《高等代数》行列式

第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n 级行列式111212122212n n ij nn n nna a a a a a a a a a =1等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 2的代数和,这里12n j j j 是一个n 级排列;当12n j j j 是偶排列时,该项前面带正号；当12n j j j 是奇排列时,该项前面带负号,即：1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j ij j j nj nj j j n n nna a a a a a a a a a a a a τ==-∑;2、等价定义121212()12(1)n n ni i i ij i i i n ni i i a a a a τ=-∑和121211221212()()(1)n n n n n ni i i j j j ij i j i j i j ni i i j j j a a a a ττ+=-∑和3、由n 级排列的性质可知,n 级行列式共有!n 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项不算元素本身所带的负号各占一半;4、常见的行列式1上三角、下三角、对角行列式 2副对角方向的行列式 3范德蒙行列式：二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等;2、互换行列式的两行列,行列式变号;3、行列式中某一行列中所有的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式;即：某一行列中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面;4、若行列式中有两行成比例,则此行列式等于零;5、若某一行列是两组数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行列以外全与原来行列式的对应的行列一样;6、把行列式某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上,行列式不变;三、行列式的按行列展开1、子式1余子式：在n 级行列式ij D a =中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的n-1级行列式称为ij a 的余子式,记作ij M ;2代数余子式：(1)i j ij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式;3k 级子式：在n 级行列式ij D a =中,任意选定k 行和k 列(1)k n ≤≤,位于这些行列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 级行列式M,称为D 的一个k 级子式;当()k n <时,在D 中划去这k 行和k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n k -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式;2、按一行列展开1行列式任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即 按第i 行展开1122(1,2,,);i i i i in in D a A a A a A i n =+++= 按第j 列展开1122(1,2,,);j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=2行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即11220();i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠或11220,().i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠3、按k 行k 列展开拉普拉斯定理：在n 级行列式中,任意取定k 个行k 列(11)k n ≤≤-,由这k 行k 列元素组成的所有的k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值; 4、其他性质1设A 为n 阶方阵,则A A '=； 2设A 为n 阶方阵,则n kA k A =；3设,A B 为n 阶方阵,则AB A B =,但A B A B ±≠±； 4设A 为m 阶方阵,设B 为n 阶方阵,则00A A AB BB*==*,但A B A B ±≠±;5行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式四、行列式的计算1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等;具体计算时需要根据等到式中行或列元素的特点来选择相应的解题方法;方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法;用直接递推法的关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ,依次从1234n D D D D D →→→→,逐级递推便可以求出n D 的值;方法二：数学归纳法;第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性;第二步的关键是首先要得到n D 关于1n D -和2n D -的递推关系式;方法三：加边法;加边法是将所要计算的n 级行列式适当地添加一行一列或m 行m 列得到一个新的n+1或m+1级行列式,保持行列式的值不变,但是所得到的n+1或m+1级行列式较易计算;其一般做法如下：11111111111100n nn n n n n a a a a a a a a a a =或111111111111100nn nn n n a a b a a a a b a a =特殊情况取121n a a a ===或121n b b b ===;方法四：拆行列法;将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和,然后再求行列式的值;拆行列法有两种情况：一是行列式中有某行列是两项之和,可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行列没有两项和形式,这时需作保持行列式值不变,使其化为两项和;方法五：析因子法;如果行列式D 中有一些元素是变数x 或某个参变数的多项式,那么可以将行列式D 当作一个多项式()f x ,然后对行列式()f x 实行某些变换,求出()f x 的互素的一次因式,使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c,根据多项式相等的定义,比较()f x 与的()g x 某一项系数,求出c 值,便可求得()D cg x =;2、行列式计算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式非零元分布在两条线上,例如,*等等;注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算,或用拉普拉斯定理展开,降阶后的行列式或为三角形行列式,或得到一个递推公式; 类型二：“三条线”行列式非零元分布在三条线上; 1“三对角”行列式,;注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解;首先得到一个一般的递推公式12n n n D pD qD --=+,然后可以用以下两种方法之一求出n D 的表达式：先计算123,,D D D 等,找出规律进行猜想,然后再用数学归纳法进行证明;间接递推法：借助于行列式中元素的对称性,交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组,从而消去1n D -就可解得n D ;2“爪型”行列式;注：“爪型”行列式可以按行列提取公因子,然后化为上下三角形行列式进行求解;3Hessenerg型行列式;类型三：各行列元素之和相等或多数相等仅个别不相等的行列式; 注：行加法或列加法再化为三角形行列式进行求解;类型四：除主对角线外其余元素相同或成比例型行列式; 注：拆行列法或再结合其他方法进行求解; 类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式; 类型六：其他形式行列式;五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式不等于零,即111110nn n a a D a a =≠, 则方程组有唯一解： 其中(1,2,)j D j n =是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式;2、含n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩只有零解的充要条件是系数行列式0D ≠；有非零解的充要条件是系数行列式0.D =。

