浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三上学期期中考试数学试题

2019-2020学年浙江省杭州地区重点中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=()A. {x|x<−1或1<x≤2}B. {x|1<x≤2}C. {x|x≤−1或1≤x≤2}D. {x|1≤x≤2}2.已知函数的最小正周期为，则)A. 1B. 12C. −1 D. −123.条件“a>b”是条件“lga>lgb”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.欧拉公式e ix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，2ie− π 6i=()A. √3−iB. 1−√3iC. √3+iD. 1+√3i5.函数f(x)=xe xe2x+1的大致图象是()A.B.C.D.6.若f(x)=cosx−sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是()A. π4B. π2C. 3π4D. π7. 设2x =5y =m ，且1x +1y =2，则m 的值是( )A. ±√10B. √10C. 10D. 1008. 已知函数f(x)=|mx|−|x −n|(0<n <1+m)，若关于x 的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为( ) A. 3<m <6 B. 1<m <3 C. 0<m <1 D. −1<m <0 9. 函数f(x)=xlnx 的单调减区间是( )A. (−∞,0)B. (1e ,+∞)C. (−∞,1e )D. (0,1e ]10. 已知△ABC 中，AB =AC =4，O 为△ABC 的外心，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，且x +2y =1，则△ABC 面积的最大值为______ ．A. 1B. √32C. 4√33D. 4√3二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 若向量m⃗⃗⃗ =(2,1)，n ⃗ =(−3,2λ)，且(2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )//(m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ )，则实数λ=______． 12. 在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(−√32,12)，则tanα=________13. 若函数f(x)={2x , x ≤0f(x −2),x >0，则f(log 23)= _________．14. 在△ABC 中，∠ACB = 90°，点D ，E 分别在线段BC ，AB 上，AC = BC = 3BD = 6，∠EDC = 60°，则BE = ____，cos∠CED =___．15. 曲线y =|x|−1与x 轴围成的图形的面积是 ． 16. 已知向量c ⃗ =a ⃗ −(a⃗ 2a⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ，则向量a⃗ 和c ⃗ 的夹角为______ ． 17. 已知函数f(x)=a x +x 2−xlna ，对任意的x 1，x 2∈[0,1]，不等式|f(x 1)−f(x 2)|≤a −1恒成立，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18. 已知命题p:|4−x|≤6，q:(x −12m +12)(x −12m −2)≤0．(1)若p 是﹁q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若﹁q 是﹁p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19.已知△ABC的三个角∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c.∠A=2π，a=2√7，b=2．3(Ⅰ)求cos B；(Ⅱ)求c的长及△ABC的面积．20.已知二次函数f(x)=x2+bx+c，f(x)=f(3−x)，且f(x)的零点x1,x2满足|x1−x2|=3(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)当x∈[1,2]时，不等式f(x)≥mx−3m恒成立，求实数m的取值范围．|x−m|21.平面向量a⃗，b⃗ 满足|2a⃗−b⃗ |=1，|a⃗−2b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ 的取值范围______ ．22.已知函数f(x)=x2−ax+lnx(a∈R)．(1)若函数f(x)在x=1处取得极小值，求函数f(x)的极大值；(2)若x∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∁U N={x|x<−1，或x>1}；∴M∩∁U N={x|x<−1，或1<x≤2}．故选：A．进行交集、补集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的运算．2.答案：A解析：【分析】本题考查正弦函数的性质，属于基础题．由正弦函数的周期公式加以计算，即可得到ω的值，得出函数解析式，即可求出．【解答】解：的最小正周期为π，，∴ω=2，故，，故选A．3.答案：B解析：lga>lgb等价于a>b>0，lga>lgb可以推出a>b，但反之不成立，所以是必要不充分条件.故选B．本题考查充分条件、必要条件的判断，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．结合复数的四则运算和欧拉公式即可求解．【解答】解：2ie− π 6i=2i(√32−12i)=1+√3i，故选D．5.答案：A解析：【分析】本题考查函数图像的识别，属于基础题．利用函数的奇偶性排除B和D，再利用特殊值排除C．【解答】解：f(−x)=(−x)e −xe−2x+1=−xe xe2x+1=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除B和D；当x>0时f(x)=xe xe2x+1>0，排除C，故选A．6.答案：C解析：【分析】考查正弦型函数的单调性，属于基础题．【解答】解：f(x)=cosx−sinx=−(sinx−cosx)=−sin(x−)，由−+2kπ≤x−≤+2kπ，k∈Z，得−+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f(x)的一个减区间为[−，]，由f(x)在[0,a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选C．7.答案：B解析：【分析】化指数式为对数式，把x，y用含有m的代数式表示，代入1x +1y=2，然后利用对数的运算性质求解m的值．本题考查了指数式和对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．【解答】解：由2x=5y=m，得x=log2m，y=log5m，由1x+1y=2，得1log2m+1log5m=2，即log m2+log m5=2，∴log m10=2，∴m=√10．故选：B．8.答案：B解析：解：∵f(x)=|mx|−|x−n|<0，即|mx|<|x−n|，∴(mx)2−(x−n)2<0，即[(m−1)x+n][(m+1)x−n]<0，由题意：m+1>0，f(x)<0的解集中的整数恰好有3个，可知必有m−1>0，即m>1，(否则解集中的整数不止3个)故不等式的解为−nm−1<x<n1+m，∵0<n<1+m，∴0<n1+m<1，所以解集中的整数恰好有3个当且仅当−3≤−nm−1<−2，即2(m−1)<n≤3(m−1)，又n<1+m，所以2(m−1)<n<1+m，即2(m−1)<1+m，解得m<3，从而1<m<3，故选：B．根据f(x)=|mx|−|x−n|<0，及题意得m>1，从而−nm−1<x<n1+m，再根据解集中的整数的个数可知2(m−1)<n≤3(m−1)，解之即可．本题考查函数零点的判断，灵活对表达式进行变形、挖掘已知条件中的隐含信息是解题的关键，属于中档题．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间知识，属于基础题．求出，令f′(x)⩽0，解不等式即可．【解答】解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，，由f′(x)⩽0得，得，得，即函数的单调递减区间为．故选D．解析：解：取AC 的中点D ，则由题意可得DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AO⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如图所示．由AB =AC =4，O 为△ABC 的外心，可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos0=2×4=8． ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=x|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠BAC +y ⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =16x ⋅cos∠BAC +16y =8， ∴2x ⋅cos∠BAC +2y =1．又x +2y =1，∴2xcos∠BAC =x ．当x ≠0时，cos∠BAC =12，∴sin∠BAC =√32，∴S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =4√3．当x =0时，则y =12，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 为AC 的中点，∴点A ，0，C 共线， ∴三角形ABC 以B 为直角的直角三角形，这不可能．综上可得△ABC 面积的为4√3， 故答案为：4√3．取AC 中点为D ，则OD ⊥AC ，把写为AO⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后用两种方法写出，由数量积相等结合x +2y =1，需要分类讨论，当x ≠0求得cos∠BAC ，进一步得到其正弦值，代入三角形的面积公式求得三角形ABC 的面积，当x =0时，得到三角形为直角三角形，求出面积，问题得以解决．本题考查了向量在几何中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形面积公式的应用，是属于中档题．11.答案：−34解析：解：2m⃗⃗⃗ −n ⃗ =(7,2−2λ)，m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ =(−7,1+6λ)， ∵(2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )//(m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ )，∴7(1+6λ)+7(2−2λ)=0， 解得λ=−34． 故答案为：−34．利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：−√33解析： 【分析】本题任意角的三角函数，诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题．解：∵角α的终边经过点P(−√32,12)，，，则，故答案为−√33．13.答案：34解析：【分析】本题考查了分段函数．根据自变量的取值确定相应的解析式求解．【解答】解：∵log23>0，∴f(log23)=f(log23−2)=f(log234)，，．故答案为34．14.答案：3√2+√6，√22解析：【分析】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．由题意，在ΔEBD中，由正弦定理可得BE和ED的值，在ΔEDC中，由题意得到CD=4，根据余弦定理，先求出EC的值，然后求解．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在线段BC，AB上，所以∠EDB=120°，∠EBD=45°，∠DEB=15°，在ΔEBD中，根据正弦定理即√6−√24=√32=√22，解得BE=3√2+√6，ED=2√3+2在ΔEDC中，因为BC=3BD=6，所以CD=4，根据余弦定理得到CE=2√6，所以故答案为3√2+√6，√2215.答案：1解析：【分析】本题考查曲线与方程，考查面积的计算，考查学生的计算能力，比较基础．求出图象与x，y轴的交点，即可求曲线y=|x|−1与x轴围成的图形的面积．【解答】解：令x=0，可得y=−1;令y=0，可得x=±1，∴曲线y=|x|−1与x轴围成的图形的面积是12×2×1=1．故答案为：1．16.答案：π2解析：【分析】由数量积可得a⃗⋅c⃗=a⃗2−a⃗2=0.即可得出．本题考查了数量积运算，属于基础题．【解答】解：∵向量c⃗=a⃗−(a⃗2a⃗ ⋅b⃗)b⃗ ，∴a⃗⋅c⃗=a⃗2−a⃗2a⃗ ⋅b⃗×a⃗⋅b⃗ =a⃗2−a⃗2=0．∴a⃗⊥c⃗．∴向量a⃗和c⃗的夹角为π2．故答案为π2．17.答案：[e,+∞)解析：【分析】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了数学转化思想方法，以及利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．对函数f(x)求导数，利用导数判断函数f(x)在[0,1]上的单调性，把不等式|f(x 2)−f(x 1)|≤a −1恒成立化为f(x)max −f(x)min ≤a −1，再解含有a 的不等式，从而求出a 的取值范围． 【解答】解：因对任意的x 1、x 2∈[0,1]，不等式|f(x 1)−f(x 2)|≤a −1恒成立， 所以a >1，f ′(x)=a x lna +2x −lna =(a x −1)lna +2x ，当a >1时，x ∈[0,1]时，a x ≥1，lna >0，2x ≥0，此时f ′(x)≥0； f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)min =f(0)=1，f(x)max =f(1)=a +1−lna ，而|f(x 1)−f(x 2)|≤f(x)max −f(x)min =a −lna ，由题意得，a −lna ≤a −1，解得a ≥e ， 故答案为[e,+∞)．18.答案：解：(1)由题意得：命题p ：由|4−x|≤6，化为：−6≤x −4≤6，解得−2≤x ≤10． 命题q ：q ：(x −12m +12)(x −12m −2)≤0． 解得m−12≤x ≤m+42．∴¬q ：x <m−12或x >12m +2．又∵p 是¬q 充分而不必要条件， ∴m−12>10，或12m +2<−2．∴m <−8，或m >21，所以实数m 的取值范围为(−∞,−8)∪(21,+∞)． (2)由(1)知¬p ：x <−2或x >10；¬q ：x <m−12或x >12m +2．又∵￢q 是¬p 的必要而不充分条件，∴{m−12≥−212m +2≤10，∴−3≤m ≤16..所以实数m 的取值范围为[−3,16]．解析：(1)由题意得：命题p ：由|4−x|≤6，化为：−6≤x −4≤6. 命题q ：q ：(x −12m +12)(x −12m −2)≤0.解得m−12≤x ≤m+42.可得¬q.根据p 是¬q 充分而不必要条件，可得m−12>10，或12m +2<−2.解得实数m 的取值范围．(2)由(1)知¬p ：x <−2或x >10；¬q ：x <m−12或x >12m +2.根据q 是¬p 的必要而不充分条件，可得{m−12≥−212m +2≤10，解得m 范围． 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，因为a sinA =b sinB ，∠A =2π3，a =2√7，b =2． 所以2√7sin 2π3=2sinB ．所以sinB =√2114． 因为sin 2B +cos 2B =1，∠B ∈(0,π3)，所以解得：cosB =5√714； (Ⅱ)因为a 2=b 2+c 2−2bccosA ，所以(2√7)2=22+c 2−2×2c ×cos2π3． 所以c =4，c =−6(舍)．所以S △ABC =12bcsinA =12×2×4×sin 2π3=2√3．解析：(Ⅰ)由已知及正弦定理可求sin B ，结合范围∠B ∈(0,π3)，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值．(Ⅱ)由余弦定理即可解得c 的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 20.答案：解：(Ⅰ)∵f (x )=f (3−x ),∴−b 2=32,b =−3,∵|x 1−x 2|=3,∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=9,c =0，∴f (x )=x 2−3x ．(Ⅱ)∵f (x )≥mx−3m |x−m |,∴x 2−3x ≥mx−3m |x−m |,即x ≤m |x−m |在x ∈[1,2]上恒成立． |x −m |≤m x 即−mx ≤x −m ≤m x ，x −m ≤m x ⇒m (1+1x )≥x,∴m ≥(x 21+x )max =43;当x ∈(1,2]时,m ≤(x 2x−1)min =4,综上所述，m 的取值范围是[43,4]．解析：本题考查函数的解析式以及函数的综合运用，考查学生的计算能力和逻辑能力，较难．(Ⅰ)根据题意找出能求出b，c的条件式即可．(Ⅱ)此问需分类讨论求解．21.答案：[−19,1]解析：解：设两个向量的夹角为θ，因为|2a⃗−b⃗ |=1，|a⃗−2b⃗ |=1，所以4a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=1，a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=1，所以a⃗2=b⃗ 2，a⃗⋅b⃗ =5a⃗2−14所以5a⃗2−4a⃗2cosθ=1，所以a⃗2=15−4csoθ∈[19,1]，所以5a2−1∈[−49,4]，5a2−14∈[−19,1]，所以a⃗⋅b⃗ ∈[−19,1]；故答案为：[−19,1]．设两个向量的夹角为θ，将已知的等式两边平方，求出两个向量的模相等，将所求用夹角表示，通过三角函数的值域求出向量a⃗的模的平方的范围，进一步求数量积的范围．本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．22.答案：解：(1)∵f(x)=x2−ax+lnx(a∈R)在x=1时取得极值，f′(x)=2x−a+1x，∴f′(1)=0，∴2−a+1=0，解得a=3，经过验证满足条件．(2)∵x∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，∴a≥x+lnxx −1x=ℎ(x)．ℎ′(x)=1+1x2+1−lnxx2=x2+2−lnxx2>0，∴函数ℎ(x)在x∈(0,e]单调递增，∴x=e时，ℎ(x)取得最大值，ℎ(e)=e+1e −1e=e．∴a≥e．解析：本题考查了利用导数研究函数的极值与最值，考查了等价转化方法、推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由f(x)=x2−ax+lnx(a∈R)在x=1时取得极值，可得f′(1)=0，解出a即可得出．(2)x∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，可得a≥x+lnxx −1x=ℎ(x).利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．。

