空间的直线与平面

直线与平面的距离与位置关系直线与平面的距离与位置关系是几何学中的基础概念之一。

在空间中，直线和平面是我们常见的图形和物体。

了解直线与平面之间的距离与位置关系，对于解决几何问题以及应用于现实生活中的问题都是非常重要的。

本文将详细介绍直线与平面的距离计算方法以及它们之间的位置关系。

一、直线与平面的距离计算1. 点到平面的距离计算公式要计算一个点到平面的距离，我们可以应用以下公式：距离= |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x, y, z)。

公式中的分子|Ax + By + Cz + D|代表的是点到平面的有向距离。

2. 直线到平面的距离计算公式要计算一条直线到平面的距离，我们可以使用以下公式：距离= |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，直线上的一点坐标为(x1, y1, z1)，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0。

同样，公式中的分子|Ax1 + By1 + Cz1 + D|代表的是有向距离。

二、直线与平面的位置关系1. 直线与平面相交当一条直线与平面相交时，我们可以根据直线与平面之间的角度来判断它们的位置关系。

当直线与平面的夹角为锐角时，直线与平面相交于一点。

当直线与平面的夹角为直角时，直线与平面相交于一条直线。

这种情况常见于垂直于平面的直线。

当直线与平面的夹角为钝角时，直线与平面不相交。

2. 直线与平面平行或重合当一条直线与平面平行时，它们之间的距离为点到平面的距离。

根据上文提到的点到平面的距离公式，我们可以计算出直线与平面的距离。

当一条直线与平面重合时，它们的位置完全一样，距离为0。

三、示例问题现在，我们通过几个示例问题来更好地理解直线与平面的距离与位置关系。

示例问题1：计算点P(2, 3, 4)到平面2x - 3y + z - 7 = 0的距离。

空间中直线与平面的关系在空间几何学中，直线和平面是两种基本的几何要素，它们之间存在着紧密的关系。

本文将探讨直线与平面的相互作用，以及它们在空间中的几何性质。

一、直线在平面内的位置关系直线可以分为三种不同的位置关系：直线在平面内的情况、直线在平面上的情况和直线与平面相交的情况。

1. 直线在平面内的情况当直线和平面没有交点时，我们说直线在平面内部。

在这种情况下，直线与平面是平行的。

平行的定义是：两条直线在平面内不存在交点，并且它们的方向向量也是平行的。

例如，在笛卡尔坐标系中，直线方程为y = mx + c，而平面方程为ax + by + cz + d = 0，其中m、c、a、b、c、d为常数。

当平面的法向量[a, b, c]与直线的方向向量[1, m, 0]平行时，我们可以确定直线在平面内。

2. 直线在平面上的情况当直线与平面有交点时，我们说直线在平面上。

直线在平面上可以有不同的位置关系：直线与平面相切、直线在平面内部和直线穿过平面。

- 直线与平面相切：在这种情况下，直线与平面只有一个交点，并且这个交点同时属于直线和平面。

我们可以通过求解直线和平面的方程组来确定交点的坐标。

- 直线在平面内部：当直线与平面有无数个交点时，我们说直线在平面内部。

在这种情况下，直线与平面相交但不重合。

- 直线穿过平面：当直线与平面有无穷多个交点时，我们说直线穿过平面。

在这种情况下，直线与平面重合。

3. 直线与平面相交的情况当直线与平面相交时，我们可以进一步讨论相交点的情况。

直线可以与平面相交于一个点、一条直线或平面本身。

- 直线与平面相交于一个点：在空间几何中，直线与平面相交于一个点是最常见的情况。

这时，我们可以通过求解直线和平面的方程组来确定交点的坐标。

- 直线与平面相交于一条直线：在这种情况下，直线与平面共面并且有无数个公共点。

这种情况也可以通过求解直线和平面的方程组来确定。

- 直线与平面相交于平面本身：直线与平面之间存在特殊的关系，即它们有一条公共直线。

空间中直线与平面所成角的范围
摘要：
一、引言
二、空间直线与平面所成角的定义
三、空间直线与平面所成角的范围
1.直线在平面内的情况
2.直线与平面相交的情况
3.直线与平面平行的情况
四、结论
正文：
【引言】
在几何学中，空间直线与平面所成角的研究是一个重要课题。

本文将讨论空间中直线与平面所成角的范围。

【空间直线与平面所成角的定义】
空间中直线与平面所成角指的是空间中一条直线与一个平面之间的最大角和最小角之差。

通常用符号θ表示，其中0 ≤ θ ≤ π。

【空间直线与平面所成角的范围】
【直线在平面内的情况】
当一条直线完全在平面内时，直线与平面所成角θ为0。

这是因为直线与平面内的任何一条射线之间的夹角都是0，所以直线与平面所成角的最大值和最小值之差为0。

【直线与平面相交的情况】
当一条直线与平面相交时，直线与平面所成角θ的范围为0 < θ ≤ π。

这是因为直线与平面相交时，直线与平面内的射线之间存在夹角，夹角的最大值和最小值之差即为所成角的最大值和最小值之差。

【直线与平面平行的情况】
当一条直线与平面平行时，直线与平面所成角θ为π。

这是因为直线与平面平行时，直线与平面内的任何一条射线之间的夹角都是π，所以直线与平面所成角的最大值和最小值之差为π。

【结论】
综上所述，空间中直线与平面所成角的范围为0 ≤ θ ≤ π。

平面与空间直线平面及其方程我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。

设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为{A,B,C}A2+B2+C2≠0，则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为：注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。

例题：设直线L的方向数为{3，-4，8}，求通过点(2,1,-4)且垂直于直线L的平面方程.解答：应用上面的公式得所求的平面方程为：即我们把形式为：Ax+By+Cz+D=0.称为平面方程的一般式。

其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法线的一组方向数。

几种特殊位置平面的方程1、通过原点其平面方程的一般形式为：Ax+By+Cz=0.2、平行于坐标轴平行于x轴的平面方程的一般形式为：By+Cz+D=0.平行于y轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz+D=0.平行于z轴的平面方程的一般形式为：Ax+By+D=0.3、通过坐标轴通过x轴的平面方程的一般形式为：By+Cz=0.通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz=0，Ax+By=0.4、垂直于坐标轴垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式为：Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.直线及其方程任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定，因而此直线的方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。

设已知直线L的方向数为{l,m,n}，又知L上一点Po(x0,y0,z0),则直线L的方程可表示为：上式就是直线L的方程，这种方程的形式被称为直线方程的对称式。

直线方程也有一般式，它是有两个平面方程联立得到的，如下：这就是直线方程的一般式。

平面、直线间的平行垂直关系对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。

因此平面间的平行与垂直关系，也就转化为直线间的平行与垂直关系。

平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与直线的平行与垂直关系。

直线与平面的关系及应用一、直线与平面的空间位置关系公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

1. 线面平行定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

拓展：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

2. 线面垂直定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

二、空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1. 两条直线平行定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。

