角平分线2
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角平分线的性质(二)
§12.3 角平分线的性质（二）【教学目标】1、让学生理解角平分线性质的逆定理并能灵活应用进行有关的计算和证明；2、能够按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明并规范学生书写；3、经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力。
【教学重点与难点】教学重点：角平分线性质的逆定理的证明和应用；教学难点：角平分线性质的逆定理的应用；【教学手段】多媒体。
【教学方法】讨论法、讲授法、情境教学法。
【教学过程】【复习回顾】首先请同学回忆上节课内容，角平分线的性质是什么？我们是如何证明的？简单回顾一下。
如图，在△ABC 中，AB=AC,AD 是∠BAC 的角平分线DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E 、F ，有下列四个结论：①AD 上任意一点到点C 、点B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③BD=CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF.其中，正确的结论是：_____学生回答：教师总结：本题综合运用了三角形全等和角平分线性质定理来解题，那么同学们要注意理解角平分线的性质定理。
今天这节课我们接着来探讨角平分线的性质定理。
【讲授新课】思考：我们知道，命题有原命题和逆命题，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，它的逆命题成立吗？你能把它写出来吗？1.讨论归纳：学生自主探究，教师提醒。
2.多媒体展示并证明逆定理注意让学生明确命题中的已知和求证，把文字语言转化数学语言，图形结合，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
教师总结：已知：如图,QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，QD ＝QE ．求证：点Q 在∠AOB 的平分线上．B A E DC F证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD=QE∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠ QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上教师总结：所以，我们发现角平分线的性质逆定理是成立的，即角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意数学符号语言是怎么表示的。
角平分线定理(2)
PE⊥BC，其中D、E、F是垂足 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE
同理：PE=PF．∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到 三边的距离相等. A
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的 三条角平分线,且PD⊥AB, PE⊥BC,PF⊥AC(已知), B
作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三个内角的角平分 线交于一点．这一点到三角形三边
的距离相等．
命题:三角形三个角的平分线相交于一点. 已知：如图，设△ABC的角平分线． BM、CN相交于点P， 求证：P点在∠BAC的角平分线上． A M F E C
N
D P B
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，
线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. C D B
E
老师期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.
独立作业 1
习题1.9
1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分 线. 求证:BD=2CD.
A
B
D
C
老师期望:你能写出规范的证明过程.
ND
P E
M F
C
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平
分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一
这个交点叫做三角形的内心.
随堂练习 1
Байду номын сангаас
挑战自我 A
∴PD=PE
同理：PE=PF．∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到 三边的距离相等. A
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的 三条角平分线,且PD⊥AB, PE⊥BC,PF⊥AC(已知), B
作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三个内角的角平分 线交于一点．这一点到三角形三边
的距离相等．
命题:三角形三个角的平分线相交于一点. 已知：如图，设△ABC的角平分线． BM、CN相交于点P， 求证：P点在∠BAC的角平分线上． A M F E C
N
D P B
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，
线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. C D B
E
老师期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.
独立作业 1
习题1.9
1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分 线. 求证:BD=2CD.
A
B
D
C
老师期望:你能写出规范的证明过程.
ND
P E
M F
C
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平
分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一
这个交点叫做三角形的内心.
