直接开平方法解一元二次方程精选

解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)直接开平方法1. 题目：解方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$解答：首先，根据直接开平方法，我们需要找到两个数，它们的和等于 $-5$，乘积等于 $6$。

很明显，这两个数分别是 $-2$ 和 $-3$。

因此，我们可以将方程变为两个线性方程：$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$。

接下来，我们可以对这两个线性方程进行因式分解：$x(x - 2) - 3(x - 2) = 0$。

再进一步化简，我们可以得到：$(x - 2)(x - 3) = 0$。

因此，方程的解是 $x = 2$ 或 $x = 3$。

2. 题目：解方程 $2x^2 - 7x + 3 = 0$解答：这个方程也可以使用直接开平方法来解决。

我们需要找到两个数，它们的和等于 $-\frac{7}{2}$，乘积等于 $3$。

通过观察系数，我们可以确定这两个数分别是 $-\frac{1}{2}$ 和 $-3$。

因此，我们可以将方程变为两个线性方程：$2x^2 - \frac{1}{2}x - 6x + 3 = 0$。

接下来，我们可以对这两个线性方程进行因式分解：$x(2x -\frac{1}{2}) - 3(2x - \frac{1}{2}) = 0$。

再进一步化简，我们可以得到：$(2x - \frac{1}{2})(x - 3) = 0$。

因此，方程的解是 $x =\frac{1}{4}$ 或 $x = 3$。

配方法1. 题目：解方程 $3x^2 + 2x - 1 = 0$解答：对于这个方程，我们可以使用配方法来解决。

首先，我们需要找到一个数 $m$，使得方程 $3x^2 + 2x - 1$ 可以被写成 $(x +m)^2$ 的形式。

我们可以通过观察常数项的符号来得到一个启示。

由于常数项是负数，我们可以猜测 $m$ 的值为 $-\frac{1}{3}$。

将方程重新写成 $(x - \frac{1}{3})^2 = 0$，然后展开，我们可以得到$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0$。

初中数学例题：用直接开平方法解一元二次方程4.（2016春•仙游县月考）求下列x的值（1）x2﹣25=0（2）（x+5）2=16．【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．【答案与解析】解：（1）∵x2﹣25=0，∴x2=25，∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16，∴x+5=±4，∴x=﹣1或﹣9．【总结升华】应当注意，形如=k或（nx+m）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解下列方程：(1)（2015 •东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0；(2)（2014秋•滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25，∴ 2x+3=5或2x+3=-5．∴x1=1，x2=-4．(2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2，∴1﹣2x=±（x﹣3），∴1﹣2x=x﹣3或1﹣2x=﹣（x﹣3），∴x1=4，x2=﹣2．3。

2019中考数学专题练习-直接开平方法解一元二次方程（含解析）一、单选题1.若分式的值为0，则x的值是（）A.1或-1B.1C. -1D.0【答案】B【考点】分式的值为零的条件，解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】根据分子为0，同时分母不等于0时，分式值是零，即可得到结果．由题意得，解得，则x=1，故选B.【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式值是零的条件：分子为0，同时分母不等于0．2.若25x2=16，则x的值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：25x2=16，x2= ，x=± ，故答案为：A【分析】观察次方程缺一次项，可以用直接开平方法求解或利用因式分解法求解。

3.方程的根是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】用开平方法可得【分析】将原方程变形为=4，用直接开平方法解得x=2，即= 2 ，= − 2.4.一元二次方程x2=2的解是（）A.x=2或x=﹣2B.x=2C.x=4或x=﹣4D.x=或x=﹣【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：∵x2=2，∵x=±．故选：D．【分析】直接开平方解方程得出答案．5.方程x2=9的解是（）A.x1=x2=3B.x1=x2=9C.x1=3，x2=﹣3D.x1=9，x2=﹣9【答案】C【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：x2=9，两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．故选C．【分析】利用直接开平方法求解即可．6.一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．【解答】（x+6）2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=-4，故选：D．7.方程x2=9的解是（）A.x=9B.x=±9C.x=3D.x=±3【答案】D【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵x2=9，∵x=±3，故选：D．【分析】直接开平方法即可得．8.若是反比例函数，则b的值为（）A.1B.－1C.D.任意实数【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程，反比例函数的定义【解析】【解答】，解得.故答案为：A.【分析】根据反比例函数的定义知，自变量次数为-1，b2-2=-1，得b=1，,又因为比例系数k≠0，得b+1≠0，得b≠-1，综合分析可得b=1。

