【倍速课时学练】2014秋九年级数学上册 4.5 相似三角形的性质及应用(第1课时)课件 (新版)浙教版

第4章相似三角形4.5 相似三角形的性质及其应用第1课时相似三角形的性质1知识点1 相似三角形的对应角、对应边的性质1．如图4－5－1，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠B的度数为( ) A．40° B．60° C．80°D．100°2．已知△ABC的三边长分别为2，6，4，△A′B′C′的两边长分别是2，3，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是( )A．6 2B．4 2C．3 2D．2 24－5－14－5－23.如图4－5－2，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为________．知识点2 相似三角形的对应角平分线、中线、高的性质4．2017·某某校级期末如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的一组对应边上的中线之比是( )A．9∶16 B．3∶7 C．3∶4 D．4∶35．如图4－5－3所示，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝5 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是( )A.56m B.67m C.65m D.103m4－5－3图4－5－46．如图4－5－4所示，△ABC∽△A1B1C1，AD，A1D1分别是△ABC，△A1B1C1的角平分线，BC＝6 cm，B1C1＝4 cm，AD＝4.8 cm，则A1D1的长为________cm.知识点3 三角形的重心的性质7．如图4－5－5，在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果DG＝2，那么线段AD的长是( )图4－5－5A．2 B．3 C．6 D．128．若三角形的重心在它的一条高上，则这个三角形一定是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形9．等腰直角三角形的腰长为2，则该三角形的重心到斜边的距离为( )A.2 23B.23C.23D.1310．课本例2变式已知：如图4－5－6，BD ，CE 是△ABC 的两条中线，O 是它们的交点．求证：(1)OD OB ＝12；(2)△ABC 的三条中线交于一点．图4－5－6图4－5－711．如图4－5－7，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( ) A ．4 B ．4 2C ．6 D ．4 312．两个相似三角形的相似比为2∶5，已知其中一个三角形的一条中线长为10，那么另一个三角形对应的中线长是________．13．如图4－5－8，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AC 边上一点，∠CBD ＝∠A ，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．若AB ＝5，AC ＝4，则CF ∶CE ＝________.4－5－84－5－914．如图4－5－9，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上．若BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23EH ，则EH 的长为________． 15．已知：如图4－5－10，在△ABC 中，∠C ＝90°，G 是重心，AB ＝8. (1)求线段CG 的长；(2)过点G 作直线MN ∥AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．图4－5－1016．如图4－5－11，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求AC AF的值．图4－5－1117．一题多解如图4－5－12，△ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且BE ＝3AE ，求BC CD的值．(请你用尽可能多的方法尝试)图4－5－12详解详析1．A 2.D3.2 34．C [解析]∵两个相似三角形对应边的比为3∶4，∴它们的一组对应边上的中线之比是3∶4，故选C.5．C7．C 8.A 9.D10．证明：(1)∵△ABC的中线BD，CE相交于点O，∴点O是△ABC的重心，∴ODOB＝12.(2)如图，连结AO并延长与BC相交于点F，过点B作BH∥CE交AO的延长线于点H，连结CH.∵CE是△ABC的中线，∴O是AH的中点．又∵BD是△ABC的中线，∴OD是△ACH的中位线，∴OD∥CH，∴四边形BHCO是平行四边形，∴BF＝CF，∴AF是△ABC的中线，即△ABC的三条中线交于一点O.11．B [解析]∵BC＝8，AD是中线，∴CD＝4. 在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴ACBC＝CDAC，∴AC2＝CD·BC＝4×8＝32，∴AC＝4 2.12．4或25 [解析]∵两个相似三角形的相似比为2∶5，其中一个三角形的一条中线长为10，而这条中线可能是小三角形的，也可能是大三角形的，∴另一个三角形对应的中线长可能为4，也可能是25.13．3∶4[解析]∵∠BCD ＝∠ACB ，∠A ＝∠CBD ， ∴△BDC ∽△ABC ，∴CF ∶CE ＝BC ∶AC .∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC ＝3，∴CF ∶CE ＝3∶4. 14.32[解析] 设EH 交AD 于点M . ∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥BC ， ∴△AEH ∽△ABC .∵AD ⊥BC ，∴AM ⊥EH ，∴AM AD ＝EHBC， 设EH ＝3x ，则有EF ＝2x ，AM ＝AD －EF ＝2－2x . ∴2－2x 2＝3x3， 解得x ＝12，则EH ＝32.15．解：(1)连结CG 并延长，交AB 于点D .∵G 是△ABC 的重心，∴CD 为AB 边上的中线，DG ＝13CD ，CG ＝23CD .又∵∠C ＝90°，∴CD ＝12AB ＝4，CG ＝23CD ＝83.(2)∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB ，△CMG ∽△CAD ，∴MN AB ＝MC AC ＝CG CD ＝23，∴MN ＝23AB ＝163.16．解：(1)证明： ∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC ＝AC AB，∴AC 2＝AB ·AD .(2)证明：∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°， ∴CE ＝12AB ＝AE ，∴∠EAC ＝∠ECA .∵∠DAC ＝∠CAB ， ∴∠DAC ＝∠ECA ， ∴CE ∥AD . (3)∵CE ∥AD ，∴∠DAF ＝∠ECF ，∠ADF ＝∠CEF ，∴△AFD ∽△CFE ，∴AD CE ＝AFCF. ∵CE ＝12AB ，∴CE ＝12×6＝3.又∵AD ＝4，∴由AD CE ＝AF CF ，得43＝AFCF，∴AF AC ＝47，∴AC AF ＝74. 17．解：方法一：如图①，过点C 作CF ∥AB 交ED 于点F . ∵CF ∥AB ， ∴△AEM ∽△CFM . 又∵M 是AC 的中点，∴AE FC ＝AM MC＝1，∴AE ＝FC .又∵BE ＝3AE ，∴FC BE ＝13. 又∵CF ∥AB ，∴BC CD＝2；方法二：如图②，过点M 作MF ∥AB 交BC 于点F . ∵MF ∥AB ， ∴△CMF ∽△CAB .又∵M 是AC 的中点，∴FC BC ＝FM AB ＝MC AC ＝12. 又∵BE ＝3AE ，∴FD BD ＝FM BE ＝23. 设BF ＝x ，则FC ＝x ，CD ＝x ，∴BC CD＝2； 方法三：如图③，过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F .∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC .又∵BE ＝3AE ，∴BE AB ＝EF AC ＝BF BC ＝34. 又∵M 是AC 的中点，∴CM EF ＝23. ∵MC ∥EF ，∴CD FD ＝CM EF ＝23. 设FC ＝x ，则BF ＝3x ，CD ＝2x ，∴BC CD＝2； 方法四：如图④，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F .∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC . 又∵BE ＝3AE ， ∴EF BC ＝AF AC ＝AE AB ＝14.又∵M 是AC 的中点，∴2AF ＝AM ＝MC ，2FM ＝MC . ∵EF ∥CD ，∴△MFE ∽△MCD ，∴EF CD ＝FM MC ＝12，∴BC CD ＝2.。

