江苏省南通中学2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 文

江苏省南通市如皋中学2016-2017学年高二下学期第二次段考（解析版）一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（4）的值为．2．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7，9}，C=A∩B，则集合C的子集的个数为．3．函数f（x）=的定义域为．4．由命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是（a，+∞），则实数a=．5．函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为．6．如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x+y﹣2的最小值等于．7．函数f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递减，则f（﹣2）f（a+1）（填“＜”，“=”，“＞”之一）．8．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cos x在R上单调递增”的条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）9．设奇函数y=f（x）（x∈R），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且时，f（x）=﹣x2，则的值等于．10．已知正数a，b，c满足4a﹣2b+25c=0，则lg a+lg c﹣2lg b的最大值为．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（）|x﹣1|+m，若函数f（x）有5个零点，则实数m的取值范围是．12．已知关于x的不等式x2﹣4x+t≤0的解集为A，若（﹣∞，t]∩A≠∅，则实数t的取值范围是．13．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=．14．已知f（x）=（x+1）|x|﹣3x．若对于任意x∈R，总有f（x）≤f（x+a）恒成立，则常数a的最小值是．二．解答题：（本大题共6小题，共90分.请在答题纸指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），命题q：实数x满足. （1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．已知函数g（x）=是奇函数，f（x）=log4（4x+1）+mx是偶函数．（1）求m+n的值；（2）设h（x）=f（x）+x，若g（x）＞h[log4（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．17．如图，某水域的两直线型岸边l1，l2成定角120°，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里．设AB=x公里，AC=y公里．（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？18．设A=[﹣1，1]，B=[﹣2，2]，函数f（x）=2x2+mx﹣1，（1）设不等式f（x）≤0的解集为C，当C⊆（A∩B）时，求实数m的取值范围；（2）若对任意x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x）成立，试求x∈B时，函数f（x）的值域；（3）设g（x）=2|x﹣a|﹣x2﹣mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．19．已知函数f（x）=e x，g（x）=ax+b（a，b∈R）．（1）设h（x）=xg（x）+1．①若a≠0，则a，b满足什么条件时，曲线y=f（x）与y=h（x）在x=0处总有相同的切线？②当a=1时，求函数F（x）=单调区间；（2）若集合{x|f（x）＜g（x）}为空集，求ab的最大值．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=ln x+1，（1）求函数h（x）=f（x﹣1）﹣g（x）在区间[1，+∞）上的最小值；（2）已知1≤y＜x，求证：e x﹣y﹣1＞ln x﹣ln y；（3）设H（x）=（x﹣1）2f（x），在区间（1，+∞）内是否存在区间[a，b]（a＞1），使函数H（x）在区间[a，b]的值域也是[a，b]？请给出结论，并说明理由．参考答案一.填空题1．2【解析】设幂函数y=f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（，），∴=，∴α=，∴f（x）=∴f（4）==2，故答案为：2．2．8【解析】∵A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7，9}，∴C=A∩B={1，3，5}，则集合C的子集个数为23=8，故答案为：83．（0，1）∪（1，2）【解析】要使原函数有意义，则，解得：0＜x＜2，且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为：（0，1）∪（1，2）．故答案为：（0，1）∪（1，2）．4．1【解析】存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，∴Δ=4﹣4m＜0，∴m＞1，m的取值范围为（1，+∞）．则a=15．﹣2【解析】∵f（x）=，∴f（﹣1）=，∴f（f（﹣1））=f（）==﹣2．故答案为：﹣2．6．﹣3【解析】作出线性约束条件所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=﹣x+2+z，平移直线y=﹣x可知，当直线经过点A（﹣2，1）时，截距2+z取最小值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=﹣2+1﹣2=﹣3故答案为：﹣3．7．＜【解析】∵函数f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递减，∴0＜a＜1，1＜a+1＜2，∴|﹣2|＞|a+1|，∴f（﹣2）=log a2＜f（a+1）=log a（a+1）．故答案为：＜．8．充分不必要条件【解析】由“a＞1”，可得f′（x）=1﹣sin x＞0，故“函数f（x）=a•x+cos x在R上单调递增”，故充分性成立．由“函数f（x）=a•x+cos x在R上单调递增”，可得f′（x）=1﹣sin x≥0，a≥1，不能得到“a＞1”，故必要性不成立，故答案为：充分不必要条件．9．【解析】∵奇函数y=f（x）（x∈R），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且时，f（x）=﹣x2，∴f（3）=f（1﹣3）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣[f（1﹣2）]=﹣f（﹣1）=f（1）=f（0）=0．=====﹣．∴=﹣．故答案为：﹣．10．﹣2【解析】由题意：4a﹣2b+25c=0，变形为：4a+25c=2b，∵4a+25c，当且仅当4a=25c时，取等号．∴2b；即b2≥100ac那么：lg a+lg c﹣2lg b=lg≤lg=lg10﹣2=﹣2故答案为：﹣2．11．【解析】f（x）是奇函数，f（x）有5个零点，x=0是1个，只需x＞0时有2个零点即可，当x＞0时，f（x）=（）|x﹣1|+m，问题转化为y=﹣m和g（x）=（x＞0），的交点个数即可，函数画出g（x）的图象，如图示：，结合图象只需＜﹣m＜1，即﹣1＜m＜﹣，故答案为：．12．[0，4]【解析】关于x的不等式x2﹣4x+t≤0的解集为A，且（﹣∞，t]∩A≠∅，等价于二次函数f（x）=x2﹣4x+t，在区间（﹣∞，t]内至少存在一个数c使得f（c）≤0，其否定是：对于区间（﹣∞，t]内的任意一个x都有f（x）＞0，∴①或②；由①得，解得t＜0；由②得，解得t＞4；即t＜0或t＞4；∴二次函数f（x）在区间（﹣∞，t]内至少存在一个实数c，使f（c）≤0的实数t的取值范围是[0，4]．故t的取值范围是[0，4]．故答案为：[0，4]．13．1【解析】根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，又由f（t）=6，可得t+log2t=6，可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）=，又x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，所以x0是函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣的零点，分析易得F（1）=﹣＜0，F（2）=1﹣=1﹣＞0，故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，故答案为：114．【解析】f（x）=（x+1）|x|﹣3x=，作出分段函数图象如图：作平行于x轴的直线l与f（x）有3个交点，设最左边的点为M，最右边的点为N，则a的最小值为线段MN长度的最大值，设直线l：y=t，则MN=3+==3+．当且仅当1+t=4﹣t，即t=是上式取“=”．故答案为：．二．解答题15．解：（1）解x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0，得：a＜x＜3a；∴命题p：a＜x＜3a，a＞0；命题q：2＜x≤3；∴a=1时，命题p：1＜x＜3，p∧q为真；∴p真q真；∴；∴2＜x＜3；∴实数x的取值范围为（2，3）；（2）￢p：x≤a，或x≥3a，a＞0；￢q：x≤2，或x＞3；∴若￢p是￢q的充分不必要条件，则：；∴1＜a≤2；∴实数a的取值范围为（1，2]．16．解：（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，∴g（0）=0，即，∵，∴，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），得mx=﹣（m+1）x恒成立，故，综上所述，可得；（2）∵，∴h[log4（2a+1）]=log4（2a+2），又∵在区间[1，+∞）上是增函数，∴当x≥1时，由题意，得，因此，实数a的取值范围是：．17．解：（1）由S△ABD+S△ACD=S△ABC，得，所以x+y=xy，所以y=又0＜y≤5，0＜x≤5，所以≤x≤5，所以定义域为{x|≤x≤5}；（2）设△ABC的面积为S，则结合（1）得：S=xy sin A=sin 120°=（≤x≤5）=（x﹣1）++2≥4，当仅当x﹣1=，x=2时取等号．故当x=y=2时，面积S取最小值\平方公里．答：该渔民总共至少可以围出平方公里的养殖区．18．解：（1）由A=[﹣1，1]，B=[﹣2，2]，知：A∩B=[﹣1，1]；且二次函数f（x）的开口向上，f（0）=﹣1；由题意知不等式f（x）≤0的解集为C，当C⊆（A∩B）时，函数f（x）必有两零点，且两零点均在区间[﹣1，1]内；故只需：，解得﹣1≤m≤1；∴实数m的取值范围为[﹣1，1]；（2）对任意x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x）成立；∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称；∴，解得m=﹣4；∴函数f（x）=2（x﹣1）2﹣3，x∈[﹣2，2]；∴x=﹣2时，f（x）取最大值15，x=1时，f（x）取最小值﹣3；∴函数f（x）在区间B上的值域为[﹣3，15]；（3）令h（x）=f（x）+g（x）；则；①当a≤﹣1时，函数h（x）在区间（﹣∞，﹣1）是减函数，（﹣1，+∞）是增函数，此时h（x）min=h（﹣1）=﹣2a﹣2；②当﹣1＜a＜1时，函数h（x）在区间（﹣∞，a）是减函数，（a，+∞）是增函数，此时；③当a≥1时，函数f（x）在区间（﹣∞，1）是减函数，（1，+∞）是增函数，此时h（x）min=2a﹣2；综上：当a≤﹣1时，f（x）min=﹣2a﹣2，当﹣1＜a＜1时，当a≥1时f（x）min=2a﹣2．19．解：（1）h（x）=ax2+bx+1①∵f′（x）=e x，∴f′（0）=1，又f（0）=1，∴y=f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1.又∵h′（x）=2ax+b，∴h′（0）=b，又h（0）=1，∴y=h（x）在x=0处的切线方程为y=bx+1，所以当a≠0，a∈R且b=1时，曲线y=f（x）与y=h（x）在x=0处总有相同的切线．（2）由a=1，，∴，∴，…由F′（x）=0，得x1=1，x2=1﹣b，∴当b＞0时，函数y=F（x）的减区间为（﹣∞，1﹣b），（1，+∞）；增区间为（1﹣b，1）；当b=0时，函数y=F（x）的减区间为（﹣∞，+∞）；当b＜0时，函数y=F（x）的减区间为（﹣∞，1），（1﹣b，+∞），增区间为（1，1﹣b），（2）由集合{x|f（x）＜g（x）}为空集，可知不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，即y=f（x）﹣g（x）≥0恒成立．当a≤0时，函数y=e x﹣ax﹣b在R上单调递增，y≥0不恒成立，所以a＞0，此时y′=e x﹣a=0，解得x=ln a，当x＜ln a时，y′＜0，函数单调递减，当x＞ln a时，y′＞0，函数单调递增，所以要使y=f（x）﹣g（x）≥0恒成立，只需y min=a﹣a ln a﹣b≥0，所以b≤a﹣a ln a，ab≤a2﹣a2ln a，a＞0，令G（x）=x2﹣x2ln x，x＞0，则G′（x）=2x﹣2x ln x﹣x=x（1﹣2ln x），令G′（x）=0解得，当时，G′（x）＞0，函数G（x）单调递增，当时，G′（x）＜0，函数G（x）单调递减，所以当时，函数G（x）=x2﹣x2ln x取得最大值，所以，所以ab的最大值为．20．解：（1）h（x）=e x﹣1﹣ln x﹣1（x≥1），，∵x∈[1，+∞），∴∴，∴函数h（x）在区间[1，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（1）=0．（2）由（1）知，当x≥1时，e x﹣1﹣1≥ln x且当x=1时取等号，∵1≤y＜x，∴x﹣y+1＞1∴e x﹣y+1﹣1﹣1＞ln（x﹣y+1），要证明e x﹣y﹣1＞ln x﹣ln y，只需证明：ln（x﹣y+1）≥ln x﹣ln y，只需证明：，即证明：xy﹣y2+y﹣x≥0，而xy﹣y2+y﹣x=y（x﹣y）﹣（x﹣y）=（x﹣y）（y﹣1），∵1≤y＜x，∴x﹣y＞0，y﹣1≥0，∴xy﹣y2+y﹣x=（x﹣y）（y﹣1）≥0，得证．∴当1≤y＜x时，e x﹣y﹣1＞ln x﹣ln y．（3）H（x）=（x﹣1）2f（x），H′（x）=（x2﹣1）e x假设存在区间[a，b]（a＞1），使函数H（x）在区间[a，b]的值域也是[a，b]，当x＞1时，H′（x）＞0，所以函数在区间（1，+∞）单调递增，故，即方程（x﹣1）2e x=x有两个大于1的不等实根，设函数G（x）=（x﹣1）2e x﹣x（x＞1），则G′（x）=（x2﹣1）e x﹣1，G′′（x）=（x2+2x﹣1）e x，当x＞1时，G′′（x）＞0，即函数G′（x）=（x2﹣1）e x﹣1在区间（1，+∞）单调递增，又G′（1）=﹣1＜0，G′（2）=3e2﹣1＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2）使得G′（x0）=0，当x∈（1，x0）时，G′（x）＜0，函数G（x）递减，当x∈（x0，+∞）时，G′（x）＞0，函数G（x）递增，所以函数G（x）有极小值G（x0）＜G（1）=﹣1，G（2）=e2﹣2＞0，所以函数G（x）在（1，+∞）上仅有一个零点，这与方程（x﹣1）2e x=x有两个大于1的不等实根矛盾，故不存在区间[a，b]（a＞1），使函数H（x）在区间[a，b]的值域也是[a，b]．。

OAEBDFC第21题A江苏省南通市2016-2017学年高二数学下学期第三次阶段检测试题（Ⅱ卷）21．【选做题】本题包括A ,B ，C ，D 四小题，请选定其中两题作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E ．求证：2DE DB DA =⋅．B ． 选修4—2:矩阵与变换 设曲线22221x xy y ++=在矩阵()001m m n ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ． 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中，已知圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=．(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆12,C C 的极坐标方程； (2）求圆12C C 与的公共弦的参数方程．D ． 选修4—5：不等式选讲已知a >0,b >0，证明：（a 2＋b 2＋ab ）(ab 2＋a 2b ＋1）≥9a 2b 2．第22题ABC DEFP【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本题满分10分）已知正六棱锥P —ABCDEF 的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取 3个顶点构成三角形,设随机变量X 表示所得三角形的面积． (1）求概率(3)P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．23．（本题满分10分)已知数列{}n b 满足112b =,112(2*)n nb n n b -+=∈N ≥，．（1)求2b ，3b ，猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明； (2）设n n x b =，1n n y b +=，比较x x 与y y 的大小．数学试卷(Ⅱ）参考答案21．【选做题】本题包括A ,B ,C ，DOAE BDFC四小题，请选定其中两题作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4—1:几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交 AB 于点E ．求证:2DE DB DA =⋅．【证明】连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°．所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ， 所以∠OCF =∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ,所以∠OCF +∠CEO =90°．…5分 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ,所以DF =DE ． 因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2=DB ·DA ． 所以DE 2=DB ·DA ． ………………10分 B ． 选修4—2:矩阵与变换 设曲线22221x xy y ++=在矩阵()001m m n ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．【解】设曲线22221x xy y ++=上任一点(,)P x y 在矩阵M 对应的变换下的像是(,)P x y ''',由01x m x mx n y y nx y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx y nx y '=⎧⎨'=+⎩，，因为()P x y '''，在圆221x y +=上 所以()()221mx nx y ++=,化简可得2222()21m n x nxy y +++=．…………3分依题意可得22222m n n +==，，11m n ==，或11m n =-=，而由0m >可得11m n ==，…6分 故1011⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,11011-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．………………………10分 C ． 选修4—4：坐标系与参数方程A BCDEF P 在平面直角坐标xOy 中，已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=．（1）在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆12,C C 的极坐标方程; （2）求圆12C C 与的公共弦的参数方程．解（1）圆1C 的极坐标方程为=2ρ， 圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．……………………4分（2）由(1）得，圆12C C ，交点直角坐标为(13)(13)-，，，． ……………………7分 故圆12C C 与的公共弦的参数方程为1(33)x y t t =⎧⎪⎨=-⎪⎩，≤≤．……………………10分注：第(1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2)小题的结果中，若未注明参数范围，扣2分．D ． 选修4—5:不等式选讲已知a >0,b 〉0，证明：（a 2＋b 2＋ab )（ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2．【解】因为a ，b ，c 均为正数,且1a b c ++=,所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ⋅+++=+++≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立． ………………………………8分 即1111323232a b c +++++≥,故111323232a b c +++++的最小值为1．…………10分【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本题满分10分）已知正六棱锥P —ABCDEF 的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个顶点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积． （1）求概率(3)P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．解 从7个顶点中随机选取3个顶点构成三角形，共有37C 35=种取法．其中3X =的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个．因此(3)P X = 376635C ==．……………………3分（2)X 的所有可能取值为3262333，，，，． 其中3X =的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，如△PAD （3个）,如△PAB （6个），共有9个； 其中6X =的三角形如△PBD ，这类三角形共有6个； 其中23X =的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个； 其中33X =的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．因此6(3)35P X ==，9(2)35P X ==，6(6)35P X ==,12(23)35P X ==，12(23)35P X ==．……………………………………………………………………8分所以随机变量的概率分布表为:X3 26 23 33 ()P X635935 6351235235 所求数学期望696122()32623333535353535E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3636618++=．…………………………………………………………………………………………………10分23．（本题满分10分）已知数列{}n b 满足112b =，112(2*)n nb n n b -+=∈N ≥，．（1）求2b ，3b ,猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明; （2）设n n x b =，1n n y b +=，比较x x 与y y 的大小．解（1）当2n =时，11122b +=,解得223b =．当3n =时，21223b +=，解得334b =．猜想1n n b n =+．………………………………………………………………3分证明 ①1n =时，112b =，结论成立．②假设n k =时,1k k b k =+成立．则1n k =+时，112k k b b ++=，由于1121k k b k ++=+，所以112k k b k ++=+,于是1n k =+时,结论成立．由①②知，对任意正整数n ，1n n b n =+．…………………………………6分(2）由（1)知()1nn x n =+，()11n ny n +=+，所以x x =()()11nn n n n n +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．()()1111n nn n y ny n +++⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦()()1(1)11n n n n n n +++=+()()11nn nn n n +=+()()11nn nn n n +⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦．所以x x ＝y y ． (10)分尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