2019学年第一学期期中考试高三（理）数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.第 Ⅰ 卷 （选择题 共50分）注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. =︒330tan (A) 3 (B)3- (C)33 (D) 33-2.函数f (xlg(1)x -的定义域是(A ) [-1,4] (B ) [1,4] （C ） (1, 4] （D ）（-1, 4]3. 若b a ,为实数，则“1≤+b a ”是“21≤a 且21≤b ”的 (A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4. 函数)1ln()(xx x f -=的图象是5．已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则=α2sin (B)(C) (D)(A)(A) 2524- (B)2524(C) 257-(D) 2576. 在△ABC 中，点M 满足0=++MC MB MA ，若 0=++AM m AC AB ，则实数m 的值是 (A) 3 (B) 23 (C) 23- (D)3-7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且224,6a S ==，则64n nS a +的最小值是 (A) 7 (B)152(C) 8(D)1728. 若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+0033022m y x y x y x ，且x y +的最小值为1-，则实数m 的值是（A ）0 （B ）1- （C ）1 （D ）29．函数()M f x 的定义域为R ，且定义如下：1(),()0(),M x M f x x M ∈⎧=⎨∉⎩（其中M 为非空数集且R M ⊆），在实数集R 上有两个非空真子集A 、B 满足AB =∅，则函数()1()()()1A B A B f x F x f x f x +=++的值域为(A) ∅ (B) {12} (C) {1} (D) {12,1}10．将函数1y =[])20(，∈x 图像绕原点逆时针方向旋转角θ)0(αθ≤≤，得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值是(A)6π(B)4π (C)3π (D)2π第 Ⅱ 卷 （非选择题 共100分）注意事项：将卷Ⅱ的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11.公差为1的等差数列{}n a 满足2469a a a ++=，则579a a a ++的值等于 ▲ ．12.已知a 与b 为两个不共线的单位向量，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则实数k = ▲ .13．在直角三角形ABC 中，，1,==⊥AC AB AC ABDC BD21=，则⋅的值等于 ▲ ． 14．函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如右图所示，则(0)f 的值是 ▲ .15.圆014222=+-++y x y x 关于直线 ),(022R b a by ax ∈=+-对称，则b a ⋅的取值范围 是_ __ ▲ ____ .16.等比数列{}n a 中，120121,9a a ==，函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+，则曲线()y f x = 在点(0,(0))f 处的切线方程为 ___ ▲ _____ .17.函数y ＝11－x 的图象与函数2sin y x π= (24x -≤≤)的图象所有交点的横坐标之和等于 ▲ .三、解答题：本大题共5小题．共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,且满足sin cos b A B =． (Ⅰ)求角B 的值； (Ⅱ)若cos 2A =sin C 的值．19.（本题满分14分） 函数22x y -=和213y x =的图象如图所示，其 中有且只有1x x =、2x 、3x 时，两函数数值相等，且1230x x x <<<，o 为坐标原点．(Ⅰ)请指出图中曲线1C 、2C 分别对应的函数； (Ⅱ)现给下列三个结论： ①当(,1)x ∈-∞-时，22x -<213x ； ②2(1,2)x ∈；③3(4,5)x ∉， 请你选择两个结论判定其是否 成立，并说明理由．20. (本题满分14分)已知数列}{n a ，}{n b 满足：291=a ，n n n a a 2621⋅=-+, 12+-=n n n ab (∈n N *)． (Ⅰ)证明数列}{n b 为等比数列．并求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (Ⅱ)记数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若对任意的∈n N*都有nn n b m T S ≤，求实数m 的最小值．21．(本题满分15分) 已知二次函数)0,,,()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为1-．(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)设()()()1g x f x m f x =--+，若)(x g 在]1,1[-上是减函数，求实数m 的取值范围；22．(本题满分15分)已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小值为1，当[0,)x ∈+∞时，()xf x ae =．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求最大的整数(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t ex +≤．(注:e 为自然对数的底数)第19题图高三数学（理科）参考答案18. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,且满足sin cos b A B =． (Ⅰ)求角B 的值；(Ⅱ)若cos2A =sin C 的值．解：(Ⅰ)由正弦定理BbA a sin sin =及已知条件sin cos b AB 得…………………2分 B A A B cos sin 3sin sin =,………………………………………………4分 又因为0sin ≠A ,所以B B cos 3sin =，即3tan =B ，……………………6分又),0(π∈B ,所以3π=B ;…………………………………………………7分(Ⅱ)因为cos2A =5312cos2cos 2=-=A A ,………………………9分 又),0(π∈A ,所以54sin =A ，由(Ⅰ)知32π=+C A ，………………………11分 所以10334sin 32cos cos 32sin )32sin(sin +=-=-=A A A C πππ.…………14分 19．函数22x y -=和213y x =的图象如图所示，其 中有且只有1x x =、2x 、3x 时，两函数数值相等，且1230x x x <<<，o 为坐标原点． (Ⅰ)请指出图中曲线1C 、2C 分别对应的函数； (Ⅱ)现给下列三个结论： ①当(,1)x ∈-∞-时，22x -<213x ； ②2(1,2)x ∈；③3(4,5)x ∉， 请你选择两个结论判定其是否 成立，并说明理由．解：（Ⅰ）1C 为213y x =，2C 为22x y -=； ………………………………………5分 （Ⅱ）结论①成立，理由如下：函数22x y -=在(,1]-∞-上是增函数，∴(,1)x ∈-∞-时，2121228x ---<=.又函数213y x =在(,1]-∞-上是减函数， ∴(,1)x ∈-∞-时，22111(1)333x >⨯-=而1183<，所以当(,1)x ∈-∞-时，22123x x -<；结论②成立，理由如下： 构造函数221()23x f x x -=-， 则11(1)0,(2)063f f =>=-< ∴()f x 在区间(1,2)内有零点.同理()f x 在区间（5，6）内有零点，由题意∴2(1,2)x ∈ ；3(5,6)x ∈. 结论③成立，理由同② …………………………………14分 20．已知数列}{n a ，}{n b 满足：291=a ，n n n a a 2621⋅=-+, 12+-=n n n ab (∈n N *)． (Ⅰ)证明数列}{n b 为等比数列．并求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (Ⅱ)记数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若对任意的∈n N*都有nn n b m T S ≤，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）由已知得 1212)2(2+++-=-n n n n a a ，……………………………2分所以n n b b 211=+， 因为211=b ，所以}{n b 为等比数列. ………………………………………4分所以n n b )21(=， ……………………………………………6分进而n n n a )21(21+=+. ……………………………………………7分（Ⅱ）1211422121)2121()222(2132+--=++++++++=++n n n n n nn T S 124+⋅=n ……………………………10分则n n n m 21421)124(+=+⋅≥对任意的∈n N *成立． ……………………12分 所以数列}214{n +是递减数列，所以29)214(max =+n所以m 的最小值为29． ……………………………………………………14分 21. 已知二次函数)0,,,()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为1-． (Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)设()()()1g x f x m f x =--+，若)(x g 在]1,1[-上是减函数，求实数m 的取值范围； 解: （Ⅰ） 由题意设)2()(+=x ax x f ，…………………………………………3分 ∵ )(x f 的最小值为1-，∴ 0>a ，且1)1(-=-f ，∴ 1=a ，∴ x x x f 2)(2+= . ………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵ 1)1(2)1()(2++--=x m x m x g ， ………………………………8分 ① 当1=m 时，14)(+-=x x g 在[-1, 1]上是减函数，∴ 1=m 符合题意. ……………………………………………………10分② 当1≠m 时，对称轴方程为：mmx -+=11， ⅰ）当01>-m ，即 1<m 时，抛物线开口向上，由111≥-+mm， 得 m m -≥+11 ， ∴ 10<≤m ；……12分 ⅱ）当01<-m ， 即 1>m 时，抛物线开口向下，由111-≤-+mm，得 m m +-≥+11， ∴1>m . ……14分 综上知，实数m 的取值范围为[)∞+,0．………………………………15分22. 已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小值为1，当[0,)x ∈+∞时，()xf x ae =．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求最大的整数(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t ex +≤．(注:e 为自然对数的底数)解：（Ⅰ）因为()xf x ae =为单调函数，故(0)1f =，得1a =, ………………2分当0x <时，0x ->，则()()3xf x f x e -=-=综上：,0(),0x x e x f x e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ; …………………………………5分（Ⅱ）因为任意[1,]x m ∈，都有()f x t ex +≤ 故(1)f t e +≤且()f m t em +≤当10t +≥时，1te e +≤，从而11t +≤，10t ∴-≤≤ 当10t +<时，(1)t ee -+≤，从而(1)1t -+≤，21t ∴-≤<- 综上20t -≤≤2m ≥，故0m t +> 故()f m t em +≤得：m teem +≤ 即存在[2,0]t ∈-，满足tmem e e ≤2min {}t m eme e e-∴≥=，即30m e e m -≤ 令3()xg x e e x =-，[2,)x ∈+∞，则3'()xg x e e =- 当(2,3)x ∈时，'()0g x <，()g x 单调递减 当(3,)x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 单调递增又3(3)20g e =-<，3(2)0g e =-<，3(4)(4)0g e e =-<，32(5)(4)0g e e =-> 由此可见，方程()0g x =在区间[2,)+∞上有唯一解0(4,5)m ∈， 且当0[2,]x m ∈时()0g x ≤，当0[,)x m ∈+∞时()0g x ≥m Z ∈，故max 4m =，此时2t =-. ………………………………12分下面证明：|2|(2)x f x e ex --=≤对任意[1,4]x ∈恒成立①当[1,2]x ∈时，即2xeex -≤，等价于x e xe ≤[1,2]x ∈，,1x e e x ∴≥≥，x xe e ≥②当[2,4]x ∈时，即2x eex -≤，等价于3max {}0x e x --≤令3()x h x e x -=-，则3'()1x h x e -=-()h x ∴在(2,3)上递减，在(3,4)上递增max max{(2),(4)}h h h ∴=而1(2)20,(4)40h h e e=-<=-< 综上所述，(2)f x ex -≤对任意[1,4]x ∈恒成立. …………………15分。

浙江省杭州地区(含周边)重点中学2018-2019学年第一学期高三期中考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集1，2，3，，集合2，，集合，则A. B.C. 1，D. 1，2，3，【答案】C【解析】【分析】进行补集、并集的运算即可．【详解】；1，．故选：C．【点睛】本题考查并集和补集的运算，是基础题.2.已知复数z满足为虚数单位，则z等于A. iB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由条件可得，再利用两个复数代数形式的除法法则求出结果．【详解】解：复数z满足，，故选：B．【点睛】本题主要考查复数的除法，属于基础题．3.设，那么“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，但，故是的必要不充分条件.考点：充要条件．4.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项B、C项，然后利用特殊值判断，即可得到答案．【详解】由题意，函数满足，所以函数为偶函数，排除B、C，又因为时，，此时，所以排除D，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除，以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题.5.已知等差数列的前n项和为，，，为等比数列，且，，则的值为A. B. 9 C. D. 27【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为d，运用等差数列求和公式解方程可得首项和公差，可得等差数列的通项公式，再设等比数列公比为q，运用等比数列的通项公式，即可得到所求值．【详解】解：等差数列的公差设为d，前n项和为，，，可得，，解得，，即有；设为公比为q的等比数列，且，，可得，，故选：C．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将已知条件两边平方，判断和的符号，将已知条件和联立，解方程组求得的值.【详解】由两边平方并化简得，而，故.由解得.故选A.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数值正负的判断，还考查了方程的思想，属于属于基础题.三角函数值的正负是由角所在的终边所在的象限来确定的，本题中题目给定角的取值范围，结合已知条件可以判断出正弦值和余弦值的符号，同时也可得到本小题解是唯一的.7.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.8.设单位向量，对任意实数都有，则向量，的夹角为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可设的夹角为，根据为单位向量，对两边平方可得，，整理可得，，而该不等式对于任意的恒成立，从而得出，从而得出，这样即可求出．【详解】解：是单位向量，设的夹角为；对两边平方得，；整理得，，该不等式对任意实数恒成立；；；；又；．故选：D．【点睛】本题考查单向量数量积的运算，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角，是综合题，注意平方后转化为9.已知定义在R上的奇函数，满足当时，则关于x的方程满足A. 对任意，恰有一解B. 对任意，恰有两个不同解C. 存在，有三个不同解D. 存在，无解【答案】A【解析】【分析】先通过导数研究函数在上的单调性，再根据奇偶性得函数图象的对称性，最后结合图象可得选A．【详解】当时，，，时，；时，，在上递减，在上递增，，在上递增，又x大于0趋近于0时，也大于0趋近于0；x趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解．故选：A．【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用，函数的单调性，属难题．10.设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，可令，判断可得，可得，化为，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范围．【详解】，，令，，，，，，，y，z能组成一个三角形的三条边长，可得，即为，设，可得，可令，即有，即为，由，当且仅当上式取得等号，但，可得，则，即；又设，可得，由的导数为，由可得，即函数y为增函数，可得，即有，即有，可得，故选：C．【点睛】本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题，关键是转化为关于的函数求最值.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题意可知z，y，z依次成公比为的等比数列，根据等比数列的性质及求和公式即可求得答案．【详解】设牛、马、羊的主人应赔偿的斗栗分别为x,y,z.由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则，解得，则，羊的主人应赔偿斗粟；牛主人比羊主人多赔偿斗粟．故答案为：；．【点睛】本题考查等比数列的性质与前n项和，属于基础题．12.已知函数，则______，若，则实数x的取值范围是______．【答案】(1). 2(2). 或【解析】【分析】先求，再求；分和两种情况代的解析式，解方程即可．【详解】因为，，当时，由得；当时，由3，得，故答案为：2，或【点睛】本题考查分段函数,解不等式属基础题．13.已知，则______，又，则______．【答案】(1). (2). 3【解析】【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得的值；再利用两角差的正切公式求得的值．【详解】解：已知，则．，则，故答案为：；3．【点睛】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题，注意配凑角的应用.14.在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且，，，则角______，______．【答案】(1). (2). 6【解析】【分析】由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得：，结合，可求，结合范围，可求C的值，进而由余弦定理可求，解得a的值．【详解】，由正弦定理可得：，可得：，，可得：，，，又，，由余弦定理，可得：，即，解得：，或舍去．故答案为：，6．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.已知实数a，b满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先利用换元法求出，，进一步利用设a，b为的两根，最后利用判别式求出结果．【详解】设，则：，解得：，，所以：，所以：，设a，b为的两根，则：，，即：，利用，解得：，由于：，解得：．故：，即：的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查换元法的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，判别式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．16.已知平面向量，，满足，，的夹角为，，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】题意可设，，，结合已知可得，结合点到直线的距离公式及圆的性质可求【详解】，，的夹角为，由题意可设，，，，，即，由圆的性质可知，上的点到直线的距离的最大值为：，则的最大值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质的应用，圆的性质的灵活应用是求解本题的关键．17.已知函数，对于任意的，，都存在使得成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为存在使的或成立，故或，通过讨论b的范围求出m的范围即可．【详解】的定义域为，，，，函数在上单调递增，，，存在使得成立，存在使的或成立，或，当时，，，显然一定成立，当时，只能，即，故只需，又，故，，故答案为：．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数1求函数的最小正周期和单调递增区间；2当时，求函数的值域．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】1利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．2当时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．【详解】1求函数的最小正周期为．令，求得，故函数的单调增区间为，．2当时，，，，故函数的值域为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.已知等差数列满足：，，1求数列的通项公式；2若，试求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1直接利用已知条件求出数列的通项公式．2利用1的通项公式，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的和．【详解】1设首项为，公差为d的等差数列满足：，，所以：，解得：，故：．2由1得：，，．则：，，．【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.已知函数，其中．1当时，求在上的值域；2若在上为单调函数其中e为自然对数的底数，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1将代入函数的解析式，利用导数判断函数的单调性，从而求出函数在区间上的最大值和最小值，从而求出值域；2由函数在区间上单调递增，得出函数在区间上为增函数，从而转化为导数在区间上恒成立，且有，从而求出m的取值范围．【详解】解：1当且当时，，则，此时，函数在区间上单调递增，则，．因此，函数在上的值域为；2由于函数在区间上单调递增，且函数在上为单调函数，所以，函数在上为单调递增函数，且，得．另一方面，当时，，二次函数图象对称轴为直线．当时，即当时，二次函数在区间上单调递减，则，解得，此时，m不存在；当时，即当时，则有，解得，此时，．综上所述，实数m的取值范围是．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查利用导数来研究函数的基本性质，属于中等题．21.已知数列满足，1求数列的通项公式；2数列满足，数列的前n项和，设，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】1直接利用递推关系式求出数列的通项公式．2利用1的通项公式，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：1数列满足，则：，得：，整理得：，所以：．当时，首项符合通项，故：．证明：2数列满足，则：，数列的前n项和，，，则：，所以：．【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型，第二问关键是的变形.22.已知函数．1若函数有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；2若是的极大值点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1求出函数的导数，解关于导函数的不等式，结合函数的极值点的个数求出a的范围即可；2求出，得到，记，，根据函数的单调性求出的范围即可．【详解】解：1，记，，令，解得：或，故在递增，在递减，在递增，又且时恒成立，有2个变号零点得：；2由1知且，故，故记，，则，故在递减，在递增且，，，故．【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。