4.5 相似三角形的性质及其应用(一)1．已知△ABC ∽△DEF ，若 △ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为(A )A. 34B. 43C.916 D. 1692．如图，为测量学校旗杆高度，小东用长为3.2 m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8 m ，与旗杆相距22 m ，则旗杆高为(C )(第2题)A. 8.8 mB. 10 mC. 12 mD. 14 m3．如图，已知D是△ABC的重心，则下列结论不正确的是(B)(第3题)A.AD＝2DEB.AE＝2DEC.BE＝CED.S△ABE＝S△ACE4．如果两个相似三角形的对应角平分线之比是2∶3，那么它们的对应高线之比是2∶3．5．如图是小明设计用手电筒来测量古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶点C处．如果AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝3.6 m，那么该古城墙的高度是__2.4__m(平面镜厚度忽略不计)．(第5题)6．若一个三角形的三边长之比为3∶5∶7，与它相似的一个三角形的最长边的长为21 cm，则其余两边长的和为24cm.7．如图，AC⊥CD，垂足为C，BD⊥CD，垂足为D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，求AO的长．(第7题)【解】 ∵AC ⊥CD ，BD ⊥CD ， ∴∠C ＝∠D ＝90°.又∵∠AOC ＝∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ， ∴AC BD ＝CO DO ＝12，∴CO ＝13CD ＝43， ∴AO ＝AC 2＋CO 2＝12＋⎝⎛⎭⎫432＝53.(第8题)8．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使P，Q，S 三点在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，求河的宽度PQ.【解】∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PST，∴PQPS＝QRST，即PQPQ＋60＝80120，解得PQ＝120(m)．答：河的宽度PQ为120 m.9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为(8，0)，(0，2 3)，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连结BP，E C.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为(1，3)．(第9题)【解】∵点A，B的坐标分别为(8，0)，(0，2 3)，∴BO＝2 3，AO＝8.∵CD⊥OB，OA⊥OB，∴CD∥O A.∵C是AB的中点，∴BDBO＝BCBA＝12.∴BD＝3，CD＝4.∴OD＝OB－BD＝ 3.设DP＝a，则CP＝4－a.如解图，当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直于点F时，易得∠FCP＝∠DBP.(第9题解)又∵EP⊥CP，PD⊥BD，∴∠EPC＝∠PDB＝90°，∴△EPC∽△PD B.∴DPPE＝DBPC，即a3＝34－a，解得a1＝1，a2＝3(不合题意，舍去)．∴DP＝1.∴点P(1，3)．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，G是△ABC的重心，AB＝8.(1)求线段GC的长．(2)过点G的直线MN∥AB，交AC于点M，交BC于点N，求MN的长．(第10题)【解】(1)延长CG交AB于点D.∵G 是三角形的重心，∴CD 为AB 边上的中线，CG ＝23C D. 又∵∠C ＝90°， ∴CD ＝12AB ＝4. ∴CG ＝23CD ＝83. (2)∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB ，△CMG ∽△CAD ， ∴MN AB ＝MC AC ＝CG CD ＝23， ∴MN ＝23AB ＝163.11．已知△ABC (如图所示)．(第11题)(1)在图中找出重心O .(2)设BC ，AC ，AB 边的中点分别为M ，N ，G ，度量OM 与OA ，ON 与OB ，OG 与OC ，根据度量的结果，猜想三角形的重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之间的关系，并给予证明． 【解】 (1)用尺规作图作出△ABC 三边的中线，设它们的交点为O ，则O 为△ABC 的重心(画图略)．(2)通过度量发现：OA ＝2OM ，OB ＝2ON ，OC ＝2OG .猜想：三角形的重心O 到三角形顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍．(第11题解)证明：如解图所示，取OB ，OC 的中点K ，H ，连结KH ，HN ，NG ，GK .∵G ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴GN 平行且等于12B C.同理可得KH 平行且等于12B C. ∴GN 平行且等于KH . ∴四边形KHNG 是平行四边形. ∴OG ＝OH ，ON ＝OK .∵BK ＝OK ，CH ＝OH ，∴OB ＝2ON ，OC ＝2OG . 若取OA 的中点R ，同理可证OA ＝2OM . ∴OA ＝2OM ，OB ＝2ON ，OC ＝2OG .12．如图，点G 是等边三角形ABC 的重心，过点G 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点D ，E ，点M 在BC 边上．如果以点B ，D ，M 为顶点的三角形与以点C ，E ，M 为顶点的三角形相似(但不全等)，求S △BDM ∶S △CEM 的值．(第12题)【解】 ∵点G 是等边三角形ABC 的重心，DE ∥BC ， ∴AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，BD AB ＝CE AC ＝13，∴BD ＝13AB ，CE ＝13AC ，∴BD ＝CE . 当△BDM ∽△CME 时，有BD CM ＝BMCE .设BD ＝a ，CM ＝x ，则CE ＝a ，BC ＝3a ，BM ＝3a －x . ∴a x ＝3a －x a ，解得x ＝3±5a . 当CM ＝3－52a 时，BM ＝3＋52a ， ∴S △BDM ∶S △CEM ＝BM ∶CM ＝7＋3 52. 当CM ＝3＋52a 时，BM ＝3－52a ， ∴S △BDM ∶S △CEM ＝BM ∶CM ＝7－3 52.当△BDM ∽△CEM 时，有BM CM ＝DM EM ＝BDCE ＝1， 此时△BDM ≌△CEM ，与题意不符．综上所述，S △BDM ∶S △CEM ＝7＋3 52或7－3 52.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

