人教A版数学必修2：《函数的单调性》专题高分特训含解析

人教版高中数学选择性必修第二册函数的单调性分层作业(原卷版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1利用导数判断函数的单调性或求单调区间1．(5分)已知函数f(x)＝1x－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为()A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增B．f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减C．f(x)在(0，＋∞)上单调递减D．f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增2．(5分)函数y＝4x2＋1x的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，1)CD．(1，＋∞)x2－ln x的单调递减区间为()3．(5分)函数y＝12A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)4．(5分)若在区间[a，b]内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)＝0D．不能确定知识点2函数图象与其导函数图象之间的关系5．(5分)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是()6．(5分)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能是()7．(5分)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()知识点3由函数的单调性求参数的范围8．(5分)函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A．a＝13B．a＝1C．a＝2D．a≤09．(5分)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在(－∞，＋∞)上是单调递减的，则下列各式中成立的是()A．a>0，b2＋3ac≥0B．a>0，b2－3ac≤0C．a<0，b2＋3ac≥0D．a<0，b2－3ac≤010．(5分)若函数h(x)＝2x－kx＋k2在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是() A．[－2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]D．(－∞，2]11.(5分)函数f(x)＝x3－ax＋1既有单调递增区间，又有单调递减区间，则a 的取值范围是________．能力提升练能力考点适度提升12.(5分)如果函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，那么函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上()A．没有单调性B．无法确定单调性C．是增函数D．是减函数13．(5分)已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)·(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2)D．[2，＋∞)14．(5分)已知函数f(x)＝x＋ln x，则有()A．f(2)<f(e)<f(3)B．f(e)<f(2)<f(3)C．f(3)<f(e)<f(2)D．f(e)<f(3)<f(2)15．(5分)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是()16.(5分)若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________．x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，求b的取值17.(10分)已知y＝13范围．18.(10分)已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a的取值范围．19.(10分)讨论函数f(x)＝log a(3x2＋5x－2)(a>0，且a≠1)的单调性．人教版高中数学选择性必修第二册函数的单调性分层作业(解析版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1利用导数判断函数的单调性或求单调区间1．(5分)已知函数f(x)＝1x－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为()A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增B．f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减C．f(x)在(0，＋∞)上单调递减D．f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增C解析：因为f′(x)＝－1x2－1<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故选C．2．(5分)函数y＝4x2＋1x的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，1)CD．(1，＋∞)C解析：∵y′＝8x－1x2(x≠0)，令y′>0，即8x3－1>0，∴x>12.3．(5分)函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)B解析：该函数的定义域为(0，＋∞)，由y′＝x－1x≤0，得0<x≤1，所以原函数的单调递减区间为(0,1]．4．(5分)若在区间[a，b]内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)＝0D．不能确定A解析：由f′(x)>0，得f(x)在(a，b)上是增函数．∴当x∈(a，b)时，f(x)>f(a)≥0.知识点2函数图象与其导函数图象之间的关系5．(5分)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是()A解析：对于A，随着x的递增y＝f′(x)的符号变化情况依次为大于零、小于零、大于零、小于零，反映在函数y＝f(x)的图象上，即得y＝f(x)的单调性变化情况为增、减、增、减，区间端点也大致吻合，故A正确．6．(5分)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能是()A解析：由f′(x)的符号易判断选A．7．(5分)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()D解析：从f′(x)的图象可以看出，在大致区间a，a＋b2内是单调递增的，a＋b2，b是单调递减的，所以原函数f(x)的图象应在a，a＋b2内越来越陡，在a＋b2，b缓，只有D选项吻合．知识点3由函数的单调性求参数的范围8．(5分)函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A．a＝13B．a＝1C．a＝2D．a≤0D解析：∵y′＝3ax2－1，又函数在(－∞，＋∞)上是减函数，∴y′≤0恒成立，∴a≤0.当a＝0时，y＝－1，满足题意．故a≤0.9．(5分)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在(－∞，＋∞)上是单调递减的，则下列各式中成立的是()A．a>0，b2＋3ac≥0B．a>0，b2－3ac≤0C．a<0，b2＋3ac≥0D．a<0，b2－3ac≤0D解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)．∵函数在(－∞，＋∞)上为递减的，∴f′(x)≤0在(－∞，＋∞)上恒成立．∴a<0且Δ＝4b2－12ac≤0，即b2－3ac≤0.10．(5分)若函数h(x)＝2x－kx＋k2在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是()A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，2]A解析：根据条件得h′(x)＝2＋kx2＝2x2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞).11.(5分)函数f(x)＝x3－ax＋1既有单调递增区间，又有单调递减区间，则a 的取值范围是________．(0，＋∞)解析：∵f′(x)＝3x2－a，由条件知f′(x)＝0需有两个不等实根，∴a>0.能力提升练能力考点适度提升12.(5分)如果函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，那么函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上()A．没有单调性B．无法确定单调性C．是增函数D．是减函数C解析：∵y′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，又x>0，f(x)>0，f′(x)>0，∴y′>0.∴函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上是增函数．13．(5分)已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)·(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2)D．[2，＋∞)B解析：令k≤0得x0≤2，由导数与函数单调性的关系可知，函数的单调递减区间为(－∞，2]．14．(5分)已知函数f(x)＝x＋ln x，则有()A．f(2)<f(e)<f(3)B．f(e)<f(2)<f(3)C．f(3)<f(e)<f(2)D．f(e)<f(3)<f(2)A解析：∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝12x ＋1 x，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)是(0，＋∞)上的增函数．又∵2<e<3，∴f(2)<f(e)<f(3)．15．(5分)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是()C解析：当0<x<1时，∵xf′(x)<0，∴f′(x)<0，∴y＝f(x)在(0,1)上为减函数；当x>1时，∵xf′(x)>0，∴f′(x)>0，∴y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，只有C项吻合.16.(5分)若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________．－75解析：∵f′(x)＝3x2＋a，且f′(x)<0的解为－5<x<5，∴3×52＋a＝0，∴a＝－75.x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，求b的取值17.(10分)已知y＝13范围．解：若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，解得－1≤b≤2，由题意知y′≥0不恒成立，故b<－1或b>2，所以b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(10分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．解：由已知得a >1＋ln x x在(1，＋∞)内恒成立，设g (x )＝1＋ln x x，则g ′(x )＝－ln x x 2<0(x >1)．∴g (x )在(1，＋∞)内递减，∴g (x )<g (1)．∵g (1)＝1，∴1＋ln x x<1在(1，＋∞)内恒成立．∴a ≥1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞).19.(10分)讨论函数f (x )＝log a (3x 2＋5x －2)(a >0，且a ≠1)的单调性．解：∵函数f (x )＝log a (3x 2＋5x －2)的定义域为(－∞，－2)又f ′(x )＝log a e 3x 2＋5x －2·(6x ＋5)＝(6x ＋5)log a e (3x －1)(x ＋2)，∴①若a >1，则当x >13时，log a e>0,6x ＋5>0，(3x －1)(x ＋2)>0，∴f ′(x )>0，函数f (x )当x <－2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－2)上是减函数．②若0<a <1，则当x >13时，f ′(x )<0，∴函数f (x )当x <－2时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(－∞，－2)上是增函数．。

函数的应用（零点、二分法）
一、单选题(共6道，每道16分)
1.函数的零点所在的大致区间是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点
2.若函数在区间上恰有一个零点，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性
3.函数的零点有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性
4.函数的零点个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点
5.已知函数，若函数在上有两个零点，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点
6.用二分法求方程的近似解（精确度0.01），先令，则根据下表数据，方程的近似解可能是( )
A.2.512
B.2.522
C.2.532
D.2.542
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二分法求函数零点的近似值。

