3.4.1均值不等式的证明

1平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。

平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。

1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为12...,nn a a a A n+++=几何平均值记为112(...)nn n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。

12...n a a a n+++≥即 n n A G ≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。

上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。

平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。

为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。

供大家参考学习。

1.2 平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1） 当2n =时，已知结论成立。

（2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对0,1,2,...,,i a i k >=有11212...(...)kk n a a a a a a k+++≥。

那么，当1n k =+时，由于1211 (1)k k a a a A k +++++=+，1k G +=，关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥.所以 11112111(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-===2111...()k k k a a a a A k++++++-=≥即12111...()kk k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。

三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。

根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。

2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。

根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。

（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。

根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。

（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。

那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。

均值不等式的证明篇一:均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式关系，它说明了算术平均数和几何平均数之间的关系。

具体表达式为：对于任意非负实数集合{a1,a2,an}，有(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当所有的非负数都相等。

下面，我们将给出AM-GM不等式的证明。

证明：首先，我们可以假设所有的a1,a2,an都是正实数。

因为AM-GM不等式对于非负实数也是成立的，所以我们可以通过限制条件来放缩实数集合。

考虑对数变换。

定义函数f(x) = ln(x)，其中x>0。

因为ln(x)在整个定义域都是凸函数，所以根据对数函数的性质，我们有：f((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(f(a1)+f(a2)+.+f(an))即，ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(ln(a1)+ln(a2)+.+ln(an))这是因为凸函数的定义是在一条直线上任取两个点，它总是在两点的连线上方。

继续推导，根据ln的性质，我们有：ln(a1 a2 .*an) = ln(a1) + ln(a2) + . + ln(an)将上述不等式代入这个等式中，得到ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ ln(a1 a2 .*an)^(1/n)移项化简得到(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)即AM-GM不等式得证。

最后，我们来说明等号成立的条件。

根据对数函数的性质，等号成立当且仅当所有的非负数的对数都相等，即a1 = a2 = . = an。

至此，我们完成了AM-GM不等式的证明。

总结： AM-GM不等式是数学中常用的一种不等式关系。

它表明算术平均数大于等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有的非负数相等。

该不等式的证明可以通过对数变换和凸函数的性质进行推导得到。

篇二:在数学中，均值不等式是一类用于比较多个数的重要不等式。

均值不等式证明均值不等式是一个非常重要的数学定理，它被广泛应用于数学、物理、经济等学科中。

均值不等式的证明是数学证明中的一种非常重要的方法，通过均值不等式的证明，我们可以体会到数学证明的思路和方法。

本文将详细介绍均值不等式的证明，让读者更深入地了解这个重要的数学定理。

首先，我们来介绍一下均值不等式的概念。

均值不等式是指对于n个实数a1，a2，……，an，它们的算术平均数和它们的几何平均数之间有如下关系：(a1+a2+……+an)/n ≥ (a1×a2×……×an)^(1/n)其中“≥”表示大于等于的关系。

这个不等式告诉我们，对于一组实数，它们的算术平均数一定大于等于它们的几何平均数。

并且，当这组实数中每个数都相同时，这个不等式取等。

这就是均值不等式，它是一个非常重要的不等式。

接下来，我们将介绍均值不等式的证明方法。

首先，我们来证明一个简单的均值不等式，即两个数的均值不小于它们中的较小值。

假设a和b是两个实数，不妨假设a≥b，那么它们的算术平均数是(a+b)/2，它们的几何平均数是(a×b)^(1/2)。

我们需要证明(a+b)/2 ≥ (a×b)^(1/2)。

我们先把等式两边平方，得到：(a+b)^2/4 ≥ a×b化简后得到：a^2+b^2+2ab/4 ≥ a×b即：a^2+b^2 ≥ 2ab这个不等式显然成立，因为它等价于(a-b)^2 ≥ 0。

因此，我们证明了两个数的均值不小于它们中的较小值。

接下来，我们来证明n个数的均值不等式。

我们先不妨假设这n个数是正实数，否则我们可以通过取绝对值来获得正实数的情况。

假设a1，a2，……，an是n个正实数，它们的算术平均数是A，几何平均数是G。

则有：A = (a1+a2+……+an)/nG = (a1×a2×……×an)^(1/n)接下来，我们需要证明A≥G。

均值不等式的证明数学归纳法说到均值不等式，这可是数学界的一颗璀璨明珠，简单来说就是“平均数总是比个别数值要大或者小”，这就像是我们生活中的一些道理，集体的智慧往往胜过个体的独行。

