高2020届高2017级高中数学文科数学第一轮复习全套课件状元桥高考必考题突破讲座2

则∁UA＝( C )
A．∅
B．{1,3}
C．{2,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
解析 因为∁UA 中元素为 U 中元素去掉 A 中元素后剩余
元素构成的集合，故∁UA＝{2,4,5}．
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[考法精讲]
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考法一 集合的含义与表示
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(3)若 A B，则 A⊆B，且 A≠B .( √ ) 解析 正确．A B 表示 A 是 B 的真子集． (4)对于任意两个集合 A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成 立．( √ ) 解析 正确．因为 A∩B⊆A，而 A⊆A∪B，所以(A∩B)
⊆(A∪B)恒成立．
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(3)集合的表示方法：_列__举__法___、_描__述__法___、图示法．
(4)常见数集及其符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N
N*或N＋ Z
Q
R
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2.集合间的基本关系
表示 关系
文字语言
记法
集合 间的 基本 关系
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(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x,y)|y＝x2＋1}．( ) 解析× 错误．集合{x|y＝x2＋1}表示函数y＝x2＋1中x的取 值范围,即{x|y＝x2＋1}＝R,而集合{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}表 示函数中y的取值范围,而集合{(x,y)|y＝x2＋1}表示抛物线上 的点集．

课时达标 第20讲一、选择题1.已知sin 2α＝13,则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.－13B.－23C.13D.23D 解析 cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝23. 2.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C.πD.2πC 解析 y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6,其最小正周期为2π2＝π.故选C. 3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2,则( ) A.f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π,最大值为4B 解析 因为函数f (x )＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52,所以f (x )的最小正周期为2π2＝π,最大值为32＋52＝4.故选B. 4.(2019·绵阳中学月考)已知sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＋sin α＝435,则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝( ) A.－45B.－35C.－25D.－15A 解析 由题意得sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435,所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45,所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 5.(2019·深圳中学期中)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12,且－π2＜α＜0,则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( )A.－255B.－3510C.－31010D.255A 解析 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12得tan α＝－13.又－π2＜α＜0,故sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255. 6.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α,则cos 2α＝( ) A.1B.－1C.12D.0D 解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α,所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α,即⎝⎛⎭⎫12－32sin α＝－⎝⎛⎭⎫12－32cos α,所以tan α＝sin αcos α＝－1,所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0.二、填空题7.函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________.解析 依题意得f (x )＝5sin(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫其中sin θ＝25，cos θ＝15.因此函数f (x )的最大值是5.答案 58.tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________.解析 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 答案 19.若锐角α,β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4,则α＋β＝________. 解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3,即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0,π),所以α＋β＝π3.答案 π3三、解答题10.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值;(2)若角β满足sin(α＋β)＝513,求cos β的值.解析 (1)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得sin α＝－45,所以sin(α＋π)＝－sin α＝45. (2)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得cos α＝－35,由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)sin α,所以cos β＝－5665或1665.11.已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6,x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值. 解析 (1)由已知,有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数,在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数,且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14,f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12,f ⎝⎛⎭⎫π4＝34,所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34,最小值为－12. 12.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)＋2sin 2ωx ＋φ2－1(ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为π2.(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π4时,求f (x )的单调递减区间; (2)将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向右平移π6个单位长度,再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数y ＝g (x )的图象.当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π6时,求函数g (x )的值域.解析 (1)由题意得f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos ()ωx ＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6,因为相邻两对称轴间的距离为π2,所以T ＝2πω＝π,ω＝2.又因为函数f (x )为奇函数,所以φ－π6＝k π,k ∈Z ,φ＝k π＋π6,k ∈Z .因为0＜φ＜π,所以φ＝π6,故函数f (x )＝2sin 2x .