2018学年第一学期杭州高级中学高三期中考试数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

一、选择题.1.已知集合，那么（）A. B. C. D. {0，1，2}⊊A【答案】B【解析】【分析】通过题设条件与选项，直接判断元素与集合的关系，以及集合与集合的关系即可．【详解】因为集合A＝{0，1，2}，所以0∈A，选项A不正确，选项B正确，选项C是集合与集合之间的关系，错用元素与集合关系；选项D两个集合相等，所以D错误．故选：B．【点睛】本题考查集合与集合之间的关系，元素与集合的关系的应用，考查基本知识的掌握情况．2.复数（为虚数单位）的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【详解】，则．故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.定义在上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：因f（x）满足：对任意的x1, x2（x1≠x2）, 有（x1-x2）[f（x2）-f（x1）]>0,可得函数f（x）在单调递减，又f（x）是偶函数，可得f（x）在单调递增，当时，有，则，即，故选B.考点：函数的单调性及奇偶性.4.已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）A. 向右平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向左平移个长度单位【答案】A【解析】由图象可知，A＝1，，即T＝π，故ω＝2于是f（x）＝sin（2x＋Φ），且f（）＝sin（＋Φ）＝－1，其中|Φ|＜，可得Φ＝要得到g（x）＝sin2x的图象，只需将f（x）的图象向右平移即可.考点：三角函数图象及其变换5.钝角三角形的面积是,，则( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】,若B 为锐角，则不合题意；所以B 为钝角，则选D.6.若=，则的取值范围是( )A. B.C.D.(以上)【答案】D 【解析】 【分析】利用平方关系化简分式，结合右侧式子，可判断出cosx 的符号，从而得到结果．【详解】∵sin 2x +cos 2x ＝1，即cos 2x ＝1﹣sin 2x ＝（1+sin x ）（1﹣sin x ），∴，∵，∴cos x ＜0， ∴x 的范围为2k π＜x2k π（k ∈Z ）．故选：D ．【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及余弦函数的性质，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 7.设，则“”是“”成立的（ ）A. 充要不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要也不必要条件 【答案】C 【解析】 试题分析：当时，，当一正一负时，，当时，，所以，故选C ．考点：充分必要条件．8.有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有( )A. 1260B. 2520C. 2025D. 5040【答案】B【解析】【分析】首先分析题目求不同的选法种数，故可先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙或丙任务，即可列出式子，求解得到答案．【详解】分析题目先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙丙任务．故可列出：C104•C42•A22＝2520．故选：B．【点睛】排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．9.已知函数与函数的图象的对称轴相同，则实数的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先对函数进行变形求出其对称轴，再y＝sin2x+a cos2x用和角公式变形，求出用参数表示的对称轴，得到关于参数的方程求参数．【详解】cos（2x），令2x kπ，得x，k∈Z故函数的对称轴为x，k∈z函数y＝sin2x+a cos2x sin（2x+θ），tanθ＝a令2x+θ＝nπ，可解得x，n∈Z，故函数y＝sin2x+a cos2x的对称轴为x，n∈Z，因为两函数的对称轴相同,此时有即，n、k∈Z，∴a＝tanθ．故选：D．【点睛】本题考查二倍角公式以及三角函数的性质，考查正弦型函数的对称问题，考查计算能力，属于中档题．10.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意首先得得到函数的具体表达式，，再由可得出f（x）的表达式，在根据函数思维求出f（x）最小值解不等式即可.点睛：考查函数的解析求法，解本题关键就是要能合理的运用已知条件将变量的范围变化到已知表达式范围中，然后根据函数的最值思维即可得出结论.二、填空题。

2019届浙江省杭州市高三教学质量检测数学试题一、单选题1．设集合{}{}21,|4A x x B x x =>=≤，则A B =I ( ) A ．()1,2 B ．(]1,2C ．(]0,2 D ．()1,+∞【答案】B【解析】首先求解集合B ，然后求A B I . 【详解】24x ≤，解得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤， 所以{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的交集，重点考查不等式的解法，属于基础题型.2．已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+( )A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -【答案】A【解析】根据完全平方和除法计算公式计算结果. 【详解】原式()()()()()211212215112225i i i i ii i i i i +----=====++++-.故选：A 【点睛】本题考查复数的化简求值，属于基础计算题型.3．二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( )A ．20B ．-20C ．160D ．-160【答案】D【解析】首先写出二项式的通项公式()6621612rrr r r T C x --+=-⋅⋅，然后令3r =求常数项. 【详解】()()66621661212rrr r rr r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭当620r -=时，3r = ，所以二项式的常数项为()333612160C -⋅=-.故选：D 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求法，重点考查通项公式，属于基础题型. 4．“a b >”是“a a b b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件. 【详解】22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，函数是奇函数，并且在R 上单调递增，所以a b >时，a a b b >，反过来，若满足a a b b >时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b >”的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.5．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )A ．3B ．5C ．6D ．12【答案】B【解析】首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积. 【详解】由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，并且三棱锥的体积113113⨯⨯⨯=， 中间棱柱的体积131232V =⨯⨯⨯= , 所以该刍甍的体积是1235⨯+=. 故选：B 【点睛】本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型. 6．函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先判断函数零点，并判断零点左右的正负，排除选项，得到正确答案. 【详解】由函数可知函数有两个零点，1,x =和2x =，当2x >时，0y >，2x <且1x ≠时，0y < ，故排除B,C,D. 满足条件的是A. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，重点考查函数性质的灵活应用，属于基础题型，一般函数图象的识别，首先考查函数的定义域，零点，单调性，极值，特殊值等，一般都是排除选项，得到正确答案.7．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.ξ1 2 3Pabcη1 2 3 P cba命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假【答案】C【解析】首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()22D E E ξξξ=-，利用公式1a b c ++=，计算D D ξη-的值.【详解】12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++ 12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，()249E a b c ξ=++，()()2223E a b c ξ=++，所以()()24923D a b c a b c ξ=++-++()294E a b c η=++，()()2232E a b c η=++，()()()()2229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，()()()()()2283223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题. 综上可知p 假q 真. 故选：C 【点睛】本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=. 8．设函数()111222xxf x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()()y f f x =( )A ．是偶函数也是周期函数B ．是偶函数但不是周期函数C ．不是偶函数是周期函数D ．既不是偶函数也不是周期函数【答案】A【解析】首先去绝对值，得到分段函数()y f x =，判断函数的奇偶性，然后根据()f x 的值域，求函数()()y f f x =，判断函数的周期性.【详解】当1x >时，1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()1111122222x xx f x -⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当1x ≤时，11,122x⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()11112222xxf x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以()112122x f x -⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ 11x x ≤> ， 函数满足()()f x f x -= ， 所以函数()f x 是偶函数， 那么()()()()ff x f f x -=，所以函数()()y f f x =是偶函数，1x >时，10x -<，所以1021x -<<，11112222x --<-<，所以函数()f x 的值域是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， 所以()12f f x =-⎡⎤⎣⎦， 所以()()y ff x =是常函数，所以是周期函数，综上可知，函数()()y f f x =是偶函数，也是周期函数.故选：A 【点睛】本题考查含绝对值函数，判断函数的奇偶性和周期，重点考查函数解析式和性质的灵活运用，属于中档题型，本题的关键是求函数()y f x =. 9．已知数列{}n a 满足112(,2)n n n a a a n n *-+∈≥N ≤＋，则（ ） A ．52143a a a ≤- B ．2736a a a a +≤+ C ．76633()a a a a -≥- D ．2367a a a a +≥+【答案】C【解析】由112n n n a a a -+≤＋可知11n n n n a a a a -+-≤-，再根据这个不等关系判断选项正误． 【详解】由题得11n n n n a a a a -+-≤-，则有213243546576a a a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-≤-， 76435465633()()()()a a a a a a a a a a -≥-+-+-=-，故选C ．【点睛】本题考查数列的递推关系，用到了放缩的方法，属于难题．10．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点.若椭圆Γ的离心率不大于2，则a 的取值范围为（ ）A ．(B ．2⎛ ⎝C ．⎛ ⎝⎦D ．⎛ ⎝⎦【答案】D【解析】由题意可得a >1，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，直径所对的圆周角为直角，化为12120x x y y +=，化简整理，结合离心率公式和不等式的解法，可得a 的范围． 【详解】椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，可得a >1，由1x y +=联立椭圆方程可得()222222220a bxa x a ab +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ,可得2222121222222,a a a b x x x x a b a b -+==++， 线段MN 为直径的圆经过原点，可得OM ⊥ON ， 即有12120x x y y +=，可得()()1212110x x x x +--=， 化为()1212210x x x x +-+=，则222222222210a a b a a b a b -⋅+-=++，化为22222a b a b +=，由2e ≤,可得22314b a -≤，即2214b a ≥,可得22212a a a ≥-，即有2214a -≤,解得a ≤， 可得12a <≤ 故选：D . 【点睛】本题主要考查直线与椭圆位置关系问题，根据题目条件列出不等式，重点在于联立方程利用韦达定理代入，化简不等关系可解，属于综合题.二、双空题11．双曲线2214x y -=的焦距为__________；渐近线方程为__________．【答案】 12y x =±【解析】由双曲线2214x y -=可知，224,1,a b ==故2225c a b =+=,焦距2c =渐近线:12b y x x a =±=±,故答案为(1) ， (2) 12y x =±.12．设函数()()()log 020a x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a=________；()()2f f =________.【答案】14 2【解析】代入分段函数求a 的值，然后再求()2f 和()()2f f 的值. 【详解】111log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得121124a a =⇒=所以()14log 2x x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x >≤ ，那么()1412log 22f ==-，所以()()1212222f f f -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.故答案为：14；2【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.13．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1cos 24C =-，则sin C =________；当2a =，2sin sin A C =时，则b =________.或【解析】首先根据二倍角公式2cos 212sin C C =-计算求值，再根据正弦定理得到2c a =，最后利用余弦定理2222cos c a b ab C =+-，求b .【详解】21cos 212sin 4C C =-=-，所以25sin 8C =0c π<<Q ，sin C ∴=所以cos 4C =±, 由正弦定理可知24c a ==，2222cos c a b ab C ∴=+-,当cos 4C =时，整理为2120b --= ，即(0b b +-=，所以b =当cos 4C =-，整理为2120b +-=，即(0b b -+=，所以b =，所以b =.故答案为：4或【点睛】本题考查二倍角公式，正余弦定理，解三角形，重点考查公式的灵活运用，属于基础题型.14．设实数x，y满足不等式组2502700,0x yx yx y+-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩，则2x y+的最小值是________；设22d x y=+，则d的最小值等于________.【答案】5 49 5【解析】首先画出可行域，并且做出初始目标函数20x y+=，根据2z x y=+的几何意义确定z的最小值，再根据22d x y=+的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，由图象确定最小值.【详解】首先如图作出可行域，令2z x y=+，设0z=时，作出初始目标函数20x y+=20x y+=与边界250x y+-=平行，平移初始目标函数20x y+=，当2z x y=+与250x y+-=重合时，z取得最小值，所以5z=；22d x y=+表示可行域内的点与原点连线距离的平方，由图象可知，可行域内的点到原点的最小距离就是原点到直线270x y+-=的距离，即22775521d-'==+，那么d的最小值是275495⎛⎫=⎪⎪⎝⎭.故答案为：5；495【点睛】本题考查线性规划和非线性规划，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.三、填空题15．已知集合{}13,5A =,，{}0,2,4B =，分别从A ，B 中各取2个不同的数，能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是________（用数字作答）. 【答案】32【解析】首先先从两个集合分别选出两个元素，这四个数加起来能被3整除，然后再排列4为偶数，得到最后结果. 【详解】首先先从两个集合中选取元素，分别选取1,3,0,2，1,5,2,4，3,5,0,4共3种组合情况，当四个数是1,3,0,2时，能组成的偶数：个位是0时，共有336A =种，个位是2时，有2224A =种，有6410+=种，当四个数是1,5,2,4时，能组成的偶数有33212A =种，当四个数是3,5,0,4时，能组成的偶数：个位是0时，共有336A =种，个位是4时，有2224A =种，有6410+=种，综上可知能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是10+12+10=32种. 故答案为：32 【点睛】本题考查分步计数和分类计数原理，以及排列，重点考查分析，抽象转化的应用能力，属于中档题型，本题的关键是正确选出4个数字.16．已知向量()1,2a =r ，平面向量b r满足()2a b a +⋅=v v v v，则()4b a b -⋅v v v 的最小值等于________. 【答案】20【解析】由已知条件变形可得10a b ⋅=-rr r ，再利用数量积的公式，将()4b a b-⋅v v v 变形为关于b r的二次函数求最小值.【详解】()222a b a a a b +⋅=+⋅=r rr r r r即105a b b +⋅=r r r ，即510a b b ⋅=-rr r ，()22444540b a b b a b b b -⋅=-⋅=-+r r r r r r r r()22520b =-+r，当25b =r 时，可得()4b a b -⋅r rr 的最小值是20.故答案为：20 【点睛】本题考查向量数量积的应用，二次函数求最值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.17．如图，已知矩形ABCD ，3AB =，1AD =，AF ⊥平面ABC ，且3AF =.E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△ADE 翻折成D AE 'V ，M 为BD '的中点，则三棱锥M BCF -体积的最小值是________.【答案】312【解析】首先分析出11123322BCF S BC BF =⨯⨯=⨯⨯=V 即求棱锥M BCF -体积的最小值即求点M 到平面BCF 的距离的最小值，转化为求点D ¢到平面BCF 距离的最小值，由条件确定点D ¢的运动轨迹为以A 为球心，半径为1的球面的一部分，然后根据图象分析点D ¢到平面BCF 距离的最小值. 【详解】因为AF ⊥平面ABCD ，所以AF BC ⊥, 又因为AB BC ⊥，AB AF A =I ， 所以BC ⊥平面ABF ， 所以BC BF ⊥()223323BF =+=所以11123322BCF S BC BF =⨯⨯=⨯⨯=V所以求棱锥M BCF -体积的最小值即求点M 到平面BCF 的距离的最小值， 因为点M 是BD '的中点，所以点M 到平面BCF 的距离是点D ¢到平面BCF 距离的一半， 因为1AD '=,随着点E 在线段DC 上移动，点D ¢的运动轨迹为以A 为球心，半径为1的球面的一部分， 因为BC ⊥平面ABF ，所以平面BCF ⊥平面ABF ，并且交于BF ， 所以如图，过点A 作AH BF ⊥，即AH ⊥平面BCF ，当D ¢为AH 与球面的交点G 时，D ¢到平面BCF 的距离最小， 此时点E 在线段DC 上， 根据AB AF BF AH ⋅=⋅，可得32AH =,此时31122GH =-=，即D ¢到平面BCF 的距离的最小值是12，那么点M 到平面BCF 距离的最小值是14，所以三棱锥M BCF -体积的最小值是11333412=. 故答案为：312【点睛】本题考查三棱锥体积的最小值，考查空间点的轨迹问题，意在考查空间想象能力，和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.四、解答题18．已知函数()23sin 22sin f x x x =+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-.【解析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递增区间； （2）先求26x π-的范围，再求函数sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，最后求函数的值域. 【详解】（1）因为()3sin 21cos 22sin 216f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以函数()f x 的单调增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的值域为[]1,2-. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换和函数性质的综合应用，重点考查基本变形，基本方法，属于基础题型.19．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --，求PF 的长度. 【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得cos ,m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，解方程即得解.【详解】（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ， ∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v，()1,0,0AB =u u u r由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =u u u r为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<u u u v u u u v ，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-u u u v， 设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则00m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ， ∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴cos ,3m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，得13λ=或1λ=-（舍去），∴PF =【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．设等差数列{}n a 前n 项和为n A ，等比数列{}n b 前n 项和为n B .若387n n B B +=+，12a b =，44a b =.（1）求n b 和n A ；（2）求数列{}n n b A -的最小项. 【答案】（1）12n nb -=，2n A n n =+；（2）514c =-.【解析】（1）由等比数列的性质，变形条件为3112387n n n B q B a a a B +=+++=+，列方程求等比数列的首项和公比，再由12a b =，44a b =，求等差数列的首项和公差；（2）由（1）可知122n n n b A n n +-=--，判断数列的单调性，再求最小项.【详解】（1）因为3312387n n n B q B b b b B +=+++=+，所以312387q b b b ⎧=⎨++=⎩，解得112b q =⎧⎨=⎩. 所以12n nb -=.又因为122a b ==，448a b ==，所以2d =，2n a n =，因此2n A n n =+. （2）设122n n n n c b A n n -=-=--.又因为()11221n n n c c n -+-=-+，所以当4n ≤时，1n n c c +<，当5n ≥时，1n n c c +>， 所以数列{}n c 的最小项为514c =-.【点睛】本题考查数列的基本量的求解和等比数列的性质，以及数列的单调性，最值的综合应用，意在考查转化与变形，计算能力，属于中档题型，本题第一问巧妙的运用了等比数列的性质33123n n B q B b b b +=+++，这样问题迎刃而解.21．如图，已知()1,1P 为抛物线2y x =上一点，斜率分别为k ，k -()2k >的直线PA ，PB 分别交抛物线于点A ，B （不与点P 重合）.（1）证明：直线AB 的斜率为定值； （2）若△ABP 265. （i ）求△ABP 的周长（用k 表示）； （ii ）求直线AB 的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）22125k k +；（ii ）224y x =-+. 【解析】（1）首先设直线P A 的方程为()11y k x =-+，与抛物线2y x =联立，求得点A 的坐标，将k k =-，求得点B 的坐标，再求直线AB 的斜率；（2）（ⅰ）利用弦长公式，分别求三角形的三边长，（ⅱ）首先求点P 到直线AB 的距离，再利用等面积公式转化方程求k ，最后求直线AB 的方程. 【详解】（1）设直线P A 的方程为()11y k x =-+，与抛物线2y x =联立，得210x kx k -+-=，易知()()21,1A k k --，()()21,1B k k --+， 所以直线AB 的斜率2AB k =-（定值）.（2）由（1）得直线AB 的方程为()()2211y x k k =--++-，所以点P 到直线AB的距离2d =. ()2AP k =-，()2BP k =+，AB =.（ⅰ）求ABP ∆的周长2l =； （ⅱ）设ABP ∆的内切圆半径为r，则r =-2AB d r l⋅====5k =. 所以直线AB 的方程为224y x =-+. 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，坐标法解决几何问题的思想，属于中档题型，本题的关键是利用方程联立求出点,A B 的坐标.22．已知函数()()1xf x x e =-.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若方程()(),f x ax b a b R =+∈有非负实数解，求2+4a b 的最小值. 【答案】（1）()0,∞+；（2）()24ln 21--.【解析】（1）首先求函数的导数()xf x xe '=，直接求函数的单调递增区间；（2）设()()g x f x ax b =--，求函数的导数()x g x xe a '=-，当0a ≤时，判断函数在()0,∞+上单调性，当有非负实数解时，求24a b +的最小值，当0a >，转化为存在00x >使()00g x '=，即00x a x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增转化为()002222000441x x a b x ex x e +≥--+，通过构造函数()()22241x x h x x e x x e =--+，求函数的最小值.【详解】（1）因为()xf x xe '=，所以函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.（2）设()()1xg x x e ax b =---，则()xg x xe a '=-.①当0a ≤时，因为()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞单调递增， 所以()010g b =--≤，得1b ≥-，故244a b +≥-. ②当0a >时，存在00x >使()00g x '=，即00xa x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增.所以()()000010xg x x e ax b =---≤，解得()()0002000011x x x b x e ax x e x e ≥--=--，因此()002222000441x x a b x e x x e +≥--+.设()()22241xx h x x ex x e =--+，则()()()222x x x h x x e e =+-'，所以()h x 在[]0,ln 2上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增， 所以()()ln 204h h <=-，()()2ln 24ln 28ln 28h x h ≥=-+-.所以当2ln2a =，22ln 22ln 22b =-+-时，24a b +取到最小值()24ln 21--，此时方程()f x ax b =+有零点ln 2.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点，属于综合性强的题型，本题的难点是第二问0a >时的讨论，通过转化，变形构造函数，转化为求函数的最小值.。