1.2.1一元二次方程的解法-直接开平方法考点一、直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.题型1：直接开平方法解一元二次方程1．一元二次方程2250x -=的解为（）A ．125x x ==B ．15=x ，25x =-C ．125x x ==-D ．1225x x ==2．若()222a =-，则a 是（）A ．-2B ．2C ．-2或2D ．43．方程x 2-=0的根为_______．4．有关方程290x +=的解说法正确的是（）A ．有两不等实数根3和3-B ．有两个相等的实数根3C ．有两个相等的实数根3-D ．无实数根5．若方程()20ax b ab =>的两个根分别是4m -与38m -，则ba=_____．6．解方程：（1）23270x -=；（2）2(5)360x --=；（3）21(2)62x -=；（4）()()4490+--=y y ．7．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（）A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝2382x =）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x =D ．12x x ==题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是()A ．230x =－B ．2(14)0x =－－C ．220x =＋D ．22()12()x =－－10．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（）A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数11．有下列方程：①x 2-2x=0；②9x 2-25=0；③(2x-1)2=1；④21(x 3)273+=．其中能用直接开平方法做的是()A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②③④12．方程x 2=（x ﹣1）0）A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=013．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（）.A ．0m >B ．7mC ．7m >D ．任意实数14．已知方程()200ax c a +=≠有实数根，则a 与c 的关系是（）.A ．0c =B ．0c =或a 、c 异号C ．0c =或a 、c 同号D ．c 是a 的整数倍题型3：直接开平方法解一元二次方程的复合型15．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-16．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=-C ．121,73x x ==D ．1217,3x x =-=17．解方程：（1）21(2)602y +-=；（2）22(4)(52)x x -=-．题型3：一元二次方程的根的概念深入理解18．一元二次方程2251440t -=的根与249(1)25x -=的根（）A ．都相等B ．都不相等C ．有一个根相等D ．无法确定题型4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式19．关于x 的方程(x+a)2=b(b>0)的根是（）A ．-aB ．C ．当b≥0时，D ．当a≥0时，20．形如2()(0)ax b p a +=≠的方程，下列说法错误的是（）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =题型5：直接开平方法解一元二次方程-降次21．方程4160x -=的根的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4题型6：直接开平方法解一元二次方程-换元法22．若()222225a b +-=，则22a b +的值为()A ．7B ．-3C ．7或-3D ．21题型7：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充23．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444nn n i i i i i +=⋅=⋅=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++ 的值为________．一、单选题10．若方程()200ax bx c a ++=≠中，,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（）A ．1,0B ．1,0-C ．1,1-D ．2,2-二、填空题三、解答题19．解下列方程：224(1)x x =-．20．用直接开平方法解下列方程．（1）2160x -=；（2）2(2)9x -=．21．用开平方法解下列方程：(1)2 2.25x =；(2)243x =；(3)27560x -=；(4)()22714x -=．22．解方程：22(1)(12)x x +=-．→→→的顺序运算，请列式并计算结果；（1）嘉嘉说-2，对-2按C A D B答案与解析题型1：直接开平方法解一元二次方程1．一元二次方程2250x -=的解为（）A ．125x x ==B ．15=x ，25x =-C ．125x x ==-D ．1225x x ==【答案】B 【解析】【分析】先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．解：2250x -=，移项得：2=25x ，开平方得：15=x ，25x =﹣，故选B ．【点睛】本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．2．若()222a =-，则a 是（）A ．-2B ．2C ．-2或2D ．4【答案】C 【解析】【分析】先计算2(2)-，再用直接开平方法解一元二次方程即可．()2224a =-= 2a ∴=±故选C 【点睛】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．3．方程x 2-=0的根为_______．【答案】x=±【解析】【分析】，得出x 2=8，利用直接开平方法即可求解．解：x 2-=0，∴x 2=8，∴x =±．故答案为：x =±．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤．4．有关方程290x +=的解说法正确的是（）A ．有两不等实数根3和3-B ．有两个相等的实数根3C ．有两个相等的实数根3-D ．无实数根【答案】D 【解析】【分析】利用直接开平方法求解即可．∵290x +=，∴290x =-<，∴该方程无实数解．故选：D 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．5．若方程()20ax b ab =>的两个根分别是4m -与38m -，则ba=_____．【答案】1【解析】【分析】利用直接开平方法得到x =，得到方程的两个根互为相反数，所以4380m m -+-=，解得3m =，则方程的两个根分别是1与1-1=，然后两边平方得到b a 的值．解：∵()20ax b ab =>，∴2b x a=，∴x =，∴方程的两个根互为相反数，∵方程2ax b =的两个根分别是4m -与38m -，∴4380m m -+-=，解得3m =，∴4341m -=-=-，383381m -=⨯-=，∴一元二次方程ax 2＝b 的两个根分别是1与1-，1=，∴1ba=．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如2x p =或()()20nx m p p +=≥的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成2x p =的形式，那么可得x =()()20nx m p p +=≥的形式，那么nx m +=6．解方程：（1）23270x -=；（2）2(5)360x --=；（3）21(2)62x -=；（4）()()4490+--=y y ．【答案】（1）123,3x x ==-；（2）1211,1x x ==-；（3）122,2x x ==-；（4）125,5y y ==-．【解析】【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．（1）23270x -=，2327x =，29x =，3x =±，即123,3x x ==-；（2）2(5)360x --=，2(5)36x -=，56x -=或56x -=-，11x =或1x =-，即1211,1x x ==-；（3）21(2)62x -=，2(2)12x -=，2x -=2x -=-，2x =或2x =-+，即122,2x x ==-；（4）()()4490+--=y y ，21690y --=，225y =，5y =±，即125,5y y ==-．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．7．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（）A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝23【答案】D 【解析】【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可．解：由4（3x +1）2﹣1＝0得（3x +1）2＝14，所以3x +1＝±12，解得x ＝﹣16或x ＝﹣12，由3274y ﹣2＝0得y 3＝827，所以y ＝23，所以x ＝﹣16或﹣12，y ＝23．故选：D ．【点睛】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．82x =）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x =D ．12x x ==【答案】A 【解析】【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．2x =(23x =，利用直接开方法得：x ，解得120,x x ==故选：A ．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是()A ．230x =－B ．2(14)0x =－－C ．220x =＋D ．22()12()x =－－【答案】C 【解析】【分析】方程整理后，判断即可得到结果230x =－移项得23x =，可用直接开平方法求解；2(10)4x -=－移项得2(14)x =－，可用直接开平方法求解；22()(12)4x ==－－，可用直接开平方法求解．故选C.【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键10．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（）A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数【答案】A 【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a ≥0，再进行整理即可．解：∵方程y 2＝﹣a 有实数根，∴﹣a ≥0（平方具有非负性），∴a ≤0；故选：A ．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a ≥0．11．有下列方程：①x 2-2x=0；②9x 2-25=0；③(2x-1)2=1；④21(x 3)273+=．