今天，我们就来聊聊这个有趣的定理，以及如何通过数学归纳法来证明它。

别担心，我会尽量让这段旅程轻松点，咱们一起边走边聊！1. 什么是均值不等式？1.1 首先，咱们得搞明白均值不等式到底是什么。

其实，它就是告诉我们，对于任意的非负数 (a_1, a_2, ldots, a_n)，它们的算术平均数 (A) 总是大于等于它们的几何平均数 (G)。

听起来有点深奥，其实没那么复杂。

比如，假设你和你的朋友们一起去吃饭，大家点了不同的菜。

算术平均就是你们每个人花了多少钱的平均数，而几何平均则是所有菜品的价格的“平均”感觉。

总的来说，集体的消费水平往往更靠谱，大家都可以分享这份快乐。

1.2 另外，均值不等式还有个很酷的特点，就是当所有数值都相等时，这个不等式成立。

而一旦你们的消费差异太大，就会发现算术平均和几何平均的差距，也正如朋友间的默契程度一样，有时候相差甚远。

2. 数学归纳法的魅力2.1 说到证明，数学归纳法可是一种非常优雅的方式，像是魔术一样，让复杂的东西变得简单。

它的基本思路就是，先证明最小的情况成立，再假设它在某个n时成立，最后证明在n+1时也成立。

简而言之，咱们就像推倒多米诺骨牌，先把第一个推倒，然后把后面的也都给推倒！2.2 让我们从简单的开始，假设你只要证明均值不等式在n=1的情况。

这个时候，只有一个数，不就等于它自己嘛，显然成立！接着，我们假设在n=k的情况下，均值不等式是对的。

然后，我们要证明在n=k+1的情况下，也成立。

这个时候，数学的乐趣就开始了。

3. 具体的证明过程3.1 在n=k的情况下，假设均值不等式成立，也就是说：frac{a_1 + a_2 + ... + a_k{k geq sqrtk{a_1 a_2 ... a_k。

数学均值不等式的证明方法一、凸函数的性质法：凸函数是指曲线所在区间上的任意两点连线的部分都位于曲线的上方。

我们可以证明，如果函数f(x)在区间[a,b]上是凸函数，则有如下均值不等式成立：f((a+b)/2) ≤ (1/(b-a)) ∫[a,b] f(x) dx ≤ (f(a) + f(b))/2通过利用凸函数的性质，我们可以推广到更一般的形式：f((a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ)/(a₁+a₂+...+aₙ))≤(a₁f(x₁)+a₂f(x₂)+...+aₙf(xₙ))/(a₁+a₂+...+aₙ)其中，a₁,a₂,...,aₙ是非负实数，且满足a₁+a₂+...+aₙ≠0，x₁,x₂,...,xₙ是函数f(x)的定义域上的任意n个值。

二、Cauchy-Schwarz不等式的证明法：Cauchy-Schwarz不等式是数学中最常用的不等式之一，它的一般形式可以写为：(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)，≤√((a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²))其中，a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ是任意实数。

利用这个不等式，我们可以证明数学均值不等式中的特例。

例如，我们可以通过Cauchy-Schwarz不等式来证明算术平均数大于等于几何平均数的不等式：(a₁+a₂+...+aₙ)/n≥√(a₁a₂...aₙ)三、归纳法和递推法：在证明数学均值不等式时，可以利用归纳法和递推法构造一些递推关系式，从而推导出不等式的成立。

例如，在证明幂平均不等式时，我们可以先证明对于n=2的情况成立，即:(a²+b²)/2≥(√(a²)+√(b²))/2然后，通过递推关系式：(a₁^n+a₂^n)/2≥(√(a₁^n)+√(a₂^n))/2(a₁^(n+1)+a₂^(n+1))/2≥(√(a₁^(n+1))+√(a₂^(n+1)))/2不断迭代，可以得到幂平均不等式在任意正整数n下成立。

