C
·O
E B
D
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分Ａ⌒Ｂ及Ａ⌒ＣＢ
即ห้องสมุดไป่ตู้Ｅ＝ＢＥ
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． Zx,xk
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
▪1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” ▪2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 ▪3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ▪4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 ▪5、数学教学要“淡化形式，注重实质.

人教版数学九年级上册垂直于弦的直径完美课件

②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分 ②⑤ ①③④ 弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并 ③⑤ ①②④ 且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径课件
条件结论
命题
C
A M└
B
●O
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
D
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另 ①⑤ ②③④ 一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
•
6本课的突出特点是拟人手法的运用，把植物和种子分别当作“妈妈”和 “孩子 ”来写。“妈妈孩子 ”这样的关联，易触动儿童的情感世界，易激发想象、引发思考，读起来亲切、有趣，易于调动小读者的阅读兴趣。
•
7学习这篇课文，应该重点引导学生运用探究式的学习方式，注意激发学生了解植物知识、探究大自然奥秘的兴趣，把向书本学习和向大自然学习结合起来，引导学生养成留心身边的事物、认真观察的好习惯。
O
22
在Rt△AOE中
A
E
B
AO 2O E2AE2
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm
答：⊙O的半径为5cm.
垂径定理三角形
C
有哪些等量关系？
O

人教版九年级上册数学24.垂直于弦的直径说课课件

24.1.2垂直于弦的直径
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现，对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、以及与人合作交流的能力（主体性）。
圆的轴对称性，感受数学美。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾引入课题
实验探究大胆猜想
证明猜想得出定理
四
应用举例强化训练
五
反观课堂提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢

全国优质课一等奖人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》公开课件

水面AB宽为（A.4mB.5m）.C.6m
D.8m
【详解】连接OA，∵桥拱半径OC为5m，∴OA=5m，
∵CD=8m，∴OD=8−5=3(m)，
∴AD= 2 − 2 = 52 − 32 = 4 (m)
若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是
.
y
(0, 5 )
C
3
O 2M
A
D
5B
x
课堂练习（利用垂径定理进行计算）
变式5：如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.
求⊙O 的半径.
C
r
A
O
9-r
3 E
B
D
课堂练习（利用垂径定理进行计算）
变式六如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，
⌒
C是AB的中点，CD就是拱高．
在Rt△ADO中，由勾股定理得 + = ，
解得R≈27.3m
答：桥拱的半径约为27.3m
18.5
R
R-7.23
课堂练习（利用垂径定理解决实际问题）
如图是一个圆弧形门拱，拱高1m ，跨度4m ，那么这个门拱的半径为（
A.2m
B.2.5m
C.3m
则OE=
3
，AB=
8
?
.
?
3
4
变式3：如图，在ʘO中，AB=8，ED=2，
则OA=
5 ，OE=
3
r2 = (r － 2)2 + 42
.
半径、弦长、弦心距、弓形高四个量中，知二求二
r?
r? － 2
5 3
课堂练习（利用垂径定理进行计算）
变式4：如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，

新人教版九年级上册数学24.1.2垂直于弦的直径优质课件

总结
知1－讲
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质
是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径． (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
第十四页，共二十页。
知识点 3 垂径定理的推论
知3－讲
通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
A
图1
C
O E
D
B
O
图2
AE
知2－讲
B
第十页，共二十页。
知2－讲
D
A C
E
图3 A E O B 图4 B
O
C
D
第十一页，共二十页。
例2赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有
1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它
的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为
37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m,求赵州
桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
知2－练
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
第十二页，共二十页。
解：如图，用AB⌒表示主桥拱，设AB所在⌒圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足，OC与AB相交于点C⌒，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点⌒，CD
知1－讲
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
第五页，共二十页。
归纳
知1－讲
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

人教版《垂直于弦的直径》数学公开课PPT1

∴AE=BE, (3)已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为——
. O 设
，则
，
∴ 四边形ADOE为正方形.
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且0C＝OD.
AC =BC, AD =BD. 定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
8.已知：在⊙O中，弦AB⊥CD于P，⊙O的半径为5，AB=8，CD=6， OE⊥AB，OF⊥CD。求四边形OEPF的周长
3
5
4
5
3
4
随堂训练：1.填空
(1)已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和 7cm的两部分，则弦和圆心的距离为—2—cm.
知识回顾：垂径定理的内容是什么？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧．
条件 CD为直径 CD⊥AB
结论
A⌒E=B⌒E A⌒C=B⌒C
AD=BD
垂径定理的几何语言叙述:
∵∴CADE为=B直E径，，A⌒CC=DB⌒⊥C，AAB⌒D=B⌒D．
C
O·
A
E
B
D
应用垂径定理的书写步骤1
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵ CD是直源自,应用垂径定理的书写步骤1
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
定理辨析
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
O
A
E

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D
A
B
R
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
O
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》课件(共19张PPT)
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦．如图，⊙O的直径AB=12， CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长为( D )．
因为CD⊥AB，所以△OAM与△OBM都是直角三角形．又因为OM为公共边，所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM．又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称，所以A点和B点关于直线CD对称．所以当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM，弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
解：设圆的半径为R，由题意可得OD=R-4，AD=8 m．在Rt△ADO中，AO2=OD2+AD2，即R2=(R-4)2+82．解得R=10(m)．答：此圆的半径是10 m．
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人教版九级数学上册《垂直于弦的直径》优质课件
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合作探究，形成知识
( ( ( (
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．这个定理也叫垂径定理。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