令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π,k ∈Z ,得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π,k ∈Z ,令k ＝－1,得－3π4≤x ≤－π4,因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π4,所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－π4. (2)由题意可得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3,因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π6,所以－2π3≤4x －π3≤π3,所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3≤32,g (x )∈[－2,3],即函数g (x )的值域为[－2,3]. 13.[选做题](2019·洛阳统考)已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω＞0),x ∈R ,若f (x )在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，18 B.⎝⎛⎦⎤0，14∪⎣⎡⎭⎫58，1 C.⎝⎛⎦⎤0，58 D.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 D 解析 f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4,因为π＜x ＜2π,所以ωπ－π4＜ωx －π4＜2ωπ－π4,因为函数f (x )在区间(π,2π)内没有零点,所以⎩⎪⎨⎪⎧2π2ω≥π，f (π)·f (2π)≥0，即⎩⎨⎧22sin ⎝⎛⎭⎫ωπ－π4≥0，22sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π4≥0或⎩⎨⎧22sin ⎝⎛⎭⎫ωπ－π4≤0，22sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π4≤0，则⎩⎨⎧2k ＋14≤ω≤2k ＋54，k ＋18≤ω≤k ＋58(k ∈Z )或⎩⎨⎧2k －34≤ω≤2k ＋14，k －38≤ω≤k ＋18(k ∈Z ),又因为0＜ω≤1,所以0＜ω≤18或14≤ω≤58.。

课时达标 第30讲一、选择题1.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n ＝1n (n ＋1),则S 6＝( )A.142B.45C.56D.67D 解析 因为a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1,所以S 6＝1－12＋12－13＋…＋16－17＝1－17＝67.2.数列{a n }满足a 1＝1,且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a n ＋a 1＋n ,则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 021＝( )A.2 0202 021 B.4 0402 021 C.2 0212 022D.2 0211 011D 解析 由题意知a n ＋1－a n ＝n ＋1,所以a n －a n －1＝n ,所以a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋a n－2－a n －3＋…＋a 2－a 1＋a 1＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2,所以1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎣⎡⎦⎤1n －1(n ＋1).所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 021＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋12 021－12 022＝2×2 0212 022＝2 0211 011.故选D. 3.(2019·西安一中月考)在公差大于0的等差数列{a n }中,2a 7－a 13＝1,且a 1,a 3－1,a 6＋5成等比数列,则数列(－1)n －1a n 的前21项和为( )A.21B.－21C.441D.－441A 解析 设等差数列{a n }的公差为d ,d ＞0,由题意可得2(a 1＋6d )－(a 1＋12d )＝1,a 1(a 1＋5d ＋5)＝(a 1＋2d －1)2,解得a 1＝1,d ＝2,所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以(－1)n －1a n ＝(－1)n－1(2n －1),故数列(－1)n －1a n 的前21项和为1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21.4.(2019·信阳一中期中)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝⎛⎭⎫15n,则其前20项和为( )A.380－35⎝⎛⎭⎫1－1519 B.400－25⎝⎛⎭⎫1－1520 C.420－34⎝⎛⎭⎫1－1520 D.440－45⎝⎛⎭⎫1－1520C 解析 令数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝⎛⎭⎫15＋152＋…＋1520＝2×20×(20＋1)2－3×15⎝⎛⎭⎫1－15201－15＝420－34⎝⎛⎭⎫1－1520. 5.化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n－1的结果是( )A.2n ＋1＋n －2B.2n ＋1－n ＋2C.2n －n －2D.2n ＋1－n －2D 解析 因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1, ① 2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ,②所以①－②得－S n ＝n －(2＋22＋23＋…＋2n )＝n ＋2－2n ＋1,所以S n ＝2n ＋1－n －2.6.已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *),S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 2 020＝( ) A.22 020－1 B.3×21 010－3 C.3×21 010－1D.3×22 020－2B 解析 依题意得a n ·a n ＋1＝2n ,a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1,于是有a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝2,即a n ＋2a n ＝2,数列a 1,a 3,a 5,…,a 2n －1,…是以a 1＝1为首项,2为公比的等比数列;数列a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是以a 2＝2为首项,2为公比的等比数列,于是有S 2 020＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 019)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 020)＝1－21 0101－2＋2(1－21 010)1－2＝3×21 010－3.故选B.二、填空题 7.在数列{a n }中,a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1,又b n ＝2a n a n ＋1,则数列{b n }的前n 项和为________.解析 因为a n ＝n (n ＋1)2 n ＋1 ＝n 2,所以b n ＝8n (n ＋1)＝8⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝8⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝8nn ＋1.答案8nn ＋18.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *),则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项,2为公差的等差数列,又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5,所以当n <5时,a n <0,当n ≥5时,a n ≥0,所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案 1309.若数列{a n }是正项数列,且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *),则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝________.解析 令n ＝1,得a 1＝4,所以a 1＝16.当n ≥2时,a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1). 与已知式相减,得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2. 所以a n ＝4(n ＋1)2,当n ＝1时,a 1适合a n . 所以a n ＝4(n ＋1)2,所以a nn ＋1＝4n ＋4,所以a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝n (8＋4n ＋4)2＝2n 2＋6n .答案 2n 2＋6n 三、解答题10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5＝－3,S 10＝－40. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若从数列{a n }中依次取出第2,4,8,…,2n ,…项,按原来的顺序排成一个新数列{b n },求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)因为a 5＝a 1＋4d ＝－3,S 10＝10a 1＋45d ＝－40,解得a 1＝5,d ＝－2.