二元一次方程_题型_精心_分类

＝x的方程组直接写出它的解．两者的行程差＝开始时两者相距的路程；　；； (1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率； 打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）　4．储蓄问题： ①利息＝本金×利率×期数 ②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数) ③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息＝利息× (1－利息税率) 。

　5．配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

　6．增长率问题： 解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量； 原量×(1－减少率)＝减少后的量.　7．和差倍分问题： 解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.　8．数字问题： 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。

如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字　9．优化方案问题： 在解决问题时，常常需合理安排。

需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

　经典例题透析类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 例：甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？举一反三： 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

二元一次方程组的 12 种应用题型归纳类型一：行程问题【例 1】甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲的速度为 x 千米/时，乙的速度为 y 千米/时。

(2.5 + 2)x + 2.5y = 36 3x + (3 + 2)y = 36 x = 6 y = 3.6答：甲的速度为 6 千米/时，乙的速度为 3.6 千米/时。

【例 2】两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求这艘船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘船在静水中的速度为 x 千米/时，水流速度为 y 千米/时。

14(x + y ) = 280 20(x ‒ y ) = 280 x = 17 y = 3答：这艘船在静水中的速度为 17 千米/时，水流速度为 3 千米/时。

类型二：工程问题【例】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成，需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元。

若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。

{解得{ {解得{{ y = { b = 解：设甲公司每周的工作效率为 x ，乙公司每周的工作效率为 y 。

x = 1 6x + 6y = 1 4x + 9y = 110 1 解得 151 1 ∴1÷10=10(周) 1÷15=15(周)∴甲公司单独完成这项工程需 10 周，乙公司单独完成这项工程需 15 周。

设甲公司每周的工钱为 a 万元，乙公司每周的工钱为 b 万元。

a = 3 6a + 6b = 5.2 4a + 9b = 4.8 5 4 解得 15此时 10a=6(万元) 15b=4(万元) 6>4答：从节约开支的角度考虑，小明家应选择乙公司。

二元一次方程组【四大题型】一、解二元一次方程组【高频考点精讲】1．用“代入法”解二元一次方程组的一般步骤（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； （2）将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；（4）将求得未知数的值代入变形后的关系式，求出另一个未知数的值； （5）把求得的x 、y 的值写在一起，用的形式表示，就是方程组的解。

2．用“加减法”解二元一次方程组的一般步骤（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得x （或y ）的值；（4）将求得未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值； （5）把求得的x 、y 的值写在一起，用的形式表示，就是方程组的解。

