华师大版-数学-八年级上册-数学华师大版八年级上练习：13.2 三角形全等的判定

13.2三角形全等的判定1．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D2．如图所示，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AC＝DF.能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的四个条件：①AB＝DE;②∠A＝∠D＝90°；③∠ACB＝∠DFE;④∠A＝∠D．3．如图所示，△ABC是等边三角形，D是AB上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线CD的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.4．如图所示，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，当将△COD绕点O顺时针旋转时，连线AC与BD之间的大小关系如何？试猜想并证明你的结论.5．如图所示，已知BD＝CE，AB＝FD，B，D，C，E共线．若添加一个条件，就能使△ABC≌△FDE，则下列条件中满足的个数为（）①AB∥DF;②AC∥EF;③∠A＝∠F;④∠A＝∠F＝90°．A．1 B．2 C．3 D．46．如图所示，∠E＝∠F，∠B＝∠C，AE＝AF，以下结论：①∠FAN＝∠EAM;②EM＝FN；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是AE＝1，CF＝2，则EF＝________．8．如图所示，∠B＝∠D，BC＝DC，要判定△ABC≌△EDC，当添加条件________时，可根据“ASA”判定；当添加条件________时，可根据“AAS”判定；当添加条件________时，可根据“SAS”判定．9．如图所示，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF.请说明EB∥CF．10．如图所示，∠B＝∠D，请在不添加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE并证明．（1）添加的条件是________．（2）证明：△ABC≌△ADE．11.．如图（1），OA＝2，OB＝4，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角三角形ABC.（1）求C点的坐标；（2）如图（2），P为y轴负半轴上一个动点，当点P沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰直角三角形APD，过点D作DE⊥x轴于点E，求OP－DE的值．12．如图（1）所示，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE于E点．（1）求证：BD＝DE+CE.（2）若直线AE绕点A旋转到图（2）所示的位置时（BD<CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明．（3）若直线AE绕点A旋转到图（3）所示的位置时（BD>CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？直接写出结果，不需证明．13．如图，AM∥BN，∠MAB，∠NBA的平分线交于C点，过C作一直线交AM于D，交BN于E.求证：AB＝AD+BE.14．问题背景：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________.15.探索延伸：如图，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，上述结论是否仍然成立？并说明理由.16.实际应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里／时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里／时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．参考答案1．C2．解：不能。