判定定理:（1）如果两直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行（2）如果两直线同时垂直于同一个平面，那么这两条直线平行性质定理: 两直线平行，同位角相等。

两直线平行，内错角相等。

两直线平行，同旁内角互补。

拓展：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

空间中直线与平面的夹角在三维几何中，我们经常会涉及到直线与平面之间的夹角问题。

直线与平面的夹角是指直线与平面的交角，它是我们研究空间几何学中的一个重要概念。

下面将从定义、求解方法以及几个实际应用方面来详细讨论空间中直线与平面的夹角。

一、夹角的定义在空间中，我们可以将直线与平面的夹角定义为直线上任意一点到平面上的一个垂线与平面的交角。

这个交角的大小与直线与平面的相对位置有关。

二、求解直线与平面夹角的方法1. 垂线法求解夹角的一种基本方法是使用垂线法。

具体步骤如下：（1）确定直线和平面的方程；（2）求解直线方程与平面方程的交点；（3）在交点处作直线与平面的垂线；（4）求解垂线与平面的交角，即为所求夹角。

2. 向量法另一种求解夹角的方法是使用向量法。

具体步骤如下：（1）确定直线和平面的法向量；（2）计算直线和平面法向量的内积；（3）利用内积的性质，求解夹角的余弦值；（4）通过反余弦函数求得夹角的度数。

三、实际应用直线与平面的夹角在实际问题中有着广泛的应用。

以下将介绍几个实际应用的例子。

1. 光的反射与折射在光学中，直线与平面的夹角对于描述光的反射与折射现象非常重要。

根据折射定律，当光线从空气中斜射入玻璃等介质时，光线与介质界面的夹角决定了光线的折射方向。

利用夹角的求解方法可以计算光线在介质中的传播路径。

2. 直线运动与平面路径在物理学中，直线与平面的夹角也可以用于描述直线运动与平面路径的关系。

当一个物体沿着直线运动的同时在平面上投影，则直线与平面的夹角可以表示运动轨迹的倾斜程度。

例如，在斜面上滑动的物体，可以通过测量斜面的倾角来计算物体在斜面上的运动速度和加速度。

3. 空间向量的投影在线性代数中，空间向量的投影是一个重要的概念。

直线与平面的夹角可以用来计算空间向量在平面上的投影长度。

这在计算机图形学、机械设计等领域中有着广泛的应用。

综上所述，空间中直线与平面夹角是一个重要的几何概念，通过垂线法和向量法可以求解夹角的大小。

8.5.2直线与平面平行知识梳理一、空间直线与平面的位置关系有以下三种：1、直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a⊂α.2、直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α=A，公共点A叫做直线a与平面α的交点．3、直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.二、直线与平面平行的判定定理：1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行2、符号：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.3、图形：三、直线与平面平行的性质定理1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b.3、图形语言：例题精讲题型一线面平行的判定与性质定理1(2023·高一课时练习)下列条件中，能得出直线m与平面α平行的是()A.直线m与平面α内的所有直线平行B.直线m与平面α内的无数条直线平行C.直线m与平面α没有公共点D.直线m与平面α内的一条直线平行【答案】C【解析】对A，直线m与平面α内的所有直线平行不可能，故A错误；对B，当直线m在平面α内时，满足直线m与平面α内的无数条直线平行，但m与α不平行，故B错误；对C，能推出m与α平行；对D，当直线m在平面α内时，m与α不平行.故选：C.变式1(2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期中)下列命题正确的是()A.若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行B.若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线C.若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内D.若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行【答案】C【解析】对于A，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，故A错误；对于B，若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线可能相交，也可能是异面直线，故B错误；对于C，根据平面的基本性质可知若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故C正确；对于D，若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面，故D错误.故选：C.变式2(2023·全国·高一专题练习)直线a与平面α不平行，则α内与a平行的直线有()A.无数条B.0条C.1条D.以上均不对【答案】D【解析】因为直线a与平面α不平行，所以直线a与平面α的关系有两种，即a⊂α以及直线a与平面α相交.当a⊂α时，显然在α内与a平行的直线有无数条；当直线a与平面α相交时，设a∩α=A.当b⊂α，且A∈b时，此时a∩b=A，即直线a、b相交；当b⊂α，且A∉b时，可知直线a、b异面.综上所述，当直线a与平面α相交时，α内与a平行的直线有0条.所以，直线a与平面α不平行，则α内与a平行的直线有无数条或0条.故选：D.变式3(2023·全国·高一专题练习)下列命题中正确的个数是()①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α；②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行；③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α；④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】对于①，若直线a上有无数个点不在平面α内，则直线a可能与平面α相交，也可能与平面α平行，所以①错误，对于②，当直线a∥平面α时，直线a与平面α内直线平行或异面，所以②错误，对于③，当直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α，或直线a在平面α内，所以③错误，对于④，当直线a∥平面α时，则直线a与平面α无公共点，所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点，所以④正确，故选：B题型二线面平行的判断2(2022春·河北张家口·高一张北县第一中学校考阶段练习)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是()A.若m⎳α，m⎳n，则n⎳αB.若m⎳α，n⎳α，则m⎳nC.若m⎳α，n⊂α，则m⎳nD.若m⎳α，m⊂β，α∩β=n，则m⎳n【答案】D【解析】如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面A 1B 1C 1D 1视为平面α，对于A ，直线AB 视为m ，直线A 1B 1视为n ，满足m ⎳α，m ⎳n ，而n ⊂α，A 不正确；对于B ，直线AB 视为m ，直线BC 视为n ，满足m ⎳α，n ⎳α，而m 与n 相交，B 不正确；对于C ，直线AB 视为m ，直线A 1D 1视为n ，满足m ⎳α，n ⊂α，显然m 与n 是异面直线，C 不正确；对于D ，由直线与平面平行的性质定理知，D 正确.故选：D变式4(2023春·全国·高一专题练习)已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面其中正确的命题()①a ⎳c ，b ⎳c ⇒a ⎳b ；②a ⎳γ，b ⎳γ⇒a ⎳b ；③a ⎳c ，c ⎳α⇒a ⎳α；④a ⎳γ，a ⎳α⇒α⎳γ； ⑤a ⊄α，b ⊂α，a ⎳b ⇒a ⎳α．A.①⑤ B.①②C.②④D.③⑤【答案】A【解析】由题意，①a ⎳c ，b ⎳c ，故a ∥b ，故正确；②a ⎳γ，b ⎳γ，则a 与b 有可能平行、相交、异面，故错误；③a ⎳c ,c ⎳α，则a ⎳α或a ⊂α，故错误；④a ⎳γ，a ⎳α；则γ与α可能平行或相交，故错误；⑤a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ，由线面平行的判定定理可得a ∥α，故正确.故选：A .变式5(2023·高一课时练习)已知A 、B 、C 、D 是不共面四点，M 、N 分别是△ACD 、△BCD 的重心．以下平面中与直线MN 平行的是()①平面ABC ；②平面ABD ；③平面ACD ；④平面BCD ．A.①③B.①②C.①②③D.①②③④【答案】B【解析】如图，取CD 中点为E ，连结AE 、BE .由已知以及重心定理可得，AM ME=21，BN NE =21，则EM EA =13，EN EB =13.所以EM EA=EN EB =13，所以MN ⎳AB .因为MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以MN ⎳平面ABC ，故①正确；因为MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以MN⎳平面ABD，故②正确；因为M∈平面ACD，N∉平面ACD，所以MN与平面ACD不平行，故③错误；因为N∈平面BCD，M∉平面BCD，所以MN与平面BCD不平行，故④错误.故选：B.变式6(2023·全国·高一专题练习)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】对于选项B，如图1，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD⎳MQ，由于AB⎳CD，所以AB⎳MQ，因为AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB⎳平面MNQ，B选项不满足题意；对于选项C，如图2，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD⎳MQ，由于AB⎳CD，所以AB⎳MQ，因为AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB⎳平面MNQ，C选项不满足题意；对于选项D，如图3，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD⎳NQ，由于AB⎳CD，所以AB⎳NQ，因为AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以AB⎳平面MNQ，可知D不满足题意；如图4，取BC的中点D，连接QD，因为Q是AC的中点，所以QD⎳AB，由于QD与平面MNQ相交，故AB与平面MNQ不平行，A正确.故选：A题型三中位线法证明线面平行3(2023·全国·高一专题练习)长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是矩形BCC1B1的中心，N是矩形CDD1C1的中心．证明：MN⎳平面ABCD.【答案】证明见解析【解析】证明：连结C1D、C1B、BD.由已知可得，点M是C1B的中点，点N是C1D的中点，所以，MN是△C1DB的中位线，所以MN⎳BD.又MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以MN⎳平面ABCD.变式7(2022春·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期中)如图，四棱锥A-DBCE中，O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF．【答案】证明见解析【解析】连接OFO为底面平行四边形DBCE对角线的交点，则BO=OE△ABE中，BO=OE，AF=FE，则AB⎳OF又AB⊄平面DCF，OF⊂平面DCF，则AB∥平面DCF．变式8(2022·全国·高一专题练习)如图，P为圆锥的顶点，四边形ABCD为底面圆的内接平行四边形，AC为底面圆的直径，E为PA的中点．求证：PC⎳平面BDE．【答案】证明见解析【解析】由题意可知，设AC∩BD=O，如图所示因为四边形ABCD 为底面圆的内接平行四边形，AC 为底面圆的直径，所以O 为AC 的中点，E 为PA 的中点. 