【热点题型精练】1．（2023•无锡）下列4组数中，不是二元一次方程2x +y ＝4的解的是（ ） A ．{x =1y =2B ．{x =2y =0C ．{x =0.5y =3D ．{x =−2y =4解：A 、把x ＝1，y ＝2代入方程，左边＝2+2＝右边，所以是方程的解； B 、把x ＝2，y ＝0代入方程，左边＝右边＝4，所以是方程的解； C 、把x ＝0.5，y ＝3代入方程，左边＝4＝右边，所以是方程的解； D 、把x ＝﹣2，y ＝4代入方程，左边＝0≠右边，所以不是方程的解． 答案：D ．2．（2023•南通）若实数x ，y ，m 满足x +y +m ＝6，3x ﹣y +m ＝4，则代数式﹣2xy +1的值可以是（ ） A ．3B ．52C ．2D ．32解：由题意可得{x +y =6−m 3x −y =4−m，解得：{x =5−m 2y =7−m 2， 则﹣2xy +1＝﹣2×5−m 2×7−m2+1=−(5−m)(7−m)2+1 =−m 2−12m+352+1=−(m 2−12m+36)−12+1=−(m−6)22+32≤32，∵3＞52＞2＞32，∴A ，B ，C 不符合题意，D 符合题意， 答案：D ．3．（2023•眉山）已知关于x ，y 的二元一次方程组{3x −y =4m +1x +y =2m −5的解满足x ﹣y ＝4，则m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：∵关于x 、y 的二元一次方程组为{3x −y =4m +1①x +y =2m −5②，①﹣②，得：2x ﹣2y ＝2m +6， ∴x ﹣y ＝m +3， ∵x ﹣y ＝4， ∴m +3＝4， ∴m ＝1． 答案：B ．4．（2022•株洲）对于二元一次方程组{y =x −1①x +2y =7②，将①式代入②式，消去y 可以得到（ ）A ．x +2x ﹣1＝7B ．x +2x ﹣2＝7C ．x +x ﹣1＝7D ．x +2x +2＝7解：{y =x −1①x +2y =7②，将①式代入②式，得x +2（x ﹣1）＝7， ∴x +2x ﹣2＝7， 答案：B ．5．（2022•雅安）已知{x =1y =2是方程ax +by ＝3的解，则代数式2a +4b ﹣5的值为 ．解：把{x =1y =2代入ax +by ＝3得：a +2b ＝3，则原式＝2（a +2b ）﹣5＝2×3﹣5＝6﹣5＝1． 答案：1．6．（2023•杭州二模）已知二元一次方程x +3y ＝14，请写出该方程的一组整数解 ． 解：x +3y ＝14， x ＝14﹣3y ， 当y ＝1时，x ＝11，则方程的一组整数解为{x =11y =1．答案：{x =11y =1（答案不唯一）．7．（2023•苏州一模）若一个二元一次方程的一个解为{x =2y =−1，则这个方程可能是 ．解：这个方程可能是：x +y ＝1，答案不唯一． 答案：x +y ＝1，答案不唯一． 8．（2023•连云港）解方程组{3x +y =8①2x −y =7②．解：{3x +y =8①2x −y =7②，①+②得：5x ＝15， 解得：x ＝3，将x ＝3代入①得：3×3+y ＝8， 解得：y ＝﹣1，故原方程组的解为：{x =3y =−1．二、由实际问题抽象出二元一次方程组【高频考点精讲】1．由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系；2．一般来说，有几个未知量就列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相符。

二元一次方程组实际问题分类专题一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：1、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；2、找：找出能够表示题意两个相等关系；3、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；4、解：解这个方程组，求出两个未知数的值；5、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案二、典型例题讲解题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套题型二、列二元一次方程组解决行程问题2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。

相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？3、一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，那么一木筏由甲地漂流到乙地需要多长时间？题型三、列二元一次方程解决商品问题4、在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。

求A、B商品打折前的价格。

题型四、列二元一次方程组解决工程问题5、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？题型五：列二元一次方程组解决增长问题6、某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校生将增加9%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？。

