推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.2类比课堂讲义配套课件湘教版选修22

2 a2 a1＋a2 2 1＋a2 跟踪演练 1 若 a1， a2∈(0， ＋∞)， 则有不等式 ≥( ) 2 2
成立， 此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广． 解 可以从 a1，a2 的个数以及指数上进行推广，第一类型：
2 2 a2 a1＋a2＋a3 2 1＋a2＋a3 ≥( )， 3 3 2 2 2 a2 ＋ a ＋ a ＋ a a1＋a2＋a3＋a4 2 1 2 3 4 ≥( ) ，„， 4 4 2 2 a2 ＋ a ＋ „ ＋ a a1＋a2＋„＋an 2 1 2 n ≥( )； n n
当 n 为偶数时，令 n＝2k，k∈N＋，则 n Sn＝S2k＝k(a＋b)＝ (a＋b)． 2 n＋1 n－1 2 a＋ 2 b，n为奇数， 所以它的前 n 项的和 Sn＝ na＋b，n为偶数. 2
规律方法 本题是一道浅显的定义类比应用 问题，通过对等差数列定义及性质的理解， 类比出等和数列的定义和性质，很好地考查 学生类比应用的能力．
跟踪演练 2 已知 P(x0， y0)是抛物线 y2＝2px(p>0)上的一点， 过 P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得： 在 y2＝2px 两边同 p 时对 x 求导，得 2yy′＝2p，则 y′＝ ，所以过 P 的切线的斜 y
2 p y 率 k＝y .类比上述方法求出双曲线 x2－ 2 ＝1 在 P( 2， 2)处的 0
切线方程为________． 答案 2x－y－ 2＝0
析
将双曲线方程化为 y2＝2(x2－1)，类比上述方法两边同
2x 时对 x 求导得 2yy′＝4x，则 y′＝ y ，即过 P 的切线的斜率 2x0 2 2 k＝ ，由于 P( 2， 2)，故切线斜率 k＝ ＝2，因此切线 y0 2 方程为 y－ 2＝2(x－ 2)，整理得 2x－y－ 2＝0.
要点一 知识间的类比 例1 我们已经学过了等差数列，你是否想到 过有没有等和数列呢？ ①类比“等差数列”给出“等和数列”的 定义． ②探索等和数列{an}的奇数项与偶数项各有 什么特点？并加以说明． ③在等和数列{an}中，如果a1＝a，a2＝b， 求它的前n项的和Sn.
解
①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的和等
6．1.2 类
比
[学习目标] 1．了解类比推理的意义，能利用类比进行简 单的推理． 2．了解类比在数学发现中的作用．
[知识链接] 类比推理的结论能作为定理应用吗？ 答 不 能．因为类比推理的结论不一定正 确，只有经过严格的逻辑证明，说明其正 确性，才能进一步应用．
[预习导引] 1．类比的概念 类比是根据两个 不同 的对象在某方面的 相似之处，推测 出这两个对象在其他方面也可能有 相似 之处．
规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当 前问题的需要，选择适当的类比对象，可以 从几何元素的数目、位置关系、度量等方面 入手．由平面中的相关结论可以类比得到空 间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形类比 平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体
于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列． ②由①知 an＋an＋1＝an＋1＋an＋2. 所以 an＋2＝an. 所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等． ③当 n 为奇数时，令 n＝2k－1，k∈N＋，则 2k－2 Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝ (a＋b)＋a 2 n－1 n＋1 n－1 ＝ 2 (a＋b)＋a＝ 2 a＋ 2 b，
第二类型：
3 4 4 n n a3 ＋ a a ＋ a a ＋ a a ＋ a a ＋ a a1＋a2 n 1 2 1 2 3 1 2 1 2 4 1 2 2 ≥( 2 ) ， 2 ≥( 2 ) ，„， 2 ≥( 2 ) .
第三类型：
3 3 m m a3 a1＋a2＋a3 3 am 1＋a2＋a3 1 ＋a2 ＋„＋an ≥( ) ，„， 3 3 n
2．类比推理 类比推理可以用下面的公式来表示： A对象具有属性abcd
B对象具有属性abc
B对象也具有属性d 其中A，B表示相比较的两个(或两类)事
物．
3．合情推理 合情推理是根据已有的事实和正确的结论 (包括实验和实践的结果)以及个人的经验和 直觉等推测某些结果的推理过程． 归纳和类比 是合情推理常用的两种基本思 维方法．注意归纳是由部分到整体，由特 殊到一般的推理；类比是由特殊到特殊的 推理． 一般说来，合情推理所获得的结论仅仅是 一种猜想，未必可靠.
要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质： (1) 三角形是平面内由直线段围成的最简单 的封闭图形；四面体是空间中由三角形围 成的最简单的封闭图形． (2) 三角形可以看作是由一条线段所在直线 外一点与这条线段的两个端点的连线所围 成的图形；四面体可以看作是由三角形所 在平面外一点与这个三角形三个顶点的连 线所围成的图形．
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间 四面体的性质填写下表：
三角形 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线的长等于第三边长的一半， 且平行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点，且这 个点是三角形内切圆的圆心 四面体
解
三角形 三角形的两边之和大于 第三边 三角形的中位线的长等 四面体 四面体的三个面的面积之和大于 第四个面的面积 四面体的中位面的面积等于第四
a1＋a2＋„＋an m ≥( ) . n 上述 a1，a2，„，an∈R＋，m，n∈N＋.
要点二 类比推理的应用 例2 如图所示，在△ABC中，射影定理可 表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，
c分别为角A，B，C的对边．类比上述定
理，写出对空间四面体性质的猜想．
解 如右图所示，在四面体P－ABC中， 设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC， △PCA，△ABC的面积，α，β，γ依 次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面 ABC所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其 表现形式应为 S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.