第3课时相似三角形的性质的应用知识点相似三角形的性质的实际应用利用相似求线段长度的一般步骤：找相似，列方程，得结论．1．如图4－5－4，铁路道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点下降0.5 m 时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)( )图4－5－4A．4 mB．6 mC．8 mD．12 m2．如图4－5－5，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m的位置上，则网球拍击球的高度h为________m.图4－5－5类型一利用相似原理求物体的高度例1 [教材例6针对练] 如图4－5－6，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．图4－5－6【归纳总结】测量物体高度的方法(1)利用影长：在同一时刻、同一地点，物体的实际高度和影长成正比，据此列方程即可解答，即物高影长＝物高影长.(2)利用标杆或三角板，利用标杆时一般需要测量的数据有：①标杆的高度；②测量点距标杆的距离；③测量点距被测物体的距离．类型二 利用相似原理解决其他问题例2 [教材补充例题] 如图4－5－7，M ，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M ，N 两点之间的直线距离，选择测量点A ，B ，C ，点B ，C 分别在AM ，AN 上，现测得AM ＝1 km ，AN ＝1.8 km ，AB ＝54 m ，BC ＝45 m ，AC ＝30 m ，求M ，N 两点之间的直线距离．图4－5－7【归纳总结】构造相似三角形测宽度的“三点注意”(1)在构造的三角形中，被测对象必是其中一个三角形的一边；(2)注意把握“所构造的三角形中除被测对象外其余的对应边易测量”的原则；(3)构造的方法较多，一般构造包括被测对象在内的两个直角三角形相似．图4－5－8图4－5－9通过对教材例6这道测量树高方案设计题的合作讨论，你觉得在设计测量方案中应注意哪些问题？。

4.5 相似三角形的性质及其应用一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，身高为 1.6 m的某学生想测量学校旗杆的高，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2.0 m，BC=8.0 m，则旗杆的高度是( )A. 6.4 mB. 7.0 mC. 8.0 mD. 9.0 m2. 两个相似多边形，一组对应边的长分别是 2 cm和 3 cm，如果它们的面积之和是78 cm2，那么较大的多边形面积为( )A. 44.8 cm2B. 49.92 cm2C. 52 cm2D. 54 cm23. 如图是幻灯机的工作原理图，其中幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离为20 cm，幻灯片与屏幕间的距离为1.8 m，幻灯片上的图案的高度是8 cm，屏幕上图案的高度应为( )A. 72 cmB. 7.2 mC. 80 cmD. 8 m4. 某块面积为4000 m2的多边形草坪，在某市政建设规划设计图纸上的面积为250 cm2，这块草坪某条边的长度是40 m，则它在设计图纸上的长度是( )A. 4 cmB. 5 cmC. 10 cmD. 40 cm5. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD=10 m，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得BC=30 m．如果DE=20 m，则河宽AD为( )m C. 10 m D. 30 mA. 20 mB. 2036. 如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为( )A. 4B. 4√2C. 6D. 4√37. 如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20 m，EC=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于( )A. 60 mB. 40 mC. 30 mD. 20 m8. 某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9:4，其中一块草坪的周长是36 m，则另一块草坪的周长是( )A. 24 mB. 54 mC. 24 m或54 mD. 36 m或54 m9. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是 1.6 m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2 m 和1 m，那么塔高AB为( )．A. 24mB. 22mC. 20mD. 18m10. 如图，以M(−5,0)为圆心，4为半径的圆与x轴交于A，B两点，P是⊙M上异于A，B的一动点，直线PA，PB分别交y轴于C，D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E，F，则EF 的长( )．A. 等于4√2B. 等于4√3C. 等于6D. 随P点二、填空题（共10小题；共50分）11. 利用影长测量物体的高度，通常利用“相似三角形对应边”的原理解决，在同一时刻物高与影长的比．12. 同一时刻阳光下，哥哥的身高是 1.68 m，在地面上的影子长是 2.1 m，同一时刻测得弟弟的影子长是1.8 m，则弟弟的身高是m．13. 已知两个三角形相似，它们的一组对应边分别是3和4，那么它们对应高的比等于．14. 如图，为测量电视塔AB的高度（包括台阶高），小亮在他与电视塔之间竖立一根 5 m高的标杆（即CE），当他距标杆 2 m时（即点D处），塔尖A、标杆的顶端E与小亮的眼睛F恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是 1.6 m，标杆与电视塔之间的距离是108 m，则电视塔的高度是 m．15. 为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底(B)8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树(AB)的高度约为米（精确到0.1米）．16. 如图，小明用长为 3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的顶端C、A与O点在一条直线上，则根据图中数据可得旗杆AB的高为 m．17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P，则点P 与Q的坐标分别为，．18. （1）如图，斜坡长OA=30 m，若沿斜坡向上走 5 m时上升了 1 m，则到达坡顶点A时上升了 m；（2）在某一时刻，测得一根高为 1.8 m的竹竿的影长为 3 m，同时得—幢高楼的影长为90 m，这幢高楼的高度是 m．19. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有个．20. 如图，某校有一呈梯形状的运动场，现只测量出△CDE的面积为m，△ABE的面积为n，则梯形状运动场的面积为．三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3:4，则△ABC与△DEF的面积之比为A. 4:3B. 3:4C. 16:9D. 9:1622. 如图，为了测量山脚B，C之间的距离，选定一点O，量得OB=120步，OC=80步，在BO的延长线上取点D，使OD=60步，在CO的延长线上取点A，使OA=40步，量得AD=68步．你知道B、C之间相距多少步吗?23. 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．24. 如图，为了估算河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直．在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ．25. 已知四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．