一、二元一次方程及二元一次方程的解 1．二元一次方程的概念 含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为1——“一次”．2．二元一次方程的一般形式二元一次方程的一般形式为：0ax by c ++=（0a ≠，0b ≠）3．二元一次方程的解使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解．二、二元一次方程组及二元一次方程组的解 1．二元一次方程组的概念 注意：知识点睛中考要求含字母系数的一次方程组（1只有一元（不过一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）．如2631x x y =⎧⎨-=⎩也是二元一次方程组．（2）定义中“两个”的含义：二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数． 2．二元一次方程组解的情况（1）在x 、y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ ①②中，1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 均为已知数，（1a 与1b 、2a 与2b 都至少有一个不等于0），则有：由21b b ⨯-⨯①②得：12212112a b a b x b c b c -=-（）由21a a ⨯-⨯①②得：12211221a b a b y a c a c -=-（） 当12210a b a b -≠时，方程组有唯一一组解；当12210a b a b -=，且21120b c b c -≠，12210a c a c -≠时，方程组无解； 当12210a b a b -=，且21120b c b c -=，12210a c a c -=时，方程组有无穷多组解； （2）二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的情况有以下三种：①当111222a b c a b c ==时，方程组有无数多解．（∵两个方程等效） ②当111222a b c a b c =≠时，方程组无解．（∵两个方程是矛盾的） ③当1122a b a b ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解：1221122121121221c b c b x a b a b c a c a y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩（这个解可用加减消元法求得）注意：（1）方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．（2）求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．一、一次方程（组）解的讨论【题01】下列说法正确的是（）A．二元一次方程只有一个解．B．二元一次方程组有无数个解．C．二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解．D．二元一次方程组一定有解．【题02】不解方程组，判定下列方程组解的情况：①23369x yx y-=⎧⎨-=⎩；②23423x yx y-=⎧⎨-=⎩；③351351x yx y+=⎧⎨-=⎩二、一次方程（组）中字母系数的确定1．根据方程解的具体数值来确定【题03】已知12xy=⎧⎨=⎩与3xy m=⎧⎨=⎩都是方程x y n+=的解，求m与n的值．【题04】方程6ax by+=有两组解是22xy=⎧⎨=-⎩与18xy=-⎧⎨=-⎩，求2a b+的值．【题05】如果二元一次方程20mx ny++=有两个解是22xy=⎧⎨=⎩与11xy=⎧⎨=-⎩，那么下列各组中，仍是这个方程的解的是（）A．35xy=⎧⎨=⎩B．62xy=⎧⎨=⎩C．53xy=⎧⎨=⎩D．26xy=⎧⎨=⎩【题06】写出一个以12xy=-⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组．例题精讲【题07】写出一个以23xy=⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组．【题08】已知43xy=-⎧⎨=⎩是方程组12ax yx by+=-⎧⎨-=⎩的解，则6()a b+=．【题09】已知12xy=-⎧⎨=⎩是方程组12x aybx y+=-⎧⎨-=⎩的解，则a b+=．【题10】已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m ynx y+-=⎧⎨+=⎩的解，求()m n+的值．【题11】已知方程组2421mx y nx ny m+=⎧⎨-=-⎩的解是11xy=⎧⎨=-⎩，求m、n的值．【题12】关于x，y的方程组3205319mx nymx ny+=⎧⎨-=⎩的解为11xy=⎧⎨=-⎩，求m，n的值．【题13】若方程组26ax yx by+=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=-⎩，则a b+=．【题14】若方程组2x y bx by a+=⎧⎨-=⎩的解是1xy=⎧⎨=⎩，那么a b-=．【题15】若关于x y，的方程组2x y mx my n-=⎧⎨+=⎩的解是21xy=⎧⎨=⎩，则m n-为（）A．1 B．3 C．5 D．2【题16】明明和亮亮二人解关于x 、y 的方程组278mx by cx y +=⎧⎨-=⎩，明明正确地解得32x y =⎧⎨=-⎩，而亮亮因把c 看错了，解得22x y =-⎧⎨=⎩．请问：亮亮把c 看成了多少？【题17】已知方程组278ax by mx y +=⎧⎨-=⎩的解应为32x y =⎧⎨=-⎩，由于粗心，把m 看错后，解方程组得22x y =-⎧⎨=⎩，则abm⋅⋅的值是 ．【题18】孔明同学在解方程组2y kx by x =+⎧⎨=-⎩的过程中，错把b 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩，又已知13k b =+，则b 的正确值应该是 ．