人教高中数学必修一A版 《习题课 三角恒等变换的应用》三角函数PPT教学课件

1
2
2
−
3
(1
6
− 2) =
1
2
2
3
+ 2
6

3
+ )− .
6
6
−
3
6
1
3
1
3
1
= ( 2 + 2) − = (2
3 2
2
6
3



5
由0 < < ，得 < 2 + < ，
3
6
6
6



1
3
3
所以当2 + = ，即 = 时， = − = .

又
2
<

2

∴
2

<


2
2
8
− ，且
17
1−
2
=−
=

2
=
1+
2

2
15
= −4.
1+17
2
=
3



，求 ， ， 的值；
2
2
2
2
3
15
，∴ = − .
2
17
<<
<<
3
，
4
=
��
8
，且
17
4 17
；
17
15
1 −

1 +

1 −
= ±
， = ±
， = ±
，

应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 运用和、差、倍角公式化简 ↓
统一化成f（x）＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式 ↓
利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k 的形式，研究其性质
1．已知函数 f(x)＝cos2x－1π2＋sin2x＋1π2－1，则 f(x)(
)
A．是奇函数
＝79×－13－－4
9
2×2
3
2＝13.
本部分内容讲解结束
α ＝cos
α.
(变条件)若本例中式子变为
（1＋sin θ＋cos θ）sin
θ2－cos
θ
2
2＋2cos θ
(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？
2sin 解：原式＝
θ 2cos
θ2＋2cos2
θ
2
sin
θ2－cos
θ 2
4cos2
θ 2
cos ＝
θ2sin2
θ2－cos2
θ 2
θ
cos
2
2sin2
α 2
α
2sin
2
αα
2 ＝－
2sin 2cos
sin
α
2
2.
因为 0＜α＜π，
所以 0＜α2＜π2.所以 sin α2＞0.
所以原式＝－2 2cos α2.
与三角函数性质有关的问题
已知函数 f(x)＝cos(π＋x)cos 32π－x－ 3cos2x＋ 23. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值；
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.

5.5 三角恒等变换
第1课时 两角差的余弦公式
第五章 三角函数
考点
学习目标
理解两角差的余弦公式 两角差的余弦公式
的推导过程
两角差的余弦公式 能利用公式进行计算、化
的应用
简及求值
核心素养 逻辑推理 逻辑推理、 数学运算
问题导学 预习教材 P215－P217，并思考以下问题： 1．两角差的余弦公式是什么？ 2．公式中的 α、β 是任意的吗？
又 sin α＜sin β，所以 0＜α＜β＜π2，
所以－π2＜α－β＜0.故 α－β＝－π4. 答案：－π4
1．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( )
3 A. 2
1＋ 3 C. 2
1 B.2
3－1 D. 2
解析：选 B.sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°·cos 71°
两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝__c_o_s__α_c_o_s _β_＋__s_in__α_s_in__β_____
简记符号 使用条件
C(α－β) α，β 为任意角
■名师点拨 (1)由 C(α－β)可知，只要知道 cos α，cos β，sin α，sin β 的值，就 可以求得 cos(α－β)的值． (2)公式中的 α，β 都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个 角的组合．
＝cos51π2cosπ6＋sin51π2sinπ6 ＝cos51π2－π6
＝cosπ4＝
2 2.
1 (3)2cos
105°＋
3 2 sin
105°
＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°
＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝ 22.

狋的变化规律可以用函数y=Asin（ωt+φ ）来刻画．
根据已知数据作出散点图,如图5.7.1所示．
由数据表和散点图可知,振子振动时位移的最大值为20mm,因此A＝20；
2
振子振动的周期为0.6ｓ,即 =
ω
0.6 解得 ω
10
＝ ；再由初始状态（t＝０）
3

2
振子的位移为-20,可得sinφ =－１,因此φ ＝- ．所以振子位移关于时间的
通过几个具体实例,说明三角函数模型的简单应用．
典例解析
问题１
某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动
的过程中,时间t（单位:s）与位移y（单位:mm）之间
的对应数据如表5.7.1所示．试根据这些数据确定这个振子
的位移关于时间的函数解析式．
请你查阅资料,了解振子的运动原理．
振子的振动具有循环往复的特点,由振子振动的物理学原理可知,其位移狔随时间
当t= 时,
600
= −5;
当t=
1
60
当t= 时, = 0;
达标检测
1．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(
)
A．该质点的运动周期为 0.7 s
B．该质点的振幅为 5 cm
C．该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时运动速度最大
D．该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时运动速度为零
)
3
t 15 5
t
【解析】 当 10≤t≤15 时，有2π<5≤2≤ 2 <2π，此时 F(t)＝50＋4sin2是增
函数，即车流量在增加．故应选 C.
【答案】
C
4．在电流强度 I 与时间 t 的关系 I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，要使 t 在任