浙江省杭州地区(含周边)重点中学2018-2019学年第一学期高三期中考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集1，2，3，，集合2，，集合，则A. B.C. 1，D. 1，2，3，【答案】C【解析】解：；1，．故选：C．进行补集、并集的运算即可．考查列举法表示集合的定义，以及并集和补集的运算．2.已知复数z满足为虚数单位，则z等于A. iB.C.D.【答案】B【解析】解：复数z满足，，故选：B．由条件可得，再利用两个复数代数形式的除法法则求出结果．本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3.设a，，那么“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：由不等式的性质，，可推出，而当，时，例如取，，显然不能推出．故是的必要不充分条件．故选：B．，可推出，而当，时，例如取，，显然不能推出，由充要条件的定义可得答案．本题为充要条件的判断，正确利用不等式的性质是解决问题的关键，属基础题．4.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：函数满足，函数的偶函数，排除B、C，因为时，，此时，所以排除D，故选：A．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．5.已知等差数列的前n项和为，，，为等比数列，且，，则的值为A. B. 9 C. D. 27【答案】C【解析】解：等差数列的公差设为d，前n项和为，，，可得，，解得，，即有；设为公比为q的等比数列，且，，可得，，故选：C．设等差数列的公差为d，运用等差数列求和公式解方程可得首项和公差，可得等差数列的通项公式，再设等比数列公比为q，运用等比数列的通项公式，即可得到所求值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.已知，，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由，两边平方得：．，，．联立，解得．故选：A．把已知等式两边平方可得，由，得，，联立求得的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象若对满足的、，有，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：因为将函数的周期为，函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象若对满足的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有，不妨，，即在，取得最小值，，此时，不合题意，，，即在，取得最大值，，此时，满足题意．另解：，，设，，，，，由，可得，解得，故选：D．利用三角函数的最值，求出自变量，的值，然后判断选项即可．本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．8.设单位向量，对任意实数都有，则向量，的夹角为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：是单位向量，设的夹角为；对两边平方得，；整理得，，该不等式对任意实数恒成立；；；；又；．故选：D．可设的夹角为，根据为单位向量，对两边平方可得，，整理可得，，而该不等式对于任意的恒成立，从而得出，从而得出，这样即可求出．考查单位向量的概念，不等式的性质，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角．9.已知定义在R上的奇函数，满足当时，则关于x的方程满足A. 对任意，恰有一解B. 对任意，恰有两个不同解C. 存在，有三个不同解D. 存在，无解【答案】A【解析】解：当时，，，时，；时，，在上递减，在上递增，，在上递增，又x大于0趋近于0时，也大于0趋近于0；x趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解．故选：A．先通过导数研究函数在上的单调性，再根据奇偶性得函数图象的对称性，最后结合图象可得选A．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．10.设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，令，，，，，，，y，z能组成一个三角形的三条边长，可得，即为，设，可得，可令，即有，即为，由，当且仅当上式取得等号，但，可得，则，即；又设，可得，由的导数为，由可得，即函数y为增函数，可得，即有，即有，可得，故选：C．由题意可得，可令，判断可得，可得，化为，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范围．本题考查基本不等式的性质、组成三角形三边的大小关系，考查推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟．【答案】【解析】解：由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则，解得，则，羊的主人应赔偿斗粟；牛主人比羊主人多赔偿斗粟．故答案为：；．由题意可知z，y，z依次成公比为的等比数列，根据等比数列的性质及求和公式即可求得答案．本题考查等比数列的性质与前n项和，属于基础题．12.已知函数，则______，若，则实数x的取值范围是______．【答案】2 或【解析】解：因为，，当时，由得；当时，由 3，得，故答案为：2，或先求，再求；分和两种情况代的解析式，解方程即可．本题考查了函数的值属基础题．13.已知，则______，又，则______．【答案】3【解析】解：已知，则．，则，故答案为：；3．利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得的值；再利用两角差的正切公式求得的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．14.在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且，，，则角______，______．【答案】6【解析】解：，由正弦定理可得：，可得：，，可得：，，，又，，由余弦定理，可得：，即，解得：，或舍去．故答案为：，6．由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得：，结合，可求，结合范围，可求C的值，进而由余弦定理可求，解得a的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.已知实数a，b满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：设，则：，解得：，，所以：，所以：，设a，b为的两根，则：，，即：，利用，解得：，由于：，解得：．故：，即：的取值范围是．故答案为：．首先利用换元法求出，，进一步利用设a，b为的两根，最后利用判别式求出结果．本题考查的知识要点：换元法的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，判别式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．16.已知平面向量，，满足，，的夹角为，，则的最大值为______．【答案】【解析】解：，，的夹角为，由题意可设，，，，，即，由圆的性质可知，上的点到直线的距离的最大值为：，则的最大值为．故答案为：．由题意可设，，，结合已知可得，结合点到直线的距离公式及圆的性质可求本题主要考查了向量数量积的运算性质的应用，圆的性质的灵活应用是求解本题的关键．17.已知函数，对于任意的，，都存在使得成立，则实数m的取值范围为______．【答案】【解析】解：的定义域为，，，，函数在上单调递增，，，存在使得成立，存在使的或成立，或，当时，，，显然一定成立，当时，只能，即，故只需，又，故，，故答案为：．求出函数的导数，问题转化为存在使的或成立，故或，通过讨论b的范围求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数Ⅰ求函数的最小正周期和单调递增区间；Ⅱ当时，求函数的值域．【答案】解：Ⅰ求函数的最小正周期为．令，求得，故函数的单调增区间为，．Ⅱ当时，，，，故函数的值域为【解析】Ⅰ利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．Ⅱ当时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.已知等差数列满足：，，Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，试求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ设首项为，公差为d的等差数列满足：，，所以：，解得：，故：．Ⅱ由Ⅰ得：，，．则：，，．【解析】Ⅰ直接利用已知条件求出数列的通项公式．Ⅱ利用Ⅰ的通项公式，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的和．本题主要考察的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.已知函数，其中．Ⅰ当时，求在上的值域；Ⅱ若在上为单调函数其中e为自然对数的底数，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ当且当时，，则，此时，函数在区间上单调递增，则，．因此，函数在上的值域为；Ⅱ由于函数在区间上单调递增，且函数在上为单调函数，所以，函数在上为单调递增函数，且，得．另一方面，当时，，二次函数图象对称轴为直线．当时，即当时，二次函数在区间上单调递减，则，解得，此时，m不存在；当时，即当时，则有，解得，此时，．综上所述，实数m的取值范围是．【解析】Ⅰ将代入函数的解析式，利用导数判断函数的单调性，从而求出函数在区间上的最大值和最小值，从而求出值域；Ⅱ由函数在区间上单调递增，得出函数在区间上为增函数，从而转化为导数在区间上恒成立，且有，从而求出m的取值范围．本题考查分段函数的应用，考查利用导数来研究函数的基本性质，属于中等题．21.已知数列满足，Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列满足，数列的前n项和，设，证明：．【答案】解：Ⅰ数列满足，则：，得：，整理得：，所以：．当时，首项符合通项，故：．证明：Ⅱ数列满足，则：，数列的前n项和，，，则：，所以：．【解析】Ⅰ直接利用递推关系式求出数列的通项公式．Ⅱ利用Ⅰ的通项公式，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22.已知函数．Ⅰ若函数有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；Ⅱ若是的极大值点，求的取值范围．【答案】解：Ⅰ，记，，令，解得：或，故在递增，在递减，在递增，又且时恒成立，有2个变号零点得：；Ⅱ由Ⅰ知且，故，故记，，则，故在递减，在递增且，，，故．【解析】Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，结合函数的极值点的个数求出a的范围即可；Ⅱ求出，得到，记，，根据函数的单调性求出的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。