【题19】已知甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩，如果甲看错了方程①中的a ，得方程组的解为31x y =-⎧⎨=⎩，而乙看错方程②中的b ，得到方程组的解是54x y =⎧⎨=⎩，请求120082009()10a b +-的值．【题20】甲、乙两人同时解方程组85mx ny mx ny +=-⎧⎨-=⎩①②由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程中②的n ，得到的解是25x y =⎧⎨=⎩，试求正确m n ，的值．【题21】小刚在解方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，本应解出32x y =⎧⎨=-⎩由于看错了系数c ，而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩求a b c ++的值．【题22】关于x，y的二元一次方程组42132x ymx y-=⎧⎪⎨+=⎪⎩的解中x与y的值相等，试求m的值．【题23】若方程组435(1)8x ykx k y+=⎧⎨--=⎩的解中x比y的相反数大1，求k的值．【题24】若关于x y，的二元一次方程组2351x y mx y m+=⎧⎨+=-⎩的解x与y的差是7，求m的值．【题25】当1x=时，关于x，y的二元一次方程组331ax yx by-=⎧⎨-=-⎩解中的两个数互为相反数，求a，b．【题26】二元一次方程组31242x yx ay+=⎧⎨+=⎩的解中x与y互为相反数，求a的值．【题27】k为何值时，关于x y，的方程组35223x y kx y k-=+⎧⎨-=⎩的解的和为20．【题28】已知方程组325(1)7x ykx k y-=⎧⎨+-=⎩的解x y，，其和1x y+=，求k的值．【题29】已知方程组3542x y mx y m+=-⎧⎨+=⎩中未知数和等于1-，则m=．【题30】m ，n 取何值时，方程组2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩（1）有唯一解？（2）没有解？（3）有无穷多组解？【题31】已知关于x 、y 的方程组2122(1)3ax y ax a y +=+⎧⎨+-=⎩，分别求出当a 为何值时，方程组的解为：（1）惟一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解．【题32】选择一组a ，c 值使方程组572x y ax y c +=⎧⎨+=⎩，①有无数多解；②无解；③有唯一的解．【题33】当m n ，为何值时，方程组(21)4mx y nm x y -=-⎧⎨--=-⎩（1）无解；（2）惟一解；（3）有无穷多解．【题34】当m n ，为何值时，关于x y ，的方程组2235mx y nx y n -=⎧⎨+=+⎩（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解．【题35】k 为何值时，方程组22342kx y x y +=⎧⎨-=⎩无解？【题36】若关于xy 的方程组322(1)mx y x m y m+=⎧⎨+-=⎩有无穷多组解，求m 的值．【题37】已知方程组354x my x ny +=⎧⎨+=⎩无解，m 和n 是绝对值小于10的整数，求m 和n 的值．【题38】如果关于x 、y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，那么a = ．【题39】m ，n 取何值时，方程2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩有无穷多组解？没有解？有唯一解？4．根据方程同解的情况来确定【题40】已知方程组2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩和方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，求3(2)a b +的值．【题41】关于x y ，的方程组354522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与2348x y ax by +=-⎧⎨-=⎩有相同的解，则()b a -= ．【题42】已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩与2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a b ，的值．【题43】已知x ，y 的方程组241ax by x y +=⎧⎨+=⎩与3(1)3x y bx a y -=⎧⎨+-=⎩的解相同，求a ，b 值．【题44】如果二元一次方程组4x y ax y a +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3528x y a --=的一个解，那么a 的值是？【题45】已知关于x y ，的方程组239x y mx y m +=⎧⎨-=⎩的解也是方程3217x y +=的解，求m ．【题46】若关于x y ，的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为？【题47】已知关于x ，y 的二元一次方程(1)(2)520a x a y a -+++-=，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．5．根据方程整数解的情况来确定【题48】a 取什么值时，方程组5331x y ax y +=⎧⎨+=⎩的解是正数？【题49】m 取何整数值时，方程组2441x my x y +=⎧⎨+=⎩的解x y ，都是整数？【题50】已知方程组51x my x y +=⎧⎨+=⎩有正整数解，那么正整数m 的值为 ．【题51】要使方程组21620x ay x y +=⎧⎨-=⎩有正整数解，求整数a 的值．【题52】已知m 为正整数，二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，即x y ，均为整数，则2m = ．【题53】已知关于x y ，的方程组： 1 1 1 x by y ax bx ay -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩有解，试证明：221a b ab a b ++++=．。