目录第1 章行列式 (1)§1.1 二阶与三阶行列式 (1)§1.2 排列及其逆序数 (3)§1.3 n 阶行列式的定义 (4)§1.4 对换 (6)§1.5 行列式的性质 (8)§1.6 行列式按行(列)展开 (14)§1.7 Matlab 在行列式计算中的应用 (22)习题1 (22)第2 章矩阵 (26)§2.1 矩阵的概念 (26)§2.2 矩阵的关系和运算 (31)§2.3 伴随矩阵和逆矩阵 (39)§2.4 矩阵的分块法 (45)§2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵 (52)§2.6 矩阵的秩 (59)§2.7 Matlab 在矩阵运算与初等变换中的应用 (63)习题2 (66)第3 章线性方程组 (72)§3.1 Cramer 法则 (72)§3.2 一般线性方程组的解 (74)§3.3 Matlab 在解线性方程组中的应用 (85)习题3 (86)·1·高等代数第4 章向量组的线性相关性 (89)§4.1 向量组及其线性组合 (89)§4.2 向量组的线性相关性 (92)§4.3 向量组的秩 (97)§4.4 线性方程组解的结构 (100)§4.5 Matlab 在向量组线性相关性中的应用 (106)习题4 (107)第5 章线性空间与线性变换 (111)§5.1 数环、数域与映射 (111)§5.2 线性空间及其性质 (115)§5.3 基、维数与坐标 (118)§5.4 基变换与坐标变换 (120)§5.5 线性变换 (123)§5.6 线性变换的矩阵表示 (127)§5.7 欧氏空间 (132)§5.8 Matlab 在线性空间和线性变换中的应用 (141)习题5 (144)第6 章相似矩阵及二次型 (150)§6.1 方阵的特征值与特征向量 (150)§6.2 相似矩阵 (155)§6.3 实对称矩阵的相似矩阵 (158)§6.4 二次型及其标准形 (161)§6.5 化二次型为标准形 (163)§6.6 正定二次型 (169)§6.7 Matlab 在相似矩阵和二次型中的应用 (172)习题6 (175)第7 章多项式 (179)§7.1 一元多项式的定义和运算 (179)§7.2 多项式的整除性 (182)§7.3 多项式的最大公因式和互素 (186)§7.4 多项式的分解 (191)·2·高等代数§7.5 多项式的重因式 (194)§7.6 多项式函数多项式的根 (197)§7.7 复数域和实数域上的多项式 (200)§7.8 有理数域上的多项式 (202)§7.9 Matlab 在多项式中的应用 (208)习题7 (211)习题答案与选解 (215)参考文献 (243)·3·第 1 章行列式行列式是基于解线性方程组的需要建立起来的. 作为一个重要工具，行列式在数学和其他学科中都有广泛的应用. 本章主要介绍n 阶行列式的定义、性质及其计算.§1.1二阶与三阶行列式1.1.1 二阶行列式定义1.1 把4 个数排成两横排两竖列构成数表a 11 a 21 a12a22(1.1)表达式a11a22-a12a21称为由数表(1.1)确定的二阶行列式(two order determinant)，记为a11a21 即a12a22(1.2)a 11 a12 =a a -a aa 21 a2211 22 12 21其中横排称为行(row)，竖排称为列(column). 数aij( i = 1, 2 ；j = 1, 2 ) 称为行列式(1.2)的元素或元(entry)，元素aij 的第一个下标i 称为行标，表明元素aij位于第i行，第二个下标j 称为列标，表明元素aij位于第j 列.例1.1 计算二阶行列式D =1 2 3 4解 D = 1⨯ 4 - 2 ⨯3 =-2·1·高等代数例1.2 解方程解方程左端的行列式为x - 24-1= 0x + 3方程化为解得 x = 1 或 x =-2 .1.1.2 三阶行列式D = (x - 2 )(x + 3) - (-1) ⨯ 4 =x2+x - 2x2 +x - 2 = 0定义1.2 把9 个数排成三行三列构成数表a11a21a31a12a22a32a13a23a33(1.3)表达式a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31称为由数表(1.3) 确定的三阶行列式(three order determinant)，记为a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31(1.4)三阶行列式中的6 项可以借助图1.1 来记忆，如图1.1 所示，实线上三元素的乘积前加正号，虚线上三元素的乘积前加负号.a11a12a13a21a22a23a31a32a33图 1.1·2·第 1 章行列式例1.3 计算三阶行列式2 -3 3D = 1 2 -74 0 -5解 D = 2 ⨯ 2 ⨯ (-5) + (-3) ⨯ (-7) ⨯ 4 + 3⨯1⨯ 0 -2 ⨯ (-7) ⨯ 0 - (-3) ⨯1⨯ (-5) -3 ⨯ 2 ⨯4 = 25 例1.4 证明1 1 1 a bcb cac ab= (b -a)(c -a)(c -b) = (a -b)(b -c)(c -a)证明左端=ab2 +a2 c +bc2 -ac2 -a2b -b2c=c2 (b -a) +ab(b -a) -c(b +a)(b -a)= (b -a)(c2 +ab -ac -bc) = (b -a)[c(c -a) -b(c -a)]= (b -a)(c -a)(c -b) = (a -b)(b -c)(c -a) =右端§1.2排列及其逆序数为了给出n 阶行列式的定义并讨论它的性质，这里先讨论排列及其逆序.定义 1.3 由n 个数1, 2, , n 组成的有序数组称为一个n 元排列，简称排列(permutation).由中学排列组合知识可知所有不同的n 元排列共有n! 个. 如3 元排列共有3! = 6 个，它们是123, 132 , 213, 231, 312, 321通过观察发现3 元排列中除排列123 按照自然顺序排列外，其余的排列中，都有较大的数排在了较小的数的前面.定义 1.4 在一个排列中，如果一个较大的数排在了一个较小的数的前面，那么称这两个数构成一个逆序(inverted sequence). 一个排列中所有逆序的总数，称为该排列的逆序数(number of inverted sequence).例如排列3214 中，3 与2，3 与1，2 与1 分别构成逆序，其余都不构成逆序，所以排列3214 的逆序数是3 .排列12n 称为标准排列或自然排列，显然它的逆序数是0 . 一般地，排列p 1 p2pn的逆序数记为( p1p2pn) . 于是(3214 )= 3 ，(12n)=0 .设pi后面比pi小的数有ti( i = 1, 2, , n ) 个，则·3·高 等 代 数21 22 23 1 p 12 p 2( p 1 p 2p n ) = t 1 + t 2 ++ t n = ∑t ii =1例 1.5 求排列5761423 的逆序数.解 按照上面的记号，5 后面比5 小的数有1, 4 , 2 , 3 ，所以t 1 = 4 ，同理t 2 = 5 ， t 3 = 4 ， t 4 = 0 ， t 5 = 2 ， t 6 = 0 ， t 7 = 0 . 故排列5761423 的逆序数为(5761423) = 4 + 5 + 4 + 0 + 2 + 0 + 0 = 15逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.§1.3n 阶行列式的定义为了给出 n 阶行列式的定义，需要对三阶行列式的结构作进一步的分析，找出它们的结构规律。

