浅析导数应用的几例误区

导数在高中数学中的应用误区万琨摘要: 导数是高中数学新增内容,它是中学数学与高等数学的连接点,所以学好导数有利于高中毕业生进入高等学府后的再教育。

但是从每年的高考试题分析来看,相当一部分的学生在有关导数的试题上失分较多，实际上这些试题并不太难.原因在哪里呢？本文试图对近几年出现的一些具体题型加以分析。

关键词: 导数; 误区; 极值; 最值; 单调性1.引言导数的思想最初是由法国著名的数学家费马为研究极值问题提出来的。

微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分。

一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用。

另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的。

在上个世纪，导数曾经编入中学数学教材，但是由于教育改革，步入上个世纪九十年代，导数在中学数学教材中又删去了。

但是我们知道导数对于考察同学们的数学思维有着其他高中数学内容所无法替代的作用。

因此随着时代的发展，随着经建设的日益提高、随着高校对人才的选拔需、随着新课程改革的进一步深入、随着西方的现代教育思想的引如、随着体现教育以人为本的思想、导数又重新选编入中学数学教材。

它的选如恰似一股春风吹如人的心田，使人清爽气颐、它的选入犹如犹如长期处于黑暗之中的人见到光明一样，心中充满期待与高兴，它的选入犹如一股新鲜的血液注入人的体内，使人精神焕发，朝气蓬勃。

导数是高中数学和高等数学衔接的纽带，它有利于克服中学数学与高等数学脱节的现象，有利于克服中学尖子生进入高校后对数学产生厌恶之感的现象，使进入高校的新生不在对高等数学有畏惧的心理。

导数作为新内容引入中学数学教材，使广大师生、教研员、命题爱好者为之精神振奋。

尽管它属于高三选修的内容，但因为它对考察学生的数学思维具有积极的推动的作用，因此有关导数的一类新题型深受命题者的青睐。

新课标下高中数学概念教学---导数中的易混概念例析导数是高中数学新课程新增的重点内容，也是近年高考命题的热点内容。

导数在求函数的单调性、极值、最值以及求曲线的切线斜率等方面，有着广泛的应用，但在实际应用时常会出现一些误区。

本文对导数应用常见的错解进行分类剖析，仅供参考。

关键词：导数 错解 剖析一、对导数的定义理解不透彻例1．已知函数63241)(34+-=x x x f ，则x f x f x ∆-∆+→∆2)1()1(lim 0等于（ ）。

A.1- B.0 C.21- D.2 错解：由23'2)(x x x f -=，得原式1)1('-==f ，从而答案应选A. 剖析：导数的定义式xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )(00000'表示函数在0x 处的导数，即函数在0x 处的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于0时的极限，分子与分母中变量增量必须保持一致。

正解：⨯=∆-∆+→∆212)1()1(lim 0x f x f x 21)1(211)1()1()1(lim '0-==-∆+-∆+→∆f x f x f x ，即应选C 。

二、对导数的几何意义理解有误例2．求曲线33:x x y C -=过点)2,2(-A 的切线方程。

错解：因点A 在曲线C 上，所以过A 点的切线斜率9)2('-==f k ，所以过点A 的切线方程是)2(92--=+x y ，即0169=-+y x 。

剖析：导数的几何意义是：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率。

解题过程遗漏了切线方程02=+y 。

原因是把过点A 的切线理解成在点A 处的切线，认为切线是和曲线仅有一个公共点的直线。

正解：设切点为),(00y x M ，则过点M 处的切线方程是))(33(0200x x x y y --=-，因为A 在直线上，所以)2)(33(20200x x y --=--①，又因为M 在曲线C 上，所以30003x x y -=②，由①②得，20=x 或10-=x 。