专题5.3.1 函数的单调性知识储备1.函数的单调性与导数的关系 函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，(1)若f ′(x )>0，则f (x )在区间(a ，b )内是单调递增函数； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在区间(a ，b )内是单调递减函数； (3)若恒有f ′(x )＝0，则f (x )在区间(a ，b )内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.2.常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．（2020·全国高二课时练习）设函数()f x 的图象如图所示，则导函数()f x 的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵()f x 在(,1)-∞，(4,)+∞上为减函数，在(1,4)上为增函数， ∴当1x <或4x >时，()0f x '<；当14x <<时，()0f x '>．故选：C ．2．（2020·全国高二专题练习）设奇函数()f x 在R 上存在导函数()'f x ，且在(0,)+∞上2()f x x '<，若331(1)()(1)3f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦，则实数m 的取值范围为（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】331(1)()(1)3f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦， 即3311(1)(1)()33f m m f m m ≥----，构造函数31()()3g x f x x =-，由题意知：在(0,)+∞上，2()()0g x f x x '=-<'， 故()g x 在(0,)+∞上单调递减，()f x 为奇函数，()()()3311()33g x f x x f x x g x ∴-=-+=-+=-，即()g x 为奇函数， 故()g x 在R 上单调递减，因此原不等式可化为：()()1g m g m -≥，即1m m -≤，解得12m ≥.故选：D ．3．（2020·全国高二课时练习）函数()sin 2,()3f x x xf f x π''⎛⎫=+⎪⎝⎭为()f x 的导函数，令31,log 22a b ==，则下列关系正确的是（ ）A ．()()f a f b <B ．()()f a f b >C ．()()f a f b =D ．()()f a f b ≤【答案】B【解析】由题意得，()cos 23f x x f π''⎛⎫=+⎪⎝⎭，cos 2333f f πππ''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得132f π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，所以()sin f x x x =-． 所以()cos 10f x x '=-≤，所以()f x 为减函数．因为331log 2log 2b a =>==，所以()()f a f b >，故选：B ． 4．（2020·全国高二课时练习）若函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设导函数()y f x '=的图象与x 轴交点的横坐标从左到右依次为123,,x x x ，其中1320,0x x x <>>，故()y f x =在()1,x -∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增，在()23,x x 上单调递减，在()3,x +∞单调递增．故选：D ．5．（2020·全国高二课时练习）若函数()()3230,f x ax x x b a b =+++>∈R 恰好有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()0,33,+∞ B ．[)3,+∞ C ．(]0,3 D ．()0,3【答案】D【解析】由题意得()()23610f x ax x a '=++>，函数()f x 恰好有三个不同的单调区间，()f x '∴有两个不同的零点，所以，361200a a ∆=->⎧⎨>⎩，解得0<<3a .因此，实数a 的取值范围是()0,3.故选：D.6．（2020·全国高二课时练习）函数2()ln f x x x =的单调递减区间为（ ）A ．B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．)+∞D ．0,e ⎛ ⎝⎭【答案】D【解析】由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()2ln 2ln (2ln 1)f x x x x x x x x x x=⋅+⋅=+=+'．令()0f x '<，得2ln 10x ，解得0x <<，故函数2()ln f x x x =的单调递减区间为0,e ⎛ ⎝⎭．故选：D 7．（2020·江苏南通市·高三期中）设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，()02020f =，则不等式()20191x f x e ->+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()(),00,-∞⋃+∞ B ．()(),02019,-∞+∞C ．()0,∞+D ．()2019,+∞【答案】C【解析】因为()f x 满足()()1f x f x '+>，， 令()()1xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦，则()()()10xg x e f x f x ''=+->⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在R 上是增函数， 又()02020f =，则()02019g =，不等式()20191xf x e ->+可化为()12019x e f x ->⎡⎤⎣⎦，即()()0g x g >， 所以0x >，所不等式的解集是()0,∞+，故选：C8．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））已知奇函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，其图象是一段连续不断的曲线，当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．ππ23⎛⎫-⎪⎝⎭， B ．ππ23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．ππππ2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， D ．πππ0332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 【答案】A【解析】设()()cos f x g x x= ，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x'+'=当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，此时()0g x '> 所以()()cos f x g x x=在02π⎛⎫-⎪⎝⎭，上单调递增. 又()f x 为奇函数，则()00f =，则()()cos f x g x x=为奇函数，又()00g =则()()cos f x g x x=在02，上单调递增，所以()g x 在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增.当ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，恒有cos 0x >()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()π3πcos cos 3f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，由()()cos f x g x x=在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，所以23x ππ-<<故选：A二、多选题9．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()'f x 的图象如图所示，则对于任意()1212,x x x x ∈≠R ，下列结论正确的是（ ）A ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】AD【解析】由题中图象可知，导函数()'f x 的图象在x 轴下方，即()0f x '<，且其绝对值越来越小，因此过函数()f x 图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得()f x 的大致图象如图所示．A 选项表示12x x -与()()12f x f x -异号，即()f x 图象的割线斜率()()1212f x f x x x --为负，故A 正确；B 选项表示12x x -与()()12f x f x -同号，即()f x 图象的割线斜率()()1212f x f x x x --为正，故B 不正确；122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭表示122x x +对应的函数值，即图中点B 的纵坐标，()()122f x f x +表示当1x x =和2x x =时所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，显然有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 不正确，D 正确．故选:AD ．10．（2020·全国高二课时练习）（多选）如图是函数()y f x =的导函数()'f x 的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．()f x 在(3,1)-上是增函数B ．()f x 在(1,3)上是减函数C ．()f x 在(1,2)上是增函数D ．当4x =时，()f x 取得极小值【答案】CD【解析】()'f x 的图象在(3,1)-上先小于0，后大于0，故()f x 在(3,1)-上先减后增，因此A 错误；()'f x 的图象在(1,3)上先大于0，后小于0，故()f x 在(1,3)上先增后减，因此B 错误；由图可知，当(1,2)x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(1,2)上单调递增，因此C 正确；当(2,4)x ∈时，()0f x '<，当(4,5)x ∈时，()0f x '>，所以当4x =时，()f x 取得极小值，因此D 正确．故选：CD ．11．（2020·全国高二课时练习）(多选)已知函数2()(ln )f x x x a a =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>B ．0,0,()0a x f x ∃>∃>C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>D ．0,0,()0a x f x ∀>∃>【答案】ABD 【解析】当12a =时，211()ln 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，函数的定义域为(0,)+∞，211()2ln 2ln 2ln 2f x x x x x x x x x x x ⎛⎫=-+⋅=-+= ⎪⎝'⎭，令()0f x '=，得1x =，当1x >时，()0f x '>，此时函数单调递增， 当01x <<时，()0f x '<，此时函数单调递减，故当1x =时，函数()f x 取得极小值，也是最小值，11(1)022f =-+=， 则0,()(1)0x f x f ∀>=，故选项A 正确； 当5a =时，2()(ln 5)5f x x x =-+， 则22()(ln 5)5450f e e e e =-+=-+<，故0,0,()0a x f x ∃>∃>，故选项B 正确，选项C 错误；因为2(1)1(ln1)0f a a a a =-+=-+=，所以0,10a x ∀>∃=>，使()0f x 成立，因此选项D正确.故选：ABD.12．（2020·广东揭阳市·高三期中）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．()2x f x = B ．()sin f x x x =- C ．()x x f x e e -=- D ．()||f x x x =-【答案】BCD【解析】对于A ，()2x f x =既不是奇函数也不是偶函数，且单调递增，故A 错误；对于B ，()f x 的定义域为R ，且()()()()sin sin f x x x x x f x -=-+=--=-，()f x ∴是奇函数，又()cos 10f x x '=-≤恒成立，故()f x 是减函数，故B 正确； 对于C ，()f x 的定义域为R ，且()()xxf x e f x e--=-=-，()f x ∴是奇函数，)0(x x f x e e -'--<=，故()f x 是减函数，故C 正确；对于D ，()f x 的定义域为R ，且()()||||f x x x x x f x -=-==-，()f x ∴是奇函数，又22,0(),0x x f x x x x x ⎧<=-=⎨-≥⎩是减函数，故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．（2020·全国高二课时练习）已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()xf xg x e =的单调递减区间为___________．【答案】()0,1、()4,+∞【解析】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，()()x f x g x e =，()()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='， 由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.因此，函数()()x f x g x e=的单调递减区间为()0,1、()4,+∞． 故答案为：()0,1、()4,+∞.14．（2020·山西高三期中（理））已知()3216132m f x x x x =-++在()1,1-单调递减，则m 的取值范围为______． 【答案】[]5,5- 【解析】()f x 在()1,1-单调递减，∴2()60f x x mx '=+-≤在()1,1-恒成立，又2()6f x x mx '=+-是开口向上的二次函数，为使()0f x '≤在()1,1-恒成立，只需(1)0(1)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩，即160160m m --≤⎧⎨+-≤⎩，则[]5,5m ∈-.故答案为：[]5,5-.15．（2020·全国高二单元测试）设()'f x 是函数()f x 在R 的导函数，对x R ∀∈，2()()f x f x x -+=，且[0x ∀∈，)+∞，()f x x '>．若()()2f a f a --22a -，则实数a 的取值范围为__．【答案】(-∞，1] 【解析】2()()f x f x x -+=，2211()()022f x x f x x ∴-+--=，令21()()2g x f x x =-， 2211()()()()022g x g x f x x f x x -+=--+-=， ∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()f x x '>．(0,)x ∴∈+∞时，()()0g x f x x '='->，故函数()g x 在(0,)+∞上是增函数， 故函数()g x 在(,0)-∞上也是增函数， 由(0)0f =，可得()g x 在R 上是增函数．()()2f a f a --22a -，等价于()()()2222a f a f a ---22a -，即()()2g a g a -，2a a ∴-，解得1a ．故答案为：(-∞，1]． 四、双空题16．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知函数()(0)bf x ax b x=+>的图象在点()()1,1P f 处的切线与直线210x y +-=垂直，则a 与b 的关系为_______(用b 表示)，若函数()y f x =在区间1[,)2+∞上单调递增，则b 的最大值等于______. 【答案】2b + 23【解析】由题意，函数()(0)b f x ax b x=+>，可得2()b f x a x '=-，所以(1)f a b '=-， 即函数()f x 的图象在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a b =-又由函数()f x 的图象在点()()1,1P f 处的切线与直线210x y +-=垂直， 所以()1()12a b -⨯-=-，可得2a b -=，即a 与b 的关系为2a b -=；又由函数()y f x =在区间1[,)2+∞上单调递增， 可得2()0b f x a x '=-≥在区间1[,)2+∞上恒成立， 即22b b x +≥在区间1[,)2+∞上恒成立，整理得22b x b ≤+在区间1[,)2+∞上恒成立， 又由2min 1()4x =，所以124b b ≤+，解得203b <≤， 所以b 的最大值等于23.故答案为：2a b -=，23.。