第2章 n 级行列式的计算方法2.1 定义法对于含非零元素较少的行列式，用定义计算非常方便。

由定义可知，n 级行列式共有!n 项，每一项的一般形式为1212()12(1),n n r j j j j j nj a a a -假设每一项n 个元素的乘积中有零因子，那么该项的值为零。

假设零元素较多，那么值为零的项就越多，此时找出那些不为零的项就可求出行列式的值。

例1计算n 级行列式0000100210000000D n n =-2.2 利用行列式的性质例2计算n 级行列式111212122212n nn n n nx y x y x y x y x y x y D x y x y x y ------=---.解 当1n =时，11D x y =-；当2n =时，1212()()D x x y y =--；当3n ≥时，把第一行的1-倍分别加到第i 行，2,3,,,i n =行列式的值不变，得11121212121111n n n n x y x y x y x x x x x x D x x x x x x ------==---综上可得111212(1)()()(2)0(3)x y n D x x y y n n -=⎧⎪=--=⎨⎪≥⎩2.3 三角化法由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的积。

故可利用行列式的性质，采用“化零〞的方法。

充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质，化为三角形行列式。

例4计算n 级行列式n xb b b bx bb D bb x b bbbx =解 这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把第2，3，，n 列加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)x n b b b b x n b xb b D x n bb x b x n bbbx+-+-=+-+-[]11(1)11b bb x bbx n b b xbb bx=+-[]1000(1)0000bbb x b x n b x bx b-=+---1[(1)]()n x n b x b -=+--例5 计算n 级行列式121121121123n n n n x a a a a x a a D a a x a a a a x---=解将其他各列全部加到第一列，可得 11211121112111231n in i n in i n in i n ii x a a a a x a x a a x a a xa x a a a x--=--=--=-=++=++∑∑∑∑1212112112311()11n n n i n i a a a x a a x a a x a a a x----==+∑121112121213211000()000n n i i n a a a x a x a a a x a a a a a x a --=--=+-----∑1111()()n n i i i i x a x a --===+-∑∏2.4 升级法行列式的计算常是级数越低越容易计算，但有些行列式适当地升高一级反而容易求其值，这种方法称为升级法〔也称加边法〕，加上适当的行列后可以简化问题。