七年级数学判定二元一次方程的常考题型，看是否满足四个条件
七年级数学：判定二元一次方程的常考题型，看是否满足四个条件？
什么二元一次方程？二元一次方程的定义是什么？含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，我们称这样子的方程为二元一次方程。

判定一个方程，是不是二元一次方程，需要满足哪些条件？①含有两个未知数；②未知数项的次数是1；③未知数的系数不等于0；④等号两边必须是整式。

这四个条件必须同时满足，才是二元一次方程。

1、含有两个未知数，且未知数项的次数是1，等号两边必须是整式的条件都满足。

那么只需要满足未知数的系数不为0这个条件。

所以，k-1≠0。

所以，k≠1。

所以，k的取值范围是k≠1.
2，同样，按照二元一次方程定义的四个条件来判定。

含有两个未知数，未知数的次数都是1，未知数系数不等于0，所以只需要满足的条件是：|m|-2=1，且m+3≠0，解得m=3,就是此题的答案。

3、此题比前面两题多了一个步骤，多了一个合并同类项的步骤。

判定一个等式是方程，是看合并同类项之后的结果，还是否满足方程的条件。

所以，原方程通过移项合并同类项，变形成(m-1)x-2y=5。

再依据满足四个条件的依据，得到系数m-
1≠0，所以m的取值范围是m≠1。

4、按照二元一次方程的四个满足条件来判定，那么x的2次项必须不存在，也就是此项的值为0，则系数等于0。

x的1次项，y的1次项必须存在，则系数必须不等于0。

所以，
k²-1=0，且k+1≠0,k-7≠0。

所以，k=1。

二元一次方程组题型一、定义1．已知方程2x 2m+3+3y 4n-7=4是关于x 、y 的二元一次方程，则m 为多少？2．方程（k 2-4）x 2+(k+2)x+(k-6)y=k+8是关于x 、y 的方程，则：当k 为何值时，方程为一元一次方程？当k 为何值时，方程为二元一次方程？二、用含有一个字母的代数式表示另一个字母1．在方程427x y -=中，如果用含有x 的式子表示y ，则y =三、解方程（1）32245a b a b --== （2）323234x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩（3）已知21x y =⎧⎨=⎩是方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，求a b -的值。

（4）同解问题已知方程组{46=-=+by ax by ax 与方程组{53174=-=-y x y x 的解相同，求a,b 的值四、“遮盖”问题 方程组2,3x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解为2,.x y =⎧⎪⎨=⎪⎩则被遮盖的两个数分别为多少？ 五、看错字母解题小红和小丽共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩，由于小红看错了a 的值，求得的解是31x y =-⎧⎨=-⎩，小丽看错了b 的值，求得的解是54x y =⎧⎨=⎩，（1）你能求出a ，b 的正确的值吗？（2）方程组的正确的解为多少？六、正整数解的问题1、求二元一次方程3215x y +=的正整数解。

2、当a 为何值时,方程组⎩⎨⎧=-=+02,162y x ay x 有正整数解?并求出正整数解. 3、关于x ，y 的方程组5323x y x y p+=⎧⎨+=⎩的解是正整数，求整数p 的值。

七、整体代入法（不求而解）1．若方程组35223x y k x y k+=+⎧⎨+=⎩的解x 和y 的和为0，求k 的值。

2．已知方程组⎩⎨⎧=-+-=+-166312z y x z y x ，则y x +为多少？八、非负数与二元一次方程组结合问题1．若2|327|(521)0a b a b +++-+=，则a b +的值为多少？二元一次方程组的应用：【典型题型一】简单的“和差积倍”问题：1．现在父母年龄的和是子女年龄的6倍，2年前父母年龄的和是子女年龄和的10倍；6年后，父母年龄的和是子女年龄和的3倍，问共有子女多少人。

完整版)二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)二元一次方程组常见题型二元一次方程组是初中数学中的重要内容，常见的题型包括分配调运问题、行程问题、百分数问题、分配问题、浓度分配问题和金融分配问题等。

其中，分配调运问题是指在不同的地方分配人员或物品，需要根据条件求出各个地方的人数或物品数量。

例如，某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，需要求出到两个工厂的人数各是多少。

行程问题是指两个人或物体在不同的路程上移动，需要根据条件求出它们的速度或路程。

例如，甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。

需要求出甲、乙的平均速度各是多少。

百分数问题是指在数量变化中涉及到百分数的计算，需要根据条件求出各个数量的值。

例如，某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，需要求出这个市现在的城镇人口与农村人口。

分配问题是指在已知总量和每份数量的情况下，需要求出总量或份数。

例如，某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个；若每人4个，则有一个少1个，需要求出幼儿园有几个小朋友。