《三角形全等的判定》典型例题例1 分析下列结论：（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等（3）判定两个三角形全等，至少需要一对对边应相等（4）三个角对应相等的两个三角形全等（5）三条边对应相等的两个三角形全等其中，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个例2如图，在ABC∆与DCB∆中，如果BDACDCAB==,，那么ABC∆与DCB∆全等吗？如果全等，请指出根据．例3如图，A、F、C、D在同一直线上，DCAFFEBCEFDEBCAB=⊥⊥,//,,，问ABC∆和DEF∆能全等吗？如果全等请指出根据．例4 如下图，DCBABCDCAB∠=∠=,，那么ABC∆≌DCB∆吗？例5如图，AC是DAB∠的角平分线，且ABAD=，试说明CBCD=．例6 如图，BOD AOC OD OC OB OA ∠=∠==,,那么，BC AD =吗？例7 已知：如图，D AC AB ,=是BC 中点，E 是AD 上任意一点，连接EB 、EC ，求证：EC EB =例8 如图，AE AD AC AB ==,，那么，BE CD =吗？例9 如图，AC CD AB ,=和BD 交于点O ，且BD AC =，那么，C B ∠=∠吗？参考答案例1 分析：（1）有两角和一边对应相等，只有两种情况：两角和夹边对应相等、两角和其中一角的对边对应相等，可以根据ASA 、AAS 判定全等，故（1）正确．（2）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形未必全等，如下图：故（2）错误．在ABC ∆与ABD ∆中B B AD AC AB AB ∠=∠==,,但显然ABC ∆与ABD ∆不全等．（3）观察四个判定三角形全等的条件（包括后面将要学习的HL ），每一个都至少要求一对边对应相等，故（3）正确．（4）三个角对应相等的两个三角形未必全等，如下图所示的两个三角形：根据“SSS”，（5）正确．解：选C ．例2 分析：在ABC ∆与DCB ∆中，由于BD AC DC AB ==,，CB BC =，根据三边对应相等，两个三角形全等，可知ABC ∆≌DCB ∆．解：ABC ∆≌DCB ∆，根据SSS ，即CB BC DB AC DC AB ===,,．说明：判断两个三角形是否全等，应找其全等应满足的条件．例3 分析：在ABC ∆和DEF ∆中，由EF DE BC AB ⊥⊥,，可知︒=∠=∠90DEF ABC ；由FE BC //，可知DFE ACB ∠=∠；而由DC AF =可知DF AC =，所以根据AAS ，可得ABC ∆≌DEF ∆．解：ABC ∆≌DEF ∆．根据：因为EF DE BC AB ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90DEF ABC ，又因为FE BC //，所以DFE ACB ∠=∠，因为DC AF =，所以DF FC DC FC AF AC =+=+=所以根据AAS 得，ABC ∆≌DEF ∆．说明：这个题也可以根据ASA 来判断，请读者自行试一试．例4 分析：判定两个三角形全等，需要三个条件，已知两个条件：一对边对应相等，一对角对应相等，需要结合图形，寻找第三个条件，一般地，可以从以下几个方面考虑：①公共边 ②公共角 ③对顶角 ④直角．本题中有公共边，可以利用SAS 来证明三角形全等，注意三个条件的罗列顺序，第一个是边相等，第二个是角相等，第三个是边相等．解：在ABC ∆和DCB ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边已知已知CB BC DCB ABC DC AB∴ABC ∆≌DCB ∆（SAS ）例5 分析：要说明CB CD =，只需说明ADC ∆≌ABC ∆，而BAC DAC AC AC AD AB ∠=∠==,,，所以ADC ∆≌ABC ∆．解：在ADC ∆和ABC ∆中，因为AC AC AB AD ==,，且AC 平分DAB ∠，即BAC DAC ∠=∠．所以ADC ∆≌ABC ∆，根据是SAS ，所以CB CD =．说明：在两个三角形中，来判断两个三角形的两条边相等，经常用判断这两个三角形全等的办法来判断，但需注意要判断相等的线段必须是这两个三角形的对应边．例6 分析：如果AOD ∆≌BOC ∆，那么BC AD =．通过在图形中表示已知条件可知，在AOD ∆和BOC ∆中有两对边对应相等，虽然还已知BOD AOC ∠=∠，但是AOC ∠和BOD ∠不是这两个三角形的内角，不能直接利用“SAS”来证明全等，如果能证明BOC AOD ∠=∠，就可以用“SAS”证明AOD ∆≌BOC ∆了．利用等式的性质，易证BOC AOD ∠=∠．解：BOD AOC ∠=∠ （已知）∴AOB BOD AOB AOC ∠-∠=∠-∠（等式的性质）即BOC AOD ∠=∠在AOD ∆和BOC ∆中⎪⎩⎪⎨=∠=∠)()(已知已证OC OD BOC AOD∴AOD ∆≌BOC ∆（SAS ）∴BC AD =（全等三角形的对应边相等）例7 分析：本题比较复杂，可以用“综合—分析法”来证明，分析过程如下：（1）结合已知、求证观察图形，图中共有三组基本图形（哪三组？）．（2）看未知，需证EC EB =，只需证ABE ∆≌ACE ∆，或证BED ∆≌CED ∆．（3）看已知，D AC AB ,=是BC 中点，可得，CD BD =，不要忽略图形中隐含的已知条件AE 、DE 、AD 是三对全等三角形的公共边．（4）找需知，只需证得CAE BAE ∠=∠或CDE BDE ∠=∠，即可得到上述两个三角形全等（恰当选择SAS 来判定）（5）再看已知，三组对应边对应相等，可以利用SSS 来证明ABD ∆≌ACD ∆，就得到CAE BAE ∠=∠或CDE BDE ∠=∠证明：D 是BC 中点 ∴CD BD =在ABD ∆和ACD ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(公共边已证已知AD AD CD BD AC AB∴ABD ∆≌ACD ∆（SSS ）∴CAE BAE ∠=∠（全等三角形的对应角相等）在ABE ∆和ACE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边已证已知AE AE CAE BAE AC AB∴ABE ∆≌ACE ∆（SAS ）∴EC EB =（全等三角形的对应边相等）例8 分析：本图比较复杂，很难找到证明哪两个三角形全等，故可以采用分解法，将图形分解成ABE ∆和ACD ∆然后用相同的符号标示已知的相等条件，显然它们全等．解：在ABE ∆和ACD ∆中⎪⎩⎪⎨=∠=∠)()(已知公共角AD AE A A∴ABE ∆≌ACD ∆（SAS ）∴BE CD =（全等三角形的对应边相等）例9 分析：假如AOB ∆≌DOC ∆，那么C B ∠=∠，但是，已知的两组线段不是这两个三角形的边，为充分利用条件，可以添加辅助线：连接AD ，这样易证C B ∠=∠．解：连结AD在ABD ∆和DCA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(已知公共边已知BD AC DA AD DC AB∴ABD ∆≌DCA ∆（SSS ）∴C B ∠=∠（全等三角形的对应角相等）。

