§22.1 二次函数

第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。

第二十二章 二次函数22.1.1 二次函数自主导学一般地，形如y =ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数且a ≠ 0)的函数叫做 二次 函数,x 是 自变量 ，a ,b ,c 分别是 二次项系数 ，一次项系数 和 常数项 .易错点睛若y =(a-2)x 2+x+1是二次函数，则a ≠ .【解答】a-2≠0，∴a ≠2.【点睛】二次函数二次项系数不能为0.A 夯实基础知识点一 二次函数的概念1. 下列函数中，是二次函数的是（ C ）A .21y x =-+B .()221y x x =-+C .y =-x 2+3x +1D .212y x x=+- 2. 圆的面积公式2S R π=中，S 与R 之间的关系是（ C ）A . S 是R 的正比例函数B . S 是R 的一次函数C . S 是R 的二次函数D . 以上答案都不对3.已知二次函数y =-3x 2-5x+1，则二次项系数a = -3 ，一次项系数b = -5 ，常数项c = 1 .4.(2017江岸)关于x 的函数y =(2-a )x 2-x 是一次函数，则a 的值是 a =2.5. 若函数()2211m m y m x --=+是二次函数，则m 的值是（ D ）A .1-B .1-或1C .0D .16.把y =(x -2)(x +3)化成2y ax bx c =++的形式，并指出其二次项系数，一次项系数与常数项. 解:y =x 2+x+6, 二次项系数，一次项系数与常数项分别为1，1，－6.7.若函数y =x 2+2，当函数值y =8时，求自变量x 的值.解：x 2+2=8得x =.知识点二 列二次函数的关系式 8. 边长为20cm 的正方形铁片，中间减去一个边长是x (cm )的小正方形铁片，则剩下的四方框铁片的面积y (cm 2)与x (cm )之间的函数关系式为 y =400-x 2 .9. 已知一个圆的半径为1cm ，若半径增加x cm ，则圆的面积增加y cm 2,求y 与x 之间的函数解析式.解：y =π(x+1)2-π=πx 2+2πx .B 综合运用10.某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数解析式为y =10（1+x ）2 . 11.函数()2232y m m x mx =-++，当m ≠1且m ≠2 时，它为二次函数，当m = 1或2 时，它为一次函数.12.若函数y =(a+1) 221a a x --+2x -1是二次函数，求a 的值.解：2212, 10, a a a ⎧--=⎪⎨+⎪⎩①≠②，由①知a 1=-1，a 2=3，由②知a ≠-1，∴a =3.13.如图，用长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD ，已知墙长14m ，设边AD 的长为x （m ），矩形ABCD 的面积为y （m 2）.（1）求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）当108y =时，求x 的值.DC BA 解：（1）y =x (30-2x )=-2x 2+30x (8≤x ≤15)；（2）当y =108时，∴-2x 2+30x =108，∴x 1=6，x 2=9，∵8≤x ≤15，∴x =9.C 拓广探索14.【教材变式】（41页第8题改）如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =12mm ，BC =24mm ，动点P 从点A 开始沿AB 边向B 以2mm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以4mm /s 的速度移动（不与点C 重合）.如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，设运动时间为x s ，四边形APQC 的面积为y mm 2.（1）求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）四边形APQC 的面积能否等于172mm 2？若能，求出运动时间；若不能，说明理由. C Q PBA解：（1）由运动可知，AP =2x ，BQ =4x ，则y =12BC ·AB -12BQ ·BP =12×24×12-12·4x ·(12-2x )，即y =4x 2-24x +144.∵0＜AP ＜AB ，0＜BQ ＜BC ，∴0＜x ＜6.（2）当y =172时，4x 2-24x +144=172，解得x 1=7，x 2=-1.又∵0＜x ＜6，∴四边形APQC 的面积不能等于172mm 2.。

人教版九年级数学第22章二次函数 22.1 二次函数讲义合作探究探究点1 二次函数的概念情景激疑我们知道形如b k b kx y ,(+=是常数,k ≠0)的式子是一次函数，那么什么样的函数是二次函数呢?判断二次函数又需要消足哪些条件?知识讲解一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)的函数，叫做二次函数。

其中，x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的次项系数、一次项系数和常数项，如73,23,32222+-=+=+-=x y x x y x x y 等都是二次函数。

