高考数学总复习专题讲解18---利用导数解决函数的极值、最值

导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•导数的概念与运算•利用导数求函数的极值•利用导数求函数的最值•利用导数研究函数的单调性与凸凹性•利用导数求函数的极值与最值的步骤与示例•导数在实际问题中的应用01导数的概念与运算函数在某一点的导数函数在这一点变化率的极限值，记为f'(x)或df/dx(x)。

导数的几何意义函数在某一点处的导数，是该点处曲线切线的斜率。

函数u=g(t)在t=t0处的导数，等于函数y=f(u)在u=g(t0)处的导数乘以g'(t0)。

复合函数的导数复合函数y=f(u)，u=g(x)在x=x0处的导数，等于y=f(u)在u=g(x0)处的导数乘以g'(x0)。

函数y=f(x)在x=x0处的导数，等于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。

曲线切线的斜率导数的正负表示曲线在相应点的上升或下降趋势，导数值的大小表示曲线在相应点的变化剧烈程度。

导数与曲线形状导数的几何意义02利用导数求函数的极值极值的定义及计算方法极值点函数在某点处取得极值，则该点称为极值点极值在极值点处取得的函数值称为极值计算方法先求导数，然后求出导数为0的点，再判断这些点是否为极值点常见函数的极值点与极值一次函数：无极值点三角函数：如正弦函数和余弦函数有多个极值点，但不是所有的点都是极值点二次函数：有两个极值点，且在极值点处取得极值幂函数：当指数大于0时，有一个极小值点；当指数小于0时，有一个极大值点最大值和最小值的实际应用利用极值点进行函数的优化利用极值进行函数的插值和拟合极值的应用03利用导数求函数的最值函数在某区间上的最大值和最小值是该区间上函数值的最大和最小值，也是该区间上局部极值。

求导数，找到函数的极值点和区间端点，比较极值点和区间端点的函数值，得到最大和最小值。

最值定义最值计算方法最值的定义及计算方法1函数最值的应用23函数最值的应用广泛，例如在物理、工程、经济等领域中都可以应用。

微专题18 函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。

例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln4,但就是达不到。

()f x 没有最大值。

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。

2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-二、典型例题：例1：求函数()xf x xe -=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 11f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()x f x xe -=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。

利用导数求函数的极值、最值一、知识梳理1.函数的极值与导数形如山峰形如山谷2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习考点一利用导数解决函数的极值问题角度1根据函数图象判断函数极值【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 答案 D规律方法 由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性.两者结合可得极值点.角度2 已知函数求极值【例1－2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .规律方法 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1－3】 (2019·泰安检测)已知函数f (x )＝ln x . (1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1. (2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋mx (x >0)， 所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋m x 2，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>0，12m >0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0即可，解得0<m <12.规律方法 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A.－1B.－2e －3C.5e －3D.1解析 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －1，则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －3＝0⇒a ＝－1， 则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， 当x <－2或x >1时，f ′(x )>0， 当－2<x <1时，f ′(x )<0，所以x ＝1是函数f (x )的极小值点， 则f (x )极小值为f (1)＝－1. 答案 A(2)(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . ①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； ②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 解 ①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e. 由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值.若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考点二 利用导数求函数的最值【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意.②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1a ，e 上为减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.规律方法 1.利用导数求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【训练2】 (2019·合肥质检)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)， 即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )， 则g ′(x )＝－2e xsin x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立， 且仅在x ＝0处等号成立， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.考点三 利用导数求解最优化问题【例3】 (2018·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.解 (1)由题意，下潜用时60v (单位时间)，用氧量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1×60v ＝3v 250＋60v (升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180v (升)，因此总用氧量y ＝3v 250＋240v ＋9(v >0).(2)y ′＝6v 50－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2，令y ′＝0得v ＝1032，当0<v <1032时，y ′<0，函数单调递减； 当v >1032时，y ′>0，函数单调递增.若c <1032 ，函数在(c ，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增，∴当v ＝1032时，总用氧量最少. 若c ≥1032，则y 在[c ，15]上单调递增， ∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少.规律方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.三、课后练习1.(2019·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数.已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数D.5折函数解析 f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点.又e －2≠3(－2)＋2＝－4.∴函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数. 答案 C2.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________.解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，323.(2019·杭州质检)传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm 且以每秒1 cm 等速率缩短，而长度以每秒20 cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm 缩到4 cm ，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________ cm. 解析 设神针原来的长度为a cm ，t 秒时神针的体积为V (t ) cm 3， 则V (t )＝π(12－t )2·(a ＋20t )，其中0≤t ≤8， 所以V ′(t )＝[－2(12－t )(a ＋20t )＋(12－t )2·20]π.因为当底面半径为10 cm 时其体积最大，所以10＝12－t ，解得t ＝2，此时V ′(2)＝0，解得a ＝60，所以V (t )＝π(12－t )2·(60＋20t )，其中0≤t ≤8.V ′(t )＝60π(12－t )(2－t )，当t ∈(0，2)时，V ′(t )>0，当t ∈(2，8)时，V ′(t )<0，从而V (t )在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V (0)＝8 640π，V (8)＝3 520π，所以当t ＝8时，V (t )有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm.答案 44.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围. 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞). 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x . 又a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减.∴函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。

用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点用导数判别f (x 0)是极大、极小值的思路: 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值；在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值例1 求列函数的极值：（1）22)2()1(--=x x y ；（2）2122-+=x x y解：（1）2/22)2)(75)(1()(,)2()1()(---=∴--=x x x x f x x x f令0)(/=x f ，得驻点2,57,1321===x x x0)1(=∴f 是函数的极大值；3125108)57(-=f 是函数的极小值. （2）22222/2)1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x xx x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+=令0)(/=x f ，得驻点121,1x x =-=∴当1-=x 时，f极小=-3；当1=x 时，f极大=-1值。

