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2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式：台体的体积公式(123h V S S =++，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|20M x R x x =∈+=，{}2|20N x R x x =∈-=，则M N =（ ）（A ）{}0 （B ）{}0,2 （C ）{}2,0- （D ）{}2,0,2-2．定义域为R 的四个函数3y x =，2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是（ ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）13．若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）（A ）()2,4 （B ）()2,4- （C ）()4,2- （D ）()4,24．已知离散型随机变量X 的分布列如右表，则X 的数学期望()E X =（ ） （A ）32 （B ）2 （C ）52（D ）3 5．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（ ）（A ）4 （B ）143 （C ）163（D ）6 6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） （A ）若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥（B ）若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n （C ）若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥（D ）若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ，离心率等于，则C 的方程是（ ） （A）2214x -= （B ）22145x y -= （C ）22125x y -= （D）2212x = 8．设整数4n ≥，集合{}1,2,,X n =。
令集合(){,,|,,S x y z x y z X =∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立｝，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（ ）（A ）(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉ （B ）(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈（C ）(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ （D ）(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∉二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解【详解提供】广东佛山市南海区南海中学 钱耀周参考公式:台体的体积公式()1213VS S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N = {}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ． 3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442i z i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ．4．已知离散型随机变量X 的分布列为则X E X =A .32B ．2C ．52D ．3【解析】A ；33115312351010102E X =⨯+⨯+⨯==,故选A ．5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．6【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,,故选B ．6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．正视图俯视图侧视图第5题图7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A .2214x-= B ．22145xy-= C ．22125xy-=D ．2212x-=【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S=∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-. 10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-.11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==； 第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.【解析】20；依题意12910a d +=,所以()571113346a a a d a d +=+++ 或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定条不同的直线..AED CBO第15题图1 7 92 0 1 53 0第17题图【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为s x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭15. (几何证明选讲选做题)如图,A B 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长B C 到D 使B C C D =,过C 作圆O 的切线交A D 于E .若6A B =,2E D =,则B C =_________.【解析】A B C C D E ∆∆ ,所以A B B C C DD E=,又B C C D =,所以212B CA B D E =⋅=,从而B C =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()s 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3co s 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【解析】(Ⅰ)s s s1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 2s 2s 2co s 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3co s 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin co s 25θθθ==-,227co s 2co s sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率.C D OBE'AH【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形A B C 中,90A ∠=︒,6BC=,,D E 分别是,A C A B 上的点,C D B E ==O 为B C 的中点.将A D E ∆沿D E 折起,得到如图2所示的四棱锥A B C D E '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面B C D E ；(Ⅱ) 求二面角A C D B '--的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,O C A C A D === 连结,O DO E ,在O C D ∆中,由余弦定理可得O D==由翻折不变性可知A D '=所以222A O O D A D ''+=,所以A O O D '⊥,理可证A O O E '⊥, 又O D O E O = ,所以A O '⊥平面B C D E . (Ⅱ) 传统法:过O 作O H C D ⊥交C D 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面B C D E ,所以A H C D '⊥, 所以A H O '∠为二面角A C D B '--的平面角. 结合图1可知,H 为A C 中点,故2O H =从而2A H'==所以co s 5O H A H O A H'∠=='所以二面角A C D B '--.向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(0,0,A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(0,3,C A '=,(1,D A '=-设(),,n x y z = 为平面A C D '的法向量,则 00n C A n D A ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,1,n =- .CO BD EA CDOB'A图1图2由(Ⅰ) 知,(0,0,O A '=为平面C D B 的一个法向量,所以co s ,5n O A n O A n O A '⋅'===',即二面角A C D B '--的平面角的余弦值为5.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n+=---,*n ∈N .(Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174na a a +++<.【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =；(Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S n a n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a n a n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a n a n n ++=-+,即111n n a a n n+-=+,又21121a a -=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n =+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111na nn nn n=<=---此时222121111111111111111434423341n a a a nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244nn=++-=-<综上,对一切正整数n ,有1211174na a a +++< .20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,P A P B ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线A B 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求A F B F ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,P A P B 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线P A 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线P B 的方程为22220x x y y --=因为切线,P A P B 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线A B 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11A F y =+,21B F y =+, 所以()()()121212111A F B F y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121A F B F y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+, 所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, A F B F ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x xf x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞.(Ⅱ) ()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k kk-'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}3m ax 0,m ax 1,1kM f f k k e k==---令()()311k h k k e k =--+,则()()3kh k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎛⎫⋅=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=->⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.。
