棱柱棱锥棱台和球的表面积1

1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积【知识梳理】空间几何体的表面积1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表(侧)面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2πrl圆锥(底面半径r，母线长l)πr(l＋r)圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)π(r1＋r2)l＋π(r21＋r22)球(半径为R)易误提醒(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．[自测练习]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋3)B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．1442．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．8＋4 2 B．10πC．11π D．12π【考点探究】考点一空间几何体的表面积|[题组训练]1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋22D．152．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1 B．2 C．4 D．83．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为________．[规律方法]1.由三视图求相关几何体的表面积：,给出三视图时，依据“正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”来确定表面积公式中涉及的基本量.2.根据几何体常规几何体、组合体或旋转体的特征求表面积：①求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.②对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面和外界直接接触的面”的定义，以确保不重复、不遗漏. [演练冲关]一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )A ．8＋π3B ．8＋2π3C ．8＋8π3D ．8＋16π3考点二 与球有关的切、接问题|与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变． 探究一 四面体的外接球问题1．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16πD ．8π探究二 四棱锥的外接球问题2．已知四棱锥P ­ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底面ABCD ，△P AD 为正三角形，AB ＝2AD ＝4，则球O 的表面积为( ) A.323π B ．32π C ．64πD.643π 探究三 四面体的内切球问题3．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.[规律方法]求解与球有关的切、接问题的关键点解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【课堂检测】1.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3 C ．43πD ．23π2．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( ) A.323π B ．12πC ．16πD ．32π3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．4．已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为________． 5．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．【参考答案】【知识梳理】2． 2πr (l ＋r ) πrlπ(r 1＋r 2)l4πR 2[自测练习]1．解析：正六棱柱的侧面积S 侧＝6×6×4＝144，底面面积S 底＝2×6×34×42＝483， S 表＝144＋483＝48(3＋3)． 答案：A2．A ．8＋4 2B ．10πC ．11πD ．12π解析：由三视图可知几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱，故其表面积应为球的表面积与圆柱的表面积面积之和，即S ＝4π＋2π＋2π×3＝12π，故选D. 答案：D【考点探究】考点一 空间几何体的表面积| [题组训练]1．解析：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以其表面积为S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋22，故选B.答案：B2．解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2. 答案：B3．解析：设等边三角形的边长为2a ，则S 圆锥表＝12·2πa ·2a ＋πa 2＝3πa 2.又R 2＝a 2＋(3a －R )2(R为球O 的半径)，所以R ＝233a ，故S 球表＝4π·⎝⎛⎭⎫233a 2＝16π3a 2，故其表面积比为916. 答案：916[演练冲关]解析：依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个14的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋14×43π×13＝8＋π3，选A.答案：A考点二 与球有关的切、接问题| 探究一 四面体的外接球问题1．解析：如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6， 连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R (R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形， 故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π. 答案：A探究二 四棱锥的外接球问题2．解析：依题意，AB ⊥平面P AD 且△P AD 是正三角形，过P 点作AB 的平行线，交球面于点E ，连接BE ，CE ，则可得到正三棱柱APD ­BEC .因为△P AD 是正三角形，且AD ＝2，所以△P AD 的外接圆半径是23，球O 的半径R ＝22＋⎝⎛⎭⎫232＝43，球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π3，故选D.答案：D探究三 四面体的内切球问题3．解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π.答案：63π【课堂检测】1. 解析：由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，R ＝233，其表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.答案：A2．解析：设球心为O ，球心在平面BCD 的投影为O 1，则OO 1＝AB2＝1，因为△BCD 为等边三角形，故DO 1＝23×323＝3，因为△OO 1D 为直角三角形，所以球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2，球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C. 答案：C3．解析：该简单组合体由半球加上圆锥构成，故所求表面积S ＝4π×422＋12×2π×4×5＝52π.答案：52π4．解析：如图所示，设BC ，B 1C 1的中点分别为F ，E ，则知三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的球心为线段EF 的中点O ，且BC ×EF ＝2.设外接球的半径为R ，则R 2＝BF 2＋OF 2＝⎝⎛⎭⎫BC 22＋⎝⎛⎭⎫EF 22＝BC 2＋EF 24≥14×2BC ×EF ＝1，当且仅当BC ＝EF ＝2时取等号．所以直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π. 答案：4π5．解：(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和． S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2，S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2， 所以S 表面＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋（πa ）2＝a 1＋π2， 所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.。