连接EO ，即EO 为△PAC 的中位线，所以EO ⎳PC ，又因为EO ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，所以PC ⎳平面BDE变式9(2023·高一单元测试)如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为2，侧棱AA 1=1，E 是棱BC 的中点，F 是DC 1与D 1C 的交点．(1)求证：BD 1⎳平面C 1DE ；(2)求三棱锥D -D 1BC 的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)23.【解析】(1)在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形DCC 1D 1为矩形，则F 为D 1C 的中点，又E 为BC 的中点，则有EF ⎳BD 1，而EF ⊂平面C 1DE ，BD 1⊄平面C 1DE ，所以BD 1⎳平面C 1DE ．(2)在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BC =2，AA 1=1，△BDC 的面积S △BDC =12BC 2=2，所以求三棱锥D -D 1BC 的体积V D -D 1BC =V D 1-BDC =13S △BDC ⋅DD 1=13×2×1=23．题型四平行四边形法证明线面平行4(2023春·全国·高一专题练习)如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．证明：EF ⎳平面PAD ．【答案】证明见解析【解析】证明：取PD 的中点G ，连接AG 、FG ，因为F 、G 分别是PC 、PD 的中点，所以FG ⎳CD 且FG =12CD ．因为四边形ABCD 为平行四边形，则AB ⎳CD 且AB =CD ，∵E 为AB 的中点，则AE ⎳CD 且AE =12CD ，∴AE ⎳FG 且AE =FG ，所以，四边形AEFG 为平行四边形，故EF ⎳AG ，∵EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，∴EF ⎳平面PAD .变式10(2023·全国·高一专题练习)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ⎳CD ，AB =4，BC =CD =2，AA 1=2，E 、E 1、F 分别为棱AD 、AA 1、AB 的中点．证明：直线EE 1∥平面FCC 1．【答案】证明见解析【解析】证明：如图，取A 1B 1的中点F 1，连接FF 1，C 1F 1，因为FF1∥BB 1∥CC 1，所以F 1∈平面FCC 1，因此，平面FCC 1即为平面C 1CFF 1．连接A 1D ，F 1C ，因为A 1F 1⎳D 1C 1⎳CD ,A 1F 1=D 1C 1=CD ，所以四边形A 1DCF 1为平行四边形，因此A 1D ∥F 1C ，又EE 1∥A 1D ，所以EE 1∥F 1C ，而EE 1⊄平面FCC 1，F 1C ⊂平面FCC 1，故EE 1∥平面FCC 1．变式11(2023春·全国·高一专题练习)如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，AD ⎳BC ，AD =PA =2BC =2PB =4，F 为侧棱PD 的中点，求证：CF ⎳平面PAB【答案】证明见解析【解析】取PA 的中点M ，连接BM ，FM ，在△PAD 中，FM ⎳DA ，FM =12DA在梯形ABCD 中，BC ⎳DA ，BC =12DA∴FM ⎳BC ，FM =BC ，∴四边形FMBC 是平行四边形，∴BM ⎳CF ，又BM ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB ，∴CF ⎳平面PAB ；变式12(2023春·全国·高一专题练习)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点，求证：EF ∥平面BB 1C 1C .【答案】证明见解析【解析】证明：取BC 的中点G ，连接EG ，B 1G ，因为在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点，所以EG ∥AB 且EG =12AB ，又B 1F ∥AB 且B 1F =12AB ，所以EG ∥B 1F 且EG =B 1F ，所以四边形EGB 1F 是平行四边形，所以EF ∥B 1G ，因为B 1G ⊂平面BB 1C 1C ，EF ⊄平面BB 1C 1C ，所以EF ∥平面BB 1C 1C .题型五利用定理证明线线平行5(2023春·全国·高一专题练习)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AC 与BD 交于点O ，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接MO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点．又∵M 是PC 的中点，∴AP ∥OM .又∵AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，∴AP ∥平面BDM .又∵AP ⊂平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM =GH ，∴AP ∥GH .变式13(2023春·全国·高一专题练习)如图所示，在多面体A 1B 1D 1DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F ．证明：EF ⎳B 1C .【答案】证明见解析.【解析】因四边形AA1B1B，ABCD均为正方形，则A1B1⎳AB⎳DC，且A1B1=AB=DC，因此四边形A1B1CD为平行四边形，于是得B1C⎳A1D，又B1C⊄平面A1EFD，EF⊂平面A1EFD，则B1C⎳平面A1EFD，而平面A1EFD∩平面B1CD1=EF，B1C⊂平面B1CD1，所以EF⎳B1C.变式14(2023·全国·高一专题练习)如图，E、F分别是空间四边形ABCD中边BC和AD的中点，过EF平行于AB的平面与AC交于点G．求证：G是AC中点．【答案】证明见解析【解析】证明：由已知可得，AB⎳平面EFG.又AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFG=EG，所以AB⎳EG.又因为点E是BC的中点，所以G是AC中点．变式15(2023春·全国·高一专题练习)已知正方体AC1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为()A.12B.22C.2D.32【答案】B【解析】连接AD1，AB1，则AD1过点P.如图所示∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B=AB1，PQ⊂平面AB1D1，∴PQ ∥AB 1，∵D 1P =PA ，∴PQ =12AB 1=12×12+12=22.故选：B .题型六利用定理解决动点问题6(2022·高一课时练习)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是棱AC 上的动点，EC =2FB =2，当点M 在什么位置时，MB ∥平面AEF ？【答案】当M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF .【解析】证明：过F ，B ，M 作平面FBMN 交AE 于点N ，连接MN ，NF ，易知BF ∥平面AA1C 1C ，又BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AA 1C 1C =MN ，所以BF ∥MN .又MB ∥平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AEF =FN ，所以MB ∥FN ，所以四边形BFNM 是平行四边形，所以MN =BF =1.而EC ∥FB ，EC =2FB =2，所以MN ∥EC ，MN =12EC ，故MN 是△ACE 的中位线.所以当M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF .变式16(2022春·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期中)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，BC ⎳平面PAD ，BC =12AD ，E 是PD 的中点．(1)求证：BC ⎳AD ；(2)若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN ⎳平面PAB ？说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析.【解析】证明：(1)在四棱锥P -ABCD 中，BC ⎳平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD =AD ，∴BC ⎳AD ，(2)线段AD 存在点N ，使得MN ⎳平面PAB ，理由如下：取AD 中点N ，连接CN ，EN ，∵E ，N 分别为PD ，AD 的中点，∴EN ⎳PA ，∵EN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴EN ⎳平面PAB ，取AP 中点F ,连结EF ,BF ，EF ⎳AN ，且EF =AN ，因为BC ⎳AD ，BC =12AD ，所以BC ⎳EF ，且BC =EF ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ⎳BF .又CE ⊄面PAB ，BF ⊂面PAB ，所以CE ⎳平面PAB ；又CE ∩EN =E ，∴平面CEN ⎳平面PAB ，∵M 是CE 上的动点，MN ⊂平面CEN ，∴MN ⎳平面PAB ，∴线段AD 存在点N ，使得MN ∥平面PAB ．变式17(2023春·全国·高一专题练习)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F ,G 分别是AB ,CC 1,AD 的中点.(1)证明：EG ⎳平面D 1B 1C ；(2)棱CD 上是否存在点T ，使AT ⎳平面B 1EF ？若存在，求出DT DC的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，DTDC=14【解析】(1)连接BD ,B 1D 1,CD 1，∵E ,G 分别为AB ,AD 中点，∴EG ⎳BD ，∵BB 1⎳DD 1，BB 1=DD 1，∴四边形BDD 1B 1为平行四边形，∴BD ⎳B 1D 1，∴EG ⎳B 1D 1，又EG ⊄平面D 1B 1C ，B 1D 1⊂平面D 1B 1C ，∴EG ⎳平面D 1B 1C .(2)假设在棱CD 上存在点T ，使得AT ⎳平面B 1EF ，延长BC ,B 1F 交于H ，连接EH 交DC 于K ，∵CC 1⎳BB 1，F 为CC 1中点，∴C 为BH 中点，∵CD ⎳AB ，∴KC ⎳AB ，∴KC =12EB =14DC ，∵AT ⎳平面B 1EF ，AT ⊂平面ABCD ，平面B 1EF ∩平面ABCD =EK ，∴AT ⎳EK ，又TK ⎳AE ，∴四边形ATKE 为平行四边形，∴TK =AE =12DC ，∴DT =KC =14DC ；∴当DT DC =14时，AT ⎳平面B 1EF .变式18(2023春·全国·高一专题练习)如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1B =2AB =2，点E 为棱B 1B 上的点，且满足B 1E =2EB ．(1)求异面直线A 1C 1与EC 所成角的余弦值；(2)棱D 1D 上是否存在一点F ，使得B 1F ∥平面ACE ，若存在，求出D 1F FD 的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)32626；(2)存在，D 1F FD=2.【解析】(1)∵ABCD -A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，∴A 1A ∥ C 1C ，四边形A 1C 1CA 是矩形，∴A 1C 1∥AC ，∴求异面直线A 1C 1与EC 所成角的余弦值即是求AC 与EC 所成角的余弦值，在△AEC 中，EC =EA =133，AC =2，∴cos ∠ACE =EC 2+AC 2-AE 22EC ⋅AC =22×133×2=32626；(2)如图，当点F 为D 1D 的三等分点(靠近D 点)时，使得B 1F ∥平面ACE ，作B 1E 的中点G ，连接B 1F ，GD ，连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，由棱柱的性质可知FD ∥ B 1G ，∴四边形FB 1GD 是平行四边形，∴B 1F ∥GD ，又∵点E ，O 分别是GB ，BD 的中点，∴OE ∥GD ，由平面公理4可得B 1F ∥OE ，又∵OE ⊂平面ACE ，B 1F ⊄平面ACE ，∴B 1F ∥平面ACE ，此时D 1F FD =2．。