ʏ贵州省遵义市第四中学 刘德文长期以来,高中数学中导数板块的内容都是同学们学习的痛点㊂虽说运用导数解决问题是一种十分优美的方式,但是不少同学在实际解题过程中会出现因为对导数的工具性认识不足,理解不够透彻,掉进命题人设置的各种各样的陷阱里面,进而造成在考试中出现失分的现象㊂针对上述情况,本文从以下八个容易出现错误的题型入手,分析常见错解情况,再剖析同学们出错的原因,最后给出正确解答,从而帮助大家一起厘清概念,精准理解,高效解题㊂易错点一㊁对导数定义理解不清例1 已知函数f (x )=14x 4-23x 3+6,则l i m Δx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx=( )㊂A.-1 B .0 C .-12D .2错解:因为f '(x )=x 3-2x 2,所以l i mΔx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx =f '(1)=-1㊂故选A ㊂错因分析:该题致错的主要原因在于同学们未能准确理解函数在某点处的导数的含义,实际上,最原始的导数表达式为f '(x )=l i m Δx ң0Δy Δx =l i mΔx ң0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ,自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy 必须对应一致㊂正解:因为f '(x )=x 3-2x 2,所以l i mΔx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx=l i mΔx ң012㊃f (1+Δx )-f (1)(1+Δx )-1=12f '(1)=-12㊂故选C ㊂易错点二㊁忽略函数的定义域例2 函数f (x )=x +4x-3l n x 的单调递减区间是( )㊂A.(-1,4) B .(0,1)C .(4,+ɕ) D .(0,4)错解:对f (x )求导得f '(x )=1-4x2-3x =(x +1)(x -4)x 2,令f '(x )<0,解得-1<x <4,所以函数f (x )的单调递减区间是(-1,4)㊂故选A ㊂错因分析:求函数的单调递增区间时,由f'(x )>0解出x ,再与定义域求交集才是函数的单调递增区间;求函数的单调递减区间时,由f '(x )<0解出x ,再与定义域求交集才是函数的单调递减区间㊂同学们要牢记函数单调区间的求法,一定要定义域优先㊂正解:前面同错解得-1<x <4㊂又因为函数f (x )的定义域是(0,+ɕ),所以函数f (x )的单调递减区间是(0,4)㊂故选D ㊂易错点三㊁误以为导数不存在,切线就不存在例3 函数y =3x 2的图像在点(0,0)处的切线方程为㊂错解1:由已知得y '=23x -13,易知函数在x =0处的导数值不存在,所以曲线在该点处没有切线㊂错解2:由已知得y '=23x -13,易知函数在x =0处的导数值不存在,所以曲线在该点处的切线为y =0㊂错因分析:错解1主要是未能厘清导数与切线㊁切线斜率之间的关系,误以为导数不存在,切线就不存在;错解2考生混淆切线斜率为0与斜率不存在㊂实际上,大家要准确理解斜率不存在,可以理解为该切线为x =x 0,结合过原点(0,0),其实切线方程就是x 42 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.=0㊂正解:由已知得y'=23x-13,易知函数在x=0处的导数值不存在,所以曲线在该点处的切线的斜率不存在,即函数y=3x2的图像在点(0,0)处的切线方程为x=0㊂易错点四㊁对曲线切线的定义理解有误例4已知曲线C:y=f(x)=13x3+ 43,曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y= 4x-4㊂试问:该切线与曲线C是否还有其他公共点若有,求出公共点的坐标;若没有,请说明理由㊂错解:由于直线y=4x-4与曲线C相切,因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点㊂错因分析:对于圆㊁椭圆等封闭的几何图形来说, 切线与曲线有唯一公共点 ,就是说直线与这些曲线的交点只有切点,没有其他点,但对一般曲线来说是不一定成立的,同学们可以画出三次函数的草图试一试㊂正解:联立y=4x-4,y=13x3+43,消去y整理得x3-12x+16=0,即(x-2)(x2+2x-8) =0,即(x-2)2(x+4)=0,解得x=2或x=-4,所以交点的坐标为(2,4),(-4, -20),所以该切线与曲线的公共点除了切点还有点(-4,-20)㊂易错点五㊁混淆单调区间为D与在区间D上单调例5已知函数f(x)=l n x+x2+a x 的单调递减区间为12,1,则()㊂A.aɪ(-ɕ,-3]B.a=3C.a=-3D.aɪ(-ɕ,3]错解:因为函数的单调递减区间为12,1,所以f'(x)=1x+2x+aɤ0在12,1上恒成立,即aɤ-1x+2x m i n,易知y=1x+2x在12,22上单调递减,在22,1上单调递增,故y=1x+2x的最大值在端点处取得,计算可知最大值为f(1)=3,所以aɤ-3㊂故选A㊂错因分析:未能准确理解 函数的单调区间为D 与 函数在区间D上单调 两者的区别㊂准确来说,函数在区间D上单调,函数的单调区间不一定就是D㊂错解求出的结果实为函数在区间12,1上单调递减时的答案㊂若函数f(x)=l n x+x2+a