双曲线及其标准方程优秀教学设计

双曲线及其标准方程教案与说明（甘肃）教案内容：一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。

2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其变换。

3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学重难点1. 重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其变换。

2. 难点：双曲线标准方程的推导及应用。

三、教学准备1. 教师准备：双曲线的课件、例题、习题。

2. 学生准备：笔记本、文具、已学过的相关知识。

四、教学过程1. 导入：通过复习直线、圆等基本几何图形，引导学生思考双曲线的定义和特点。

2. 新课导入：介绍双曲线的定义，引导学生掌握双曲线的性质。

3. 例题讲解：讲解双曲线的标准方程及其变换，让学生通过例题理解并掌握双曲线的标准方程。

4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固双曲线标准方程的知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调双曲线标准方程的重要性和应用。

五、课后作业1. 完成课后习题，加深对双曲线及其标准方程的理解。

2. 结合生活实际，寻找双曲线模型的应用，提高学生的数学应用能力。

说明：本教案根据甘肃地区的教学实际情况编写，注重学生的基本数学素养的培养，难度适中。

在教学过程中，教师要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和自信心。

通过课后作业的设置，让学生将所学知识应用到实际生活中，提高学生的数学应用能力。

六、教学拓展1. 引导学生探索双曲线的参数方程及其图像。

2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学、天文学等。

七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结双曲线及其标准方程的知识。

2. 强调双曲线在数学和实际生活中的重要性。

八、课后反思1. 教师对本节课的教学情况进行反思，分析学生的学习效果。

2. 根据学生的反馈，调整教学方法和解题策略，为下一节课做好准备。

九、章节测试1. 设计一份章节测试题，测试学生对双曲线及其标准方程的掌握程度。

2. 及时批改测试题，了解学生的学习状况，为下一步教学提供依据。

双曲线及其标准方程教案与说明(甘肃)教案内容：一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义和性质。

2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其应用。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学重难点1. 双曲线的定义和性质的理解。

2. 双曲线标准方程的推导和应用。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究双曲线的定义和性质。

2. 运用几何画图工具，直观展示双曲线的形状和特点。

3. 通过例题讲解和练习，巩固双曲线标准方程的应用。

四、教学准备1. 教学课件和几何画图工具。

2. 练习题和答案解析。

五、教学过程1. 导入：复习直线、圆和椭圆的相关知识，引导学生思考曲线的一般性质。

2. 新课：介绍双曲线的定义和性质，通过几何画图工具展示双曲线的形状和特点。

3. 推导双曲线的标准方程：引导学生运用已知知识，推导出双曲线的标准方程。

4. 应用：通过例题讲解和练习，让学生掌握双曲线标准方程的应用。

5. 总结：回顾本节课所学内容，强调双曲线的定义、性质和标准方程的重要性。

6. 作业布置：布置适量练习题，巩固所学知识。

教案说明：本教案根据甘肃地区的高中数学教学要求，以学生为中心，注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

在教学过程中，通过问题驱动法和几何画图工具，引导学生主动探究双曲线的定义和性质，注重练习和应用，使学生能够熟练掌握双曲线标准方程的应用。

六、教学拓展1. 引导学生思考双曲线与其他曲线的关系，如抛物线和椭圆。

2. 探讨双曲线的应用领域，如物理学中的电磁波传播、天文学中的星体运动等。

七、练习与反馈1. 提供一组练习题，让学生独立完成，巩固双曲线及其标准方程的知识。

2. 针对学生的练习情况，进行反馈和讲解，帮助学生纠正错误和不清晰的地方。

八、课堂小结1. 回顾本节课的主要内容，强调双曲线的定义、性质和标准方程的重要性。

2. 提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。

九、作业布置1. 布置一组练习题，要求学生按时完成，巩固双曲线及其标准方程的知识。

双曲线及其标准方程一.教学目标:（1）知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；（3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。

二.教学重点:双曲线的定义三.教学难点:双曲线方程的推导四.教学过程:(一)复习回顾(二)双曲线的定义:1.问题:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢?2. 双曲线的定义: 平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．3.简单演示(使用几何画板).4. （*）注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下：时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）.②当时，表示两条射线.③当时，不表示任何图形.(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是，那么的坐标分别是．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值为.(2)点的集合:由定义可知，双曲线就是集合：}．(3)代数方程, ,(4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：,移项整理两边平方可得:(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记)由双曲线定义，即，所以设，代入上式得：．即,这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：(1) 表示焦点在x轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(2) 表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(只需将(1)方程的x,y互换即可得到)强调指出：(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，，但不一定大于；(3)如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中的关系是，不同于椭圆方程中．(四).例题分析:练习:写出下列双曲线的焦点坐标:(1)(2)(3)(4)例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解: 根据双曲线的焦点在轴上，设它的标准方程为：,所以所求双曲线的标准方程为:(五)小结(六)作业:课本习题8.3 第1,2,4思考题: 当时，方程表示怎样的曲线？(七)板书设计:。

《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其应用。

2. 过程与方法：（1）通过观察实例，培养学生的空间想象能力；（2）运用转化思想，引导学生学会用坐标法研究双曲线。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其探求未知的精神；（2）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学重难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其应用。

2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的推导；（2）双曲线性质的理解与应用。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究；2. 运用数形结合法，直观展示双曲线的性质；3. 采用分组讨论法，培养学生的合作能力；4. 利用实例讲解，提高学生的应用能力。

四、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关概念：椭圆、抛物线；（2）提问：双曲线是什么？它有哪些特点？2. 自主学习：（1）学生自主探究双曲线的定义及其性质；3. 讲解双曲线的标准方程：（1）引导学生观察双曲线的图形，发现其特点；（2）讲解双曲线标准方程的推导过程；（3）让学生尝试写出常见双曲线的标准方程。

4. 应用拓展：（1）利用双曲线标准方程解决实际问题；（2）引导学生发现双曲线在现实生活中的应用。

五、课后作业1. 复习双曲线的定义及其性质；2. 熟练掌握双曲线的标准方程及其应用；3. 完成课后练习，巩固所学知识。

4. 思考题：（1）双曲线有哪些实际应用场景？（2）如何利用双曲线解决实际问题？六、教学评价1. 课堂讲解：关注学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度，以及能否运用所学知识解决实际问题。

2. 课后作业：检查学生对双曲线知识点的掌握情况，以及应用能力。

3. 学生互评：鼓励学生之间相互提问、讨论，提高课堂参与度。

七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。

《双曲线及其标准方程》教学设计贵阳39中李明新课程教学,更强调学生的主体性,突出学生的主体性,采用“合作、自主、探究”的学习,又要还给学生更大的自主学习空间。

所以如何充分利用课堂时间,调动学生的积极性,提高课堂效益是数学教师面临的一个重要问题。

我想从我自己的实践来谈谈如何设计一节课，使我的教学更适应时代的发展，使我的课堂更加有效。

双曲线及其标准方程教案教学目标知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。

能力目标：通过与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和善于寻找数学规律的能力。

德育目标：在类比探究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。

重点：双曲线的定义及其标方程和简单应用。

难点：对双曲线定义的理解，正确运用双曲线定义推导方程。

教学过程：一.复习提问，引入新课。

问题1.椭圆的定义是什么？问题2.椭圆的标准方程是怎样的？c b a 、、关系如何？问题3. 类比，联想如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？师：问题1：随着M 问题2：|MF1|与|MF2|问题3：这个常数可以大21F F 问题4：你能概括双曲线的定义吗？二.形成概念，推导方程。