浓度分配问题是指在不同浓度的物质中混合，需要根据条件求出各个物质的数量或浓度。

例如，要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少。

金融分配问题是指在不同价格的商品中混合，需要根据条件求出各个商品的数量或价格。

例如，需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克。

几何分配问题）用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米。

可以列出以下两个方程：1、8x = 482、4y = 48解方程得到x = 6，y = 12，因此每块小长方形的长是6厘米，宽是12厘米。

二元一次方程8大题型解题方法一、题型一：两个未知数为整数的方程这种类型的方程一般可以通过列举法解决。

我们假设未知数为x和y，先分别选取一个合适的整数值代入方程，通过逐步加减等操作来确定x和y的值，从而得到方程的解。

二、题型二：两个未知数为小数的方程这类方程可以通过代入法解决。

我们首先将方程中的一个未知数用另一个未知数表示出来，然后将其代入方程，通过化简得到一个关于一个未知数的一次方程。

然后将这个一次方程解出来，再代入原方程，求得另一个未知数的值。

三、题型三：两个未知数为分数的方程解决这种类型的方程可以通过通分法。

首先将方程中的分数化为通分后的形式，然后通过移项、合并同类项等步骤化简方程，最后解一个关于未知数的一次方程得到一个未知数的值，再代入原方程求得另一个未知数的值。

四、题型四：两个未知数为整数和小数的方程这类方程可以通过消元法解决。

我们将方程的两个未知数系数相等的两个方程相减，从而消去其中一个未知数，得到一个只包含另一个未知数的一次方程，解出这个一次方程后，再代入原方程求得另一个未知数的值。

五、题型五：两个未知数为整数和分数的方程解决这类方程可以通过通分法和消元法相结合。

我们先将方程中的分数化为通分的形式，然后通过消元法消去其中一个未知数，得到一个关于另一个未知数的一次方程，解出这个一次方程后，再代入原方程求得另一个未知数的值。

六、题型六：两个未知数为小数和分数的方程这种类型的方程可以通过代入法和通分法相结合解决。

我们首先将方程中的小数用分数形式表示出来，然后通过代入法和通分法解方程，最后得到两个未知数的值。

七、题型七：两个未知数为整数、小数和分数的方程这类方程比较复杂，需要综合运用列举法、代入法、通分法和消元法等解题方法。

具体的解题过程需要结合具体的方程来进行推导。

八、题型八：两个未知数中一个为常数的方程解决这类方程可以通过代入法。

我们首先将常数用一个字母表示出来，然后代入方程，通过化简得到关于另一个未知数的一次方程，求解这个一次方程，再代入原方程求得常数的值。

完整版)二元一次方程组题型总结二元一次方程组题型总结类型一：二元一次方程的概念及求解例（1）已知（a-2）x-by=5是关于x、y的二元一次方程，则a=2，b=-1.2）二元一次方程3x+2y=15的正整数解为(3,3)。

类型二：二元一次方程组的求解例（3）若|2a+3b-7|与（2a+5b-1）互为相反数，则a=1，b=2.4）2x-3y=4，x-y=5的解为(-1,-6)。

类型三：已知方程组的解，而求待定系数。

例（5）已知3mx-2y=1，4x+ny+7=2，x=-2，y=1是方程组的解，则m-n的值为-1.6）若满足方程组kx+(2k-1)y=6的x、y的值相等，则k=2.练：若方程组2x-y=3，2kx+(k+1)y=10的解互为相反数，则k的值为-3/2.类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。

例（7）已知abc/123=4/12，且a+b-c=1，则a=4，b=8，c=1.8）解方程组x+3y=2，3y+z=4，z+3x=6，得x=2，y=0，z=-2.练：若2a+5b+4c=10，3a+b-7c=-2，则a+b-c=0.由方程组x-2y+3z=2，2x-3y+4z=3可得，x∶y∶z是1∶2∶1.类型五：列方程组求待定字母系数是常用的解题方法。