其中能用直接开平方法做的是()A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②③④【答案】C 【解析】【分析】利用因式分解法与直接开平方法判断即可得到结果．①x 2-2x=0，因式分解法；②9x 2-25=0，直接开平方法；③(2x-1)2=1，直接开平方法；④21(x 3)273+=，直接开平方法，则能用直接开平方法做的是②③④.故选:C.【点睛】考查直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键.12．方程x 2=（x ﹣1）0）A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=0【答案】A 【解析】【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x 2=1，确定x 的值即可.∵(x-1)0有意义，∴x-1≠0，即x≠1，∵x 2=（x ﹣1）0∴x 2=1，即x=±1∴x=-1.故选A.【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.13．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（）.A ．0m >B ．7mC ．7m >D ．任意实数【答案】B 【解析】【分析】根据70-≥m 时方程有实数解，可求出m 的取值范围．由题意可知70-≥m 时方程有实数解，解不等式得7m，故选B ．【点睛】形如()2+m =a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．14．已知方程()200ax c a +=≠有实数根，则a 与c 的关系是（）.A ．0c =B ．0c =或a 、c 异号C ．0c =或a 、c 同号D ．c 是a 的整数倍【答案】B 【解析】【分析】将原方程化为2a=c-x 的形式，根据2x 0≥可判断出正确答案．原方程可化为2a =c -x ，∵2x 0≥，∴c0a-≥时方程才有实数解．当c=0时，20=x 有实数根；当a 、c 异号时，c0a-≥，方程有实数解．故选B ．【点睛】形如2=a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．题型3：直接开平方法解一元二次方程的复合型15．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．16．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=-C ．121,73x x ==D ．1217,3x x =-=【答案】B 【解析】【分析】移项后利用直接开平方法解答即可．解：移项，得224(21)25(1)x x -=+，两边直接开平方，得2(21)5(1)x x -=±+，即2(21)5(1)x x -=+或2(21)5(1)x x -=-+，解得：17x =-，213x =-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．17．解方程：（1）21(2)602y +-=；（2）22(4)(52)x x -=-．【答案】（1）122,2y y ==-；（2）121,3x x ==．【分析】（1）原方程先整理，再利用直接开平方法解答即可；（2）利用直接开平方法求解即可．解：（1）21(2)602y +-=，整理，得2(2)12y +=．∴2y +=±即122,2y y ==-；（2）22(4)(52)x x -=- ，4(52)x x ∴-=±-，∴452x x -=-或()452x x -=--，解得：121,3x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．题型3：一元二次方程的根的概念深入理解18．一元二次方程2251440t -=的根与249(1)25x -=的根（）A ．都相等B ．都不相等C ．有一个根相等D ．无法确定【答案】C 【解析】【分析】运用直接开平方法分别求出两个方程的解，然后再进行判断即可得解.2251440t -=，214425t =，∴125t =±；249(1)25x -=，715x -=±，∴1125x =，225x =-；∴两个方程有一个相等的根125.故选C.【点睛】此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．题型4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式19．关于x 的方程(x+a)2=b(b>0)的根是（）A ．-aB ．C ．当b≥0时，D ．当a≥0时，【答案】A 【解析】【分析】由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得．∵b>0，∴两边直接开平方,得：，∴-a ，故选A 【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则20．形如2()(0)ax b p a +=≠的方程，下列说法错误的是（）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =【答案】D 【解析】【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．解：A 、当0p >时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B 、当0p =时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C 、当0p <时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D 、当0p ≥时，原方程的根为x =故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．题型5：直接开平方法解一元二次方程-降次21．方程4160x -=的根的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】移项得416x ==24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题．解：∵4160x -=∴416x ==24，∴x=±2，∴方程4160x -=的根是x=±2.故选B.【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次．题型6：直接开平方法解一元二次方程-换元法22．若()222225a b +-=，则22a b +的值为()A ．7B ．-3C ．7或-3D ．21【答案】A 【解析】【分析】把()222225a b +-=两边开方得到a 2+b 2-2=±5，然后根据非负数的性质确定22a b +的值．解：∵()222225a b +-=，∴a 2+b 2-2=±5，∴a 2+b 2=7或a 2+b 2=-3（舍去），即a 2+b 2的值为7．故选A ．【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．题型7：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充23．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444nn n i i i i i +=⋅=⋅=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++ 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据()41444nn n i i i i i +=⋅=⋅=，424341,,1n n n i i i i ++=-=-=，化简各式即可求解．解：依题意有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，∵2022÷4＝505…2，∴2022i =21i =-∴234202*********i i i i i i ++++++ ＝−1−i ＋1＋i ＋…＋1＋i −1＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．一、单选题二、填空题11．方程240x -=的根是______．【答案】12x =-，22x =【分析】根据直接开平方法求解即可．【解析】解：240x -=，18．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444n n n i i i i i +=⋅=⋅=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++ 的值为________．【答案】1-【分析】根据()41444n n n i i i i i +=⋅=⋅=，424341,,1n n n i i i i ++=-=-=，化简各式即可求解．【解析】解：依题意有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，∵2022÷4＝505…2，∴2022i =21i =-∴234202*********i i i i i i ++++++ ＝−1−i ＋1＋i ＋…＋1＋i −1＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．三、解答题【解析】解：原式＝m 2﹣1﹣（4m 2+4m +1）+3m 2+6m＝m 2﹣1﹣4m 2﹣4m ﹣1+3m 2+6m＝2m ﹣2，∵m 2﹣1＝0，∴m ＝±1，当m ＝1时，原式＝2﹣2＝0，当m ＝﹣1时，原式＝﹣2﹣2＝﹣4，综上所述：原式的值为0或﹣4．【点睛】本题考查整式的化简求值，准确掌握乘法公式是解题的关键，计算中注意符号问题．26．计算(1)化简：2(1)(1)+--m m m (2)小华在解方程2(6)90x +-=时，解答过程如下：解：移项，得2(6)9x +=第一步两边开平方，得63x +=第二步所以3x =-第三步“小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．【答案】(1)-1；(2)二；正确的解答过程，见解析【分析】（1）利用平方差公式展开，合并同类项即可；（2）根据直接开平方法求解即可．【解析】（1）解：2(1)(1)+--m m m 221m m =--=-1；（2）解：第二步开始出现错误；正确解答过程：移项，得（x +6）2=9，两边开平方，得x +6=3或x +6=-3，解得x 1=-3，x 2=-9，故答案为：二．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．27．嘉嘉和琪琪用图中的A 、B 、C 、D 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按A B C D →→→的顺序运算，则琪琪列式计算得：222[(23)(3)2](152)(17)289+⨯--=--=-=．（1）嘉嘉说-2，对-2按C A D B →→→的顺序运算，请列式并计算结果；（2）嘉嘉说x ，对x 按C B D A →→→的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求x ．【答案】（1）2(223)(3)--+⨯-，3-；（2）嘉嘉出的数是1或3．【分析】（1）根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可；（2）根据题意，可以得到关于x 的方程，然后解方程即可．【解析】（1）2(223)(3)--+⨯-1(3)=⨯-3=-.（2）根据题意得2[(2)(3)]312x -⨯-+=，29(2)9x -=，2(2)1x -=，11x =，23x =.x 为整数，∴嘉嘉出的数是1或3.【点睛】本题考查有理数的混合运算、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式，。