江苏省南通市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z=（）A . 1B . 2C . iD . 2i2. （2分） (2016高三上·承德期中) 命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A . 若a＞b，则a﹣1≤b﹣1B . 若a≥b，则a﹣1＜b﹣1C . 若a≤b，则a﹣1≤b﹣1D . 若a＜b，则a﹣1＜b﹣13. （2分）(2017·广西模拟) 由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．以下推理为归纳推理的是（）A . 三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，所以sinx是周期函数B . 一切奇数都不能被2整除，525是奇数，所以525不能被2整除C . 由1=12 ， 1+3=22 ， 1+3+5=32 ，得1+3+…+（2n﹣1）=n2（n∈N*）D . 两直线平行，同位角相等．若∠A与∠B是两条平行直线的同位角，则∠A=∠B4. （2分） (2017高二下·遵义期末) 已知随机变量x服从正态分布N（3，1），且P（2≤x≤4）=0.6828，则P（x＞4）=（）A . 0.1585B . 0.1586C . 0.1587D . 0.15885. （2分） (2016高二下·高密期末) 袋子中放有大小、性质完全相同的4个白球和5个黑球，如果不放回地依次摸出2个球，则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二下·沈阳期中) 用数学归纳法证明（）时，第一步应验证不等式（）A .B .C .D .7. （2分）给出如下列联表患心脏病患其它病合计高血压201030不高血压305080合计5060110由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？（）（参考数据：P（K2≥6.635）=0.010，P（K2≥7.879）=0.005）A . 0.5%B . 1%C . 99.5%D . 99%8. （2分） (2018高二下·龙岩期中) 一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有（）种.A . 105B . 95C . 85D . 759. （2分） (2017高二下·汪清期末) 如果随机变量ξ～B(n ， p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，则p等于（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·鞍山模拟) 过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，则的值为（）A . 4B .C . 1D . 211. （2分）等差数列的前n项和为,若的值为常数,则下列各数中也是常数的是（）.A .B .C .D .12. （2分）下列有关命题的说法错误的是（）A . 若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题B . “x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C . “sinx=”的必要不充分条件是“x=”D . 若命题p：∃x0∈R，x02≥0，则命题￢p：∀x∈R，x2＜0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·荆州模拟) 已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则=________．14. （1分）广告费用X （万元）1234567销售额y （百万元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9根据表可得回归方程y=bx+a中的a为2.3，根据此模型预报广告费用为12万元时销售额为________万元．15. （1分）(2017·盐城模拟) 设x，y满足，则z=x+y的最大值为________．16. （1分） (2016高二下·永川期中) 已知f（x）= ，则f（1）=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，2sin sin（ +C）+cosC=﹣．（1）求C；（2）若c= ，且△ABC面积为3 ，求sinA+sinB的值．18. （10分）(2014·广东理) 设数列{an}的前n项和为Sn ，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N* ，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式．19. （10分）新学年伊始，附中社团开始招新．某高一新生对“大观天文社”、“理科学社”、“水墨霓裳社”很感兴趣．假设他能被这三个社团接受的概率分别为，，．（1）求此新生被两个社团接受的概率；（2）设此新生最终参加的社团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20. （10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E 是BC中点，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为．（1）当EH与平面PAD所成角的正切值为时，求证：EH∥平面PAB；（2）在（2）的条件下，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．21. （10分） (2016高二上·黄陵开学考) 如图线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线．（1）求抛物线方程；（2）若 =﹣1，求m的值．22. （5分） (2017高二下·鞍山期中) 已知f（x）=x3﹣ax2﹣a2x+1，（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的图象不存在与l：y=﹣x平行或重合的切线，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

江苏省南通市启东市2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题（扫描版）2017～2018学年第二学期期终考学生素质调研测试高二数学（Ⅰ）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．∃x ∈R ，2x 2＋3x ＋4≤0；2．11(,)(,)22-∞--+∞(或{x |x ≠－12})；3．13；4．真；5．2x ＋2cos x ；6．－1；7．0；8．（0，1）；9．必要不充分； 10．2x －y ＋2＝0(或y ＝2x ＋2)；11．2；12．(0,+∞)；13．{}22(3,1]e --；14．4．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)甲、乙两个同学分别抛掷一枚质地均匀的骰子．（1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率． 【解】（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A ，基本事件共有36个，事件A 包含9个基本事件， 故P (A )=14；……………6分（2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B ，基本事件共有36个，事件B 包含21个基本事件， 故P (B )=2173612=．……………12分答（1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为14；（2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为712．……………14分16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |0≤kx ＋1≤5}，B ＝{ x |－1≤x ≤2}． （1）当k ＝1时，求集合A ；（2）当k ≤0时，若A ∩B ＝B ，求实数k 的取值范围．【解】（1）当k ＝1时，A ＝{x |0≤x ＋1≤5}＝{x |－1≤x ≤4}；……………4分（2）因为A ∩B = B ，所以BA ，……………6分由0≤kx ＋1≤5，得－1≤kx ≤4，①当k =0时，A =R ，满足B A 成立；……………8分②当k <0时，A =]1,4[kk -，……………10分 由B A ，得4112k k⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≥，……………12分即12k -≥，故102k -<≤，综上所述：102k -≤≤．……………14分 17．(本小题满分14分)如图，在圆心角为90°，半径为60 cm 的扇形铁皮上截取一块矩形材料OABC ，其中点O 为圆心，点B 在圆弧上，点A ，C 在两半径上，现将此矩形铁皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形铁皮罐的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB ＝x cm ，圆柱形铁皮罐的容积为V (x ) cm 3.（1）求圆柱形铁皮罐的容积V (x )关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当x 为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积V (x )最大？最大容积是多少？（圆柱体积公式：V ＝Sh ，S 为圆柱的底面积，h 为圆柱的高）【解】（1）连接OB ，在Rt△OAB 中，由AB =x ，利用勾股定理可得OA ＝3600－x 2，设圆柱底面半径为r ，则3600－x 2＝2πr ，……………2分即4π2r 2＝3600－x 2，所以V (x )＝πr 2x ＝π·3600－x 24π2·x ＝3600x －x 34π，即铁皮罐的容积为V (x )关于x 的函数关系式为V (x )＝3600x －x 34π，定义域为(0，60).……………6分（2）由V ′(x )＝3600－3x 24π＝0，x ∈(0，60)，得x ＝203．……………8分列表如下：分所以当x ＝203时，V (x )有极大值，也是最大值为120003π.答：当x 为20 3 cm 时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是120003πcm 3.……………14分18．(本小题满分16分)已知命题p ：函数12()12xx f x k -=+⋅是R 上的奇函数，命题q ：函数2211()k g x k k x-=-的定义域和值域都是[a ，b ]，其中a ＞1． （1）若命题p 为真命题，求实数k 的值；（2）若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数k 的取值范围． 【解】（1）若命题p 为真命题，则f (－x )＋f (x )＝0，……………2分即121201212x xx xk k ----+=+⋅+⋅， 化简得(1)(222)0x x k --+-=对任意的x ∈R 成立，……………4分 所以k ＝1．……………6分（2）若命题q 为真命题，因为221()0g x k x'=>在[a ，b ]上恒成立，所以g (x )在[a ，b ]上是单调增函数，又g (x )的定义域和值域都是[a ，b ]，所以(),(),g a a g b b =⎧⎨=⎩……………8分所以a ，b 是方程2211k x k k x--=的两个不相等的实根，且1＜a ＜b ． 即方程22(21)10k x k k x --+=有两个大于1的实根且不相等，……………10分 记h (x )＝k 2x 2－k (2k －1)x ＋1，故2222[(21)]40,(21)1,2(1)(21)10,k k k k k k h k k k ⎧∆=-->⎪-⎪>⎨⎪⎪=--+>⎩12k <<-，所以k12k <<-．……………12分因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p 和q 中有且仅有一个为真命题，……………14分 即p 真q 假，或p 假q 真．所以1,1,2k k k =⎧⎪⎨⎪⎩或≥-或1,1,2k k ≠⎧<<- 所以实数k的取值范围为1{1}2⎫⎪⎝⎭-．……………16分 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x＋a e －x－1，集合A ＝{x |x 2－x ≤0}． （1）当a ＝－3时，解不等式f (x )＞1； （2）若B ＝{ x |log 2f (x )≥1}，且A ∩B，求实数a 的取值范围；（3）当a ＞1时，若函数f (x )的定义域为A ，求函数f (x )的值域． 【解】（1）当a ＝－3时，由f (x )＞1得e x －3e -x－1＞1，所以e 2x－2e x －3＞0，即(e x －3) (e x＋1)＞0，……………2分 所以e x＞3，故x ＞ln3，所以不等式的解集为(ln3，+∞).……………4分 （2）由x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，所以A ＝{x |0≤x ≤1}.因为A ∩B，所以log 2f (x )≥1在0≤x ≤1上有解，即 f (x )≥2在0≤x ≤1上有解，即e x ＋a e -x－3≥0在0≤x ≤1上有解，……………7分 所以a ≥3e x －e 2x 在0≤x ≤1上有解，即a ≥[3e x －e 2x]min . 由0≤x ≤1得1≤e x≤e，所以3e x －e 2x ＝－(e x －32)2＋94∈[3e －e 2，94]，所以a ≥3e －e 2. ……………10分 （3）设t ＝e x，由（2）知1≤t ≤e，记g (t )＝t ＋a t －1(1≤t ≤e，a ＞1)，则2()1a g t t '=-=，①当a ≥e 时，即a ≥e 2时，g (t )在1≤t ≤e 上递减，所以g (e)≤g (t )≤g (1)，即e 1()ea g t a +-≤≤．所以f (x )的值域为[e 1,]e a a +-.……………12分②当1＜a ＜e 时，即1＜a ＜e 2时，g (t )min = g (a )＝2a －1，g (t )max =max{ g (1)，g (e)} =max{ a ，e 1ea +-}．1°若a e 1ea >+-，即e ＜a ＜e 2时，g (t )max = g (1)= a ；所以f (x )的值域为1,]a ；……………14分2°若a e 1e a +-≤，即1＜a ≤e 时，g (t )max = g (e) =e 1e a +-，所以f (x )的值域为1,e 1]ea +-．综上所述，当1＜a ≤e 时，f (x )的值域为1,e 1]ea +-；当e ＜a ＜e 2时，f (x )的值域为1,]a ；当a ≥e 2时，f (x )的值域为[e 1,]ea a +-．……………16分20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x －ax －b (a ，b ∈R )．（1）若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线过点(2，0)，求2a ＋b 的值； （2）当b ＝0时，函数y ＝f (x )在1(,)e +∞上没有零点，求实数a 的取值范围；（3）当a ＞0时，存在实数x 1，x 2(x 1≠x 2)使得f (x 1)＝f (x 2)，求证：f ′(x 1＋x 22)＜0．【解】（1）因为f ′(x )＝1x－a ，所以k ＝f ′(1)＝1－a ，……………2分又因为f (1)＝－a －b ，所以切线方程为y ＋a ＋b ＝(1－a )(x －1)， 因为过点(2，0)，所以a ＋b =1－a ，即2a ＋b ＝1.……………4分 （2）解法一：当b ＝0时，f (x )＝ln x －ax ，所以f ′(x )＝1x －a ＝1－axx.10若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(1e ，＋∞)上递增，所以f (x )＞f (1e)＝－1－ae，因为函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，所以－1－ae≥0，即a≤－e；……………6分20若a＞0，由f ′(x)＝0，得x＝1a.①当1a≤1e时，即a≥e时，f ′(x)＜0，f(x)在(1e，＋∞)上递减，所以f(x)＜f(1e)＝－1－ae＜0，符合题意，所以a≥e；……………8分②当1a＞1e时，即0＜a＜e时，若1e＜x＜1a，f ′(x)＜0，f(x)在(1e，1a)上递增；若x＞1a，f ′(x)＞0，f(x)在(1a，＋∞)上递减，所以f(x)在x＝1a处取得极大值，即为最大值，要使函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，必须满足f(1a)＝ln1a－1＝－ln a－1＜0，得a＞1e，所以1e＜a＜e.综上所述，实数a的取值范围是a≤－e或a＞1e.……………10分解法二：当b＝0时，f(x)＝ln x－ax，由f(x)＝0得a＝ln xx，设g(x)＝ln xx，则g′(x)＝1－ln xx2.当1e＜x＜e时，g ′(x)＞0，所以g(x)在(1e，e)上递增，当x＞e时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(e，＋∞)上递减，所以g(x)max＝g(e)＝1e，……………6分又g(1e)＝－e，且当x＞e时，g(x)＝ln xx＞0恒成立，所以g(x)在(1e，＋∞)上值域为(－e，1e]，……………8分要使函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，必须满足a≤－e或a＞1e，即所求实数a的取值范围是a≤－e或a＞1e.……………10分（3）不妨设0＜x 1＜x 2，由f (x 1)＝f (x 2)，得ln x 1－ax 1－b ＝ln x 2－ax 2－b ， 因为a ＞0，所以21211ln ln x x x x a-=-.……………12分又因为11()ax f x a x x -'=-=，f ′(x )在(0，＋∞)上递减，且f ′(1a )＝0，故要证12()02x x f +'<，只要证1212x x a +>，只要证1221212ln ln x x x x x x +->-，只要证212112ln ln 2x x x x x x -->+， 只要证221121ln121x x x x x x ->+（*），……………14分 令211x t x =>，记11()ln ,(1,)12t h t t t t -=-∈+∞+，则222(1)21()02(1)2(1)t h t t t t t -'=-=-<++， 所以h (t )在(1,+∞)上递减，所以h (t )< h (1)=0， 所以（*）成立，所以原命题成立.……………16分（3）（法二）当a ＞0时，11()ax f x a x x-'=-=f (x )在(0，错误！未找到引用源。

2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。

2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并粘好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在本试卷上无效。