（1）c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)叫做二次函数的-般式任何一个二次函数的解析式都可以化为c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)的形式.(2)在二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)中，a 必須不等于O,因为若a=0的话，此式子则变为c bx y +=的形式，就不是二次函数了.(3)在二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)中,若y=0.则二次函数可以转化为一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 典例剖析例1 下列哪些函数是二次函数?解析 判断一个函数是不是二次函数，先把关系式化简 整理，再分三个步骤来判断:(1)看它的等号两边是否都是整式，如果不都是整式，则必不是二次函数:(2)当它的等号两边都号林式时，再看它是否含有自变量的二次式，如果含有自变量的二安式，那就可能是二次函数，否则就不是:(3)看它的二次项系数是否为0,如果不为0，那就是二次函教.只要按上述三步来分析。

即可作出正确判断.答案 ①③④是二次函数.⑤不一定是二次函数，只有当a ≠0时，才是二次函数②不是整式，故不是二次函数，易错警示二次涵数关系式的等号两边都是整式.答案 (1)设一次购买x 只.才能以最低价购买，则有0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50.答:一次至少买50只，才能以最低价购买。

22.1二次函数的图象和性质22.1.1二次函数课前预习1.一般地，形如y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0 ）的函数叫做二次函数.其中x 是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项2.二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式是整式；（2）化简后自变量的最高次数是 2 ；（3）二次项系数不等于0 ，一次项系数和常数项可以为0，当它们为0时通常省略不写.课堂练习知识点1 二次函数的概念1.若y=（a-3）x2+2x-5是二次函数，则a的取值范围是a≠3 .2.下表函数是否为二次函数？如果是二次函数，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.3.已知函数y=（a-2）x2+（b+2）x-3.（1）当a，b为何值时，这个函数是一次函数？（2）当a为何值时，这个函数是二次函数？解：（1）当a=2且b≠-2时，函数为一次函数；（2）当a≠2时，函数为二次函数.知识点2 求二次函数的解析式4.在边长为15 cm的正方形铁片中间剪去一个边长是x cm的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（单位：cm2）与x（单位：cm）之间的函数关系为y=-x2+225（0≤x<15）.5.国家决定对某药品价格分两次降价，若每次降价的百分率为x，该药品的原价是16元，降价后的价格为y元，则y与x 的函数关系式为（ D ）A.y=32（1-x）B.y=32（1+x）C.y=16（1+x）2D.y=16（1-x）2【解析】原价为16，第一次降价后的价格为16（1-x），第二次降价是在第一次降价后的基础上再降价，其价格为16（1-x）（1-x）=16（1-x）2.故选D.6.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米. （1）求S关于x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长度为多少米？解：（1）∵AB=x，3x+BC=24，∴BC=24-3x.∴S=AB×BC=x（24-3x）=-3x2+24x.∴S关于x的函数关系式为S=-3x2+24x；（2）当S=45时，-3x2+24x=45.解得x₁=3，x₂=5.又∵BC=24-3x≤10，即x≥14，∴x=5.3答：AB的长度为5米.课时作业1.函数y=2x2，y=x2-2x，S=πr2的共同点是自变量的最高次数为 2 .2.将二次函数y=2（x+2）（x-3）化成一般式为y＝2x2-2x-12 ，它的二次项系数为 2 ，一次项系数为-2 ，常数项为-12 .3.下列函数中，是二次函数的有（ A ）①y=-x2；②y=2-x2；③y=3x2-（3x²+2x-1）；④y=ax2+bx+c.xA.①B.①②③④C.①②D.①③④【解析】①符合二次函数的定义；②是分式，不符合二次函数的定义；③化简后为y=-2x+1是一次函数，不符合题意；④中a的值不确定，不能确定是否为二次函数.故选A.4. 若函数y=(3－m)27mx －x+1是二次函数，则m的值为（ B ）A.3B.-3C.±3D.95.已知一个直角三角形两直角边的和为8，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式为（ A ）x2+4x B.y=-x2+8xA.y=-12x2+4x D.y=x2+8xC.y=126.二次函数y=x2+2x+3中自变量x的取值范围是（ B ）A.x>0B.x为一切实数C.y>2D.y为一切实数7.一块矩形的草地，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2.（1）求y关于x的函数关系式；（2）若要使草地增加的面积为32 m2，长和宽都增加多少m？解：（1）增加后的长和宽分别是（8+x）m和（6+x）m.根据题意，得y=（8+x）（6+x）-6×8=x2+14x.∴y关于x的函数关系式为y=x2+14x；（2）根据题意，得x2+14x=32.解得x₁=-16（舍去），x₂=2.∴x=2.答：长和宽都增加2 m.8. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元.设矩形一边长为x米，面积为S平方米.（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设计费能达到24 000元吗？为什么？（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？解：（1）矩形的一边为x米，由周长为16米得矩形的另一边长为（8-x）米.根据题意，得S＝x（8-x）＝-x2＋8x，其中0＜x＜8；（2）能.理由如下：当设计费为24 000元时，面积为240002000＝12（平方米）.根据题意，得-x2＋8x＝12.解得x₁＝2，x₂＝6.∴当矩形的边长为2米和6米时，设计费能达到24 000元；（3）∵S＝-x2＋8x＝-（x-4）2＋16.∴当x＝4米时，矩形的面积最大，最大面积为16平方米；此时设计费最多，最多是16×2 000＝32 000元.9. 星桥中学2018届九年级毕业生有x人.在毕业晚会上，每两人之间握手一次，x人共握手y次，则y与x之间的函数关系式为（ D ）A.y=x2+1B.y=x2-xC.y=22x xD.y=12x2-12x10.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，动点P，Q同时沿ABC和ADC的路径向点C以1 cm/s的速度运动.设运动时间为x s，四边形PBDQ的面积为y cm2.求y与x（0≤x≤8）之间的函数关系式.解：当0≤x≤4时，y=S△ABD - S△APQ=12×4×4-12×x×x=-12x2+8；当4＜x≤8时，y=S△DCB - S△CPQ =12×4×4-12（8-x）×（8-x）=-12x2+8x-24.综上可知：y 与x 之间的函数关系式为y=2218(04),21824(48).2x x x x x -+≤≤-+⎧⎪-⎨⎪≤⎪⎪⎩＜。