空间几何中的直线和平面直线和平面是空间几何中最基本的图形，它们在科学、工程和日常生活中起着重要的作用。

本文将介绍直线和平面的定义、性质以及它们在几何学中的应用。

一、直线的定义和性质在空间几何中，直线是由无数个点组成的，这些点之间没有间隔，也没有弯曲。

直线可以看作是两个方向相反的射线。

直线具有以下性质：1. 直线上的任意两点可以确定一条唯一的直线。

2. 直线没有起点和终点，可以延伸到无穷远。

3. 两条直线要么相交于一点，要么平行。

直线在空间几何中的应用非常广泛，例如在平面几何中，可以通过两条不相交的直线确定一个平面。

二、平面的定义和性质平面是由无数条直线组成的，它是一个没有厚度的二维图形。

在空间几何中，平面可以由三个不共线的点确定。

平面具有以下性质：1. 平面上的任意三点不共线，确定一条唯一的平面。

2. 平面没有边界，可以延伸到无穷远。

3. 两个平面要么相交于一条直线，要么平行。

平面在几何学中有着广泛的应用，例如在建筑设计中，几何平面可以帮助建筑师进行空间规划。

平面的平行性质也在数学中得到广泛研究和应用。

三、直线和平面的关系直线和平面之间存在着紧密的联系，它们之间的关系可以通过以下几个方面进行描述：1. 直线和平面相交：当一条直线与一个平面相交时，它们会在交点处有一个公共的点。

2. 直线和平面平行：当一条直线与一个平面平行时，它们没有公共点。

3. 直线在平面上：当一条直线完全位于一个平面上时，这条直线被称为在平面上。

直线和平面的关系在数学中有着广泛的研究和应用，例如在三维几何中，可以通过直线与平面的交点来求解线段与平面的距离，这在计算机图形学和机器人学等领域中有着重要的应用。