Ⅰ如图，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：DECF =ADDC；Ⅱ如图，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DECF= ADDC成立?并证明你的结论；Ⅲ如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90∘，DE⊥CF，请直接写出DECF的值．答案第一部分1. C2. D3. C4. C5. A6. B7. B8. C9. A 10. C第二部分11. 成比例；相等12. 1.4413. 3:414. 188.615. 5.616. 9．17. (2,4−2√2)、(√2,√2)18. （1）6；（2）54 .19. 320. m+n+2√mn第三部分21. D 22. ∵OAOC =ODOB=12，∠AOD=∠BOC．∴△AOD∽△COB．∴OAOC =ADBC．又AD=68，∴BC=136．答：B，C之间相距136步．23. 在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴DEAB =DFAC=12．又∠D=∠A，∴△DEF∼△ABC，相似比为12．∴△DEF的周长为12×24=12，面积为(12)2×48=12．24. ∵∠PQR=∠PST=90∘，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST．∴PQPS =QRST，即PQPQ+QS =QRST，PQPQ+45=6090，PQ×90=(PQ+45)×60．解得PQ=90．因此河的宽度PQ为90 m．25. （1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90∘．∴∠DCF+∠CFD=90∘．∵DE⊥CF，∴∠ADE+∠CFD=90∘．∴∠ADE=∠DCF．∴△ADE∽△DCF．∴DFCF =ADDC．（2）当∠B+∠EGC=180∘时，DECF=ADDC成立．证明：在AD的延长线上取点M，使CM=CF，则∠CMF=∠CFM，∵AB∥CD，∴∠A=∠CDM．∵∠B+∠EGC=180∘，∴∠AED=∠FCB．∵AD∥BC，∴∠FCB=∠CFM．∴∠CMF=∠AED．∴△ADE∽△DCM．∴DECM =ADDC，即DECF=ADDC．（3）DECF=2524．初中数学试卷。

第2课时九年级数学上册第四章相似三角形4.5 相似三角形的性质及其应用第2课时相似三角形的周长比、面积比随堂练习（含解析）（新版）浙教版第3课时第4课时第5课时编辑整理：第6课时第7课时第8课时第9课时第10课时尊敬的读者朋友们：第11课时这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第四章相似三角形4.5 相似三角形的性质及其应用第2课时相似三角形的周长比、面积比随堂练习（含解析）（新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第13课时第14课时相似三角形的周长比、面积比1．[2017·重庆B卷]已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF 的面积比是( A ）A. 1∶4B. 4∶1C. 1∶2D. 2∶1【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△ABC∶S△DEF＝1∶4.2．[2017·重庆A卷]若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2，则对应高线的比为( A )A．3∶2 B．3∶5C．9∶4 D．4∶9【解析】因为△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高线之比等于相似比"，故选A。

3．如图4－5－10,在△ABC中，D，E分别是AB,AC的中点，则下列结论不正确的是( D )A．BC＝2DE B．△ADE∽△ABCC。

错误!＝错误!D．S△ABC＝3S△ADE【解析】∵在△ABC中，D,E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝错误! BC，∴BC＝2DE,故A正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正确；∵DE∥BC，∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!，故C正确；∵DE是△ABC的中位线，∴DE∶BC＝1∶2，∴S＝4S△ADE，故D错误．△ABC图4－5－10 图4－5－114．[2016·湘西]如图4－5－11，在△ABC中,DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1,则四边形DBCE的面积为（ D ）A．3 B．5 C．6 D．8【解析】由DE∥BC，DB＝2AD,得△ADE∽△ABC,错误!＝错误!。

4.5 相似三角形的性质及其应用(二)1．△ABC 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为(C ) A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶162．已知△ABC 的三边长分别为4，2，3，△ABC 与△A ′B ′C ′相似，△A ′B ′C ′的周长为15，则△A ′B ′C ′的最大边长为(C )A. 4B. 125C. 203D. 63．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边长AB ，BC ，AC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积之比为(A )A. 1∶4B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶ 2(第3题) (第4题)4．如图，D ，E 分别为△ABC 的边长AB ，AC 上的中点，则△ADE 与四边形BCED 的面积的比为(B ) A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶15．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，且两个三角形的面积之差为28 ，则△ABC 的面积为__36__．6．如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，∠1＝∠B ，AE ＝EC ＝4，BC ＝10，AB ＝12，则△ADE 的周长为10．(第6题)7．如图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB ＝12，△CEF 的面积为S 1，△AEB的面积为S 2，求S 1S 2的值．(第7题)【解】 ∵AD AB ＝12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC ＝5a . ∵BF ⊥AC ，四边形ABCD 为矩形， ∴易得△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ， ∴BC 2＝CE ·AC ，AB 2＝AE ·AC ， ∴a 2＝CE ·5a ，(2a )2＝AE ·5a ， ∴CE ＝5a 5，AE ＝4 5a 5，∴CE AE ＝14. 易得△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CE AE 2＝116.8．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，DE ∥BC ，EF ∥A B.若AE CE ＝23，S △ABC ＝25，求S ▱BFE D.(第8题)【解】 ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴△ADE ∽△ABC ，△CEF ∽△CA B.∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2，S △CEF S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CE AC 2. ∵AE CE ＝23，∴AE AC ＝25，CE AC ＝35. ∵S △ABC ＝25，∴S △ADE ＝4，S △CEF ＝9， ∴S ▱BFED ＝25－4－9＝12.9．