4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。

答在本试卷上无效。

5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：∑∑∑∑====--=---=n i i ni ii n i i ni iixn x yx n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于（A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数cb a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为(A) cb a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数(C)cb a ,,都是奇数 (D)cb a ,,都是偶数（3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111...4131211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成（A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立（C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有（A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种(5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C)22e (D)492e(6)已知随机变量X服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A) 81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdxa ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为(A)1 (B) 23 (C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为(A) 87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是(A)]9,24[- (B)]24,24[- (C) ]24,4[(D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122 (11)已知函数)()()(2R b xbx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C)⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D)⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38(12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．“直线l在平面α内”用数学符号表示为．2．若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则点Q直线PR（用符号表示它们的位置关系）．3．直线y=x+m的倾斜角为．4．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于．5．点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是．6．棱长都是1的三棱锥的表面积为．7．已知{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，则a，b所满足的条件是．8．两直线l1：ax+2y+b=0；l2：（a﹣1）x+y+b=0．若l1∥l2，且l1与l2的距离为，则a•b=．9．不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点．10．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．11．光线从点M（﹣2，3）射到x轴上一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程．12．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是．①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β．13．已知两点A（﹣1，0）、B（0，2），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则•的最大值是．14．已知圆O：x2+y2=4与曲线C：y=3|x﹣t|，曲线C上两点A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均为正整数），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k ＞1），则m s﹣n p=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）过原点作直线l的垂线，若垂足为A（﹣2，3），求直线l的方程；（2）三角形三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），求AB边上的高所在的直线方程．16．求经过P（﹣2，4）、Q（3，﹣1）两点，并且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．17．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF ⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．18．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）当点M与A重合时，求圆形保护区的面积；（2）若古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．当OM多长时，点M到直线BC的距离最小？19．如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．（1）求证：A1D1∥平面AB1D；（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=上一点．（1）若点P在第一象限，且OP=，求过点P圆O的切线方程；（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．“直线l在平面α内”用数学符号表示为l⊂．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由题意，由于直线与面之间的关系两个点集之间的关系，故易得“直线l在平面α内”用数学符号表示【解答】解：“直线l在平面α内”用数学符号表示为“l⊂α”故答案为l⊂α2．若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则点Q∈直线PR（用符号表示它们的位置关系）．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】通过证明这三点是两个相交平面的公共点，证明三点共线，从而得解．【解答】解：由已知条件易知，平面α与平面ABC相交．设交线为l，即l=α∩面ABC．如图：设P∈AB，则P∈面ABC．又P∈AB∩α，则P∈α，即P为平面α与面ABC的公共点，∴P∈l．同理可证点R和Q也在交线l上．故P、Q、R三点共线于l，即Q∈直线PR．故答案为：∈．3．直线y=x+m的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线的倾斜角为α，α∈[0，π），则tanα=1，即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=1，∴α=．故答案为：．4．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于90°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角即为异面直线所成角，再求出该角即可．【解答】解：∵在长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，A1D1∥AD，∴AB与AD所成角∠DAB 即为异面直线AB与A1D1所成的角．∵∠DAB=90°，∴异面直线AB与A1D1所成的角等于90°．故答案为：90°．5．点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是在圆外．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可判断点P与圆的位置关系．【解答】解：由圆的方程x2+y2=24，得圆心坐标为原点O（0，0），半径r=．点P与圆心O的距离．∵m4≥0，∴．∴点P在圆外．故答案为：在圆外6．棱长都是1的三棱锥的表面积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】棱长都是1的三棱锥的各个面都为等边三角形，利用棱长是1，求出一个面的面积乘以4可得答案．【解答】解：棱长都是1的三棱锥的各个面都为等边三角形，且等边三角形的边长为1，∴每个面的面积都是×1×1×=，∴表面积S=．故答案是．7．已知{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，则a，b所满足的条件是a=1且b ≠1．【考点】交集及其运算．【分析】由已知得直线ax+y+b=0与x+y+1=0平行，由此能求出结果．【解答】解：∵{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，∴直线ax+y+b=0与x+y+1=0平行，∴=，∴a=1且b≠1．故答案为：a=1且b≠1．8．两直线l1：ax+2y+b=0；l2：（a﹣1）x+y+b=0．若l1∥l2，且l1与l2的距离为，则a•b=±4．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两条直线平行的条件求出a，利用且l1与l2的距离为，求出b，即可求出a•b．【解答】解：由题意，a=2（a﹣1），∴a=2，∴直线l1：2x+2y+b=0；l2：2x+2y+2b=0，∵l1与l2的距离为，∴=，∴b=±2，∴ab=±4．故答案为±4．9．不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）．【考点】恒过定点的直线．【分析】将直线的方程（m﹣2）x﹣y+3m+2=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．【解答】解：直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0可为变为m（2x﹣y﹣1）+（﹣x ﹣3y+11）=0令解得：，故不论m为何值，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）故答案为：（2，3）．10．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．11．光线从点M（﹣2，3）射到x轴上一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】利用点P（﹣2，3）关于x轴的对称点N（﹣2，﹣3）在反射光线上再由两点式写出反射光线所在的直线方程即可．【解答】解：∵点P（﹣2，3）关于x轴的对称点N（﹣2，﹣3）∴根据反射定律可得p，N两点都在反射光线上∴反射光线所在直线的方程为=即x﹣y﹣1=0．12．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是③．①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行、垂直的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，不正确；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m，n相交、异面，不正确；③若m⊥α，α∥β，则m⊥β，∵n∥β∴m⊥n，正确；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，不正确．故答案为③．13．已知两点A（﹣1，0）、B（0，2），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则•的最大值是3+．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】设P（x，y），根据向量数量积的定义求出表达式，然后利用两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：设P（x，y），则•=（﹣1﹣x，﹣y）•（﹣x，2﹣y）=（1+x）x﹣y（2﹣y）=x2+x+y2﹣2y=（x+）2+（y﹣1）2﹣，设z=（x+）2+（y﹣1）2，则z的几何意义是P到定点D（﹣，1）的距离的平方，圆心C（1，0），半径R=1，则CD==，则PD的最大值为CD+r=+1，则PD的平方得（+1）2=++1，则•的最大值为++1﹣=3+，故答案为：3+14．已知圆O：x2+y2=4与曲线C：y=3|x﹣t|，曲线C上两点A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均为正整数），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k ＞1），则m s﹣n p=0．【考点】函数恒成立问题．【分析】设p（x0，y0），则x02+y02=4，结合且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1），m、n、s、p均为正整数，求出m、n、s、p的值，可得答案．【解答】解：设p（x0，y0），则x02+y02=4，且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1），=k（k＞1），⇒4+m2+n2﹣2mx0﹣2ny0=k2（4+s2+p2﹣2sx0﹣2py0）⇔消去m，n得s2+p2=＜4所以s=p=1，k=，此时m=n=2，此时m s﹣n p=0，故答案为：0二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）过原点作直线l的垂线，若垂足为A（﹣2，3），求直线l的方程；（2）三角形三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），求AB边上的高所在的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）求出l的斜率，即可求直线l的方程；（2）k AB=，设所求直线方程2x+7y+m=0，代入点C坐标得AB边上的高所在的直线方程．【解答】解：（1）∵A（﹣2，3），且OA⊥l，∴l的斜率为k=．于是l的方程为y﹣3=（x+2）．整理得2x﹣3y+13=0．（2）∵k AB=，∴设所求直线方程2x+7y+m=0，代入点C坐标得m=﹣21．∴AB边上的高所在的直线方程为2x+7y﹣21=0．16．求经过P（﹣2，4）、Q（3，﹣1）两点，并且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】求出线段PQ的垂直平分线为y=x+1，设圆心C的坐标为（a，a+1），求出半径r的表达式，利用圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，由题意得32+d2=r2，解得a，求出圆的方程即可．【解答】解：因为线段PQ的垂直平分线为y=x+1，…所以设圆心C的坐标为（a，a+1），半径r=|PC|==，圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，…由题意得32+d2=r2，即32+（a+1）2=2a2﹣2a+13，整理得a2﹣4a+3=0，解得a=1或a=3．…当a=1时，圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13；…当a=3时，圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．…综上得，所求的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13或（x﹣3）2+（y﹣4）2=25…17．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF ⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC 中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．18．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）当点M与A重合时，求圆形保护区的面积；（2）若古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．当OM多长时，点M到直线BC的距离最小？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，当点M 与A重合时，求出圆形保护区半径，即可求圆形保护区的面积；（2）求出保护区的边界圆M的半径，利用，可得结论．【解答】解：（1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．由条件知A（0，60），C，直线BC的斜率﹣又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率设点B的坐标为（a，b），则k BC==﹣，k AB==，解得a=80，b=120所以圆形保护区半径r=AB==100则圆形保护区面积为10000πm2．（2）设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m（0≤d≤60）由条件知，直线BC的方程为y=﹣（x﹣170），即4x+3y﹣680=0由于圆M与直线BC相切，故点M（0，d）到直线BC的距离是r即r=因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以，解得10≤d≤35则当d=10，即OM=10m时，M到直线BC的距离最小．19．如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．（1）求证：A1D1∥平面AB1D；（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）欲证A1D1∥平面AB1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D为平行四边形，则A1D1∥AD 又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高，求出三棱锥A﹣B1BC的体积，从而求出三棱锥B1﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：连接DD1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵D、D1分别是BC和B1C1的中点．∴B1D1∥BD，且B1D1=BD∴四边形B1BDD1为平行四边形∴BB1∥DD1，且BB1=DD1又因AA1∥BB1，AA1=BB1所以AA1∥DD1，AA1=DD1所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1∥AD又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D故A1D1∥平面AB1D；（2）在△ABC中，棱长均为4，则AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高在△ABC中，AB=AC=BC=4得AD=2在△B1BC中，B1B=BC=4，∠B1BC=60°所以△B1BC的面积为4∴三棱锥B1﹣ABC的体积即为三棱锥A﹣B1BC的体积V=××=820．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=上一点．（1）若点P在第一象限，且OP=，求过点P圆O的切线方程；（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】圆的切线方程；直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出设点P的坐标．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，切线为y﹣1=k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k=0，利用点到直线间的距离公式可解得k，从而可得过点P的圆O的切线方程．（2）设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点，继而可得点P纵坐标的取值范围；（3）存在，点A的坐标为（，0）．【解答】解：（1）设点P的坐标为（，y0）．因OP=，所以（）+y02=（）2，解得y0=±1．又点P在第一象限，所以y0=1，即P的坐标为（，1）．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，则切线为y﹣1=k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k=0，于是有=1，解得k=0或k=．因此过点P的圆O的切线方程为：y=1或24x﹣7y﹣25=0．（2）设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点．于是1≤≤3，解得﹣≤y0≤，即点P纵坐标的取值范围是[﹣，]．（3）存在，点A的坐标为（，0）．（写出存在两字给2分）2016年12月16日。

2017-2018学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）设i为虚数单位，复数z1＝2+i，z2＝﹣1+5i，则|z1﹣z2|＝．2．（5分）已知α，β表示不同的平面，m，n表示不同的直线，下列命题正确的是．（填上所有正确的序号）①若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；③若α不平行β，则α内不存在与β平行的直线④若m不平行n，则m与n不可能垂直于同一个平面3．（5分）设复数z满足（2﹣i）z＝1+i（i为虚数单位），则复数z的实部是．4．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上点P（4，y0）到抛物线焦点的距离为5，则p＝．5．（5分）若球O在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内，且与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面均相切，则球O的体积为．6．（5分）若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为2，实轴长为2，则双曲线C的方程为．7．（5分）已知一个圆锥底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为．8．（5分）已知函数f（x）＝e x+3e﹣x（e是自然对数的底数），则曲线y＝f（x）在点（ln3，f（ln3）的切线方程为．9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3．点M、N在棱A1B1、BB1上，且满足B1M＝1，MN∥平面A1BC1，则三棱锥B1﹣MNC1的体积为．10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+a在[0，1]上恰好有两个零点，则实数a的取值范围是11．（5分）设函数f（x）＝，则f（x）的最小值为．12．（5分）已知定义在（0，π）的函数f（x）满足f′（x）sin x﹣f（x）cos x＞0恒成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则不等式f（x）﹣2f（）sin x＞0的解集为．13．（5分）若椭圆+＝1（a＞b＞0）上存在点P，满足P到左焦点的距离大于P到右准线的距离，则椭圆离心率的取值范围为．14．（5分）若函数f（x）＝lgx2+|x|﹣5在区间（k，k+1）上有零点（k∈Z），则满足条件的所有k的值的集合为二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，已知△AF1B的周长为16，且当1⊥x轴时，AB＝6．（1）求椭圆C的方程；（2）若双曲线D与椭圆C具有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，求双曲线D的方程．16．（14分）设a∈R，函数f（x）＝+a，x∈R为奇函数．（1）求实数a的值；（2）指出函数f（x）的单调性（不要求证明）；（3）求不等式f（log2（x2﹣2））+f（x）≤0的解集．17．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）求证：直线A1B∥平面ADC1．18．（16分）如图1，某半径为1m的圆形广告牌，圆心O距墙壁1.5m．为安全起见，决定对广告牌制作一合金支架，如图2，支架由广告牌所在圆周上的劣弧、线段P A、线段PB构成，其中点P为广告牌的最低点，且为弧的中点，点A，B在墙面上，P A垂直于墙面，兼顾美观及有效支撑，规定弧所对圆心角及PB与墙面所成的角均为θ，θ∈[，]．（1）将所需合金长度f（θ）表示为θ的函数；（2）求所需合金长度的最小值．（参考公式：扇形弧长l＝ar，其中a，r分别为扇形的圆心角和半径）19．（16分）如图，点A、B、F分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点和右焦点，M、N为椭圆C上异于A、B的两点，且M，N，F三点共线，若BF＝1，点F到椭圆C右准线的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线BM，BN的斜率之积为定值；（3）求四边形AMBN面积的最大值．20．（16分）设a∈R，函数f（x）＝x（lnx+a）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝，x∈（1，+∞）．①当a＜0时，求函数g（x）在区间（1，e2]上的最大值（其中e为自然对数的底数）；②若函数g（x）存在极值，求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1．【解答】解：∵z1＝2+i，z2＝﹣1+5i，∴z1﹣z2＝（2+i）﹣（﹣1+5i）＝3﹣4i．∴|z1﹣z2|＝5．故答案为：5．2．【解答】解：由α，β表示不同的平面，m，n表示不同的直线，知：在①中，若α∥β，m∥α，n∥β，则m与n平行或异面，故①错误；在②中，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故②正确；在③中，若α不平行β，则α内存在与β平行的直线，故③错误；在④中，若m不平行n，则由线面的性质定理得m与n不可能垂直于同一个平面，故④正确．故答案为：②④．3．【解答】解：由（2﹣i）z＝1+i，得z＝，∴z的实部为．故答案为：．4．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）上点P（4，y0），∴抛物线抛物线的准线方程为：x＝﹣，抛物线y2＝2px（p＞0）上点P（4，y0）到抛物线焦点的距离为5，∴＝5．解得p＝2．故答案为：2．5．【解答】解：∵球O在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内，且与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面均相切，∴球半径r＝1，∴球O的体积为V＝＝．故答案为：．6．【解答】解：由题意实轴长为2，可得a＝1，焦点为（c，0）到渐近线y＝±x 即bx±ay＝0的距离d＝＝b＝2，∴双曲线的方程为：．故答案为：．7．【解答】解：由V＝＝，R＝1得h＝2，∴L＝＝，∴S＝πRL＝＝．故答案为：8．【解答】解：函数f（x）＝e x+3e﹣x的导数为f′（x）＝e x﹣3e﹣x，曲线y＝f（x）在点（ln3，f（ln3）的切线的斜率为k＝3﹣3×＝2，切点为（ln3，4），则所求切线方程为y﹣4＝2（x﹣ln3），即为2x﹣y+4﹣2ln3＝0，故答案为：2x﹣y+4﹣2ln3＝0．9．【解答】解：由题意可知：几何体是三棱锥底面面积为：，高为3，三棱锥的体积为：×3＝．故答案为：．10．【解答】解：f′（x）＝x（3x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在[0，）递减，在（，1]递增，若f（x）在[0，1]上恰好有两个零点，则，解得：0≤a＜，故答案为：[0，）．11．【解答】解：当x＜1时，f（x）＝3x﹣2，函数是增函数，3x∈（0，3），所以3x﹣2∈（﹣2，1）当x≥1时，f（x）＝2（x﹣1）（x﹣3），函数的对称轴为x＝2开口向上，所以x＝2时，函数取得最小值．f（2）＝2×（﹣1）×1＝﹣2．所以f（x）的最小值为：﹣2．故答案为：﹣2．12．【解答】解：令g（x）＝，则g′（x）＝，∵当x∈（0，π）时，f′（x）sin x﹣f（x）cos x＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，π）上递增，不等式f（x）﹣2f（）sin x＞0等价于＞＝，∴g（x）＞g（），∴＜x＜π，故不等式的解集为（，π），故答案为：（，π）13．【解答】解：设椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，离心率为e，椭圆+＝1（a＞b＞0）上存在点P，满足P到左焦点的距离大于P到右准线的距离，可得，可得e2+2e﹣1＞0，解得e＞＝或e＜﹣又∵0＜e＜1，∴解得﹣1＜e＜1，故答案为：（，1）．14．【解答】解：函数f（x）＝lgx2+|x|﹣5为偶函数，当x＞0时，函数f（x）＝lgx2+x﹣5＝2lgx+x﹣5为增函数，当x＝3时，f（3）＝lg9﹣2＜0当x＝4时，f（4）＝lg16﹣1＞0故函数区间（3，4）上有零点，进而函数区间（﹣4，﹣3）上有零点，故满足条件的所有k的值的集合为{﹣4，3}，故答案为：{﹣4，3}二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤15．【解答】解：（1）由椭圆的定义可得AF1+AF2＝BF1+BF2＝2a，则△AF1B的周长为AB+AF1+BF1＝AF1+AF2+BF1+BF2＝4a＝16，则a＝4，当1⊥x轴时，由x＝c可得y＝±＝±，AB＝6，可得＝3，解得b＝2，则椭圆C的方程为+＝1；（2）双曲线D与椭圆C具有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，可设双曲线的方程为﹣＝1（m＞0，n＞0），可得m2+n2＝4，由椭圆的离心率为，可得双曲线的离心率为2，则＝2，可得m＝1，n＝，则双曲线的方程为x2﹣＝1．16．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝+a为奇函数，则有f（0）＝+a＝0，解可得a＝﹣1，（2）f（x）＝﹣1＝1﹣，函数f（x）为增函数；（3）根据题意，f（log2（x2﹣2））+f（x）≤0⇒f（log2（x2﹣2））≤﹣f（x）⇒f（log2（x2﹣2））≤f（log2x），又由函数为增函数，则有log2（x2﹣2）≤log2x，则有，解可得：＜x≤2，即不等式的解集为（，2]．17．【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，AD⊥CC1，C1D∩CC1＝C1，∴AD⊥平面B1BCC1，∵AD⊂平面C1AD，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，∵A1B⊄平面C1AD，OD⊂平面C1AD，∴直线A1B∥平面ADC1．18．【解答】解：（1）由题意可知，圆的半径OM＝1m，P A＝1.5m，则的长度为θ，PB＝，∴所需合金长度f（θ）＝，（θ∈[，]）；（2）由f（θ）＝，得f′（θ）＝＝＝，由f′（θ）＝0，可得﹣cos2θ﹣cosθ+1＝0，解得cosθ＝（舍），或cos．∵θ∈[，]，∴θ＝arccos．∴当θ∈[，arccos]时，f′（θ）＜0，当x∈[arccos，]时，f′（θ）＞0，∴当θ＝arccos时，f（θ）有最小值为+arccos+1.5＝arccos+1.5＝+arccos+1.5．19．【解答】解：（1）BF＝1，点F到椭圆C右准线的距离为3．可得a﹣c＝1，﹣c＝3，解得c＝1，a＝2，b＝，即有椭圆方程为+＝1；（2）证明：由题意可得A（﹣2，0），B（2，0），F（1，0），设MN的方程为y＝k（x﹣1），联立椭圆方程3x2+4y2＝12，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2＝，x1x2＝，k BM•k BN ＝•＝＝＝＝﹣；（3）设直线MN的方程为x＝my+1，代入椭圆方程3x2+4y2＝12，可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，则四边形AMBN面积S ＝|AB|•|y1﹣y2|＝•4•＝2＝24，设＝t（t≥1），则S＝24•＝24•，由y＝3t +在t≥1递增，可得y≥4，则S≤6，当且仅当t＝1即m＝0，MN垂直于x轴，可得S的最大值为6．20．【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+a+1，x＞0．令f′（x）＝0，解得x＝e﹣a﹣1．第11页（共12页）∴函数f（x）在（0，e﹣a﹣1）内单调递减，在（e﹣a﹣1，+∞）内单调递增．（2）①a＜0时，g（x ）＝＝，x∈（1，e2]．g′（x ）＝．令u（x）＝x﹣lnx﹣a﹣1，x∈（1，e2]．则u′（x）＝1﹣＞0，∴u（x）＞u（1）＝﹣a＞0．∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（1，e2]上单调递增．∴g（x）max＝g（e2）＝．②g′（x ）＝，x∈（0，+∞）．令u（x）＝x﹣lnx﹣a﹣1，x∈（0，+∞）．则u′（x）＝1﹣＝，∴u（x）≥u（1）＝﹣a，若﹣a≥0，即a≤0时，g′（x）≥0，此时函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，无极值，舍去．当u（1）＝﹣a＜0时，令u（x）＝x﹣lnx﹣a﹣1＝0，存在x0∈（0，+∞），使得x0﹣lnx0﹣a﹣1＝0，则函数g（x）在（0，x0）内单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．此时函数g（x）存在极值．∴实数a的取值范围是（0，+∞）．第12页（共12页）。