结论直线和平面是空间几何中最基本的图形，它们在科学、工程和日常生活中发挥着重要的作用。

直线可以视为两个方向相反的射线，而平面是由无数条直线组成的，它是一个没有厚度的二维图形。

直线和平面之间存在着紧密的关系，可以通过相交、平行和在平面上等方式来描述它们之间的关系。

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、空间中直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有___________种： ①直线在平面内——有___________个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③___________——没有公共点. 学*科网 直线与平面相交或平行的情况统称为___________. 2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3．直线和平面位置关系的分类 （1）按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 （2）按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内 （3）按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行二、平面与平面之间的位置关系 1．两个平面之间的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： （1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有___________条公共直线. 2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示3．两个平行平面的画法画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行,且把这两个平行四边形上下放置.K 知识参考答案：一、1．三 无数 直线与平面平行 直线在平面外 二、 1．一K—重点了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系K—难点会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面与平面之间的位置关系K—易错对概念理解不透彻致误1．直线与平面的位置关系空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．【例1】若直线a α,则下列结论中成立的个数是①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a 平行的直线A．0 B．1C．2 D．3【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维.2．平面与平面的位置关系判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．【例2】已知α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β【答案】D【解析】不能保证α，β无公共点．如图：故A、B选项错误.当a∥α，a∥β时，α与β可能相交．如图：故C选项错误.平面α内所有直线都与平面β平行，说明α，β一定无公共点，则α∥β.故D选项正确.【名师点睛】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断.【例3】如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系是A．平行B．相交C．平行或相交D．不确定【答案】C【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊂平面ABCD,C1D1⊂平面A1B1C1D1,C1D1⊂平面CDD1C1,AB∥C1D1,但平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD与平面CDD1C1相交.3．对直线与平面相交的概念理解不透彻致误【例4】已知：直线a∥b，a∩平面α=P，求证：直线b与平面α相交.【错解】如图，因为a∥b，所以a，b确定一个平面，设该平面为β.因为a∩平面α=P，所以P∈a，P∈α,所以P∈β,即点P为平面α与β的一个公共点，由此可知α与β相交于过点P的一条直线，记为c，即α∩β=c.在平面β内，a∥b，a∩c=P.由平面几何知识可得b与c也相交，设b∩c=Q,则Q∈b，Q∈c.因为c⊂α，所以Q∈α,所以直线b与平面α相交.【错因分析】错解中对直线与平面相交的概念理解不透彻，误认为直线和平面相交就是直线和平面有一个公共点.【名师点睛】直线与平面相交，要求直线与平面有且只有一个公共点，即直线与平面有一个公共点且直线不在平面内，也就是直线既不与平面平行，又不在平面内.1．已知直线与直线垂直，，则与的位置关系是A．//B．C．相交D．以上都有可能2．如果空间的三个平面两两相交，那么A．不可能只有两条交线B．必相交于一点C．必相交于一条直线D．必相交于三条平行线3．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么 A ．α∥β B ．α与β相交 C ．α与β重合D ．α∥β或α与β相交4．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是A ．α内的所有直线均与a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内直线均与a 相交D ．直线a 与平面α有公共点 5．以下命题（其中a b ，表示直线，α表示平面）： ①若∥a b ，b α⊂，则∥a α； ②若∥a α，b α⊂，则∥a b ； ③若∥a b ，∥b α，则∥a α. 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．36．若M ∈平面α，M ∈平面β，则不同平面α与β的位置关系是 ． 7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，试判断： （1）AM 所在的直线与平面ABCD 的位置关系； （2）CN 所在的直线与平面ABCD 的位置关系； （3）AM 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系； （4）CN 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系.8．三个平面,,αβγ，如果,,∥a b αβγαγβ==,且直线,∥c c b β⊂.（1）判断c 与α的位置关系,并说明理由; （2）判断c 与a 的位置关系,并说明理由.9．若a ，b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是 A ．∥b α B ．相交C ．b α⊂D ．b α⊂、相交或平行 10．已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线lA ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都有可能11．不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.（填序号）12．如图所示，1111ABCD A B C D -是正方体，在图①中E ，F 分别是11D C ，1B B 的中点，画出图①、②中有阴影的平面与平面ABCD 的交线，并给出证明．1 2 3 4 5 9 10 DADDADB3．【答案】D【解析】如图，设α∩β＝l ，则在α内与l 平行的直线可以有无数条a 1，a 2，…，a n ，…，它们是一组平行线．这时a 1，a 2，…，a n ，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l.另外也有可能αβ∥.故选D.4．【答案】D【解析】直线a 不平行于平面α，则a 在α内或a 与α相交，故A 错； 当a α⊂时，在平面α内存在与a 平行的直线，故B 错；α内的直线可能与a 平行或异面，故C 错；显然D 正确. 5．【答案】A【解析】若∥a b ，b α⊂，则∥a α或a α⊂，故①不正确； 若∥a α，b α⊂，则∥a b 或,a b 异面，故②不正确； 若∥a b ，∥b α，则∥a α或a α⊂，故③不正确．故选A ． 6．【答案】相交【解析】由公理3知，α与β相交．7．【解析】（1）AM 所在的直线与平面ABCD 相交．（2）CN所在的直线与平面ABCD相交．（3）AM所在的直线与平面CDD1C1平行．（4）CN所在的直线与平面CDD1C1相交．9．【答案】D【解析】三种情况如图（1）,（2）,（3）.10．【答案】B【解析】若直线l与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l平行，故A错误；若直线l∥平面α，则在平面α内不存在直线与l相交，故C错误；对于直线l与平面α相交，直线l与平面α平行，直线l在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，故选B.11．【答案】①【解析】如图，三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.证明：在图①中，因为直线EN ∥BF ，所以、、、B N E F 四点共面，又2EN BF ，因此EF 与BN 相交，设交点为M .因为M ∈EF ，且M ∈NB ，而EF ⊂平面AEF ，NB ⊂平面ABCD ，所以M 是平面ABCD 与平面AEF 的公共点．又因为点A 是平面AEF 和平面ABCD 的公共点，故AM 为两平面的交线． 在图②中，C 1M 在平面11CDD C 内，因此与DC 的延长线相交，设交点为M ，则点M 为平面11A C B 与平面ABCD 的公共点，又点B 也是这两个平面的公共点，因此直线BM 是两平面的交线．学！科网。

空间中直线与平面之间的位置关系文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]空间中直线与平面之间的位置关系知识点一 直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。

2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3)直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。

例1、下列命题中正确的命题的个数为 。

①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。

变式1、下列说法中正确的是 。

①直线l平行于平面α内无数条直线，则lααααbα⊂答案：B⊂bαα⊂变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B 相交，直线CD 与直线A′B 异面，所以A 、B 都不正确；平面ABCD内不存在与a 平行的直线，所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α,以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a 平行的直线分析：∵直线a ⊄α,∴a ∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A.知识点二 直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