随堂练习 1
Байду номын сангаас
挑战自我 A
角平分线的性质(2)课件
教学反思
• 1、本节课虽然体现了学生的主动性，孩子的上课 积极性比较高，参与程度广，但教材的整合与取 舍体现的不够突现，原因是所带班级的基础比较 差，学习能力较弱，所以在整合与取舍方面步子 迈得较小了一些，力求孩子在40分钟内扎实有效 的掌握双基。 • 2、本设计只注重双基的训练，忽视了数学思想方 法的渗透，数学知识的迁移，让学生在思考的过 程中激发学习兴趣，从而训练学生的思维。
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB， ∴ ∠QDO和∠QEO都是直角， 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE （已知） ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
角的内部到角的两边距离相等的 点在角的平分线上。
用几何语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 角平分线上的点到角两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
作 业
抄题并画图
自学作业：完成课本21页思考题。
A类: 课本26页第5题。（二号本） “北大绿卡”第13页1，2，5题。 B类: 课本22页第3题, 26页第5题。（二号本） “北大绿卡”第13页1—5题。 C类: 课本23页第5题（二号本）4题(做课本上) “北大绿卡”14页第6，8，9题。
D类: 课本23页5题（二号本） 4，6题(做课本上) “北大绿卡” 14页第6题，16页全部。
1. 在△ABC中，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 A
E B
F
D
C
练习10分钟：
A B类： 课本22页第3题。 C D类： （1）课本22页第3题。 （2） <北大绿卡>14页第9题。
角平分线的性质2
3.1.2 点、线、面、体角的平分线的性质(二)一、教材分析1 、教材的地位和作用角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续，它为后面证明线段相等、角相等的几何证明提供了一种新的更为简单的证明方法。
本节分为两课时：第一课时让学生动手探究角的平分线的画法；第二课时主要探究角的平分线的性质和判定，并在此基础上进行简单应用。
本节课是第二课时的内容，它不仅为学生动手操作、观察、交流等活动提供了良好的素材，同时也让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型，解决实际问题。
2 、重、难点分析本节的重点是掌握角的平分线的性质和判定，本节的难点是对角平分线性质和判定的准确理解。
二、目标分析（1）知识与技能：掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题。
（2）过程与方法：通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力，提高解决问题的能力。
（3）情感与态度：经历对角的平分线的性质和判定的探索过程，发展应用数学知识的意识与能力，培养学生良好的学习态度及严谨的科学态度。
三、过程分析第3页 总12页精品文档！如果您喜欢这份文档，欢迎下载!环节 教 学 过 程设 计 意 图创设 情 景 引入课题 问题：在S 区有一个贸易市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 建两条路，一条到公路上，一条到铁路上，怎样修建路最短？这两条路有什么关系？画出来看一看。
让学生动手画最短的路线，从实际问题中抽象出点到直线的距离，从而第一次建立数学模型；然后通过动手测量，使学生初步感受角的平分线的性质，由此让学生感知数学与实际生活是紧密相连的。
动 手[活动一] 折一折问题：1、你能否通过折叠的方式将∠AOB 平分呢？2、你能否进行第二次折叠，折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边）呢？3、将折叠的图形展开，观察两次折叠形成的三条折痕？你能得出什么结论？4、这一结论，你能用数学知识来证明吗?已知:OP 是∠AOB 的平分线，PE ⊥OA于E ，PF ⊥OB 于F 求证：PE=PF 证明：由学生完成在折纸活动中，重点关注：学生能否折出以第一条折痕为斜边的直角三角形；而在证明的过程中，重点引导学生结合图形分析猜想的已知、求证。
1.4.2角平分线(二)
定边五中九年级数学科导学案（总第课时）
主备人吕瑞备课组审核领导审核授课人班级学生姓名组号
课题：1.4.2角平分线(二)
备注
备注
一、学习目标：
1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。
2、学会利用定理进行证明和解答数学问题，发展学生的推理证明意识和能力。
3、知道线段垂直平分线与角平分线之间的关系。
二、温故知新：
1、角平分线性质定理_____________、角平分线判定定理___________________________________
3、习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?
发现：三角形的三个内角的角平分线．这一点到三角形三边的距离．
如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
（P与P1是两处，你能看懂吗？请找出另外几处。）
P
1
P
L
3
L
2
1
L
C
B
A
六、拓展延伸：
四、巩固提升；（合作学习）
例：△ABC中，AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。
三
角
形
三边垂直平分线
三条角平分线
锐角三角形
交于三角形内一点
交于三角形内一点
直角三角形
钝直角三角形
交点性质
到三角形三个顶点的距离相等
七、拓展延升：
C
B
A
E
D
O
1、如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
主备人吕瑞备课组审核领导审核授课人班级学生姓名组号
课题：1.4.2角平分线(二)
备注
备注
一、学习目标：
1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。
2、学会利用定理进行证明和解答数学问题，发展学生的推理证明意识和能力。
3、知道线段垂直平分线与角平分线之间的关系。
二、温故知新：
1、角平分线性质定理_____________、角平分线判定定理___________________________________
3、习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?