S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S第5题图）第6题图江苏省南通市2016-2017学年高二数学下学期第三次阶段检测试题（I 卷）参考公式：13V sh =棱锥（s ，h 分别为棱锥底面面积和高）．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设全集{}1234U =，，，，集合{}13A =，，{}23B =，，则U B A ð＝ ▲ ． 2． 命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是 ▲ ． 3． 已知数列{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的 ▲ ． 4． 已知复数13i3iz +=-，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅＝ ▲ ． 5． 运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ．6． 对某路段上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．7． 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲不在第一天且乙不在第二天，同时丙不在第三天的概率为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且它的一个焦点与抛物线28x y=的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲ ．9． 已知(42)xx=，a ，22(1)2x x -=，b ，x ∈R ．若⊥a b ，则-=|a b | ▲ ．10．设一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱体积为1V ，底面边长为锥的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ． 11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q ≠，若3232S S >，则公比q 的取值范围是 ▲ ． 12．函数()212log 1x f x x =-的最大值是 ▲ ．ABCDE FMO第16题13．过点(40)P -，的直线l 与圆22:4C x y +=相交于A B ，两点，若点A 恰好是线段PB 的 中点，则直线l 的斜率是 ▲ ．14．在ABC △中，已知3sin 2sin C B =，点M N ，分别是边AC AB ，的中点，则BM CN的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四边形ABEF 中，AF FB ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面ABEF ．（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM //平面DAF ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ， 已知3cos210cos()10C A B -+-=． （1）求cos C 的值；（2）若c ＝1，tan B ＝2，求a 的值．17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米． （1）按下列要求写出函数关系式：①设CD =2x （米），将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠BOC = （rad ），将y 表示成 的函数关系式． （2）选择一个函数关系式，求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中已知12F F ，分别为椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左右焦点，且 椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆E 的离心率． （1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为椭圆E 上任意一点，求22+PA PO 的最小值；（3）过点A 的直线l 交椭圆E 于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM MA =，若12MF BF ⊥，求直线l 的斜率．19．（本小题满分16分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 的极大值为0，求实数a 的值．S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S第5题图）第6题图20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++< 成立，求正实数1b 的取值范围；（3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．数学试卷（Ⅰ）参考答案参考公式：13V sh =棱锥（s ，h 分别为棱锥底面面积和高）．二、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设全集{}1234U =，，，，集合{}13A =，，{}23B =，，则U B A ð＝ ▲ ．{}22． 命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是 ▲ ．若6απ≠，则1sin 2α≠ 3． 已知数列{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的 ▲ ．必要不充分条件 4． 已知复数13i3iz +=-，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅＝ ▲ ．1 5． 运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ．166． 对某路段上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．757． 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲不在第一天且乙不在第二天，同时丙不在第三天的概率为 ▲ ．138． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且它的一个焦点与抛物线28x y=的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲ ．222y x -=9． 已知(42)xx=，a ，22(1)2x x -=，b ，x ∈R ．若⊥a b ，则-=|a b | ▲ ．210．设一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱体积为1V，底面边长为锥的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．2π 11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q ≠，若3232S S >，则公比q 的取值范围是 ▲ ． 1(1)(1)2--+∞ ，，12．函数()212log 1x f x x =-的最大值是 ▲ ．2-13．过点(40)P -，的直线l 与圆22:4C x y +=相交于A B ，两点，若点A 恰好是线段PB 的 中点，则直线l 的斜率是 ▲． 14．在ABC △中，已知3sin 2sin C B =，点M N ，分别是边AC AB ，的中点，则BM CN的取值范围是 ▲ ．()7148， 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四边形ABEF 中，AF FB ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面ABEF ．（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM //平面DAF ．证明：(1)因为平面⊥ABCD 平面ABEF ，AB CB ⊥，平面ABCD 平面ABEF =AB ，所以CB ⊥平面ABEF ， （2分）又AF ⊂平面ABEF ，则AF CB ⊥， （4分）又AF BF ⊥，且BF B C B ⋂=，,BF BC ⊂平面CBF ，所以AF ⊥平面CBF ． （7分） (2)设DF 的中点为N ，则CD MN 21//， （9分） 又CD AO 21//，则AO MN //，所以四边形MNAO 为平行四边形，所以//OM AN ．（12分）又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ， 所以//OM 平面DAF ． （14分） 16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ，已知3cos210cos()10C A B -+-=． （1）求cos C 的值；（2）若c ＝1，tan B ＝2，求a 的值．解（1）由01)cos(102cos 3=-+-B A C ，得02cos 5cos 32=-+C C ，（3分）即0)1cos 3)(2(cos =-+C C ，解得31cos =C 或2cos -=C (舍去) ． （6分） （2）由1cos 3C =，0C <<π，有sin C ==因为sin tan cos B B B =，所以2222sin 1cos 2cos cos B B B B-==，解得2cos B 13=．又tan 0B ，02B π<<，于是cos B =，sin tan cos B B B ==（10分）ABCDE FMOsin sin()A B C =+sin cos cos sin B C B C =+13==．（12分）由正弦定理得23sin sin ==C A c a ． （14分） 17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米． （1）按下列要求写出函数关系式：①设CD =2x （米），将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠BOC = （rad ），将y 表示成 的函数关系式． （2）选择一个函数关系式，求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．解 以直径AB 所在的直线为x 轴，线段AB 中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，过点C 作CE 垂直于x 轴于点E ．（1）①CD =2x ，OE =x （0＜x ＜1），C E所以1()2y AB CD CE =+⋅1(222x =+(11)x x =+<<．……………………………………………………………………………………………4分 ②(0)2BOC θθπ∠=<<，OE =cos ，CE =sin ，1()y AB CD CE =+⋅1(22cos )sin θθ=+(1cos )sin θθ=+(0)θπ<<．……………………………………………………………………………………………8分（2）（方法1）由①可知(1y x =+设43221t x x x =--++，所以3224622(1)(21)t x x x x '=--+=-+-，令t '=0，解得12x =，或1x =-（舍）．………………………………………………10分当10x <<时，t '＞0，则函数t 在1(0)，上单调递增， 当112x <<时，t '＜0，则函数在1(1)2，上单调递减， 当1x =时，t 有最大值2716，y max．答 梯形部份ABCD 面积y平方米．…………………………………14分（方法2）由②可知，y '=[（sin +sin co s ）]'=（sin ）'+（sin ·cos ）'=cos +cos 2 ﹣sin 2=2cos 2+cos ﹣1，令y'=0，2cos 2+cos ﹣1=0，解得1cos 2θ=，或cos 1θ=-（舍）． ………………10分当3θπ0<<时，y '＞0，则函数y 在(0)3π，上单调递增， 当32θππ<<时，y '＜0，则函数y 在()32ππ，上单调递减， 当3θπ=时，y max，答 梯形部份ABCD平方米．…………………………………14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中已知12F F ，分别为椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左右焦点，且 椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆E 的离心率． （1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为椭圆E 上任意一点，求22+PA PO 的最小值；（3）过点A 的直线l 交椭圆E 于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM MA =，若12MF BF ⊥，求直线l 的斜率．解 （1）因为椭圆E 经过点(20)A ，和(13)e ，，所以22222291144a c b b c a ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，，解得2a =，b =1c =．所以椭圆E 的方程22143y x +=．…………………………………………………4分（2）设点P 的坐标为()x y ，，于是22+PA PO =()22222x y x y ++-+．P 在椭圆E 上，22143y x +=，所以22+PA PO =214102x x -+21(4)22x =-+．由于22x -≤≤，所以2x =时，22min+4PA PO ⎡⎤=⎣⎦，此时点(20)P ，． ………………………………………………………………………………………8分 （3）由（1）知，1(10)F -，，2(10)F ，． 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是(2)y k x =-．联立22143(2)y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 可得2222(43)1616120k x k x k +-+-=， 解得2x =，或228643k x k -=+，所以点B 坐标为2228612()4343k k k k --++，．…………10分 由OM MA =知，点M 在OA 的中垂线1x =上，又点M 在直线l 上，所以点M 的坐标为(1)k -，． 从而1(2)F M k =- ，，22224912()4343k k F B k k --=++ ，．………………………………12分 因为12MF BF ⊥，所以120F M F B ⋅=．12F M F B ⋅= 2222818124343k k k k -+++222018043k k -==+，2910k =，k =． 故直线l的斜率是16分19．（本小题满分15分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 的极大值为0，求实数a 的值． 解（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则1'()42f x x x=-+，……………2分 所以'(1)1f =-，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．…………4分（2）因为111()ln1f a a a=-+，设函数()ln 1g x x x =-+， 则11'()1xg x x x-=-=， …………………………………………………6分令'()0g x =，得1x =，列表如下：所以111()ln10f a a a=-+≤．………………………………………………8分 （3）2121'()2ax ax f x ax a x x--=-+=-，0x >，令'()0f x >x <<0<， 所以()f x在上单调增，在)+∞上单调减． 所以x =()f x 取极大值．…………………………………………12分于是0f =⎝⎭，而(1)0f =， 1=，解得1a =．…………………………………………14分 设0x =．若01x ≠，根据函数的单调性，总有0()(1)0f x f >=，即函数()f x 的极大值不为0，与已知矛盾．因此01x =，所以a 的值为1．…………………………………………………16分20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++< 成立，求正实数1b 的取值范围；（3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．解（1）因为2n A n = ，当2n ≥时， 1n n n a A A -=- ()221n n =-- 21n =- ，11a = 也适合上式，所以21n a n =-． …………………………………………2分 从而111()12n n n n b b a a ++-=-=，数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以21132(1)1222n B n n n n n =⋅+⋅⋅-⋅=+． …………………………………………4分 （2）依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，即12n nb b +=， 所以数列{}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列，所以1112(21)12nn n n a B b b -==⨯=--， 所以11112(21)(21)nn n n n n b a a b +++=-⋅- …………………………………………5分 因为111111112111()(21)(21)2121n n n n n n n n b b a a b b b ++++⋅==--⋅---…………………………………8分 所以31241112233411111()2121n n n n b b b b a a a a a a a a b +++++++=--- ， 所以1111111()21213n b +-<--恒成立， 即1113(1)21n b +>--，所以13b ≥． …………………………………………10分 （3）由112()n n n n a a b b ++-=-得：112n n n a a ++-=，所以当2n ≥时，11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+132********n n n -+=+++++=- ，当1n =时，上式也成立，所以2242n n A n +=--，又122n n B +=-， 所以2124222221n n n n n A n n B ++--==---， …………………………………………12分 假设存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s t s tA A AB B B 成等差数列， 等价于11,,212121s t s t ---成等差数列，即121212121s t s t =+--- ………………13分 即 212121st s t =+--，因为1121t t +>-，所以2121s s >-，即221s s <+ …………14分 令(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N ，则(1)(s)220s h s h +-=->，所以(s)h 递增， 若3s ≥，则(s)h(3)10h ≥=>，不满足221s s <+，所以2s =，代入121212121s t s t =+---得2310t t --=(3)t ≥， 当3t =时，显然不符合要求； 当4t ≥时，令()231(3,)t t t t t ϕ*=--≥∈N ，则同理可证()t ϕ递增，所以()(4)30t ϕϕ≥=>， 所以不符合要求． 所以，不存在正整数,s t (1)s t <<，使11,,s t s tA A AB B B 成等差数列．…………………16分。

江苏省泰州中学2016—2017学年度第二学期期末考试高二数学（文科）试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}{}1,0,1,0,1,2A B =-=，则A B = .2. 函数()21f x x =-的定义域为 .3.命题“2,1x R x ∀∈≥”的否定是 .4.已知幂函数()f x 的图象过点()2,4，则()3f 的值是 .5．用系统抽样法从某校600名学生中抽取容量为20的样本，将600名学生随机编号为1—600，按编号顺序平均分为20个小组，若第1小组中用抽签法确定抽出的号码为2，则第4小组抽取的号码为 .6.根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值是 .7.已知某学生准备利用暑假时间到北京研学旅游，其乘火车、汽车、飞机去的概率分别为,,，则这名学生不乘汽车的概率是 .8.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，若()()()2032f f f -++=，则()()23f f -的值是 .9.为了了解某校高二年级300名男生的健康状况，随机抽测了其中50名学生的身高（单位：cm ），所得数据均在区间[]155,185上，其频率分布直方图（部分图形）如图所示，则估计该校高二年级身高在180cm 以上的男生的人数为 .10.已知某市2016年6月26日到6月30日的最高气温依次为28,29,25,25,28C C C C C ，那么这5天最高气温的方差为 .（单位：C ） 11.已知定义在上的函数()321f x x x =-+，若方程()10f x a x --=恰有4个互不相等的实数根，则所有满足条件的实数a 组成的集合为 .12.已知0a >，函数()()322114,132311ln ,12a x x ax x f x a x x ax x -⎧-++-≤⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩，若()f x 在区间(),2a a -上单调递增，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共8小题，共100分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.13.（本题满分12分）已知集合{}{}|13,|11.A x x B x x =≤≤=-≥ （1）求A B ； （2）若A B 是集合{}|x x a ≥的子集，求实数a 的取值范围.14.（本题满分12分）一根直木棍长6m ，现将其锯为2段.（1）若两段木棍的长度均为正整数，求恰有一根长度为2m 的概率；（2）求锯成的两段木棍的长度均大于2m 的概率.15.（本题满分12分）已知:11,:x p x q a e b -≤≤≤≤，其中,a b 是实数.（1）若p 是q 的充要条件，求ab 的值；（2）若21,a b e ==，且,p q 中恰有一个为真命题，求实数x 的范围.16.（本题满分12分）（1）求lg 4lg50lg 2+-的值；（2）若实数,a b 满足()2361log 2log log a b a b +=+=+，求11a b+的值.17.（本题满分12分）已知1是函数()33f x ax x =-的一个极值点，其中a 为实数.（1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值.18.（本题满分12分）某公司科技小组研发一个新项目，预计能获得不少于1万元且不多于5万元的投资收益.公司拟对研发小组实施奖励，奖励金额y （单位：万元）和投资收益x （单位：万元）近似满足函数()y f x =，奖励方案满足如下两个标准：①()f x 是单调递增函数；②()0f x kx ≤≤，其中0k >.（1）若12k =，试判断函数()f x x = （2）若函数()ln f x x =符合奖励方案，求实数k 的最小值.19.（本题满分14分）已知函数()2,f x x ax x R =-∈，其中0a >.（1）若函数()f x 是R 上的最小值为-1，求实数a 的值；（2）若存在两个不同的点()(),,,m n n m 同时在曲线()f x 上，求实数a 的取值范围.20.（本题满分14分）已知函数()ln ,0x f x e a x b x =-+>，其中0,.a b R >∈（1）若1a b ==，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：存在唯一的正实数0x ，使函数()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0a b +=，且函数()f x 有2个互不相同的零点，求实数a 的取值范围.。