行列式的计算方法1 引言行列式的计算是《线性代数》和《高等代数》的一个重要内容．同时也是工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对几种常见的类型给出了计算行列式的几种典型的方法．2 一般行列式的计算方法2.1 三角化法利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式，那么，上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积．例 1 计算行列式12311212332125113311231 ------=n n n n n nn n n n D对这个行列式的计算可以用三角化方法将第1行乘以(-1)加到第2,3,n 行，得0001002000200010001231 ---=n n n n D再将其第1,2,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列，则得102001321)1(2)1(--=-n n D n n=)!1()1(2)1(---n n n2.2 加边法有时为了便于计算行列式，特意把行列式加边升阶进行计算，这种方法称之为升阶法．它的一般方法是：nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 321333323122322211131211==nnn n n n na a ab a a a b a a a b 212222121121110001(n b b b ,,21任意数)例如下面的例题： 例2 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321现将行列式n D 加边升阶，得na a a D +++=111011101110111121第1行乘以(-1)加到第1,3,2+n 行，得na a a D10001001001111121----=第2列乘以11a 加到第1列，第3列乘以21a 加到第1列，依次下去直到第1+n 列乘以n a 1加到第1列，得)11(00011111121211∑∑==+=+=ni in nni ia a a a a a a a D2.3 降阶法利用按一行(列)展开定理或Laplace 展开定理将n 阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法． 例 3 计算nD 222232222222221=解 首先我们应考虑D 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第n ,3,2 行，数字反而复杂了，要使行列式出现更多的“0”，将D 的第一行乘以(-1)加到第第n ,3,2 行，得2001010100012221-=n D这样仍然不是上（下）三角行列式，我们注意到，第二行除了第一项是1，后面的项全是0，这样我们按第二行展开，降阶得到：201222)1(21--=+n D)!2(2--=n2.4 对于所谓二条线的行列式，可直接展开降阶，再利用三角或次三角行列式的结果直接计算. 例4 计算行列式nnn n n a b b a b a b a D 112211--=解 按第1列展开，得11221111221)1(--+---+=n n n n nn n n b a b ab b a b a b a a Dn n n b b b a a a 21121)1(+-+=2.5 递推法通过降阶等途径，建立所求n 阶行列式n D 和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系，并求得n D 的方法叫递推法．当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用递推法．例 5 计算n 级行列式 2112000002100012100012------=n D 对于形如这样的三角或次三角行列式，按第1行(列)或第n 行(列)展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧求解．解 按第1行展开，得210120000012000011)1)(1(2211-------+=+-n n D D212---=n n D D 直接递推不易得到结果，变形得1221121232211=---=-==-=-=------D D D D D D D D n n n n n n于是 1)1(2)1(21121+=-+=-+==+=+=--n n n D D D D n n n例6 计算n 2级行列式nnn n n n nnn d c d c d c b a b a b a D 111111112----=对于形如这样的所谓两条线行列式,可直接展开得到递推公式． 解 按第1行展开，得)1(1111111121111111112nn n n n nn n n n n nn c d c d c b a b a b d c d c b a b a a D ----+-----+=1111111111111111---------=n n n n nn n n n n nn d c d c b a b a c b d c d c b a b a d a)1(2)(--=n n n n n D c b d a)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D)2(21111))((-------=n n n n n n n n n D c b d a c b d a)())((11111111c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n ---=----2.6 连加法 例 7 计算mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121这种行列式的特点是：各行元素之和都相等.先把第2列到第n 列元素同时加到第1列，并提出公因式，得mx x x m x x x m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)(然后将第1行乘以(-1)加到第n ,3,2行，得mm x x m x D n ni i n ---=∑=001)(21)()(11m x m ni i n --=∑=-2.7 乘积法根据拉普拉斯定理,所得行列式乘法运算规则如下：nnn nnn n n nn n n c c c c b b b b a a a a 111111111111=⋅ (其中tj ni it ij b a c ∑==1)两个行列式的乘积可以像矩阵的乘法一样来计算,假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同就可以应用上面的公式了．这种方法的关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算,这也是较为常用的方法．例 8 计算行列式 ab c db a dc cd a bd c b aD =解 取行列式 1111111111111111------=H显然 0≠H ,由行列式的乘法规则：=DH ⋅ab c d ba d c c d a bd c b a 1111111111111111------ H d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a ))()()()((+---+--++--++++=等式两边消去,H 得=D ))()()()((d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a +---+--++--++++2.8 对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法． 例 9 计算n 阶行列式βαβααββααββα++++=1010001000 n D解 按第1行展开，得21)(---+=n n n D D D αββα即 )(211----=-n n n n D D D D αβα由此递推，即得 nn n D D βα=--1因为n D 中αβ与对称，又有 nn n D D αβ=--1当 βα≠ 时，从上两式中消去1-n D ，得 11n n n D αβαβ++-=-当 βα= 时，1-+=n nn D D ββ)(21--++=n n n D ββββ 222-+=n n D ββ11)1(D n n n-+-=ββ )()1(1βαββ++-=-n n nnn β)1(+= 2.9 数学归纳法当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用数学归纳法． 例 10 计算n 级行列式ααααcos 2100cos 210001cos 210001cos =n D解 当2=n 时，ααcos 211cos 2=D αα2cos 1cos 22=-=结论成立，假设对级数小于n 的行列式结论成立，则n D 按第n 行展开，得21cos 2---=n n n D D D α由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n代入前一式，得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D nαααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---=故对一切自然数n ，结论成立．2.10 拆项法这是计算行列式常用的方法．一般地，当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例 11 在平面上，以点),(),(),(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------，，为顶点的三角形面积D S =，其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= )1()1()1()1()1()1(11121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x )1()1()1()1()1()1()1()1()1(21323222121332211332211------+--+--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 第1行拆为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D32112132332121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x +-------=232221321111x x x x x x )]1)(1)(1([))()((21321321121323----⋅---=x x x x x x x x x x x x 3 分块矩阵行列式的计算方法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00通过分块若能转化成对角矩阵或上（下）三角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C A 0，那么行列式B A B C A B A ⋅==000，其中B A ，分别是r s ，阶可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，0是n s ⨯阶矩阵．可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题通过矩阵分块转化为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B C D A b b c c b b c c d d a a d d a a G rr r rsr r s sr s ss s r s 1111111111111111其中B A ，分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，D 是r s ⨯阶矩阵，则有下面公式成立． C DB A B BCD A G 1--⋅==或C DA B A BCD A G 1--⋅==下面推导公式，事实上，当0≠A 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D BCA D A B C D A E CA E 1100 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---B C C DB A B C D A E DB E 0011 上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式．例 12 计算 8710650143102101=D这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算，若用前面介绍的公式则可以直接得出结果．令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8765B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001C ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321D 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001'A ，由公式(1) 知原行列式D CA B A BCD A 1--⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=43211001100187651001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=432187651 4444==0这个题还有个特点，那就是C A =，如果我们把公式变形，即D CA B A BCD A 1--⋅=D ACA AB D CA B A 11)(---=-=当C A =时，D ACA AB 1--CD AB D CAA AB -=-=-1，所以当C A =时，我们有CD AB BCD A -=，这样例题就可以直接写出答案了．参考文献:[1] 北京大学数学系，高等代数[M] (第三版)．北京：高等教育出版社，2003，9．[2] 张禾瑞，高等代数[M] (第四版)．北京：高等教育出版社，1997．[3] 丘维生，高等代数[M]．北京:高等教育出版社，1996，12．[4] 杨子胥，高等代数[M]．山东：山东科学技术出版社，2001，9．[5] 王萼芳，高等代数题解[M]．北京：北京大学出版社，1983，10．[6] Gelfand I M, Kapranov M M and Celvinskij A V. Discriminaants, redultants,and multidimensional determinants[M].Mathematics: Theory&Applications,Birkhauser Verlag,1994.[7] 徐仲，陆全等．高等代数导教·导学·导考.西安:：西北工业大学出版社,2004．[8] 陈黎钦．福建：福建商业高等专科学校学报，2007年2月第1期．11。