x存在单调递减区间,则存在实数x,使得f'(x)=1x+2x+a<0,即a<-1x+2xm a x=-22㊂正解:因为数的单调递减区间为12,1,所以f'(x)=1x+2x+a=0的两个根为12和1㊂代入方程,解得a=-3㊂故选C㊂易错点六㊁误以为导数为0的点一定取得极值例6已知函数f(x)=x3+3m x2+n x+m2在x=-1处取得极值0,则m+n=()㊂A.4B.11C.4或11D.3或9错解:对f(x)求导得f'(x)=3x2+6m x+n,则f'(-1)=0,f(-1)=0,即3-6m+n=0,-1+3m-n+m2=0,解得m=1,n=3,或m=2,n=9,所以m+n=4或11㊂故选C㊂错因分析:若函数在x=x0可导,则f'(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的必要条件,而非充要条件㊂如y=x3在x=0处的导数值为0,但0不是该函数的极值点㊂因此,需要将求出的m㊁n的值代入导函数中检验㊂正解:对f(x)求导得f'(x)=3x2+52解题篇易错题归类剖析高考数学2023年5月Copyright©博看网. All Rights Reserved.6m x +n ,则f'(-1)=0,f (-1)=0,即3-6m +n =0,-1+3m -n +m 2=0, 解得m =1,n =3,或m =2,n =9㊂当m =1,n =3时,f '(x )=3x 2+6x +3=3(x +1)2ȡ0,函数f (x )在R 上单调递增,与函数f (x )在x =-1处取得极值0矛盾,不合题意,舍去;当m =2,n =9时,f'(x )=3x 2+12x +9=3(x +1)(x +3),函数在x =-1处取得极小值0,符合题意,所以m +n =11㊂易错点七㊁混淆极值与最值例7 求函数f (x )=x 3-2x 2+x 在[-3,3]上的最值㊂错解:对f (x )求导得f '(x )=3x 2-4x+1=(3x -1)(x -1)㊂令f '(x )=0,解得x =1或x =13㊂因为f (1)=0,f13=427,所以函数f (x )的最大值为427,最小值为0㊂错因分析:函数并不一定在极值点处取最值,最值是针对函数的整个区间而言,是整体性质,而极值是局部性质,是两个不同的概念㊂对于闭区间而言,需要将极值与端点处的函数值进行比较,才能得出函数的最值㊂正解:对f (x )求导得f '(x )=3x 2-4x+1=(3x -1)(x -1)㊂令f '(x )=0,解得x =1或x =13㊂因为f (1)=0,f 13=427,f (-3)=-48,f (3)=12,所以函数f (x )的最大值为12,最小值为-48㊂易错点八㊁对极值理解有偏差例8 已知函数f (x )=exx+k (l n x -x ),若x =1是函数f (x )的唯一极值点,则实数k 的取值范围是( )㊂A.(-ɕ,e ] B .(-ɕ,e)C .(-e ,+ɕ) D .[-e ,+ɕ)错解:对f (x )求导得f '(x )=e x(x -1)x2+k 1x -1=x -1x e xx-k㊂因为f (x )有唯一极值点x =1,所以f '(x )=0有唯一根x =1,所以exx-k =0无解,即y =k 与g (x )=e xx 无交点㊂令g '(x )=e x(x -1)x2=0,解得x =1㊂当x ɪ(0,1)时,g '(x )<0,g (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,g'(x )>0,g (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以g (x )m i n =g (1)=e ,所以k <e ㊂故选B ㊂错因分析:首先,f (x )有唯一极值点x =1并不能说明f '(x )=0有唯一根x =1,因为可能会存在两侧导数不变号的根,此时的根并不是极值点;其次,若x =1是函数f (x )的唯一极值点,并不能推出exx-k =0无解,因为可能还会存在exx-k =0有解且解为x =1的情况,所以需要进行分类讨论;最后,并没有检验在x =1的两侧导数是否变号㊂正解:对f (x )求导得f '(x )=e x(x -1)x 2+k1x-1=x -1x e xx -k㊂(1)若方程exx-k =0有解,则方程的解为x =1,解得k =e ,此时f '(x )=x -1x ㊃exx-e㊂当x ɪ(0,1)时,f '(x )<0,f (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,f '(x )>0,f (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以x =1是函数f (x )的极小值点㊂(2)若方程exx-k =0无解,则y =k 与g (x )=exx无交点㊂令g '(x )=e x(x -1)x2=0,解得x =1㊂当x ɪ(0,1)时,g '(x )<0,g (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,g '(x )>0,g (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以g (x )m i n =g (1)=e ,所以k <e ㊂综上所述,k ɤe㊂故选A ㊂(责任编辑 王福华)62 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