江苏省南通中学高二数学练习（理科）一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卷相应位置上．）1．已知复数Z 满足(1)1i Z i -=+，则复数Z 的模为 ▲ ．12．从1到9的正整数中任意抽取两个数相加，所得的和为奇数的不同情形种数是 ▲ ．（用数字作答）114520C C ⋅=3．已知1010984mA =⨯⨯⨯⨯，那么m = ▲ ．74．在极坐标系中，点5(3,)12A π与点(8,)12B π之间的距离等于 ▲ ．【解析】直接应用余弦定理得7d ==． 5．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 【解析】因为13b a =，所以3e ===6．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为 ▲ ．（用数字作答） 【解析】方法1：设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次抽到理科题”为事件AB ，则1134253()5A A P A A ⋅==，23253()10A P AB A ==，所以()(|)()P AB P B A P A =3110325==． 方法2：亦可以在压缩了的样本空间中直接计算概率为121412C P C ==． 7．甲、乙、丙三人射击同一目标，命中目标的概率分别为12，13，14，且彼此射击互不影响，现在三人射击该目标各一次，则目标被击中的概率为 ▲ ．（用数字作答） 【解析】11131(1)(1)(1)2344P =----=．8．已知随机变量X 1(2,)2B ，那么随机变量X 的方差为()V X = ▲ ．（用数字作答）【解析】方法1：显然2211()()(1)22k k kP X k C -==⋅⋅-（0k =，1，2），易得随机变量X 的概率分布为数学期望为()0121424E X =⨯+⨯+⨯=，随机变量X 的方差为22()(01)(11)42V X =-⋅+-⋅ 211(21)42+-⋅=； 方法2：直接应用二项分布的方差公式1()(1)2V X np p =-=． 9．计算：2222311C C C +++= ▲ ．（用数字作答） 【解析】22232223113311220C C C C C C +++=+++=．10．三棱锥P ABC -中，D 、E 分别为PB 、PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = ▲ ． 【解析】121111122224D ABEE ABDE ABP A BEP A BCP V V V V V V V -----=====?，所以12V V =14．11．25()x x y ++的展开式中，含52x y 项的系数为 ▲ ．（用数字作答）【解析】方法1：利用二项展开式的通项公式求解，2525()[()]x x y x x y ++=++，含2y 的项为3T =22325()C x x y ⋅+⋅，其中23()x x +中含5x 的项为141533C x x C x ⋅⋅=⋅，所以52x y 的系数为215330C C ⋅=．方法2：利用组合知识求解，25()x x y ++为5个2x x y ++的积，其中有两个取y ，两个取2x ，一个取x 即可，所以52x y 的系数为22153130C C C =．12．若平面向量a 、b 满足|2|22a b -≤，则a b ⋅的最小值是 ▲ ．【解析】∵平面向量a ，b 满足|2|22a b -≤，∴22484a b a b +≤+⋅，又2222424a b a b +≥⋅=4||||a b ⋅≥4a b -⋅，所以484a b a b -⋅≤+⋅即1a b ⋅≥-，故a b ⋅的最小值是1-．13．已知各项都为整数的数列{}n a 中，12a =，且对任意的n N *∈，满足1122nn n a a +-<+， 2321n n n a a +->⨯-，则2019a 被3除所得余数为 ▲ ．【解析】因为1122nn n a a +-<+，所以121122n n n a a +++-<+，两式左右两边分别相加得 2321n n n a a +-<⨯+，又2321n n n a a +->⨯-，且n a Z ∈，所以232n n n a a +-=⨯，从而 2019201920172017201520152013311()()()()a a a a a a a a a a =-+-+-++-+2017201520133(2222)=+++++201922=，而201920192(31)=-，所以被3除所得余数为2.14．已知正实数x ，y ，则216(,)||f x y x y y x =-++的最小值为 ▲ ． 【解析】1︒ 当0x y ->时，22216161611(,)||()()()()24f x y x y y x y y x y x x x =-++=++-=++--13144≥=，当且仅当4x =，12y =时取得“=”； 2︒当0x y -≤时，221616(,)||()()f x y x y y x y y x x=-++=-+++，显然该函数在(0,]x y ∈上单调递减，所以221616(,)()()f x y y y y y y y ≥-+++=+，再设216()h y y y=+（(0,)y ∈+∞），则由 /()h y =322160y y-=得2y =，易得min 31()(2)124h y h ==>，由1︒、2︒知216(,)||f x y x y y x =-++ 的最小值为314. 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法（（用数字作答））：（Ⅰ）甲、乙之间隔着2个人；（Ⅱ）甲、乙、丙3人中从左往右看由高到底（3人身高彼此不同）；（Ⅲ）若甲、乙两人坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子中的两把，要求每人的两边 都有空位.【解析】（Ⅰ）224524960A A A =（捆绑法）；（Ⅱ）7733840A A =（等可能）；（Ⅲ）（固定模型），甲、乙两人坐法有(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,6)6种，所以每人的两边都有空位的坐法为22612A =. 答：（略）．16．已知3)n x 展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大4032.（Ⅰ）求展开式中含4x 的项；（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项.【解析】（Ⅰ）令1x =得展开式各项系数和为4n ，而二项式系数和为012n n n n n C C C +++=，由题意得424032n n -=，即(264)(263)0n n-+=，264n =或263n =-，又因为n N *∈，所以264n =，故6n =，二项展开式的第1r +项为123163r rrr T C x++=⋅⋅，令1243r+=得0r =，所以展开式中含4x 的项为044163T C x x =⋅⋅=；（Ⅱ）因为6n =，所以展开式中第4项的二项式系数最大，即12333533163540TC xx ++=⋅⋅=.17．某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A 、B 、C 三个测试项目．假定张某通过项目A 的概率为12，通过项目B 、C 概率均为a （01a <<），且这三个测试项目能否通过相互独立． （Ⅰ）用随机变量X 表示张某在测试中通过的项目个数，当13a =时，求X 的概率分布和数学期望； （Ⅱ）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）随机变量X 的可能取值为0、1、2、3．当13a =时， 022112(0)(1)(1)239P X C ==-⋅-=；021********(1)(1)(1)(1)232339P X C C ==⋅-+-⋅⋅-=；12222111115(2)(1)(1)()2332318P X C C ==⋅⋅-+-⋅=；2222111(3)2218P X C a a ==⋅==．从而X 的分布列为X 的数学期望为()01239918186E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅱ）因为022211(0)(1)(1)(1)22P X C a a ==-⋅-=-，0221(1)(1)2P X C a ==⋅-+12211(1)(1)(1)22C a a a -⋅⋅-=-，122222111(2)(1)(1)(2)222P X C a a C a a a ==⋅⋅-+-⋅=-，222211(3)22P X C a a ==⋅=，所以(1)(0)(1)P X P X a a =-==-，12(1)(2)2a P X P X -=-==，212(1)(3)2aP X P X -=-==，由题意得2(1)012021202a a aa -≥⎧⎪-⎪≥⎨⎪-⎪≥⎩和01a <<，所以102a <≤，即a 的取值范围是1(0,]2． 答：（略）．18．已知椭圆C ：2233x y +=，过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）若直线AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅱ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．【解析】（Ⅰ）因为直线AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -，直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--，令3x =，得1(3,2)M y -，所以直线BM 斜率为112131BM y y k -+==-；（Ⅱ）直线BM 与直线DE 平行． 理由如下：1︒ 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅰ）可知，1BM k =．又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-， 所以BM ∥DE ；2︒ 当直线AB 的斜率存在时，可设其方程为(1)y k x =-（1k ≠）．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 方程为1111(2)2y y x x --=--，令3x =得1113(3,)2y x M x +--． 由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(13)6330k x k x k +-+-=，由1,2x =得2122613k x x k +=+， 21223313k x x k-=+，直线BM 的斜率为11212323BM y x y x k x +---=-．因为11212121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3](3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)(3)1313(3)(2)k k k k k x x ---+-++=--0=，所以1BM DE k k ==，所以BM ∥DE . 综上，直线BM 与直线DE 平行. 19．已知函数1()ln1xf x x+=-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值.【解析】（Ⅰ）因为()ln(1)ln(1)f x x x =+--，所以/11()11f x x x=++-，/(0)2f =，(0)0f =，所 以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =；（Ⅱ）令3()()2()3x g x f x x =-+，则4//222()()2(1)1x g x f x x x=-+=-，因为01x <<，所以 /()0g x >，()g x 在区间(0,1)上递增，所以()(0)0g x g >=，即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2k ≤时，3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立.当2k >时，令3()()()3x h x f x k x =-+，则4//222()()(1)1kx k h x f x k x x -+=-+==-，当0x <</()0h x <，因此，()h x 在区间上单调递减，所以，当0x <<()(0)0h x h <=，即3()()3x f x k x <+，所以，当2k >时，3()()3x f x k x >+并非对(0,1)x ∈恒成立.综上，k 的最大值为2. 20． （Ⅰ）求证：11kk n n kC nC --=；（Ⅱ）在数学上，常用符号来表示算式，如记0120nin i aa a a a ==++++∑，其中i N ∈，n N *∈．①若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，求证：10()2ni n inni a C a-=⋅=⋅∑； ②若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=++++∑，20nn i i b a ==∑，记11[(1)]ni in i n i d b C ==+-⋅⋅∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤恒成立，求实数t 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）证（略）；（Ⅱ）①设等差数列的通项公式为0n a a nd =+，其中d 为公差，则()niini a C a=⋅=+∑123123n n n n n n a C a C a C a C ⋅+⋅+⋅++⋅012120()(2)n nn n n n n n n a C C C C d C C nC =++++++++，因为11kk n n kC nC --=，所以120111112()n n n n n n n n C C nC n C C C ----+++=+++，因此()niini a C =⋅∑01212()(2)n nn n n n n n n a CC C C d C C nC =++++++++1022n n a nd -=⋅+⋅12n n a -=⋅；注：该问也可以用倒序相加法证明（酌情给分）； ②令1x =，则223202(14)222224212n nnn ii a=-=++++==⋅--∑，令1x =-，则20[(1)]0nii i a =-⋅=∑，所以201(242)412nn n n ii b a ===⋅-=-∑， 根据已知条件可知012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn n n n n n d C C C C C =--+---++-⋅-012233[(4)(4)(4)(4)]n n n n n n n C C C C C =+⋅-+⋅-+⋅-++⋅--01234[n n n n n C C C C C -+-++(1)]1n nn C +-+(14)(11)1n n =---+(3)1n =-+，所以(3)1n n d =-+，将41n n b =-，(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得(3)41n n t ⋅-≤-．当n 为偶数时，41()()33nnt ≤-恒成立，所以22415()()333t ≤-=；当n为奇数，41[()()]33n nt≥--恒成立，所以1141[()()]133t≥--=-．综上所述，所以实数t的取值范围是5 [1,]3 -．。

江苏省南通中学2009—2010学年度第二学期期末考试高二数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请注意文理科类，并把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．命题 “2,10x R x x ∀∈++>成立”的否定为 ▲ ．2．（理）极坐标系中，曲线cos 1ρθ=与2cos ρθ=的交点个数为 ▲ ．（文）将函数πsin(2)4y x =+的图像向右平移π8个单位，再将横坐标变为原来的12，所得的函数图象的解析式是 ▲ ．3．已知集合2{2,1,3}A a a =+，集合{,1,2}B a a a =++，若{3}A B =，则实数a = ▲ ． 4．已知函数()f x 的定义域为[1,9]，则函数2(1)f x +的定义域为 ▲ ．5．（理）极坐标系中，圆心在点2π(4,)3处且过极点的圆的极坐标方程为 ▲ ． （文）函数πsin(3)4y x =-图象的对称中心坐标为 ▲ ．6．已知集合{|A x y ==，集合{|B x y ==，又AB B =，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 7．（理）已知实数,x y 满足22416x y +=，则2x y +的取值范围是 ▲ ． （文）已知函数sin()y A x ωϕ=+，在同一周期内，当π12x =时，取得最大值2；当7π12x = 时，取得最小值2-，那么该函数的解析式是 ▲ ．8．已知[0,π]x ∈，则函数sin cos 2x y x =-的值域为 ▲ ． 9．已知函数(3)x y a b =++的图像一定不经过第一象限，则,a b 满足的条件为 ▲ ．10．若方程|1|(3)x x a --=有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．下列关于命题的说法正确的有 ▲ （请填写相应的序号）：（1）原命题的否命题与逆命题的真假相同；（2）命题“ABC ∆中，若A B =，则sin2sin2A B =”的逆命题是真命题；（3）命题“x R ∃∈，使210x x --<成立”的否定是真命题；（4）命题“若函数2lg(21)y ax x =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是(0,1]”的逆否命题是假命题．12．已知函数log (1)a a y x =-在区间2(0,]5上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 13．已知函数的定义域为{|0}x x ≠，且对于任意的实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+，且1x >时()0f x >，又(12)(32)0f m f m --+>成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．若偶函数()f x 在区间[0,1]上的解析式为()1f x x =-，又函数(1)f x +为奇函数，则(2010.7)f = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定．．．．．区域．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求下列函数的定义域：（1）22log (32)y x x =-+-； （2）y =16．（理）已知直线l 的参数方程为1,2x t y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩t 为参数），曲线C 的参数方程为4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，又点P 的坐标为(1,2)．求：（1）线段AB 的中点坐标；（2）线段AB 的长；（3）||PA PB -的值．（文）已知a x x x f ++=2sin 3cos 2)(2（a R ∈，a 为常数）．（1）若R x ∈，求()f x 的最小正周期；（2）若π[0,]2x ∈时，()f x 的最大值为4，求a 的值．17．已知集合2{|30}A x x mx m =-+-=，{|0}B x x =<，若A B =∅，求实数m 的取值范围．18．求下列函数的值域：（1）cos2sin y x x =+；（2）y x =+；（3）2121x x y -=+．19．已知函数21()log (0,)2a f x x a a =>≠， （1）若122010()8f x x x =，求222122010()()()f x f x f x ++的值；（2）当(1,0)x ∈-时，()(1)0g x f x =+>，求a 的取值范围；（3）若()(1)g x f x =+，当动点(,)P x y 在()y g x =的图象上运动时，点(,)32x y M 在函数()y H x =的图象上运动，求()y H x =的解析式．20．已知22()2x a f x x -=+在区间[1,1]-上是增函数． （1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设关于x 的方程1()f x x =的两个非零实根为12,x x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2121||m tm x x ++-≥对任意a A ∈及[1,1]t ∈-恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．江苏省南通中学2009—2010学年度第二学期期末考试高二数学答题卡18．。

2016～2017学年度第二学期期末考试试卷高二数学（理科）第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知是虚数单位，则复数（） A.B.C.D.2．“任何实数的平方大于0，因为是实数，所以＞0”，这个三段论推理（ ） A ．大前题错误 B ．小前题错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的 3．某校食堂的原料费支出与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表1中提供的数据，用最小二乘法得出对的回归直线方程为，则表中的值为（ ）A. 60B. 50C. 55D. 65 4.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设正确的是 （ ）A.假设三个内角都不大于B.假设三个内角都大于C.假设三个内角至多有一个大于D.假设三个内角至多有两个大于5.下面几种推理中是演绎推理的为 （ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B ．猜想数列的通项公式为；C ．由半径为的圆的面积，得单位圆的面积；表1D．由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为6．用数学归纳法证明（），在验证时，等式的左边等于（）A.1B.C.D.7．在的二项展开式中，的系数为（）A.10B.C.40D.8．5张卡片上分别标有号码1,2,3,4,5，现从中任取3张，则3张卡片中最大号码为4的概率是（）A. B. C. D.9.若且则的值为（）A. B. C. D.10．将5封不同的信全部投入4个邮筒，每个邮筒至少投一封，不同的投法共有（）A.120种B. 356种C.264种D. 240种11.袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次.若每次抽到各球的机会均等，事件表示“三次抽到的号码之和为6”，事件表示“三次抽到的号码都是2”，则（）A. B. C. D.12．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A.243B.252C.261D.352第II卷二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13．已知随机变量服从正态分布，如图1所示．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为．14.掷两颗骰子，掷得的点数和大于9的概率为.15.若，则.16．若是离散型随机变量，，，且.又已知，，则的值为 .三．解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数在复平面内对应的点分别为，，（）．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若复数对应的点在二、四象限的角平分线上，求的值．18．(本小题满分12分)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件发生的概率；（Ⅱ）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.19．(本小题满分12分)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；（Ⅱ）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.（图1）20．(本小题满分12分)某校随机调查80名学生，以研究学生爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的列联表（表2）：（Ⅰ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查本校的3名学生，设这3人中爱好羽毛球运动的人数为，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据表3中数据，能否认为爱好羽毛球运动与性别有关？附：21．(本小题满分12分)请考生在（21）（1），（21）（2）二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，把所选题目的序号填在相应位置． （21）（1）选修4－4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，点，曲线的方程为.以极点为原点，以极轴为轴正半轴建立直角坐标系.（Ⅰ）求点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；表2表3（Ⅱ）斜率为的直线过点，且与曲线交于两点，求点到两点的距离之积.（21）（2）选修4－5：不等式选讲已知函数，.（Ⅰ）写出函数的分段解析表达式，并作出的图象；（Ⅱ）求不等式的解集.22．（本小题满分12分）请考生在（22）（1），（22）（2）二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，把所选题目的序号填在相应位置．（22）（1）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线，曲线：（为参数）.（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.（22）（2）选修4－5：不等式选讲设对于任意实数，不等式恒成立，且的最大值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．2016～2017学年第二学期期末考试试卷数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1.B2.A3.A4.B5.C6.C7.D8.B9.C10.D 11.A 12.B二.填空题13.0.8 14. 15.3316.317.解：（I）由复数的几何意义可知：．因为，所以．解得或.....................................5分（II）复数由题意可知点在直线上所以，解得........................10分18.解：（I）由已知，有，所以事件发生的概率为...............................4分（II）随机变量的所有可能取值为.所以，随机变量的分布列为........................................................10分随机变量的数学期望...................12分19.解：（I）由已知，有所以事件发生的概率为.................................4分（II）随机变量的所有可能取值为，，，.所以，随机变量的分布列为........................................................10分随机变量的数学期望.........................12分20.解：（I）任一学生爱好羽毛球的概率为,故.，所以，随机变量的分布列为随机变量的数学期望 ...............8分（II）因为所以没有理由认为爱好羽毛球运动与性别有关................12分21.（1）解:（I）点M的直角坐标为，曲线C的直角坐标方程为................................4分（II）直线的参数方程为.把直线的参数方程代入曲线C的方程得，，设A、B对应的参数分别为，则，由t的几何意义得..........................12分（2）解：（I）的图象如图所示............................4分（II）方法一：由的表达式及图象，当时，可得；当时，可得；故的解集为；的解集为；所以不等式的解集为.............12分方法二：由（I）可知所以当时，，解得当时，，解得当时，，解得当时，，解得综上，的解集为.....................12分22.（1）（Ⅰ）解：，.............4分（Ⅱ）到射线的距离为则...............................12分（2）解：（I）因为不等式恒成立，所以，即，所以............................4分（II）因为，所以即，故，于是，因为，于是得.当时取等号........12分。