发现：三角形的三个内角的角平分线．这一点到三角形三边的距离．
如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
（P与P1是两处，你能看懂吗？请找出另外几处。）
P
1
P
L
3
L
2
1
L
C
B
A
六、拓展延伸：
四、巩固提升；（合作学习）
例：△ABC中，AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。
三
角
形
三边垂直平分线
三条角平分线
锐角三角形
交于三角形内一点
交于三角形内一点
直角三角形
钝直角三角形
交点性质
到三角形三个顶点的距离相等
七、拓展延升：
C
B
A
E
D
O
1、如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
角平分线性质2课件
利用结论，解决问题
练一练
1、如图，为了促进当
地旅游发展，某地要在
三条公路围成的一块平
地上修建一个度假村.要
使这个度假村到三条公
路的距离相等,应在何处
修建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考
的?你是如何证明的?
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建
一个货物中转站,要求它到三条公路的距
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE
在BM上,
A
ND
M
PF
∴PD=PE
B
E
C
(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF. 常用辅助线：已知角平
∴PD＝PE=PF. 分线常作角平分线上的
即点P到三边AB、B点C、到C角A的两距边离的相垂等线段
三角形角平分线的性质定理
定理：三角形的三条角平分线相交于 一点，并且这一点到三条边的距离相等．
拓展与延伸
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M C D
F
A
EB
N
如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，
角平分线(二)
§1.4角平分线（二）授课时间：年月日星期课型：审核：学习目标：1、证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．2、角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．学习重点：1、三角形三个内角的平分线的性质．2、综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．学习难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．学习过程：一．导学问题l ：在习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?你能证明自己发现的结论一定正确吗？问题2：说一说你的证明思路？二.自学问题3：已知：如图，设△ABC的角平分线．BE、CF相交于点P，Array求证：P点在∠B AC的角平分线上．证明：问题4：在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，你还发现什么“附带”的成果呢?由此可得定理：三角形的三条角平分线，并且这一点到的距离相等．三.互学问题6：如图：直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?问题7:如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长；(2)求证：AB=AC+CD ．四.测学：问题8、已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ． 求证：(1)OC=OD ；(2)OP 是CD 的垂直平分线．五.思学1、在问题8中，图中还哪些相等的线段和角呢？2、本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．你在学习时还有哪些困惑？教学反思：A DB EC l 3l 21l C B A PD AE C O B。
角平分线的性质2
∠PDC= ∠PEO=90 ° 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
小结:
1：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的判定结论：
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
再见
Jilichuang
PE⊥OB于E
A
求证: PD=PE
D
C
P
在△DOP和△EOP中
O
EB
∠ DOP = ∠ EOP (∵ OC平分∠AOB ∠ DOP = ∠ EOP) OP=OP (公共边）
∠PDC= ∠PEO=90 °(∵ PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDC= ∠PEO=90 °) ∴ △DOP≌△EOP（AAS）
边的距离相等． 及画一条已知直线的垂线；
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D， 及画一条已知直线的垂线；
求证: PD=PE 3：角平分线的判定结论：
结论： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．
及画一条已知直线的垂线；
求证: PD=PE 已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D， ∠ DOP = ∠ EOP
角平分线的性质
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
画法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
例1：已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，
小结:
1：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的判定结论：
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
再见
Jilichuang
PE⊥OB于E
A
求证: PD=PE
D
C
P
在△DOP和△EOP中
O
EB
∠ DOP = ∠ EOP (∵ OC平分∠AOB ∠ DOP = ∠ EOP) OP=OP (公共边）
∠PDC= ∠PEO=90 °(∵ PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDC= ∠PEO=90 °) ∴ △DOP≌△EOP（AAS）
边的距离相等． 及画一条已知直线的垂线；
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D， 及画一条已知直线的垂线；
求证: PD=PE 3：角平分线的判定结论：
结论： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．
及画一条已知直线的垂线；
求证: PD=PE 已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D， ∠ DOP = ∠ EOP
角平分线的性质
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
画法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
例1：已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，