均值不等式的证明方法及应用1.均值不等式的证明方法：（1）严格证明法：通过构造具体的数学推理过程，使用数学定理、运算性质和逻辑推理方法，进行步步推导，最终得出结论。

例如，证明算术均值大于等于几何均值（对于任意非负实数a,b）时，可以先证明两者的平方之差大于等于0，然后进行变形运算、化简等步骤，直至得到最终结论。

（2）几何方法：通过对图形的分析和变换，运用几何性质和数学定理，从而得出结论。

例如，证明算术均值大于等于几何均值时，可以通过构造一个几何图形，使两个均值分别对应到该图形上的一些量，然后通过比较图形的各个部分，从而得到结论。

（3）代数方法：通过运用代数运算性质和数学定理，以及构造恰当的函数和不等式，从而得到结论。

例如，证明算术均值大于等于几何均值时，可以构造一个函数f(x)=ln(x)，然后运用函数的性质和不等式知识，通过对不等式的变形和运算，得到结论。

2.均值不等式的应用：（1）最优化问题：均值不等式广泛应用于数学中的最优化问题中。

通过运用均值不等式，可以简化复杂的优化问题，找到最优解。

例如，在求函数的最大值和最小值时，可以通过构造适当的均值不等式，将原问题转化为寻找等号成立的条件，从而求得最优解。

（2）证明其他不等式：均值不等式是不等式学中的一个基本方法，常常用来证明其他不等式。

通过将其他不等式进行变形、运算、配方等操作，可以将其转化为均值不等式的形式，从而得到结论。

例如，证明柯西-施瓦茨不等式、夹逼准则等，常常可以使用均值不等式进行证明。

（3）函数单调性：均值不等式常常用于研究函数的单调性。

通过将函数的表达形式进行变形和运算，得到函数值的不等式关系，从而推导出函数的单调性。

例如，通过均值不等式可以得到极限存在的条件，从而得到函数的单调性。

（4）数列极限：均值不等式也常用于研究数列的极限问题。

通过将数列的表达式进行变形和运算，可以得到数列值之间的不等式关系，从而研究数列的极限性质。

例如，通过均值不等式可以得到数列的单调性、有界性等，从而推导出数列的极限。

柯西证明均值不等式的方法之相礼和热创作by zhangyuong （数学之家）本文次要引见柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其紧张.一样平常的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥:一些大家都晓得的条件我就不写了我曾在《几个紧张不等式的证明》中引见过柯西的这个方法，如今再次提出：这样的步调反复n 次之后将会得到 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++======++......;,...,2122111由这个不等式有n n n n nn n n n n A x x x A x x x A n nA A 2121212221)..(..2)2(--=≥-+=即得到 这个回纳法的证明是柯西初次运用的，而且极其紧张，下面给出几个竞赛题的例子：例1：例2：这2个例子是在量在分歧范围时分得到的结果，方法正是运用柯西的回纳法：给出例1的证明：例3：要证明这题，其实看样子很像下面柯西的回纳运用的方式其实由均值不等式，以及函数1()ln 1x x e f x e +=-是在R 上单调递减因而我们要证明：证明以下引理：以是原标题也证毕了 这种回纳法威力非常弱小，用异样方法可以证明Jensen: )2(2)()(2121x x f x f x f +≥+，则四维：不停进行n 次有)2 (2)(...)()(221221n n n n x x x f x f x f x f +++≥+++, 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++======++......;,...,2122111 有)()2)2((2)()2()(...)(1A f A n nA f A f n x f x f n n n n n =-+≥-+++以是得到以是基本上用Jensen 证明的标题都可以用柯西的这个方法来证明而且有些时分这种回纳法比Jensen 的限定更少其实从下面的看到，对于方式相反的不等式，都可以运用回纳法证明这也是一样平常来说可以运用回纳法的最基本条件。