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，DE ∥A C.若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，则S △DOE ∶S △AOC的值为(D )(第9题)A. 13B. 14C. 19D. 116【解】 ∵S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3， ∴BE ∶EC ＝1∶3，∴BE ∶BC ＝1∶4. ∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ，△BDE ∽△BAC ，∴DE AC ＝BE BC ＝14，∴S △DOE ∶S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AC 2＝116. 10．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半．若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′＝2－1．(第10题)【解】 设BC 与A ′C ′交于点E . 易知AC ∥A ′C ′，∴△BEA ′∽△BCA ， ∴S △BEA ′∶S △BCA ＝A ′B 2∶AB 2＝1∶2. ∵AB ＝2，∴A ′B ＝1， ∴AA ′＝AB －A ′B ＝2－1.11．如图，已知△ABC 是面积为3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝45°，AC与DE 交于点F ，则△AEF 的面积等于3－34(结果保留根号).(第11题)【解】 过点F 作FG ⊥AE 于点G .∵△ABC ∽△ADE ，∴S △ABC S △ADE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB AD 2＝4，∴S △ADE ＝34，∴正三角形ADE 的边长为1. ∵∠EAD ＝∠CAB ＝60°，∴∠EAF ＝∠BAD ＝45°，∴FG ＝AG .在Rt △EGF 中，设EG ＝x ，则易得FG ＝3x ， ∴3x ＋x ＝1，∴x ＝3－12，∴FG ＝3－32. ∴S △AEF ＝12AE ·FG ＝3－34.12．如图，已知A 是反比例函数y ＝6x在第一象限分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边向右作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在反比例函数y ＝kx上运动，则k 的值是－3__6．(第12题)(第12题解)【解】 ∵反比例函数y ＝6x的图象关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA ＝O B. 连结OC ，如解图．∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ， ∴OC ⊥AB ，∠BAC ＝60°. ∴AC ＝2O A.∴OC ＝3O A.过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F . ∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ， ∴∠AEO ＝∠OFC ＝90°， ∴∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ， ∴△OFC ∽△AEO ，且相似比OCOA＝3， ∴S △OFC S △AEO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OC OA 2＝3. 设点A 的坐标为(a ，b )． ∵点A 在双曲线y ＝6x 上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝12FC ·OF ＝3 62. 设点C 的坐标为(x ，y )．∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y . ∴FC ·OF ＝x ·(－y )＝－xy ＝3 6. ∵点C 在双曲线y ＝k x上，∴k ＝xy ＝－3 6.(第13题)13．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，并将△ABC 分成面积分别为S 1，S 2，S 3的三块．若S 1∶S 2∶S 3＝1∶4∶10，BC ＝15，求DE ，FG 的长．【解】 ∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴S△ADES△ABC＝⎝⎛⎭⎪⎫DEBC2，S△AFGS△ABC＝⎝⎛⎭⎪⎫FGBC2，即S1S1＋S2＋S3＝⎝⎛⎭⎪⎫DE152，S1＋S2S1＋S2＋S3＝⎝⎛⎭⎪⎫FG152.设S1＝k，则S2＝4k，S3＝10k，∴S1S1＋S2＋S3＝kk＋4k＋10k＝⎝⎛⎭⎪⎫DE152，S1＋S2S1＋S2＋S3＝k＋4kk＋4k＋10k＝⎝⎛⎭⎪⎫FG152，∴DE＝15，FG＝5 3.14．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处．(第14题)(1)如图①，已知折痕与边BC相交于点O.①求证：△OCP∽△PD A.②若△OCP与△PDA的面积之比为1∶4，求边AB的长．(2)若图①中的P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数．(3)如图②，在(1)的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP.动点M在线段AP上(点M不与点P，A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连结MN交PB于点F，过点M作ME⊥BP于点E.试问：在点M，N移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长度．【解】(1)①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠的性质，得∠APO＝∠B＝∠C＝90°，∴∠POC＝90°－∠CPO＝∠AP D.又∵∠C＝∠D，∴△OCP∽△PD A.②∵△OCP与△PDA的面积之比为1∶4，△OCP∽△PDA，∴OC PD ＝OP PA ＝CP DA ＝14＝12， ∴PD ＝2OC ，PA ＝2OP ，DA ＝2CP . ∵AD ＝8，∴CP ＝4，BC ＝8. 设OP ＝x ，则OB ＝x ，OC ＝8－x .在Rt △PCO 中，∵∠C ＝90°，CP ＝4，OP ＝x ，OC ＝8－x ， ∴x 2＝(8－x )2＋42，解得x ＝5， ∴AB ＝AP ＝2OP ＝10，∴边AB 的长为10. (2)∵P 是CD 边的中点，∴DP ＝12D C.∵DC ＝AB ，AB ＝AP ，∴DP ＝12AP .∵∠D ＝90°，∴∠DAP ＝30°. ∵∠DAB ＝90°，∠OAP ＝∠OAB ， ∴∠OAB ＝30°.(3)过点M 作MQ ∥AN 交PB 于点Q . ∵AP ＝AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB ＝∠ABP ，∠ABP ＝∠MQP ， ∴∠APB ＝∠MQP ，∴MP ＝MQ . ∵ME ⊥PQ ，∴PE ＝QE ＝12PQ .∵BN ＝MP ，MP ＝MQ ，∴BN ＝MQ . ∵MQ ∥AN ，∴∠QMF ＝∠BNF . 又∵∠QFM ＝∠BFN ，QM ＝BN ， ∴△MFQ ≌△NFB (AAS )， ∴QF ＝BF ，∴QF ＝12QB ，∴EF ＝EQ ＋QF ＝12PQ ＋12QB ＝12P B.由(1)中的结论，得CP ＝4，BC ＝8，∠C ＝90°，∴PB ＝82＋42＝4 5，∴EF ＝12PB ＝2 5，∴在(1)的条件下，在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度不变，为2 5.初中数学试卷。