2019中考数学专题练习-直接开平方法解一元二次方程（含解析）一、单选题1.若分式的值为0，则x的值是（）A.1或-1B.1C. -1D.0【答案】B【考点】分式的值为零的条件，解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】根据分子为0，同时分母不等于0时，分式值是零，即可得到结果．由题意得，解得，则x=1，故选B.【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式值是零的条件：分子为0，同时分母不等于0．2.若25x2=16，则x的值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：25x2=16，x2= ，x=± ，故答案为：A【分析】观察次方程缺一次项，可以用直接开平方法求解或利用因式分解法求解。

3.方程的根是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】用开平方法可得【分析】将原方程变形为=4，用直接开平方法解得x=2，即= 2 ，= − 2.4.一元二次方程x2=2的解是（）A.x=2或x=﹣2B.x=2C.x=4或x=﹣4D.x=或x=﹣【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：∵x2=2，∵x=±．故选：D．【分析】直接开平方解方程得出答案．5.方程x2=9的解是（）A.x1=x2=3B.x1=x2=9C.x1=3，x2=﹣3D.x1=9，x2=﹣9【答案】C【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：x2=9，两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．故选C．【分析】利用直接开平方法求解即可．6.一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．【解答】（x+6）2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=-4，故选：D．7.方程x2=9的解是（）A.x=9B.x=±9C.x=3D.x=±3【答案】D【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵x2=9，∵x=±3，故选：D．【分析】直接开平方法即可得．8.若是反比例函数，则b的值为（）A.1B.－1C.D.任意实数【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程，反比例函数的定义【解析】【解答】，解得.故答案为：A.【分析】根据反比例函数的定义知，自变量次数为-1，b2-2=-1，得b=1，,又因为比例系数k≠0，得b+1≠0，得b≠-1，综合分析可得b=1。

一元二次方程直接开平方法题目嘿，朋友们！咱今儿来聊聊一元二次方程直接开平方法题目。

这玩意儿就像是一把神奇的钥匙，能解开好多数学难题的大门呢！你看啊，一元二次方程直接开平方法，那可是相当有用的。

比如说，有这样一道题：已知$(x-3)^2=4$，这时候咱就得用直接开平方法啦。

那就是$x-3=\pm2$，然后就可以算出$x=3\pm2$，也就是$x=5$或者$x=1$，是不是挺简单？就好像走在路上突然找到了一条捷径，一下子就到目的地啦！再比如，$(2x+1)^2=9$，这又该咋整呢？嘿嘿，还是直接开平方法呀，$2x+1=\pm3$，然后解出$x$的值。

这就像是开锁，找到了正确的方法，“咔嚓”一下就开了。

有些同学可能会说，哎呀，这有啥难的呀。

嘿，可别小瞧它哦！当你遇到一些复杂的题目时，它可能就是你的救星呢！就好像你在迷宫里走，突然看到了一束光，顺着光就走出去了。

想象一下，如果你在考试的时候，遇到一道难题，正抓耳挠腮不知道咋办呢，突然想到了直接开平方法，一下子就把问题解决了，那得多爽啊！这就好比在黑暗中找到了一盏明灯，照亮了你前行的路。

而且哦，这直接开平方法题目可不只是在数学课本里有用，在生活中也有它的影子呢！比如说，你要算一个正方形的边长，知道了它的面积，那不就可以用直接开平方法来算嘛。

这就像生活中的各种小问题，只要你找到了合适的方法，就能轻松解决。

咱再举个例子，$4(x-2)^2=16$，这能难倒咱吗？当然不能啦！先把方程两边同时除以 4，变成$(x-2)^2=4$，然后再用直接开平方法，算出$x$的值。

是不是很有意思？学了一元二次方程直接开平方法题目，就好像你多了一把工具，能帮你解决好多问题呢。

不管是在学习中还是在生活中，都能派上用场。

所以啊，朋友们，可别小瞧了这一元二次方程直接开平方法题目哦，它可是有着大用处呢！好好学，好好用，让它成为你解决问题的得力助手吧！这就是我对一元二次方程直接开平方法题目的看法，你们觉得呢？。