高等代数中的行列式与矩阵关系与计算方法高等代数中的行列式与矩阵：关系与计算方法高等代数是现代数学的一门重要学科，其中行列式与矩阵是其核心内容之一。

本文将介绍行列式与矩阵的关系以及计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。

1. 行列式的概念与性质行列式是一个方阵所具有的一个标量值。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，其定义如下：det(A) = a₁₁·a₂₂·...·aₙₙ - a₁₂·a₂₁·...·aₙₙ₋₁ +a₁₃·a₂₃·...·aₙₙ₋₂ - ... + (-1)^(n+1)·a₁ₙ·a₂ₙ₋₁·...·aₙ₁其中，aᵢₙ代表矩阵A的第i行第j列的元素。

行列式具有以下性质：- 若矩阵A的两行或两列互换，则行列式的值变号。

- 若矩阵的某一行（列）元素全为0，则其行列式的值为0。

- 若矩阵的某行（列）有两个元素相同，则其行列式的值为0。

- 若矩阵的某行（列）是另一行（列）的倍数，则其行列式的值为0。

- 两个矩阵进行加减运算时，其行列式的值也分别相加减。

2. 矩阵的概念与性质矩阵是由数字按照矩形排列而成的数表，常用来表示线性方程组和线性变换。

一个矩阵由m行n列的元素构成，记作A =[aᵢₙ]ᵢ₌₁₋₁,...,m ₋ j₌₁,...,n。

矩阵具有以下性质：- 矩阵的行数与列数分别称为其阶数。

- 若两个矩阵的对应元素相等，则这两个矩阵相等。

- 矩阵的加法与减法满足交换律和结合律。

- 矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律。

- 矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换，记作Aᵀ。

3. 行列式与矩阵的关系行列式与矩阵之间有着紧密的联系。

一个方阵A的行列式可以用它的元素构成的矩阵来表示，即：|A| = det(A) = [a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ][a₂₁, a₂₂, ..., a₂ₙ][..., ..., ..., ...][aₙ₁, aₙ₂, ..., aₙₙ]其中，aᵢₙ代表矩阵A的第i行第j列的元素。