导数常见错误剖析作者：刘宇琪来源：《高中生学习·高二版》2017年第04期导数是研究函数的重要的方法，理解导数的概念、掌握导数研究函数的方法至关重要. 在学习中，我们利用导数研究函数问题时常会犯一些错误，从根本上认识这些错误的原因，追根溯源，才能更好地掌握导数.复合函数的导数的理解问题例1 已知[y=（1+cos2x）2]，则[y=] .错解 [y=-2sin2x（1+cos2x）]分析对复合函数求导数的计算不熟练，[2x]与[x]系数不一样，也是一个复合的过程，有的同学忽视了它而导致错解.正解设[u=1+cos2x]，[y=u2]，则[yx=yuux=2u（1+cos2x）=2u⋅（-sin2x）⋅（2x）][=2u⋅（-sin2x）⋅2=-4sin2x（1+cos2x）.][∴][y=-4sin2x（1+cos2x）].导数的几何意义的理解问题例2 已知曲线[S：y=-23x3+x2+4x]及点[P（0，0）]，求过点[P]的曲线[S]的切线方程.错解由题意得，[y=-2x2+2x+4].[∴]过点[P]的切线斜率[k=y|x=0=4].[∴]过点[P]的曲线[S]的切线方程为[y=4x].分析曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义. 在本题中，点[P]凑巧在曲线[S]上，求过点[P]的切线方程，却并非说切点就是点[P]，上述解法混淆了求过点[P]的切线方程和求曲线在点[P]处的切线方程，认识不到位.正解设过点[P]的切线与曲线[S]切于点[Q（x0，y0）]，则过点[P]的曲线[S]的切线斜率为 [k=y|x=0=-2x20+2x0+4].又[kPQ=y0x0]，[∴-2x20+2x0+4=y0x0].①[∵]点[Q]在曲线[S]上，[∴y0=-23x30+x20+4x0]. ②将②代入①得，[-2x20+2x0+4=-23x30+x20+4x0x0.]化简得，[43x30-x20=0].[∴x0=0]，或[x0=34].若[x0=0]，则[k=4]，过点[P]的切线方程为[y=4x].若[x0=34]，则[k=358]，过点[P]的切线方程为[y=358x].[∴]过点[P]的曲线[S]的切线方程为[y=4x]，或[y=358x.]导数判断单调性的理解问题例3 已知函数[f（x）=mx2+lnx-2x]在定义域内是增函数，求实数[m]的取值范围.错解由题意得，[f（x）>0]，即[2mx+1x-2>0]恒成立，解之得，[m>12].分析“函数[y=f（x）]为增函数”与“[f（x）>0]”并不是互为充要条件的.（1）[f（x）>0⇒][y=f（x）]为增函数；（2）[f（x）（3）[y=f（x）]为增函数[⇒f（x）≥0]；（4）[y=f（x）]为减函数[⇒f（x）≤0].正解由題意得，[f（x）≥0]，即[2mx+1x-2≥0]恒成立，解得，[m≥12-12（1x-1）2≥12].极值点和变量的理解问题例4 已知函数[fx=4x3-3x2cosθ+316cosθ]，其中[x∈R，θ]为参数，且[0≤θ≤2π].（1）当[cosθ=0]时，判断函数[fx]是否有极值；（2）要使函数[f（x）]的极小值大于零，求参数[θ]的取值范围.错解（1）当[cosθ=0]时，[f（x）=12x2].令[f（x）=0]，则[x=0].（2）随[x]的变化，[f（x）]的符号及[f（x）]的变化情况如下表.因此，函数[f（x）]在[x=cosθ2]处取得极小值[f（cosθ2）]，且[f（cosθ2）=-14cos3θ+316cosθ].要使[f（cosθ2）>0]，必有[-14cosθ（cos2θ-34）>0]，解得，[0由于[0≤θ≤2π]，故[π6分析（1）对极值点定义理解不清. ①不可导函数，在某点处的导数不存在，但可以是极值点. 如函数[y=|x|]在点[x=0]处有极小值[f（0）=0]，可是这里的[f（0）]根本不存在. ②可导函数的极值点的求法分为两步：第一步求[f（x）=0]的[x]值，第二步必须判断导数为0的点左右两边导数的符号不同. 如函数[f（x）=x3]的导数[f（x）=3x2]，在点[x=0]处有[f（0）=]0，而[f （x）]在[（-∞，+∞）]上为增函数可知，点[x=0]不是[f（x）]的极值点.（2）没有考虑到[cosθ]的符号，直接作答. 对于参数问题一定要考虑到范围问题.正解（1）当[cosθ=0]时，[f（x）=4x3]，则[f（x）]在[（-∞，+∞）]上是增函数，故无极值.（2）[f（x）=12x2-6xcosθ]，令[f（x）=0]得，[x1=0，x2=cosθ2].下面分两种情况讨论.①当[cosθ>0]时，随[x]的变化，[f（x）]的符号及[f（x）]的变化情况如下表.因此，函数[f（x）]在[x=cosθ2]处取得极小值[f（cosθ2）]，且[f（cosθ2）=-14cos3θ+316cosθ].要使[f（cosθ2）>0]，必有[-14cosθ（cos2θ-34）>0]，解得，[0又[0≤θ≤2π]，故[π6②当[cosθ若[f（0）>0]，则[cosθ>0]. 与[cosθ所以当[cosθ综合①②知，要使函数[f（x）]在[（-∞，+∞）]上的极小值大于零，参数[θ]的取值范围为[（π6，π2）⋃（3π2，11π6）].。