专题21.4 一元二次方程的解法（精选精练100题）（专项练习）【题型目录】1、直接开平方法解一元二次方程（1-20题）；2、配方法解一元二次方程（21-40题）；3、公式法解一元二次方程（41-60题）；4、因式分解法解一元二次方程（61-80题）；5、换元法解一元二次方程（81-90题）；6、解可化以一元二次方程的分式方程（91-100题）．四、因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程:(1)2411x x =；(2)()2224x x -=-2．用因式分解法解下列方程：(1)()()()262x x x --=-；(2)()()22167920x x --+=．3．用因式分解法解下列方程：(1)()()120x x +-=；(2)()()3521127x x x --=-+．4．用因式分解法解下列方程：(1)269x x -=-；(2)224(3)25(2)0x x ---=．5．用因式分解法解下列方程：(1)250x x +=；(2)(5)(6)5x x x --=-．6．用因式分解法的方法解下列方程：(1)22150x x --＝ ；(2)2326x x （＋）＝＋7．因式分解法解方程：(1)()()23525x x -=-；(2)()()22200abx a b x ab ab -++=¹；8．用因式分解法解下列方程：(1)()2236x x +=+；(2)231212x x +=；(3)()223240x x +-=；(4)()()()521123x x x -=-+．9．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)21502x x -=；(2)()()23727x x -=-；(3)()22210x x +-=．10．用因式分解法解下列方程：(1))23x x =；(2)()()221210x x x ---=．11．用因式分解法解下列方程．(1)2560x x --=(2)3(2)2(2)x x x -=-12．用因式分解法解下列方程：(1)()2218x x -=-；(2)()()2222x x x -=-；(3)23x -=-．13．用因式分解法解下列方程：(1)2350y y -=；(2)2412x x =；(3)296x x +=-；(4)229(1)x x =-．14．用因式分解法解下列方程．(1)()()222320x x ---=；(2)()2211t t -+=．15．用因式分解法解下列方程：(1)()2212x x -=；(2)()()222310y y +--=．16．用因式分解法解下列方程：（1）(2)(4)0x x +-=； （2）4(21)3(21)x x x +=+．17．用因式分解法解下列方程：(1)(2)(23)6x x --=；(2)()44x x -=-．18．用因式分解法解方程：(1)3x (2x +1)=2(2x +1)；(2)22(3)(52)x x -=-．19．用因式分解法解方程．(1)22437365x x x x +-=--(2)()233x x x -=-20．用因式分解法解一元二次方程(1)()()41570x x +-=；(2)2(23)4(23)x x +=+．五、换元法解一元二次方程21．()()233320y y -+-+=．22．解方程：2231712x x x x -+=-．23．若实数x ，y 满足2222()(2)3x y x y ++-=，求22x y +的值．24．解方程：226212x x x x--=-．25．解方程()225160x --=．26．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22xy +的值．27．阅读下面的例题，回答问题：例：解方程：220x x --=令y x =，原方程化成220y y --=解得122,1y y ==-（不合题意，舍去） 2,2x x \=\=±\ 原方程的解是122,2x x ==-．请模仿上面的方法解方程：()21160x x ----=28．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =．例：4260x x --=，解：令2x y =，原方程化为260y y --=，解得12y =-，23y =，当12y =-时，22x =-（无意义，舍去）当23y =时，23x =，解得x =\原方程的解为1x =2x =．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：(1)()()22225260x x x x ----=；(2)()23511x x ++-=．29．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：2–320x x +=．解：设x t =，则原方程可化为：2–320t t +=．解得：1212t t ==，．当1t =时，1x =，∴1x =±；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：12341122x x x x ==-==-，，，．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：220x x -=；(2)解方程：42–1090x x +=．(3)解方程：221211x x x x +-=+．30．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组2()3()22()3x y x y x y x y ++-=-ìí+--=î，按常规思路解方程组计算量较大．可设x y a +=，x y b -=，那么方程组可化为23223a b a b +=-ìí-=î，从而将方程组简单化，解出a 和b 的值后，再利用x y a +=，x y b -=解出x 和y 的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)222432x x x x ++=+；(2)2250x x ++-=六、解可化以一元二次方程的分式方程31．解分式方程：2216111x x x +-=--．32．解分式方程：221226x x x x+++=．33．解分式方程：11133x x +=+-34．解分式方程：()2218111x x x --=+-35．解分式方程：241142x x +=--．36．解分式方程：224124x x x -=-+-37．解分式方程21211x x x -=++38．解分式方程：252112x x x+-＝3．39．解分式方程：2164122x x x x +=--40．解分式方程：2212111x x x -+=--1．(1)10x =，2114x =(2)12x =，24x =【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键；（1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程；（2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =．（2）移项，得()22240x x --+=，即()()22220x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =．2．(1)12x =，27x =(2)1227x =，234x =【详解】（1）方程左右两边都有因式()2x -，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解．（1）移项，得()()()2620x x x ----=，∴()()2610x x ---=，即()()270x x --=，∴20x -=或70x -=，∴12x =，27x =．（2）因式分解，得()()42836428360x x x x -++---=．化简，得()()072234x x --=，∴7220x -=或340x -=，∴1227x =，234x =．3．(1)11x =-，22x =(2)112x =-，223x =【详解】解：（1）()()120x x +-=Q ，10x \+=或20x -=，11x \=-，22x =．（2）原方程可化为2620x x --=，()()21320x x \+-=，210x \+=或320x -=，112x \=-，223x =．4．(1)123x x ==(2)12164,73x x ==【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解；（2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程．【详解】（1）解：269x x -=-2690x x -+=()230x -=解得：123x x ==；（2）解：224(3)25(2)0x x ---=[][]220()5232()x x --=-，[][]2(3)5(2)2(3)5(2)0x x x x -+----=，()5()0232x x --+=或()5()0232x x ---=，解得12164,73x x ==．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程．5．(1)10x =，25x =-(2)15=x ，27x =【分析】（1）直接用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】（1）∵250x x +=∴()50x x +=∴0x =或50x +=∴10x =，25x =-（2）∵(5)(6)5x x x --=-∴()(5)(6)50x x x ----=∴(5)(61)0x x ---=∴50x -=或610x --=∴15=x ，27x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．6．(1)15x ＝，23x -＝；(2)13x -＝，21x -＝【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可；（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22150x x --＝ ，（x ﹣5）（x +3）＝0，则x ﹣5＝0或x +3＝0，∴15x ＝，23x -＝；（2）解：2326x x ++（）＝，2323x x ++（）＝（），移项，得23230x x ++（）﹣（）＝，则（x +3）（x +1）＝0，∴x +3＝0或x +1＝0，∴1231x x --＝，＝．【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键．7．(1)121353x x ==，(2)12b a x x a b==【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：()()23525x x -=-方程变形为：()()23525x x -+-=0，∴()()50532x x éù+ë-=û-，∴()()53130x x --=，∴12135,3x x ==；（2）解：()()22200abx a b x ab ab -++=¹()()0ax b bx a --=，∵0ab ¹，∴0,0a b ¹¹，∴12,ba x x a b==【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解此题的关键．12(2)122x x ==(3)12x =-，225x =-(4)112x =，28x =-【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原方程可变形为()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，所以20x +=或10x -=，即12x =-，21x =．（2）原方程可变形为2440x x -+=，即()220x -=，所以122x x ==．（3）原方程可变形为()()3223220x x x x +-++=，即()()2520x x ++=，所以20x +=或520x +=，即12x =-，225x =-．（4）原方程可变形为()()21530x x -++=，即()()2180x x -+=，210x -=或80+=x ，∴112x =，28x =-．