第三章 行列式综述解方程是代数中的基本问题,在高等代数中主要研究线性方程组.线性方程组是线性代数研究对象的具体模型,而行列式是研究线性方程组的一个有力工具,利用它在某种条件下可得到类似于一元二次方程求解公式那样：用方程组的系数的某种关系来表达有解的条件、解的个数和求解公式.历史上正是为了解决通过方程组的系数来表达方程组求解的有关问题而引进行列式作为工具的,并且行列式在其它领域也经常用到.本章给出行列式的定义、性质、计算及应用.行列式是Leibnitz 于1693年（日本人关孝和更早）提出的概念；定义方法有多种,主要有归纳定义、用n 次置换来定义、引入排列用排列的奇偶性来定义、还有用公理化方法来定义（用多重线性函数的概念来定义）,本书用第三种方法,为此须引入关于排列的有关概念.由定义行列式实质上是一个数,要弄清构成此数的特征（三个且与行列式符号形式下,行、列、元素有关等）；由定义行列式的计算是一个复杂的问题,行列式的性质不仅有助于理解行列式的概念,同时从中可得出行列式计算的四种允许变换,以此总结出行列式计算的一些基本方法及常用技巧,这是本章的重点内容；然后作为行列式计算的另一种简化思想——降阶,介绍了依行（列）展开公式；最后介绍了行列式的应用（Cramer 法则）. 目的和要求掌握n 阶行列式的概念、性质,会运用行列式的性质降阶和三角化熟练地计算数字行列式,并初步掌握字母行列式的计算方法；掌握Cramer 法则解线行方程组；*掌握行列式性质与计算的推广——Laplace定理.3.1线性方程组与行列式一教学思考本节主要是讨论线性方程组（含n 个未知量n 个方程）的用系数间的关系表达有无解及有解时解的形式问题,需引入行列式,进而可以讨论分析二、三阶行列式的构成规律,为定义n 解行列式埋下伏笔,同时引入下节关于排列的问题（为确定项的符号）. 二教学过程线性方程组——一次方程组叫线性方程组.一般形式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111（1） n x x x ,,,21 叫未知量,),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==叫未知量的系数,m b b b ,,,21 叫常数项.方程组的解指的是一组数（n k k k ,,,21 ）,用其依次代替（1）中的未知量n x x x ,,,21 后,（1）的每个方程都成为恒等式.线性方程组的问题是：1）是否有解；2）有解时解的个数及解法；3）有无穷解时解间关系（结构）. 注：本章讨论较特殊的线性方程组——未知数的个数与方程个数相等的情形.为此须将二、三阶行列式的概念进行推广,引入n 阶行列式这一工具.先看给定线性方程组：⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （2）若022211211≠a a a a ,则（2）有（唯一）解：222112112221211a a a a a b a b x =,222112112211112a a a a b a b a x =. 其中2112221122211211a a a a a a a a -=.（此结果可由消元法具体求解一下.）同样对于⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （3）当0333231232221131211≠=a a a a a a a a a D 时,（3）有（唯一）解： Da ab a a b a a b x 3332323222131211=,Da b a a b a a b a x 3333123221131112=,Db a a b a a b a a x 3323122*********=.结论：引入了二、三阶行列式后,不但解决了一类线性方程组的求解问题,而且解的形式也是类似的（可用方程的系数表示出来）.下面为解决含n 个未知量n 个方程的线性方程组的求解问题,需将二、三阶行列式的概念合理地推广至n 阶,这需要用到排列的有关问题.3.2排列一教学思考作为推广行列式概念的准备工作,本节主要介绍排列的概念,反序、反序数及奇偶排列的有关概念和性质；其中有关概念不难理解,重要的是其中“对换改变排列的奇偶性”的证明是一典型的化归思想（由特殊到一般）的运用；一些基本方法如计算反序数的思路与方法应掌握. 二教学过程1． 基本概念（1）排列：定义1由n 个数码1,2,…,n 组成的一个有序数组,称为一个n 元排列,简称排列. （2）反序、反序数：定义2在一个排列里,如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面,就说这两个数码构成一个反序（逆序）,（否则构成顺序）.在一个排列里出现的反序总数叫做这个排列的反序数,用)(21n a a a π表示排列n a a a 21的反序数.（3）奇、偶排列：定义3有偶数个反序的排列叫偶排列（即反序数为偶数）；有奇数个反序的排列叫奇排列（即反序数为奇数）.（4）对换：定义4把一个排列里任意两个数码i 和j 互换位置,而其余数码不动,就得到一个新排列.对一个排列所施行的这样一个变换叫做一个对换,用（i,j ）表示.2． 