m a t l新编周期方波信号内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）m a t l a b周期方波信号（一）周期离散方波信号频域分析与周期模拟信号一样，周期离散信号同样可以展开成傅里叶级数形式，并得到离散傅里叶级数（DFS）X(XX)=1X∑X(X)X−XXΩn X=0,1,2,…,X−1X2X=−X2上式可以看成周期离散信号x(n)的离散傅里叶级数展开。
X(X)=∑X(XX)X XXXXX−1X=0上式是DFS的反变换，记作IDFS并且称X(kΩ)与x(n)构成一对离散傅里叶级数变换对。
（以上两式中Ω=2π/N）在MTALAB中，DFS通过建立周期延拓函数语句实现：function Xk=DFS(n,x,N)if N>length(x)n=0:N-1;x=[x zeros(1,N-length(x))];endk=0:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=x*WNnk;end建立一个离散非周期方波信号x (X )=X X (X )={1,0≤X ≤X −10,其他X 4(X )通过周期延拓后所得的周期序列利用DFS 计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:3;x=ones(1,4);X=fft(x,1024);Xk1=DFS(n,x,4);Xk2=DFS(n,x,8);figure(1);plot((-1023:2048)/2048*8,[abs(X) abs(X) abs(X)],'--');hold on;stem(-4:7,[abs(Xk1) abs(Xk1) abs(Xk1)],'LineWidth',2);grid;figure(2);plot((-1023:2048)/2048*16,[abs(X) abs(X) abs(X)],'--');hold on;stem(-8:15,[abs(Xk2) abs(Xk2) abs(Xk2)],'LineWidth',2);grid;set(gcf,'color','w');运行后得到的是分别以4和8为周期延拓后的X 4(X )频谱：即第一幅图表示的是周期序列 x (X )=1 −∞<X <+∞ 的频谱，第二幅图表示的是周期序列x (X )={1,4X ≤X ≤4+4X 0,4X −4<X <4X的频谱。
两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换（FFT ）所得到的频谱线。
（二）非周期离散方波信号频域分析对于非周期离散方波信号，可采用离散时间傅里叶变换DTFT 进行分析。
X(X)=∑X(X)+∞X=−∞X−XXX上式为离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT）。
X(X)=12X∫X(X)X XXX XX 2X上式为X(X)的离散时间傅里叶反变换（IDTFT）。
由于：∑|X(X)|<+∞+∞X=−∞所以序列x(n)绝对可和，意味着DTFT存在，而非稳定序列（比如周期序列）不满足绝对可和条件，所以其DTFT不存在。
在MTALAB中，DTFT可以用以下语句实现：w=-3*pi::3*pi;K=length(w);X=x*exp(-j*n'*w*K);建立一个离散非周期方波信号x(X)=X X(X)={1,0≤X≤X−1 0,其他X8(X)的离散傅里叶变换X(e jω)利用DTFT计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:7;x=ones(1,8);w=-3*pi::3*pi;X=x*exp(-j*n'*w);figure(1);plot(w/pi,abs(X));grid;figure(2);plot(w/pi,angle(X));grid;set(gcf,'color','w');运行后分别得到该离散非周期方波信号的幅频特性与相频特性：幅频特性相频特性（三）两种变换DFS的DTFT的性质DFS主要具有如下性质：1.线性性质2.周期卷积性质3.复共轭4.帕斯瓦尔定理DTFT同连续时间信号傅里叶变换相似，具有如下性质：1.线性性质2.时域频域平移性质3.时间翻转性质4.共轭对称性质5.时域频域卷积性质6.调制性质7.频域微分性质8.帕斯瓦尔定理从DTFT的推导过程，说明DTFT是DFS当N→∞的极限情况。
共同点：在时域都是离散的，在频域都是以2π为周期，周而复始。
不同点：离散时间周期信号频谱是离散的，具有谐波性，X(kΩ)是谐波复振幅，适用于计算机计算。
而离散时间非周期信号的频谱则是连续的，不具有谐波性，X(X)表示的是谐波密度，是连续变量Ω的函数，所以不便于计算机进行分析计算。
（四）离散傅里叶变换（DFT）由于DTFT不便于计算机进行计算，所以需要建立一种时域和频域都是离散的傅里叶变换对，这就是离散傅里叶变换（DFT）X(X)=∑X(X)X−1X=0X−XXXX X=0,1,2,…,X−1上式为离散时间非周期信号的离散傅里叶变换（DFT）X(X)=1X∑X(X)X XXXX X=0,1,2,…,X−1 X−1X=0上式为DFT的反变换，记作IDFT。
X(X)和X(X)称为离散傅里叶变换（DFT）对。