用心 爱心 专心 高考数学复习点拨 导数典型错误剖析
一、因忽视解题顺序而致错
例1 求函数2()f x x =在2x =的导数．
误：(2)4f =∵，(2)0f '=∴．
析：()f x 在点0x 处的导数0()f x '，实际上是导函数()f x '在0x x =处的函数值，即00()()x x f x f x =''=|．故求()f x 在0x 处的导数0()f x '，应先求()f x 的导函数()f x '，再将0x x =代入()f x '求值，顺序不能颠倒．
正：()2f x x '=∵，(2)4f '=∴．
二、对题意理解不清而致错
例2 求曲线33y x x =-的过点(22)A -，的切线方程． 误：显然点A 在曲线33y x x =-上，且2()33f x x '=-，(2)9f =-∴． 故所求切线方程为29(2)y x +=--，即9160x y +-=． 析：曲线过点A 的切线与曲线在点A 处的切线不同，前者既包括点A 处的切线，也包括过点A 但切点为另一点的切线．因此，解题时必须理清头绪，弄清题意． 正：设切点为00()P x y ，，
233y x '=-∵，
∴在点P 处的切线方程为2000(33)()y y x x x -=--． 又切线过点A ，
3200002(3)(33)(2)x x x x ---=--∴，
整理，得3200340x x -+=，即200(1)(2)0x x +-=． 01x =-∴或02x =．
∴当01x =-时，切线方程为2y =-，当02x =时，切线方程为9160x y +-=．。