2019-2020学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．已知全集U R =，{|11}M x x =-<<，{|0}N y y =<，则()(UM N =⋂ð)A ．(1,0)-B ．(1-，0]C ．(0,1)D ．[0，1)2．若函数()sin f x x ω=的最小正周期为π，则正数ω的值是( ) A ．12B ．1C ．2D ．43．已知a ，b 都是实数，那么“22log log a b >>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．函数2()x x e e f x x --=的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．若函数()sin cos f x x x =+在[a -，]a 上是增函数，则正数a 的最大值是( ) A ．4πB ．2πC ．34πD ．π7．已知函数()x f x a x b =+-的零点0(x n ∈，1)()n n Z +∈，其中常数a ，b 满足20192020a =，20202019b =，则整数n 的值是( )A ．2-B ．1-C ．1D ．28．若关于x 的不等式22|1|x x m x -+++-…的解集中有2个整数，则实数m 的取值范围是()A ．21m -<-…B ．21m -<-…C ．11m -<…D ．11m -<…9．设a e π=-，1b ln π=-，e c e e π=-，则( ) A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<10．设O 是关于ABC ∆的外心，满足13()(0)24CO tCA t CB t =+-≠，若||4AB =，则ABC ∆面积的最大值是( )A ．4B ．C ．8D ．16二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．已知向量(1,2)a =-，(,1)b λ=-，则||a = ，若//a b ，则λ= ．12．已知角α的终边经过点(P -，则tan α= ，sin()cos()2ππαα+-= ．13．已知函数3,0()2,0x log x x f x x >⎧=⎨⎩…，则2(log 3)f -= ，若()2f x =，则实数x 的值是 ．14．如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中1AD =，4BC =，ADB CDB ∠=∠，则cos CDB ∠= ，AC = ．15．设1a >，曲线()x f x a =与曲线()log a g x x =有且仅有一个公共点，则实数a 的值是 ．16．已知向量a ，b ，c ，e 是单位向量，且0a b c ++=，则()()()()()()a e b e b e c e c e a e --+--+--= ．17．设a 为实数，对任意[1k ∈-，1]，当(0x ∈，4]时，不等式269lnx x x a kx +-+…恒成立，则a 的最大值是 ． 三、解答题：5小题，共74分18．设:|1|2p x x -…，2:(31)30q x m x m ---<． （1）解不等式：|1|2x x -…；（2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求m 的取值范围．19．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos 4cos a B b A =且1cos 7A =． （1）求角B 的值；（2）若8a =，求ABC ∆的面积．20．已知函数1()2f x x x=+-． （1）若不等式(2)20x x f k -…在[1-，1]上有解，求k 的取值范围； （2）若方程2(|21|)30|21|x x kf k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．21．已知平面向量a ，b ，且0a b =．（1）若||||2a b ==，平面向量c 满足||1c a b ++=，求||c 的最大值； （2）若平面向量c 满足||3c a -=，||1c b -=，1||5c 剟，求||c a b --的取值范围．22．设a ，b R ∈，已知函数()f x alnx =，2()g x x bx b =++． （1）设2()()xf x F x a =，求()F x 在[a ，2]a 上的最大值M （a ）； （2）设()()()G x f x g x =+，若()G x 的极大值恒小于0，求证：4a b e +…．2019-2020学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．已知全集U R =，{|11}M x x =-<<，{|0}N y y =<，则()(UM N =⋂ð)A ．(1,0)-B ．(1-，0]C ．(0,1)D ．[0，1)【解答】解：U R =，{|11}M x x =-<<，{|0}N y y =<， {|0}U N y y ∴=…ð，()[0U MN =ð，1)．故选：D ．2．若函数()sin f x x ω=的最小正周期为π，则正数ω的值是( ) A ．12B ．1C ．2D ．4【解答】解：函数()sin f x x ω=的最小正周期为π， 可得：2ππω=，解得2ω=．故选：C ．3．已知a ，b 都是实数，那么“22log log a b >>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：a ，b 都是实数，那么“22log log a b >” 0a b ⇒>>⇒ >”反之不成立，例如：2a =，0b =．∴ “22log log a b >>”的充分不必要条件．故选：A ．4．欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：2cos 2sin 2i e i =+， 2(,)2ππ∈，cos 2(1,0)∴∈-，sin 2(0,1)∈，2i e ∴表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B ．5．函数2()x xe ef x x --=的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数22()()()x x x xe e e ef x f x x x -----==-=--，则函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ， 当1x =时，f （1）10e e=->，排除D ． 当x →+∞时，()f x →+∞，排除C ， 故选：B ．6．若函数()sin cos f x x x =+在[a -，]a 上是增函数，则正数a 的最大值是( ) A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【解答】解：函数()sin cos f x x x =+，)4x π=+，令：22()242k x k k Z πππππ-+++∈剟，解得：322()44k x k k Z ππππ-++∈剟， 在[m -，]m 上是增函数， 所以：322()44k m x m k k Z ππππ-+-+∈剟剟， 故：当0k =时，4m π…．故选：A ．7．已知函数()x f x a x b =+-的零点0(x n ∈，1)()n n Z +∈，其中常数a ，b 满足20192020a =，20202019b =，则整数n 的值是( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：根据题意，20192020a =，则2019log 2020a =，则有1a >， 20202019b =，则2020log 2019b =，则有01b <<，对于函数()x f x a x b =+-，则1(1)10f b a-=--<，(0)10f b =->， 则函数()x f x a x b =+-在(1,0)-内有一个零点，故1n =-， 故选：B ．8．若关于x 的不等式22|1|x x m x -+++-…的解集中有2个整数，则实数m 的取值范围是()A ．21m -<-…B ．21m -<-…C ．11m -<…D ．11m -<…【解答】解：①1x …时，22|1|x x m x -+++-…，即2210x x m ---…，△44(1)48m m =++=+；②1x >时，即23x m +…；若使关于x 的不等式22|1|x x m x -+++-…的解集中有2个整数，则48010133m m m +⎧⎪-->⎨⎪+⎩…剟解得21m -<-…．故选：A ．9．设a e π=-，1b ln π=-，e c e e π=-，则( ) A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<【解答】解：0a e π=->，10b ln ln lne ππ=-=->，0e c e e π=->；设y lnx =，则b ln lne a e ππ-=-，表示了连接两点(,)ln ππ，(,)e lne 的割线的斜率，而1y x'=，当1x >时，曲线切线的斜率01k <<；故01b ln lnea eππ-<=<-，故b a <； 设xy e =，则ec e e a eππ-=-，表示了连接两点(,)e ππ，(,)e e e 的割线的斜率，而x y e '=，当1x >时，曲线切线的斜率1k >；故1c ln lnea e ππ-=>-，故c a >；故b a c <<； 故选：D ．10．设O 是关于ABC ∆的外心，满足13()(0)24CO tCA t CB t =+-≠，若||4AB =，则ABC ∆面积的最大值是( )A ．4B ．C ．8D ．16【解答】解：如图所示，取BC 的中点D ， o 为三角形的外心，OD BC ∴⊥，∴1324CO CB tCA tCB -=-∴34CO CD tCA tCB -=-∴34DO tCA tCB =-两边同时乘OB2304tCA CB tCB =-234CA CB CB =∴23cos 4ba a θ= ∴3cos 4b a θ=过点A 作BC 的垂线，交BC 于点E ； 3cos 4b a θ=即34CE a =即D 为BC 的四等分点靠近B 点∴14BE a =cos 4cos BE AB B B == 16cos a B ∴= sin 4sin AE AB B B ==11sin 22S CB AE a B ==116cos 4sin 2B =⨯⨯B 16sin =2B当4B π=时，面积S 取得最大值，最大值为16．故选：D ．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．已知向量(1,2)a =-，(,1)b λ=-，则||a =//a b ，则λ= ．【解答】解：向量(1,2)a =-，(,1)b λ=-，则2||(1)a =-=； 当//a b 时，(1)(1)20λ-⨯--=， 解得12λ=．，12．12．已知角α的终边经过点(P -，则tan α= sin()cos()2ππαα+-= ．【解答】解：角α的终边经过点(P -，则tanα==，1cos 2α==-，sin α==333sin()cos()sin sin 24ππαααα+-=-=-=-，故答案为：34-．13．已知函数3,0()2,0x log x x f x x >⎧=⎨⎩…，则2(log 3)f - 3 ，若()2f x =，则实数x 的值是 ．【解答】解：2log 30-<， ∴2321(3)23log f log --==， 在0x …时，21x <，∴当()2f x =时，由3()log 2f x x ==， 9x ∴=．故答案为：13；9．14．如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中1AD =，4BC =，ADB CDB ∠=∠，则cos CDB ∠4，AC = ．【解答】解：ABD ∆、BCD ∆分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，1AD =，4BC =， 所以4CD BC ==，设BD x =，其中0x >，则AB x =；在ABD ∆中，利用余弦定理得：22211cos 212x x ADB x x +-∠==，在BCD ∆中，利用余弦定理得：22244cos 248x xCDB x +-∠==； 由ADB CDB ∠=∠，得128xx =，解得2x =，即2BD =，所以21cos 84CDB ∠==；所以2217cos cos 22cos 12()148ADC CDB CDB ∠=∠=∠-=⨯-=-；在ADC ∆中，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-∠ 22714214()248=+-⨯⨯⨯-=，所以AC =． 故答案为：14，． 15．设1a >，曲线()xf x a =与曲线()log a g x x =有且仅有一个公共点，则实数a 的值是 1ee ． 【解答】解：依题意，设曲线()xf x a =与曲线()log a g x x =有且仅有一个公共点0(x ，0)y ， 因为函数()x f x a =与函数()log a g x x =互为反函数，所以0(x ，0)y 在直线y x =上，且y x =为两曲线的公切线．所以00y x =， 因为y x =与曲线()log a g x x =切于0(x ，0)y ， 所以切线斜率011k x lna==，即01x lna =，又000log a y x x ==， 所以001log a lnx x lna lna==， 所以01lnx =，即0x e =， 所以0ey a e ==，解得1ea e =， 故答案为：1ee ．16．设向量a ，b，c ，e 是单位向量且0a b c ++=，则()()()()()()a e b e b e c e c e a e --+--+--=2． 【解答】解：()()()11a e b e a b a b e a b c e --=-++=++； 由0a b c ++=，得a b c +=-； 所以 22()a b c +=，得 12a b =-； 所以：1()()2a e b e c e --=+； 同理：1()()2b ec e a e --=+；1()()2c e a e b e --=+； 所以则3()()()()()()2a eb e b ec e c e a e --+--+--=； 故答案为：32． 17．设a 为实数，对任意[1k ∈-，1]，当(0x ∈，4]时，不等式269lnx x x a kx +-+…恒成立，则a 的最大值是 7 ．【解答】解：对任意[1k ∈-，1]，当(0x ∈，4]时，不等式269lnx x x a kx +-+…恒成立，即2()960f x kx x x a lnx =+---…恒成立，令2()96g k xk x x a lnx =+---，(0x ∈，4]，()g k ∴在[1k ∈-，1]上单调递增，()(1)0min g k g ∴=-…即可， ()()(1)0min g k g k g =-厖，又22(1)9686g x x x a lnx x x lnx a -=-+---=-+--((0,4])x ∈，令2()86x x x lnx a ρ=-+--，则22628622()28(43)(3)(1)x x x x x x x x x x x x ρ-+-'=-+-==-+-=---，令()0x ρ'=，得3x =或1x =，(0,1)x ∴∈时，()0x ρ'<，()x ρ单调递减；(1,3)x ∈时，()0x ρ'>，()x ρ单调递增；((3,4)x ∈时，()0x ρ'<，()x ρ单调递减；ρ（1）187a a =-+-=-，ρ（4）1632641664ln a ln a =-+--=--，∴7016640a ln a -⎧⎨--⎩……解得7a …， 故答案为：7．三、解答题：5小题，共74分18．设:|1|2p x x -…，2:(31)30q x m x m ---<． （1）解不等式：|1|2x x -…；（2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）当0x …，不等式显然成立．当1x …时，不等式可化为22012x x x --⇒-剟?，即12x 剟． 当1x <时，不等式可化为220x x -+…恒成立． 综上，不等式的解集为{|2}x x …．（2）由（1）知，令p 的解集为A ，即{|2}A x x =…，q 的解集为B ，由题意知B A ⊆． 方程2(31)30x m x m ---=的两根为1-和3m ． 当13m -=时，即13m =-，B =∅，B A ⊆成立．当13m ->时，即13m <-，{|31}B x m x =<<-，B A ⊆成立．当13m -<时，即13m >-，{|13}B x x m =-<<，要使B A ⊆成立，则32m …，即1233m -<…．综上：23m …． 19．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos 4cos a B b A =且1cos 7A =． （1）求角B 的值；（2）若8a =，求ABC ∆的面积． 【解答】解：（1）cos 4cos a B b A =， sin cos 4sin cos A B B A ∴=，即1tan tan 4B A =， 又1cos 7A =，tan A ∴=∴可得11tan tan 44B A ==⨯=， tan 0B >，B ∴为锐角， ∴3B π=．（2）1,,7ABC cosA sinA ∆==中则，∴sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=根据正弦定理5sin sin c ac C A=⇒=，∴113sin 5822ABC S ac B ∆===．20．已知函数1()2f x x x=+-． （1）若不等式(2)20x x f k -…在[1-，1]上有解，求k 的取值范围； （2）若方程2(|21|)30|21|x x kf k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）()211222201222x x x xx k k =+--⋅⇒-+原式厔， 11,222x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦令，则221k t t -+…， 令2()21g t t t =-+，()[0g t ∈，1]，()k g t …有解，()max k g t ∴…，1k ∴…．（2）12212302121x x xkk -+-+-=--原式可化为，令|21|(0)x t t =->，12230kt k t t+-+-=原式可化为2(32)210t k t k ⇒-+++=，若原方程有三个不同的实数解，等价于方程2(32)210t k t k -+++=的两根分别位于(0,1)和(1,)+∞之间，令2()(32)21g t t k t k =-+++， 只需1(0)02(1)00g k g k ⎧>>-⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪>⎩，0k ∴>．21．已知平面向量a ，b ，且0a b =．（1）若||||2a b ==，平面向量c 满足||1c a b ++=，求||c 的最大值； （2）若平面向量c 满足||3c a -=，||1c b -=，1||5c 剟，求||c a b --的取值范围．【解答】解：设a OA =，b OB =，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立平面直角坐标系；（Ⅰ）则(2,0),(0,2),(,)a OA b OB c OC x y ======； 221(2)(2)1c a b x y ++=⇒+++=则；2||c x y =+(0,0)到(2,2)--之间的距离加上半径；所以||221max c =+（Ⅱ）()()(),0,0,,,a a b b c x y ===设； 依题意得222222()9()115x a y x y b x y ⎧-+=⎪+-=⎨⎪+⎩剟2211()9()5y b x a ⇒--+--剟； 225()()9x a y b ∴-+-剟；||(c a b x a --=-；故||c a b --的取值范围是22．设a ，b R ∈，已知函数()f x alnx =，2()g x x bx b =++． （1）设2()()xf x F x a =，求()F x 在[a ，2]a 上的最大值M （a ）； （2）设()()()G x f x g x =+，若()G x 的极大值恒小于0，求证：4a b e +…． 【解答】解：（1）解法一：由题知0a >，2()()xf x xlnx F x a a ==，且1()(1)F x lnx a'=+，当10x e <<时，()0F x '<；当1x e >时，()0F x '>，从而()F x 的单调递增区间是1(,)e +∞，递减区间是1(0,)e．①当12a e …，即12a e…，()max F x F =（a ）lna =； ②当1a e…时，()(2)22max F x F a ln a ==；③当112a e e<<时，(){(2)max F x max F a =，F （a ）}，又(2)F a F -（a ）244ln a lna ln a =-=； 若114a e <<时，(2)F a F >（a ），()(2)22max F x F a ln a ==； 若1124a e <…时，(2)F a F …（a ），所以()max F x F =（a ）lna =； 综上，1,04()12(2),4maxlna a F x ln a a ⎧<<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩…． 解法二：由题知0a >，1()(1)F x lnx a '=+，当10x e<<时，()0F x '<； 当1x e >时，()0F x '>，从而()F x 的单调递增区间是1(,)e +∞，递减区间是1(0,)e． 从而，(){(2)max F x max F a =，F （a ）}， 于是(2)F a F -（a ）244ln a lna ln a =-=； 当14a >时，(2)F a F >（a ），所以()(2)22max F x F a ln a ==； 当104a <…时，(2)F a F …（a ），所以()max F x F =（a ）lna =； 综上，1,04()12(2),4maxlna a F x ln a a ⎧<<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩…． （2）证明：依题知2()(1)G x alnx x b x =+++，则22()2(0)a x bx aG x x b x x x ++'=++=>， 因为()G x 存在极大值，则关于x 的方程220x bx a ++=，有两个不等的正根，不妨设12x x <， 则122ax x =，得0a >，且10x <<， 设2()2p x x bx a =++列表如下：从而()()21111()1G x G x alnx x b x ==+++极大，又211(2)bx x a =-+，从而()2111()0G x G x alnx x a b ==--+<极大，对10x <<设2(),K x alnx x a b x =--+∈，则22()0a x K x x -'=>，所以()K x 在上递增，从而3()02aK x K b <=+…．所以32a b -…，552222a a a aa b ln +-+=-+…． 设,(0)2at t =>，则()5m t tlnt t =-+，又()4m t lnt '=-． 若4(0,)t e ∈，()0m t '>；若4(t e ∈，)+∞，()0m t '<； 从而44()()m t m e e =…，即4a b e +…．。

浙江杭州高级中学2019高三上第三次抽考-数学（理）1、本试卷考试时间为120分钟，总分值为150分，不得使用计算器；2、答案一律做在答卷页上、【一】选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1. 设全集是实数集R , M ={x |x ≤1+2, x ∈R }, N ={}Z x x x x ∈≤+-,0452，那么(C R M )∩N等于 ( ) A. {4} B. {3, 4} C. {2, 3, 4} D. {1, 2, 3, 4} 2. 以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 〔 〕A. 1-=x yB. R x x y ∈-=,3C. ||lg x y =D. R x e e y x x ∈-=-, 3. 等差数列{}na的前n 项和为n S ，369-=S ，10413-=S ，等比数列{}n b 中，55a b =，77a b =，那么6b 的值〔 〕A 、24B 、24-C 、24±D 、无法确定a tb =;那么p 是q 的〔〕A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5.锐角三角形ABC 中，边长,a b 分别是方程220x -+=的两个实数根，且满足条件3cos sin 4)sin(2-=-B A B A ，那么c 边的长是()A.4C.D.6.某展览会一周〔七天〕内要接待三所学校学生参观。