3.4.1 基本不等式的证明（2）教学目标：一、知识与技能1．进一步掌握基本不等式；2．学会推导并掌握均值不等式定理；3．会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三等四同．4．使学生能够运用均值不等式定理来研究函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用．二、过程与方法通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．教学重点：均值不等式定理的证明及应用．教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧．教学方法：先让学生回顾两个重要不等式，然后由两个具体问题入手让学生分组讨论得到两个最值定理（其证明可由学生完成），然后通过一些例题来讲解如何利用最值定理求最值，并让学生从中体味出如何创设情境用定理．教学过程：一、问题情境提问：我们上一节课已经学习了两个重要的不等式，请同学们回忆一下，这两个重要不等式叙述的内容是什么，“等号”成立的条件是什么？1．如果2．如果,是正数，那么老师总结：我们称的算术平均数，称的几何平均数，成立的条件是不同的：前者只要求,都是实数，而后者要求,都是正数．二、学生活动提问：生答：有，最大值为4．问题2：如何求出最大值的呢，何时取到最大值的．生答：，当且仅当时取“＝”．问题3：如果将问题1中条件改为，那么有无最值呢？生答：有最小值4．当且仅当时取到．问题4：请同学们分组讨论能否由问题1及问题3推广至更一般的结论出来，学生讨论完后，在学生回答的基础上得出以下最值定理．三、建构数学最值定理：已知都是正数，①如果积是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值．证明：∵，∴，①当(定值)时，∴，∵上式当时取“”，∴当时有；②当(定值)时，∴，∵上式当时取“”∴当时有．说明：最值定理是求最值的常用方法，但应注意以下几点：①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；②用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”．③函数式中各项必须都是正数;④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数时才能用最值定理求最值．四、数学运用例1 （1）求的最值，并求取最值时的的值．解∵∴，于是，当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值是，此时．（2）若上题改成，结果将如何？解∵，于是，从而，∴的最大值是，此时．例2 （1）求的最大值，并求取最大值时的的值．（2）求的最大值，并求取最大值时的值解（1）∵，∴．∴．则，当且仅当，即时取等号．∴当时，取得最大值4．（2）∵0<x<2，∴0<x2<4，∴，∴当且仅当，即∴当例3 已知是正实数，若，求的最小值．解∵是正实数，，∴，当且仅当，即时取等号，∴当时，取最小值变题：若，求的最小值．解，，．．例4 求下列函数的值域:（1）；（2）．解（1），．（2），当时，；当时，，．归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4) 写出正确答案.2. 练习．（1）已知，求的最大值并求相应的值．（2）已知，求的最大值，并求相应的值．（3）已知，求函数的最大值，并求相应的值．（4）已知求的最小值，并求相应的值．五、要点归纳与方法小结：1．用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配凑出和为定值；（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入．一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及其变形的应用．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

均值不等式的证明(精选多篇)常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足hn?gn?an?qn?、ana1、a2、?r?，当且仅当a1?a2???an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)， a,b?0?2ab(4)对实数a,b，有a?a-b??b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。

当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，设f?x??lnx，f?x?为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）均值不等式证明一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：证xy+1/xy≥17/4即证4(xy)?-17xy+4≥0即证(4xy-1)(xy-4)≥0即证xy≥4，xy≤1/4而x,y∈r+，x+y=1显然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得证法三：∵同理0xy+1/xy-17/4=(4x?y?-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0三、1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足hn≤gn ≤an≤qn的式子即为均值不等式。

均值不等式的推导过程有哪些 均值不等式是数学中的⼀个重要公式。

也是⼗分常⻅的⼀个考点。

下⾯是由店铺编辑为⼤家整理的“均值不等式的推导过程有哪些”，仅供参考，欢迎⼤家阅读本⽂。

公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过⼏何平均数，⼏何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平⽅平均数。

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、⼏何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平⽅平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满⾜Hn≤Gn≤An≤Qn 的式⼦即为均值不等式。

推导过程 关于均值不等式的证明⽅法有很多，数学归纳法(第⼀数学归纳法或反向归纳法)、拉格朗⽇乘数法、琴⽣不等式法、排序不等式法、柯⻄不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这⾥简要介绍数学归纳法的证明⽅法： (注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明⽅法。

) ⽤数学归纳法证明，需要⼀个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0时取等号。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明(⽤数学归纳法)(或⽤⼆项展开公式更为简便)。

原题等价于： 当且仅当时取等号。

当n=2时易证; 假设当n=k时命题成⽴，即 , 当且仅当时取等号。

那么当n=k+1时，不妨设是中最⼤者，则 设 根据引理 当且仅当且时，即时取等号。

利⽤琴⽣不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯⻄归纳法等等⽅法。