考点18导数与函数的极值、最值（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．【知识点】1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的；②将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件【核心题型】题型一　利用导数求解函数的极值问题根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．命题点1　根据函数图象判断极值【例题1】（2024·四川广安·二模）已知函数()()1e xf x ax =+，给出下列4个图象：其中，可以作为函数()f x 的大致图象的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数()y f x =的导函数()y f x ¢=的图象，下列结论正确的是（ ）A ．()y f x =在=1x -处取得极大值B ．1x =是函数()y f x =的极值点C ．2x =-是函数()y f x =的极小值点D ．函数()y f x =在区间()1,1-上单调递减【变式2】（2023·河北·模拟预测）函数4211()f x x x =-的大致图象是（ ）A ． B ．C ．D ．【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f （x ）的导函数f ′（x ）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率小于零B ．函数f （x ）在区间（－1，1）上单调递增C ．函数f （x ）在x ＝1处取得极大值D ．函数f （x ）在区间（－3，3）内至多有两个零点命题点2　求已知函数的极值【例题2】（2024·宁夏银川·一模）若函数()2()2e xf x x ax =--在2x =-处取得极大值，则()f x 的极小值为（ ）A ．26e -B ．4e-C ．22e -D ．e-【变式1】（2023·全国·模拟预测）函数()2tan πf x x x =--在区间ππ,22æö-ç÷èø的极大值、极小值分别为（ ）A ．π12+，π12-+B ．π12-+，3π12-+C ．3π12-，π12-+D ．π12--，3π12-+【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知2e ,0,()41,0,xx f x x x x x ì>ï=íï---£î则方程2()(3)()30f x k f x k -++=可能有（ ）个解.A ．3B ．4C ．5D ．6【变式3】（2024·辽宁鞍山·二模）()2e xf x x -=的极大值为 ．命题点3　已知极值(点)求参数【例题3】（2024·全国·模拟预测）设12,x x 为函数()()()2f x x x x a =--（其中0a >）的两个不同的极值点，若不等式()()120f x f x +³成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,4B ．(]0,4C ．()0,1D ．()4,+¥【变式1】（2024·四川绵阳·三模）若函数()()21ln 02f x ax x b x a =-+¹有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（）A ．0,0a b ><B ．0,0a b <>C ．14ab <D ．0ab >【变式2】（2024·辽宁·一模）已知函数()322f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值8，则()1f 等于 ．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln 2f x x x ax a =-+-ÎR ．(1)若()f x 的极值为－2，求a 的值；(2)若m ，n 是()f x 的两个不同的零点，求证：()0f m n m n ¢+++<．题型二　利用导数求函数最值求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．命题点1　不含参函数的最值【例题4】（2024·陕西·模拟预测）[]1,2x "Î，有22ln a x x x ³-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)e,+¥B ．[)1,+¥C ．e ,2éö+¥÷êëøD ．[)2e,+¥【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知 ()()22ln f x x x a x x =-+-，若存在(]0,e 0x Î，使得()00f x £成立，则实数a 的取值范围是.【变式2】（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道12,l l 相交于点O ，一根长度为8的直杆AB 的两端点,A B 分别在12,l l 上滑动（,A B 两点不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ^，则OAP △面积的取值范围是 .【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()ln f x x =．(1)求函数()()f xg x x=的最值．(2)证明：()2431e 3e e 044xx x x f x ---->（其中e 为自然对数的底数）．命题点2　含参函数的最值【例题5】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数21()e (R)2(1)xf x x bx a b a =--Î+，没有极值点，则1ba +的最大值为（ ）A B ．e 2C ．eD ．2e 2【变式1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）若过点(),a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ）A ．ln b a>B ．ln b a<C ．0a <D ．e ab >【变式2】．（2024·全国·模拟预测）函数()()()2ln 1f x x x ax =++-只有3个零点1x ，2x ，3x ()1233x x x <<<，则2a x +的取值范围是 ．【变式3】（2024·北京海淀·一模）已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+Î+¥存在最大值，求a 的取值范围.【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·广西·模拟预测）函数()3f x x ax =+在1x =处取得极小值，则极小值为（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-2．（2024·四川凉山·二模）若()sin cos 1f x x x x =+-，π,π2x éùÎ-êúëû，则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x =¢的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A ．函数()e xy f x =×的最大值为1B ．函数()e xy f x =×的最小值为1C ．函数()exf x y =的最大值为1D ．函数()e xf x y =的最小值为14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()2e e 2x xf x a b x =++有2个极值点，则（ ）A ．2016b a <<B ．0b >C ．4a b <D ．2b a>5．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()sin cos e xa f x x x x +=+在()0,π上恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．π4e æöç÷ç÷èøB ．()π,e-¥C ．()π0,eD ．π4e ,ö÷÷ø+¥二、多选题6．（2024·全国·模拟预测）已知函数()e xbf x a x=+在定义域内既存在极大值点又存在极小值点，则（ ）A ．0ab > B ．24e b a £C ．24e 0a b ->D ．对于任意非零实数a ，总存在实数b 满足题意7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n na S a =+，则下列结论正确的是（ ）A ．当()*m n m n >ÎN ，时，m na a >B ．212n n n S S S +++<C ．数列{}2n S 是等差数列D ．1ln n nS n S -³三、填空题8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ÐODF Ð均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.9．（2023·江西赣州·模拟预测）当0x =时，函数()e x f x a bx -=+取得极小值1，则a b +=.四、解答题10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数()211122f x x x =++．(1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程；(2)求()f x 在1,22éùêúëû上的值域．11．（2024·上海静安·二模）已知R k Î，记()x x f x a k a -=+×（0a >且1a ¹）．(1)当e a =（e 是自然对数的底）时，试讨论函数()y f x =的单调性和最值；(2)试讨论函数()y f x =的奇偶性；(3)拓展与探究：① 当k 在什么范围取值时，函数()y f x =的图象在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数()y f x =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）综合提升练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）若函数()()1ln 1f x x x ax =+-+是()0,¥+上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2ln 2-¥B ．(]0,2ln 2C ．(],2-¥D ．(]0,22．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数()e x f x x a =+在区间[]0,1上的最小值为1，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．13．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数()ln f x x x ax =-有极值e -，则=a （ ）A ．1B ．2C ．eD ．34．（2024·广东佛山·二模）若函数()24ln bf x a x x x =++（0a ¹）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）A ．a<0B ．0b <C ．1ab >-D ．0a b +>5．（2023·甘肃兰州·一模）已知函数()2e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为2x ，则（ ）A ．12x x >B ．21x x >C ．12x x ³D ．21x x ³6．（2024·全国·模拟预测）记函数()y f x =的导函数为y ¢，y ¢的导函数为y ¢¢，则曲线()y f x =的曲率()3221y K y ¢¢=éù+ëû¢．则曲线ln y x =的曲率的极值点为（ ）ABCD7．（2024·北京朝阳·一模）已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ×××，对任意()1,2,,i x i n =×××，存在2i y ³满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x -++×××+£成立的最大正整数n 为（ ）A ．14B ．16C ．21D ．238．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ，且()()()22e ,00x f x f x x f ¢-==，则()f x （ ）A ．有一个极小值点，一个极大值点B ．有两个极小值点，一个极大值点C ．最多有一个极小值点，无极大值点D ．最多有一个极大值点，无极小值点二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）对函数()f x ，()g x 公共定义域内的任意x ，若存在常数M ÎR ，使得()()f x g x M -£恒成立，则称()f x 和()g x 是M -伴侣函数，则下列说法正确的是（ ）A ．存在常数M ÎR ，使得()()2log 5f x x =与()125log g x x=是M -伴侣函数B ．存在常数M ÎR ，使得()13x f x +=与()13x g x -=是M -伴侣函数C ．()ln f x x =与()2g x x =+是1-伴侣函数D ．若()()f x g x ¢¢=，则存在常数M ÎR ，使得()f x 与()g x 是M -伴侣函数10．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2e =++xf x ax bx c 的极小值点为0，极大值点为()0m m >，且极大值为0，则（ ）A ．2m =B ．4b a=C ．存在0x ÎR ，使得()00f x >D ．直线3y a =与曲线()y f x =有3个交点11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln e e x f x a b a x =+-，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A ．若()f x 为减函数，则()00f <B ．若()f x 存在极值，则e 1b a >C ．若()10f =，则ln2b >D ．若()0f x ³，则b a³三、填空题12．（2022·广西·模拟预测）已知函数()21xx x f x e++=，则()f x 的极小值为 .13．（2023·广东汕头·一模）函数()36f x ax x =-的一个极值点为1，则()f x 的极大值是 ．14．（2024·上海闵行·二模）对于任意的12x x ÎR 、，且20x >，不等式1122e ln x x x x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围为 .四、解答题15．（2024·安徽·二模）已知函数2()103(1)ln f x x x f x ¢=-+.(1)求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间和极值.16．（2024·海南·模拟预测）已知函数()2ln 1,f x x a x a =-+ÎR .(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >时，若函数()f x 有最小值2，求a 的值.17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数ln 1()ex f x x =-．(1)求()f x 的最大值；(2)证明：当0x >时，()e x f x x <．18．（2024·福建·模拟预测）已知函数()ln f x a x bx =-在()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为2-．(1)求a 的值；(2)若()f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．19．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21e 2e 22xx f x a ax =+--．(1)若曲线()y f x =在30,2a æö-ç÷èø处的切线方程为4210ax y ++=，求a 的值及()f x 的单调区间．(2)若()f x 的极大值为()ln2f ，求a 的取值范围．(3)当0a =时，求证：()2535e ln 22x f x x x x +->+．拓展冲刺练一、单选题1．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线()(0)kf x k x=<与()e x g x =有三条公切线，则k 的取值范围为（ ）A ．1,0e æö-ç÷èøB ．1,eæö-¥-ç÷èøC ．2,0e æö-ç÷èøD ．2,e æö-¥-ç÷èø2．（2023·河南·三模）已知函数2()ln f x x x =，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在=x 12e -B ．()f x 在x =e2C ．()f x 在=x 12e -D ．()f x 在x =e 23．（2023·湖北·模拟预测）设函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数b ，c ，d 满足(,())a f a ，(,())b f b ，(,())c f c ，(,())d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，则a 的取值范围为（ ）A ．10,2æùçúèûB ．1,12éùêúëûC ．æçèD ．ùúû4．（2024·湖北·二模）已知函数()1e e e x x xaxf x x +=++（e 为自然对数的底数）．则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域为RB ．若函数()f x 在()()0,0P f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为2e 2e 2-，则1a =C ．当1a =时，()f x m =可能有三个零点D ．当1a =时，函数的极小值大于极大值二、多选题5．（2023·安徽·一模）已知函数()()3R f x x x x =-Î，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的单调递增区间为,æ-¥ççè和ö¥÷÷ø+C ．()f xD ．()f x 的极值点为,æççè6．（2024·浙江杭州·二模）过点()2,0P 的直线与抛物线C ：24y x =交于,A B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与直线2x =-交于点N ，作NM AP ^交AB 于点M ，则（ ）A ．直线NB 与抛物线C 有2个公共点B ．直线MN 恒过定点C ．点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=¹D ．3MN AB的最小值为三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）函数()()2ln ln f x x k x x k =-++在定义域内为增函数，则实数k的取值范围为 ．8．（2023·江苏淮安·模拟预测）已知函数()2ln f x x ax =-有三个零点，则a 的取值范围是 .四、解答题9．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数()()21e x f x x ax =--，R a Î.(1)当e2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若方程()0f x a +=有三个不同的实根，求a 的取值范围．10．（2024·山西吕梁·二模）已知函数()()2ln 20a f x a x x a x =--¹.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；(2)求()f x 在区间(]0,1上的最大值.。