第19讲函数的单调性、极值与最值【人教A版2019】·模块一函数的单调性·模块二函数的极值与最值·模块三课后作业1．函数单调性和导数的关系(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增；②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.(2)函数值变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.常见的对应情况如下表所示.图象f'(x)变化规律f'(x)>0且越来越大f'(x)>0且越来越小f'(x)<0且越来越小f'(x)<0且越来越大函数值变化规律函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢函数值减小得越来越快函数值减小得越来越慢【【【1 【【【【【【【【【【【【【【【【【【1.1【（2023上·北京通州·高三统考期中）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的是（）A．f(x)=(x−1)3B．f(x)=2|−x|C．f(x)=−log2|x|D．f(x)=|log12x|【例1.2】（2023上·甘肃·高三校考阶段练习）函数f(x)=x−lnx的单调递减区间是（）A．(−∞,1)B．(0,1)C．(1,+∞)D．(e,+∞)【变式1.1】（2023下·河北沧州·高二校考阶段练习）函数f(x)=2x−5lnx−4的单调递减区间是（）模块一函数的单调性A ．(0,3)B ．(3,+∞)C ．(−∞,52)D ．(0,52)【【【1.2【（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是（ ）A ．f (x )=xlnxB ．f (x )=ln(−x +√x 2+1)C ．f (x )=e x +e −xD ．f (x )=e x −e −x【【【2 【【【【【【【【【【【【例2.1】（2023下·湖北武汉·高二校联考期中）已知函数f (x )=(2−x )e x −ax 在(0,2)上为减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,2e )B ．[e,+∞)C ．(1,+∞)D ．[1,+∞)【例2.2】（2023下·四川成都·高二校联考期中）若函数f(x)=x 3−3kx +1的单调递减区间为(−1,1)，则实数k 的值为（ ） A ．1B ．−1C ．3D ．−3【变式2.1】（2023上·广东汕头·高三统考期中）设a ∈(0,1)，若函数f (x )=a x +(1+a)x 在(0,+∞)递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[√5−12,√5+12] B ．[√5−12,1) C ．(√5−12,1) D ．(0,√5−12) 【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )=ax 3−3x 2+x +1恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[3,+∞)B ．(−∞,3)C ．(−∞,0)∪(0,3)D ．(−∞,0)1．函数的极值 极值的相关概念(1)极小值点与极小值：如图，函数y =f (x )在点x =a 处的函数值f (a )比它在点x =a 附近其他点的函数值都小，f '(a )=0，而且在点 x =a 附近的左侧f '(x )<0，右侧f '(x )>0，则把点a 叫做函数y =f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y =f (x )的极小值. (2)极大值点与极大值：如图，函数y =f (x )在点x =b 处的函数值f (b )比它在点x =b 附近其他点的函数值都大，f '(b )=0，而且在点 x =b 附近的左侧f '(x )>0，右侧f '(x )<0，则把点b 叫做函数y =f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y =f (x )的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．函数的最值(1)一般地，如果在区间[a ,b ]上函数y =f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， f (x )的图象连续不断且在[a ,b ]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.模块二函数的极值与最值(2)函数的极值与最值的区别①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.【【【3 【【【【【【【【【【【【例3.1】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=2x−tanx−π在区间(−π2,π2)的极大值、极小值分别为（）A．π2+1，−π2+1B．−π2+1，−3π2+1C．3π2−1，−π2+1D．−π2−1，−3π2+1【例3.2】（2023上·山西临汾·高三校联考期中）已知函数f(x)=x2−ax−lnx+2(a∈R)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增，则f(x)的极小值为（）A．2B．1C．0D．1【变式3.1】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f′(x)−f(x)=x2e2x,f(0)=0，则f(x)（）A．有一个极小值点，一个极大值点B．有两个极小值点，一个极大值点C．最多有一个极小值点，无极大值点D．最多有一个极大值点，无极小值点【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)=e x(sinx−cosx)，若0≤x≤2020π，则函数f(x)的各极大值之和为（）A．eπ(1−e1010π)1−eπB．eπ(1−e1010π)1−e2πC．eπ(1−e2020π)1−e2πD．eπ(1−e2020π)1−eπ【【【4 【【【【【【【【【【【【例4.1】（2023上·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=x(x−m)2在x=1处有极大值，则m的值为（）A．1B．2C．3D．1或3【例4.2】（2023·贵州遵义·统考三模）函数f(x)=ax+lnxb+1在x=1处取得极值0，则a+b=（）A．0B．12C．1D．2【变式4.1】（2023下·山东烟台·高二校考开学考试）已知函数f(x)=ax 2+bx+ce x(a≠0)的两个极值点分别为−12和2，若f(x)的极大值为1，则a+2b+4c的值为（）A．−2B．0C．2D．4【变式4.2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）函数f (x )=ax 3+2x 2+ax +1在(−1,+∞)上存在极大值f (x 1)和极小值f (x 2)，且x 1<x 2，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,2√33) B ．(23,2√33) C ．(1,2√33) D ．(1,2)【【【5 【【【【求函数的最值【【例5.1】（2023·全国·模拟预测）函数f (x )=x 2sinx +2xcosx 在区间[−π2,π]上的最大值与最小值分别为（ ）A ．π24，−2πB ．π24，−π24C ．2π，−π24D ．2π，−2π【例5.2】（2023上·江苏无锡·高三统考期中）当x =2时，函数f (x )=x 3+bx 2−12x 取得极值，则f (x )在区间[−4,4]上的最大值为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．32【变式5.1】（2023下·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）函数f (x )=2sinx −sin2x 是（ ）A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数；且最大值为3√32D ．偶函数；且最大值为3【变式5.2】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为（ ）A ．1B ．−4C ．−3D ．5【【【6 【【【【【【【【【【【【6.1【（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数f (x )=13x 3+12x 2−2x +1，若f (x )在(2a,a +3)内存在最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．(−2,12) B ．(−2,3) C ．[−74,12)D ．(−5,−1)【例6.2】（2023下·重庆江北·高二校考阶段练习）若函数f (x )=e 2x x在区间[14,a]上的最小值为2e ，则a 的取值范围是（ ）A ．14<a ≤12 B ．a ≥12 C ．12≤a ≤1D ．a ≥1【【【6.1【（2023上·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数f (x )=ax −(a +3)x 3在区间[−1,1]上的最小值为−3，则实数a 的取值范围为（ ）A．[−92,+∞)B．(−∞,9]C．[−92,9]D．(−92,9)【变式6.2】（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）已知函数f(x)=x3−ax2+3x在R上单调递增，且g(x)=x+a2x 在区间(1,2]上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（）A．[3,4)B．(2,3]C．(3,4]D．[2,3)1．（2022下·湖北·高二统考期末）函数f(x)=12x2−lnx的单调递减区间为（）A．(−1,1)B．(0,1)C．(1,+∞)D．(0,+∞)2．（2022上·陕西安康·高二校考期末）函数f(x)在R的导数为f′(x)，且f′(x)<f(x),则有() A．ef(1)>e2f(2)B．e2f(1)>ef(2)C．e2f(1)<ef(2)D．ef(1)<e2f(2)3．（2023上·上海松江·高三统考期末）函数y=f(x)的图象如图所示，y=f′(x)为函数y=f(x)的导函数，则不等式f ′(x)x<0的解集为（）A．(−3,−1)B．(0,1)C．(−3,−1)∪(0,1)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)4．（2023上·四川雅安·高三校联考期中）已知f′(x)是函数f(x)的导函数，若函数y=e f′(x)的图象大致如图所示，则f(x)的极大值点为（）A．a B．b C．c D．d5．（2023下·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数f(x)=ae x−lnx在区间(2,3)上单调递增，则a 的最小值为（）A．2e−2B．e C．e−1D．12e−26．（2023上·北京海淀·高三校考阶段练习）函数f(x)=32x2−27lnx在区间[1,2]上的最大值是（）A．0B．12C．1D．327．（2023上·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知x=a是函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx的极大值点，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,1)B．(1,+∞)C．(0,1)D．(0,1]8．（2023上·宁夏固原·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=e x(x2−x+1)，则下列选项正确的有（）模块三课后作业A．函数f(x)极小值为1B．函数f(x)在(−1,+∞)上单调递增C．当x∈[−2,2]时，函数f(x)的最大值为3e2D．当k<3e时，方程f(x)=k恰有3个不等实根9．（2023上·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线y=ax+a与曲线y=lnx+b相切，则5a−b的最小值为（）A．2ln2B．2ln2−1C．4ln2D．4ln2−110．（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)=e x−mx2有两个极值点x1，x2（0<x1<x2），函数g(x)=xlnx−14m x2−x有两个极值点x3，x4（0<x3<x4），设M=x3x1+x2x4，则（）A．0<M<1e B．0<M<e2+1eC．M>e2+1eD．M>e11．（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数f(x)=alnx+1x−1(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x1,x2∈(0,1)，且x1≠x2，恒有f(x1)−f(x2)x1−x2<2，求实数a的取值范围．12．（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知函数f(x)=e xax2+4x+4(a∈R).(1)若a=0，求函数f(x)的单调区间；(2)若对∀x∈R，f(x)>0，且f(x)在x=0处取得极小值，求a的取值范围.13．（2023上·上海徐汇·高三校考期中）已知函数f(x)=(ax2+x+2)e x(a≥0)，其中e是自然对数的底数．(1)当a=0时，求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)当a=2时，求f(x)在[−2,2]的最值；(3)若函数f(x)在[−2,2]上是严格递增函数，求a的取值范围.14．（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数f(x)=ae xx+lnx−x(a>0).(1)讨论f(x)的极值点的个数；(2)若f(x)恰有三个极值点x1，x2，x3（x1<x2<x3），且x3−x1≤1，求x1+x2+x3的最大值. 15．（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数f(x)=a x−elog a x−e,g(x)=a x−xlna，其中a>1,e是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间和最值；(2)证明：函数f(x)有且只有一个极值点；(3)当a∈[e,e2]时，证明：f(x)≥0．。