例（9）若x=1，y=-2，y=-3都是关于x、y的方程|a|x+by=6的解，则a+b的值为-2.10）关于x，y的二元一次方程ax+b=y的两个解是(2,-1)和(1,1)，则这个二元一次方程是y=-x+3.练：如果方程组x=-1y=2ax+by=zbx-cy=1中的{x,y}是解，下列哪个式子成立？A。

a+4c=2B。

4a+c=2C。

a+4c+2=0D。

4a+c+2=0解析：由{x=-1,y=2}可知，代入方程组中得a+2b=zb-2c=1又因为{x,y}是解，所以代入方程组中得a+2b=0b-2c=0解得a=4c，代入选项可知只有选项C成立。

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题06 二元一次方程组【知识要点】考点知识一二元一次方程（组）有关概念二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

【注意】1）二元：含有两个未知数；2）一次：所含未知数的项的次数都是1。

例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。

2）方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。

二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．【注意】1）在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。

2）二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。

二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．【注意】1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如⎩⎨⎧2x ＋1＝0，x ＋2y ＝2也是二元一次方程组。

这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。

3） 方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。

4）二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。

二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

【注意】1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。

2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。

如：⎩⎨⎧x ＋y ＝5，4x ＋4y ＝20.有的方程组无解，如：⎩⎨⎧x ＋y ＝5，x ＋y ＝2.考点知识二 解二元一次方程组消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。

这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。

二元一次方程题型一、和差倍数问题知识梳理：和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。

典型例题：甲、乙两人分别以不变的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字。

问甲、乙两人每分钟各打多少个?解：设甲每分钟打x个字，乙每分钟打y个字。

根据题意可列方程组为2(x+y)=240①x-y=10①由①得x+y=120 ①，①+① 得2x=130，解得x=65，将x=65代入①得：y=55。

答：甲每分钟打65个字，乙每分钟打55个字。

思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。

典型例题：某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个，螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品正好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母?解：设分配x名工人生产螺钉，y名工人生产螺母。

由题意可列方程组为x+y=22①2x1200x=2000y①由①得6x=5y①，由① 得x=22-y，代入①得6(22-y)=5y，整理得11y=132，解得y=12，则x=22-12=10。

答：应该分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。

思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。

知识梳理：我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1；工作量＝工作效率×工作时间；总工作量=每个个体工作量之和；工作效率=工作量÷工作时间（即单位时间的工作量）；工作效率=1÷完成工作的总时间。

典型例题：现要整理一批文件，由1个人完成需要40个小时，计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起再做8小时，完成这项任务，假设这些人的工作效率都相同，则应先安排多少人工作?解：设总工作量为1，应先安排x人工作。

二元一次方程组【题库】类型一：二元一次方程的概念及求解1.已知（a －2）x －by|a |－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．2.若x 2m －3－2y n －2=5是二元一次方程，则m=______，n=_______．3.如果1032162312=--+--b a b a y x 是一个二元一次方程，那么数a =___， b =__。

4.若3x953++n m ＋4y724--n m ＝2是关于x 、y 的二元一次方程，则n m的值等于 。

5.如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的二元一次方程，则a ，b 满足什么条件？6.在方程(k 2-4)x 2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0中，若此方程为关于x 与y 的二元一次方程，则k=_____7. 二元一次方程x+y=5的正整数解有______________． 8.二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________．9.二元一次方程2x+y=5的正整数解有______________．10.在方程3x +4y =16中，当x =3时，y =________，当y =-2时，x =_______，若x 、y 都是正整数，那么这个方程的解为___________；11.在二元一次方程－12x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______． 12.方程组⎩⎨⎧==+b xy a y x 的一个解为⎩⎨⎧==32y x ，那么这个方程组的另一个解是 。