专题13利用导数解决函数的极值、最值【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一利用导数研究函数的极值万能模板内容使用场景一般函数类型解题模板第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x =的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值.例1已知函数x xx f ln 1)(+=，求函数()f x 的极值.【答案】极小值为1，无极大值.试题解析：第一步，计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：因为x xx f ln 1)(+=，所以()f x 的定义域为()0+∞，，所以()22111'x f x x x x -=-+=；第二步，求方程'()0f x =的根：令()'0f x =得，1x =；第三步，判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号：当01x <<时()'0f x <，当1x >时，()'0f x >；第四步，利用结论写出极值：所以1x =时，()f x 有极小值为1，无极大值.【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值．【变式演练1】（极值概念）下列说法正确的是（）A ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极大值B ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极小值C ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极值D ．当0()f x 为()f x 的极值且0'()f x 存在时，则有0'()0f x =【答案】D 【解析】【分析】由导函数及极值定义得解.【详解】不妨设函数3()f x x =则可排除ABC由导数求极值的方法知当0()f x 为()f x 的极值且0'()f x 存在时，则有0'()0f x =故选：D【变式演练2】（图像与极值）已知函数()3()ln (,,)f x ax bx c a b c =++∈R 的定义域为(3,)-+∞，其图象大致如图所示，则（）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b<<【答案】A 【分析】设3()g x ax bx c =++，利用导数求得函数的单调性，以及结合图象中的函数单调性，即可求得,,a b c 的大小关系，得到答案.【详解】设3()g x ax bx c =++，可得2()3g x ax b '=+，由图象可知，函数()f x 先递增，再递减，最后递增，且当1x =时，()g x 取得极小值，所以函数()g x 既有极大值，也有极小值，所以2()30g x ax b '=+=有两个根，即3a x b=-31ab=-，可得0,0a b ><且3a b =-，又由()0ln 0f c =>，可得1c >，由()1ln()0ln1f a b c =++>=，可得1a b c ++>，所以11312c a b a a a a >--=-+=+>，所以c a b >>.故选：A.【变式演练3】（解析式中不含参的极值）已知函数()ln xf x x x=-，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．()f x 的极小值点为1C ．()f x 的极大值为1-D ．()f x 的最小值为1-【答案】C【分析】先对函数求导()221ln x x f x x --'=，令()21ln x x x ϕ=--，再利用导数判断其单调性，而()1=0ϕ，从而可求出()f x 的单调区间和极值【详解】()2221ln 1ln 1x f x x x x x ---=='-.令()21ln x x x ϕ=--，则()120x x x ϕ'=--<，所以()21ln x x x ϕ=--在()0,∞+上单调递减.因为()1=0ϕ，所以当01x <<时，()0x ϕ>；当1x >时，()0x ϕ<.所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故()f x 的极大值点为1，()f x 的极大值为()11f =-故选：C【变式演练4】（解析式中含参数的极值）已知函数()2ln 2f x ax x =--，()4xg x axe x =-．（1）求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，证明：()()()2ln 12ln ln 2g x x x a --+≥-．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数进行求导，分为0a ≤和0a >两种情形讨论单调性即可得极值；（2）令()()()2ln 1h x g x x x =--+，根据导数判断函数的单调性证明即可.【详解】（1）∵()2ln 2f x ax x =--，()0x >，∴()22ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 单调递减，函数()f x 无极值；当0a >时，20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；故函数()f x 的极小值为2222=2ln 22ln f a a a a a ⎛⎫⨯--=-⎪⎝⎭，无极大值.（2）证明：令()()42ln 2222ln 20,0xxh x axe x x x axe x x a x =--+-=--->>，()()()211=22x x x x h x a e xe ae x x x +'+--=+-，故()()=21xh x x ae x '+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，令()0h x '=的根为0x ，即02=x ae x ，两边求对数得：00ln ln 2ln a x x +=-，即00ln ln 2ln x x a +=-，∴当()0x x ∈+∞，时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；∴()()()0000000min 22ln 222ln 2ln 2ln xh x h x ax e x x x x a =---=-=--=-，∴()2ln 2ln 2h x a ≥-，即原不等式成立.【变式演练5】（由极值求参数范围）若函数()221e e 22x x f m x x m=--有两个极值点，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,+∞C ．e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()e,+∞【答案】B 【分析】依题意，()2e e xxm f m x x =--'有两个变号零点，由()0f x '=，可得21e e xx x m +=，设()2e ex x g x x +=，求出函数()g x 的单调性及取值情况即可得解．【详解】解：依题意，()2e e x xm f m x x =--'有两个变号零点，令()0f x '=，即2e e 0x x m mx --=，则()2e e x xm x =+，显然0m ≠，则21e ex x xm +=，设()2e e x x g x x+=，则()()22421212()x x x x x x x e e e x e e x g x e e+⋅-+⋅--='=，设()1e 2x x h x =--，则()e 20xh x -'=-<，∴()h x 在R 上单调递减，又()00h =，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当()0,x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()()max 01g x g ==，且x →-∞时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →，∴101m<<，解得1m >．故选：B ．【点睛】方法点睛：函数零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程求解）；（2）图象法（画出函数()f x 的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 得()()g x h x =，分析函数(),()g x h x 的图象得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.【变式演练6】（由极值求其他）已知函数321()(,)3f x x ax bx a b R =++∈在3x =-处取得极大值为9.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[4,4]-上的最大值与最小值.【答案】（1）13a b =⎧⎨=-⎩；（2）最大值为763，最小值为53-.【解析】【分析】（1）先对函数求导()22f x x ax b '=++，根据题意，列出方程组求解，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，确定函数极大值与极小值，再计算出端点值，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题意得：()22f x x ax b '=++，()()396039939f a b f a b ⎧-=-+=⎪∴⎨-=-+='-⎪⎩，解得：13a b =⎧⎨=-⎩.当13a b =⎧⎨=-⎩时，()32133f x x x x =+-，()()()22331f x x x x x '=+-=+-，∴当(),3x ∈-∞-和()1,+∞时，()0f x '>；当()3,1x ∈-时，()0f x '<，()f x ∴在(),3-∞-，()1,+∞上单调递增，在()3,1-上单调递减，()f x ∴的极大值为()39f -=，满足题意.（2）由（1）得：()f x 的极大值为()39f -=，极小值为()1511333f =+-=-，又()2043f -=，()7643f =，()f x ∴在区间[]4,4-上的最大值为763，最小值为53-.类型二求函数在闭区间上的最值例2已知函数()ln f x x x =-，()22g x ax x =+()0a <.（1）求函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）求函数()()()h x f x g x =+的极值点.【答案】（1）最大值为1-，最小值为1e -；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）对函数()f x 进行求导可得()11f x x'=-，求出极值，比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值；（2）对()h x 进行求导可得()h x '=221ax x x++，利用求根公式求出导函数的零点，得到导数与0的关系，判断单调性得其极值.试题解析：第一步，求出函数()f x 在开区间(,)a b 内所有极值点：依题意，()11f x x '=-,令110x-=，解得1x =；第二步，计算函数()f x 在极值点和端点的函数值：()11f =-，111e e f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()e 1ef =-；第三步，比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值：因为11e 11e -<--<-，故函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1-，最小值为1e -.（2）第一步，计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：依题意，()()()h x f x g x =+=2ln x ax x ++，()121h x ax x =++'=221ax x x++，第二步，求方程'()0f x =的根：当0a <时，令()0h x '=，则2210ax x ++=.因为180a ∆=->，所以()221ax x h x x'++==()()122a x x x x x--，其中11184x a =-，21184x a+=-第三步，判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号：.因为0a <，所以10x <，20x >，所以当20x x <<时，()0h x '>，当2x x >时，()0h x '<，所以函数()h x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数，第四步，利用结论写出极值：故214x a+=-为函数()h x 的极大值点，函数()h x 无极小值点.【变式演练7】（极值与最值关系）已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】(),a b 为开区间∴最小值点一定是极小值点∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A【变式演练8】（由最值求参数范围）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B 【解析】由12f a -=-+（），可得222alnx x a --≤-+在0x ＞恒成立，即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e =时，0e-＞2显然成立；当0x e ＜＜时，有10lnx -＞，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==--由0x e ＜＜时，223lnx ＜＜，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜，可得0a ≥；当x e ＞时，有10lnx -＜，可得21x a lnx ≤-，设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（），由32e x e ＜＜时，0gx g x （）＜，（）'在32e e （，）递减，由32x e >时，0g x g x '（）＞，（）在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，即有)g x （在32x e =处取得极小值，且为最小值32e ，可得32a e ≤，综上可得302a e ≤≤．故选B ．【变式演练9】（不含参数最值）已知函数2()cos sin 2f x x x =，若存在实数M ，对任意12,R x x ∈都有()()12f x f x M -≤成立.则M 的最小值为（）A ．338B ．32C ．334D ．233【答案】C 【解析】【分析】令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()31h t t t =-，则()2()f x h t =，利用导数可求()max 27256h t =，从而得到()f x 的最值，故可得M 的取值范围，从而得到正确的选项.【详解】3()2cos sin f x x x =，故622()4cos sin f x x x =，令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()31h t t t =-，则()2()4f x h t =，又()()()()()322131114h t t t t t t '=---=--，若10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0h t '>，故()h t '在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数；若1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0h t '<，故()h t '在1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦为减函数；故()max 27256h t =，故2max 27()64f x =，所以max ()8f x =，min ()8f x =-，当且仅当1sin 415cos 4x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取最大值，当且仅当1sin 415cos 4x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时取最小值，故4M ≥即M的最小值4.故选：C.【变式演练10】（含参最值）已知函数121()(1),02x f x x a ex ax x -=---+>（1）若()f x 为单调增函数，求实数a 的值；（2）若函数()f x 无最小值，求整数a 的最小值与最大值之和.【答案】（1）1a =.（2）3【解析】【分析】（1）求出()f x '，再令()0f x '=，求出两个根，函数()f x 为单调函数，所以()f x 有两个相同的根，得到1a =，再进行检验即可；（2）由()0f x '=得11x =，或2x a =和a Z ∈，分别当0a ≤、1a =和1a >三种情况进行讨论；0a ≤时不成立，1a =时成立，1a >时，利用函数单调性，当()f x 无最小值时，(0)()f f a <，构造关于a 的函数，求出a 的范围，即可得到答案.【详解】（1）由题意，11()()()(1)x x f x x a e x a x a e --'=--+=--，()0f x '=，解得11x =，或2x a =，因为函数()f x 为单调函数，所以()f x 有两个相同的根，即1a =，1a =时，()0f x '≥，()f x 为增函数，故1a =适合题意；（2）由（1）知，()0f x '=，解得11x =，或2x a =，①当0a ≤时，则(0,1)()0x f x '∈⇒<⇒()f x 在(0,1]上为减函数，(1,)()0x f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数，当1x =时，()f x 有最小值1(1)2f =-，故0a ≤不适合题意；②当1a =时，则(0,1)()0x f x '∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数，(1,)()0x f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 无最小值，故1a =适合题意；③当1a >时，则(0,1)()0x f x '∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数，(1,)()0x a f x '∈⇒<⇒()f x 在[1,]a 上为减函数，(,)()0x a f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[,)a +∞上为增函数，因为()f x 无最小值，所以(0)()f f a <21121111(1)022a a a a e e a e a e -----⇒<-⇒--+<，()()()121111112a a g a e a a e a g a e a e ----'=--+>⇒=--，，由()110a g a e -''=->在()1+∞，上恒成立，()11a g a e a e --'=--在()1+∞，上单调递增，且110g e -'=-<（），()()12200g e e g a ->''=--⇒=存在唯一的实根()112a ∈，() g a ⇒在()11a ，上单调递减；() g a 在()1a +∞，上单调递增增，且()()()2e 439410220302e 2g g e g e e e-=<=--<=-->，，()0g a ⇒=存在唯一的实根()223a ∈，，由()12121102a e a a e a a ----+<⇒<，()f x 无最小值，则21a a <<，()223a ∈，，综上，21a a ≤<，()223a ∈，，a Z ∈ ，123min max a a +=+=.【变式演练11】（恒成立转求最值）已知函数32()ln x f x e x x x ax -=+--满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,e]-∞B ．(,2]-∞-C ．[2,e]D ．[2,2]-【答案】B【分析】由()0f x ≥转化为3ln x e a x x x -≤+-，设33ln ()ln ln x x x e g x x x e x x x---=+-=+-，利用3ln ln (3ln 1)ln x x e x x x x x x --+-≥--++-，即可求解.【详解】由题意，函数32()ln x f x e x x x ax -=+--满足()0f x ≥恒成立，可得32ln x ax e x x x -≤+-恒成立，即3ln x e a x x x -≤+-，设33ln ()ln ln x x x e g x x x e x x x---=+-=+-，又由函数()(1)1x x h x e x e x =-+=--，可得()1x h x e '=-，当0x >时，可得()10x h x e '=->，所以()h x 为单调递增函数，且(0)0h =，所以0x >时，可得()(0)0h x h >=，即1x e x >+，则3ln ()ln (3ln 1)ln 2x x g x e x x x x x x --=+-≥--++-=-，当且仅当3ln 0x x --=，即3ln x x =+时取“=”号，所以2a ≤-，即实数a 的取值范围是(,2]-∞-.故选：B.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．【变式演练12】（构造函数求最值）函数()22(0)f x x x =-+<，()ln x g x x x =+.若()()12f x g x =，则212x x -的最小值为（）A ．1-B ．24e -C ．2D ．1【答案】C【分析】让()()12f x g x =，得到212222ln x x x x -+=+，再构造22122222ln x x x x x -=+-，然后令()22ln x u x x x =+-，研究()u x 的最小值即可.【详解】由题120x x <<，且()()12f x g x =，2120x x ->.有212222ln x x x x -+=+，则22122222ln x x x x x -=+-，令()22ln x u x x x=+-（0x >且1x ≠，()0u x >）.（1）当01x <<时，易知()0u x <，不满足条件.（2）当1x >时，知()0u x >，由222ln ln 1(2ln 1)(ln 1)()ln ln 2x x x x u x x +--+'==，令()0u x '=，则1 x =，212x =（舍去），若1x <<()0u x '<；若x >()0u x '>，则 x =时取得极小值2u=-，也为最小值，则()u x u ≥，即21242x x -≥-，所以212x x -的最小值为2.故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是构造出212x x 的表达式并要统一变量，二是对构造的函数求最小值.。