每天只安排一所学校，其中甲学校 要连续参观两天，乙、丙两学校均参观一天且参观安排在甲学校参观之后，那么不同的安排方法的种类〔〕 A 、40 B 、50 C 、60 D 、120 7.偶函数）（x f 周期为2，且当[0,1]x ∈时，x x f 2)(=，假如在区间[1,3]-内，函数2)()(---=k kx x f x F 〔k R ∈且2-≠k 〕有4个不同的零点，那么k 的取值范围是() A 、)0,43(-B 、(1,0)-C 、1(,0)2-D 、)0,32(- 8.设12(,)a a a =,12(,)b b b =.定义一种向量积：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=.1(2,),(,0)23m n π==,点(,)P x y 在sin y x =的图象上运动,点Q 在()y f x = ()x R ∈的图象上运动,且满足OQ m OP n =⊗+(其中O 为坐标原点),那么()y f x =的最大值A 及最小正周期T 分别为() A 、2，πB 、2，4πC 、12，4πＤ、12，π9.设函数()y f x =在〔-∞，+∞〕内有定义、关于给定的正数K ，定义函数(),(),(),().k f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩现取函数()f x =3x x e ---、假设对任意的),(+∞-∞∈x ，恒有()Kf x =()f x ，那么〔〕A 、K 的最大值为2B 、K 的最小值为2C 、K 的最大值为1D 、K 的最小值为1 10.函数()32R f x x x =-∈，、规定：给定一个实数0x ，赋值10()x f x =，假设x 1≤244，那么接着赋值21()x f x =，…，以此类推，假设1-n x ≤244，那么1()n n x f x -=，否那么停止赋值，假如得到nx 称为赋值了n 次*(N )n ∈、赋值k 次后该过程停止，那么0x 的取值范围是〔〕A 、65(33]k k --，B 、65(3131]k k --++，C 、56(3131]k k --++，D 、45(3131]k k --++，【二】填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分、11.α的终边通过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤，那么a 的取值范围是________.12.,3,2,==⊥b a b a 且b a 23+与b a-λ垂直，那么实数λ的值为13.yx z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－18，那么常数k =.14.设210,1,()x x a a f x a ++>≠=函数有最大值，那么不等式0)(log 2>-x x a 的解集为、15.设奇函数]1,1[)(-在x f 上是单调函数，且,1)1(-=-f 假设函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，那么的取值范围是16.设A=),,(321a a a ，B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321b b b ，记A ☉B=max {}332211,,b a b a b a ，假设A=)1,1,1(+-x x ，B=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121x x ，且A ☉B=1-x ，那么x 的取值范围为. 17.在△ABC 中，4π=∠A ，D 是BC 边上一点〔D 与B 、C 不重合〕，且22||||AB AD BD DC =+⋅，那么B ∠=__________、【三】解答题：本大题共5小题，共72分、解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤、 18、〔此题总分值14分〕向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数→-→-⋅=b a x f )(，2)(→-=bx g 、〔1〕求函数)(x g 的最小正周期和单调递增区间；〔2〕在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值、19.〔此题总分值14分〕关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈. 〔1〕当k 变化时，试求不等式的解集A ； 〔2〕关于不等式的解集A ，假设满足AZ B =〔其中Z 为整数集〕.当集合B 为有限集时，求使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B 20.〔此题总分值15分〕数列}{na 满足：211-=a ，12=a ，数列}1{na 为等差数列；数列}{nb 中，n S 为其前n 项和，且431=b ，n n n n S 43341⋅=+⋅+.(1)求证：数列}{nb 是等比数列；〔2〕记1+=n nna a A ，求数列{}nA 的前n 项和S ；(3)设数列}{nc 满足nn n a b c =，n T 为数列}{n c 的前n 项和，求112-++-=n n n n T T T x 的最大值. 21.〔此题总分值14分〕曲线C ：xy e =〔其中e 为自然对数的底数〕在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ，过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ，曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ，过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ，设点n P 的坐标为(),n n x y 〔*n ∈N 〕、〔1〕分别求n x 与n y 的表达式； 〔2〕设O 为坐标原点，求21nii OP=∑22.〔此题总分值15分〕函数()aax x x x f -+-=2331(a ∈R)、 (1)当3-=a 时，求函数()x f 的极值；〔2〕设2')()()(ax x f x f x g ++=，假设函数)(x g 在区间)1,1(-有极值，求a 的取值范围；〔3〕假设函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围、杭高2018届高三第三次月考数学答案〔理科〕【一】选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1-5BBCAB6-10ADCBC∴函数)(x g 的最小周期242ππ==T 递增区间Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+,42,2πππ-----6 〔Ⅱ〕xx x x b a x f 2sin 3cos 2)2sin ,1()3,cos 2()(22+=⋅=⋅=→-→-1)62sin(22sin 312cos ++=++=πx x x31)62sin(2)(=++=πC C f ∴1)62sin(=+πC C 是三角形内角∴)613,6(62πππ∈+C ，∴262ππ=+C 即：6π=C ---------10∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a 将32=ab 可得：71222=+a a当2k =时，(,4)(4,)A =-∞+∞；〔不单独分析2k =时的情况不扣分〕 当0k <时，4(,4)A k k=+.------9 （2） 由〔1〕知：当0k ≥时，集合B 中的元素的个数无限；当0k <时，集合B 中的元素的个数有限，如今集合B 为有限集. 因为44k k+≤-，当且仅当2k =-时取等号， 因此当2k =-时，集合B 的元素个数最少. 如今()4,4A =-，故集合{}3,2,1,0,1,2,3B =---.-------14(3)n n n c )43()53(⋅-=∴)4314()43()()(211111n c c T T T T T T T x n n n n n n n n n n n -=-=---=+-=+-+-+)16233()43()4314()43()4311()43(11-=---=-++n n n x x n n n n n故当7≤n 时，}{n x 是递减的，当8≥n 时，}{n x 是递增的，但8≥n 时，0<n x 故nx 的最大值为1633)411()43(1=⋅=x -------1521.解：〔Ⅰ〕∵x y e '=，∴曲线C ：x y e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-，即y ex =、 此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0，∴点1P 的坐标为()0,1、 ∵点n P (),n n x y 〔*n ∈N 〕，∴曲线C ：xy e =在点n P 处的切线方程为()nn x x n y ee x x -=-令0y =，得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-、 ∴数列{}n x 是以0为首项，1-为公差的等差数列。

杭州学军中学2019学年第一学期期中考试高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>则下列关系中正确的是（ ） A.P M = B.M P M = C.MP M = D.()U C M P =∅2.设纯虚数z 满足 11iai z-=+（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A.1B.－1C.2D.－23.若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A.[]6,0B.[]0,4C.[)6,+∞D.[)4,+∞4.已知,a b R ∈，下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是（ ） A.1a b >- B.1a b >+ C.a b > D.22a b >5.函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A B C D 6.已知函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则（ ）A.(())1D D x =,0是()D x 的一个周期B.(())1D D x =,1是()D x 的一个周期C.(())0D D x =,1是()D x 的一个周期D.(())0D D x =,()D x 最小正周期不存在 7.若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ）A.1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.(],0-∞C.(],1-∞D.(],5-∞ 8．若O 是ABC ∆垂心，6A π∠=且sin cos sin cos 2sin sin B C AB C BAC m B C AO +=，则m =（ ） A.129.已知二次函数2()(2)f x ax bx b a =+≤，定义{}1()max ()11f x f t t x =-≤≤≤，{}2()min ()11f x f t t x =-≤≤≤，其中{}max ,a b 表示,a b 中的较大者，{}min ,a b表示b a ,中的较小者，下列命题正确的是（ ）A.若11(1)(1)f f -=，则(1)>(1)f f -B.若22(1)(1)f f -=，则(1)(1)f f ->C.若21(1)(1)f f =-，则11(1)(1)f f -<D.若21(1)(1)f f =-，则22(1)(1)f f -> 10.已知数列{}n a 满足2111,312n n n a a a a +=-=++，若12n n b a =+，设数列{}n b 的前项和为n S ，则使得2019S k -最小的整数k 的值为（ ）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 11. ()512x -展开式中3x 的系数为 ，所有项的系数和为 ．12.等比数列{}n a中，12a a =2201382019a a a a +=+ ，1234a a a a = ．13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知s i n c o s c A a C =，则C =，若c =，ABC ∆，则a b += ． 14.已知函数222,0()2(1),0x x x f x f x x -⎧+-≥=⎨+<⎩，则3()2f -= ，若函数()()g x f x k =-有无穷多个零点，则k 的取值范围是 ．15.已知,x y R ∈且221x y xy ++=，则x y xy ++的最小值为 ．16.已知平面向量,,a b c 满足,,015a b c a c b c ⋅==-=-=，则a b -的最大值为 ．17.当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则7a b +的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18.(本题满分14分)已知函数()2sin cos()32f x x x π=++（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及最小值. 19.(本题满分15分)已知在ABC ∆中，1AB =，2AC =．（Ⅰ）若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()2AD AB AC ⋅-uuu r uu u r uuu r；（Ⅱ）若点E 为BC 的中点，求2211AE BC+uu u r uu u r的最小值．20.(本题满分15分)已知正项等差数列{}n a 满足：233312n n S a a a =+++，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令()()()1412121n n n n nb a a -=--+，证明：122221n n b b b n ++++≤+. 21.(本题满分15分)设函数(),xf x e ax a a R =-+∈，其图象与x 轴交于12(,0),(,0)A x Bx 两点，且12.x x <（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：0f '<.22.(本题满分15分)已知函数2()ln 2,.f x x ax bx a R =---∈ （Ⅰ）当2b =时，试讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若对任意的3(,)b e∈-∞-，方程()0f x =恒有2个不等的实根，求a 的取值范围.。

2018学年第一学期杭州高级中学高三期中卷（贡院校区）数学学科试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4 分，共40分1.已知集合A ={0,1,2}，那么（） A .0⊆AB .0∈AC .{1}∈AD .{0,1,2}∉A2.复数52i-（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A .2-iB .2+IC . -2+iD .-2-i3. 定义R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1,x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2)， 有(x 2-x 1)(f (x 2)-f (x 1))>0，则当n ∈N 时，有（ ）A .f (-n )<f (n -1)<f (n +1)B .f (n -1)<f (-n )<f (n +1)C .f (n +1)<f (-n )<f (n -1)D .f (n +1)<f (n -1)<f (-n )4.已知函数f (x )=A sin(ϖx +ϕ)（其中A >0,|ϕ|<2π）的部分图像如右图所示，为了得到 g (x )=sin 2x 的图像，则只需将f (x )的图像（ ）A .向右平移6π个长度单位B .向右平移3π个长度单位C .向左平移6π个长度单位D .向左平移3π个长度单位5.钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC ，则AC =（）A .2B .1C .5D6.sin 1cos x x-=则x 的取值范围是（ ）A .2k π<x <2k π+πB .2k π+π<x <2k π+2πC . 2k π-2π<x <2k π+2πD .2k π+2π<x <2k π+32π（以上k ∈Z ）7.设a ,b ∈R ，P :a >b ，q :a |a |>b |b |,则p 是q 的（ ）A .充分不必要条件 C .充分必要条件B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件8.有甲、乙、丙3项任务，甲需要2 人承担，乙、丙各需要1 人承担，从10人中选派4 人 承担这三项任务，不同的选法有（ ）种 A.1260 B. 2520 C.2025 D.50409.已知函数y =sin 2(x +3π)与函数y =sin 2x +a cos2x 的图像的对称轴相同，则实数a 的值为（）A.10.定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2-2x ，若x ∈[-4,-2]时，f (x )≥13()18t t-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A. (-∞,-1]U (0,3]B. (-∞,]UC. [-1,0)U [3,+∞)D. [,0)U+∞)二、填空题：多空题每题6 分，每空3分，单空题每题4 分共36分11.已知随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望E (ξ)= ，ξ的方差D (ξ)=.12.函数f (x )=2112x -的定义域为 ，值域为 .13.函数f (x )的图像在点)处的切线方程为14.如果(3x )n 的展开式中各项系数之和为128，则n 的值为 ，展开式中31x系数为 .15.已知函数2210()log 0x x f x xx ⎧-≤=⎨⎩f ，则f (f (12))= .若f (f (t ))∈[-1,0]，则所有 符合条件的t 组成的集合为.16.在∆ABC 中，a ,b ,c 分别是A ,B ,C 所对的边，a +b =8,(2-cos A )tan2C=sin A ，则 边长c 的值为 .17.已知函数f (x )=x (1+a |x |)，设关于x 的不等式f (x +a )<f (x )的解集为A ，若[-12,12]⊆A ，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共5 小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分14分）已知函数f (x )=cos2x x cos(x +2π). （1）求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的值； （2）若f (x 0)=-110，x 0∈(12π,3π)，求cos 2x 0的值.19.（本题满分15分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =120，点N 为CD 中点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：CD ⊥平面PAN ；（2）若AB =1，PA ，求直线AC 与平面PCD 所成角的正弦值.20.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，8S n =a n 2+4a n +3，且a ∈(0,2)（1）求{a n }的通项公式；（2）对任意的m ∈N *，将数列{a n }中落在区间(4m ,42m )内的项的项数记为b m ，求数列 {b m }的前m 项和S m .21. 已知椭圆E :22221x y a b+= (a >b >0)，不经过原点O 的直线l :y =kx +m (k >0)与椭圆E 相交于不同两点A ,B ，直线OA ,AB ,OB 的斜率依次构成等比数列.（1）求a ,b ,k 的关系式；（2）若离心率e =12且AB =m 为何值时，椭圆的焦距取得最小值？22.已知函数f(x)=x2e x-ln x.（1）若关于x的方程f(x)=x2e x-ax在(1,3)内有两个不同的实数根，求实数a的取值范围；（2）求证：当x>0时，f(x)>1.1. B2. A3. B4. A5. B6. B7. C8. C9. D10.C11.2 0.812.x∈（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）13.x-y+1=014.7 211516.417.18（Ⅰ）由椭圆的定义，2a＝|PF1|+|PF2|＝224，故a＝2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c＝|F1F2|2，即c，从而b1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|＝2a，|QF1|+|QF2|＝2a，从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|+|QF2|，有|QF1|＝4a﹣2|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|＝|PQ|，知|QF1||PF1|＝4a﹣2|PF1|，解得|PF1|＝2（2）a，从而|PF2|＝2a﹣|PF1|＝2（1）a，由PF2⊥PF1，知2c＝|F1F2|，因此e．19（1）函数．所以当（k∈Z）时，即{x|}（k∈Z）时，函数的最大值为．（2）由于，，所以，，所以，所以，利用同角三角函数的恒等式，解得，所以．20（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，所以△ACD为正三角形，所以AC＝AD，又因为点N为CD中点，所以CD⊥AN．∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．PA∩AN＝A，∴CD⊥平面PAN．（2）由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAN，CD⊂平面PCD，∴平面PAN⊥平面PCD，且平面PAN∩平面PCD＝PN，过A作AH⊥PN于H，则AH⊥平面PCD，连接CH，则∠ACH为直线AC与平面PCD所成角．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝1，，AC＝1，AN在RT△PAN中PN，AH，直线AC与平面PCD所成角的正弦值：．21（1）由8S n＝a n2+4a n+3，可得a1＝S1（a12+4a1+3），解得a1＝1（3∉（0，2）），当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1（a n2+4a n+3）（a n﹣12+4a n﹣1+3），化为（a n﹣a n﹣1）（a n+a n﹣1）＝4（a n+a n﹣1），由a n＞0，则a n﹣a n﹣1＝4，可得{a n}为首项为1，公差为4的等差数列，则a n＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3，n∈N*；（2）对任意m∈N*，4m4n﹣342m，则4m﹣1n42m﹣1，而n∈N*，由题意可知b m＝42m﹣1﹣4m﹣1，则前m项和S m＝（4+43+45+…+42m﹣1）﹣（1+4+42+…+4m﹣1）．22（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列，得，联立，可得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2＝0，故△＝（2a2km）2﹣4（b2+a2k2）（a2m2﹣a2b2）＞0，即b2﹣m2+a2k2＞0，又x1+x2，x1x2，则，即km（x1+x2）+m2＝0，即，又直线不经过原点，∴m≠0，∴b2＝a2k2，即b＝ak；（2）若e，则a＝2c，b c，，又k＞0，得k，则x1+x2，x1x2m2﹣2c2，|AB|••，化简得．当且仅当，即m＝±时，焦距最小．23（1）方程f（x）＝x2e x﹣ax，化为：lnx＝ax，即a．令g（x），x∈（1，3），y＝a．g′（x）．则函数g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，3）上单调递减．∴x＝e时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（e）．又g（1）＝0，g（3）．∵方程f（x）＝x2e x﹣ax在（1，3）内有两个不同的实数根，∴a∈，．（2）证明：当x＞0时，f（x）＞1．⇔x＞0时，e x＞．令h（x），x＞0．h′（x），可得函数h（x）在x时取得极大值即最大值．h（）1，而x＞0时，e x＞1，∴x＞0时，e x＞恒成立．∴当x＞0时，f（x）＞1．。