人教版数学九年级上册..垂直于弦的直径课件优质PPT

赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
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A
B
•
O
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2
2
OD OC DC R 7.2.
A 18.7 D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 O.
解得 R≈27.9（m）.
R R-7.2
O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
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思考
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2）线段： AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ A
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实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
●O
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人教版九年级数学上册..垂直于弦的直径第课时课件优质PPT

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思维拓展
7.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
6.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 7.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
8.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
9.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B
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双基训练
5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
6.已知点P是半径为5的⊙O内
的一定点，且OP=4，则过P
O
点的所有弦中，弦长可能取 A
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是 10cm和40cm .
5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
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O
“知二求二”
A
B
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例题讲解
解：用 AB表示主桥拱，设 AB 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，
根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 AB 的中点，CD 就是拱高．
AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D．
C
O AE
D
证明：连结OA、OB，则OA＝OB． ∵ 垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴． ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半
圆重合，A点和B点重合，
O
几次，你发
现了什么？
结论：圆是轴对称图形。有无数条对称轴
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
新知讲解
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足
为E．
你能发线现段图：中A有E那=些B相E 等的线段和弧？为什么？
C
弧： AC=BC AD=BD
试一试证明你的发现！
·O
E
A
B
D
新知讲解
新知讲解
归垂径定理的几个基本图形：
纳
C
：
O
A O
A
EB
A
DB
D
E
DB O
A C
O CB
新知讲解
归垂径定理三角形纳：
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作

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∵ OE⊥AB OE过圆心O 结论：圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴． ∴ ⊙O的半径为10.
1 1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. AE BE AB 8 4 ∴⊙O的半径为5厘米。 2 2 求证：AC＝BD。
.
O
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
A E D
C
D O
A B
B
O E
CC
不能
不能
A
D E
A
O
B
能
B E
O
能
2、如图,已知⊙O的半径OB=5，OP⊥AB，垂足为P，且OP=3，则AB=__8____ .
C
O
AP
B
D
探究3：在圆上任意作一条弦AB，你能否找到分弦AB的直径CD?
思考：此时AB与CD的位置关系？
C
.E
D
想一想：
如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB 的直径CD一定会垂直弦AB吗？
4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
∵ OE⊥AB OE过圆心O
∵CD过圆心剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
证明猜想形成定理
C
∴ ⊙O的半径为10.
∴ ⊙O的半径为10.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
足
为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE
的
B
长为（）.
C
A
O E
B
D
课堂练习
2、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆

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于AB，则AE=BE，弧AD=弧 BD，弧AC=弧BC
A
E
B
D
• 注意:过圆心和垂直于弦两个
条件缺一不可。
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
是
不是
是
不是
垂径定理的几个基本图形。
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
A
O C B
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
?
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗? 由此你能得到圆的什么特性？
可以发现：圆是轴对称图形。任何一
条直径所在直线都是它的对称轴．
活动五：快乐冲三关
1、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P 为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是3cm≤OP ≤ 5cm 。
5 4 c
O
3
A
P
B
活动五：快乐冲三关
2、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点 P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接 AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于 E,OF⊥BP于F,EF= 4 。
A
C
E
F O
D
B
变式4：______ AC=BD.
AC=BD.
A C O D B
变式5：______
Ramming foundation

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C.6 D.4 ∵ CD⊥AB,CD=16,∴ CE=DE= CD=8.
1 2
在 Rt△COE 中,OE= �� 2 -C�� 2 =6.故选 C.
关闭
C
解析答案
1
2
3
4
2.如图,AB 是☉O 的弦,半径 OA=2,∠AOB=120° ,则弦 AB 的长是(
)
关闭
过点 O 作 OH⊥AB 于点 H,则∠AOH= ∠AOB=60° ,∠A=90° -60° =30° . 在 Rt△OAH 中,∵ OA=2,∠A=30° ,
∵ OM⊥AB,ON⊥AC, ∴ AN=CN,AM=BM. ∴ MN 是△ABC 的中位线. 6∴ BC=2MN=6.
解析
关闭
关闭
答案
1
2
3Leabharlann 44.如图,点 P 是半径为 5 的☉O 内一点,且 OP=3,设 AB 是过点 P 的☉O 内的弦,且 AB⊥OP,则弦 AB 的长是 .
关闭
OA,在 Rt△OAP 中,AP= ��2 -O��2 =4.
1 A.2 2 ∴ OH= OA=1. B.2 3 2 C. 5 D.3 5
1 2
∴ AH= ��2 -O��2 =
22 -12 = 3.
∴ AB=2AH=2 3.故选 B.
关闭
B
解析答案
1
2
3
4
3.如图,AB,AC 都是圆 O 的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为 M,N,如果 MN=3,那么 BC= .
温馨提示垂径定理的推论中的“不是直径”这几个字不能
省略.因为两条直径一定是互相平分的,但两条直径不一定互相垂直.

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如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
C O
A
D
B
6．利用新知解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
A C
D O
B
6．利用新知解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO，求证：AC=BD．
1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 0.1 m）．
2．探究新知
请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？哪些弧相等？
O
A
C
D
B
6．利用新知解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD，求证：AC=BD．
O A
C
D
B
7．归纳小结
内容：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线．重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
3．获得新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
A O C E B 知二推三 D
4．新知强化
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A 图1 O A E A E D
图2
C 图4 B
图3
A E C
O
B
5．利用新知问题回解
C A D B
O
6．利用新知解决问题
24.1 圆的有关性质（第2课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了圆的有关概念的基础上开始研究圆的性质，包括圆的轴对称性以及垂径定理，并应用垂径定理及其推论解决问题．
课件说明
• 学习目标： 1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力． • 学习重点：垂径定理及其推论．

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