高考数学导数：极值与最值问题解析在高考数学中，导数部分的极值与最值问题一直是重点和难点，也是许多同学感到头疼的知识点。

但其实，只要我们掌握了正确的方法和思路，这类问题也并非不可攻克。

接下来，让我们一起深入探讨一下高考数学中导数的极值与最值问题。

一、极值与最值的基本概念首先，我们要明确极值和最值的定义。

极值是指函数在某个局部范围内的最大值或最小值。

也就是说，在函数的某个区间内，如果在某一点处的函数值比它附近其他点的函数值都大（小），那么这个点对应的函数值就是极大值（极小值）。

而最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。

需要注意的是，极值不一定是最值，最值也不一定是极值。

例如，函数在一个区间内可能有多个极值，但只有一个最大值和一个最小值。

二、求极值的方法1、求导数这是解决极值问题的关键步骤。

对于给定的函数，我们先对其求导，得到导函数。

2、令导数为 0求出导函数后，令其等于 0，解出这些方程的根。

这些根就是可能的极值点。

3、判断极值点通过导数的正负来判断极值点的类型。

如果在极值点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么这个点就是极大值点；反之，如果在极值点的左侧导数为负，右侧导数为正，那么这个点就是极小值点。

例如，对于函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 2，其导函数为 f'（x) ＝ 3x² 6x。

令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2。

当 x ＜ 0 时，f'（x) ＞ 0；当 0 ＜x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。

所以，x ＝ 0 是极大值点，极大值为 f(0) ＝ 2；x ＝ 2 是极小值点，极小值为 f(2) ＝－2。

三、求最值的方法1、求出函数在区间内的极值按照前面提到的求极值的方法，找出函数在给定区间内的所有极值。

2、求出区间端点处的函数值将区间的端点代入函数，得到相应的函数值。

函数的极值与最值的求解（导数法）函数的极值与最值是数学中重要的概念，它们在数学建模、优化问题等方面具有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍如何使用导数法求解函数的极值与最值问题。

一、函数的极值与最值在介绍如何求解函数的极值与最值之前，我们首先需要明确这两个概念的定义。

对于函数f(x)，如果存在一个区间I，对于区间内的任意x，都有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），那么f(x0)就是函数在区间I内的极小值（或极大值）。

而函数f(x)在整个定义域内的最小值和最大值则被称为函数的最小值和最大值。

二、导数法求解极值与最值导数法是求解函数极值与最值常用的方法之一。

通过求解函数的导数和判断导数的正负，可以找到函数的极值点及其对应的极值。

1. 求解函数的极值点首先，我们需要求解函数f(x)的导数，并令导数等于零，即f'(x)=0。

解这个方程可以得到函数的临界点（即导函数为零的点），也就是可能的极值点。

2. 判断极值类型在求得了函数的临界点之后，我们需要判断每个临界点对应的极值类型，即是极小值还是极大值。

我们可以通过求解导数的二阶导数来判断，即求解f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。

若f''(x) > 0，则说明该临界点对应的极小值；若f''(x) < 0，则说明该临界点对应的极大值；若f''(x) = 0，则需要进行其他方法进一步判断。

3. 比较端点值除了求解临界点之外，我们还需要比较函数在区间的端点值，并找出其中的最大值和最小值。

三、实例分析为了更好地理解导数法求解极值与最值的过程，我们举一个实例来进行说明。

假设我们要求解函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1, 3]的极值和最值。

1. 求解导数和临界点首先，求解函数f(x)的导数，得到f'(x)=3x^2-6x+2。

利用导数解决最值问题导数是微积分中一个非常重要的概念，它不仅可以用来求函数的斜率，还可以用来解决最值问题。

利用导数求函数的最大值和最小值是微积分中一个常见的应用。

本文将介绍如何利用导数来解决最值问题，包括求函数的极值点和边界点，以及判断最值是否存在的条件。

在解决最值问题前，我们首先需要了解什么是导数。

导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率，表示函数在该点的斜率。

通过求导数，我们可以知道函数的变化趋势，从而得出函数的最值。

首先，我们来看一下求函数的极值点的方法。

极值点包括最大值和最小值。

为了求函数的极值点，我们需要先求出函数的导数，然后再求得导数为零的点，即导数的零点。

这些点就是原函数的极值点。

设函数为f(x)，则其导数为f'(x)。

假设我们要求函数f(x) = x^2的极值点。

我们首先计算出它的导数f'(x) = 2x。

然后，我们令f'(x) = 0，解方程得到x = 0。

因此，函数f(x)的极值点为x = 0。

接下来，让我们来看一下如何求函数的边界点。

边界点是函数定义域的端点。

对于一个闭区间[a, b]上的函数，其边界点就是a和b。

我们需要将这些边界点与函数的极值点进行比较，找出最大值和最小值。

举一个例子，假设我们要求函数f(x) = x^2在闭区间[-1, 1]上的最值。

我们首先计算出函数的导数f'(x) = 2x。

然后，我们将闭区间的边界点a = -1和b = 1代入导数，得到f'(-1) = -2和f'(1) = 2。

因此，函数的最小值为f(-1) = (-1)^2 = 1，最大值为f(1) = 1^2 = 1。

所以在闭区间[-1, 1]上，函数f(x)的最值都是1。

除了求得导数为零的点和边界点之外，我们还需要考虑最值是否存在的条件。

最值存在的条件有两个：一是函数在这些点上有定义，二是函数在这些点的左侧和右侧的导数符号相反。

举一个例子来说明这个条件。

利用导数研究函数的极值最值导数是研究函数的极值、最值的重要工具之一、通过计算函数的导数，我们可以找到函数的临界点，进而确定函数的极值和最值。

极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

极大值是函数在其中一点上取得的最大值，极小值是函数在其中一点上取得的最小值。

首先，我们可以通过计算函数的导数来找到函数的临界点。

临界点是函数导数等于0的点，也包括导数不存在的点。

然后，通过进一步的分析，可以确定临界点中的极值点。

假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。

首先，我们需要计算函数f(x)的导数f'(x)。

然后，我们找出导数f'(x)等于0的点，这些点就是函数f(x)的临界点。

接下来，我们进一步分析导数f'(x)的符号。

在临界点两侧，如果导数f'(x)由正变负，则表明在该点上函数f(x)取得极大值；如果导数f'(x)由负变正，则表明在该点上函数f(x)取得极小值。

当然，也可能存在导数f'(x)不存在的点，这些点也是函数的临界点。

最值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

最大值是函数在定义域内所有点上取得的最大值，最小值是函数在定义域内所有点上取得的最小值。

通过求解函数的导数，我们可以找到函数的临界点。

然后，通过分析函数在临界点、定义域的边界点和导数不存在的点上的取值，可以确定函数的最值。

当函数在闭区间[a,b]上连续时，最大值和最小值一定在定义域的边界点上或者在临界点上取得。

因此，在求解函数最值时，我们需要计算函数在闭区间的端点上的取值，并将其和临界点上的取值相比较。

需要注意的是，导数仅能帮助我们找到函数的临界点，但临界点未必都是极值点。

为了判断极值点是否为极大值或极小值，我们还需要进行二阶导数测试。

如果二阶导数大于0，则表示该点为极小值；如果二阶导数小于0，则表示该点为极大值；如果二阶导数等于0，则需要进行其他方法的分析。

总之，利用导数研究函数的极值、最值是一种有效的方法。

高考数学之利用导数研究函数的极值和最值一．知识点睛1.可导函数的极值：①如果函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，我们就把a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.②如果函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f′(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，我们就把b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.注意：①.可导函数y=f（x）在点x0取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在点x0左侧和右侧，f′(x)异号②.导数为0的点不一定是极值点，比如y=x3即导数为0的点是该点为极值点的必要条件，而不是充分条件。

③.若极值点处的导数存在，则一定为02.求可导函数极值的步骤：①.确定函数的定义域②求导f′(x)③求方程f′(x)=0的根④把定义域划分为部分区间，并列成表格，检查f′(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值。

二．方法点拨：1.已知具体函数求极值2.已知含参函数的极值点和极值，确定参数：①极值点处导数为0②由极值点，极值组成的坐标在曲线上，由这两点建立有关参数的方程，求出参数值以后还须检验，看参数是否符合函数取得极值的条件。