空间直线平面的平行一、引言在数学中，空间直线和平面是基础的几何概念。

当我们研究它们之间的关系时，一个重要的概念就是平行。

本文将详细介绍空间直线和平面的平行性质，包括定义、判定方法以及相关定理。

二、定义在三维空间中，我们首先需要了解什么是直线和平面。

直线直线是由无数个点组成的集合，它是长度无限延伸且宽度为零的几何图形。

在三维空间中，一条直线可以由其上两个不同点确定。

平面平面是由无数个点组成的集合，在三维空间中，它有两个维度：长度和宽度。

在三维空间中，一个平面可以由其上三个不共线的点确定。

平行当两个几何图形之间不存在交点，并且永远保持相同方向或距离时，我们称这两个几何图形为平行。

三、判定方法判断空间中的直线和平面是否平行有多种方法。

下面介绍两种常用方法：方法一：向量法设直线L上有一点A(x1, y1, z1)，平面P上有一点B(x2, y2, z2)。

若直线L的方向向量和平面P的法向量垂直，则L与P平行。

具体步骤如下：1.求解直线L的方向向量D：D = (x - x1, y - y1, z - z1)。

2.求解平面P的法向量N：N = (A, B, C)，其中A、B、C分别为平面P的一般式方程Ax + By + Cz + D = 0中的系数。

3.判断D与N是否垂直，即判断D·N = 0 是否成立，其中·表示点乘操作。

4.若D·N = 0 成立，则直线L与平面P平行；否则，不平行。

方法二：距离法设直线L上有一点A(x1, y1, z1)，平面P上有一点B(x2, y2, z2)。

若点A到平面P的距离等于零，则L与P平行。

具体步骤如下：1.求解点A到平面P的距离d：d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2+ C^2)，其中|·|表示绝对值操作。

2.若 d = 0 成立，则直线L与平面P平行；否则，不平行。

四、相关定理在研究空间直线和平面的平行性质时，有一些重要的定理值得注意。

直线和平面的位置关系直线和平面是几何学中的重要概念，它们在我们日常生活和数学学习中都有广泛的应用。

了解直线和平面的位置关系对于解决几何问题和理解空间几何概念至关重要。

本文将通过举例、分析和说明，详细介绍直线和平面的位置关系，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。

一、直线和平面的基本概念首先，我们来回顾一下直线和平面的基本概念。

直线是由无数个点连成的，它没有宽度和厚度，可以延伸到无穷远。

而平面是由无数个直线连成的，它有无限大的宽度和长度，但没有厚度。

直线和平面是空间中最基本的几何元素，它们的位置关系对于我们理解空间几何有着重要的影响。

二、1. 直线与平面的相交关系直线和平面可以相交，相交的方式有三种：直线与平面相交于一点、直线与平面相交于一条直线、直线与平面相交于多个点。

例如，一根铅笔刚好垂直于一张纸，那么铅笔尖就与纸面相交于一点；如果我们将一张纸平放在桌子上，铅笔沿着纸面滑动，那么铅笔与纸面相交于一条直线；如果我们将一张纸斜放在桌子上，铅笔沿着纸面滑动，那么铅笔与纸面相交于多个点。