棱柱棱锥棱台的表面积公式棱柱、棱锥和棱台的表面积计算公式棱柱的表面积计算公式•棱柱的表面积等于底面积加上侧面积。

•底面积为底面的面积。

•侧面积为所有侧面的面积之和。

公式：•棱柱的表面积 = 底面积 + 侧面积•底面积 = 底面的面积 = 边长的平方•侧面积 = 所有侧面的面积之和 = 周长× 高例子：假设棱柱的底面为一个正方形，边长为5cm，高为8cm。

求棱柱的表面积。

解答：首先计算底面积：底面积 = 边长的平方= 5cm × 5cm = 25cm^2 然后计算侧面积：侧面积 = 周长× 高= 4 × 5cm × 8cm = 160cm^2 最后计算棱柱的表面积：表面积 = 底面积 + 侧面积 =25cm^2 + 160cm^2 = 185cm^2棱锥的表面积计算公式•棱锥的表面积等于底面积加上侧面积。

•底面积为底面的面积。

•侧面积为底面到顶点连线与侧面的面积之和。

公式：•棱锥的表面积 = 底面积 + 侧面积•底面积 = 底面的面积•侧面积 = 底面到顶点连线× 侧面的面积 / 2例子：假设棱锥的底面为一个正三角形，边长为4cm，高为6cm。

求棱锥的表面积。

解答：首先计算底面积：底面积 = 底面的面积 = (底边× 高) / 2 = (4cm × 6cm) / 2 = 12cm^2 然后计算侧面积：侧面积 = 底面到顶点连线× 侧面的面积/ 2 = 6cm × (底边× 边长) / 2 =6cm × (4cm × 3cm) / 2 = 36cm^2 最后计算棱锥的表面积：表面积= 底面积 + 侧面积 = 12cm^2 + 36cm^2 = 48cm^2棱台的表面积计算公式•棱台的表面积等于上底面积加下底面积加侧面积。

•上底面积为上底面的面积。

•下底面积为下底面的面积。

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积编制人：周圣民【新课程标准】1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图．2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积．3.了解球的表面积公式，会运用公式求球的表面积．【知识梳理】1.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式S直棱柱侧= 其中c为直棱柱的底面周长,h为直棱柱的高.S正棱锥侧=其中c为正棱锥的底面周长,h'为斜高.S正棱台侧= 其中cc，'分别为正棱台的上、下底面的周长,h'为斜高.2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式3.球的表面积球的表面积公式S球＝【跟踪训练】1.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于2.圆台的母线长为6，两底面半径分别为2,7，此圆台的表面积为3.半径为R的球体内切于底面半径为R高为R2的圆柱体内，则球和圆柱的表面积之比为（）A.1:1B.3:2C.2:3D.8:27【重难点典例突破】例1.如图,已知正四棱锥底面正方形边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求该正四棱锥的侧面积和表面积（单位：2cm）.例2.已知正四棱台两底面边长分别为4cm ，8cm ，侧棱长为8cm ，则它的全面积为（ ）.152.A 1548.B 154880.+C 159680.+D思考：若将条件侧棱长为8cm 改为高为8cm ，如何求它的全面积？变式训练.已知正四棱台两底面边长分别为4cm ，8cm ，高为8cm ，则它的全面积为 .例3.如图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的,球的半径为R,正四棱台的两底面边长分别为R6.03和R5.2，斜高为R(1)求这个容器盖子的表面积(用R表示,焊接处对面积的影响忽略不计)(2)若cm1m,计算为100个这R2,为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂2样的盖子涂色约需涂料多少千克（精确到0.1kg）.【方法总结】【课后探究】养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m,高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）.哪个建造方案更经济些？预习1.1.7后，结合表面积、体积给出更经济的方案.【知识巩固】1.矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为（ ）A.1:1B.1:2C.1:4D.4:12.正四棱柱的侧棱长为5，它的体对角线长是43，则这个棱柱的侧面积是（ ）215.A 60.B 78.C 260.D3.已知球的大圆周长为cm 16，这个球的表面积为4.底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为5.已知一个正三棱锥的侧面都是等边三角形，侧棱长为4，求它的侧面积和全面积.6.已知正三棱台的上、下底面边长分别3cm 和6cm,高为cm 23,求此正三棱台的表面积．。