4.5 相似三角形的性质及其应用一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为米．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于．二．选择题（共10小题）6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．47．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：110．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，8514．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm215．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．参考答案一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是1：2．【思路点拨】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证△DEF∽△ABC，然后利用相似三角形周长比等于相似比，可得出答案．【答案】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，∵△DEF∽△ABC，∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．故答案为：1：2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用了相似三角形周长比等于相似比．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为15米．【思路点拨】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【答案】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴＝，即＝，∴AB＝15（米）．故答案为：15．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．【思路点拨】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得＝，将已知数据代入即可得．【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，又∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，则＝，∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，∴＝，解得：CD＝0.4，∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．故答案为：0.4．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝9cm．【思路点拨】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB，∴，∴，解得：BD＝9cm，故答案为：9cm．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于11．【思路点拨】利用三角形面积公式得到AF：FE＝3：2，再根据平行四边形的性质得到AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，则可判断△AFD∽△EFB，利用相似的性质可计算出S△AFD＝9，所以S△ABD＝S△CBD＝15，然后用△BCD的面积减去△BEF的面积得到四边形CDFE的面积．【答案】解：∵△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，即S△ABF：S△BEF＝6：4＝3：2，∴AF：FE＝3：2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，∴△AFD∽△EFB，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AFD＝×4＝9，∴S△ABD＝S△CBD＝6+9＝15，∴四边形CDFE的面积＝15﹣4＝11．故答案为11．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．二．选择题6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【答案】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．7．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm【思路点拨】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【答案】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里【思路点拨】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．【答案】解：如图所示：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴＝．∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴＝，解得：FH＝1.05里．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形．9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：1【思路点拨】根据题意，易得△BO3E∽△DO3F和△BO1E∽△DO1A，利用相似的性质得出DF：BE的值，再求出BE：AD的值，进而求出AF：DF．【答案】解：根题意，在平行四边形ABCD中，易得△BO3E∽△DO3F∴BE：FD＝3：1∵△BO1E∽△DO1A∴BE：AD＝1：3∴AD：DF＝9：1∴AF：DF＝（AD﹣FD）：DF＝（9﹣1）：1＝8：1故选：C．【点睛】考查了平行四边形的性质，对边相等．利用相似三角形三边成比例列式，求解即可．10．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据三角形的重心的概念和性质得到AE，CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的性质定理判断即可．【答案】解：∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DGE∽△BGC，∴＝，①正确；＝，②正确；△EDG∽△CBG，③正确；＝（）2＝，④正确，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：【思路点拨】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【答案】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，85【思路点拨】根据两个相似三角形的对应边的长，可求出它们的相似比，也就求出了它们的周长比，再根据它们的周长差为40，即可求出两三角形的周长．【答案】解：∵两相似三角形的一组对应边为15和23，∴两相似三角形的周长比为15：23，设较小的三角形的周长为15a，则较大三角形的周长为23a，依题意，有：23a﹣15a＝40，a＝5，∴15a＝75，23a＝115，因此这两个三角形的周长分别为75，115．故选：A．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比．14．