2016-2017学年江苏省南通市海安高中高二（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）集合A={0，1}的真子集的个数为．2．（5分）已知复数z满足（z﹣2）i=1+i（i为虚数单位），则z的模为．3．（5分）已知一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机地向该正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率为．4．（5分）某校共有高中、初中、小学学生4000名，其中小学生1600名，初中生人数是高中生人数的2倍，现用分层抽样的方法抽取一个样本来调查学生每天的课外阅读量．已知样本中小学生共有32人，则该样本中，高中生的人数是．5．（5分）执行如图所示的算法，则输出的S的值是．6．（5分）一个正六棱锥的底面边长为6cm，高为15cm则该棱锥的体积为cm3．7．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，则φ的值是．8．（5分）公差不为0的等差数列的第1，3，6项成等比数列，则该数列的公比为．9．（5分）设函数（e为自然对数的底数）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，则实数a的值为．10．（5分）甲、乙两种食物的维生素含量如表：维生素A（单位/kg）维生素B（单位/kg）甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100，120单位，则混合物质量的最小值为kg．11．（5分）设集合A={（x，y）|（x﹣4）2+y2=r2，r＞0}，B={（x，y）|x2+（y ﹣3）2=36}，若A∩B中有且只有一个元素，则r的取值集合为．12．（5分）已知正数x，y满足，则log2x+log2y的最小值为．13．（5分）在△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB，若AC=2，BC=1，且，则AB的长为．14．（5分）设函数，若存在实数t，使得函数y=f（x）﹣t有4个不同的零点，则m的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知，其中．（1）求的值；（2）sinα的值．16．（14分）如图，三棱锥S﹣ABC中，点M，N，P分别为棱SA，SB，SC的中点，且∠PMN=90°．（1）求证：平面PMN∥平面ABC；（2）若平面SAC⊥平面ABC，求证：平面SAC⊥平面SAB．17．（14分）如图，某开发区内新建两栋楼AB，CD（A，C为水平地面），已知楼AB的高度为10m，两楼间的距离AC为70m．（1）若在AC上距离楼AB30m的点P处测得两楼的张角∠BPD=135°，求楼CD 的高度；（2）若楼CD的高度为20米，试在AC上确定一点P，使得张角∠BPD最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆和圆O：x2+y2=4，A为椭圆Γ的左顶点，B，C分别为椭圆Γ，圆O在轴上方的点，且．．（1）若，求b的值；（2）求椭圆Γ的离心率的取值范围．19．（16分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=axlnx﹣b（x2﹣1），其中a＞0，b∈R．．（1）若a=1，b=0，求函数f（x）的极值；（2）若不等式f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，求的取值范围．20．（16分）已知无穷数列{a n}的首项为1，数列{b n}满足．（1）若，求数列{a n}的前n项和；（2）若b n=b n﹣1b n+1（n≥2），且，求证：①数列{b n}的前6项积为定值；②数列{a n}中的任一项都不会在该数列中出现无数次．附加题：21．已知矩阵，设点在矩阵BA对应的变换T BA作用下得到P'点，求点P'的坐标．22．在极坐标系中，设直线与圆C：ρ=2rcosθ（r＞0）相切，求r的值．23．用n（n≥2，n∈N*）表示（1﹣）（1﹣）…（1﹣）的值，并用数学归纳法证明．24．甲乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时两人正在游戏，切知甲再赢m（常数m＞1）次就获胜，而乙要再赢n（常数n＞m）次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束．（1）若m=2，n=3，求ξ的分布列及数学期望；（2）若n=m+2写出概率P（ξ=m+k）（k=2，3，…，m+1）的表达式（不必写出过程）．2016-2017学年江苏省南通市海安高中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）集合A={0，1}的真子集的个数为3．【分析】根据题意，由集合真子集的概念写出集合A的真子集，即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={0，1}的真子集为∅，{1}，{0}；则其真子集数目为3；故答案为：3．【点评】本题考查集合真子集的计算，注意区分集合的子集与真子集即可．2．（5分）已知复数z满足（z﹣2）i=1+i（i为虚数单位），则z的模为．【分析】先解出复数z的式子，再利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，进行运算．【解答】解：∵复数z满足（z﹣2）i=1+i（i为虚数单位），∴z=2+=2+=2+1﹣i=3﹣i，∴|z|==，故答案为：．【点评】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．3．（5分）已知一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机地向该正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率为．【分析】根据几何概型的概率计算公式，利用面积比求出对应的概率值．【解答】解：记“豆子落入圆内”为事件A，则所求的概率为P（A）===．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．4．（5分）某校共有高中、初中、小学学生4000名，其中小学生1600名，初中生人数是高中生人数的2倍，现用分层抽样的方法抽取一个样本来调查学生每天的课外阅读量．已知样本中小学生共有32人，则该样本中，高中生的人数是16．【分析】根据全部学生的人数和小学学生的人数，得到高中、初中共有的人数，根据两个年级人数之间的关系，得到高中生人数，根据小学生人数和小学生抽取的人数，得到概率，用高中生的人数乘以概率得到结果．【解答】解：∵某校共有高中、初中、小学学生4000名，其中小学生1600名，∴高中、初中共有4000﹣1600=2400，∵初中生人数是高中生人数的2倍．∴高中生有800人，用分层抽样方法进行调查，样本中小学生共有32人，每个个体被抽到的概率是=则该样本中的高中生人数为800×=16故答案为：16【点评】本题考查分层抽样方法，考查分层抽样的过程中，每个个体被抽到的概率是相等的，这是解决分层抽样问题的主要依据．5．（5分）执行如图所示的算法，则输出的S的值是14．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=0，S=1满足条件i＜3，执行循环体，S=2，i=1满足条件i＜3，执行循环体，S=5，i=2满足条件i＜3，执行循环体，S=14，i=3不满足条件i＜3，退出循环，输出S的值为14．故答案为：14．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．（5分）一个正六棱锥的底面边长为6cm，高为15cm则该棱锥的体积为cm3．【分析】由题意画出图形，求出底面正六边形的面积，再由棱锥体积公式得答案．【解答】解：如图，在正六棱锥P﹣ABCDEF中，底面边长AB=6cm，高PO=15cm，连接OA，OB，则△AOB是边长为6的正三角形，∴，∴．∴=（cm）．故答案为：．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，则φ的值是．【分析】根据函数的最值得到A，再由图象可得函数的周期，结合周期公式得到ω的值，再根据函数图象经过点（3，0），代入并解之得φ．【解答】解：∵函数f（x）的最大值为3，最小值为﹣3，∴A=3，又∵函数的周期T=2[3﹣（﹣1）]=8，∴ω==，∴函数图象经过点（3，0），即：3sin（×3+φ）=0，∴解得：×3+φ=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ﹣，k∈Z，∵0＜φ＜2π，∴取k=1，得φ=．故答案为：．【点评】本题着重考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象与性质的知识，考查了数形结合思想，属于基础题．8．（5分）公差不为0的等差数列的第1，3，6项成等比数列，则该数列的公比为．【分析】设公差为d，根据公差不为0的等差数列{a n}的第1，3，6项成等比数列，可得=a1（a1+5d），化为：a1=4d≠0．可得公比q=．【解答】解：设公差为d，根据公差不为0的等差数列{a n}的第1，3，6项成等比数列，∴=a1（a1+5d），化为：a1=4d≠0∴公比q====．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）设函数（e为自然对数的底数）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，则实数a的值为1．【分析】利用偶函数的性质得到关于实数a的方程，求解方程即可求得最终结果．【解答】解：结合偶函数的性质可得：f（﹣1）=f（1），即：，整理可得：（a﹣1）（e2+1）=0，∴a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了偶函数的性质，方程思想的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．10．（5分）甲、乙两种食物的维生素含量如表：维生素A（单位/kg）维生素B（单位/kg）甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100，120单位，则混合物质量的最小值为30kg．【分析】由题意，设甲混合物为xkg，乙为ykg，从而可得不等式组，z=x+y；利用线性规划求解．【解答】解：由题意，设设甲混合物为xkg，乙为ykg，混合物为z=x+y；则，z=x+y；做其平面区域如下，由解得x=20，y=10．A（20，10）．平移直线x+y=z，可知当直线经过A时取得最小值．z=x+y=30；故答案为：30．【点评】本题考查了线性规划在实际问题中的应用，属于中档题．11．（5分）设集合A={（x，y）|（x﹣4）2+y2=r2，r＞0}，B={（x，y）|x2+（y ﹣3）2=36}，若A∩B中有且只有一个元素，则r的取值集合为{1，11} ．【分析】集合A与B中分别表示两个圆，两集合的交集仅有一个元素，即为两圆相切，确定出r的取值即可．【解答】解：∵集合A={（x，y）|（x﹣4）2+y2=r2，r＞0}，B={（x，y）|x2+（y ﹣3）2=36}，其中r＞0，且A∩B有且仅有一个元素，∴圆（x﹣4）2+y2=r2与圆x2+（y﹣3）2=36相切，圆心距为d==5若两圆外切，R+r=d，即5=6+r，此时r=﹣1（舍去）若两圆内切，R﹣r=d，即5=|r﹣6|，此时r=1或r=11综上，r的取值集合为{1，11}，故答案为：{1，11}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．12．（5分）已知正数x，y满足，则log2x+log2y的最小值为2．【分析】根据基本不等式和对数的运算性质即可求出【解答】解：正数x，y满足+=xy，∴xy=+≥2=，当且仅当y=16x时，即x=取等号，∴（xy）3≥43，解得xy≥4，∴log2x+log2y=log2xy≥log24=2，故答案为：2．【点评】本题考查了基本不等式的应用，掌握一正二定三相等，属于基础题，13．（5分）在△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB，若AC=2，BC=1，且，则AB的长为．【分析】设∠ACD=θ，根据向量的数量积可得CDcosθ=，设D到BC，AC的距离为x，利用角平分线的性质求出BD，AD，列出方程即可得出x，从而求出AB．【解答】解：设∠ACD=∠BCD=θ，则=（）=+=2CDcos（π﹣θ）+CDcosθ=﹣CDcosθ，∴﹣CDcosθ=﹣，即CDcosθ=，过D作DE⊥BC，DF⊥AB，则CE=CF=，∴BE=，AF=．设DE=DF=x，则BD=，AD=，∴，解得x=，∴AB=3BD=3=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量在几何中的应用，三角形中的几何计算，属于中档题．14．（5分）设函数，若存在实数t，使得函数y=f（x）﹣t有4个不同的零点，则m的取值范围为（）．【分析】分m≤0和m＞0分别画出函数y=f（x）的图象，把函数y=f（x）﹣t 有4个不同的零点转化为函数y=f（x）的图象与y=t有4个不同交点列关于m的不等式组求解．【解答】解：当m≤0时，函数的图象如图：不满足题意；当m＞0时，函数的图象如图：要使函数y=f（x）﹣t有4个不同的零点，则函数y=f（x）的图象与y=t有4个不同交点，∴，解得．∴m的取值范围为：（）．故答案为：（）．【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法，正确画出函数图象是解答该题的关键，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知，其中．（1）求的值；（2）sinα的值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系，半角公式求得的正弦和余弦值，可得的正切值．（2）先求得sinβ、cos（α+β）的值，再利用两角差的三角公式求得sinα=sin[（α+β）﹣β]的值．【解答】解：（1）∵已知，其中，∴∈（，），∴sin==，cos==，tan==．（2）由（1）知，sinβ==，α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣=﹣，∴sinα=sin[（α+β）﹣β]=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=﹣（﹣）•=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式，两角差的三角公式的应用，属于基础题．16．（14分）如图，三棱锥S﹣ABC中，点M，N，P分别为棱SA，SB，SC的中点，且∠PMN=90°．（1）求证：平面PMN∥平面ABC；（2）若平面SAC⊥平面ABC，求证：平面SAC⊥平面SAB．【分析】（1）推导出MP∥AC，MN∥AB，从而MP∥平面ABC，同理，MN∥平面ABC，由此能证明平面PMN∥平面ABC．（2）由MP∥AC，MN∥BA，推导出∠CAB=∠PMN=90°，从而AB⊥AC，进而AB ⊥平面SAC，由此能证明平面SAC⊥平面SAB．【解答】证明：（1）∵点M，N，P分别为SA、SB、SC的中点，∴MP∥AC，MN∥AB，又MP⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MP∥平面ABC，同理，MN∥平面ABC，又MP∩MN=M，MP、MN⊂平面PMN，∴平面PMN∥平面ABC．（2）由（1）知MP∥AC，MN∥BA，又∠PMN与∠CAB的对应边方向相同，∴∠CAB=∠PMN=90°，∴AB⊥AC，∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥平面SAC，又AB⊂平面SAB，∴平面SAC⊥平面SAB．【点评】本题考查面面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．17．（14分）如图，某开发区内新建两栋楼AB，CD（A，C为水平地面），已知楼AB的高度为10m，两楼间的距离AC为70m．（1）若在AC上距离楼AB30m的点P处测得两楼的张角∠BPD=135°，求楼CD 的高度；（2）若楼CD的高度为20米，试在AC上确定一点P，使得张角∠BPD最大．【分析】（1）在直角三角形ABP和PCD中，由∠B+∠D=135°，利用两角和的正切公式得到CD的方程解之；（2）设AP=x，利用两角和的正切公式得到x的解析式，变形后利用基本不等式求最大值时的x值．【解答】解：（1）由题意，AP=30，PC=40，AB=10，所以tan∠B==3，又∠B+∠D=135°，所以tan（∠B+∠D）=，即，解得CD=20；（2）设AP=x，则PC=70﹣x，tanB=，tanD=，所以tan（B+D）==，令t=70+x∈[7﹣，140]，则tan∠BPD==，其中，当且仅当t=100即x=30时等号成立，所以≤﹣1或者＞0，即tan∠BPD≤﹣1，或tan∠BPD＞0，要使得张角∠BPD最大只要使得张角∠BPD=﹣1，所以x=30；楼CD的高度为20米，APwei 30m时，使得张角∠BPD最大．【点评】本题考查了解三角形的应用；关键是借助于直角三角形建立边角的方程以及基本不等式求最值；属于中档题．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆和圆O：x2+y2=4，A为椭圆Γ的左顶点，B，C分别为椭圆Γ，圆O在轴上方的点，且．．（1）若，求b的值；（2）求椭圆Γ的离心率的取值范围．【分析】（1）由题意可知求得丨丨，则求得直线AB倾斜角的余弦值，即可求得B点坐标，代入椭圆方程，即可求得坐标；（2）设B点坐标根据向量的坐标运算求得C点坐标，代入圆的方程，即可求得b，根据x0的取值范围，即可求得b取值范围，利用椭圆的离心率即可求得离心率的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆，则A（﹣2，0），适合圆O：x2+y2=4，又C在圆O上，，，∴丨丨=，设直线AB的倾斜角为θ，则cosθ=，∴点B的横坐标为：2﹣丨丨cosθ=2﹣×=﹣，纵坐标为：=，则B（﹣，），代入椭圆方程，解得：b=，∴b的值；（2）设B（x0，y0），且，即b2x02+4y02=4b2，由及A（﹣2，0）可知：C（2x0+2，2y0），代入圆O：x2+y2=4，得（2x0+2）2+（2y0）2=4，解得：b2=＞0，其中x0∈（﹣2，2），∴x0∈（﹣2，0），则b2=＜2，∴椭圆的离心率e==＞，又0＜e＜1，∴＜e＜1，∴椭圆的离心率的取值范围（，1）．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，向量的坐标运算，考查椭圆的简单几何性质，考查计算能力，属于中档题．19．（16分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=axlnx﹣b（x2﹣1），其中a＞0，b∈R．．（1）若a=1，b=0，求函数f（x）的极值；（2）若不等式f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，求的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）令m=，得到F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），问题转化为F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1）≤0在[1，+∞）恒成立，求出函数的导数，通过讨论m的范围结合函数的单调性求出的范围即可．【解答】解：（1）若a=1，b=0，则f（x）=xlnx，故f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）=f（）=﹣，无极大值；极小值（2）令m=，F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），由题意得：F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1）≤0在[1，+∞）恒成立，则F′（x）=lnx+1﹣2mx，x∈[1，+∞），1°m≤0时，F′（x）＞0，F（x）在[1，+∞）递增，故F（x）≥F（1）=0，不符，舍去，2°m＞0时，令H（x）=F′（x），则H′（x）=﹣2m，由H′（x）=0，解得：x=，①≤1即m≥时，H′（x）≤0，H（x）在[1，+∞）递减，故H（x）≤H（1）=1﹣2m≤0，即F′（x）≤0，故F（x）在[1，+∞）递减，故F（x）≤F（1）=0，符合，②＞1即0＜m＜时，则x∈[1，）时，H′（x）＞0，H（x）在[1，）递增，故H（x）≥H（1）=1﹣2m＞0，即F′（x）＞0，结合1°，舍去，综上，m≥，故的范围是[，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20．（16分）已知无穷数列{a n}的首项为1，数列{b n}满足．（1）若，求数列{a n}的前n项和；（2）若b n=b n﹣1b n+1（n≥2），且，求证：①数列{b n}的前6项积为定值；②数列{a n}中的任一项都不会在该数列中出现无数次．﹣a n=2n，利用累加法求出（n∈N*），由此能求【分析】（1）推导出a n+1出数列{a n}的前n项和．（2）①由b n=b n﹣1b n+1，（n≥2），得b n+1=b n b n+2，两式相乘，得：b n﹣1b n+2=1，（n ≥2），由此能证明数列{b n}的前6项积为定值．②设c n=a6n+i（n∈N），其中i为常数，且i∈{1，2，3，4，5，6}，推导出数列{c n}是以2+2b+为公差的等差数列，由数列{c n}是单调数列，能证明数列{a n}中的任一项都不会在该数列中出现无数次．【解答】解：（1）∵无穷数列{a n}的首项为1，数列{b n}满足，，﹣a n=2n，∴（n≥2），∴a n+1则当n≥2时，a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=2n﹣1+2n﹣2+…+2=2n﹣2，∵a1=1，∴，（n≥2），∵a1=1满足上式，∴（n∈N*），∴S n=﹣n=2n+1﹣n﹣2．证明：（2）①∵b n=b n﹣1b n+1，（n≥2），∴b n+1=b n b n+2，b n+2=1，（n≥2），两式相乘，得：b n﹣1∴数列{b n}的前6项积为：b1b2b3b4b5b6=（b1b4）（b2b5）（b3b6）=1，∴数列{b n}的前6项积为定值1．②设c n=a6n+i（n∈N），其中i为常数，且i∈{1，2，3，4，5，6}，﹣c n=（a6n+6+i﹣a6n+5+i）+（a6n+5+i﹣a6n+4+i）+…+（a6n+1+i﹣a6n+i）∴c n+1=b6n+i+b6n+i+1+…+b6n+i+5=b1+b2+b3+…+b6=1+b+b+1+=2+2b+．数列{c n}是以2+2b+为公差的等差数列，依题意，2（1+b+）≠0，∴数列{c n}是单调数列，从而{c n}中任意两项都不相同，∴数列{a n}中的任意一项最多出现6欠，数列{a n}中的任一项都不会在该数列中出现无数次．【点评】本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的前6项积为定值的证明，考查数列中的任一项都不会在该数列中出现无数次的证明，考查等差数列、等比数列、数列的前n项和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．附加题：21．已知矩阵，设点在矩阵BA对应的变换T BA作用下得到P'点，求点P'的坐标．【分析】根据矩阵的乘法求得矩阵BA，则=，即可求得点P'的坐标．【解答】解：由矩阵，则BA==，从而=，∴点P'的坐标（3，5）．【点评】本题考查矩阵的乘法，点的坐标变换，考查转化思想，属于中档题．22．在极坐标系中，设直线与圆C：ρ=2rcosθ（r＞0）相切，求r的值．【分析】分别求出直线和圆的普通方程，根据直线和圆的位置关系得到关于r的方程，解出即可．【解答】解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系xoy，由ρcos（θ+）=2，得ρcosθcos﹣ρsinθsin=2，化为普通方程得：x﹣y﹣4=0，由ρ=2rcosθ（r＞0），得ρ2=2rρcosθ（r＞0），化为普通方程得：（x﹣r）2+y2=r2（r＞0），∵直线l与圆C相切，所以圆心C（r，0）到直线l的距离=r（r＞0），解得：r=．【点评】本考查了直线和圆的方程的转化，考查直线和圆的位置关系，是一道中档题．23．用n（n≥2，n∈N*）表示（1﹣）（1﹣）…（1﹣）的值，并用数学归纳法证明．【分析】猜想其结论，按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=1时命题成立，再假设当n=k时结论成立，去证明当n=k+1时，结论也成立，从而得出命题对任意n≥2，n∈N*，等式都成立．【解答】解：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=，（n≥2，n∈N*）证明如下：（1）当n=2时，左边=1﹣=，右边==，∴n=2时结论成立．（2）假设当n=k（n≥2，n∈N*）时等式成立，即（1﹣）（1﹣）（1﹣）•…•（1﹣）=，那么当n=k+1时，（1﹣）（1﹣）（1﹣）•…•（1﹣）•（1﹣）=•（1﹣）=﹣=∴当n=k+1时，等式也成立，根据（1）和（2）知，对任意n≥2，n∈N*，（1﹣）（1﹣） (1)）=成立【点评】本题考查数学归纳法，考查推理证明的能力，假设n=k（k∈N*）时命题成立，去证明则当n=k+1时，用上归纳假设是关键，属于中档题．24．甲乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时两人正在游戏，切知甲再赢m（常数m＞1）次就获胜，而乙要再赢n（常数n＞m）次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束．（1）若m=2，n=3，求ξ的分布列及数学期望；（2）若n=m+2写出概率P（ξ=m+k）（k=2，3，…，m+1）的表达式（不必写出过程）．【分析】（1）讨论各种情况，利用相互独立事件的概率公式计算对应的概率，得出数学期望；（2）根据组合数公式和概率公式得出概率表达式．【解答】解：（1）设事件A为：抛一次硬币，正面向上，事件B：抛一次硬币，反面向上，则P（A）=P（B）=，∵m=2，n=3，∴ξ的可能取值为2，3，4，且P（ξ=2）=[P（A）]2=，P（ξ=3）=[P（A）]P[（B）]P（A）+[P（B）]3=，P（ξ=4）=•P（A）•P（B）•P（B）•P（A）+•P（A）•[P（B）]3=，∴E（ξ）=2×+3×+4×=．（2）P（ξ=m+k）=（+）（）m+k．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与概率计算，属于中档题．。