导数在函数应用中的六大陷阱安徽 李昭平“导数”的引入，给函数问题注入了生机与活力，开辟了研究函数问题的新思路、新方法、新途径。

但初学导数在函数问题中的应用时，同学们常常会出现这样或那样的错误，有的错误还不易察觉。

下面就介绍六大陷阱, 注意防范.陷阱1：忽视函数的定义域例1求函数()2ln f x x x =-的单调区间。

错解： 1()2.f x x'=- 由0)(>'x f ，得10;2x x <>或由0)(<'x f ，得10.2x <<∴)(x f 的单增区间是(2，+∞）,单减区间是（－∞，2）.点评：本题错在忽视了函数的定义域。

单调性是函数的局部性质，单调区间应是函数定义域的一个子集。

求单调区间时应先确定函数定义域，再来解不等式0)(>'x f 和0)(<'x f . 正确答案是：函数的的单调递增区间为（12,+∞),此单调递减区间为(0,12） 陷阱2：忽视有极值的条件例2已知1)6()(23++++=x a ax xx f 在R 上有极值,求实数a 的取值范围。

错解：由题意知,0)6(23)(2=+++='a ax x x f 在R 上有实数解,所以,0≥∆ 即.630)6(1242≥-≤⇒≥+-a a a a或 点评：本题错在将有极值的必要条件0)(0='x f 当作充要条件使用。

显然， 当3-=a 时，0)1(3)6(23)(22≥-=+++='x a ax x x f ,1不是极值点, )(x f 在R上没有极值； 当6=a 时，0)2(3)(2≥+='x x f ，2-不是极值点， )(x f 在R 上也没有极值。

对于可导函数)(x f ，0)(0='x f 是在0x 处取得极值的必要而非充分的条件，解题时还要验证在0x 附近)(0x f '是否异号。

注意导数应用中的几个“误区”江苏省姜堰中学 张圣官（225500）现行高中数学教材第一次将导数知识引入了其中作为必学内容。

确实的，在探究函数的特征（如求函数的极值和判断单调性）时，导数的引进无疑给这方面的学习与研究注入了新的活力，但同时由于概念不清而致误的情形也时常发生，不少参考资料上有时也难免“大意失荆洲”而出现错误。

本文拟对导数应用中常见的几个误区进行剖析，以期引起大家的重视。

误区之一：把“驻点”等同于“极值点”满足0)(0='x f 的点x=x 0（称为驻点）只是它为极大（小）值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。

例1 函数f(x)=(x 2-1)3+2的极值点是 （ ）（A ） x=1 （B ）x=-1（C ） x=1或-1或0 （D ）x=0误解： f(x)=x 6-3x 4+3x 2+1 ,∴由=')(x f 6x 5-12x 3+6x=0得极值点为x=1,x=-1和x=0，故正确答案为（C ）。

剖析：事实上，这三点只是驻点，是不是极值点呢？由)(x f '=6x 5-12x 3+6x=6x(x+1)2(x-1)2知，当x ∈(-∞, -1)时，)(x f '<0 ；当x ∈(-1, 0)时，)(x f '<0 ；当x ∈(0, 1)时，)(x f '>0 ；当x ∈(1, +∞)时，)(x f '>0。

f(x)在（-∞，-1）、（-1，0）单调递减，在（0，1）、（1，+∞）单调递增。

因此只有x=0为极小值点，x=-1或1都不是（称为拐点）。

故应该选（D ）。

例2 若函数f(x)=x 4-ax 3+x 2-2有且仅有一个极值点，求a 的取值范围。

误解：令)(x f '=4x 3-3ax 2+2x=x(4x 2-3ax+2)=0得，x=0或4x 2-3ax+2=0 ,∵f(x)有且仅有一个极值点，∴4x 2-3ax+2=0无实根，∴⊿=9a 2-32<0，即a ∈()324324,- 。