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【思路点拨】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【答案】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米【思路点拨】因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．【答案】解：由题意知：∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴＝，∴CD＝＝12（米）．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问．三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．【思路点拨】（1）由GE∥BC，可得出∠GEF＝∠DBF，再结合对顶角相等即可得出△FGE∽△FDB；（2）根据三角形中位线定理以及中线的定义得出GE＝BD、AG＝DG，再利用相似三角形的性质得出DF＝DG，进而即可得出＝．【答案】（1）证明：∵GE∥BC，∴∠GEF＝∠DBF．又∵∠GFE＝∠DFB，∴△FGE∽△FDB；（2）∵AD、BE是中线，EG∥BC，∴GE为△ADC的中位线，BD＝DC，∴GE＝DC＝BD，AG＝DG．∵△FGE∽△FDB，∴＝＝，∴DF＝DG，∴＝＝．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中线的定义以及中位线定理，解题的关键是：（1）由GE（2）根据相似三角形的性质结合中位线定理得出DF＝DG、∥BC利用相似三角形的判定定理证出△EGF∽△BDF；AG＝DG．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是2或6．【思路点拨】（1）先作CD中垂线得出CD的中点，再以中点为圆心，CD为半径作圆，与AB的交点即为所求；（2）证△APD∽△BPC得＝，即＝，解之可得．【答案】解：（1）如图所示，点P1和点P2即为所求．（2）∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°．∴∠ADP+∠APD＝90°，由（1）知，∠CPD＝90°，∴∠APD+∠BPC＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∴△APD∽△BPC，∴＝，即＝，解得：AP＝2或AP＝6．故答案为：2或6．【点睛】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．【思路点拨】（1）根据PC＝PD＝CD，以及CD2＝AC•DB，可得，又∠ACP＝∠PDB，则△ACP∽△PDB；（2）根据（1）的结论求出∠APC+∠BPD度数，最后加上∠CPD度数即可．【答案】（本小题8分）解：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵CD2＝AC•DB，由PC＝PD＝CD可得：PC•PD＝AC•DB，即，∴△ACP∽△PDB；（2）∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠DBP＝60°，∴∠APC+∠BPD＝60°．∴∠APB＝∠CPD+∠APC+∠BPD＝120°．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：由题意知，∠PON＝∠DBN＝90°，△PON∽△DBN∴又∵OB＝9∴BN＝3，OA＝12由题意知，∠POM＝∠CAM＝90°，△POM∽△CAM∴又∵OA＝12∴AM＝4，OM＝16∴身影长BN＝3，AM＝4，AM﹣BN＝4﹣3＝1∴小明的身影长度变长了1米．【点睛】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的性质解答．20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．【思路点拨】（1）证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到＝，从而得到y与x的关系式；（2）计算矩形的面积S＝xy＝﹣x2+120x，则S＝﹣（x﹣40）2+2400，根据二次函数的性质得到当x＝40时，S有最大值2400，由于y＝60，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【答案】解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD＝EG＝x，∴AK＝AD﹣DK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝﹣x+120（0＜x＜80）；（2）这个同学的说法错误．理由如下：S＝xy＝﹣x2+120x＝﹣（x﹣40）2+2400，当x＝40时，S有最大值2400，此时y＝﹣×40+120＝60，即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长．也考查了二次函数的性质和矩形的性质．。

相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则2 1122=1122ABCA B CBC AD k B C k A DSk S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释：　1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y. (1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. 综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【答案】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm.∴举一反三1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，， . 又∵∽，相似比为. 的周长为，的面积是.2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2. ∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且，， ∴， ∴.3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（） A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x, 在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=, 由△ADE∽△ACB得， S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.【答案】过点B 做BF⊥AC,垂足为点F ，∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽Rt△CEB,∴,BD AB BD BEBE CBAB CB ==即,且∠B=∠B，∴△EBD∽△CBA,∴221189BED BCADE AC SS⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△,∴13DE AC =,又∵DE=2，∴AC=6，∴11862ABC AC BF S =⋅=∴△，B F=.5、已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA∥BC，CD 与AB 相交于E 点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．【答案】∵DA∥BC， ∴△ADE∽△BCE． ∴S △ADE :S △BCE =AE 2:BE 2． ∵AE︰BE=1:2， ∴S △ADE :S △BCE =1:4． ∵S △ADE =1， ∴S △BCE =4． ∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，∴S△ABC=6． ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC． ∵AE:AB=1:3，∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．