3.已知含参函数极值点个数，确定参数范围:函数f（x）的极值点导函数f′(x) 的异号零点f′(x)=0的根函数y=k与函数y=g（x）图像交点的横坐标注意：导函数f′(x)的零点并不是函数f（x）的极值点，导函数f′(x)的异号零点才对应函数f（x）的极值点。

因此方程f′(x)=0的根及函数y=k与函数y=g（x）图像交点的横坐标，必须对应f′(x) 的异号零点。

方法总结：解决函数的零点，极值点，及方程根的关系问题时，优先考虑分离参数法，若分离参数不容易实现或者分离后依然不好解决问题，再考虑以下解题思路：（1）研究函数图像与X轴的位置关系⑵研究非水平的动直线（定点直线系或者斜率不为0的平行直线系）与固定函数曲线的位置关系⑶研究动态曲线与曲线的位置关系。

利用导数求解函数的极值与最值函数的极值与最值是高中数学中的重要概念之一。

在数学中，我们通过求函数的导数来研究函数的极值与最值。

本文将详细讨论如何利用导数求解函数的极值与最值的方法。

一、函数的极值当函数在某一点处的导数等于零或者不存在时，该点可能为函数的极值点。

具体而言，我们可根据导数的符号变化来判断函数的极值。

1. 当导数的符号从正变负时，函数在该点处取得极大值；2. 当导数的符号从负变正时，函数在该点处取得极小值；3. 当导数的符号不变，或者导数不存在时，函数在该点处可能为极值点，需通过其他方法进行判断。

二、求解函数的极值的步骤下面我们将通过一个具体的例子来介绍如何求解函数的极值。

例：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值。

步骤一：求导数首先，对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

步骤二：解方程f'(x) = 0，得到导数等于零的解对f'(x) = 0进行因式分解，得到(3x - 3)(x - 3) = 0。

解得x = 1或x = 3。

步骤三：求解极值将求得的解代入原函数f(x)，计算函数值。

当x = 1时，f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4；当x = 3时，f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0。