江苏省南通市高二下学期数学期末考试试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·四川理) 设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A . 3B . 4C . 5D . 62. （2分）(2019·和平模拟) 下列结论错误的是（）A . 命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B . “ ”是“ ”的充分不必要条件C . 命题：“ ，”的否定是“ ，”D . 若“ ”为假命题，则均为假命题3. （2分）已知函数，关于f（x）的性质，有以下四个推断：①f（x）的定义域是（﹣∞，+∞）；②f（x）的值域是；③f（x）是奇函数；④f（x）是区间（0，2）上的增函数．其中推断正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）下列说法中正确的个数是（）①任何一个算法都包含顺序结构；②条件分支结构中一定包含循环结构；③循环结构中一定包含条件分支结构．A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分） (2017高二下·淄川期末) 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A . 0.784B . 0.648C . 0.343D . 0.4416. （2分） (2016高一上·辽宁期中) 已知函数f（x）=（）x ， g（x）=x2 ，对于不相等的实数x1 ， x2 ，设m= ，n= ，则下列说法正确的有（）①对于任意不相等的实数x1 ， x2 ，都有m＜0；②对于任意不相等的实数x1 ， x2 ，都有n＜0；③存在不相等的实数x1 ， x2 ，使得m=n．A . ①B . ①③C . ②③D . ①②③7. （2分）若直线y=mx是y=lnx+1的切线，则m=（）A . 1B . 2C . 0D . 48. （2分）已知不等式的解集为M，则下列说法正确的是（）A . {0}⊆MB . M=∅C . ﹣1∈MD . 2∈M9. （2分） (2018高二上·南阳月考) 已知命题对于恒有成立;命题奇函数的图象必过原点,则下列结论正确的是（）A . 为真B . 为假C . 为真D . 为真10. （2分） (2016高二下·信阳期末) 设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）∪（0，1）B . （﹣1，0）∪（1，+∞）C . （﹣1，0）∪（0，1）D . （0，1）∪（1，+∞）11. （2分） (2017高一下·南昌期末) 已知 + =1，（x＞0，y＞0），则x+y的最小值为（）A . 12B . 14C . 16D . 1812. （2分） (2018高一上·河北月考) 函数，在单调递增，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·南通开学考) 设a1 ， a2 ，…，an∈R，n≥3．若p：a1 ， a2 ，…，an成等比数列；q：（a +a +…+a ）（a +a +…+a ）=（a1a2+a2a3+…+an1an）2 ，则p是q的________条件．14. （1分） (2016高二上·红桥期中) 写出命题：“若一个四边形两组对边相等，则这个四边形为平行四边形”的逆否命题是________．15. （1分）定义在R上的函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），若当x∈（0，2）时，f（x）=2x ，则f （3）=________16. （1分） f（x）定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x3 ，若对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共45分)17. （5分）设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．18. （10分） (2016高一上·金华期末) 已知A={x|x2﹣3x﹣4≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，C={y|y=ax+b，a＞0，且a≠1，x∈R}．（1）若A∩B=[0，4]，求m的值；（2）若A∩C只有一个子集，求b的取值范围．19. （10分） (2019高二上·内蒙古月考) 为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x12345y86542（参考公式：）已知和具有线性相关关系．（1）求关于的线性回归方程；（2）若年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．20. （10分）(2020·攀枝花模拟) 已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足（1）求动点的轨迹方程；（2）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值.21. （10分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若∀a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有＞0，（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（2）若∃x∈[﹣1，1]，对∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≥m2﹣2am﹣2恒成立，求实数m的取值范围．四、选做题 (共2题；共10分)22. （5分）已知直线l的极坐标方程是ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）若直线l与x、y轴交于M、N两点，点P为曲线C上任一点．求△PMN的面积的最小值．23. （5分）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣3}，求a的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、四、选做题 (共2题；共10分)22-1、23-1、第11 页共11 页。

2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分，请将答案填在答题卡相应位置. 1．（5分）某高中有高一学生320人，高二学生400人，高三学生360人．现采用分层抽样调查学生的视力情况．已知从高一学生中抽取了8人，则三个年级一共抽取了人．2．（5分）已知命题“∃x∈R，e x+a＜0”为假命题，则a的取值范围是．3．（5分）若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为．4．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[﹣1，2]，则输出值为2的概率为．5．（5分）某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩在80分以上的人数为．6．（5分）如图所示的伪代码，最后输出的S值为．7．（5分）若复数z＝（a+i）2是纯虚数（i是虚数单位），a为实数，则复数z的模为．8．（5分）直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．则“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）9．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为．10．（5分）类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a 的正四面体的内切球半径为．11．（5分）设向量＝（sinθ，2），＝（1，﹣cosθ），且，则tan（）的值为．12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣a﹣1有三个零点，则实数a的取值范围是．13．（5分）设函数f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x．若f（x1）＝g（x2），且x1﹣x2的最小值为﹣1，则实数k的值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，过点O 的直线与圆C交于点A，B．若△ABC面积的最大值小于2，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱A1C1和AB的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，且A1B1＝B1C1，求证：平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．（15分）在△ABC中，已知sin A﹣cos A＝1，cos B＝，AB＝4+．（1）求内角A的大小；（2）求边BC的长．17．（15分）如图，圆O的半径为2，点P是圆O的一条半径OA的中点，BC是圆O过点P的动弦．（1）当P是BC的中点时，求的值；（2）若＝，λ，μ∈R，且BP＝2PC．①λ，μ的值；②求cos∠BOC的值．18．（15分）如图，l1，l2是经过小城O的东西方向与南北方向的两条公路，小城P位于小城O的东北方向，直线距离OP＝5km．现规划经过小城P修建公路AB（A，B分别在l1与l2上），与l1，l2围成三角形区域AOB．（1）设∠BAO＝θ，0，求三角形区域AOB周长的函数解析式L（θ）；（2）现计划开发周长最短的三角形区域AOB，求该开发区域的面积．19．（15分）如图，点A，B，D，F分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，下顶点和右焦点，直线l过点F，与椭圆C交于点P，Q已知当直线l⊥x轴时，PQ＝AB．（1）求椭圆C的离心率；（2）若当点P与D重合时，点Q到椭圆C的右准线的距离为．①求椭圆C的方程；②求△APQ面积的最大值．20．（15分）设a∈R，函数f（x）＝e x﹣ax2，f′（x）是函数f（x）的导函数，e是自然对数的底数．（1）当a＝2时，求导函数f′（x）的最小值；（2）若不等式f（x）≥2对任意x≥1恒成立，求实数a的最大值；（3）若函数f（x）存在极大值与极小值，求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分，请将答案填在答题卡相应位置. 1．【解答】解：由分层抽样的定义得＝＝，得n＝27，即三个年级一共抽取27人，故答案为：272．【解答】解：命题“∃x∈R，e x+a＜0”为假命题，即为∀x∈R，e x+a≥0为真，由e x＞0，可得0≤a，则a的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．3．【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出3名代表参加学校会议，共有＝4种方法，甲被选中，共有3种方法，∴甲被选中的概率是P＝故答案为：．4．【解答】解：格根据程序框图，当x∈[﹣1，0）时，由于x＜0，则输出y＝1，当x∈[0，2]时，由于x≥0，则输出y＝2，根据几何概型公式P＝．故答案为：5．【解答】解：由频率分布直方图得：成绩在80分以上的频率为：1﹣（0.005+0.03+0.04）×10＝0.25，∴成绩在80分以上的人数为：0.25×100＝25．故答案为：25．6．【解答】解：I＝1时，满足继续循环的条件，I＝3，S＝9；I＝3时，满足继续循环的条件，I＝5，S＝13；I＝5时，满足继续循环的条件，I＝7，S＝17；I＝7时，满足继续循环的条件，I＝9，S＝21；I＝9时，不满足继续循环的条件，故输出的S值为21，故答案为：217．【解答】解：∵z＝（a+i）2＝（a2﹣1）+2ai是纯虚数，∴，即a＝±1．∴z＝±2i，则|z|＝2．故答案为：2．8．【解答】解：直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．“m≠﹣7”时，由m＝﹣1得到l1与l2平行，“l1与l2相交”⇒“m≠﹣7”且“m≠﹣1”，∴“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的既不充分也不必要条件．故答案为：既不充分也不必要．9．【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得到图象对应的解析式为y＝2sin（2x+2φ﹣），∵所得到图象关于原点对称，∴2φ﹣＝kπ，即φ＝，k∈Z．取k＝0，可得φ的最小值为，故答案为：．10．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，内切球半径为r，则球心O到四个面的距离都是r，∴四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V＝Sr∴四面体ABCD的内切球半径r＝，∵棱长为a的正四面体的表面积S＝4×＝，棱长为a的正四面体的高h＝＝，棱长为a的正四面体的体积V＝＝，∴棱长为a的正四面体的内切球半径r＝＝＝．故答案为：．11．【解答】解：向量＝（sinθ，2），＝（1，﹣cosθ），且，则sinθ﹣2cosθ＝0，∴tanθ＝2，∴tan（）＝＝＝＝．故答案为：．12．【解答】解：根据题意可得函数f（x）的图象与直线y＝a+1有三个不同的交点，当x≤1时，函数f（x）max＝f（﹣）＝如图：则0＜a+1＜所以实数a的取值范围是﹣2＜a＜．故答案为：（﹣2，）．13．【解答】解：∵f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x，设f（x1）＝g（x2）＝t，∴1+ln（x1+k）＝t，＝t，∴x1＝e t﹣1﹣k，x2＝lnt，t＞0，∴x1﹣x2＝e t﹣1﹣k﹣lnt，设h（t）＝e t﹣1﹣k﹣lnt，t＞0，∴h′（t）＝e t﹣1﹣，∵x1﹣x2有最小值﹣1，∴h′（t）＝e t﹣1﹣＝0，解得t＝1，∴h（1）＝1﹣k﹣ln1＝﹣1，解得k＝2，故答案为：2．14．【解答】解：∵原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，∴1+a2＜4，因为圆C的半径为2，故△ABC面积的取最大值＝2sin∠ACB，若△ABC面积的最大值小于2，当OC与AB垂直时，则∠ACB＞90°，则OC＝＜，故a2＜1，故a∈（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】证明：（1）如图1，设BC的中点为H，连结NH，HC1．在△ABC中，因为N为AB的中点，所以NH∥AC，且NH＝AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，M为A1C1的中点，所以MC1∥AC，且MC1＝AC，所以NH∥MC1，且NH＝MC1，所以四边形MC1HN为平行四边形，所以．MN∥C1H又MN⊄平面BCC1B1，C1H⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1；（2）因为A1B1＝B1C1，M为A1C1的中点，所以B1M⊥A1C1，因为面ACC1A1⊥面A1B1C1，面ACC1A1∩面A1B1C1＝A1C1，B1M⊂面A1B1C1，所以B1M⊥面ACC1A1，又B1M⊂面B1MN，所以平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．【解答】解：（1）∵，∴2sin（A﹣）＝1，∴sin（A﹣）＝，∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，∴A﹣＝，∴A＝．（2）∵sin2B+cos2B＝1，cos B＝，B∈（0，），∴sin B＝＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝，在△ABC中，．∴＝，解得BC＝5．17．【解答】解：（1）因为P为圆O的弦的中点，所以OP⊥BC，因为P为的OA的中点，所以OP＝OA＝1，在Rt△BPO中，OP＝1，OB＝2，所以∠BOP＝60°，所以∠BOC＝120°，所以＝||•||＝cos∠BOC＝2×＝﹣2．（2）①因为BP＝2PC，所以＝2，所以，又，且与不共线，所以，μ＝．②因为＝，所以＝（）2，即＝++，因为OP＝1，OA＝OB＝2，所以1＝，所以＝﹣．故cos∠BOC＝＝＝﹣．18．【解答】解：（1）如图，过P分别作l1、l2的垂线，垂足分别为M、N，因为小城P位于小城O的东北方向，且OP＝5，所以PM＝PN＝5，在Rt△PMA和RtPNB中，易得MA＝，AP＝，BN＝5tanθ，BP＝，所以L（θ）＝5tanθ++++10＝++++10＝5（+）+10，（2）由（1）L′（θ）＝5（﹣）＝，当0＜θ＜时，L′（θ）＜0，L（θ）单调递减，当＜θ＜时，L′（θ）＞0，L（θ）单调递增，所以θ＝时，L（θ）取得最小值．此时，OA＝5+＝10，OB＝5+5tan＝10，△AOB的面积S△AOB＝OA•OB＝×10×10＝50（km2），答：开发区域△AOB的面积为50km2；19．【解答】解：（1）在+＝1中，令x＝c可得y2＝，所以当直线l⊥x轴时，PQ＝，又PQ＝AB，所以＝×2a，所以＝，所以e2＝＝1﹣＝，（2）①因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c椭圆方程为+＝1，当点P与点D重合时，P点坐标为（0，﹣c），又F（c，0），所以此时直线l为y＝x﹣c，由得x Q＝c，又﹣c＝，所以c＝1所以椭圆方程为+＝1②设直线l为x＝my＝1，m≠0由得3（my+1）2+4y2＝12即（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，△＞0恒成立设P（x1，y1），P（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以S△APQ＝AF•|y1﹣y2|＝＝＝18令m2+1＝t，则t≥1且m2＝t﹣1则S△APQ＝18＝18＝18•，t≥1，易知函数y＝9t+在[1，+∞）上单调递增所以当t＝1时，S△APQ＝，即△APQ的面积的最大值为20．【解答】解：f′（x）＝e x﹣ax．（1）当a＝2时，f′（x）＝e x﹣2x．记g（x）＝f′（x）＝e x﹣2x．则g′（x）＝e x﹣2，由g′（x）＝e x﹣2＝0，得x＝ln2．当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴当x＝ln2时，g（x）min＝2﹣2ln2．∴f′（x）min＝2﹣2ln2．（2）由f（x）≥2得e x﹣ax2≥2，即ax2≤e x﹣2．∵x≥1，∴a≤（*）．记h（x）＝（x≥1）．则h′（x）＝，记u（x）＝（x﹣2）e x+4，则u′（x）＝e x+（x﹣2）e x＝（x﹣1）e x，∵x≥1，∴u′（x）≥0且不恒为0．∴x≥1时，u（x）单调递增，当x＝1时，u（x）min＝4﹣e＞0，∴h′（x）＞0．∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）min＝h（1）＝e﹣2．∴a≤e﹣2恒成立，∴a≤2e﹣4，∴实数a的最大值为2e﹣4．（3）记v（x）＝f′（x）＝e x﹣ax．v′（x）＝e x﹣a．∵f（x）存在极大值与极小值，∴函数f′（x），即v（x）存在两个零点，且v（x）在零点的两侧异号．①当a≤0时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，此时v（x）不存在两个零点；②当a＞0时，由v′（x）＝0，得x＝lna．当x＜lna时，由v′（x）＜0，v（x）单调递减，当x＞lna时，由v′（x）＞0，v（x）单调递增，∴v（x）min＝v（lna）＝a﹣alna．∴v（x）存在两个零点的必要条件为：v（lna）＝a﹣alna＜0．a＞e．由a＞e时，（ⅰ）记G（a）＝﹣lna（a＞e），则G′（a）＝﹣﹣＜0．∴当a＞e时，函数G（a）单调递减，当a＞e时，﹣lna＜﹣1＜0，∴＜lna．∴G（x）在（，lna）上，有且只有一个零点．又G（x）在（﹣∞，lna）上单调，∴G（x）在（﹣∞，lna）上有且只有一个零点，记为x1，由G（x）在（﹣∞，lna）内单调递减，易得当x＝x1时，函数f（x）存在极大值．（ⅱ）记H（x）＝a﹣lna（a＞e），则H′（x）＝1﹣＞0，∴a＞e时，a﹣lna＞e﹣1＞0，∴a＞lna．由（1）知：a＝2时，f（x）＝e x﹣x2，f′（x）min＝2﹣2ln2＞0，∴f（x）在R上单调递增，∴a＞e时，v（a）＝e a﹣a2＞e e﹣e2＞0．∵v（a）＞0且v（lna）＜0，∴v（x）的图象在（lna，a）单调且不间断，∴v（x）在（lna，a）上，有且只有一个零点．又v（x）在（lna，+∞）上单调，∴v（x）在（lna，+∞）上有且只有一个零点，记为x2，由v（x）在（lna，+∞）内单调递增，易得当x＝x2时，函数f（x）存在极小值．综上，实数a的取值范围为（e，+∞）．。