师：双曲线上的点应满足的条件是什么？生：常数=-21MF MF （小于21F F ）。

师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义。

1.双曲线的定义。

（投影）分析讨论双曲线的定义中关键词和条件：师：定义中的“平面内”，“绝对值”等条件去掉，能否表示双曲线？ 生：不能，为双曲线的一支。

师：定义中的常数21F F =，轨迹是什么？常数21F F >呢?生：以21F F 、为端点的两条射线。

常数21F F >无轨迹。

2.标准方程的推导。

（类比椭圆标准方程的建立过程）生：①建系。

使x 轴经过两定点21,F F ，y 轴为线段21F F 的垂直平分线。

双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解下面是整理的双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解，以供参考。

双曲线教学设计共1双曲线及其标准方程教学设计一.教学目标: 1.知识目标:掌握双曲线的定义并会推导其方程.2.能力目标:能根据已知条件,选择恰当的形式的双曲线方程解题;加深对类比,化简,分类讨论的思想的理解与运用.3.情感目标:利用教学内容促进学生对量变,质变规律的理解和对学生进行爱国主义教育.二.教学重点与难点分析: 本节的教学重点是准确理解双曲线的定义.本节的教学难点是选择恰当的双曲线方程解题.三.教学方法和学习方法的设计: 教法:1.在教学目标的指导下,采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学.这种方法是以问题为中心,以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程中经历”提出问题———分析问题———分组讨论———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中,教师利用问题引路,学生独立思考和分组讨论,从而自己解决问题.2.通过课件和动画展示数学知识的发生﹑发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”.学法:在教师的组织,点拨,引导作用下,通过学生积极思考,大胆想象,总结规律,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题﹑思考问题﹑解决问题的动态过程中.四.媒体选择:多媒体课件.39五.教学过程设计: 探索问题一: 定圆圆O1内含于定圆圆O2,当圆M与圆O2内切而与圆O1外切时, 圆M的圆心M的轨迹是什么曲线? 学生: 是椭圆.教师: 面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.若将“距离之和”改为“距离之———差”.那将会出现什么情况呢? 探索问题二: 设圆O1,圆O2外离,其半径分别为r1,r2.动圆圆M与圆O1内切而与圆O2外切,求动圆M的圆心M的轨迹又是什么曲线? 分析: 设动圆M半径为r,有O2M?O1M??r2?rr?r1??r1?r2 教师: 谁能画出点M的轨迹?(没反应)困难在哪里呢? 学生: 动圆M有无数个,画起来困难.所以点M的轨迹画不出来! (课件演示) 教师:原来点M的轨迹是一条开口向左的,向外伸展的不封闭的一条曲线,这是单曲线吗?:是否还有其他情况? 学生:如果圆M与圆O1外切而与圆O2内切情况会怎样? 此时, O1M?O2M??r1?rr?r2??r1?r2.大概是开口向右的一条曲线吧.课件演示.教师:我们把上述两条曲线称为双曲线(演示课件).请给出双曲线的定义.学生:平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹.教师:好.请看——(课件演示)当圆O1与圆O2外切时,虽然MO1?MO2?r1?r2?O1O2,但点在线段O1O2的两侧,是两条射线.动点M必定满足一个什么样的特定条件? 40学生:应在前面的叙述中,在”常数”后加上附加条件”小于O1O2”.教师:如果这个常数为0呢?这时点的轨迹是什么? 学生:平面内与两个定点O1,O2的距离的差的绝对值是0的点的轨迹是线段O1O2的垂直平分线.所以这个常数不能为0.教师:这就完整了.称O1,O2为双曲线的焦点.它与椭圆定义比较又有和联系呢? 学生:在椭圆定义中,由三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求.教师:如此复杂的曲线和平面几何中最简单的结论紧密联系,这充分反映了事物间的和谐的本质属性.问题延伸: 教师:利用平面直角坐标系,我们可以求出该曲线方程,这就是数形结合的思想.问题是如何建立平面直角坐标系? 学生:以O1,O2所在的直线为x轴,线段O1O2的中垂线为y轴,建立直角坐标系.教师:为什么不以O1或O2为原点建立直角坐标系呢? 学生:那样的话, O1与O2就不能关于y轴对称,从前面我们学习的椭圆方程的推导过程中知道,所得的方程较繁.教师:对.请同学们自行推导双曲线方程.(学生推演,教师归纳).教师:同学们都能得出方程?c2?a2?x2?a2y2??c2?a2?a2.仿照推导椭圆方程的方法.可x2y2令c?a?b.则得焦点在x轴上的双曲线方程: 2?2?1.类似地,当焦点在y轴上ab222时,(或者说以O1O2所在的直线为y轴.线段O1O2的中垂线为x轴建立直角坐标系).双曲线的方程是———y2x2 学生: 2?2?1ab 41教师:它们都是双曲线的标准方程.焦点在二次项系数为正的字母所表示的轴上.思考问题一: 例1.(1)已知双曲线两个焦点的坐标为F1??5,0?,F2?5,0?,双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.(2)已知双曲线的中心是坐标原点,焦点在y轴上,焦距为12,且经过点P?2,?5?,求双曲线的方程.(3).求过点A2,43和B?2,?4的双曲线标准方程.(第(1),(2)小题为课本的例习题.) (请三位同学板演,再请三位同学讲评.第(1),(2)小题略.第3小题不少学生仍分焦点在x,y轴的情况求解.过程较繁.) 学生:第(3)题他解对了,但比较繁.我认为只要设mx2?ny2?1.然后把两点坐标分别代入,1得到两个二元一次方程组成的方程组,解得m?1, n??,表明它是双曲线,同时表示不6存在过这两点的椭圆.教师:对!讲得有道理.求中心在原点的椭圆.双曲线标准方程,只需两个独立变量.这是它们的本质属性.理解这一点,解题运算量就小多了.教师:上述图形的变化过程反映了事物在一定范围内由量的积累引起质的变化情况.它包括了目前我们所学的几种曲线.现在让我们来了解双曲线在军事上的一些应用.思考问题二:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340ms,求曲线的方程.(3)要想确定爆炸点的准确位置.应采取什么措施? (学生分组讨论.教师巡视指导.把学生解答用投影仪展示.) 学生(1)由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差为2s,可知A,B两处与爆炸点的距离的42差为PA?PB?680?800,因此爆炸点应该位于以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.(2)如图,建立直角坐标系xoy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB中点重合.设爆炸点P的坐标为?x,y?.则PA?PB?340?2?680 ?AB 即2a?680,a?340.又AB?800 所以2c?800,c?400b2?c2?a2?因为PA?PB?680?0 所以x?0.x2y2所求双曲线方程为??1(x?0)(3).利用两个不同的观测点侧得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C,利用B, C (或A, C)两处侧得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就可以确定爆炸点的准确位置.变式一:若将“在A处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s”改为“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚40s”那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 17变式二:若将“A,B两地相距800m”改为“A,B两地相距600m” 那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 变式三:假若在A,B两处同时听到爆炸声, 那么爆炸点P又在怎样的曲线上呢? 六.小结: 1.双曲线的定义,关键词是绝对值的差小于F1F2.432.求双曲线方程要注意选择方程的形式,以简化计算.3.主要思想方法有类比思想及特殊与一般量变与质变的辨证关系.七.教学效果: 这节课充分发挥了多媒体教学的优势,教学设计充分体现”主导----主体”现代教学思想,彻底地改变了传统教学过程汇总学生被动接受知识的状态,学生能够自主探索获取知识,愿意学习也学会学习;学生主动参与的意识提高了.通过多媒体教学,教师把学生引上探索问题之路,调动了每一个学生学习的主动性和创造性,体现了学生的主体地位,有利于学生潜能的开发和创造性思维的培养.44双曲线教学设计共2双曲线及其标准方程一、学习目标：【知识与技能】:1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.二、学情分析：1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.三、重点难点：教学重点:双曲线的定义、标准方程教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a三、教学过程：【导入】1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；2、观察生活中的双曲线；【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】探究一活动1：类比椭圆的学习，思考：研究双曲线，应该研究什么？怎么研究？从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程；活动二：数学实验：(1)取一条拉链，拉开它的一部分，(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在点F1，F2 上，(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。