对换及排列的性质（1）Th3.2.1设n i i i 21和n j j j 21是n 个数码的任意两个排列,那么总可以通过一系列对换由n i i i 21得出n j j j 21.引理1对换的可逆性——即对同一排列连续施行两次同一对换排列还原.（显然） 引理2任意n 元排列n i i i 21可经过一系列对换变为自然排列12…n . 引理3自然排列n 12可经一系列对换变为任意一个n 元排列n j j j 21.事实上,由引理2任意一个n 元排列n j j j 21可经一系列对换变为自然排列n 12,由引理1对换的可逆性,故自然排列可经（同样的）一系列对换变为任一排列.Th3.2.2每一对换都改变排列的奇偶性.Th3.2.32≥n 时,n 个数码的排列中,奇排列与偶排列的个数相等,均为2!n 个. 3.3 n 阶行列式一教学思考1．本节首先在分析二、三阶行列式的构成规律及上节排列的基础上,将行列式的概念推广到n 阶；而从定义知行列式表示一个数且由定义不易求得,为了进一步研究行列式和简化计算,讨论了行列式的性质,这是本节的重点又是难点.2．为清楚地知道如何推广行列式的概念,须认真分析二阶、三阶行列式的构成规律：项数、项的构成、项的符号；其中项的构成是重要的,其不仅指出了何为一项,同时也决定了项数,至于项的符号是在特定的要求形式下（行标为自然排列）（由列标排列的奇偶性）决定的,其间不能忽视这些与行列式符号形式中三个术语——行、列、元素有关,因此要讲清概念应建立在形式符号意识下认清其实质（是一个数）,然后示例说明.3．为了充分认识行列式及计算行列式,讨论了行列式的（五个,不含推论）性质；这首先须证明项的形式的一般结论,这主要从项的构成及一般形式与（定义）特殊形式间的关系（交换因子）而得；在此基础上由定义容易证明性质（主要在于讨论项的关系）,这些性质证明不难,可能较繁,共同点是讨论项的关系.这些性质的重要性在于,由此可以得到行列式的允许变换（换法、倍法、消法、转置、分行（列）相加）；这是计算行列式的基础,也是线性代数处理问题的重要思想（允许变换下化为标准形（化简））,在此要认真示例性质的应用,特别是由此体现的计算行列式的一个基本方法——化三角形法（其它方法及思路后逐步总结示范）. 一内容、要求1．内容：n 阶行列式的定义和性质.2．要求：掌握定义和性质,会用性质简化行列式的计算,这是本章的重点和难点. 二教学过程引言三阶行列式的构成规律：322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=322311332112312213a a a a a a a a a ---其中：符号333231232221131211a a a a a a a a a 是由23个元素ij a 构成的三行、三列方表,横排叫行,纵排叫列；在上述形式下元素ij a 的第一个下标叫行下标,第二个下标叫列下标（二者表明了该元素所在的位置）.从形式上看,三阶行列式是上述特定符号表示的一个数,这个数由一些项的和而得：1）项的构成：由取自不同的行又于不同的列上的元素的乘积； 2）项数：三阶行列式是3！=6项的代数和；3）项的符号：每项的一般形式可以写成321321j j j a a a 时,即行标为自然排列时,该项的符号为)(321)1(j j j π-,即由列标排列321j j j 的奇偶性决定.定义用符号nnn n nna a a a a a a a a 212222111211表示的n 阶行列式,指的是n ！项的代数和,这些项是一切取自不同的行与不同的列上的n 个元素的乘积,一般项可以写成n nj j j a a a 2121,此时其符号为)(21)1(n j j j π-.例1给出一些形式或乘积,判断是否为行列式或为行列式的一项（题略）. 例2计算下列行列式（1）nnn na a a a a a00022211211（2）000001n （3）hg f e dc b a0000000引理3.3.1从n 阶行列式nij a D =的第n i i i ,,,21 行和第n j j j ,,,21 列取出元素n n j i j i j i a a a ,,,2211 作积nn j i j i j i a a a 2211（其中n i i i 21,n j j j 21是两个n 元排列）,则其为行列式的一项,此项在行列式中的符号为：)()(2121)1(n n j j j i i i ππ+-.性质作为理论问题而言,一个新的概念须深入讨论其性质,这有助于进一步理解概念；下述行列式的性质还在于从中可得到计算行列式的一些思想方法.所以性质都是由定义推得,证明中只须由定义分析三个方面（项的构成、项数、符号）关系即可.其中注意表述形式及含义（形式讲的是由行列式D 变形得新行列式1D ,结论讲二者关系）,重要的是从中抽得出行列式的允许变换及将性质进行分类记忆.定义行列式的转置：将行列式D 的行变为列、列变为行所得行列式称为D 的转置；记为D '. 性质1D '=D性质2设in i jn j j i jnj j in i i a a a a D a a a a a a D 111),(2121=−−→−=则D D -=1.