根据我们上文对导数符号变化的判断方法，我们可得出以下结论：当x = 1时，函数取得极小值；当x = 3时，函数取得极大值。

三、函数的最值函数的最值可以通过求解函数的极值来得到。

通常情况下，我们还需要考虑函数在定义域的端点处的取值。

例：求函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。

步骤一：求导数对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 4x - 4。

步骤二：求解极值将导数f'(x) = 0，解得x = 1。

步骤三：求解函数在区间端点处的取值将x = 0和x = 2代入原函数f(x)，计算函数值。

高考数学复习：利用导数求函数的极最值1.利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．例1．已知函数()()e ln xf x x a x x =++．(1)若a e =-，求()f x 的单调区间；(2)当0a <时，记()f x 的最小值为m ，求证：1m ．【答案】(1)函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞ (2)证明见解析（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间； （2）函数定义域是(0,)+∞，求得导函数()()1e xx f x x a x +'=+，这里1x x+是正数，引入()e x g x x a =+，利用它的单调性，得其有唯一零点0x ，是()f x 的唯一极小值点，即()()00000e ln xm f x x a x x ==++，由0()g x =00e 0x x a +=把0()m f x =转化为关于a 的函数，再由导数得新函数的最大值不大于1，证得结论成立． (1)当a e =-时，()()e e ln xf x x x x =-+，()f x 的定义域是()0,∞+，()()()111e e 1e e x xx f x x x x x +⎛⎫⎛⎫'=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞． (2)由（1）得()f x 的定义域是()0,∞+，()()1e xx f x x a x+'=+， 令()e xg x x a =+，则()()10x g x x e '=+>，()g x 在()0,∞+上单调递增，因为0a <，所以()00g a =<，()e 0ag a a a a a --=-+>-+=，故存在()00,x a ∈-，使得()000e 0xg x x a =+=．当()00,x x ∈时，()0g x <，()()1e 0xx f x x a x+'=+<，()f x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，()()1e 0xx f x x a x+'=+>，()f x 单调递增； 故0x x =时，()f x 取得最小值，即()()00000e ln xm f x x a x x ==++，由00e 0x x a +=，得()()000e n ln e l x xm x a x a a a =+=-+-，令0x a =->，()ln h x x x x =-，则()()11ln ln h x x x '=-+=-， 当()0,1x ∈时，()ln 0h x x '=->，()ln h x x x x =-单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()ln 0h x x '=-<，()ln h x x x x =-单调递减， 故1x =，即1a =-时，()ln h x x x x =-取最大值1，1m ． 例2．已知函数()()()ln e xxf x a x x a =+-∈R . (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的极值点的个数. 【答案】(1)11ey =-； (2)答案见解析.（1）分别求出()1f 和()1f '，即可求出切线方程；（2）分0a ≥、1a e≤-和10e a -<<三种情况，分别讨论()f x 单调性，即可得到对应的极值点的情况.(1)当1a =时，()n e l xx f x x x =+-定义域为()0+∞，，()111ef =-. 因为()1e 11x x f x x -'=+-，所以()111110ef -'=+-=. 所以()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：11ey =-. (2) 函数()()()ln e xx f x a x x a =+-∈R 定义域为()0+∞，，()1111e e x x x x x f x a a x x --⎛⎫⎛⎫'=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()(),0e x x g x a x =+>，()1ex xg x ='-. 令()0g x '>，得01x <<；令()0g x '<，得1x >； 所以()g x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减. 所以()()max 11e g x g a ==+，所以()1ea g x a <≤+①当0a ≥时，10e x ax+>，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >； 所以()f x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减. 此时()f x 有且只有一个极值点. ②当1a e≤-时，()0e x xg x a =+≤，令()0f x '>，得1x >；令()0f x '<，得01x <<； 所以()f x 在()0,1上单减，在()1,+∞上单增. 此时()f x 有且只有一个极值点.③当10ea -<<时，方程()0g x =有两个相异正根12,x x ，不妨设1201x x <<<，则当10x x <<时，有()0f x '<；当11x x <<时，有()0f x '>；当21x x <<时，有；()0f x '<；当2x x >时，有；()0f x '>；所以()f x 在()10,x 上单减，在()1,1x 上单增，在()21,x 上单减，在()2,x +∞上单增， 此时()f x 有三个极值点.综上所述：当0a ≥或1a e ≤-时，()f x 有且只有一个极值点；当10ea -<<时，()f x 有三个极值点.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.例3．已知函数()2e e 2x xf x ax -=+--.(1)当1a =时，证明：函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增；(2)若()()e xg x f x -=-，讨论函数()g x 的极值点的个数.【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析（1）先对函数求导，再二次求导，可求得导函数在区间()0,∞+上单调递增，从而可得()()00f x f ''>=，进而可证得结论，（2）当0a =时，可得()g x 单调递增，无极值点，当0a ≠时，()e 2xg x ax ='-，令ee 202x xax a x-=⇒=，令()e xh x x=，利用导数求出()h x 的单调区间和极值，从而分0e 2a <<，e 2a =和2e a >求解即可(1)证明：当1a =时，()()2e e 2,e e 2x x x xf x x f x x --=+----'=. 当0x >时，()e e 20x xf x -=+-'>'，.所以函数()f x '在区间()0,∞+上单调递增，故()()00f x f ''>=，故函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增. (2)解：当0a =时，()e 2xg x =-单调递增，无极值点， 当0a ≠时，()e 2xg x ax ='-，令e e 202xxax a x-=⇒=，令()e xh x x =，则()()2e 1x x h x x -'=，当0x <时，()0h x <，且()0h x '<，当0a <时，方程e2xa x=有唯一小于零的零点，故函数()g x 存在一个极值点；当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()1e h =为函数()h x 极小值， 所以当0e 2a <<时，方程e 2xa x=无解，函数()g x 无极值点；当e 2a =时，方程e 2xa x=有一个解， 但当01x <<时，()e 2,e 20x xa g x ax x ='>->，当1x >时，()e 2,e 20x x a g x ax x='>->，故函数()g x 无极值点.当2e a >时，方程e 2xa x=有两解，函数()g x 存在一个极大值点和一个极小值点.综上，当0a <时，函数()g x 存在一个极值点， 当e02a 时，函数()g x 无极值点， 当2ea >时，函数()g x 存在一个极大值点和一个极小值点.1．已知函数ln(1)()x f x x a+=+． (1)当1a =-时，判断()f x 在区间()1,+∞上的单调性；(2)当1a >时，记()f x 的最大值为M ，求证：1(,)2a M e -∈．【答案】(1)()f x 在(1,)+∞上单调递减．(2)证明见解析（1）利用导数研究函数的单调性即可；（2）由题知2ln(1)1()()x ax x f x x a '+-++=+，设()ln(1)1x ag x x x +=-++，进而得()g x 在(1,)-+∞存在唯一零点()01,1a x e ∈-且()f x 的最大值()()000ln 1x M f x x a+==+，再结合()000ln 11x a x x ++=+可得011,12a M e x -⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭. (1)当1a =-时，21ln(1)1()(1)(1)x x x f x x x '--++=>-， 设1()ln(1)1x g x x x -=-++，则21'()(1)x g x x -+=+，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '<在(1,)+∞上单调递减， 所以()()1ln 20g x g =-＜＜， 所以()0f x '＜，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减． (2)2ln(1)1()()x ax x f x x a '+-++=+， 设()ln(1)1x a g x x x +=-++，则2()(1)x a g x x '--=+． 当1a >时，()f x 的定义域为(1,),()0,()g x g x '-+∞≤在(1,)-+∞上单调递减，因为()()(1)11(1)ln 21ln 20,102a aaa e a g g e e--+=-≥->-=< 所以()(1)10ag g e -<．又因为()g x 的图象是不间断的，且()g x 在(1,)-+∞上单调递减，所以()g x 在(1,)-+∞存在唯一零点()01,1ax e ∈-，当()01,x x ∈-时，()0,()0,()g x f x f x '>>在()01,x -上单调递增， 当()0,x x ∈+∞时，()0,()0,()g x f x f x '<<在()0,x +∞上单调递减， 所以()f x 的最大值()()000ln 1x M f x x a+==+由()00g x =得()000ln 11x ax x ++=+，所以011,12a M e x -⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，从而原命题得证． 2．函数()e sin 2xx x f a x =-+.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)当0a ≥时，求函数()f x 在0,1上的最小值； (3)直接写出a 的一个值，使()f x a ≤恒成立，并证明. 【答案】(1)()1y a x a =++ (2)a(3)1a =-，证明见解析（1）利用导数的几何意义直接求解；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求得最小值；（3）取1a =-，构造函数()e sin 21x g x x x =+--，即证()0g x ≥恒成立，利用导数研究函数的单调性及最值即可证得结论. (1)由()e sin 2xx x f a x =-+，知()0f a =，切点为()0,a求导()e cos 2xf a x x =-+'，则切线斜率()0121a f a k =-+='+=所以切线方程为：()1y a a x -=+，即()1y a x a =++ (2)求导()e cos 2xf a x x =-+'，[]0,1x ∈0a ≥，[]cos 1,1x ∈-，0f x，所以函数()f x 在0,1上单调递增，()()min 0f x f a ∴==，即函数()f x 在0,1上的最小值为a . (3)取1a =-，下面证明e sin 21x x x --+≤-恒成立，即证e sin 210x x x +--≥恒成立， 令()e sin 21x g x x x =+--，即证()0g x ≥恒成立 求导()e cos 2x g x x '=+-，（i ）当0x ≤时，e 1x ≤，[]cos 1,1x ∈-，此时()0g x '≤所以函数()g x 在(],0-∞上单调递减，()(0)0g x g ∴≥=，即()0g x ≥成立（ii ）当0x >时，令()()e cos 2,0xp x g x x x '==+->，()e sin x p x x -'=，因为e 1x >，[]sin 1,1x ∈-，所以()0p x '>，所以函数()g x '在()0,+∞上单调递增，()(0)0g x g ''∴>=，所以函数()g x 在()0,+∞上单调递增，()(0)0g x g ∴>=，综上可知，()0g x ≥恒成立，即()f x a ≤恒成立3．已知函数()2e xf x ax =-（其中为自然对数的底数）.(1)讨论函数()f x 的导函数()f x '的单调性；(2)设()()cos g x x x f x =+-，若x ＝0为g （x ）的极小值点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)()1,+∞.