双曲线及其标准方程教案与说明（甘肃）一、教学目标：1. 理解双曲线的定义及其性质。

2. 掌握双曲线的标准方程及其求法。

3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。

二、教学内容：1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。

2. 双曲线的性质：双曲线是中心对称图形，其两支分别向无穷远延伸，且不存在最大值和最小值。

3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > 0, b > 0\)），其中\(a\) 称为实轴半长，\(b\) 称为虚轴半长。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质及其标准方程。

2. 教学难点：双曲线标准方程的求法和应用。

四、教学方法与手段：1. 教学方法：采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 教学手段：利用黑板、PPT、几何画板等教学辅助工具。

五、教学安排：1. 课时：本章共4 课时。

2. 教学过程：第1 课时：介绍双曲线的定义和性质。

第2 课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。

第3 课时：练习双曲线标准方程的求解和应用。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度。

2. 课后作业：布置有关双曲线的练习题，检验学生对知识的掌握情况。

3. 单元测试：进行一次双曲线知识点的测试，全面评估学生的学习效果。

七、教学反思：1. 针对学生的掌握情况，调整教学策略，加强对难点知识点的讲解。

2. 注重培养学生运用双曲线知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对双曲线图像的认识，加强直观教学。

八、拓展与延伸：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学、天文学等。

2. 介绍双曲线的变形式，如双曲函数、双曲线方程的解法等。

3. 引导学生深入研究双曲线的性质，探寻更多规律。

九、课后作业：（1）经过点\(A(2,0)\) 和\(B(-2,0)\) 的双曲线。

《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。

2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。

3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 双曲线的定义2. 双曲线的性质3. 双曲线的标准方程4. 双曲线方程的求解方法5. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程及其求解方法3. 双曲线在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索双曲线的定义与性质。

2. 利用案例分析法，让学生了解双曲线的标准方程及其应用。

3. 运用数形结合法，帮助学生直观理解双曲线的特点。

4. 开展小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中常见的双曲线现象，引发学生对双曲线的兴趣。

2. 讲解双曲线的定义与性质：引导学生通过观察图形，总结双曲线的特点，进而给出双曲线的定义，并讲解其性质。

3. 介绍双曲线的标准方程：借助实例，引导学生理解双曲线标准方程的推导过程，并掌握其求解方法。

4. 应用实例：让学生运用双曲线方程解决实际问题，体会双曲线在实际中的应用价值。

5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线及其标准方程的重要性。

6. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固学生对双曲线及其标准方程的理解。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评估学生对双曲线定义和性质的理解程度。