∴S△AEF==．6、如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长. (2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)∵，∽. (2)∵的周长与四边形的周长相等.=6，∽.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ ∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90° 又∵∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC. ∴ ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 即河宽为85m．4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【答案】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴∴DE=16m即古塔的高度为16m。

4.5 相似三角形的性质及其应用(三)1．如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙1.6 m，梯子上点D距墙1.4 m，BD的长是0.55 m，则梯子的长为(C)(第1题)A.3.85 mB.4.00 mC.4.40 mD.4.50 m2．如图，小明同学用自制三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DE 保持水平，并且DE边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB是(B)A. 5.0 mB. 5.5 mC. 6.0 mD. 6.5 m(第2题) (第3题)3．如图，在台球桌上，一球被击打后，从点A出发，沿AP方向运动，撞击至点P后，沿PC方向运动，撞击至点C后，再沿CF方向运动，撞击至点F.若AB＝0.6 m，BP＝0.9 m，CE＝0.3 m，则EF的长为(C)A. 0.1 mB. 0.2 mC. 0.45 mD. 0.6 m4．如图，为估计某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB为__40__m.(第4题) (第5题)5．如图，为了测量旗杆AB 的高度，某同学画出了示意图，BA ⊥EA 于点A ，DC ⊥EA 于点C ，并把测量结果记录如下：CD ＝a ，CA ＝b ，CE ＝c.请你帮助该同学计算旗杆AB 的高度(用含a ，b ，c 的代数式表示)．【解】 ∵DC ⊥AE ，BA ⊥AE ，∴DC ∥BA ， ∴△ECD ∽△EAB ， ∴CD AB ＝CE AE ，即a AB ＝c c ＋b， ∴AB ＝a （c ＋b ）c ＝a ＋abc.(第6题)6．如图，水平放置的一圆柱形油桶高1.5 m ，用一根2 m 长的木棒从桶盖小口A 处斜插至油桶底部对角B 处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2 m ，求桶内油面的高度(木棒的粗细忽略不计)．【解】 根据题意，得DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC ＝AD AB ，即AE 1.5＝1.22，解得AE ＝0.9(m)． ∴EC ＝AC －AE ＝0.6 m ， 即桶内油面的高度为0.6 m.7．如图，一张等腰三角形纸片，底边长15 cm ，底边上的高长22.5 cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm 的矩形纸条．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是(C )A. 第4张B. 第5张C. 第6张D. 第7张(第7题)(第7题解)【解】 如解图，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，AN 交正方形DEFG 的边DE 于点M . 由题意，可知DE ＝3 cm ，AN ＝22.5 cm ，BC ＝15 cm. 易得△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AM AN ，即315＝AM 22.5，∴AM ＝4.5 cm ， ∴MN ＝22.5－4.5＝18(cm)，∴18÷3＝6，即这张正方形纸条是第6张．8．如图是某校足球场的示意图，点B 是罚点球处，围栏外点A 处有一根电杆．利用皮尺无法直接测量A ，B 之间的距离．请你设计一个方案，测出A ，B 间的距离，作出图示，说说你的理由．(第8题)【解】 如图，构造出△ABC ，在CB 的延长线上截取BE ＝12BC ，作∠BED ＝∠BCA ，交AB 的延长线于点D ，得到△BDE .只要测量出DB 的长度，即可得到A ，B 间的距离．理由如下： ∵∠ABC ＝∠DBE ，∠BED ＝∠BCA ， ∴△ABC ∽△DBE ，∴AB DB ＝BC BE＝2，∴AB ＝2D B.9．幼儿园购买了一个板长AB 为 4 m ，支架OC 高0.8 m 的翘翘板(如图所示)，支点O 在板AB 的中点．因支架过高不宜小朋友玩，故把它暂时存放在高2.4 m 的车库里，准备改装．现有几个小朋友把板的一端A 按到地面上．(1)板的另一端B 会不会碰到车库的顶部？(2)能否通过移动支架，使点B 恰好碰到车库的顶部？若能，求出此时支点O 的位置；若不能，请说明理由．(第9题)(第9题解)【解】 (1)如解图，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D. ∵OC ⊥AC ，BD ⊥AD ，∴OC ∥BD ， ∴△AOC ∽△ABD ，∴OC BD ＝AOAB.∵AO ＝OB ＝12AB ＝2 m ，OC ＝0.8 m ，∴BD ＝OC ·ABAO＝1.6 m ＜2.4 m ， ∴板的另一端B 不会碰到车库的顶部． (2)能．当BD ＝2.4 m 时，由AO AB ＝OC BD ，可得AO 4＝0.82.4， ∴AO ＝43(m)，即当AO ＝43m 时，点B 恰好碰到车库的顶部．10．已知一块直角三角形木板的一条直角边AB 的长为1.5 m ，面积为1.5 m 2.小明爸爸要在木板上截出一个面积最大的正方形桌面，请小明和小芳设计加工方案，小明的设计方案如图①，小芳的设计方案如图②.你认为哪位同学设计的方案符合要求？请说明理由．(第10题)【解】 如图①.∵AB ＝1.5，S △ABC ＝1.5， ∴BC ＝2，∴AC ＝2.5. 易得△CDE ∽△CBA ，∴DE BA ＝CDCB. 设此时正方形的边长为x ， 则x1.5＝2－x 2，解得x ＝67. 如图②.过点B 作BN ⊥AC 于点N ，交DE 于点M . ∵S △ABC ＝1.5，AC ＝2.5，∴BN ＝65.设此时正方形的边长为y ，则BM ＝65－y .易得△BDE ∽△BAC ，∴DE AC ＝BM BN. ∴y 2.5＝65－y 65，解得y ＝3037. ∵x ＝67＝3035，y ＝3037，∴x >y ，∴小明设计的方案符合要求．11．如图，将一张三角形纸片沿平行于三边的虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形，根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小．(第11题)【解】 如解图．(第11题解)∵AC ∥DE ，∴△ABC ∽△DBE ，∴S 乙S 乙＋S 丙＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC BE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100， ∴S 乙S 丙＝4951.∴S 乙＜S 丙． 同理可得，S 乙S 甲＋S 乙＋S 丙＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7122＝49144.∴S 乙S 甲＝4944.∴S 甲＜S 乙． 综上所述，S 甲＜S 乙＜S 丙．初中数学试卷。