所以a n ＝－2n ＋7.(2)依题意,b n ＝a 2n ＝－2×2n ＋7＝－2n ＋1＋7,故T n ＝－(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋7n ＝－22－2n ＋1×21－2＋7n ＝4＋7n －2n ＋2.11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3＝2S 2＋4,a 5＝36. (1)求a n ,S n ;(2)设b n ＝S n －1(n ∈N *),T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n,求T n .解析 (1)因为S 3＝2S 2＋4,所以a 1＝d －4,又因为a 5＝36,所以a 1＋4d ＝36,解得d ＝8,a 1＝4,所以a n ＝4＋8(n －1)＝8n －4,S n ＝n (4＋8n －4)2＝4n 2.(2)b n ＝4n 2－1＝(2n －1)(2n ＋1),所以1b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 12.(2017·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1＋a 2＝6,a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解析 (1)设{a n }的公比为q ,由题意知a 1(1＋q )＝6,a 21q ＝a 1q 2.又a n >0,解得a 1＝2,q ＝2,所以a n ＝2n .(2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1,又S 2n ＋1＝b n b n ＋1,b n ＋1≠0,所以b n ＝2n＋1.令c n ＝b n a n ,则c n ＝2n ＋12n ,因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ,又12T n＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1,两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1,所以T n ＝5－2n ＋52n .13.[选做题](2019·巴蜀中学月考)数列{a n }不是常数列,满足a 1＝14,a 5＝18,且a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝na 1a n ＋1对任何的正整数n 都成立,则1a 1＋1a 2＋…＋1a 50的值为( )A.1 475B.1 425C.1 325D.1 275B 解析 因为a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝na 1a n ＋1,所以当n ≥2时,a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n＝(n －1)a 1a n ,两式相减可得a n a n ＋1＝na 1a n ＋1－(n －1)a 1a n ,即1a 1＝n a n －n －1a n ＋1,则1a 1＝n ＋1a n ＋1－na n ＋2,则n a n －n －1a n ＋1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2,即1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1,即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,又由a 1＝14,a 5＝18可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差d ＝1,则1a 50＝53,则1a 1＋1a 2＋…＋1a 50＝50×(4＋53)2＝1 425.。

课时达标 第18讲一、选择题1.已知tan(α－π)＝34,且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2,则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B.－45C.35D.－35B 解析 由tan(α－π)＝34得tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2,所以α为第三象限角,所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45.故选B. 2.cos 350°－2sin 80°sin (－280°)＝( )A.－ 3B.－1C.1D. 3B 解析 原式＝cos (360°－10°)－2sin (90°－10°)－sin (270°＋10°)＝cos 10°－2cos 10°－(－cos 10°)＝－cos 10°cos 10°＝－1.3.已知sin α＋cos α＝2,则tan α＋cos αsin α 的值为( )A.－1B.－2C.12D.2D 解析 因为sin α＋cos α＝2,所以(sin α＋cos α)2＝2,所以sin α·cos α＝12,所以tan α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2. 4.已知α为锐角,且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0,tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1,则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13C 解析 由已知得－2tan α＋3sin β＋5＝0,tan α－6sin β＝1, 解得tan α＝3,故sin α＝31010.5.已知－π2＜α＜0,sin α＋cos α＝15,则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75B.725C.257D.2425C 解析 由sin α＋cos α＝15得1＋2sin αcos α＝125,即2sin αcos α＝－2425,又因为－π2＜α＜0,所以cos α－sin α＞0.所以cos α－sin α＝1－2sin αcos α＝75,所以1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝257.6.若A ,B 是锐角△ABC 的两个内角,则点P (cos B －sin A ,sin B －cos A )在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限B 解析 因为△ABC 是锐角三角形,则A ＋B >π2,所以A >π2－B >0,B >π2－A >0,所以sinA >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ,sin B >sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A ,所以cos B －sin A <0,sin B －cos A >0,所以点P 在第二象限.故选B.二、填空题7.已知tan α＝－12,π2<α<π,则sin α＝________.解析 因为α为第二象限角,tan α＝－12,所以sin α＞0,且sin αcos α＝－12,sin 2α＋cos 2α＝1,所以sin α＝55. 答案558.若f (cos x )＝cos 2x ,则f (sin 15°)＝________. 解析 f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. 答案 －329.函数y ＝sin x cos x1＋cos x ＋sin x 的最大值为________.解析 设t ＝cos x ＋sin x ,则t ∈[－2,－1)∪(－1,2]. 于是y ＝t 2－121＋t ＝t －12,当t ＝2时,y 取最大值2－12.答案2－12三、解答题10.(2019·深圳中学期中)已知cos(α－7π)＝－35,求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值. 解析 因为cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35,所以cos α＝35.所以sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝35. 11.已知sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝45,求tan α的值.解析 由已知得sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝45,且cos α≠0,所以tan 2α＋tan α－2tan 2α＋1＝45,整理得tan 2α＋5tan α－14＝0,解得tan α＝2或tan α＝－7.12.(2019·华南师大附中期中)已知α为第三象限角,f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α);(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15,求f (α)的值. 解析 (1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15,所以－sin α＝15,从而sin α＝－15.又α为第三象限角,所以cos α＝－1－sin 2α＝－265,所以f (α)＝－cos α＝265.13.[选做题]化简cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )的结果为________.解析 因为n 为整数,所以cos(n π＋x )＝(－1)n cos x ,sin(n π－x )＝(－1)n －1sin x ,cos[(2n ＋1)π－x ]＝－cos x ,所以原式＝(－1)2n cos 2x ·(－1)2n sin 2x (－cos x )2＝cos 2x ·sin 2xcos 2x ＝sin 2x . 答案 sin 2x。