2019-2020学年高三（上）期中数学试卷一、选择题1．已知集合M＝{y|y≥0}，N＝{y|y＝﹣x2+1}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．[0，1] C．[0，+∞）D．[1，+∞）2．我们把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（）A．离心率B．渐近线C．焦点D．顶点3．设a，G，b∈R，则“G2＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若多项式x2+x10＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a9＝（）A．9 B．10 C．﹣9 D．﹣105．设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（）A．50种B．60种C．70种D．90种7．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．8．设0＜a＜1，已知随机变量X的分布列是若，则a＝（）A．B．C．D．9．已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P是侧棱AA'上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与直线B'C所成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，则（）A．α＞β＞γB．α＜β＜γC．α＞γ＞βD．β＞α＞γ10．若函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且x1＜x2，f（x1）＝x1，则关于x的方程3f2（x）+2af（x）+b＝0的不同实根个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．若复数z满足（3+i）z＝2﹣i（i为虚数单位），则z＝；|z|＝．12．已知，若f（x）＝2，则x＝；若f（x）＞2，则x的取值范围为．13．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是，最长棱长为．14．已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|＝；P点的坐标为．15．已知，则的值为．16．在△ABC中，∠ABC为直角，点M在线段BA上，满足BM＝2MA＝2，记∠ACM＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC是唯一确定的，则BC＝．17．已知，向量满足，设，的夹角为θ，则cosθ的最小值为．三、解答题：5小题，共74分18．已知函数，（ω＞0）．该函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求ω的值；（2）若，，求f（x0+1）的值．19．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X＝2）；（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．20．已知数列{a n}中，相邻两项a n，a n+1是关于x的方程：x2+3nx+b n+＝0（n∈N*）的两实根，且a1＝1．（1）若S n为数列{a n}的前n项和，求S100；（2）求数列{a n}和{b n}的通项公式．21．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；（3）当x A∈（1，2）时，求△ABC面积的最大值．22．已知实数a≠0，设函数．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）对任意均有，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．参考答案一、选择题：每小题4分，共40分1．已知集合M＝{y|y≥0}，N＝{y|y＝﹣x2+1}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．[0，1] C．[0，+∞）D．[1，+∞）【分析】可求出集合N＝{y|y≤1}，然后进行交集的运算即可．解：N＝{y|y≤1}，且M＝{y|y≥0}；∴M∩N＝[0，1]．故选：B．2．我们把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（）A．离心率B．渐近线C．焦点D．顶点【分析】分别求得共轭双曲线的离心率、渐近线方程和焦点坐标、顶点坐标，可得答案．解：共轭双曲线和的c＝，设a＞0，b＞0，可得它们的焦点为（±c，0），（0，±c），渐近线方程均为y＝±x，离心率分别为和，它们的顶点分别为（±a，0），（0，±b），故选：B．3．设a，G，b∈R，则“G2＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】结合等比中项的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断．解：若G是a，b的等比中项，则G2＝ab．当a＝b＝G＝0时，满足G2＝ab，但a，G，b不能构成等比数列，所以“G2＝ab”是“G是a，b的等比中项”的必要不充分条件．故选：B．4．若多项式x2+x10＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a9＝（）A．9 B．10 C．﹣9 D．﹣10【分析】先求x10的系数，再由a9+C109•a10，可求x9的系数，即可得答案解：∵x10的系数为a10，∴a10＝1，x9的系数为a9+C109•a10，∴a9+10＝0，∴a9＝﹣10，故选：D．5．设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【分析】由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选C解：A显然正确；∵＝D（x），∴D（x）是偶函数，B正确；∵D（x+1）＝＝D（x），∴T＝1为其一个周期，故C错误；∵D（）＝0，D（2）＝1，D（）＝0，显然函数D（x）不是单调函数，故D正确；故选：C．6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（）A．50种B．60种C．70种D．90种【分析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，此时的选法有＝30种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，此时的选法有＝40种则不同的选法共有30+40＝70种，故选：C．7．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先根据约束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y＝x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y＝x ﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y＝x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y＝x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y＝x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y＝x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m＜﹣．故选：C．8．设0＜a＜1，已知随机变量X的分布列是若，则a＝（）A．B．C．D．【分析】求出期望，利用方差公式求解可得结果．解：E（X）＝0×+a×+1×＝，D（X）＝（）2×+（a﹣）2×+（1﹣）2×＝[（a+1）2+（2a﹣1）2+（a﹣2）2]＝（a2﹣a+1）＝，解得a＝．故选：A．9．已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P是侧棱AA'上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与直线B'C所成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，则（）A．α＞β＞γB．α＜β＜γC．α＞γ＞βD．β＞α＞γ【分析】取BC中点O，以OAOB所在直线分别为y、x轴建立空间直角坐标系．可得P（0，，t），（0＜t＜2）．，cosα＝|cos，＞|＝，cosβ＝|cos，＞|＝，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，γ＝600，利用当0＜t＜2时，＜0．即可．解：设直三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱长与底面边长为2，如图，取BC中点O，以OAOB所在直线分别为y、x轴建立空间直角坐标系．A（0，，0），B（1，0，0），C（﹣1，0，0），B′（1，0，2），P（0，，t），（0＜t＜2）．直线PB与直线AC所成的角为α，cosα＝|cos，＞|＝，直线PB与直线B'C所成的角为β，cosβ＝|cos，＞|＝，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，γ＝600，∵当0＜t＜2时，＜0．∴cosβ＜cosα．∴β＞α＞γ，故选：D．10．若函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且x1＜x2，f（x1）＝x1，则关于x的方程3f2（x）+2af（x）+b＝0的不同实根个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】结合题意可知，关于x的方程3f2（x）+2af（x）+b＝0的不同实根个数即为f （x）＝x1，f（x）＝x2的根的个数，可求．解：f（x）＝x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且x1＜x2，∴f′（x）＝3x2+2ax+b＝0有两根x1，x2，且x1＜x2，即3x12+2ax1+b＝0，3x22+2ax2+b＝0，比较方程3f2（x）+2af（x）+b＝0可得，f（x）＝x1，f（x）＝x2，则关于x的方程3f2（x）+2af（x）+b＝0的不同实根个数即为f（x）＝x1，f（x）＝x2的根的个数，∵x1＜x2，则函数在（﹣∞，x1）单调递增，在（x1，x2）上单调递减，（x2，+∞）上单调递增，∴f（x）＝x1，有2个实根，分别在x＝x1处和（x2，+∞）内，f（x）＝x2＞x1有1个实根，在（x2，+∞）内综上可得，方程一共有3个根．故选：A．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．若复数z满足（3+i）z＝2﹣i（i为虚数单位），则z＝；|z|＝．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：由（3+i）z＝2﹣i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：；．12．已知，若f（x）＝2，则x＝﹣1 ；若f（x）＞2，则x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【分析】当x≤1时，f（x）＝|x﹣1|＝2，当x＞1时，f（x）＝3x＝2，由此能求出x 的值；由f（x）＞2，当x≤1时，f（x）＝|x﹣1|＞2，当x＞1时，f（x）＝3x＞2，由此能求出x的取值范围．解：∵，f（x）＝2，∴当x≤1时，f（x）＝|x﹣1|＝2，解得x＝﹣1或x＝3（舍），当x＞1时，f（x）＝3x＝2，解得x＝log32，不合题意．综上，x的值为﹣1；f（x）＞2，当x≤1时，f（x）＝|x﹣1|＞2，解得x＜﹣1或x＞3（舍），当x＞1时，f（x）＝3x＞2，解得x＞log32，∴x＞1．综上x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故答案为：﹣1，（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．13．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是 1 ，最长棱长为．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，该几何体为x，根据体积公式建立关系，可得答案．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD＝1，BC＝2，SB＝x，AD∥BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S＝×（1+2）×2＝3．该几何体为体积是3，高为x，几何体的体积V＝×x×3＝3，可得x＝3．最长棱长为：SD＝＝．故答案为：1；．14．已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|＝ 2 ；P点的坐标为（，）．【分析】求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，利用椭圆的定义求解|PF|．解：椭圆的a＝3，b＝，c＝2，e＝设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得|PF'|＝2|AO|＝4，设P的坐标为（m，n），可得3﹣m＝4，可得m＝﹣，n＝，由|PF'|＝2|AO|＝4，|PF|＝6﹣4＝2，故答案为：2；（，）．15．已知，则的值为0 ．【分析】由已知利用三角函数的诱导公式分别求得cos（）与sin（）的值，则答案可求．解：∵，∴cos（）＝cos[π﹣（）]＝﹣cos（）＝﹣．sin（）＝﹣sin（）＝﹣cos（）＝﹣．∴＝．故答案为：0．16．在△ABC中，∠ABC为直角，点M在线段BA上，满足BM＝2MA＝2，记∠ACM＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC是唯一确定的，则BC＝．【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出 tan∠ACB、tan∠NCB的值，再利用两角和差的三角公式，求得tanθ＝tan（∠ACB﹣∠MCB），可得BC的值．解：设BC＝x，∠ACM＝θ，则θ为锐角，则tanθ＝tan（∠ACB﹣∠MCB）＝＝＝，依题意，若对于给定的∠ACM，△ABC是唯一的确定的，可得x＝，解得x＝，即BC的值为，此时，tanθ＝＝，再结合sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ＝．故答案为：．17．已知，向量满足，设，的夹角为θ，则cosθ的最小值为．【分析】根据条件可设，从而根据即可得出4（x﹣1）2+4y2＝x2，且得出x＞0，从而得出，从而得出，从而配方即可求出cosθ的最小值．解：∵，∴设，∴，∴由得，，则x＞0，∴4（x﹣1）2+4y2＝x2，∴，∴＝＝＝＝，∴，即x＝1时cosθ取最小值．故答案为：．三、解答题：5小题，共74分18．已知函数，（ω＞0）．该函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求ω的值；（2）若，，求f（x0+1）的值．【分析】（1）利用二倍角的余弦公式降幂后化积，由△ABC为正三角形求得函数的半周期，从而求得周期，则ω的值可求；（2）利用（1）的结论，结合，求得sin（+）与cos（x0+）＝，再由f（x0+1）＝2sin（），展开两角和的正弦求解．解：（1）由，得：f（x）＝3cosωx+＝2sin（ωx+）．又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4．∴函数f（x）的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝；（2）由f（x0）＝，得2sin（+）＝，整理得sin（+）＝，∵x0∈（﹣，），∴+∈（，），∴cos（x0+）＝，∴f（x0+1）＝2sin（）＝2sin（）cos+cos （）sin＝2（）＝．19．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X＝2）；（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．【分析】（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件A k（k＝1，2，3，…），则P（X＝2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2）+P（）P（），由此能求出结果．（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（A2A3A4）+P（）＝P（）P（A2）P（A3）P （A4）+P（A1）P（）P（A3）P（A4），由此能求出事件“X＝4且甲获胜”的概率．解：（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件A k（k＝1，2，3，…），则P（X＝2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2）+P（）P（）＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5．（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（A2A3A4）+P（）＝P（）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（）P（A3）P（A4）＝（0.5×0.4+0.5×0.6）×0.5×0.4＝0.1．20．已知数列{a n}中，相邻两项a n，a n+1是关于x的方程：x2+3nx+b n+＝0（n∈N*）的两实根，且a1＝1．（1）若S n为数列{a n}的前n项和，求S100；（2）求数列{a n}和{b n}的通项公式．【分析】（1）由a n、a n+1是关于的两实根，可得所以a n+a n+1＝﹣3n，即把{a n}相邻两项之和看成一个新的数列，这个新数列为等差数列，S100包含新数列的前50项，用等差数列的前n项和公式即可．（2）由a n+a n+1＝﹣3n，a n+a n+1＝﹣3n，a n+1+a n+2＝﹣3（n+1），两式相减，得a n+2﹣a n＝﹣3，即隔项成等差数列，由a1可得奇数项的通项，由a2可得偶数项的通项，由a n的通项可得b n的通项公式．解：（1）因为a n、a n+1是关于的两实根，所以a n+a n+1＝﹣3n，a2n﹣1+a2n＝﹣3（2n﹣1）＝3﹣6n，，所以S100＝﹣750．（2）a n+a n+1＝﹣3n，a n+1+a n+2＝﹣3（n+1），两式相减，a n+2﹣a n＝﹣3，a2n﹣1＝1﹣3（n﹣1）＝4﹣3n，因为a2＝﹣3﹣a1＝﹣4，所以a2n＝﹣4﹣3（n﹣1）＝﹣1﹣3n，因为，所以，＝，b2n＝a2n a2n+1，所以，．21．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；（3）当x A∈（1，2）时，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）求得抛物线的焦点，由题意可得p＝2，可得抛物线方程和准线方程；（2）设过F的直线方程为y＝k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），C（m，n），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得证明，检验直线AB的斜率不存在，也成立；（3）求得k的范围和C的坐标，运用点到直线的距离公式可得C到直线AB的距离，由弦长公式可得|AB|，由三角形的面积公式和导数的运用，判断单调性可得面积S的范围，检验直线AB的斜率不存在时，可得△ABC的面积，进而得到所求最大值．解：（1）点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，即＝1，即p＝2，抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝﹣1；（2）证明：设过F的直线方程为y＝k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），C（m，n），即有y12＝4x1，y22＝4x2，n2＝4m，联立直线y＝k（x﹣1）和抛物线y2＝4x可得ky2﹣4y﹣4k＝0，可得y1+y2＝，y1y2＝﹣4，则k OA+k BC＝+＝+＝，由△ABC的重心G在x轴上，可得＝0，即n+y1+y2＝0，即有k OA+k BC＝0，当直线AB的斜率不存在时，求得A，B，C的坐标，可得k OA+k BC＝0．则直线OA与直线BC的倾斜角互补；（3）由（2）可得x1x2＝＝1，x1+x2＝+2＝2+，可得x1+＝2+∈（2，），解得k2∈（8，+∞），由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+2＝4+，由n+y1+y2＝0，即n+＝0，即n＝﹣，m＝＝，C的坐标为（，﹣），C到直线kx﹣y﹣k＝0的距离为d＝＝，可得△ABC的面积为S＝d•|AB|＝••（4+）＝2••||，由k2＞8，可得S＝2•（1﹣），设t＝（1＜t＜），则S＝2t（9﹣8t2），由S′＝18﹣48t2＜0，则S在（1，）递减，可得S＜2；当直线AB的斜率不存在时，设A（1，2），B（1，﹣2），可得C（0，0），△ABC的面积为×4×1＝2，可得△ABC的面积的最大值为2．22．已知实数a≠0，设函数．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）对任意均有，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．【分析】（1）将a＝﹣1代入，求导后令f′（x）＜0得减区间，令f′（x）＞0得增区间；（2）先由得，再证当时，g （x ）≤0恒成立即可．解：（1）由题意，当a ＝﹣1时，f （x ）＝﹣lnx +，定义域为{x |x ＞0}．∴f ′（x ）＝﹣+＝，①令f ′（x ）＜0，即＜x ，解得0＜x ＜； ②令f ′（x ）＞0，即＞x ，解得x ＞．∴函数f （x ）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；（2）令， ∵恒成立，∴得，下证当时，g （x ）≤0恒成立，先证，只需证，即证5e 2﹣12e ＞0，即证e （5e ﹣12）＞0，显然成立，∴，＝，当时，，，∴g ′（x ）＜0当时恒成立，∴函数y＝g（x）在上单调递减，∴当时，g（x）≤0恒成立．。