函数的单调性一、单选题（共10道，每道10分）1. 若函数与在区间（0, +8）上都是减函数，则在区间（0，+m）上是（）A. 增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增答案：B解题思路：y = ax和p二在（0, +次）上都是诚函数1x/■ a < 0 , 5 < 0•I y = d +方龙的对称辛由x =-——< 0,2a■ y = +方尤在区间（0, +ac）_L是减函数. 故选B试题难度：三颗星知识点：函数单调性的判断与证明2. 函数（）A.在（-1 , +8）上单调递增B. 在（-1 , +8）上单调递减C. 在（1 , +8）上单调递增D. 在（1 , +8）上单调递减答案：C 解题思路:函数的定义域为(-Q 1)U(1, +x),试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间A.B.x —1当x€ (l f +oc)时*对任意的l<x l <x,t/(x)-/(x,) = ——<0,w w (可-1心-1)■'■ /(x)=l--在(1, +©上为増函数,x-1当x€(-oc ・1)时，同理可得f(x) = l-^-在(-如1止是増函数. X-1故选C试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间3. 函数的单调递减区间是（）A.B.C.D.答案：C解题思路：结合题意可得，函数y = A + 1是由＞■=-向右平移1个单位,x-1 X向上平移1个单位所得，QT —_在（B 0）, （0, +◎上单调递减，x二 F = —^ + 1 在（一：X. 1）, （I T +R ）上单调递诚. 故选C4. 函数的一个单增区间是 （）C.D.无单增区间答案：C解题思路:根据题意可得:X —1函数/« = 1 --是由g(x)=--向右平移1个单位,X —1 X向上平移1个单位所得，r⑴=-2在(V，0)? (0, +Q上单调递增，X\/(x)=l-------- -- 在(—4 1), (b +©上单调递増”X-1故选C试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间5. 函数的单调递增区间是()A.B.C.D.答案：C解题思路:当时，v=x+L此时函数单调递増，当XV-1时，y= x-L此时函数单调递诚, 二函数的递増区间是(J +x).故选C试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间6. 函数的单调递减区间是()A.,B.,C.,D.,答案：A解题思路:①当JC<0S1 /(X)=-X2-2X+1,由图象可得在区间(YCL I)上单调递増，在区间(-1,0)上单调递减；②当0时，/(X)=-X2+2X^1,由图象可得在区间(0,1)上单调递増，在区间4+00)上单调递减.综上，y(x) = -x2+ 2|x|+l的单调递减区间杲(-1,0), (1.+X). 故选A 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间7. 设函数，则的单调递增区间是()A.B.C.D.答案：B解题思路：8. 函数的单调递增区间是()试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间A.B.答案：D解题思路:当炉0时，/(x) = x:+l单调递埠当x<0时，/(X> = -/单调递増‘且当x=0时，, 二函数的单调递増区间是(_Q +©・故选D试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间9. 已知函数是定义在上的增函数，A(0，-1)，B(3, 1)是其图象上的两点，那么不等式组的解集是()A.B.C.D.答案：A解题思路：T函数经过占(0, -1), B (3, 1),二-1W /(x+1) W 1 可化为/(0) W fE W /(3),V国数/(工)是定义在R上的増函数，二0W X+1W3 ,解得；一1 W兀W 2 +故选A试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间10. 已知函数的图象关于直线x= 1对称，且在上单调，则的解集为()A.B.C.D.答案：B解题思路:丁函数尸/(工)的图象关于直线x=l对称，/(0)=0, /(2) = 0, 丁函数在［1・+©上单调递减，二函数在(-瓷，1)上单调递增，/(x+l)> 0 可彳匕为/(x+1) > /(0)酚(x+1) > /(2),・* 0 < x+1 < 2 ,解得；-1 <x<l +故选B试题难度：三颗星知识点：函数单调性的性质。

3.2.1函数的单调性1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选B.由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()A．y＝3－x B．y＝x2＋1C．y＝1x D．y＝－|x＋1|解析：选B.y＝3－x，y＝1x，y＝－|x＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y＝x2＋1在(0，2)上是增函数．3．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是()A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a)C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a2)解析：选D.因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)<f(a2)．故选D.4．下列说法中正确的有()①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－1x在定义域上是增函数；④函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：函数单调性的定义中的x1，x2是任意的，强调的是任意，①不对；②y＝x2，当x≥0时是增函数，当x<0时是减函数，从而y＝x2在其整个定义域上不具有单调性；③y＝－1x在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f(－3)>f(5)；④y＝1x的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．5．函数y＝x2－6x的减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞) D．(－∞，3]解析：选D.y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]．6．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定解析：选D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定．7. 已知函数y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0 C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0解析：选A.因为y ＝ax 和y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.8. 函数y ＝5－4x －x 2的递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．[－5，－2]C ．[－2,1]D ．[－5,1]解析：由5－4x －x 2≥0，得函数的定义域为{x |－5≤x ≤1}．∵y ＝5－4x －x 2＝－(x 2＋4x ＋4)＋9＝－(x ＋2)2＋9，对称轴方程为x ＝－2，抛物线开口向下，∴函数的递增区间为[－5，－2]．故选B ．9．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：当a ＝0时，f (x )＝2x －3，符合题意；当a >0时，f (x )图象的开口向上，不符合题意；当a <0时，由题意可得－1a ≥4，解得a ≥－14.综上可知：－14≤a ≤0.10．若f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是( )A ．f (x )>f (0)B ．f (x 2)>f (0)C ．f (3a ＋1)<f (3a )D ．f (a 2＋1)≥f (2a )解析：∵a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴a 2＋1≥2A ．当a ＝1时，f (a 2＋1)＝f (2a )；当a ≠1时，f (a 2＋1)>f (2a )．故选D ．11. 若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________．解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5.答案：(5，＋∞)12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是 .解析：选A.当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，所以0≤a ≤13.13．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2.答案：(－∞，2] 14．已知函数f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－2<f (x )<2的解集为________．解析：因为A (0，－2)，B (－3，2)在函数y ＝f (x )的图象上，所以f (0)＝－2，f (－3)＝2，故－2<f (x )<2可化为f (0)<f (x )<f (－3)，又f (x )在R 上是减函数，因此－3<x <0. 答案：(－3，0)15. 已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m 的取值范围是 .解析：二次函数f (x )的图象的对称轴是直线x ＝m 4.因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，即m 4∉(1,4)，所以m 4≤1或m 4≥4，即m ≤4或m ≥16.16.作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象如图所示，由图象可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]； 单调递增区间为(2，＋∞)．17. 证明函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．证明: ∀x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4（x 2－x 1）x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2. 因为2＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，x 1x 2－4＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数． 18．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1. (1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．解：(1)由题意知x ＋1≠0，即x ≠－1.所以f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．(2)证明：∀x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2＋1－2x 1－1x 1＋1＝（2x 2－1）（x 1＋1）－（2x 1－1）（x 2＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝3（x 2－x 1）（x 2＋1）（x 1＋1）. 因为x 1<x 2，所以x 2－x 1>0.又因为x 1，x 2∈[1，＋∞)，所以x 2＋1>0，x 1＋1>0.所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x 2)>f (x 1)．所以函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数． 19.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0. 故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 由于当x >1时，f (x )<0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0. 因此f (x 1)<f (x 2)．故函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)． 而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， 且f (|x |)<－2＝f (9)，所以|x |>9，解得x >9或x <－9.∴f (|x |)<－2的解集为(－∞，－9)∪(9，＋∞)．。

函数性质综合一、单选题(共10道，每道10分)解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的判断与证明2.已知函数是定义在上的奇函数，若，则的最大值与最小值之和是( )A.0B.2C.4D.不能确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的最值3.已知的定义域是，则的定义域是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的定义域4.已知函数的定义域为，则的定义域为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的定义域5.已知的定义域为[0，3]，则的定义域是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的定义域6.若函数的单调递减区间为，则函数的单调递减区间为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性7.已知定义在上的偶函数在上单调递增，则满足的x的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合8.已知函数是定义在上的奇函数，且当x＞0时，，若函数是上的单调减函数，则a的取值范围是( )A.a≥﹣1B.﹣1≤a≤0C.a≤0D.a≤﹣1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合9.若函数是定义在上的减函数，则的单调递增区间为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性10.已知函数，，则函数的单调递减区间为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性。