2. 通过课后习题和实践项目，评估学生对双曲线标准方程的掌握及应用能力。

3. 结合小组讨论和课堂互动，评估学生的合作能力和数学思维能力。

七、教学拓展：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学中的引力定律、天文学中的星系运动等。

2. 介绍双曲线的进一步研究，如双曲线几何性质的深入分析和双曲线方程的多种求解方法。

八、教学资源：1. 教学PPT和教学视频，用于展示双曲线的图形和实例。

双曲线及其标准方程教学设计《双曲线及其标准方程教学设计》一、教学目标：1. 理解双曲线的定义及其与椭圆、抛物线的区别。

2. 掌握双曲线的基本方程及相关公式。

3. 能够根据给定的条件，绘制双曲线图像。

4. 进一步培养学生的逻辑思维和解题能力。

二、教学内容：1. 双曲线的定义和性质介绍。

2. 双曲线的标准方程及其推导。

3. 双曲线的图像绘制。

4. 双曲线的相关公式和性质。

三、教学步骤：步骤一：引入通过生活实际中双曲线的例子，如天文望远镜、人脸轮廓等，引入双曲线的概念。

与椭圆和抛物线进行对比，强调它们的差异性。

步骤二：定义和性质介绍1. 定义：讲解双曲线的定义，即平面上到两个焦点的距离之差为常数的点构成的曲线。

2. 性质介绍：介绍双曲线的主轴、焦点、顶点、渐近线等基本概念。

步骤三：标准方程及其推导1. 双曲线的标准方程：介绍双曲线的标准方程，并利用焦点、准线等性质进行推导。

2. 标准方程的变形：讲解标准方程的不同形式，如椭圆形式、抛物线形式等。

步骤四：图像绘制1. 讲解双曲线图像的绘制方法，包括选取适当的坐标系、确定焦点等步骤。

2. 通过实例演示，引导学生绘制双曲线的图像。

步骤五：相关公式和性质1. 讲解双曲线的离心率、矩形面积公式等相关公式。

2. 引导学生通过具体例题，探索双曲线的性质，如对称性、渐近线等。

四、教学方法：1. 演讲法：通过讲解双曲线的定义、性质和推导过程，确保学生获得基本概念和知识。

2. 案例分析法：通过给出实例，引导学生进行图像绘制和解题，培养学生的综合运用能力。

3. 讨论交流法：增加学生的参与度，通过小组或全班讨论，激发学生的思考和互动。

五、教学评价与反馈：1. 实时评价：通过课堂练习、问题互动等方式，及时了解学生的学习情况，发现问题和困难。

2. 练习作业：布置双曲线的习题，要求学生独立解答和绘图，检验他们对所学知识的掌握程度。

3. 反馈与讨论：对学生的作业进行批改和评价，及时反馈学生的学习表现，鼓励他们分享解题思路和经验。

双曲线及其标准方程（教学设计）一、教学目标：知识与技能：（1）理解双曲线的定义及焦点、焦距的意义，掌握双曲线的标准方程． （2）根据不同的题设条件，正确区分两种不同的标准方程．过程与方法：（1）引导学生，通过与椭圆的对比去探索双曲线标准方程的推导，加深对数形结合思想及事物类比的研究方法的认识．（2）从建立坐标系、简化方程过程中，培养学生观察、分析、推理的能力．情感态度与价值观：（1）培养学生勇于探索，善于研究的精神．（2）通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学氛围．二、重点难点重点：双曲线的定义及其标准方程的推导难点：（1）理解，，及双曲线左、右支等不同的轨迹情形；c a 22<c a 22≥（2）令的思维过程，及焦点分别在x 轴y 轴上的标准方程形式．222a c b -=三、教学设计（一）情境设置1、荆门市火力发电厂通风塔图片和演示截面图2、初中代数中反比例函数的图象．那么，双曲线是怎样形成的？（二）、探索定义1、模拟实验：取一条拉链，拉开一部分，在拉开的一边取其端点，在另一边中间部分取一点，分别固定在F 1、F 2两点处，把笔尖放在点M 处，随着拉链逐渐拉开或合拢，笔尖就画出一条曲线．（演示模拟实验）2、分析问题：（1）动点M 与定点F 1、F 2的距离之差保持怎样的关系？ （2）这个常数与|F 1F 2|大小关系？（3）|MF 1|与|MF 2|大小关系与M 点的位置有何关系?3、定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线．①定点F 1、F 2——焦点．②距离|F 1F 2|=2c——焦距思考题：由定义知||MF 1|－|MF 2||=2a(2a>0),2c=|F 1F 2|若2a<2c ，点M 的轨迹是什么？ 符合双曲线的定义，应是双曲线若2a=2c ，点M 的轨迹是什么？ 以F 1、F 2为端点的两条射线 若2a>2c ，点M 的轨迹是什么？ 由模拟实验讨论，轨迹不存在（三）探求方程1、双曲线方程的推导解：①建系设点 以F 1、F 2所在直线为x 轴，它们的中点为坐标原点，建立直角坐标系.设点M （x,y ）是双曲线上任一点，F 1(-c,0)，F 2(c,0)，②写出轨迹上动点M 的适合条件由定义可知M 点满足aMF MF 221±=-③列出方程 ay c x y c x 2)()(2222±=+--++④化简方程 移项2222)(2)(y c x a yc x +-+±=++ 平方222222))(2())((y c x a y c x +-+±=++整理得 ，222)(y c x a a cx +-±=-即)()(22222222a c a y a x a c -=-- 由双曲线定义可知2a ,即a ,　c 2<c <∴022>-a c 设=，方程整理得22a c -2b ()0,012222>>=-b a by a x 这是焦点在x 轴上的双曲线的标准方程，其中，)0,(),0,(21c F c F -焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a bx a y ),0(),,0(21c F c F -2、判断下列双曲线方程焦点的位置① ② ③ ④ 13422=-y x 14322=-y x 14322=-x y 13422-=-y x 如何判断双曲线焦点在哪个坐标轴上？3、双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较①双曲线标准方程中距离差“-”，有别于椭圆中距离和“+”，②双曲线标准方程中a 、b 、c 的关系是c 2=a 2 +b 2 ,a>0，b>0；有别于椭圆方程中，c 2=a 2 -b 2 ,a>b>0③双曲线标准方程中，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．