2. 直线在平面上的位置关系直线可以位于平面的内部、边界或外部。

当直线位于平面的内部时，我们称之为直线在平面上。

例如，一根铁丝被弯曲成一个形状，它的每一点都在一个平面内，那么这根铁丝就在这个平面上。

当直线与平面的某一部分重合时，我们称之为直线在平面上的边界。

例如，一根直线恰好与一个平面的一条边相重合，那么这根直线就在这个平面的边界上。

当直线与平面没有任何交点时，我们称之为直线在平面的外部。

例如，一根直线与一个平面没有任何交点，那么这根直线就在这个平面的外部。

3. 平面间的相对位置关系在空间中，两个平面可以平行、相交或重合。

当两个平面的法线向量平行时，我们称之为平面平行。

例如，两个水平的地面就是平行的。

当两个平面有一个公共点，并且这个点在两个平面上都是直线的交点时，我们称之为平面相交。

例如，两面墙壁在一个角落相交。

空间直线与平面1、平面的特征：无厚度，无边界，无面积，无限延展；2、公理及其作用公理一：若一条直线上有两点在一个平面内，则该直线在平面内. 【作用】用以证明线在面内．．．．和点在面内．．．．.．公理二：如果两个平面有一个公共点，则两个平面的交集是通过该点的一条直线. 【作用】用以证明．．三．点共线．．．. 公理三：经过不在同一条直线上的三点有且仅有一个平面 【作用】确定平面的依据推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且仅有一个平面； 推论2 经过两条相交直线有且仅有一个平面； 推论3 经过两条平行直线有且仅有一个平面；公理四：平行于同一直线的两直线平行；()// ////a b b c a c ⇒，【作用】对空间的平行线进行传递．．．．．．．. 3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 4、空间直线的位置关系：平行、相交、异面. 【注】异面直线的证明，一般采用反证法； 5、★异面直线所成角（1）范围:0,2π⎛⎤⎥⎝⎦（2）求解方法（一作、二证、三求解）①平移法：一般是通过作中位线（关键字：中点），或是做平行四边形进行平移； ②补形法：适用于长方体中异面直线问题，其本质还是平移；③向量法：借助异面直线方向向量的夹角，进行间接求解，设异面直线1l 和2l 的方向向量分别为1d 和2d ，1d 和2d 的夹角为ϕ，异面直线1l 和2l 所成的角为θ，则1212||cos |cos |||||d d d d θϕ⋅==⋅.【注】通过解三角形求出平移后的角度余弦值为m ，则异面直线的夹角为arccos m . 6、异面直线间的距离：公垂线段的长度，求解时，可以借助向量投影. 7、直线与平面的位置关系：平行、相交（含垂直）、在平面内.（平行与相交又称为在面外） 8、直线与平面平行（1）定义：直线与平面没有公共点. （2）判定定理：11l l l ll ααα⎧⎪⇒⎨⎪⎩ÜÚ（3）性质定理：11l l l l lαβαβ⎧⎪⇒⎨⎪=⎩Ü 【注】线面平行不具有传递性.9、直线与平面垂直（1）定义：直线垂直于平面内的所有直线（或任意一条直线） （2）判定定理：121212,,l l l l l l l l l P αα⊥⊥⎧⎪⇒⊥⎨⎪=⎩Ü；（3）性质定理：11l l l l αα⊥⎧⇒⊥⎨⎩Ü，l l ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩Ü；10、★直线与平面所成的角（1）定义：斜线与射影所成的锐角或直角.（2）范围:0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦;（3）求解方法①定义法：作出线面角，解三角形求解（关键找到垂足．．，进而找到射影．．）； ②投影法：求出点到面的距离d ，斜线长为l ，则arcsindlθ=； ③*向量法：设直线l 的方向向量为d ，平面α的法向量为n ，d 和n 的夹角为ϕ，直线l 与平面α所成的角为θ，||sin |cos |||||d n d n θϕ⋅==⋅； 11、★点到平面的距离（1）定义：过点作平面的垂线，点与垂足之间的线段长即为点到面的距离. （2）求解方法 ①等体积代换．．．．．：放在三棱锥中，借助体积转化. ②*向量法：设平面α的斜线段是()AB B α∈，平面α的法向量为n ，点A 到平面α的距离为d ，则||||AB n d n ⋅=. 12、平面与平面的位置关系：相交、平行. 13、*面面平行（1）定义：平面与平面无公共点； （2）判定：121212,,l l l l P l l ααβββ⎧⎪=⇒⎨⎪⎩Ü；（3）性质：l l αβαα⎧⇒⎨⎩Ü；1122l l l lαβαγβγ⎧⎪=⇒⎨⎪=⎩；【注】面面平行具有传递性.14、*面面垂直（1）定义：两平面所成二面角为直角； （2）判定：l l βαβα⊥⎧⇒⊥⎨⎩Ü；（3）性质：111,ll l l l αβαβαβ⊥=⎧⎪⇒⊥⎨⎪⊥⎩Ü；【注】面面垂直不具有传递性. 15、*二面角（1）定义：由两个相交的半平面组成的图形； （2）范围：[]0,π（3）求解方法（作—证—算—答）①定义法：在棱上任意取一点，过这点分别在两个面内作棱的垂线；②垂面法：在棱上任意取一点，过这点作棱的垂面，得两条交线（射线）所成的最小正角； ③借助射影定理：cos S S θ=射影原图（若是钝二面角，取补角即可）④向量法：设二面角l αβ--中，平面α和β的法向量分别为1n 和2n ，向量1n 和2n 的夹角为θ，则1212cos ||||n n n n θ⋅=⋅，若二面角l αβ--是锐角，则其大小为1212||arccos ||||n n n n ⋅⋅；若二面角l αβ--是钝角，则其大小为1212||arccos||||n n n n π⋅-⋅.【注】法向量的方向控制为一进一出．．．．时，法向量的夹角即为二面角的平面角. 16、立体几何中的轨迹问题探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性． 17、立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有：①几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； ②代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值． 18、立体几何中的翻折问题翻折问题处理时关键在于把握翻折过程中哪些是不变量，哪些是改变量，注意翻折前后图形之间的内在联系，结合相关理论进行处理.【例题分析】例1、空间中，下列命题正确的是（ ） A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C.四边相等的四边形是菱形； D.对角线相交的四边形是平面图形例2、完成下列问题（1）不重合的三条直线交于同一点，则三条直线可以确定的平面的个数为_______. （2）三条互相平行的直线可以确定的平面的个数为_______. （3）三个平面可以将空间分成________部分；（4）不共面的四个定点到平面α的距离相等，这样的平面α有______个. （5）正方体一个面上的对角线与正方体的棱可以组成______对异面直线.（6）三棱锥的四个顶点与各棱中点，共10个点中，任取四个点，则四点共面的概率为______.例3、如图所示，ABC ∆的三边延长线分别与平面α交于,,D E F 三点，证明：,,D E F 三点共线.【练习】如图所示，,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 边,,,AB AD BC CD 上的点，且直线,EF GH 相交于M 点，证明：,,B D M 三点共线.ABCD EFαM例4、判断下列命题是否正确，并说明理由.①1122l l l l αα⎧⇒⎨⎩；②l lααββ⎧⇒⎨⎩；③1122l l l l αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④l l ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；⑤αγαββγ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；⑥1122l ll l l l ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；⑦1122l l l l αα⊥⎧⇒⊥⎨⎩；⑧ll αβαβ⊥⎧⇒⎨⊥⎩.【练习1】设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列所有正确的命题序号是________. ①在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直； ②与直线m 平行的直线不．可能与平面α垂直； ③与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行； ④与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直．【练习2】平面αβ⊥，直线b α，m β，且b m ⊥，则b 与β（ ）A.b β⊥B.b 与β斜交C.//b βD.位置关系不确定【练习3】判断下列命题是否正确，并说明理由. ①直线l 上存在不同的两点到平面α的距离相等，则l α；②a β⊥，l αβ=，过a 内一点P 作l 的垂线1l ，则1l β⊥；③直线l 垂直于平面α内的无数条直线，则l α⊥； ④直线12,l l 与平面α成等角，则12l l ；ABCD E F例5、已知ABC ∆，点P 是平面ABC 外一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影，（1）若点P 到ABC ∆的三边所在直线的距离相等且O 点在ABC ∆内，则O 为ABC ∆的 心． （2）若点P 到ABC ∆的三个顶点的距离相等，则O 为ABC ∆的________心； （3）若,,PA PB PC 两两垂直，则O 为ABC ∆的________心．（4）平面PAB ，平面PAC ，平面PBC ，与平面ABC 所成的二面角相等，则O 为ABC ∆的________心；（5）若,,PA PB PC 与平面ABC 所成的线面角相等，则O 为ABC ∆的________心；例6、如图所示PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AE PB ⊥，且AF PC ⊥. （1）证明：BC ⊥平面PAB ； （2）证明：AE ⊥平面PBC ； （3）证明：PC ⊥平面AEF .例7、异面直线12,l l 所成的角为60,直线l 与12,l l 所成的角均为θ,则θ的范围是________.【变式1】直线12,l l 相交于点O 且12,l l 成60角，过点O 与12,l l 都成60角的直线有_____条.【变式2】异面直线12,l l 相交于点O 且12,l l 成80角，过点O 与12,l l 都成50角的直线有____条.例8、空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD的中点，EF ,AD BC 所成的角为________.【变式】如图，在空间四边形ABCD 中，6AC BD ==，7AB CD ==，8AD BC ==，求异面直线AC 与BD 所成角的大小.例9、如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为21θθ和，则（ ）A ．1sin sin 2212≥+θθB ．1sin sin 2212≤+θθC ．1sin sin 2212>+θθD ．1sin sin 2212<+θθ【练习】长方体1111ABCD A B C D -中，设对角线1BD 与自B 点出发的三条棱所夹的角分别为,,αβγ，则222sin sin sin αβγ++=_______.例10、如图，设S AB C D -是一个高为3的四棱锥,底面ABCD 是边长为2的正方形,顶点S 在底面上的射影是正方形ABCD 的中心．K 是棱SC 的中点．试求直线AK 与平面SBC 所成角的大小．