十六函数的单调性(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有( )A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.不能确定【解析】选A.因为f(x)在(a,b)上为增函数,所以f(x)>f(a)≥0.2.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象是( )【解析】选A.f′(x)=2x+b,由于函数f(x)=x2+bx+c图象的顶点在第四象限,所以x=->0,得b<0.结合选项,可知选A.3.(2020·开封高二检测)函数y=+3ln x的单调增区间为( )A.(0,1)B.C.(1,+∞)D.【解析】选D.函数的定义域为(0,+∞),令y′=-+=>0,解得x>.故函数的单调递增区间为.4.(2020·沧州高二检测)已知f(x)=a-2ln x(a≥0)在[1,+∞)上为单调递增函数,则a的取值范围为( )A.[0,+∞)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选D.由题意知f′(x)=a-=≥0对任意的x∈[1,+∞)恒成立, 即ax2-2x+a≥0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,所以a≥=,因为y=x+在[1,+∞)上单调递增,所以y=x+≥2,则0<≤1,所以a≥1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·和平高二检测)已知函数f(x)=-x2+3x-2ln x,则函数f(x)的单调递减区间为__________,单调增区间为________________.【解析】定义域为(0,+∞),令f′(x)=-x+3-<0,又x>0,解得:x>2或0<x<1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1),(2,+∞);单调递增区间为(1,2).答案:(0,1)和(2,+∞)6.如图所示的是函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,f′(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x·f′(x)<0的解集为________.【解析】由f(x)的图象知,f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上为增函数,在(-,)内为减函数,所以当x∈(-∞,-)和(,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-,)时,f′(x)<0.所以x·f′(x)<0的解集为{x|x<-或0<x<}.答案:{x|x<-或0<x<}三、解答题(每小题10分,共20分)7.(2020·赣州高二检测)已知函数f(x)=aln x-bx2,a,b∈R,函数f(x)在x=1处与直线y=-相切.(1)求实数a,b的值;(2)判断函数f(x)在上的单调性.【解析】(1)f′(x)=-2bx,由题意得解得(2)由(1)知f(x)=ln x-x2,所以f′(x)=-x=-,所以当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(1,e)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的增区间是,减区间是(1,e).8.已知函数f(x)=(x2-ax)e x(x∈R),a为实数.(1)当a=0时,求函数f(x)的单调增区间.(2)若f(x)在闭区间[-1,1]上为减函数,求a的取值范围.【解析】(1)当a=0时,f(x)=x2e x,f′(x)=2xe x+x2e x=(x2+2x)e x,由f′(x)>0⇒x>0或x<-2,故f(x)的单调增区间为(0,+∞)和(-∞,-2).(2)由f(x)=(x2-ax)e x,x∈R⇒f′(x)=(2x-a)e x+(x2-ax)e x=[x2+(2-a)x-a]e x.记g(x)=x2+(2-a)x-a,依题意知,当x∈[-1,1]时,g(x)≤0恒成立,结合g(x)的图象特征得即a≥,所以a的取值范围是.(15分钟·30分)1.(5分)已知函数y=xf′(x)的图象如图所示,下面四个图象中能大致表示y=f(x)的图象的是( )【解析】选C.由题图可知,当x<-1时,xf′(x)<0,所以f′(x)>0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的;当-1<x<0时,xf′(x)>0,所以f′(x)<0,此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;当0<x<1时,xf′(x)<0,所以f′(x)<0,此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;当x>1时,xf′(x)>0,所以f′(x)>0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的.2.(5分)(多选题)已知函数f(x),g(x)在区间[a,b]上均有f′(x)<g′(x),则在[a,b]上,下列关系式中正确的是( )A.f(x)+f(b)≥g(x)+g(b)B.f(x)-f(b)≥g(x)-g(b)C.f(x)+g(a)≤g(x)+f(a)D.f(x)+g(a)≥g(x)+f(a)【解析】选BC.据题意,由f′(x)<g′(x)得f′(x)-g′(x)<0,故F(x)=f(x)-g(x)在[a,b]上为减函数,由单调性知识知,在[a,b]上必有F(x)≥F(b),即f(x)-g(x)≥f(b)-g(b),移项整理得:f(x)-f(b)≥g(x)-g(b).同理F(x)≤F(a),f(x)-g(x)≤f(a)-g(a),移项整理得f(x)+g(a)≤g(x)+f(a).3.(5分)函数f(x)=的单调递减区间为________.【解析】因为f′(x)=,因为定义域为(0,1)∪(1,+∞),所以f′(x)<0,即<0时,x∈∪(1,+∞),所以单调递减区间为和(1,+∞). 答案:和(1,+∞)4.(5分)(2020·武汉高二检测)若函数f(x)=在上单调递减,则实数a的取值范围为________.【解析】f′(x)=≤0,即-sin 2x-cos 2x-acos x=-1-acos x≤0,acos x≥-1,x∈,a≥,由于y=-在x∈上递减,当x=0时,y=-1,所以a≥-1.答案:a≥-15.(10分)(2020·沧州高二检测)已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,a>1.(1)若f′(2)=0,求a的值;(2)讨论函数f(x)的单调性.【解析】(1)由题意可得:f′(x)=x-a+,故f′(2)=2-a+=0,所以a=3.(2)因为函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,其中a>1,所以f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x-a+==,令f′(x)=0,得x1=1,x2=a-1.①若a-1=1,即a=2时,f′(x)=≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.②若0<a-1<1,即1<a<2时,由f′(x)<0得,a-1<x<1;由f′(x)>0得,0<x<a-1,或x>1.故f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+∞)上单调递增,③若a-1>1,即a>2时,由f′(x)<0得,1<x<a-1;由f′(x)>0得,0<x<1,或x>a-1.故f(x)在(1,a-1)上单调递减,在(0,1),(a-1,+∞)上单调递增.综上可得:当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当1<a<2时,f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+∞)上单调递增;当a>2时,f(x)在(1,a-1)上单调递减,在(0,1),(a-1,+∞)上单调递增.1.已知定义在R上的可导函数f(x)满足f′(x)<1,若f(1-m)-f(m)>1-2m,则实数m的取值范围是________.【解析】令F(x)=f(x)-x,则F′(x)=f′(x)-1<0,故函数F(x)=f(x)-x在R上单调递减,又由题设知f(1-m)-f(m)>1-2m,则F(1-m)>F(m),故1-m<m,即m>.故实数m的取值范围是.答案:2.(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0时,讨论函数g(x)=的单调性. 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)≤2x+c⇒f(x)-2x-c≤0⇒2ln x+1-2x-c≤0(*),设h(x)=2ln x+1-2x-c(x>0),则有h′(x)=-2=,当x>1时,h′(x)<0,h(x)单调递减,当0<x<1时,h′(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=1时,函数h(x)有最大值,即h(x)max=h(1)=2ln 1+1-2×1-c=-1-c,要想不等式(*)在(0,+∞)上恒成立,只需h(x)max≤0⇒-1-c≤0⇒c≥-1.(2)g(x)==(x>0且x≠a),因此g′(x)=,设m(x)=2(x-a-xln x+xln a),则有m′(x)=2(ln a-ln x),当x>a时,ln x>ln a,所以m′(x)<0,m(x)单调递减,因此有m(x)<m(a)=0,即g′(x)<0,所以g(x)单调递减;当0<x<a时,ln x<ln a,所以m′(x)>0,m(x)单调递增,因此有m(x)<m(a)=0,即g′(x)<0,所以g(x)单调递减,所以函数g(x)在区间(0,a)和(a,+∞)上单调递减,没有递增区间.。

5.3.1 函数的单调性【题组一 求函数的单调区间】1．（2020·河南信阳·高二期末（文））已知函数f(x)=12x 2−lnx ，则其单调增区间是（ ） A ．(0，1] B ．[0，1]C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)【答案】D【解析】f(x)=12x 2−lnx ，定义域为(0，+∞) 令f ′(x )=x −1x >0解得x >1故函数f(x)=12x 2−lnx 单调增区间是(1，+∞)故选D2．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高二月考（理））函数()()1xf x x e =+的单调递增区间是（ ） A ．(),2-∞ B ．()0,2 C ．()2,0- D ．()2,-+∞【答案】D【解析】函数()()1xf x x e =+的定义域为R ，()()2xf x x e '=+，令()0f x '>，解得2x >-.因此，函数()()1xf x x e =+的单调递增区间是()2,-+∞.故选：D.3．（2020·北京丰台·高三二模）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()(f x ) A ．是奇函数，且在定义域上是增函数 B ．是奇函数，且在定义域上是减函数 C ．是偶函数，且在区间(0,1)上是增函数D ．是偶函数，且在区间(0,1)上是减函数 【答案】B【解析】根据题意，函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则有1010x x ->⎧⎨+>⎩，解可得11x -<<，即()f x 的定义域为(1,1)-；设任意(1,1)x ∈-，()(1)(1)()f x ln x ln x f x -=+--=-，则函数()f x 为奇函数；1()(1)(1)1x f x ln x ln x lnx -=--+=+，其导数22()1f x x '=-， 在区间(1,1)-上，()0f x '<，则()f x 为(1,1)-上的减函数；故选：B ．4．（2020·山西省古县第一中学高二期中（理））函数()()3xf x x e =- 的单调递增区间是（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,+∞C ．(1,4)D ．(0,3)【答案】B【解析】()()3x f x x e =-，()()2x f x x e '∴=-，解不等式()0f x '>，解得2x >，因此，函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是()2,+∞，故选B.5．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考）函数()2cos sin 2f x x x =+的一个单调减区间是（ ）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2cos sin 2f x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()222sin 2cos2212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x x x '=-+=--=-+-()()2sin 12sin 1x x =-+-，1sin 1x -≤≤，可得sin 10x +≥，令()0f x '<，可得2sin 10x ->，即1sin 2x >，解得()52266k x k k Z ππππ+<<+∈. 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()52,266k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭.当0k =时，函数()y f x =的一个单调递减区间为5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 5,,4266ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 对任意的k Z ∈，50,2,2666k k πππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5,2,2266k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，55,2,2666k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()y f x =的一个单调递减区间为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A.6．