（四）应用练习例1 填空题(1)已知双曲线方程，则①a= ,b= ,c= 116922=-y x ②焦点在 轴上，其坐标为 ，焦距为(2)如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么a= )0(114222>=+a a y x 12322=-y x 例2已知一动圆过定点M （-4，0）且与已知圆C ：(x-3)2+y 2=4相外切，求动圆圆心P 的轨迹方程分析：根据双曲线的定义求解解：设动圆P 的半径为r(r>0)，圆 (x-3)2+y 2=4的圆心为C (3,0),半径为2则|PM|=r |PC|=r+2 ∴|PC|-|PM|=2<|MC|=6,又|PC|>|PM|∴P 点的轨迹是以M 、C 为焦点的双曲线的左支则c=3, a=1, b 2 =c 2 -a 2=8∴P 点的轨迹方程为 (x<0) 1822=-y x （五）归纳小结1、椭圆与双曲线联系与区别椭圆双曲线定义aMF MF 221=+aMF MF 221=-a re go od fo rs o图形标准方程12222=+b y a x ()0>>b a 12222=+b x a y ()0>>b a 12222=-b y a x ()0,0>>b a 12222=-b x a y ()0,0>>b a 焦点坐标()0,c F ±()c F ±,0()0,c F ±()c F ±,0焦点位置与标准方程的关系比较分母大小若x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；若y 2项的系数是正的，焦点在y 轴上a 、b 、c关系c 2=a 2 -b 2c 2=a 2 +b 22、布置作业 P108 习题8.3 1、3、4双曲线及其标准方程（课堂实录）（课前1分钟，播放片头，包括各种物体及音乐）教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，并研究了这一圆锥曲线的几何性质．在刚才的片头中,我们还看到了许多物体，它们的外形是多种形式的优美曲线．今天我们来研究其中的一种曲线．学生：（兴奋、疑惑、有求知欲）（情境设置．片头中的一幅图片，火力发电厂通风塔）教师：这是荆门市火力发电厂的通风塔，它的截面轮廊线是什么曲线？（演示通风塔截面图）教师：这种曲线我们似曾相识，初中代数中我们学习的反比例函数，它的图象就是这样的曲线．（作出图象）为了使大家观察得更清楚，我们将的图象旋转x y 1=xy 1=45°．（旋转后又重新建立新的坐标系给出图象）教师：（适时提出）它是什么曲线？学生：（回应热烈）双曲线 教师：很好（板书）双曲线教师：通风塔的截面轮廓线是双曲线的一部分，物理中双曲线型旋转体的通风效果是最好的．（设计感悟：片头中的图片直观，引起学生对这课堂的兴趣，同时对双曲线有一个感性认识．演示通风塔截面图，从具体到抽象，将实际问题抽象为数学模型，有利于认识事物． 旋转后再建系，这样符合建系的原则，又为后面推导双曲线方程中建系埋下一xy 1=个伏笔．另外还注意了物理知识的渗透．）教师：双曲线是怎样形成的？我们一起来探索一下．（边演示实验，边讲解）教师：先来做一个实验：取一条拉链，拉开它的一部分，（动画1）在拉开的一边上取其端点，在另一边的中间部分取一点，分别固定在F 1、F 2两点处，使一边比另一边多出|F 2N|．（动画2）在拉动的过程中，我们看到点M 随之变动，选择拉链的好处是使得|MF 1|与|MF 2|增加的长度相同，都是蓝色部分．教师：为了显示的更直观，将|MF 1|与|MF 2|平移放到下面来，再观察一次．（重新演示动画2）教师：我们看到|MF1|与|MF2|增加的长度相同，但是它们的差总保持不变，是这一段红色的部分．教师：（补充）是一个常数教师：（演示动画3）将笔尖放在点M处，随着拉链的逐渐合拢或拉开，笔尖就画出右边的一条曲线．此时|MF1|大于|MF2|，且差保持不变，是一个常数．若F1，F2互换位置，会得到怎样的曲线呢？学生：（思考）教师：（演示动画4）这样又得到了左边的这条曲线，此时|MF1|小于|MF2|，它们的差的绝对值保持不变．教师：想一想，在刚才的实验中，动点M与定点F1、F2的距离之差的绝对值保持怎样的关系？学生1：是一个定值．教师：也就是一个常数，很好．教师：再想一想，这个常数与|F1F2|大小关系怎样？学生2：小于|F1F2|教师：回答得非常好．你是通过哪个几何图形看出的？学生：三角形MF1 F2教师：三角形两边之差总小于第三边．教师：接着，我们再想一想，|MF1|与|MF2|大小关系与M点的位置有何关系?学生3：当|MF1|大于|MF2|时，M点在右支；当|MF1|小于|MF2|时，点M在左支．教师：上面左右两支合起来叫做双曲线．（设计感悟：选取拉链实验好处是M点不断运动，但始终满足差的绝对值为常数．跟踪得轨迹是双曲线，这是辩证唯物主义观点的运用，质点运动规律也是可以被学生掌握和应用的．逐个的演示动画1到4，将实验细化，更清楚更直观．）教师：根据模拟实验，以及椭圆的定义，你能否给双曲线下一个定义呢？椭圆的定义是怎样的？师生：平面内与两定点的距离之和为常数的点的轨迹．教师：那么双曲线定义呢？学生4：平面内与两个定点F1F2的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹叫双曲线．教师：回答得非常好．（板书）定义，用红色字打出“差的绝对值”，“2a>2c=|F1F2|”教师：椭圆定义中和为常数，记为2a，双曲线中差的绝对值为常数，我们也记为2a；所不同的是双曲线中常数2a小于|F1F2|，椭圆中常数2a大于|F1F2|；同样这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，记为2c=|F1F2|．教师：双曲线满足动点到两定点的距离之差的绝对值为常数，用数学表达式表示为——（板书）|MF1|－|MF2||=2a(2a>0且2a＜2c=|F1F2|）教师：由定义知道，差的绝对值为常数2a＜2c，能否大于或等于2c呢？我们来讨论一下这三种情况的点的轨迹．问题1、若2a<2c，点M的轨迹是什么？学生5：双曲线．教师：符合双曲线的定义．问题2、若2a=2c，点M的轨迹是什么？学生5：是线段教师：若2a=2c，即|MF1|－|MF2||= |F1F2|，M、F1、、F2这三点不构成三角形，这三点共线．刚才他说是线段，M点在哪儿？师生：在 F1、F2之间．教师：这样可能吗？不可能．M点在哪儿？哪位同学补充一下？学生6：是射线教师：几条？学生6：两条．问题3、若2a>2c ，点M 的轨迹是什么？ 学生7：是椭圆教师：椭圆定义中是到两定点的距离“之和”为常数，我们这里是“之差”满不满椭圆定义？师生：不满足．教师：不是椭圆，教师：当2a<2c 时，M 、F 1、F 2这三点构成三角形；当2a=2c 时，这三点共线；当2a>2c 时，既不构成三角形，又不共线．那么——师生：轨迹不存在（设计感悟：三个问题的设计，使学生对双曲线定义中2a 与2c 的关系，更进一步理解．）教师：复杂的曲线可以通过建立适当的坐标系得到简单对称的曲线方程，如椭圆的标准方程，那么双曲线方程如何？12222=+by a x ()0>>b a 教师：我们用求曲线方程的一般步骤，类比于椭圆的标准方程推导过程，共同来推导双曲线的方程．第一步是——师生：建系设点教师：你准备如何建系？学生8：以F 1、F 2它们的中点为坐标原点，所在直线为x 轴，建立直角坐标系.设点M （x,y ）是双曲线上任一点，F 1(-c,0)，F 2(c,0)，教师：这样建系设点不仅满足双曲线的对称性，而且还使得所设未知数、参数尽可能少且具有直观性．很好．教师：第二步写出几何条件，第三步根据几何条件，以及两点间a MF MF 221±=-的距离公式列出方程，第四步化简方程．