浅析导数应用的几例误区江苏省江阴市云亭中学 沈敏忠导数是新教材中增加的内容，它在研究函数的变化率，解决函数的单调性及极值（最值）等问题时能为学生提供一种有效的途径和较简便的手段，但在具体应用时，也应熟悉并理解以下的几个关系，以防出错。

一：需明确导数与切线斜率的关系：导数的几何意义指出：函数在某点处的切线斜率即为函数在该点处的导数值。

但利用该几何意义求曲线的切线方程时，要注意对切点位置的具体分析。

1）要检验在“某点处”中的“某点”是否在曲线上。

例1：求y=3x 2-4x+2过点M （0，0）的切线方程。

错解：f ’（x ）=6x-4，y ’︱x=0=-4，所以切线方程为y=-4x 。

分析：此题中（0，0）不在曲线上，应先设出切点坐标，再解之。

正解：设切点坐标为A （x 0，y 0）由导数几何意义知：切线斜率为6x 0-4，所以6x 0-4=0x y --------（1） 又A 在曲线上，故3x o 2-4 x 0+2= y 0---------------（2） 由（1）（2）联立解之得：x 0=36±，所以切点坐标为（)36412,36- 或（)36412,36+-，所以切线方程为y=x )462(-或y=x )462(+-。

2）要注意区分“在点处”与“过点处”求曲线方程时的区别，其中在点处的点必为切点，过点处的点不一定是切点，在解题时要注意审题，加以区别。

例2：已知函数f （x ）=x 3-x+2，试问：过点P （1，2）的曲线y= f （x ）的切线有几条？如果是一条，写出该切线的方向向量；如果是两条，求出两直线的夹角；如果是三条，写出直线方程。

解：设切点为P 0（x 0，y 0）， f ’（x ）=3x 2-1，∴切线斜率为f ’（x 0）=3x 02-1， 过P 0的切线方程为：y-y o =（3x 02-1）（x-x o ）。

将P （1，2）代入得：2-（x 03-x 0+2）=（3x 02-1）（1- x o ）∴（x 0-1）2（2 x 0+1）=0，∴x 0=21-或x 0=1。

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导数典型错误剖析
一、因忽视解题顺序而致错
例1 求函数2()f x x =在2x =的导数．
误：(2)4f =∵，(2)0f '=∴．
析：()f x 在点0x 处的导数0()f x '，实际上是导函数()f x '在0x x =处的函数值，即00()()x x f x f x =''=|．故求()f x 在0x 处的导数0()f x '，应先求()f x 的导函数()f x '，再将0x x =代入()f x '求值，顺序不能颠倒． 正：()2f x x '=∵，(2)4f '=∴．
二、对题意理解不清而致错
例2 求曲线33y x x =-的过点(22)A -，的切线方程． 误：显然点A 在曲线33y x x =-上，且2()33f x x '=-，(2)9f =-∴． 故所求切线方程为29(2)y x +=--，即9160x y +-=． 析：曲线过点A 的切线与曲线在点A 处的切线不同，前者既包括点A 处的切线，也包括过点A 但切点为另一点的切线．因此，解题时必须理清头绪，弄清题意． 正：设切点为00()P x y ，，
233y x '=-∵，
∴在点P 处的切线方程为2000(33)()y y x x x -=--． 又切线过点A ，
3200002(3)(33)(2)x x x x ---=--∴，
整理，得3200340x x -+=，即200(1)(2)0x x +-=． 01x =-∴或02x =．
∴当01x =-时，切线方程为2y =-，当02x =时，切线方程为9160x y +-=．。