（2020·安徽高三开学考试（理））若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点1,0，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．,0 B ．0,C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．(),1-∞-，1,0【答案】D【解析】由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，令()()2201x xe f x x -'=<+，所以1x <-或10x -<<， 故函数在(),1-∞-，1,0上单调递减.故选：D7．（2020·云南昆明一中高三其他（理））函数4()3ln f x x x x=+-的单调递减区间是（ ） A ．(1,4)- B ．(0,1) C ．(4,)+∞D ．(0,4)【答案】D【解析】函数的定义域是(0,)+∞，2243(1)(4)()1x x f x x x x +-=--=＇， 令()0f x <＇，解得04x <<， 故函数4()3ln f x x x x=+-在(0,4)上单调递减，选：D . 【题组二 已知单调性求参数】1．（2020·四川省绵阳江油中学高二期中（文））已知()1()2ln 0f x a x x a x ⎛⎫-⎪⎝⎭=->在[1)+∞，上为单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．[0)+∞，B ．(0)+∞，C ．(1)+∞，D ．[1)+∞， 【答案】D【解析】222()ax x a f x x-+'=，(0)a > 因为()f x 在[1,)+∞上为单调递增，等价于220ax x a -+≥恒成立.即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立. 因为2221111x x x x x x=≤=++，当1x =时，取“=”， 所以1a ≥，即a 的范围为[1,)+∞.故选：D2．（2020·河南南阳·高二期末（理））函数()327f x x kx x =+-在区间[]1,1-上单调递减，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．[]22-, C ．[)2,-+∞ D ．[)2,+∞【答案】B【解析】()327f x x kx x =+-，()2327f x x kx '∴=+-，由题意可知，不等式()0f x '≤对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，所以，()()12401240f k f k ⎧-='--≤⎪⎨='-≤⎪⎩，解得22k -≤≤.因此，实数k 的取值范围是[]22-,. 故选：B.3．（2020·佳木斯市第二中学高二期末（文））“a ≤-1”是“函数f (x )=ln x -ax 在[1,+∞)上为单调函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为函数f (x )=ln x -ax 在[1,+∞)上为单调函数， 所以1()0f x a x '=-≥在[1,+∞)上恒成立或1()0f x a x'=-≤在[1,+∞)上恒成立， 即min 1()a x ≤或max 11()101a x xx≥≥∴<≤， 从而0a ≤或1a ≥因为“1a ≤-”是“0a ≤或1a ≥” 充分不必要条件，所以“a ≤-1”是“函数f (x )=ln x -ax 在[1,+∞)上为单调函数”的充分不必要条件， 故选：A4．（2020·赣州市赣县第三中学高二月考（文））已知函数1()ln xf x x ax-=+，若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．(01]，C ．()1,+∞D ．[1,)+∞【答案】D【解析】函数1()ln x f x x ax-=+，()2211()a ax f x x ax ax --'=+=， 因为函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立，又0a >，所以 10ax -≥在[1,)+∞上恒成立，即1a x≥在[1,)+∞上恒成立，令()()max 11g x g x x==，，所以1a ≥，故选：D 5．（2019·四川树德中学高二月考（理））()cos 2(sin cos )f x x a x x =+-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则a 的范围是__________．【答案】)+∞【解析】()cos 2sin cos f x x a x a x =+-，则'()2sin 2cos sin f x x a x a x =-++，因为函数()f x 在[0,]2π上单调增，可得'()0f x ≥在[0,]2π上恒成立，即(sin cos )2sin 2a x x x +≥，令sin cos x x t +=，则2sin 21x t =-，t ∈，所以22212()t a t t t-≥=-，因为1t t -在t ∈上是增函数，所以其最大值为a ≥=所以实数α的取值范围是)+∞.6．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末（理））设函数()x xf x e ae -=+在[0，1]上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[1，)+∞B ．(-∞，1]C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】B()x x f x e ae -=+在[0，1]上单调递增，()0x x f x e ae -∴=-'在[0，1]上恒成立，即2x a e ，而函数2xy e =在[0，1]上单调递增，∴当0x =时，1min y =，1a ∴，a ∴的取值范围是(-∞，1]．故选：B ．7．（2020·西夏·宁夏大学附属中学高二期中（理））若函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）A ．51[,)8+∞ B ．(],3-∞C ．51,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[)3,+∞ 【答案】A【解析】因为函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，所以'2()3230f x x tx =-+≤在[]1,4x ∈恒成立，所以(1)0,(4)0,f f '≤'≤⎧⎨⎩即40,5180,t t -≤⎧⎨-≤⎩解得：518t ≥. 8．（2020·临猗县临晋中学高二期末（理））设函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．()4,+∞ C ．(),2-∞ D ．(]0,3【答案】A【解析】依题意10,1a a ->>，由此排除CD 选项.由()()299'00x f x x x x x-=-=≤>，解得03x <≤，所以函数()f x 的单调递减区间为(]0,3. 由此排除B 选项，只有A 选项正确. 证明如下：由于()f x 在区间[1,1]a a -+上单调递减，所以0113a a <-<+≤，解得(]1,2a ∈. 故选：A【题组三 单调性与图像】1．（2020·陕西省商丹高新学校高二月考（理））已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】2x <-时，()0f x '<，则()f x 单调递减；20x -<<时，()0f x '>，则()f x 单调递增； 0x >时，()0f x '<，则f （x ）单调递减．则符合上述条件的只有选项A ． 故选A ．2．（2020·四川内江·高二期末（文））如图所示为()y f x '=的图象，则函数()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．(),1-∞-B ．()2,0-C ．()()2,0,2,-+∞D ．()(),1,1,-∞-+∞【答案】C【解析】由导函数图象，知20x -<<或2x >时，()0f x '<，∴()f x 的减区间是(2,0)-，(2,)+∞． 故选：C ．3．（2020·浙江高二期中）函数()2sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，()()12f x f x ∴>， 所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项. 故选：A.【题组四 利用单调性解不等式】1．（2020·四川省绵阳南山中学双语学校高二月考（文））定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()22f x f x '-<，若()01f =-，则不等式()22xe f x -<的解集为（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,∞+C ．(),1-∞-D ．()1,-+∞【答案】A【解析】构造函数()()221,xf xg x x R e+=-∈， ∵()()22f x f x '-<， ∴()()()()()()()222222222012xxx xf x f x f x e e f xg x e e '--'-+'==<，∴函数()g x 在R 上单调递减，又()120101g -+=-=， ∴不等式()()00g x g >=的解集为{|0}x x <， 故选：A.2．（2020·山西祁县中学高二月考（文））设函数21()1x xf x e e x -=+-+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞ C ．1(,1)3-D ．1(,)(1,)3-∞-+∞【答案】D 【解析】()211xx f x ee x --=+-+，所以()()f x f x -=，()f x 为R 上的偶函数， 又()()222'1x xxf x e e x -=-++，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在[)0,+∞上为增函数.因()()()()22,11f x fx f x f x =+=+，由()()21f x f x >+ 得到21x x >+，故23210x x -->，13x <-或1x >，选D.3．（2020·山东德州·高三二模）已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f '+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（ ）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞【答案】C【解析】构造函数()()1xf xg x e+=,则()()()10x f x f x e g x '--=>',故()g x 在R 上为增函数.又()()00103f g e+==,故()13xf x e +>即()13x f x e +>,即()()0g x g >.解得0x >. 故选：C4．（2020·历下·山东师范大学附中高三月考）已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，若()()2sin f x f x x =--，且当0x ≥时，()cos 0f x x '+<，则不等式()sin cos 2f x f x x x π⎛⎫+>+- ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,2π⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．,4π⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】令()()sin g x f x x =-，则()()sin g x f x x -=-+，()()2sin f x f x x =--，()()sin sin f x x f x x ∴+=--，()()g x g x ∴-=， ()g x ∴为定义在R 上的偶函数；当0x ≥时，()()cos 0g x f x x ''=+<，()g x ∴在[)0,+∞上单调递减， 又()g x 为偶函数，()g x ∴在(],0-∞上单调递增.由()sin cos 2f x f x x x π⎛⎫+>+- ⎪⎝⎭得： ()cos sin sin 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++>+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，2x x π∴+<，解得：4x π<-，即不等式的解集为,4π⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故选：C .5．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知函数31()sin xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是( )A ．1[,1]2-B ．1[1,]2-C ．1(,1][,)2-∞-⋃+∞D ．1(,][1,)2-∞-⋃+∞【答案】B【解析】由于()31sin xxf x x x e e=-+-，，则f （﹣x ）＝﹣x 3sin x ++e ﹣x ﹣e x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数．故原不等式f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0，可转化为f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）＝f （1﹣a ），即f （2a 2）≤f （1﹣a ）； 又f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ，由于e x +e ﹣x ≥2，故e x +e ﹣x ﹣cosx>0， 所以f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ≥0恒成立，故函数f （x ）单调递增，则由f （2a 2）≤f （1﹣a ）可得，2a 2≤1﹣a ，即2a 2+a ﹣1≤0， 解得112a -≤≤， 故选B ．【题组五 利用单调性比较大小】1．（2020·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()()0f x xf x '+>，若()660.70.7a f =，()()0.70.7log 6log 6b f =，()0.60.666c f =⋅，则a ，b ，c的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】A【解析】令()()g x xf x =，由()y f x =是定义在R 上的偶函数，可得()()g x xf x =是定义在R 上的奇函数， 又因为[)0,x ∈+∞时，()()0y f x xf x ''=+>，所以()()g x xf x =在[)0,+∞上是增函数，所以()()g x xf x =是定义在R 上的增函数，又由60.60.7log 600.716<<<<，所以()060.6.7(0.7)l )og 6(6g g g <<，即b a c <<. 