请同学a yc x y c x 2)()(2222±=+--++们类比于椭圆方程推导过程来完成（学生积极思考，认真演算）教师：（在学生讨论过程中）对于这个方程的化简，主要任务是去掉什么？学生：去根号学生9：先移项，再平方教师：含两个根式时，将一个移项，再平方学生9：再一次平方得：)()(22222222a c a y a x a c -=--教师：很好．在椭圆方程简化中我们也遇到了类似的一个方程，我们是怎么处理？师生：设字母b教师：我们引入一个字母b(b ＞0),使b 2=a 2 – c 2，因为椭圆中a 大于c ．我们能否也引入一个量，哪位同学出出主意？学生10：设=22a c -2b教师：双曲线中a 与c 关系？学生10：c 大于a教师：这个方法很可行，因为是一个正数，所以令=此时即可化简，22a c -22a c -2b 结果是——师生：12222=-by a x 教师：这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线焦点在X 轴上，其中，)0,(),0,(21c F c F -（板书）标准方程，焦点在x 轴上)0,0(12222>>=-b a bx a y教师：如果我们以F 1F 2所在的直线为y 轴，即焦点在y 轴上，它的标准方程怎样？学生：12222=-bx a y 教师：与椭圆中类似，由坐标变换思想，互换x,y 的位置即可得焦点在y 轴上的方程．（板书）焦点在y 轴上， )0,0(12222>>=-b a bx a y ),0(),,0(21c F c F -教师：标准方程形式上与椭圆类似，右边为1，左边为平方差的形式；而椭圆左边为和的形式．两个双曲线标准方程形式相似，但焦点的位置不同，如何判定焦点在哪条坐标轴上？判断下列双曲线方程焦点的位置① ② ③ ④ 13422=-y x 14322=-y x 14322=-x y 13422-=-y x 学生10：①②焦点在X 轴上，③④焦点在y 轴上．教师：④是标准方程吗？学生：不是标准方程．教师：你能不能将它化为标准方程学生10：同时乘-1，得就是方程③14322=-x y 教师：你能不能帮我们归纳一下，在双曲线标准方程中如何判断双曲线焦点在哪个坐标轴上？学生10：如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．教师：他给了我们一个判定双曲线焦点位置的方法，而椭圆标准方程中，通过比较a 、b 即分母大小，判定焦点的位置．教师：把双曲线标准方程与椭圆标准方程作一下比较．首先，从方程形式上看有什么不同？学生11：双曲线标准方程中距离差“-”，有别于椭圆中距离和“+”，教师：a 、b 、c 三者关系有什么不同？学生11：双曲线中c 2=a 2 +b 2 ,a>0，b>0；有别于椭圆方程中，c 2=a 2 -b 2 ,a>b>0教师：焦点位置判定方法不同（设计感悟：学生自行推导方程教师进行指导，又推导焦点在y 轴上的标准方程形式，进行区别，教师适时提出问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？从而突破难点，正确区别两个不同的标准方程形式．）教师：我们来做几个练习，熟悉双曲线的定义和标准方程．例1 填空题(1)已知双曲线方程，则①a= ,b= ,c= 116922=-y x ②焦点在 轴上，其坐标为 ，焦距为(2)如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么a= )0(114222>=+a a y x 12322=-y x 教师：先看第1题，快速作答．学生12：a=3, b=4，c=5,x 轴，（-5，0）（5，0），焦距为10教师：接着计算一下第（2）题学生13：a=19±教师：双曲线焦点在哪个轴上？学生13：在x 轴上．教师：等于多少？2c教师：在椭圆的焦点也应在X轴上，那么等于——2c学生13：=14-a22c教师：14-a2等于5，则a2为9，a等于3，因为a大于0（设计感悟：巩固双基，信息反缋）例3已知一动圆过定点M（-3，0）且与已知圆C：(x-3)2+y2=4相外切，求动圆圆心P的轨迹方程学生：（思考）教师：点P是动点，M点和C点是两个定点，且在X轴上对称的两点；圆P和圆C相外切，两圆相外切，能得到什么条件？师生：圆心距等于半径之和．教师：|PC|-|PM|=2即，P点到C点的距离之差是——学生：是常数教师：P点的轨迹是什么？学生：双曲线教师：我们跟踪一下它的轨迹来看一看（演示跟踪轨迹）教师：当我们知道曲线的属性，就可以用待定系数法求方程，关键是求a,b学生14：c=3, a=1, b2 =c2 -a2=8，P点的轨迹方程为1822=-yx教师：还需要什么条件？学生14：X＜0教师：要注意讨论轨迹的范围教师：我们利用双曲线的定义得到了它的方程．（设计感悟：更进一步的掌握双曲线的定义，用待定系数法求方程．）教师：双曲线与椭圆有区别又有联系，我们通过一个表格来比较异同点我们横向来填空．（教师与学生一起来完成表格）椭圆双曲线定义aMFMF221=+aMFMF221=-图形标准方程12222=+byax()0>>ba12222=+bxay()0>>ba12222=-byax()0,0>>ba12222=-bxay()0,0>>ba焦点坐标()0,cF±()cF±,0()0,cF±()cF±,0焦点位置与标准方程的关系比较分母大小若x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；若y2项的系数是正的，焦点在y轴上a、b、cc2=a2 -b2c2=a2 +b2关系（设计感悟：采用启发探求式数学方法，引导学生与椭圆方程类比完成，掌握两者的区别与联系，并认识到比较法是认识事物，掌握其实质的一种有效方法．）教师：本课我们通过模拟拉链实验，得出双曲线的定义，并与椭圆类比，得出双曲线的标准方程，以及方程中a、b、c的关系，同学们要注意使用类比的方法，依照椭圆中的探究思路来处理双曲线中的类似问题．（设计感悟：一方面让学生再次回顾过程，另一方面是对探索过程的再认识，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训．）设计理念1. 情景引入生活化热电厂冷凝通风塔的轮廓抽象、拉链动画实验都来源于学生熟悉的现实生活，给学生以亲切感，并让教材内容生动活泼，能创设良好的教学氛围．同时，让学生感知“数学来源于生活，又服务于生活”．2. 知识建构序进化以建构主义教育理论为指导．由旧知向新知不断类比，在探究中不断发现新问题，解决新问题．体现了层层递进的知识同化过程．例题习题由易到难，循序渐进．3. 学习过程自主化创设良好的问题情境．在教师调控下，让学生去探究、讨论、演算，形成“我问”、“我猜想”、“我动手”、“我判断”的自主意识和学习行为．培养学生主动面对各种困难的信心和勇气，以及分析问题、解决问题的能力和方法．4. 电脑课件实用化本课制作课件分四块．有很好的实用价值，真正起到了突破重难点，引导学生探究、发现，激发学习兴趣，增大容量，充实信息，促进理解的作用．课件的使用，很大程度上改变了以往单一教学方式和学习方式，提高了课堂教学效益．。