ABCDSBCDOK【变式】如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中12A AC ACB π∠=∠=，16AAC π∠=侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为3π，1AA =4BC =求（1）1A C 与底面ABC 所成角的大小； （2）斜三棱柱111ABC A B C -的体积.例11、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ．求点1C 到平面11AB D 的距离.【变式1】ABC ∆的三边长分别是3,4,5，P 为ABC ∆所在平面α外一点,它到三边的距离都是2,则P 到α的距离为________.【变式2】已知ABC ∆中，9AB =，15AC =，23BAC π∠=，ABC ∆所在平面外一点P 到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P 到平面ABC 的距离是_________.例12、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11AD A A ==. （1）证明直线1BC 平面1D AC ；（2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.A 1A BCD1D 1C 1B A AB CD1A 1B 1C 1D【变式1】已知R t ABC ∆的直角顶点C 在平面α内，斜边AB α，AB ，AC 、BC 分别和平面α成4π和6π角，则AB 到平面α的距离为________【变式2】已知矩形ABCD 的边长6AB =，4BC =，在CD 上截取4CE =，以BE 为棱将矩形折起，使BC E '∆的高C F '⊥平面ABED ，求 （1）点C '到平面ABED 的距离； （2）点C '到AB 的距离； （3）点C '到AD 的距离.例13、*已知二面角l αβ--的大小为2πθθ⎛⎫> ⎪⎝⎭，AB αÜ，CD βÜ，且A B l ⊥，CD l ⊥，若AB 与CD 所成角为ϕ，则（ ） A.ϕθ=B. 2πϕθ=-C.2πϕθ=+D.ϕπθ=-【练习1】已知二面角l αβ--的平面角为θ，在平面α内有一条直线AB 与棱l 成锐角δ，与平面β成角γ，则必有（ ） A. sin sin sin θδγ= B. sin sin cos θδγ=C. cos cos sin θδγ=D. cos cos cos θδγ=【练习2】设二面角l αβ--的大小为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，1l 是平面α内异于l 的一条直线，则1l 与平面β所成角的范围为_______.C 'DBCF例14、*过正方形ABCD 的顶点A 作PA ^平面ABCD ，设PA AB a ==， （1）求二面角B PC D --的大小； （2）求二面角C PD A --的大小．【练习1】如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，3BCDp?，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD，PA =（1）证明：BE ⊥平面PAB ； （2）求PB 与面PAC 的角； （3）求二面角A BE P --的大小.【练习2】已知空间四边形ABCD 中，若2AB AC ==,2CAB CBD π∠=∠=，6BCD π∠=，平面ABC ⊥平面BCD ．（1）求AD 与平面BCD 所成角的大小； （2）求二面角A CD B --的大小； （3）求点B 到平面ACD 的距离．例15、设,M N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE AB ⊥于E （如图）．现将ADE ∆沿DE 折起，使二面角A DE B --为45，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则,M N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．M NBNMA EGDABCDPCED P【练习】将两块三角板按图甲方式拼好，其中2B D π∠=∠=，6ACD π∠=，4ACB π∠=，2AC =，现将三角板ACD 沿AC 折起，使D 在平面ABC 上的射影恰好在AB 上，如图乙．（1）求证：AD ⊥平面BCD ； （2）求二面角B AC D --的大小.例16、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是矩形ABCD 和11BB C C 的中心，则过点,,A M N 的平面截正方体的截面面积为______．【变式1】在棱长为6的正方体ABCD-1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是111,A B CC 的中点，设过,,D M N 三点的平面与11B C 交于点P ,做出P 点，并保留作图痕迹，求PM PN +的值．【变式2】在三棱锥A BCD -中，AB a =,CD b =，ABD BDC ∠=∠,,M N 分别为AD ,BC 的中点，P 为BD 上一点，则MP NP +的最小值是________.DABCOABCDMNP【变式3】已知正三棱锥A BCD ，其底面边长为a ，侧棱长为2a ,过点B 作与侧棱,AC AD 相交的截面，在这样的截面三角形中 （1）求周长的最小值； （2）求周长最小时的截面面积.例17、正方体的截面图形的形状可以为_________. ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形； 【注】①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；截面三角形是锐角三角形；截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形；ABCDMN例18、如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线 其中真命题的编号是___________.（写出所有真命题的编号）例19、在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 是AB 上的动点 （1）若直线1D E ⊥EC ，请确定E 点的位置，并求此时异面直线1AD 与EC 所成的角； （2）在（1）的条件下，求二面角1D EC D --的大小.【练习1】底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，1PA AB ==,2BC =. （1）求PC 与平面PAD 所成角的大小；（2）若E 是PD 中点，求异面直线AE 与PC 所成角的大小；（3）在BC 边上是否存在一点G ，使得点D 到平面PAG若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由.PA BCEABCD 1A 1B 1C 1D EA1A BCD1D 1C 1B P【练习2】如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形, PA ⊥底面ABCD ,垂足为A ,PA AB =,点M 在棱PD 上，PB ∥平面ACM .（1）试确定点M 的位置；（2）计算直线PB 与平面MAC 的距离；（3）设点E 在棱PC 上，当点E 在何处时，使得AE ⊥平面PBD ？【练习3】如图，在矩形ABCD 中,AB ，BC a =，PA ⊥平面ABCD ，4PA =. （1）若在边BC 上存在一点Q ，使得PQ QD ⊥，求实数a 的取值范围；（2）当边BC 上存在唯一一点Q ，使得PQ QD ⊥时，求异面直线AQ 与PD 所成角的大小； （3）若4a =，且PQ QD ⊥，求二面角A PD Q --的大小.【练习4】如图所示，等腰ABC ∆的底边AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于点,B D 的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积． （1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值．PAFCED PA BCDMPA BCD【练习5】如图，在四棱锥ABCD P -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形,2PD AD ==，M ，N 分别为线段AC 上的点．若︒=∠30MBN ，则三棱锥M PNB-体积的最小值为 .【练习6】如图：PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，1PA AB ==，PD 与平面ABCD 所成角是6π，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动. （1）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系,并说明理由；（2）无论点E 在边BC 的何处，PE 与AF 所成角是否都为定值，若是，求出其大小；若不是，请说明理由；（3）当BE 等于何值时，二面角P DE A --的大小为4π.例20、已知动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BB C C 中,且满11PD D BD D ∠=∠,则动点P 的轨迹是（ ）的一部分A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线PABCEDFPBCD M N【变式1】平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支【变式2】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A.直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线【变式3】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11A D 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．直线【变式4】如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 上的动点，将ABE ∆沿着直线BE 翻转成1A BE ∆，使平面1A BE ⊥平面ABCD ，则点1A 的轨迹是（ ） A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D 以上都不是例21、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在1DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为_________．αBCAlA B CD 1A 1B 1C 1D NMPABCD 1A E【变式1】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为侧面11BB C C 内的动点，且2PA PB =，则P 点在四边形11BB C C 内形成轨迹图形的长度为_________．【变式2】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为1AC 、11A B 的中点，点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长为________.【变式3】若P 是以12,F F 为焦点的双曲线上任意一点,过焦点作12F PF ∠的平分线的垂线,垂足M 的轨迹是曲线C 的一部分,则曲线C 是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线【变式4】设B 、C 是定点，且均不在平面α上,动点A 在平面α上,且1sin 2ABC ∠=，则点A 的轨迹为（ ）（A ）圆或椭圆 （B ）抛物线或双曲线 （C ）椭圆或双曲线 （D ）以上均有可能ABCD 1A 1B 1C 1D PAB CD1A 1B 1C 1D N M。