故选：A.2．（2020·江苏淮安·高三月考）已知函数()sin f x x x =+，x ∈R ，若()23a f log =，132b f log ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22c f -=则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】B【解析】因为()1cos 0f x x '=+≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，因为23(1,)log ∈+∞，()133221,0log log =-∈-，2124-=， 所以1231234log log <<， 所以()22133(2)2f log f f log -⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故a c b >>． 故选：B ．3．（2020·五华·云南师大附中高三月考（理））已知函数2()sin f x x x x =-，若0.2(log 3)a f =，3(log 0.2)b f =，3(0.2)c f =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】B【解析】函数2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，(0,)x ∈+∞，则()1cos 0g x x '=-在(0,)+∞恒成立，∴函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0g x g ∴>=，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，且()0>g x ，又函数y x =在(0,)+∞上单调递增，且0y >，∴函数2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，在(0,)+∞上单调递增，且()0f x >，又22()()()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=----=-=，∴函数()f x 是偶函数，0.255(log 3)(log 3)(log 3)a f f f ∴==-=，333(log 0.2)(log 5)(log 5)b f f f ==-=，5535log log log <<，∴51312log <<，而33log 5log 31>=，30.20.008=， ∴335530.20log log >>>，又函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴335(5)(3)(0.2)f log f log f >>，即b a c >>， 故选：B ．4．（2020·河南高三其他（理））设01x <<，则222,(),x x xe e e a b c x x x===的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【解析】设()x e f x x =，则2(1)()x e x f x x-'=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(0,1)为减函数，22x x <，∴22x x e e <，则22222()x x xe e e x x x<=，故b c >；又201x x <<<，2()()f x f x ∴>，即22x x e e x x>，故c a >，a cb ∴<<．故选：B ．5．（2020·江西南昌二中高三月考（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()xf x e x =+，则()2a f =-，()2log 9b f =，c f =的大小关系为（ ）A ． a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． b c a >>【答案】D【解析】当0x ≥时，()x f x e x =+，则()10xf x e '=+>，所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，由22log 9log 832>=>，所以()()2log 92f ff >>，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()22a f f =-=， 所以 b c a >>， 故选：D。

函数的单调性一、单选题(共10道，每道10分)1.若函数与在区间(0，+∞)上都是减函数，则在区间(0，+∞)上是( )A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的判断与证明2.函数( )A.在(-1，+∞)上单调递增B.在(-1，+∞)上单调递减C.在(1，+∞)上单调递增D.在(1，+∞)上单调递减答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间3.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间4.函数的一个单增区间是( )A. B.C. D.无单增区间答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间5.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间6.函数的单调递减区间是( )A.，B.，C.，D.，答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间7.设函数，则的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间8.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间9.已知函数是定义在上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，那么不等式组的解集是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间10.已知函数的图象关于直线x＝1对称，且在上单调递减，，则的解集为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的性质。

5.3.1函数的单调性【题组1求函数的单调区间】1、函数()ln f x x x =-+的递增区间是（）A．()(),01,-∞⋃+∞B．(),0-∞和()1,+∞C．()1,+∞D．()1,-+∞【答案】C【解析】由题设，1()10'=->f x x且,()0x ∈+∞，可得1x >，所以()f x 递增区间为()1,+∞.故选：C2、函数()()2e xf x x =+的单调递减区间是（）A．(),3-∞-B．()0,3C．()3,0-D．()3,-+∞【答案】A【解析】()()()e 2e 3e x x xf x x x '=++=+，令()0f x '<，得3x <-，所以函数()f x 的单调递减区间是(),3-∞-，故选：A.3、函数2()2x x f x =的单调递增区间为__________.【答案】2(0,)ln 2【解析】函数2()2x x f x =，则()()()2'22ln 2ln 222222x x x x x f x x x x -⋅-⋅⋅⋅==，令()0f x '=解得20,ln 2x x ==，当(),0x ∈-∞时,()0f x '<,函数()f x 单调递减，当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,函数()f x 单调递增，当2,ln 2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时,()0f x '<,函数()f x 单调递减，故答案为：2(0,)ln 2.4、求下列函数的单调区间：（1）()232ln f x x x =-；（2）()()0b f x x b x=+>．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）易得函数()f x 的定义域为()0,∞+，())21126f x x xx+-'=-=，令()0f x '=，解得13x =，23x =（舍去），当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表所示：∴函数()f x 的单调递减区间为0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间为3⎫∞⎪⎪⎝⎭；（2）易得函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，()(2211b f x x x x x'=-=，令()0f x '=，解得x =x =当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表所示：∴函数f x 的单调递增区间为,-∞，+∞；单调递减区间为()，(．5、已知函数()2(n 2)l a f x a x x x -+=+（a ∈R ）.（1）2a =-，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）10y -=；（2）答案见解析【解析】（1）2a =-时，()22ln f x x x =-，()22f x x x'=-，切线的斜率()10,(1)1k f f '===，则切线方程为10y -=；（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()1(2)22x a x x af x a xx---++='=，①当0a ≤时，20x a ->，由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x '<，得0 1.x <<则函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1.②当012a <<，即02a <<时，由()0f x ¢>，得02ax <<或1x >；由()0f x '<，得12ax <<.则函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a⎛⎫⎪⎝⎭.③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.④当12a>，即2a >时，由()0f x '>，得01x <<或2ax >；由()0f x '<，得12a x <<，则函数()f x 的单调递增区间为()0,1，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当2a =时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当2a >时，函数()f x 在()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.【题组2已知函数的单调性求参数】1、已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（）A．1,3⎛⎤-∞-⎥⎝⎦B．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】()232f x x x a '=+-，因为()f x 在R 上为单调递增函数，故()0f x ¢³在R 上恒成立，所以4120a ∆=+≤即13a ≤-，故选：A.2、已知函数()2()2e xf x x ax =-，若()f x 在[]1,1-上是单调减函数，则实数a 的取值范围是（）A．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由()()22e xf x x ax =-，得()()()()2222e 2e 222e x x x f x x a x ax x ax x a '=-+-=-+-，函数()f x 在[]1,1-上为单调减函数，()()2222e 0x f x x ax x a '∴=-+-≤对[]1,1x ∈-恒成立，即22220x ax x a -+-≤对[]1,1x ∈-恒成立，()()()221212012120a a a a ⎧----≤⎪∴⎨+--≤⎪⎩，解得34a ≥，∴a 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.3、若函数()212ln 2f x ax ax x =--在区间()3,4上不单调，则a 的取值范围是（）A．11,,83∞∞⎛⎤⎡⎫-⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B．11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．11,83⎛⎫ ⎪⎝⎭D．11,,38∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】()21212ax ax f x ax a x x--'=--=，()3,4x ∈，当0a =时，()10f x x'=-<在()3,4上恒成立，此时()f x 在()3,4上单调递减，不合要求，舍去；当0a ≠时，则要求()221h x ax ax =--的零点在()3,4内，()221h x ax ax =--的对称轴为1x =，由零点存在性定理可得：()()340h h ⋅<，故()()96116810a a a a ----<，解得：11,83a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故a 的取值范围11,83⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C4、若函数2()ln 2f x x x x =+--在其定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A．33,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以210k -≥，即12k ≥，2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x+-+-'=+-==，令()0f x '=，得12x =或=1x -（舍去），因为()f x 在定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，所以121212k k -<<+，得4143k -<<，综上，1324k ≤<，故选：D5、若对1x ∀，()2,∈+∞x m ，且12x x <，都有1212ln ln 1x x x x -<-，则m 的最小值是________.【答案】1【解析】∵12x x <，则120x x -<由题意可得：1212ln ln x x x x ->-，即1122ln ln x x x x ->-∴()ln f x x x =-在(),m +∞上单调递减，则()110f x x'=-≤在(),m +∞上恒成立即1x ≥在(),m +∞上恒成立，则m 1≥，即m 的最小值是1故答案为：1.