双曲线及其标准方程教学设计(教案)一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。

2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其求法。

3. 培养学生运用双曲线解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程3. 双曲线方程的求法4. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其求法。

2. 教学难点：双曲线方程的求法及其应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质与标准方程。

2. 利用数形结合法，让学生直观地理解双曲线的特点。

3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：简要介绍双曲线的起源和发展，激发学生的学习兴趣。

2. 自主学习：让学生通过阅读教材，了解双曲线的定义与性质。

3. 课堂讲解：讲解双曲线的标准方程及其求法，引导学生掌握关键步骤。

4. 例题分析：分析典型例题，让学生学会运用双曲线方程解决实际问题。

5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用。

7. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固双曲线及其标准方程的知识。

六、教学评价：1. 评价学生对双曲线定义和性质的理解程度。

2. 评价学生是否能熟练掌握双曲线的标准方程及其求法。

3. 评价学生是否能运用双曲线方程解决实际问题。

七、教学资源：1. 教材：双曲线及其标准方程相关章节。

2. 课件：双曲线图像、性质和标准方程的示例。

3. 练习题：涵盖双曲线定义、性质、标准方程及应用的题目。

八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍双曲线定义与性质。

2. 第二课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。

3. 第三课时：例题分析与实际应用。

4. 第四课时：巩固练习与课堂小结。

九、教学反思：1. 反思教学方法是否有效，学生是否能积极参与。

2. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。

双曲线及其标准方程<一>彭山杨树1．双曲线(1)定义平面内与两个定点F1，F2的距离的等于常数( 且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．(2)双曲线的集合描述设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．2．双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点坐标a，b，c的关系1．判一判(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b.()(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB<0)．() 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)假设双曲线x24－y216＝1上一点M到左焦点的距离为8，则点M到右焦点的距离为________．(2)双曲线x2－4y2＝1的焦距________．(3)双曲线的两焦点坐标是F1(0,3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．(4)以下方程表示焦点在y轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x2－y22＝1；②x2a＋y22＝1(a<0)；③y2－3x2＝1；④x2cosα＋y2sinα＝1⎝⎛⎭⎪⎫π2<α<π.探究1双曲线标准方程的认识例1方程x2k－5－y2|k|－2＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是()A．k>5 B．k>5或－2<k<2 C．k>2或k<－2 D．－2<k<2【跟踪训练1】命题p：方程x22m－y2m－6＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程x2m＋1＋y2m－1＝1表示双曲线．(1)假设命题p为真命题，求m的取值范围；(2)假设命题q为假命题，求m的取值范围；(3)假设命题p或q为真命题，且命题p且q为假命题，求m的取值范围．探究2双曲线的标准方程例2求满足以下条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，325，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点； (2)两焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，且过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫352，2.【跟踪训练2】 求适合以下条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－4103； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)； (3)与椭圆x 225＋y 25＝1有共同焦点，且过点(32，2)的双曲线的方程．探究3 双曲线定义的应用例3 如图，假设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)假设双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)假设P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[条件探究] 假设例3条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”改成“|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5”，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．.【跟踪训练3】 (1)P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝17，求|PF 2|的值．作业1：1．设θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则关于x ，y 的方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆2．双曲线x 216－y 29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(－5,0)，(5,0)C ．(0，－5)，(0,5)D ．(0，－7)，(0，7)3．双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m4．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是____________．5．双曲线的两个焦点F 1，F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．双曲线及其标准方程<一>1．双曲线 (1)定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的□01差的绝对值等于常数(□02小于|1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的□03焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的□04焦距．(2)双曲线的集合描述设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．2．双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程□05x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)□06y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)焦点坐标F1□07(－c,0)；F2□08(c,0)F1□09(0，－c)；F2□10(0，c) a，b，c的关系c2＝a2＋b21．对双曲线定义中关键词的理解(1)假设将“小于|F1F2|〞改为“等于|F1F2|〞，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．假设将其改为“大于|F1F2|〞，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．(2)假设将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹成为双曲线的一支．(3)假设将“等于非零常数〞改为“等于零〞，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．2．对双曲线标准方程中参数的理解(1)c2＝a2＋b2，c>a>0，其中c最大，可以a＝b，a<b，a>b，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形〞．(2)方程中的两个参数a与b，确定双曲线的形状和大小，是双曲线的定型条件，焦点F1，F2的位置，是双曲线的定位条件，它决定双曲线标准方程的类型．(3)方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件是：ABC≠0，且AB<0，假设AC>0，则焦点在x轴上；假设AC<0，则焦点在y轴上．1．判一判(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b.()(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB<0)．() 答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)假设双曲线x24－y216＝1上一点M到左焦点的距离为8，则点M到右焦点的距离为________．(2)双曲线x2－4y2＝1的焦距________．(3)双曲线的两焦点坐标是F1(0,3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．(4)以下方程表示焦点在y轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x 2－y 22＝1；②x 2a ＋y 22＝1(a <0)；③y 2－3x 2＝1；④x 2cos α＋y 2sin α＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π.答案 (1)4或12 (2)5 (3)y 25－x24＝1 (4)②③④探究1 双曲线标准方程的认识例1 方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．k >5B ．k >5或－2<k <2C ．k >2或k <－2D ．－2<k <2[解析] ∵方程对应的图形是双曲线，∴(k －5)(|k |－2)>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ k －5>0，|k |－2>0或⎩⎪⎨⎪⎧k －5<0，|k |－2<0. 解得k >5或－2<k <2. [答案] B 拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假设双曲线的方程为x 2m ＋y 2n ＝1，则当mn <0时，方程表示双曲线．假设⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；假设⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．【跟踪训练1】 命题p ：方程x 22m －y 2m －6＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：方程x 2m ＋1＋y 2m －1＝1表示双曲线．(1)假设命题p 为真命题，求m 的取值范围； (2)假设命题q 为假命题，求m 的取值范围；(3)假设命题p 或q 为真命题，且命题p 且q 为假命题，求m 的取值范围．解(1)据题意⎩⎪⎨⎪⎧m －6<0，2m >0，－(m －6)>2m ，解之得0<m <2；故命题p 为真命题时m 的取值范围为(0,2)．(2)假设命题q 为真命题，则(m ＋1)(m －1)<0，解得－1<m <1，故命题q 为假命题时m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(3)由题意，命题p 与q 一真一假，从而当p 真q 假时有⎩⎪⎨⎪⎧0<m <2，m ≤－1或m ≥1.解得1≤m <2；当p 假q 真时有⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0或m ≥2，－1<m <1.解得－1<m ≤0；故m 的取值范围是(－1,0]∪[1,2)．探究2 双曲线的标准方程例2 求满足以下条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，325，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点； (2)两焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，且过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫352，2.[解] (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3252b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4372a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19(不符合题意，舍去)．当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫3252a 2－4b2＝1，42a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4372b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)由可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，代入点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫352，2可得454a 2－4b 2＝1，① 又a 2＋b 2＝25，②由①②联立可得a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线方程为x 29－y 216＝1. [解法探究] 例2(1)有没有其他解法呢？解 ∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵M ，N 在双曲线上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19，∴所求双曲线方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.拓展提升利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)．(3)寻关系：根据条件列出关于a ，b ，c (m ，n )的方程组．(4)得方程：解方程组，将a ，b ，c (m ，n )代入所设方程即为所求．【跟踪训练2】 求适合以下条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－4103； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)；(3)与椭圆x 225＋y 25＝1有共同焦点，且过点(32，2)的双曲线的方程．解 (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b 2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b 2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9，∴所求双曲线的标准方程为y 216－x29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.(3)∵x 225＋y 25＝1的焦点坐标为(－25，0)，(25，0)，由题意得，所求双曲线的焦点坐标为(±25，0)，设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 220－a2＝1， 又(32，2)在双曲线上，∴18a 2－220－a 2＝1，得a 2＝20－210，∴所求的双曲线方程为x 220－210－y 2210＝1.探究3 双曲线定义的应用例3 如图，假设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)假设双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)假设P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.由于c －a ＝5－3＝2,10>2,22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.[条件探究] 假设例3条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”改成“|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5”，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．解 由|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5，|PF 2|－|PF 1|＝6，可知|PF 2|＝10，|PF 1|＝4，∴S △F 1PF 2＝12×4×46＝8 6.拓展提升双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，假设该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；假设该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有①定义：|r 1－r 2|＝2a .②余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ.③面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【跟踪训练3】 (1)P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝17，求|PF 2|的值．解 由双曲线方程x 264－y 236＝1可得a ＝8，b ＝6，c ＝10，由双曲线的图象可得点P 到右焦点F 2的距离d ≥c －a ＝2，因为||PF 1|－|PF 2||＝16，|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1(舍去)，或|PF 2|＝33.(2)双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，假设双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，则S △F1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.1.双曲线的定义中，一定要注意的几点(1)前提条件“平面内〞不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了. (2)不可漏掉定义中的常数小于|F 1F 2|，否则，当2a ＝|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 表示两条射线；当||PF 1|－|PF 2||>2a 时，不表示任何图形.(3)不能丢掉绝对值符号，假设丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支. 2.求双曲线的标准方程时，应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置.(2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形〞“定式〞和“定量〞三个方面去考虑．“定形〞是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式〞是根据“形〞设双曲线标准方程的具体形式；“定量〞是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值.1．设θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则关于x ，y 的方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆 答案 B解析 由题意，知x 2sin θ－y 2－cos θ＝1，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以sin θ＞0，－cos θ＞0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线．应选B.2．双曲线x 216－y 29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(－5,0)，(5,0)C ．(0，－5)，(0,5)D ．(0，－7)，(0，7) 答案 B解析 由双曲线的标准方程可知a 2＝16，b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，故c ＝5.又焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)．3．双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m 答案 B解析 ∵A ，B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a .∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m .∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m .4．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是____________．答案 x 22－y 2＝1解析 解法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b 2＝1.又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.解法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.5．双曲线的两个焦点F 1，F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．解 假设以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式，即x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得2a ＝24,2c ＝26.∴a ＝12，c ＝13，b 2＝132－122＝25.双曲线的方程为x 2144－y 225＝1；假设以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系．则双曲线的方程为y 2144－x 225＝1.。

双曲线及其标准方程教学设计(教案)第一章：双曲线的概念引入1.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的起源和发展历程。

(2) 通过实例让学生感受双曲线的几何性质。

1.2 教学内容：(2) 双曲线的历史：介绍双曲线在数学、天文学和物理学等领域的应用，让学生了解双曲线的重要性。

(3) 双曲线的图形展示：利用多媒体展示双曲线的图形，让学生感受双曲线的美丽和神秘。

1.3 教学方法：(1) 实例分析：通过具体的例子，让学生感受双曲线的特点。

(3) 多媒体展示：利用多媒体展示双曲线的图形，增强学生的直观感受。

第二章：双曲线的标准方程2.1 教学目标：(1) 使学生掌握双曲线的标准方程及其实际应用。

(2) 培养学生利用双曲线标准方程解决实际问题的能力。

2.2 教学内容：(1) 双曲线的标准方程：介绍双曲线标准方程的推导过程，让学生理解并掌握双曲线标准方程。

(2) 双曲线标准方程的应用：通过实例，让学生了解双曲线标准方程在实际问题中的应用。

2.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线标准方程的推导过程，利用图形演示双曲线标准方程的特点。