13.若x 3m －3－2y n －1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______． 14. 以57x y =⎧⎨=⎩为解的一个二元一次方程是_________． 15.方程组⎩⎨⎧=--=82352y x x y 消去y 后所得的方程是 ( )A.3x －4x+10=8B.3x －4x+5=8C.3x －4x －5=8D.3x －4x-10=816.用加减法将方程组⎩⎨⎧=-=-548938y x y x 中的未知数x 消去后得到的方程是（ ）A 、7y=4B 、y=4C 、-7y=14D 、- y=417.用加减法解方程组⎩⎨⎧=-=+823132y x y x 时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：①⎩⎨⎧=-=+846196y x y x ②⎩⎨⎧=-=+869164y x y x ③⎩⎨⎧=-=+1646396y x y x ④⎩⎨⎧=-=+2469264y x y x其中变形正确的是（ ）A.①② B.③④C.①③D.②④类型二：用x 表示y ，用y 表示x1.在x+3y=3中，若用x 表示y ，则y= ，用y 表示x ，则x=2.在方程3)(3)(2=--+x y y x 中，用含x 的代数式表示y __________3.已知ｘ＝３－ｋ，ｙ＝ｋ＋２，则ｙ与ｘ的关系是（ ）Ａ、ｘ＋ｙ＝５ Ｂ、ｘ＋ｙ＝１ Ｃ、ｘ－ｙ＝１ Ｄ、ｙ＝ｘ－１ 4.由==--y y x y x 得表示用,,06911_______，=x x y 得表示,_______。

二元一次方程组解决生活常见问题的题型及分类方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，生活中许多实际问题都可以转化为方程问题。

在初中数学中二元一次方程组有着广泛的应用，学生要学会从实际问题中找出等量关系，并建立二元一次方程组解决问题,进一步发展模型思想和应用意识。

初中阶段利用二元一次方程解决问题常见类型有：古代童趣问题、利息利润问题、数字问题、里程碑问题等。

如何利用二元一次方程组解决实际问题？下面对常见的几种题型进行分类讨论。

一、古代童趣问题今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔个几何？分析：由“上有三十五头，下有九十四足。

”可得等量关系：解：设笼中有鸡x只，兔y只，由题意得方程组：解得这个方程组得：所以笼中有鸡23只，兔12只。

“雉兔同笼”问题是古代童趣问题中，最经典也是最简单的有关二元一次方程组的应用问题，一般可直接从题目中找到两个等量关系，然后根据等量关系列出方程组求解即可。

二、利息利润问题越来越多的人在用微信付款、转账，把微信账户里得钱转到银行卡叫做提现。

自2016年3月1日起，每个微信账户终身享有1000元得免费提现额度。

当累计提现金额超出1000元时，超出部分需支付0.1%得手续费，以后每次提现支付手续费均为提现金额得0.1%小亮自2016年3月1日至今共提现三次，提现金额和手续费如下，那么小亮前两次提现金额分别是多少?分析：由第一次手续费为0，可知a<1000由第二次手续费为0.2，可知a+b>1000,则第二次需要收取手续费的部分为：a+b-1000那么第三次全部提现金额都需要收取手续费。

由此可得等量关：解：由题意得：解这个方程组得：所以小亮第一次提现金额为500，第二次提现金额为700。

本题对一般学生来说，在寻找等量关系时，有一定难度，一般在这类问题中我们会选择列表格来找等量关系，而这道题我们从表格所给信息中找到等量关系就容易多了。

在解决利润利息问题时涉及到的有关公式我们必须要熟知，利息问题常用的公式。

二元一次方程组的12种应用题型归纳类型一：行程问题【例1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时。

解得答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为3.6千米/时。

【例2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求这艘船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时。

解得答：这艘船在静水中的速度为17千米/时，水流速度为3千米/时。

类型二：工程问题【例】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元。

若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。

解：设甲公司每周的工作效率为x，乙公司每周的工作效率为y。

解得∴1÷=10(周) 1÷=15(周)∴甲公司单独完成这项工程需10周，乙公司单独完成这项工程需15周。

设甲公司每周的工钱为a万元，乙公司每周的工钱为b万元。

解得此时10a=6(万元) 15b=4(万元) 6>4答：从节约开支的角度考虑，小明家应选择乙公司。

类型三：商品销售利润问题【例1】李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年种植甲、乙蔬菜各多少亩？解：设李大叔去年种植甲蔬菜x亩，乙蔬菜y亩。

解得答：李大叔去年种植甲蔬菜x亩，乙蔬菜y亩。

【例2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表，求该商场购进A、B两种商品各多少件。

A B进价(元/件) 1200 1000售价(元/件) 1380 1200注：获利= 售价-进价解：设该商场购进A商品x件，B商品y件。