在MTALAB中，DFT通过建立函数实现：function Xk=DFT(n,x,N)if N>length(x)n=0:N-1;x=[x zeros(1,N-length(x))];endk=0:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=x*WNnk;End建立一个离散非周期方波信号x(X)=X X(X)={1,0≤X≤X−1 0,其他X8(X)的离散傅里叶变换X(e jω)利用DFT计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:7;x=ones(1,8);X=fft(x,1024);Xk2=DFT(n,x,16);figure(1);plot((-1023:2048)/2048*32,[abs(X) abs(X) abs(X)],'--');hold on;stem(-16:31,[abs(Xk2) abs(Xk2) abs(Xk2)],'LineWidth',2);grid;figure(2);plot((-1023:2048)/2048*32,[angle(X) angle(X) angle(X)],'--');hold on; stem(-16:31,[angle(Xk2) angle(Xk2) angle(Xk2)],'LineWidth',2);grid; set(gcf,'color','w');运行后分别得到该离散非周期方波信号的幅频特性与相频特性：幅频特性相频特性两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换（FFT）所得到的频谱线。
离散傅里叶变换是傅里叶变换在时域、频域均离散化的形式，因而与其他傅里叶变换有着相似的性质。
但是它又是从傅里叶级数派生而来的，所以又具有一些与其他傅里叶变换不同的特性，最主要的是圆周位移性质和圆周卷积性质。
一、快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换，简称FFT，是计算DFT的快速算法，习惯上是指以库利和图基算法为基础的一类高效算法。
根据快速傅里叶变换基本思路以及基2FFT算法，在MTALAB中，FFT通过建立函数实现：function y=fft(x)m=nextpow2(x);N=2^m;if length(x)<Nx=[x,zeros(1,N-length(x))];endnxd=bin2dec(fliplr(dec2bin([1:N]-1,m)))+1;y=x(nxd);for mm=1:mNmr=2^mm;u=1;WN=exp(-i*2*pi/Nmr);for j=1:Nmr/2for k=j:Nmr:Nkp=k+Nmr/2;t=y(kp)*u;y(kp)=y(k)-t; y(k)=y(k)+t; endu=u*WN;endend建立一个离散非周期方波信号x(X)=X X(X)={1,0≤X≤X−1 0,其他X8(X)的快速傅里叶变换利用FFT计算实现代码如下：clear all;close all;clc;x=ones(1,8);fx=fft(x,512);z=abs(fx);k=0:length(z)-1;plot(k,z);运行后得到该离散非周期方波信号的幅频特性：分别利用FFT和DFT进行相同运算：clear all;close all;clc;K=input('K=');N=2^K;n=0:N-1;x=randn(1,2^K);tic,X=fft(x,N),toctic,X=DFT(n,x,N),toc运行结果如下：Columns 1 through 4069Elapsed time is seconds.Columns 1 through 4069Elapsed time is seconds.由此可见，采用DFT计算时间为秒，而采用FFT计算只需要秒；说明，FFT在计算速度上，明显优于其他算法。
三、采样定理（一）时域采样定理为了验证时域采样定理，可以把原始采样序列每隔D-1点取一个值，形成一个新的序列。
在MATLAB中，通过以下程序实现：clear all;close all;clc;x=ones(1,8);D=2;xd=x(1:D:length(x));fx=fft(x,512);fxd=fft(xd,512);z=abs(fx);s=abs(fxd);k=0:length(z)-1;plot(k,s,k,z);D=2时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。
D=3时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。
D=4时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。
D=时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。
由此可见，采样周期在D大于2的范围内，出现明显的混叠现象，有失真产生，而在小于1的范围内，采样过于密集，增加运算系统负担。
因此，可验证时域采样定理。
（二）频域采样定理为了验证频域采样定理，可以把原始采样序列每隔D-1点取一个值，形成一个新的序列。
在MATLAB中，通过以下程序实现：clear all;close all;clc;x=-10::10;y=(sin(x))/x;X=fft(y,20);D=7;Xd=X(1:D:length(X));fxd=ifft(Xd,20);s=fxd;k=0:length(s)-1;plot(k,s);D=7时根据频域样本集合恢复的原信号D=3时根据频域样本集合恢复的原信号D=10时根据频域样本集合恢复的原信号由此可见，采样周期在D小于7的范围内，根据频域样本恢复的原信号与实际原信号有很大差别。