第一篇：22.1.1 二次函数(教案)第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教学目标【知识与技能】1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【过程与方法】通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 【情感态度】在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 教学重点结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 教学难点1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 教学过程一、情境导入，初步认识问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为，这里m是n的函数吗？问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？二、思考探究，获取新知全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给1予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=n(n-1)而不2是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t，第三年产量为20(1+x)(1+x)t，得到y=20（1+x)2. 【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.11思考函数y=6x2，m=n2-n,y=20x2+40x+20有哪些共同点？22【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习. 【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项. 【教学说明】针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax2,二次项系数则仅是指a的值；同样，一次项与一次项系数也不同. 教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习.三、运用新知，深化理解1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y=(x+2)(x-2); (2)y=3x(2-x)+3x2; (3)y=1-2x+1; 2x(4)y=1-3x2. 2.若y=(m+1)xm2+1-2x+3是y关于x的二次函数，试确定m的值或取值范围.3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系m=162-2x，试写出商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商品的销售价x（元)之间的函数关系式，y是x的二次函数吗？4.如图，用同样规格的正方形白瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数关系式（不要求写自变量n的取值范围）. 【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可让同学们分小组完成，对优胜小组给予鼓励，培养学生团队精神，让部分学生分享成功的快乐，但对题2、3、4，教师应及时给予引导，鼓励学生大胆完成. 【答案】1.解：（1）y=(x+2)(x-2)=x2-4,该函数是二次函数，它的二次项系数为1，一次项系数是0，常数项是-4. （2）y=3x(2-x)+3x2=6x,该函数不是二次函数. （3）该函数不是二次函数. （4）该函数是二次函数，它的二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1. 2.解：∵y m1xm212x3是y关于x的二次函数. ∴m+1≠0且m2+1=2, ∴m≠-1且m2=1，∴m=1. 3.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元，则依题意可得：y=(162-3x)(x-30) 即y=-3x2+252x-4860 由此可知y是x的二次函数. 4.解：（1）观察图示可知第1、2、3个图形中每一横行瓷砖分别为4，5，6，每一竖列瓷砖分别为3，4，5，由此推断在第n个图中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖行共有（n+2）块瓷砖；（2）y=(n+3)(n+2)即y=n2+5n+6.四、师生互动，课堂小结1.二次函数的定义；2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中a≠0,a、b、c为常数的条件. 【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义，教师可与学生一起回顾. 课后作业1.布置作业：教材习题22.1第1、2、7题；2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分. 教学反思第二篇：22.1.1-二次函数(教案)第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教案教学目标【知识与技能】1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【过程与方法】通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 【情感态度】在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 教学重点结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 教学难点1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 教学过程一、情境导入，初步认识展示执实心球图片，体验体育中的数学二、温故知新1. 什么叫做函数？（学生回顾）2. 我们学过哪些函数？（PPT展示）三、探究新知问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2 多边形的对角线总数d与边数n有什么关系？可以想出,如果多边形有n条边,那么它有个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作条对角线，用n的式子表d为：。