x＋cos
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x.
[证明] 左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x ＝4sin222xscinosx2c2xo－s xsin22x
23
＝2ssiinn2x2x
2α＝右边，
∴原式成立．
21
三角恒等式证明的常用方法 1执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； 3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它 们之间的差异，简言之，即化异求同； 4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； 5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直 到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
＝cos x2x＝
2cos22x x
x＝1＋sincoxs
x＝右边．
sin2 2sin2cos2
所以原等式成立．
24
恒等变换与三角函数图象性质的综合
【例3】 已知函数f(x)＝ 3cos2x－π3－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期． (2)求证：当x∈－π4，π4时，f(x)≥－12. [思路点拨] 化为fx＝Asinωx＋φ＋b → 由T＝|2ωπ|求周期 →
∴sin4θ＝－
1－2cos2θ＝－ 1－2 a.]
(2)[解] 原式＝
2csoinsα2α2＋－cos2α2s2inα2＋ 2csoinsαα22－＋cos2α2s2inα2.
12
∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π，∴cosα2＜0，sinα2＞0，
∴原式＝－si2nα2si＋nα2c＋oscα2o2sα2＋

索引
4.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
(1)sin 15°＝±
1－cos 30° 2 .(
×
)
(2)对于∀α∈R，sinα2＝12sin α 都不成立.( × )
(3)存在 x∈R，使得 cos α2＝21cos α.( √ )
(4)若 5π<θ<6π，cosθ2＝a，则 cosθ4＝
题 型
壹
必问 备题 知导 识学 探预 究习
教 材
索内 引容
一纸江南
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必 备知识探究
一、半角公式
1.问题 我们知道在倍角公式中，“倍角是相对的”，对余弦的二倍角公式，
思考下面问题：
解析 ∵π2<α<π，知π4<α2<π2，则 sin α2>0，∵sin2α2＝12(1－源自os α)＝45，∴sin
α2＝2
5 5.
索引
(2)已知 sin α＝ 55，cos α＝255，则 tanα2 ＝__5_－__2___.
解析
tan
α2＝sin
α 2α＝1－sincoαs α＝
5－2.
cos 2
题型一 利用半角公式求值
例 1 已知 sin α＝－54，π<α<32π，求 sin α2，cos α2，tan α2的值.
解 ∵π<α<32π，sin α＝－45，
∴cos α＝－35，且π2<α2<34π，
∴sin α2＝
1－cos 2
α＝2 5
5，

邢
启 强
3
复习引入
3. 余弦函数的倍角公式变形:
cos 2 1 2sin2
12sin2cos2
2sin21cos2
sin21cos2
2
sin 1cos2
讲
课 人 ： 邢
2
启 强
4
复习引入
3. 余弦函数的倍角公式变形:
cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2cos2
2cos2 1 cos 2
2sinAB2cosAcosB
2
22
2cosC 22cosA 2cosB 24cosA 2cosB2cosC 2
16
巩固练习 人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.5.2简单的三角恒等变换 (2份打包)
教材P226练习第1、2、3题.
讲 课 人 ： 邢 启 强
人教版高中数学新教材必修第一册课 件：5.5 .2简单 的三角 恒等变 换 (2份打包)
C
BP
14
典型例题 人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.5.2简单的三角恒等变换 (2份打包)
例4. 已知A+B+C=180°, 求证： sinA sinB sin C 4cosAcosBcosC 222
证明：因为A+B+C=180°, 所以
C=180°－(A+B),
C 90 AB
2
2
sinA+sinB+sinC 2sinA BcosA Bsin(A B )
例3.
如图，
记∠COP＝，求当角
取何值时，矩形ABCD的
面积最大？并求出这个
最大面积.
3
O
Q
D

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表
回答问题。
知识清单
1．半角公式
2.辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋θ)
b
(其中 tan θ＝a)．
小试牛刀
α
1．已知 180°＜α＜360°，则 cos 的值等于(
2
A．－
1－cos α
2
1＋cos α
2
B．




θ
又 cos2＝a，
θ
∴sin4＝－
答案：D
θ
1－cos
2
2 ＝－
1－a
2 .
解题方法（利用半角公式化简求值）
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等
手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦
解:在 Rt△OBC中, OB=cos, BC=sin
DA
在Rt△OAD中,
tan 60 3
OA
3
3
3
DA
BC
sin
3
3
3
3
AB OB OA cos
sin
3
设矩形ABCD的面积为S,则
OA