角平分线的性质2
练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于 点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ 所在直线的距离相等． Ｄ
Ｃ F H
Ｐ
Ｂ G
Ｅ
Ａ
1：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的判定结论： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
结论：
到角的两边的距离相等的点在角 平分线上。
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交 于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、 CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） A 同理 PE=PF. D F ∴ PD=PE=PF. N PM 即点P到边AB、BC、 B C CA的距离相等 E
Ｍ
Ｎ
Ｏ O
练习：
平分平角∠AOB．反向延长ＯＣ．得直线Ｃ Ｄ，则直线ＣＤ与直线ＡＢ是什么关系？
Байду номын сангаас
则我们得到作一条直线垂线的 方法．
例 1：
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E A
求证: PD=PE
D
C
P
O E B
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两 边的距离相等．
角平分线的性质
角平分线的性质2
F
A
D
E
C
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
求证: AD平分∠BAC. A
F H
B
D
E G C
课堂练习
如图，O是三条角平分线的交点，
OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的
周长为15，求S△ABC
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
EB
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
A
N
M
O
B
C
GD
课堂练习 如图，在四边形ABCD中，
∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平
分∠ ADC。
求证：AM平分∠DAB D
C
M
A
B
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
C
在Rt△PDO和Rt△PEO中
P
PO＝PO
PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
A
D
E
C
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
求证: AD平分∠BAC. A
F H
B
D
E G C
课堂练习
如图，O是三条角平分线的交点，
OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的
周长为15，求S△ABC
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
EB
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
A
N
M
O
B
C
GD
课堂练习 如图，在四边形ABCD中，
∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平
分∠ ADC。
求证：AM平分∠DAB D
C
M
A
B
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
C
在Rt△PDO和Rt△PEO中
P
PO＝PO
PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
角平分线的三个定理
角平分线的三个定理
第一性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
第一性质定理逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
定理：三角形内角平分线分对边所成的两条线段，与夹这个角的两边，对应成比例。
角平分线就是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
性质：
1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。
（定义）
2·角平分线上的点到角的两边的距离相等。
1。
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如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥
OA，PD⊥OB，点C，D是垂足，你能猜想PC,PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想. B
D
P
O A
C
证明：∵OP平分∠AOB.(已知)
∴∠AOP=∠BOP.(角平分线定义)
又∵PC⊥OA，PD⊥OB，（已知）
∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定义）
6.已知：如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交CD,CB于点E,F,FG⊥AB，垂足为点G，求证：CE=FG
【教学反思】
思考：逆命题是真命题吗？为什么？（自己证明）
几何语言：∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE
∴OP平分∠AOB
例1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线,DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，求BC的长度。
课堂教学设计附页
C
D
AB
E
解：∵∠C=50°
∴DC⊥AC
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC,DE⊥AB
4考点：角平分线的性质定理
及其逆定理灵活解决
相关数学问题
课题：15.4角的平分线（第2课时）主备人：朱政敏
集体备课参与人员：杜炎、熊晖、薛磊、朱政敏、汪成辰、宋丽娜
学习目标：
1．知识与技能目标：角平分线的性质定理及其逆定理
2．过程与方法目标：经历探究角平分线性质定理及其逆定理的过程，学会利用这些定理解决问题的方法
∴DC=DE=3cm
∴BC=BD+DC=5+3=8cm
例2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=30，BD：CD=3：2，求D到AB的距离
解：过点D作DE⊥AB交AB于E点
∵BD：CD=3：2 BC=30
设BD=2x CD=3x
∴2x+3x=30
∴x=6
∴CD=2x=12
又∵∠C=90°
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
3．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_________.
4．如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其
中正确的有
5.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC.