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．12(2)17x =，2193x =(3)113x =-，21x =-【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可；（2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可；（3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：21502x x -=因式分解，得1502x x æö-=ç÷èø．于是0x =，1502x -=，解得10x =，210x =；（2）()()23727x x -=-移项，得()()237270x x ---=，因式分解，得()()73720x x --+=éùëû，于是70x -=，3190x -=，解得17x =，2193x =；（3）()22210x x +-=因式分解，得()()21210x x x x éùéù+++-=ëûëû，于是310x +=，10x +=，解得113x =-，21x =-．【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法．10．(1)120x x =，(2)12112x x ==，【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵)23x x =，∴)230x x -=，∴)310x x éù-=ëû，∴)310x -=或0x =，解得120x x ==，；（2）解：∵()()221210x x x ---=，∴()()21210x x x ---=，即()()1210x x --=，∴10x -=或210x -=，解得12112x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．11．(1)18x =，27x =-(2)12x =，223x =【分析】（1）首先把方程变形可得(8)(7)0x x -+=，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出x 的值即可；（2）首先对方程进行整理，得出3(2)2(2)0x x x ---=，再因式分解可得(2)(32)0x x --=，然后得出两个一元一次方程，求解即可得出答案．【详解】（1）2560x x --=，(8)(7)0x x \-+=，80x \-=或70x +=，18x \=；27x =-；（2）3(2)2(2)x x x -=-，移项，得3(2)2(2)0x x x ---=，(2)(32)0x x \--=，20x \-=或320x -=，12x \=；223x =．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．12．(1)1212x x ==-(2)12x =，22x =-(3)12x x ==【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；（2）先移项，再提取公因式()2x -进行因式分解，即可求解；（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()22180x x +-=，241840x x x -+=+，24410x x ++=，()2210x +=，210x +=，21x =-，1212x x ==-．（2）解：()()22220x x x ---=，()()2220x x x ---=，()()220x x ---=，20x -=或20x --=，12x =，22x =-．（3）解：230x -+=，(20x =，0x =，12x x ==【点睛】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．13．(1)1250,3y y ==(2)120,3x x ==(3)123x x ==-(4)1211,42x x ==-【分析】（1）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（2）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（3）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（4）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2350y y -=，()350y y -=，解得：1250,3y y ==；（2）解：2412x x =，24120x x -=，()430x x -=，解得：120,3x x ==；（3）解：296x x+=-2690x x ++=即()230x +=，解得：123x x ==-；（4）解：229(1)x x =-，()22910x x --=，即()()22310x x --=，∴()()31310x x x x +--+=，即()()41210x x -+=，解得：1211,42x x ==-．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．14．(1)125,13x x ==(2)1211,2t t ==【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：()()222320x x ---=，∴()()()()2322320x x x x -+--éùé-ùëûëû-=，∴()()3510x x --=，∴350x -=或10x -=，∴125,13x x ==．（2）解：()2211t t -+=∴()22110t t -+-=，∴()()1210t t --=，∴1211,2t t ==．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．123(2)1213,42y y =-=【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：移项，得()22120x x --=，因式分解，得()()12120x x x x -+--=，得10,130x x -=-=或，解得：1211,3x x ==；（2）解：因式分解，得()()2312310y y x y ++-+-+=，合并同类项，得()()41230y y +-+=，得410230y y +=-+=或，解得：1213,42y y =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．（1）12=2,=4x x -；（2）1213,24x x =-=．【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）∵(2)(4)0x x +-=；∴20x +=，40x -=，∴12x =-，24x =；（2）4(21)3(21)x x x +=+，4(21)3(21)0x x x +-+=，(21)(43)0x x +-=，∴210x +=或430x -=，∴112x =-，234x =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．122(2)122x x ==【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：(2)(23)6x x --=，223466x x x --+=，即2270x x -=，∴()270x x -=，解得：12720,x x ==；（2）解：()44x x -=-，即2440x x -+=，()220x -=，解得：122x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．18．(1)1x =-12，2x =23；(2)1x =2，2x =83．【分析】（1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值；（2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】（1）解：∵3x （2x +1）-2（2x +1）=0，∴（2x +1）（3x -2）=0，∴2x +1=0或3x -2=0，解得1x =-12，2x =23；（2）解：∵22(3)(52)x x -=-，∴22(3)(5)02x x --=-，∴(352)(3520)x x x x +---+=-，即(2)(308)x x --=，∴2-x =0或3x -8=0，解得1x =2，2x =83．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．19．(1)113x =-，213x =(2)112x =，23x =【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可；（2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22437365x x x x +-=--2910x -=（3x +1）（3x -1）=03x +1=0，3x -1=0113x =-，213x =．（2）解：()233x x x -=-2263x x x -=-22730x x -+=（2x -1）（x -3）=02x -1=0，x -3=0112x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．20．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可；（2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．【详解】（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程．21．2y =或1y =【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将()3y -看作一个整体，设3y t -=，利用因式分解法求得t 的值，进而即可求得y ．【详解】解：设3y t -=，则原方程即2320t t ++=，∴()()120t t ++=，∴10t +=或20t +=，解得1t =-或2t =-，∴31y -=-或32y -=-，解得，2y =或1y =．22．1234111,22x x x x =+==-=【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设21x y x =-，原方程变为1732y y +=，解得12y =或23y =．再分别代入21x y x =-，求出1x =或12x =-或2x =，代入最简公分母进行检验即可求解．【详解】解：设21x y x =-，则211x x y-=，原方程变为1732y y +=，去分母得：26720y y -+=，解得12y =或23y =．当2112x x =-时，去分母得：2210x x --=，解得：1x =当2213x x =-时，去分母得：22320x x --=，解得：12x =-或2x =，检验：当1x =()()2110x x x +-¹，当12x =-或2x =时，()()2110x x x +-¹，∴分式方程的解为1234111,22x x x x ===-=．23．223x y +=．【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将22x y +看成一个整体t ，转换成一个关于t 的一元二次方程求解即可．【详解】解：令22x y t +=，则，原方程变为，()23t t -=，即，2230t t --=，()()310t t -+=解得：13t =，21t =-；又220x y +³Q ，∴223x y +=．24．123,1x x ==-【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．可根据方程特点设22y x x =-，则原方程可化为260y y --=，解一元二次方程求y ，再求x ．【详解】设22y x x =-，则原方程化为61y y-=\260y y --=，即()()320y y -+=，解得12y =-，23y =．当12y =-时，222x x -=-，该方程无解，当23y =时，223x x -=．