(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线标准方程的应用。

(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线标准方程的计算，分组讨论解决问题。

第三章：双曲线的性质3.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的基本性质。

(2) 培养学生利用双曲线性质解决实际问题的能力。

3.2 教学内容：(1) 双曲线的性质：介绍双曲线的几何性质，如渐近线、离心率等。

(2) 性质的应用：通过实例，让学生了解双曲线性质在实际问题中的应用。

3.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线的性质，利用图形演示性质的特点。

(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线性质的应用。

(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线性质的计算，分组讨论解决问题。

第四章：双曲线方程的求解4.1 教学目标：(1) 使学生掌握求解双曲线方程的方法。

双曲线及其标准方程（第一课时）（一）教学目标掌握双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程，能根据条件求简单的双曲线标准方程．（二）教学教程【复习提问】由一位学生口答，教师板书．问题1：椭圆的第一定义是什么？问题2：椭圆的标准方程是怎样的？【新知探索】1．双曲线的概念如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程双是怎样的呢？（1）演示如图，定点、是两个按钉，是一个细1F 2F MN 套管，点移动时，是常数，这样就M 21MF MF -画出双曲线的一支，由是同一个常数，12MF MF -可以画出双曲线的另一支．这样作出的曲线就叫做双曲线．（2）设问①定点、与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？1F 2F M 请学生回答，不能．指出必须“在平面内”．②到与两点的距离的差有什么关系？M 1F 2F 请学生回答，到与的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，即M 1F 2F 是一个常数．21MF MF -③这个常是否会大于或等？21F F 请学生回答，应小于且大于零．当常数时，轨迹是以、为端点的21F F 21F F =1F 2F 两条射线；当常数时，无轨迹．21F F >（3）定义在此基础上，引导学生概括出双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫1F 2F 21F F做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导．（1）建系设点取过焦点、的直线为轴，线段的垂直平1F 2F x F F 1分线为轴建立在直角坐标系（如图）．y 设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为()y x M ，，则、，又设点与、()02>c c ()01，c F -()02，c F M 1F 的距离的差的绝对值等于常数．2F ()c a a 222<（2）点的焦合由定义可知，双曲线上点的集合是}{a MF MF M P 221=-=（3）代数方程()()ay c x y c x 22222=+--++（4）化简方程由一位学生演板，教师巡视，将上述方程化为()()ay c x y c x 22222±=+--++移项两边平方后整理得：()222y c x aa cx +-±=-两边再平方后整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--由双曲线定义知即，∴，a c 22>a c >022>-a c 设代入上式整理得：()0222>=-b b a c ()0012222>>=-b a by a x ，这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是x 、，这里．()01，c F -()02，c F 222b a c +=如果双曲线的焦点在轴上，即焦点，，可以得到方程y ()c F -，01()c F ，02()0012222>>=-b a bx a y ，这个方程也是双曲线的标准方程．教师应当指出：（1）双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有“差”，则方程“－”号连接，（2）双曲线方程中，，但不一定大于；0>a 0>b a b （3）如果的系数是正的，那么焦点在轴上，如果的系数是正的，那么焦点在2x x 2y 轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置；y （4）双曲线标准方程中、、的关系是，不同于椭圆方程中a b c 222b ac +=．222b a c -=【例题分析】例1 说明：椭圆与双曲线的焦点相同．192522=+y x 151522=-y x 由一位学生板演完成，答案都是．()04，±例2 已知两点、，求与它们的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方()051，-F ()052，F 程．如果把上面的6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？由教师讲解解：按定义，所求点的轨迹是以、为焦点的双曲线．1F 2F 这里，，∴故所求双曲线的方程为3=a 5=c 16925222=-=-=a c b 116922=+y x 若，则且，所以动点无轨迹．122=a 102=c c a 22>（三）随堂练习1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．（1），；4=a 3=b （2）焦点（0，－6），（0，6），经过点（2，－5）．2．已知方程，求它的焦点坐标．()n m m n m ny mx +<<+=+0223．已知方程表示双曲线，求的取值范围．11222=+-+m y m x m 答案：1．（1）或；（2）；2．191622=-y x 191622=-x y 1162022=-x y ；3．或⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±mn n m 220，2-<m 1->m（四）总结提炼1．双曲线定义(){}212122F F a a MF MF m<=-（，为定点，为常数）1F 2F a 图形标准方程()0012222>>=-b a b y a x ，()0012222>>=-b a bx a y ，焦点坐标，()01，c F -()02，c F ，()c F -，01()c F ，02，，关系a b c ()00222>>>>+=b c a c b a c ，2．双曲线的标准方程可统一写成．若，表示焦()0122>=-AB By Ax 0>A 0>B 点在轴上的双曲线，若，则表示焦点在轴上的双曲线．x 0<A 0<B y （五）布置作业1．已知平面上定点、及动点，命题甲：“（为常1F 2F M a MF MF 221=-a 数）”，命题乙：“点轨迹是、为焦点的双曲线”，则甲是乙的（）M 1F 2F A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知，，，当和5时，点的轨迹为()50-，A ()50，B a PB PA 2=-3=a P （ ）A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和二条射线C ．双曲线一支和一条直线D ．双曲线一支和一条射线3．双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于1，则点到另一焦064422=+-y x P P 点的距离等于___________；若到它的一个焦点的距离等于17，则点到另一焦点的距P P 离等_____________．4．如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么14222=+a y x 1222=-y a x __________=a．5．已知方程15422=+++ay a x （1）为何值时方程表示双曲线；a （2）证明这些双曲线有共同焦点．6．已知双曲线的一个焦点坐标为，双曲线上一点到两焦点距离之差的绝()1301-，F P 对值为24，求双曲线的标准方程．答案：1．B ； 2．D ； 3．17，1或33；4．1；5．，当时，方程表示双曲线．方程可表示45-<<-a 45-<<-a 15422=+++a y a x 为，焦点坐标为（0，±1）．14522=+-+ax a y 1452=--+=a a c 6．．12514422=-x y （六）板书设计双曲线及其标准方程（一）（一）复习提问问题1问题2（二）双曲线的概念1演示2设问3定义（三）双曲线的标准方程1．标准方程的推导2．说明（四）例题与练习例1例2练习（五）小结。

《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义和性质。

2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其应用。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 双曲线的定义与性质定义：双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。

性质：双曲线是中心对称图形，具有对称性、渐进线等性质。

2. 双曲线的标准方程形式：\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0, b > 0\)）焦点：\((\pm c, 0)\)，其中\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)实轴：\(x = \pm a\)虚轴：\(y = \pm b\)渐近线：\(y = \pm\frac{b}{a}x\)三、教学重点与难点1. 重点：双曲线的定义、性质和标准方程。

2. 难点：双曲线标准方程的推导和应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质和标准方程。

2. 利用数形结合法，直观展示双曲线的几何特征。

3. 运用实例分析法，让学生学会解决实际问题。

五、教学安排1. 第一课时：介绍双曲线的定义与性质。

2. 第二课时：推导双曲线的标准方程。

3. 第三课时：应用双曲线的标准方程解决实际问题。

4. 第四课时：巩固练习，拓展提高。

教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。

六、教学策略1. 利用多媒体课件，展示双曲线的图形，增强学生对双曲线几何形状的认识。

2. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握双曲线的标准方程。

3. 组织小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。

七、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度。

2. 练习题：评价学生运用双曲线标准方程解决实际问题的能力。

3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现和解决问题的能力。

八、教学反馈1. 课堂讲解：通过提问、回答问题等方式，了解学生对双曲线知识点的掌握情况。

双曲线及其标准方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其求法；（3）能够运用双曲线及其标准方程解决相关问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳双曲线的性质，提高学生的逻辑思维能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生理解双曲线的标准方程的求法；（3）培养学生的动手实践能力，提高学生解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神；（2）培养学生合作交流的能力，提高学生的团队协作意识；（3）培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其求法。

2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求法；（2）运用双曲线及其标准方程解决实际问题。

三、教学方法1. 情境导入法：通过展示与双曲线相关的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生进入学习状态。

2. 讲授法：系统讲解双曲线的定义、性质及其标准方程，使学生掌握双曲线的基本知识。

3. 案例分析法：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题，提高学生的实践能力。

4. 小组讨论法：组织学生分组讨论，培养学生的合作精神和团队意识。

四、教学过程1. 导入新课：展示与双曲线相关的实际问题，引导学生关注双曲线在实际生活中的应用。

2. 讲解双曲线的定义及其性质：结合图形，讲解双曲线的定义，引导学生理解双曲线的性质。

3. 讲解双曲线的标准方程：引导学生观察双曲线的性质，引导学生归纳出双曲线的标准方程。

4. 案例分析：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题。

5. 小组讨论：组织学生分组讨论，探讨双曲线及其标准方程在实际问题中的应用。

五、课后作业1. 复习双曲线的定义及其性质；2. 复习双曲线的标准方程及其求法；3. 完成课后练习题，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对双曲线定义及其性质的理解程度。