∴DC⊥AC
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=DC=12
【课后检测案】
1如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（ ）
A、TQ＝PQB、∠MQT＝∠MQPC、∠QTN＝90°D、∠NQT＝∠MQT
（第1题）（第2题）
2．如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于( )
3．情感态度与价值观目标:通过学习，感受角平分线性质定理及其逆定理在解决相关几何问题中的作用
【课前预习案】
1.角平分线的性质定理
2.角平分线的性质定理的逆定理
3.如图，PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别是D，E,PD=PE.∠AOB=60°则∠DOC度数是
A
D
p
O C
E
B
【课堂探究案】
1、角平分线的性质定理
在△PCO和△PDO中
∠AOP=∠BOP(已知)
∵∠PCO=∠PDO（已知）
OP=OP（公共边）
∴△PCO≌△PDO.(AAS)
∴PC=PD
性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等
几何语言：
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
2、角平分线性质的逆定理
性质定理的逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
肥东凯悦中学八年级数学学科课堂教学设计(定稿)
授课人：上课时间：201年月日星期（上午、下午）第___节备课组长签字：年级主任签字：____________
【教学四点】
1知识点：角平分线的性线的性质定理及
其逆定理
3难点：利用角平分线的性质
定理及其逆定理灵活
解决相关数学问题
OA，PD⊥OB，点C，D是垂足，你能猜想PC,PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想. B
D
P
O A
C
证明：∵OP平分∠AOB.(已知)
∴∠AOP=∠BOP.(角平分线定义)
又∵PC⊥OA，PD⊥OB，（已知）
∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定义）
6.已知：如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交CD,CB于点E,F,FG⊥AB，垂足为点G，求证：CE=FG
【教学反思】
思考：逆命题是真命题吗？为什么？（自己证明）
几何语言：∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE
∴OP平分∠AOB
例1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线,DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，求BC的长度。
课堂教学设计附页
C
D
AB
E
解：∵∠C=50°
∴DC⊥AC
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC,DE⊥AB
4考点：角平分线的性质定理
及其逆定理灵活解决
相关数学问题
课题：15.4角的平分线（第2课时）主备人：朱政敏
集体备课参与人员：杜炎、熊晖、薛磊、朱政敏、汪成辰、宋丽娜
学习目标：
1．知识与技能目标：角平分线的性质定理及其逆定理
2．过程与方法目标：经历探究角平分线性质定理及其逆定理的过程，学会利用这些定理解决问题的方法
∴DC=DE=3cm
∴BC=BD+DC=5+3=8cm
例2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=30，BD：CD=3：2，求D到AB的距离
解：过点D作DE⊥AB交AB于E点
∵BD：CD=3：2 BC=30
设BD=2x CD=3x
∴2x+3x=30
∴x=6
∴CD=2x=12
又∵∠C=90°
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
3．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_________.
4．如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其
中正确的有
5.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC.
∴DC⊥AC
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=DC=12
【课后检测案】
1如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（ ）
A、TQ＝PQB、∠MQT＝∠MQPC、∠QTN＝90°D、∠NQT＝∠MQT
（第1题）（第2题）
2．如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于( )
3．情感态度与价值观目标:通过学习，感受角平分线性质定理及其逆定理在解决相关几何问题中的作用
【课前预习案】
1.角平分线的性质定理
2.角平分线的性质定理的逆定理
3.如图，PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别是D，E,PD=PE.∠AOB=60°则∠DOC度数是
A
D
p
O C
E
B
【课堂探究案】
1、角平分线的性质定理
在△PCO和△PDO中
∠AOP=∠BOP(已知)
∵∠PCO=∠PDO（已知）
OP=OP（公共边）
∴△PCO≌△PDO.(AAS)
∴PC=PD
性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等
几何语言：
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
2、角平分线性质的逆定理
性质定理的逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
肥东凯悦中学八年级数学学科课堂教学设计(定稿)
授课人：上课时间：201年月日星期（上午、下午）第___节备课组长签字：年级主任签字：____________
【教学四点】
1知识点：角平分线的性线的性质定理及
其逆定理
3难点：利用角平分线的性质
定理及其逆定理灵活
解决相关数学问题