解得13x =，21x =-，检验：当13x =时，原方程左边69632196=--=-==-右边，当21x =-时，原方程左边61232112=+-=-==+右边，∴13x =，21x =-都是原方程的根，∴原方程的根是13x =，21x =-．25．13x =，23x =-，31x =，41x =-【分析】设25y x =-，求出y 后，可得关于x 的方程，再解方程即可．【详解】设25y x =-，原方程化为2160y -=，解得14y =，24y =-，当14y =时，254x -=，29x =，则13x =，23x =-；当24y =-时，254x -=-，21x =，则31x =，41x =-，所以原方程的解为13x =，23x =-，31x =，41x =-．【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．26．22x y +的值为3【分析】设22x z y +=，然后用因式分解法求解即可，求解时注意220x y +>.【详解】设22x z y +=，∴(2)3z z -=．整理得：2230z z --=，∴(3)(1)0z z -+=．∴121,3z z ==-．∵220z x y =+>，∴1z =- (不合题意，舍去)∴3z =．即22x y +的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．27．1224x x =-=，【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令1m x =-，则原方程化为260m m --=，解方程得到3m =，则1=3x -，据此求解即可．【详解】解：令1m x =-，则原方程化为260m m --=，∴()()320m m -+=，解得3m =或2m =-（不合题意，舍去），∴1=3x -，∴13x -=±，解得1224x x =-=，．28．(1)11x =，21x =，341x x ==(2)10x =、25x =-【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；（1）令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，进而得出226x x -=，221x x -=-，解方程，即可求解；（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =，进而分别解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，解得16y =，21y =-．当16y =时，226x x -=，解得1x =．当21y =-时，221x x -=-，解得1x =．\原方程的解为：11x =，21x =，341x x ==（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =当113y =-13=-（无意义舍去）当21y =1=，解得10x =、25x =-．\原方程的解为10x =、25x =-．29．(1)1234022x x x x ====-，，；(2)12341133x x x x ==-==-，，，；(3)1x =和12x =-．【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．（1）设x t =，则原方程可化为220t t -=，解方程求得t 的值，再求x 的值即可；（2）设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（3）设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解．【详解】（1）解：设x t =，则原方程可化为：220t t -=．解得：1202t t ==，．当0=t 时，0x =，∴0x =；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：1234022x x x x ====-，，；（2）解：设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，即()()190a a --=，解得：1a =或9a =，当1a =时，21x =，∴1x =±；当9a =时，29x =，∴3x =±；∴原方程的解是：12341133x x x x ==-==-，，，；（3）解：设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，∴()()120m m +-=，解得：1m =-或2m =，当1m =-时，211x x+=-，即210x x ++=，由141130D =-´´=-<知此时方程无解；当2m =时，212x x+=，即2210x x --=，解得：1x =或12x =-，经检验1x =和12x =-都是原分式方程的解．30．(1)1=1x -；2=2x ；31x =41x =(2)11x =-，21x =【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；（1）设2(0)2x t t x =¹+，将原方程化为2320t t -+=，解得2t =或1t =，再分别代入22x t x =+求解分式方程的解即可；（2()0t t =³，则有222x x t +=，将原方程化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =t =求解即可；【详解】（1）设2(0)2x t t x =¹+，\原方程化为23t t+=，\2320t t -+=，解得2t =或1t =，当1t =时，212x x =+，解得2x =或=1x -，经检验，=1x -或2x =是方程的解；当2t =时，222x x =+，解得1x =1x =-，经检验，1x =或1x =∴原方程的解为：1=1x -；2=2x ；31x =；41x =（2()0t t =³，则有222x x t +=，\原方程可化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =，1=，\2210x x +-=，解得11x =-或21x =-；经检验：11x =，21x =是原方程的解．31．4x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【详解】解：2216111x x x +-=--方程左右同乘以21x -、去分母得：()()()221116x x x ++--=，去括号得：2222116x x x x +++-+=，移项、合并同类项得：2340x x +-=，因式分解得：()()410x x +-=，∴40x +=或10x -=，解得：14x =-，21x =，检验：14x =-，则211150x -=¹，故是原分式方程的根，21x =，则2210x -=，故是原分式方程的增根，∴原分式方程的解为4x =-．32．12x =-，22x =-，31x =【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．原方程化为211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x +=，则原方程变形为2226a a +-=，求出a 的值，当4a =-时，方程为14x x+=-，求出方程的解，当2a =时，方程为12x x +=，求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：原方程化为：211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x+=，则原方程化为：2226a a +-=，即2280a a +-=，解得：4a =-或2a =，当4a =-时，14x x+=-，整理得：2410x x ++=，Q 24411120D =-´´=>，x \=解得：12x =-，22x =-；当2a =时，12x x +=，整理得：2210x x -+=，()210x -=，解得：1x =，经检验12x =-，22x =-，31x =都是原方程的解，所以原方程的解是12x =-22x =-，31x =．33．12x x ==【分析】方程两边同乘以()()33x x +-可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得．【详解】解：11133x x +=+-，方程两边同乘以()()33x x +-，得()()3333x x x x +--+=+，去括号，得2933x x x --+=+，移项、合并同类项，得215x =，直接开平方，得12x x ==经检验，12x x ==【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验．34．5x =【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可．【详解】解：去分母，得()222181x x --=-，去括号，得2224281x x x -+-=-移项、合并同类项，得2450x x --=，解得11x =-，25x =，经检验，5x =是方程的解．【点睛】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．35．=1x -【分析】方程两边同时乘以()24x -，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：241142x x +=--，方程两边同时乘以()24x -，得()2442x x +-=+，即220x x --=，()()210x x -+=，解得122,1x x ==-，检验：当2x =时，()24x -0=，当=1x -时，()240x -¹．∴=1x -是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键，注意要检验．36．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】解：224124x x x -=-+-，两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．37．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．【详解】解：21211x x x -=++化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1¹0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．38．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18，检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0．即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．39．83x =-【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：整理，得：1641(2)2xx x x +=--，去分母，得：216(2)4x x x +-=，221624x x x +-=，232160x x +-=，(2)(38)0x x -+=，解得：12x =，283x =-，检验：当2x =时，(2)0x x -=，2x \=不是原分式方程的解，当83x =-时，(2)0x x -¹，83x \=-是原分式方程的解，\分式方程的解为83x =-．【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．40．2x =-【分析】先去分母化为整式方程求解，最后记得检验即可．【详解】解：原方程可化为()()2121111x x x x --=-+-去分母得()()()()211211x x x x -+-=+-，解得11x =，22x =-经检验11x =是增根，2x =-是原方程的解，\原方程的解为2x =-．故答案为2x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握一般步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是否为方程的根．。