【题组3原函数与导函数的图象关系】1、已知函数()f x 的导函数()f x '图像如图所示，则()f x 的图像是图四个图像中的（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，当20x -<<时，()0f x ¢>，则()f x 在()2,0-上单调递增，当02x <<时，()0f x '<，则()f x 在()0,2上单调递减，当2<<1x --时，()f x '单调递增，则()f x 在()2,1--上增的越来越快，当10x -<<时，()f x '单调递减，则()f x 在()1,0-上增的越来越慢，当01x <<时，()f x '单调递减，则()f x 在()0,1上减的越来越快，当10x <<时，()f x '单调递增，则()f x 在()1,2上减的越来越慢，只有A 选项符合，故选：A.2、设函数()f x 在定义域内可导，()f x 的图象如图所示，则其导函数()f x '的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由()f x 的图象可知，当(),0x ∈-∞时函数单调递增，则()0f x '≥，故排除C、D；当()0,x ∈+∞时()f x 先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B；故选：A3、已知函数()y x f x =⋅'的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题中图像可知，当0x <时，()0x f x '⋅>，即()0f x '<，故()f x 在(,0)x ∈-∞上单调递减；当0x b <<时，()0x f x '⋅>，即()0f x '>，故()f x 在(0,)x b ∈上单调递增；当x b >时，()0x f x '⋅<，即()0f x '<，故()f x 在(,)x b ∈+∞上单调递减；综上所述，只有D 选项符合题意．故选：D．4、设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x =的图像如图所示，则()0x f x '⋅>的解集是（）A．()(),10,1-∞-⋃B．()()1,01,3-C．()(),00,2-∞D．()()0,13,⋃+∞【答案】C【解析】由函数()y f x =的图像可知,()f x 在区间(,0),(2,)-∞+∞上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当(,0)(2,)x ∞∞∈-⋃+时,()0f x '<;当x ∈(0,2)时,()0f x ¢>.因为()0x f x '⋅>可化为()00x f x '>⎧⎨>⎩或()00x f x '<⎧⎨<⎩，解得：0<x <2或x <0,所以不等式()0x f x '⋅>的解集为()(),00,2-∞.故选:C5、已知在R 上可导的函数()f x 的图象如下图所示，则不等式()()()10x f x f x '->的解集为______．【答案】()()(),21,01,-∞-⋃-⋃+∞【解析】由函数()f x 的图象可知当<2x -时，()0f x <；当20x -<<或0x >时，()0f x >当1x <-或0x >时，()0f x ¢>；当10x -<<时，()0f x '<则当<2x -时，()()10x f x f x '-<<>0,0,，则()()()10x f x f x '->当2<<1x --时，()()10x f x f x '-<>>0,0,，则()()()10x f x f x '-<当10x -<<时，()()10x f x f x '-<><0,0,，则()()()10x f x f x '->当01x <<时，()()10x f x f x '-<>>0,0,，则()()()10x f x f x '-<当1x >时，()()10x f x f x '->>>0,0,，则()()()10x f x f x '->综上()()()10x f x f x '->的解集为()()(),21,01,-∞-⋃-⋃+∞.故答案为：()()(),21,01,-∞-⋃-⋃+∞【题组4利用单调性解不等式】1、已知函数()52e e x x f x x x -=-+-，若()()2120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为（）A．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C．12,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】函数()f x 的定义域为R ，()()52e e x xf x x x f x --=-++-=-，故函数()f x 为奇函数，()44452e e 5250x x f x x x x -=-++≥+=≥'≥且()f x '不恒为零，故函数()f x 在R 上为增函数，由()()2120f a f a -+≤可得()()()2211f a f a f a ≤--=-，则221a a ≤-，所以，2210a a +-≤，解得112a -≤≤.故选：A.2、定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数记为()f x '，若()y f x =为奇函数且(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+<，则不等式()0f x <的解集是（）A．,1(),)1(-∞-⋃+∞B．(1,1)-C．(,1)(0,1)-∞-⋃D．(1,0)(1,)-⋃+∞【答案】D【解析】设()(),0g x xf x x =>，则()()()g x f x xf x ''=+，因为当0x >时，()()0f x xf x '+<成立，所以()0g x '<，()g x 为递减函数，又因为函数()y f x =为奇函数，可得()()f x f x -=-，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以函数()g x 为偶函数，所以函数()g x 在(,0)-∞为单调递增函数，因为(1)0f -=，所以(1)0f =，(1)0g =，(1)0g -=，当0x =时，由()y f x =为奇函数可得()0f x =不满足题意；当0x >时，由()0f x <可得()()()01g x xf x g =<=，所以1x >；当0x <时，由()0f x <可得()()()01g x xf x g =>=-，所以1x >-，此时10x -<<，综上所述，不等式()0f x <的解集是(1,0)(1,)-⋃+∞故选：D3、已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()12f x '<，则不等式()122x f x <+的解集为（）A．()1,+∞B．(),1-∞C．()1,1-D．()(),11,-∞+∞【答案】A【解析】因为()122x f x <+可化为()1022x f x --<，令()()122x g x f x =--，则()()12g x f x ''=-，因为()12f x '<，所以()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()11f =，所以()()1111022=--=g f ，所以()()1g x g <，所以1x >，即不等式()122x f x <+的解集为()1,+∞．故选：A．4、已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()20f x x xf '+>，则不等式()()()220212021420x f x f +++-<的解集为（）A．()2019,+∞B．()2021,2019--C．(),2019-∞-D．()2019,0-【答案】C【解析】令2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+，因为当0x >时，有()()20f x x xf '+>，所以当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上为增函数，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，所以()g x 为R 上的奇函数，所以()g x 在R 上为增函数，由()()()220212021420x f x f +++-<，得()()()22021202142x f x f ++<--，()()()2220212021(2)2x f x f ++<---，所以(2021)(2)g x g +<--，因为()g x 为奇函数，所以(2021)(2)g x g +<，所以20212x +<，得2019x <-，所以不等式的解集为(),2019-∞-，故选：C5、已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x >时，()()0f x f x x'+<，且(2)3f =-，则不等式6(21)21f x x --<-的解集为（）A．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D．1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】当0x >时，()()()()0f x xf x f x f x x x'+'+=<，所以当0x >时，()()0xf x f x '+<，令()()F x xf x =，则当0x >时，()()()0F x xf x f x +''=<，故()()F x xf x =在0x >时，单调递减，又因为()y f x =在在R 上为偶函数，所以()()F x xf x =在R 上为奇函数，故()()F x xf x =在R 上单调递减，因为(2)3f =-，所以()()2226F f ==-，当12x >时，6(21)21f x x --<-可变形为()21(21)6x f x --<-，即()()212F x F -<，因为()()F x xf x =在R 上单调递减，所以212x ->，解得：32x >，与12x >取交集，结果为32x >；当12x <时，6(21)21f x x --<-可变形为()21(21)6x f x -->-，即()()212F x F ->，因为()()F x xf x =在R 上单调递减，所以212x -<，解得：32x <，与12x <取交集，结果为12x <；综上：不等式6(21)21f x x --<-的解集为13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A【题组5利用单调性比较大小】1、设1ea =，ln 22b =，()333ln 3e c -=，则（）．A．c a b <<B．b a c<<C．b<c<aD．c b a<<【答案】D【解析】∵1ln e ee a ==，()33ln 333ln 33ln 3e e c ---==，令()ln xf x x=，则()e a f =，()2b f =，()3ln 3c f =-，()221ln 1ln ⋅--'==x xx x f x x x ，当0e x <<时，()0f x '>，即()ln xf x x=在()0,e 上单调递增.∵03ln 32e <-<<，∴()()()3ln 32e f f f -<<，即c b a <<.故选：D.2、已知8ln 6a =，7ln 7b =，6ln 8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A．b c a >>B．c b a >>C．a c b >>D．a b c>>【答案】D【解析】令()()14ln f x x x =-，则()14ln 1f x x x +'=--.因为ln y x =-在()0,∞+上单调递减，141y x=-在()0,∞+上单调递减，所以()14ln 1f x x x+'=--在()0,∞+上单调递减.而()145ln 5105f '=-+->，()146ln 6106f '=-+-<，所以在()6,+∞上有()0f x '<.所以()()14ln f x x x =-在()6,+∞上单调递减.所以()()()678f f f >>，即8ln 67ln 76ln 8>>.故a b c >>.故选：D.3、已知12ln 2,,e 12a b c =-==-，则（）A．c a b>>B．c b a>>C．a c b >>D．a b c >>【答案】A【解析】依题意令()e x f x x =-，则()2ln 2ln 2a f =-=，1122b f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()e 11cf =-=则()e 1x f x '=-，所以当0x >时()0f x '>，即()e x f x x =-在()0,∞+上单调递增，又121ln e ln 212=<<，所以()()1ln 212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<；故选：A 4、已知e lg 2lg 5a =--，545e 4b =-，13ln 92c =-，则下列不等式成立的是（）A．b c a>>B．c a b >>C．c b a >>D．b a c>>【答案】A 【解析】依题意e lg 2lg 5e lg10e 1a =--=-=-，1ln 3213ln93ln93ln3e ln 32c =-=-=-=-，构造函数()e x f x x =-，定义域为()0,∞+，求导得()e 10x f x '=->，所以，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，因为e 2.718≈，5e 148.3≈，又4381=，则54e 3>，则4ln 35<，即5ln 34<，即51ln 34<<，因为()1a f =，54b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()ln 3c f =，故a c b <<.故选：A.5、设2021202220232023,2022,2021a b c ===，则（）A．a b c<<B．c b a <<C．c a b<<D．a c b <<【答案】A【解析】因为2021202220232023,2022,2021a b c ===，同时取自然对数可得ln 2021ln 2023a =，ln 2022ln 2022b =，ln 2023ln 2021c =，因为20212023202220224044+=+=，故考虑设()()(4044)ln 1011f x x x x =->，则()ln 2023a f =，()ln 2022b f =，()ln 2021c f =，且()4044()ln 11011f x x x x'=-+->，因为函数ln 1y x =--在()+∞1011，上单调递减，函数4044y x =在()+∞1011，上单调递减，所以4044()ln 1f x x x'=-+-在()+∞1011，上单调递减，又(1011)ln1011410f '=-+-<，所以当1011x >时，()0f x '<，所以函数()(4044)ln f x x x =-在()+∞1011，上单调递减，又202120222023<<，所以()()()202320222021f f f <<，所以2021ln 20232022ln 20222023ln 2021<<，即ln ln ln a b c <<，所以a b c <<，故选：A.。