（1）先求导，再对a 利用导数分两种情况求函数的单调区间；（2）求出()sin 1e 2x g x x ax =-+-+'，令()sin 1e 2x G x x ax =-+-+，则()cos e 2xG x x a =--+'，令()()h x G x '=，再对22a -分两种情况讨论分析得解. (1)解： ()e 2x f x ax '=-，令()e 2x F x ax =-，则()e 2xF x a ='-，①当0a ≤时，()0F x '>，②当0a >时，()()ln 2,x a ∈+∞时，()0F x '>，()(),ln 2x a ∈-∞时，()0F x '<； 综上，当0a ≤时，()f x '在(),-∞+∞上是增函数；当0a >时，()f x '在()()ln 2,a +∞上是增函数，在()(),ln 2a -∞上是减函数； (2)解：()2cos e x g x x x ax =+-+，则()sin 1e 2xg x x ax =-+-+'，()00g '=， 令()sin 1e 2x G x x ax =-+-+，则()cos e 2xG x x a =--+'，令()()h x G x '=，则()sin e xh x x ='-，当0x >时，sin 1x ≤，e 1x >，故()0h x '<，()G x '是减函数， 所以()()022G x G a '='<-.①当220a -≤，即1a ≤时，()0G x '<，即()G x 在()0,∞+上是减函数，不符合0x =是极小值，舍去； ②当220a ->，即1a >时，因为()G x '是减函数，且()00G '>，()()()ln 23cos ln 2330G a a +=-+-<⎡⎤⎣⎦'， 所以()()00,ln 23x a ∃∈+，使得()00G x '=，当()00,x x ∈时，()0G x '>，即()g x '是增函数，所以()()00g x g ''>=，即()g x 在()00,x 上是增函数；当0x <时，(),0π∀∈-，使得()0h x '<，()G x '是减函数， 故()()0220G x G a >=-'>'，从而()g x '是增函数，所以()()00g x g ''<=，即()g x 在(),0π-上是减函数. 综上，a 的取值范围是()1,+∞.4．已知函数2()2ln =--+f x x x a x ax ，a ∈R ． (1)若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设()f x 的极小值点为0x ，且()204<-af x a ，求a 的取值范围．【答案】(1)0y = (2)(2,2)-（1）由导数的几何意义得出切线方程；（2）对a 的值进行分类讨论，利用导数得出其单调性，再根据题意解不等式得出a 的取值范围． (1)由2()ln f x x x x =--可得，(1)0f =，由1()21f x x x'=--可得，(1)2110f '=--= 即曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0y = (2)(1)(2)()22a x x a f x x a x x-+'=--+=若0a 时，1()0x f x '>⇒>；01()0x f x '<<⇒<即函数()y f x =在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，极小值点为1由()241af a <-，可得2140a a a a ⎧-<-⎪⎨⎪⎩，解得02a ≤<.若2a <-时，当(0,1),2a x ⎛⎫∈⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则函数()f x 在(0,1),,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当1,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则函数()f x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则极小值点为2a -.由224a a f a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭可得，ln 022a a ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<-⎩，此时不等式组无解.若2a =-时，22(1)()0x f x x-'=≥，函数()f x 无极值点. 若20a -<<时，当0,(1,)2a x ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，即函数()f x 在0,,(1,)2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当,12a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即函数()f x 在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，即函数()f x 的极小值点为1，由()241af a <-，可得21420a a a a ⎧-<-⎪⎨⎪-<<⎩，解得20a -<<.综上，(2,2)a ∈- 5．已知函数()()21ln 12f x x a x a x =+-+，其中a R ∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()()()1F x f x a x =+-有两个极值点1x ，2x ，且()()1222eF x F x +>--恒成立（e 为自然对数的底数），求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)10ea <<． （1）示出导函数()'f x ，在定义域内分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）由()0F x '=有两个不等实根得出a 的一个范围，同时得出12,x x 的关系，计算12()()F x F x +化为a 的函数，不等式变形后，引入函数2()ln eg x x x x =-+，由导数确定单调性后可得不等式的解，即得a 的范围．(1)()f x 的定义域是(0,)+∞，(1)()()(1)a x x a f x x a x x--'=+-+=， 0a ≤时，01x <<时，()0f x '<，1x >时，()0f x '>，()f x 的减区间(0,1)，增区间是(1,)+∞；01a <<时，0x a <<或1x >时，()0f x '>，1<<a x 时，()0f x '<，()f x 的增区间是(0,)a 和(1,)+∞，减区间是(,1)a ；1a =时，()0f x '≥恒成立，()f x 的增区间是(0,)+∞，无减区间；1a >时，01x <<或x a >时，()0f x '>，1x a <<时，()0f x '<，()f x 的增区间是(0,1)和(,)a +∞，减区间是(1,)a ；(2)22()()1x x aF x f x a x-+''=+-=，由题意220x x a -+=有两个不等正根12,x x ，440a ∆=->，1a <，又122x x +=，120x x a =>，所以01a <<，21()ln 22F x x a x x =+-， 2221211122212121212111()()ln 2ln 2[()2]ln()2()222F x F x x a x x x a x x x x x x a x x x x +=+-++-=+-+-+2ln 4ln 2a a a a a a =-+-=--，由题意2ln 22e a a a -->--，2ln 0ea a a -+>， 设2()ln eg x x x x =-+(01)x <<，则()ln 11ln g x x x '=+-=0<， ()g x 在(0,1)上递减，又11112()ln 0e e e e e g =-+=，所以由2ln 0e a a a -+>，得10ea <<．综上，10ea <<． 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查极值点有关的问题，解题方法由导函数为0得出极值点的性质，同时得出参数的一个范围，计算有关极值点的代数式12()()F x F x +，化简不等式，利用函数的单调性得出不等式的解，从而得出结论，本题属于较难题． 6．已知函数221()2ln (0)2f x ax x a x a =-+≠ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：121212()()11f x f x x x x x -<+-【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析（1）函数()f x 求导后，分子为含参的二次三项式，结合0a ≠，我们可以从0∆和0∆>结合开口方向和两根的大小来讨论；（2）1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，我们可以通过()f x '结合韦达定理，找到1x ，2x 的关系，带入到要证明的不等式中，然后通过整理，化简成一个关于12x x 的函数关系，再通过换元，构造函数，通过求解函数的值域完成证明. (1)22222()1a ax x a f x ax x x-+'=-+=，设22()2p x ax x a =-+．(0)x >，318a ∆=-， ①当12a时，0∆，()0p x ，则()0f x '，()f x 在(0,)+∞上单调递增， ②当102a <<时，0∆>，()p x的零点为1x =，2x =120x x <<，令()0f x '>，得10x x <<，或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，()f x ∴在上单调递减，在，，)∞+单调递增，③当0a <时，0∆>，()p x，()f x ∴在上单调递增，在，)∞+上单调递减．综上所述：当12a时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当102a <<时，()f x在上单调递减，在，，)∞+单调递增；当0a <时，()f x在上单调递增，在，)∞+上单调递减． (2)证明：由（1）知，当102a <<时，()f x 存在两个极值点， 不妨设120x x <<，则121x x a+=， 要证：121212()()11f x f x x x x x -<+-，只要证121212121221()()()()x x x x x xf x f x x x x x -+->=-，只需要证211212122211()[()2]2ln2x x x x x a x x a x x x -+-+>-， 即证21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，设12x t x =，(01)t <<， 设函数21()2ln g t a t t t=-+， 22221()t a t g t t -+∴'=-，∴4440a ∆=-<，22210t a t ∴-+>， ()0g t ∴'<，()g t ∴在(0,1)上单调递减，则()(1)g t g >0=， 又121()02x x -<， 则121()0()2g t x x >>-，则21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，从而121212()()11f x f x x x x x -<+-． 【点睛】(1)含参的二次三项式再进行分类讨论的时候，如果二次项含参数，在讨论有根无根的情况下要兼顾到开口方向以及两根大小的比较；(2)如果函数()f x 在求导完以后，是一个分子上含有二次三项式，不含指数、对数的式子，那么函数()f x 的极值点关系，可以使用韦达定理来表示. 7．已知函数()()()1ln R af x x a x a x=-+-∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点，且这两个极值点分别为1x ，2x ，若不等式()()()1212ln ln f x f x x x λ+<+恒成立，求λ的值.【答案】(1)答案见解析 (2)2λ=-（1）求导，然后分0a ≤，01a <<，1a =，1a >讨论研究单调性；（2）由（1）两个极值点分别是1和a ，不妨设11x =，2x a =，代入()()()1212ln ln f x f x x x λ+<+，然后转化为最值问题求解即可. (1)由题意可知()f x 的定义域为()0,∞+，()()()22111x a x a a f x x x x --+'=-+=. 当0a ≤时，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得01x <<. 则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.当01a <<时，由()0f x '>，得0x a <<或1x >；由()0f x '<，得1<<a x . 则()f x 在()0,a 和()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减. 当1a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增.当1a >时，由()0f x '>，得01x <<或x a >；由()0f x '<，得1x a <<. 则()f x 在()0,1和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增； 当01a <<时，()f x 在()0,a 和()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减； 当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在()0,1和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减. (2)由（1）可知01a <<或1a >，且两个极值点分别是1和a ，不妨设11x =，2x a =， 则()()()()1211ln 11ln f x f x a a a a a a +=-+-+-=-+，12ln ln ln x x a +=， 故()()()1212ln ln f x f x x x λ+<+恒成立，即()1ln ln a a a λ-+<恒成立. 当01a <<时，ln 0a <，则()1a λ<-+，因为01a <<，所以()211a -<-+<-，则2λ≤-； 当1a >时，ln 0a >，则()1a λ>-+， 因为1a >，所以()12a -+<-，则2λ≥-. 综上，2λ=-.。