一元二次方程解题技巧与方法一、直接开平方法。

1. 解方程(x - 3)^2=16- 解析：- 对于方程(x - 3)^2=16，根据直接开平方法，可得x - 3=±4。

- 当x - 3 = 4时，解得x=4 + 3=7。

- 当x - 3=-4时，解得x=-4 + 3=-1。

- 所以方程的解为x_1=7,x_2=-1。

2. 解方程2(x + 1)^2-8 = 0- 解析：- 首先对原方程进行化简，2(x + 1)^2=8，则(x + 1)^2=4。

- 然后根据直接开平方法，x+1=±2。

- 当x + 1 = 2时，x=2 - 1=1。

- 当x + 1=-2时，x=-2 - 1=-3。

- 所以方程的解为x_1=1,x_2=-3。

二、配方法。

3. 解方程x^2+6x - 7 = 0- 解析：- 对于方程x^2+6x - 7 = 0，首先进行配方。

- 在x^2+6x中加上一次项系数一半的平方，即((6)/(2))^2=9。

- 原方程变形为x^2+6x + 9-9 - 7 = 0，即(x + 3)^2-16 = 0。

- 移项得(x + 3)^2=16。

- 根据直接开平方法，x + 3=±4。

- 当x+3 = 4时，x = 1；当x + 3=-4时，x=-7。

- 所以方程的解为x_1=1,x_2=-7。

4. 解方程2x^2-5x+2 = 0- 解析：- 先将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得到x^2-(5)/(2)x + 1 = 0。

- 配方：x^2-(5)/(2)x+((5)/(4))^2-((5)/(4))^2+1 = 0。

- 即(x-(5)/(4))^2-(25)/(16)+1 = 0，(x-(5)/(4))^2=(9)/(16)。

- 根据直接开平方法，x-(5)/(4)=±(3)/(4)。

- 当x-(5)/(4)=(3)/(4)时，x = 2；当x-(5)/(4)=-(3)/(4)时，x=(1)/(2)。

专题02 《直接开平方法解一元二次方程》重难点题型分类专题简介：本份资料专攻《直接开平方法解一元二次方程》中“直接开平方法解一元二次方程的条件”、“解形如的方程”、“解形如的方程”、“已知方程的根求字母的值”、“已知方程的解求另一个方程的解”、“直接开平方法解新定义问题”、重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：直接开平方法解一元二次方程的条件方法点拨：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.1．（2021·山东·费县第二中学九年级阶段练习）若方程()24x a -=有解，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≠B ．0a ³C ．0a >D ．0a <【答案】B【分析】根据题意得到a 是非负数，由此求得a 的取值范围．【详解】解：∵（x -4）2=a 有解，∴a ≥0，故选：B ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，一个数的平方一定是非负数．2．（2020·浙江绍兴·一模）一元二次方程x 2＝c 有解的条件是 ( )A ．c ＜OB ．c ＞OC ．c≤0D ．c≥0【答案】D【分析】因为在x 2=c 中，左边是一个平方式，总是大于等于0，所以c 必须大于等于0．【详解】解：利用直接开平方法解方程时，本题中的被开方数c 必须为非负数，方程才有实数根．即c≥0．故选D ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，其解法是先将一元二次方程整理成2(0)x c c =³，然后两边同时开平方即可.3．（2020·全国·八年级课时练习）若方程（x ﹣1）2=m 有解，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤0B ．m ≥0C ．m ＜0D ．m ＞0【答案】B【分析】利用平方根的定义确定m 的范围．【详解】∵方程（x-1）2=m 有解，∴m≥0时，方程有实数解．故选B ．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．4．（2022·全国·九年级单元测试）关于x 的方程21x a =-有实数根，则a 的取值范围为_______________________．【答案】1a ³【分析】根据平方的意义得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程21x a =-有实数根，∴a-1≥0，解得a≥1，故答案为a≥1．【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件，直接开平方法解一元二次方程，列出关于a 的一元一次不等式是解题的关键．5．（2020·江苏常州·九年级期中）若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则c 的值可以是_________________．(写出一个即可)【答案】1（答案不唯一）【分析】根据非负数的性质可得0c ³，于是只要使c 的值非负即可．【详解】解：若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则0c ³，所以c 的值可以是1（答案不唯一）．故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键．6．（2021·上海·九年级专题练习）如果关于x 的方程（x ﹣2）2＝m ﹣1没有实数根，那么m 的取值范围是____．【答案】m ＜1【分析】根据直接开平方法定义即可求得m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的方程（x ﹣2）2＝m ﹣1没有实数根，∴m ﹣1＜0，解得m ＜1，所以m 的取值范围是m ＜1．故答案为：m ＜1．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．考点2：解形如的方程方法点拨：两边直接开平方，即可得到方程的两个解。