2019学年杭州周边重点高三上期中一、选择题：每小题4分，共40分1. 已知全集U =R ，{}11M x x =-<<，{}0N y y =<，则()UM N =ð（ ）A ．()1,0-B ．(]1,0-C ．()0,1D ．[)0,12. 若函数()sin f x x ω=的最小正周期为π，则正数ω的值是（ ）A ．12 B ．1 C ．2D ．43. 已知a ，b 都是实数，那么“22log log a b >） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 函数()2x xe ef x x --=的图象大致是（ ）6. 若函数()sin cos f x x x =+在[],a a -上是增函数，则正数a 的最大值是（ ）A ．4πB ．2π C ．34π D ．π7. 已知函数()x f x a x b =+-的零点()()0,1x n n n ∈+∈Z ，其中常数a ，b 满足20192020a =，20202019b =，则整数n 的值是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．28. 若关于x 的不等式221x x m x -+++≥-的解集中有2个整数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．21m -≤<-B ．21m -<≤-C ．11m -≤<D ．11m -<≤9. 设a e π=-，ln 1b π=-，e c e e π=-，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<10. 设O 是关于ABC △的外心，满足()13024CO tCA t CB t ⎛⎫=+-≠ ⎪⎝⎭，若4AB =，则ABC △面积的最大值是（ ） A ．4B．C ．8D ．16二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分DC B A11. 已知向量()1,2=-a ，(),1λ=-b ，则=a ，若∥a b ，则λ= ．12. 已知角α的终边经过点(P -，则tan α= ，()sin cos 2ππαα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ ．13. 已知函数()3log ,02,0x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则()2log 3f -= ，若()2f x =，则实数x 的值是 ．14. 如图，四边形ABCD 中，△ABD 、△BCD 分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中1AD =，4BC =，ADB CDB ∠=∠，则cos CDB ∠= ，AC = ．15. 设1a >，曲线()x f x a =与曲线()log a g x x =有且仅有一个公共点，则实数a 的值是 ． 16. 设向量a ，b ，c ，e 是单位向量且++=0a b c ，则()()()()()()-⋅-+-⋅-+-⋅-=a e b e b e c e c e a e ．17.设a 为实数，对任意[]1,1k ∈-，当(]0,4x ∈时，不等式26ln 9x x x a kx +-+≤恒成立，则a 的最大值是 ．三、解答题：5小题，共74分18. 设:12p x x -≤，()2:3130q x m x m ---<．（1）解不等式：12x x -≤（2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求m 的取值范围．19. 在ABC △中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边的长，cos 4cos a B b A =且1cos 7A =． （1）求角B 的值；（2）若8a =，求ABC △的面积．20. 已知函数()12f x x x=+-． D CBA（1）若不等式()220x x f k -⋅≥在[]1,1-上有解，求k 的取值范围；（2）若方程()2213021x xkf k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．21. 已知平面向量,a b ，且0=a b ．（1）若||||2==a b ，平面向量c 满足||1++=c a b ，求||c 的最大值；（2）若平面向量c 满足||3-=c a ，||1-=c b ，1||≤≤c ||--c a b 的取值范围．22. 设,a b ∈R ，已知函数()ln f x a x =，()2g x x bx b =++．（1）设()()2xf x F x a =，求()F x 在[],2a a 上的最大值()M a ；（2）设()()()G x f x g x =+，若()G x 的极大值恒小于0，求证：4a b e +≤．2019学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高三年级数学学科参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分,共40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分）1112 12．34-13．13, 9 14．14,15．1ee 16．3217．7三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．解：（Ⅰ）当0,x ≤不等式显然成立…………………………………………………………………… 1分212012x x x x ≥--≤⇒-≤≤当时，不等式可化为,12x ≤≤即…………………………2分 2120x x x <-+≥当时，不等式可化为恒成立……………………………………………2分 {}|2x x ≤综上，不等式的解集为…………………………………………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，p A 令的解集为，即{}|2A x x =≤，q B 的解集为,由题意知B A ⊆………2分 2(31)30-13x m x m m ---=方程的两根为和1-13,,3m m B B A φ==-=⊆当时，即显然成立………………………………………1分{}1-13,|31,3m m B x m x B A><-=<<-⊆当时，即显然成立………………………1分 {}1-13,|13,31232,33m m B x x m B A m m <>-=-<<⊆≤-≤当时，即要使成立则即……………………………2分23m ≤综上……………………………………………………………………………1分 19．解：（Ⅰ）cos 4cos sin cos 4sin cos a B b A A B B A⋅=⋅∴=Q ，……………………… 2分11tan tan ,cos ,tan 7B A A A ==∴=Q 即又………………………………………2分tanB ∴分tan 0B B >∴Q 为锐角…………………………………………………………………1分 3B π∴=分（Ⅱ）1cos ,sin 7ABC A A ∆=中，则分sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+分 根据正弦定理5sin sin c aC A ==………………………………………………………2分11sin 5822ABC S ac B ∆∴==⋅⋅=分20．解：（Ⅰ）2112222012(2)2x x x x x k k =+--⋅≥⇒≤-+原式……………………………………2分11[,2]22x t =∈令，则221k t t ≤-+，…………………………………………………………2分令2max ()21,()[0,1]()()g t t t g t k g t k g t =-+∈≤∴≤Q ，有解，…………………………………2分1k ∴≤……………………………………………………………………………………1分（Ⅱ）12|21|230|21||21|x x xkk -+-+-=--原式可化为…………………………………………2分 令|21|(0)x t t =->，12230kt k t t+-+-=原式可化为2(32)210t k t k ⇒-+++=……………………………3分若原方程有三个不同的实数解，等价于方程2(32)2100,11t k t k -+++=+∞的两根分别位于（）和（，）之间2()(32)21g t t k t k =-+++令…………………………1分只需1(0)0,02(1)00g k k g k ⎧>>-⎧⎪⇒∴>⎨⎨<⎩⎪>⎩………………………………………………………2分21．解：（Ⅰ）法一（酌情给分），几何法 |()|1c a b ---=r r r的几何意义如图 ||c r的最大值为||11OB +=………………7分法二，建系………………………………………………1分 设(2,0),(0,2),(,)a OA b OB c OC x y ======r uu r r uu u r r uuu r, 22||1(2)(2)1c a b x y ++=⇒+++=r r r则………………………………………………………3分|c |(0,0)(2,2)=--r到的距离加半径max ||1c =所以…………………………………………………………………………3分（Ⅱ）法一，坐标法：,0),0,),(,)a a b b c x y ===r r r 设（（………………………………………1分 依题意得222222()9()115x a y x y b x y -+=⎧⎪+-=⎨⎪≤+≤⎩……………………………………………………………………3分2211()9()5y b x a ⇒≤--+--≤………………………………………… ………………2分225)()9x a y b ∴≤-+-≤（||c a b --=r r r…………………2分法二，几何法（酌情给分） m c a b =--u r r r r 设如图2222213,15c m c +=+≤≤r u r r 而 2210[5,9]m c =-∈u r r 则||||m c a b ∴∈--∈u r r r r即………………………………8分22．解：（Ⅰ）解法一：由题知0>a ，且1'()(1ln )F x x a=+,……………………………………1分当10<<x e 时,'()0F x <；当1>x e时,'()0F x > ,从而F(x)的单调递增区间是1(,)e +∞,递减区间是10(,e .…………………………………1分（1）当12≤a e,即12a e ≤,max ()()ln F x F a a ==；…………………………………………………1分（2）当1a e ≥时,max ()(2)2ln 2F x F a a ==；…………………………………………………1分（3）当112a e e<<时,{}max ()max (2),()F x F a F a = , (2)()F a F a -=又2ln 4ln ln 4a a a -=；若114a e <<时, (2)()F a F a >,max ()F x =(2)2ln 2F a a =；………………………………2分 若1124<≤a e 时,(2)()F a F a ≤ ,max ()()ln F x F a a ==所以；综 上max 1ln 04()12ln 24a a F x a a ⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩. …………… ………………………………………1分解法二：由题知0>a ，1'()(1ln )F x x a =+,当10<<x e 时,'()0F x <；当1>x e 时,'()0F x >,从而()F x 的单调递增区间是1(,)e +∞,递减区间是10(,)e …2分从而，{}max ()max (2),()F x F a F a =,……………………………………2分于是2(2)()ln 4ln ln 4F a F a a a a -=-=；当14>a 时,(2)()F a F a >,所以max ()(2)2ln 2F x F a a ==；……………………………2分当104<≤a 时,(2)()F a F a ≤,所以max ()()ln F x F a a ==；综上所得max 1ln 04()12ln 24a a F x a a ⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩……………………………………………1分（Ⅱ）依题知2G()ln (1)x a x x b x =+++，则22G'()2(0)a x bx ax x b x x x++=++=>， 因为G()x 存在极大值，则关于x220x bx a ++=，有两个不等的正根，不妨12x x <，则122ax x =，得0a >，且10x <<……………………………………………………2分设2()2p x x bx a =++列设表如下从而21111G()=G()ln (1)x x a x x b x =+++极大，又21)bx a =-，从而2111G()=G()ln 0x x a x x =--<极大，对10x <<……………………2分设2K()ln ,x a b x =+∈)0a =>所以K()x 在302aK a b =-+≤所以b a ≤-，ln 2222a aa b a +≤-…………………………2分 设,(2at t =>)ln 5t t t t =-+'()4ln m t t =-.若4(0,)t e ∈，'()0m t >；若4(,)t e ∈+∞，'()0m t <；从而44()()m t m e e ≤=，即4a b e +≤………………………………………………2分。

2019-2020学年浙江省杭州四中吴山校区高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合M ={0,1，3}，N ={x|0,3，9}，则M ∪N =( )A. {0}B. {0,3}C. {1,3，9}D. {0,1，3，9}2. 双曲线x 23−y 26=1的实轴长为( )A. √3B. 2√3C. 3D. 63. 已知直线l 1：ax +(a +2)y +1=0，l 2：x +ay +2=0，其中a ∈R ，则“a =−3”是“l 1⊥l 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 复数z 满足z(1+√3i)=|1+√3i|，则z 等于( )A. 1−√3iB. 1C. 12−√32i D. √32−12i5. 已知函数f(x)=log a x (0<a <1)，则函数)A.B.C.D.6. 已知向量a ⃗ =(−1,−2),b ⃗ =(1,λ)，若a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A. (−∞,−12) B. (−12,2)∪(2,+∞) C. (−12,+∞)D. (2,+∞)7. 已知函数f (x )=cos (ωx +π3)(ω>0)，f (π6)=f (π3)，且f (x )在区间(π6,π3)上有最大值，无最小值，则ω=( )A. −43 B. 203 C. 83 D. 443 8. 已知ξ～B(n,0.3)，Dξ=2.1，则n 的值为( )A. 10B. 7C. 3D. 6 9. 关于x 的不等式x 2−ax −a >0在x ∈[0,2]时恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (43,+∞)B. (0,43)C. [0,43]D. (−∞,0)10. 函数f (x )=ax +1a (1−x )，其中a >0，记f(x)在区间[0,1]上的最大值为g(a)，则函数g(a)的最小值为( )A. 12B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 若102x =25，则10−x =________． 12. 已知tan(α−5π4)=15，则tan α=_________． 13. 双曲线9x 2−4y 2=−36的渐近线方程是______ ． 14. 三视图如图所示的几何体的最长棱的长度为______ ．15. 已知实数x 、y 满足{x ≥2x +y −6≤02y −x ≥0，则z =y+1x−6的最大值为____．16. 在△ABC 中，AB =3，AC =4，∠BAC =60°，若P 是△ABC 所在平面内一点，且AP =2，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______ .(若A(x 1,y 1)，B(x 1,y 2)，则|AB |2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2) 17. 已知a >b >0，且a +b =2，则2a+3b +1a−b 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=sinx +cos(x −π6)，求函数f(x)的单调递减区间．19. (1)已知f(x +1)=x 2+2x ，求f(x)的解析式．(2)已知不等式｜x −2｜+｜x +1｜>a 对于一切的实数x 恒成立，求a 的范围．20.在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=2√2，AB=3 3√2，AD=3．(1)求BD的长；(2)求△ABC的面积．21.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．(1)求证：a1，a5，a41成等比数列;(2)求数列{a n·3n}的前n项和T n．22.已知实数a>0，函数f(x)=e x−ax−1(e为自然对数的底数)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间及最小值；(Ⅱ)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵M={0,1，3}，N={0,3，9}，∴M∪N={0,1，3，9}．故选：D．由M与N，求出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：根据题意，双曲线的标准方程为x23−y26=1，其中a=√3，则双曲线的实轴长2a=2√3；故选：B．根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a的值，由双曲线的实轴长为2a分析可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的标准方程的形式．3.答案：A解析：解：a=0时，两条直线垂直；a=−2时，两条直线不垂直．a≠0，−2时，由l1⊥l2，可得：−aa+2×(−1a)=−1，解得a=−3．∴a=0或−3．∴“a=−3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选：A．对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：【解答】解：复数z满足z(1+√3i)=|1+√3i|=2，z=1+√3i =√3i)(1+√3i)(1−√3i)=1−√3i2．【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可．本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．5.答案：A解析：【分析】本题考查函数的图象，利用特殊点代入计算，排除即可得出结论．【解答】解：由题意，x=0，y=f(1)=0，排除C，D．x=1，y=f(2)<0，排除B，故选A．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量共线的性质，由题意可得a⃗⋅b⃗ =−1−2λ<0，且−1 1≠−2λ，由此求得λ的取值范围．【解答】解：∵向量a⃗=(−1,−2)，b⃗ =(1,λ)，若a⃗，b⃗ 的夹角为钝角，∴a⃗⋅b⃗ =−1−2λ<0，且−11≠−2λ，∴得λ>−12且λ≠2．故选B．7.答案：B解析：【分析】本题考查余弦型函数的与性质，涉及三角函数的最值，考查理解与运算能力，属于中档题．依题意，得出直线x=π4为f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)的一条对称轴，即ω⋅π4+π3=2kπ(k∈Z)，再由ω>0且，即可求得答案．解：∵f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)，且f(π6)=f(π3)，在区间(π6,π3)上有最大值，无最小值，∴直线x=π6+π32=π4为f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)的一条对称轴，∴ω⋅π4+π3=2kπ(k∈Z)，∴ω=4(2k−13)(k∈Z)，又ω>0，又，解得0<ω≤12，∴当k=1时，ω=203．故选B．8.答案：A解析：解：ξ～B(n,0.3)，Dξ=2.1，∴p=0.3，Dξ=np(1−p)=n×0.3×0.7=2.1；解得n=10．故选：A．由方差公式D(ξ)=np(1−p)，利用二项分布的性质列出方程出n的值．本题考查了二项分布中n，p值的求法问题，是基础题．9.答案：D解析：解：∵不等式x2−ax−a>0对所有x∈[0,2]恒成立，∴a(x+1)<x2，∴a<x2x+1，设f(x)=x2x+1，∴f′(x)=x(x+2)(x+1)2≥0，∴函数f(x)在[0,2]上单调递增，∴x=0时，函数取得最小值为0∴a<0∴实数a的取值范围为(−∞,0)，故选：D分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可求得实数a的取值范围．本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是分离参数，构造函数，利用函数的单调性求解．10.答案：C解析：【分析】本题考查求分段函数的最值，分类讨论思想，属于基础题．利用一次函数的单调性求出g(a)，再分段求出g(a)的值域，得到最小值．【解答】解：f(x)=(a−1a )x+1a，当a>1时，f(x)是增函数，所以g(a)=f(1)=a；当0<a<1时，f(x)是减函数，所以g(a)=f(0)=1a，当a=1时，f(x)=1，g(a)=1，综合得g(a)={a,a≥11a,0<a<1，当a≥1时，g(a)≥1，当0<a<1时，g(a)=1a>1，所以g(a)的最小值为1，故选C．11.答案：15解析：【分析】本题主要考查指数方程．【解答】解：由102x=25⇒(10x)2=25⇒10x=5⇒10−x=15．故答案为15．12.答案：32解析：【分析】本题主要考查liang两角和与差公式和简单的三角恒等变换．【解答】解：tan(α−5π4)=tan(α−5π4+π)=tan(α−π4)，则tan(α−π4)=15，而tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=15，即tanα−11+tanα=15，解得tanα=32．故答案为32．13.答案：y=±32x解析：解：双曲线的标准方程为y29−x24=1，则双曲线的渐近线方程为y=±32x，故答案为：y=±32x求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．本题主要考查双曲线渐近线的求解，比较基础．14.答案：√3解析：解：三视图的直观图是棱锥，放到正方体中，可得几何体的最长棱的长度为√3，故答案为√3．三视图的直观图是棱锥，放到正方体中，可得几何体的最长棱的长度。