第六周—八年级上册数学华东师大版（2012）每周测验考查范围：13.2 1.如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是只带第③块碎片.其理论依据是( )A. B. C. D.2.观察作图过程，能得出的依据是( )A. B. C. D.3.已知图中的两个三角形全等，则等于( )A. B. C. D.4.如图,把两根钢条的中点连在一起,可以测量工件内槽的宽度,在图中,要测量工件内槽宽,则需要测量的量是( )A.的长度B.的长度C.的长度D.的长度5.如图,在中,,,,,则的度数是( )A. B. C. D.6.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上.已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，，，则等于( )A. B. C. D.7.如图,点E,F在上,,,添加一个条件,不能完全证明的是( )A. B. C. D.8.如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是( )A. B.6 C.9 D.129.如图,点B,A,D,E在同一直线上,,,要使,则只需添加一个适当的条件是______.10.如图，在和中，，，，则____________.如图，在中，点分别在、上，，，，则_____________°.12.如图，，且，上两点，，若，，，则的长为____.13.如图，在和中，，.求证：.14.如图,点B在线段上,,,.求证：.答案以及解析1.答案：A解析：根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个全等三角形.只有第③块玻璃包括了两角和它们的夹边，所以只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的.故选A.2.答案：D解析：证明：由作图可知，在和中，故选：D.3.答案：B解析：如图，由三角形内角和定理得.图中的两个三角形全等，.4.答案：D解析：只要测量就可以,理由：连接,,如图,点O分别是、的中点,,,在和中,,..故选：D.5.答案：A解析：在和中,∴,∴,∵,∴,故选：A.6.答案：D解析：由题意得，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，在和中，，，，，故选：D.7.答案：D解析：,,即,,,即,A、,,,,不符合题意.B、,,,,不符合题意.C、,,,,不符合题意.D、,,,“”得不到,符合题意.故选：D.8.答案：A解析：过D作，交的延长线于F，平分，，在和中，，，，在和中，，的面积为，故选：A.9.答案：(答案不唯一)解析：∵,∴,即：,∵,∴,∴,即：,∴当时,根据,可得：；故答案为：(答案不唯一).10.答案：解析：在和Rt中，，，，故答案为：.11.答案：100解析：在和中，，，，，故答案为：100.12.答案：11解析：，，，，，，，，，，，，，故答案为：11.13.答案：证明见详解解析：证明：在和中，，.14.答案：证明见解析解析：证明：∵,∴,∴在和中,,∴,∴.。

13.2 三角形全等的判定1.全等三角形2。

全等三角形的判定条件【基本目标】1。

理解全等三角形、对应边、对应角的概念.2。

理解全等三角形的性质。

3。

初步感知全等三角形三种变换方式。

【教学重点】1.全等三角形的对应边,对应角.2.全等三角形的性质.【教学难点】全等三角形的变换方式.一、创设情景，导入课题1.先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何特点？2。

重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何特点？二、师生互动，探究新知【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论、得出结论。

【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形。

学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要细心。

【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合。

这样的两个图形叫做全等形，用“≌"表示。

概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.【教师活动】在纸板上任意剪下一个三角形，要求各小组选派学生拿一个三角形做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形是否全等。

【学生活动】要求学生实践感知、得出结论：两个三角形全等.【教师活动】要求学生将剪下的两个三角形顶点标上字母，看重合的边角有何关系？【学生活动】将两个三角形按要求标上字母,并注意放置，与同桌交流何时可重合.【教学说明】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范。

１.概念:把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.２.证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如果本图1△ABC和△DB′C′全等，点A和点D，点B和点B′，点C和点C′是对应顶点，记作△ABC≌△DB′C′.图13.全等三角形的对应边相等,对应角相等.4.一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略。