3
S AB • BC cos sin sin
将①②两个等式的左右两边分别相除，得2 =
例 7 的结果还可以表示为
1－cos α
α ±
2
sin ＝__________________，

在本节课的学习中，涉及到数形结合思想和数学建模思想．
高中数学人教A版必修第一册单元教学设计
三角函数的应用
第2课时
整体感知
问题1 匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象， 可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律，其中分别是通过什么 方法构建得到其中的函数模型？
答案：匀速圆周运动是依据三角函数定义，直接推理得出变量之间的关系 ，得到函数模型；简谐运动和交变电流是通过收集数据——画散点图——选择 函数模型——求解函数模型的方法建立函数模型．
因此为了安全，货船最好在6.6时停止卸货，将船驶向较深的水域．
新知探究
5．模型应用
新知探究
3．问题研究2——港口水深
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至 少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口 能呆多久？
（3）若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在两点开始卸货，吃 水深度以0.3m/
新知探究
4．建模解模
1 2
(ymax+ymin).
总之， 1
1
2
2
ω可以利用周期公式T 2π 求得结果；φ可以利用代入特殊点的坐标求得．
| |
新知探究
2．求解模型
追问 例1中A与ω的正负未知，那么所求的函数解析式是不是不唯一？（经过
分类讨论，完成例1解答后回答这个问题）
解：由图可以看出，从6～14时的图象是函数的半个周期
答案： 振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化 ；振子所受的回复力随着时间呈周期性变化．所以可以用振子 离开中心位置的位移
新知探究
1．问题研究1——简谐运动

从散点图中我们可以直观形象地看到函数值的最高点
和最低点，同时可以看到随着自变量的变化，相应的函数
值 变化的趋 势 ，也就 是这些 点 的位置先 升高再降 低 ，并且 具有周 期
性．有利于我们进一步研究函数的性质．
二、学以致用
我们知道，弹簧振子成周期变化，那么它的一个最小正周
期又是多少呢？我们怎么能通过散点图得到呢？

频率为50Hz，即
2
= 50，解得ω=100π；再由初始状态(t=0)的

0.866，因此约为 ．（因为这
3
电流约为4.33Ａ，可得sin =
里是个实际问题，所以我们都是取近似值。）
五、综合应用
所以
电 流 i 随 时 间 变 化 的 函 数 解 析 式 = 5 sin ቀ100 +
六、画龙点睛
经过本节课的学习，我们认识到三角函数模型是描述周期变化的重要
数学模型，主要了解简谐运动的函数模型中参数的物理意义；同时在问题
研究过程中体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，增强了我们的应
用意识，感受了数学的应用价值；同时在实际问题的解决过程中感受信息
技术处理数据的优势， 提升了我们的数学建模素养.
新人教A版 高中数学 必修一
一、温故知新
我们前面学习了角与弧度、三角函数概念与性质、同角三角
函数的基本关系式、三角恒等变换的内容，今天我们一起来学
习三角函数的应用．
一、温故知新
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现
象，例如地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮

2

2
− 1，因此 = − +2k k ∈ ，取 = − ．

反思感悟
方法总结
处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
新知运用
跟踪训练1 一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位移(单位：)与时间(单位：)的函数关系是.(1)画出它的图象.(2)回答以下问题：①当小球开始摆动(即=0)时,离开平衡位置的距离是多少?②当小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少?③小球来回摆动一次需要多少时间?
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
【解析】 (2) ①当小球开始摆动(即 )时,离开平衡位置的距离为 .②当小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是 .③小球来回摆动一次需要 (即周期).
二、三角函数在生活中的应用
例题2 如图,某地夏天8~14时用电量变化曲线近似满足函数，根据图象求函数解析式.
【解析】观察图象可知,从8~14时的图象是的半个周期的图象, ，，，，将 , 代入上式,解得 ,所求解析式为 , .
新知运用
跟踪训练3 一物体相对于某一固定位置的位移 (cm) 和时间 (s) 之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位置 和时间 之间的关系的一个三角函数式为___________.
【解析】设 ,从表中可以得到 , ,则 .又由 ,可得 ,可取 ,故 ,即 .
【解析】(1)根据散点图,可考虑用函数=cos+刻画与的函数关系.由表中数据,知最小正周期,.由,,得,由,,得,,,.
0
3
6
9
12
15