性质3设in i i k in i ka ka D a a D 11)(1=−→−=, 则kD D =1.推论2行列式D 的某行所有元素的公因子可提出来. 推论3若行列式D 的某行元素全为0,则0=D . 推论4若行列式D 的某两行元素对应成比例,则0=D .性质4若in in i i c b c b D ++=11,则 in i b b D 1=+in i c c 1.性质5设−−−→−=+)()(2121j i kjnj j ini i a a a a a a Djnin j i j i in i i a ka a ka a ka a a a D +++=2211211,则D D =1.例子计算：1、333222111321321321a a a a a a a a a D +++++++++=；2、0111101111011110=n D ；3、xxx x x x f 111123111212)(-=不展开,直接求34,x x 的系数.3.4子式、代数余子式,行列式的依行依列展开一教学思考1．本节在分析三阶行列式可用（三个）二阶行列式表示的特点上,引入了子式、余子式的概念,从而可将此结论一般化.内容紧凑,其在应用上（将较高阶的行列式化为较低阶的处理）及理论上（推广形式拉普拉斯定理）都很重要.2．教材以三个定理叙述最后结果,可简化为处理一个定理、一个推论,其好处在于证明过程中体现从特殊到一般,并且一般性的处理转化为特殊情形的化归模式,使学生进一步体会这种思想方法的运用. 3．其中需要强调的是概念中的子式、余子式、代数余子式中元素原有相对位置关系（不变）以及三者间的关系；依行依列展开的统一形式表述及含义；最后归纳此定理而得的行列式的第二种基本计算方法——降阶法. 二内容、要求子式、余子式、代数余子式、行列式的依行依列展开,掌握之. 三教学过程引例323122211333312321123332232211333231232221131211a a aa a a a aa a a a a a a a a a a a a a a +-=（转化过程可略,作出解释；有了下述概念后再叙述一下.）即三阶行列式可转化为（三个）二阶行列式进行计算,此结果具有一般性,为此下讨论之. 1．概念（1）k 阶子式：设nij a D =,在D 中取定某k 行k 列,位于这些行列相交处的元素构成的k 阶行列式,叫做D 的一个k 阶子式.（2）余子式：设nija D =)1(>n ,将元素ij a 所在的行、所在的列的元素划掉后余下的1-n 阶子式,叫做元素ij a 的余子式,记为ij M .（3）代数余子式：设nija D =)1(>n ,元素ij a 的余子式ij M 附以符号j i +-)1(后,叫做元素ij a 的代数余子式,记为ij A .即ij A =ji +-)1(ij M2．定理（书中以三个定理表述,实可归结为一个定理、一个推论,书中定理1是定理2的特例,这样处理重点体现化归思想的运用.）定理设nij a D =,则D 等于它的任意一行（列）的所有元素与各自对应的代数余子式的乘积的和.即⎩⎨⎧++++++=nj nj j j jj inin i i i i A a A a A a A a A a A a D 22112211),,2,1,(n j i =. 推论设nij a D =,则D 的某行（列）所有元素与另外一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积的和为0,即⎩⎨⎧=+++=+++0022112211nj ni j i j i jn in j i j i A a A a A a A a A a A a )(j i ≠例计算3351110243152113------=D .3.5克莱姆（Cramer ）法则一教学思考本节作为行列式的应用,完满地解决了含n 个未知量n 个方程的线性方程组,在其系数行列式不为零时,其解的存在性、个数及求解（公式）问题；理论完整且重要,定理的证明可按消元法的思想运用行列式的依行依列展开公式为之. 二教学过程设给定一个含n 个未知量n 个方程的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********（1） 其系数构成的行列式nnn n in i i n a a a a a a a a a D212111211=叫做方程组（1）的(系数)行列式. TH3.5.1（Cramer 法则）对线性方程组(1),当它的(系数)行列式0≠D 时有且仅有一个解:DD x D Dx D D x n n ===,,,2211 .其中j D 是把D 的第j 列的元素换以方程组的常数项n b b b ,,21 而得到的n 阶行列式.推论含有n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （2） 当它的(系数)行列式0≠D 时仅有零解.（还将证明为充分条件）例解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x .解：27,27,108,81,274321=-===D D D D D1,1,4,34321=-=-==x x x x .。