2016-2017学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，则A∩B= ．2．已知I是虚数单位，若（2+i）（m﹣2i）是实数，则实数m= ．3．若函数的最小正周期为，则正数k= ．4．函数f（x）=的定义域为．5．若角α的终边经过点（﹣4，3），则sinα的值为．6．已知幂函数f（x）过点（2，），则f（4）的值为．7．若f（x）=，则f（f（））= ．8．已知半径为1的扇形面积为，则此扇形的周长为．9．函数f（x）=lnx﹣x的单调递增区间为．10．已知，且﹣π＜θ＜﹣，则= ．11．已知函数f（x）=lgx+x﹣9在区间（n，n+1）（n∈Z）上存在零点，则n= ．12．已知定义在上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且，若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则实数t的取值范围为．13．函数f（x）=﹣4x3+kx，对任意的x∈，总有f（x）≤1，则实数k的取值为．14．已知函数f（x）=x2﹣mx对任意的x 1，x2∈，都有|f（x2）﹣f（x1）|≤9，求实数m的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．已知复数z=（m2+5m﹣6）+（m2﹣2m﹣15）i，（i为虚数单位，m∈R）（1）若复数Z在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数M的值；（2）当实数m=﹣1时，求的值．16．已知函数f（α）=（1）化简f（α）；（2）若f（α）=＜α＜0，求sinα•cosα，sinα﹣cosα的值．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．18．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需要另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=+20x（万元），当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式（利润=销售额﹣成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．19．已知函数f（x）=log a（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并说明理由；（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），求实数n，a的值．20．已知函数f（x）=lnx．（1）设h（x）为偶函数，当x＜0时，h（x）=f（﹣x）+2x，求曲线y=h（x）在点（1，﹣2）处的切线方程；（2）设g（x）=f（x）﹣mx，求函数g（x）的极值；（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，则A∩B= {1，3} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】由集合的交集的定义：由两集合的公共元素构成的集合，即可得到所求．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，则A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．2．已知I是虚数单位，若（2+i）（m﹣2i）是实数，则实数m= 4 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：（2+i）（m﹣2i）=2m+2+（m﹣4）i是实数，则m﹣4=0，解得m=4．故答案为：4．3．若函数的最小正周期为，则正数k= 3 ．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】先根据三角函数的性质表示出函数的最小正周期，进而根据最小正周期求得k．【解答】解：∵函数最小正周期为，∴=∴k=3故答案为：34．函数f（x）=的定义域为=sin（+θ）=﹣．故答案为：．11．已知函数f（x）=lgx+x﹣9在区间（n，n+1）（n∈Z）上存在零点，则n= 5 ．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】判断的单调性以及函数的连续性，然后利用零点判定定理求解即可．【解答】解：函数f（x）=lgx+x﹣9是连续的单调增函数，f（5）=lg5+＜0，f（6）=lg6+9﹣9＞0，因为f（5）f（6）＜0，所以函数的零点在（5，6）之间，所以n=5．故答案为：5．12．已知定义在上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且，若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则实数t的取值范围为上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，则函数f（x）为奇函数，又由且，则函数f（x）在其定义域上为减函数，若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则有f（1﹣t）＜f（t2﹣1），则有，解可得﹣1≤t＜1，即实数t的取值范围为，总有f（x）≤1，则实数k的取值为 3 ．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】通过讨论x的范围问题转化为k≤4x2+在（0，1]恒成立且k≥4x2+在恒成立，x=0时，显然成立，x∈（0，1]时，问题转化为k≤4x2+在（0，1]恒成立，令g（x）=4x2+，x∈（0，1]，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：x＜，故g（x）在（0，）递减，在（，1]递增，故g（x）min=g（）=3，故k≤3，x∈，都有|f（x2）﹣f（x1）|≤9，求实数m的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】依题意，f（x）max﹣f（x）min≤9，函数f（x）=x2﹣mx的对称轴方程为：x=，分①若≤0，即m≤0时，②若0＜≤1，即0＜m≤2时，③若1＜≤2，即2＜m≤4时，④若＞2，即m＞4时，四类讨论，利用二次函数的单调性与最值分别求得各类中m的取值范围，最后取并即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2﹣mx对任意的x1，x2∈，都有|f（x2）﹣f（x1）|≤9，∴f（x）max﹣f（x）min≤9，∵函数f（x）=x2﹣mx的对称轴方程为：x=，①若≤0，即m≤0时，函数f（x）=x2﹣mx在区间上单调递增，f（x）max=f（2）=4﹣2m，f（x）min=f（0）=0，依题意，4﹣2m≤9，解得：m≥﹣，即﹣≤m≤0；②若0＜≤1，即0＜m≤2时，同理可得，f（x）max=f（2）=4﹣2m，f（x）min=f（）=﹣，依题意，4﹣2m﹣（﹣）≤9，解得：﹣2≤m≤10，即0＜m≤2；③若1＜≤2即2＜m≤4时，同上得：f（x）max=f（0）=0，f（x）min=f（）=﹣，依题意，0﹣（﹣）≤9，解得：﹣6≤m≤6，即2＜m≤4；④若＞2即m＞4时，函数f（x）=x2﹣mx在区间上单调递减，f（x）max=f（0）=0，f（x）=f（2）=4﹣2m，依题意，0﹣（4﹣2m）≤9，解得：m≤，即4＜m≤；min综合①②③④得：﹣≤m≤．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．已知复数z=（m2+5m﹣6）+（m2﹣2m﹣15）i，（i为虚数单位，m∈R）（1）若复数Z在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数M的值；（2）当实数m=﹣1时，求的值．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）因为复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，可得m2+5m+6=m2﹣2m﹣15，解得m．（2）当实数m=﹣1时，z=（1﹣5+6）+（1+2﹣15）i=2﹣12i．再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：（1）因为复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，所以m2+5m+6=m2﹣2m﹣15，…解得m=﹣3．…（2）当实数m=﹣1时，z=（1﹣5+6）+（1+2﹣15）i=2﹣12i．…∴，所以的值为．…16．已知函数f（α）=（1）化简f（α）；（2）若f（α）=＜α＜0，求sinα•cosα，sinα﹣cosα的值．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GI：三角函数的化简求值．【分析】（1）利用诱导公式化简三角函数式f（α）的解析式，可得结果．（2）利用同角三角函数的基本关系求得 sinα•cosα的值，结合 sinα与cosα的符号，可得（sinα﹣cosα）2的值，可得sinα﹣cosα的值．【解答】解：（1）f（α）==+=sinα+cosα=sin（α+）．（2）由，平方可得，即，∴sinα•cosα=﹣，∵（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，又，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα﹣cosα＜0，∴sinα﹣cosα=﹣．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）求出振幅与周期，利用特殊点求解φ，求出函数的解析式，通过正弦函数的单调区间求解即可．（2）求出相位的范围，利用正弦函数的有界性求解即可．【解答】解：（1）由图象得A=2．最小正周期T=.，所以f（x）=2sin（2x+φ）．…由得，，又|φ|＜π得，所以，所求函数的解析式为．…由得．所以，函数f（x）的单调减区间为．…（2），，即f（x）的取值范围是．…18．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需要另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=+20x（万元），当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式（利润=销售额﹣成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，推出当0≤x＜80时，当x≥80时，的函数的解析式即可．（2）当0≤x＜80时，利用函数的导数求解函数的最值，当x≥80时，利用基本不等式求解函数的最值，推出结果．【解答】解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得，当0≤x＜80时，=，当x≥80时，=．…（2）当0≤x＜80时，．，x=±60．此时，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950（万元）…当x≥80时，，…当且仅当，即x=100时，L （x ）取得最大值1000（万元）．因为950＜1000，所以当年产量为100千件时，生产该商品获利润最大．答：当年产量为100 千件时，生产该商品获利润最大．…19．已知函数f （x ）=log a（a ＞0且a ≠1）是奇函数． （1）求实数m 的值；（2）判断函数f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性并说明理由；（3）当x ∈（n ，a ﹣2）时，函数f （x ）的值域为（1，+∞），求实数n ，a 的值．【考点】3N ：奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的性质可得f （x ）+f （﹣x ）=0，即log a +log a =0，结合对数的运算性质可得（）（）=1，解可得m 的值，验证即可得答案；（2）由（1）可得函数的解析式，设x 1＞x 2＞1，结合对数的运算性质可得f （x 1）﹣f （x 2）=log a （），分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论f （x 1）﹣f（x 2）的符号，综合可得答案；（3）由（1）可得函数的解析式，进而求出函数f （x ）的定义域，分n ＜a ﹣2＜﹣1和1＜n ＜a ﹣2两种情况讨论，求出a 、n 的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f （x ）=log a（a ＞0且a ≠1）是奇函数， 则有f （x ）+f （﹣x ）=0，即log a+log a =0，则有log a （）（）=0，即（）（）=1， 解可得：m=±1，当m=1时，f（x）=log a，没有意义，故m=﹣1，（2）由（1）可得：m=﹣1，即f（x）=log a，设x1＞x2＞1，f（x1）﹣f（x2）=log a﹣log a=log a=log a（），又由x1＞x2＞1，则0＜＜1，当a＞1时，f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）为减函数，当0＜a＜1时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）为增函数，（3）由（1）可得：m=﹣1，即f（x）=log a，其定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），当n＜a﹣2＜﹣1时，有0＜a＜1，此时函数f（x）为增函数，有，无解；当1＜n＜a﹣2时，有a﹣2＞1，即a＞3，此时函数f（x）为减函数，有，解可得a=2+；故n=1，a=2+．20．已知函数f（x）=lnx．（1）设h（x）为偶函数，当x＜0时，h（x）=f（﹣x）+2x，求曲线y=h（x）在点（1，﹣2）处的切线方程；（2）设g（x）=f（x）﹣mx，求函数g（x）的极值；（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞成立，求实数k的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出h（x）的解析式，求出函数的导数，计算h′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（3）通过讨论k的范围，求出函数的单调性，结合题意求出k的范围即可．【解答】解：（1）x＜0时，h（x）=f（﹣x）+2x，h（x）是偶函数，故h（x）=lnx﹣2x，（x＞0），h′（x）=﹣2，故h′（1）=﹣1，故切线方程是：y+2=﹣（x﹣1），即x+y+1=0；（2）g（x）=lnx﹣mx，（x＞0），g′（x）=﹣m，m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，函数无极值，m＞0时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：x＞，故g（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故g（x）的最大值是g（）=﹣lnm﹣1；无极小值；（3）证明：设g（x）=f（x）﹣x2﹣（k﹣1）x+k﹣，x∈（1，+∞），则g′（x）=，当x＞1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；①当k=1时，由（2）知，当x＞1时，f（x）＜x﹣1，此时不存在x0＞1，不满足题意；②当k＞1时，x＞1，f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），此时不存在x0＞1，不满足题意；③当k＜1时，设h（x）=f（x）﹣k（x﹣1），x＞1，则h′（x）=，令h′（x）=0，即﹣x2+（1﹣k）x+1=0，得x1=＜0，x2=＞1，所以当x∈（1，x2）时，h′（x）＞0，所以h（x）在[1，x2）上单调递增，取x0=x2，所以当x∈（1，x0）时，h（x）＞h（1）=0，f（x）＞k（x﹣1），综上，实数k的取值范围是（﹣∞，1）．2017年7月11日。