高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值高中数学知识点总结：导数的应用之函数的极值与最值在高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，它被广泛应用于各个数学领域。

其中的一个应用就是求解函数的极值与最值。

本文将针对这一知识点进行总结和讨论。

I. 导数和极值函数的极值指的是函数在某个区间上的最大值或最小值。

在求解极值问题时，我们可以利用导数的性质来进行分析和计算。

下面是一些常见的求解函数极值的方法：1. 极值的必要条件若函数f(x)在x=a处取得极值，那么导数f'(a)存在，且f'(a)=0，或者导数不存在（函数在该点有间断点或者不可导）。

2. 极值的充分条件若函数f(x)在x=a点的左右两侧导数符号相反，即f'(a-)和f'(a+)异号，那么f(x)在x=a处取得极值。

- 若f'(a-)>0且f'(a+)<0，那么极值为极大值；- 若f'(a-)<0且f'(a+)>0，那么极值为极小值。

3. 临界点和拐点临界点是指导数为零或不存在的点，对于一元函数来说，临界点多对应于函数的极值点。

拐点是指在函数图像上出现凹凸性突变的点，即曲线的凸度方向改变的点。

II. 求解函数的极值步骤在应用导数求解函数极值时，一般需要按照以下步骤进行：1. 求取函数f(x)的导数f'(x)。

2. 解方程f'(x)=0，求得导数为零的临界点。

3. 利用极值的充分条件，对临界点进行分析判断。

4. 若需要，进一步计算临界点处的函数值和边界点处的函数值进行比较。

5. 得到函数的极值。

III. 求解函数的最值函数的最大值和最小值称为最值，求解最值问题需要考虑函数的定义域和导数的变化情况。

下面是一些常见的求解函数最值的方法：1. 函数在开区间内求最值若函数f(x)在开区间(a, b)内进行求最大值，我们需要进行以下步骤：- 求取函数f(x)的导数f'(x)。