计算机数学基础(2)作业1

第二节 关系一、题型分析第二节主要介绍关系的概念及运算、关系的性质与闭包运算、等价关系和偏序关系三个重要关系。

常涉及到的题型主要包括：（一）关系的概念理解以及关系的并、交、补、差以及复合和逆关系等运算（二）关系自反和反自反、对称和反对称等性质的概念理解与判定；自反、对称和传递闭包运算。

（三）等价关系（四）偏序关系和哈斯图因此，在本章学习过程中要清楚地知道：1．有序对和笛卡尔积（1）有序对：所谓有序对就是指一个有顺序的数组，如 < x , y >，x , y 的位置是确定的，且< a , b >< b , a >。

（2）笛卡尔积：把集合A ，B 合成集合A ×B ，规定：{,|}A B x y x A y B ⨯=<>∈∈且由于有序对< x , y >中 x ，y 的位置是确定的，因此 A ×B 的记法也是确定的，不能写成 B ×A 。

笛卡儿积的运算一般不满足交换律。

2．二元关系的概念和表示、几种特殊的关系和关系的运算（1）二元关系的概念：二元关系是一个有序对集合，设集合 A ，B ，从集合 A 到 B 的二元关系}|,{B y A x y x R ∈∈><=且记作xRy 。

二元关系 R 是一个有序对组成的集合．因此，一个二元关系是一个集合，可以用集合形式表示；反过来说，一个集合未必是一个二元关系，仅当集合是由有序对元素组成的，才能当做二元关系。

常用关系的表示法包括了集合表示法、列举法、描述法、关系矩阵法和关系图法。

关系矩阵和关系图是有限集合上的二元关系的表示方法。

（2）特殊的关系：空关系、全关系和恒等关系 空关系（记作）：是任何关系的子集全关系（记作E A ）：A A A b a b a E A ⨯≡∈><=},|,{恒等全系（记作I A ）：}|,{A a a a I A ∈><=（3）关系的集合运算、复合运算和逆运算：关系的集合运算与普通集合运算基本相同，主要为并运算、交运算、补运算、差运算和对称差运算。

选择题1(5分)、下列关于计算机外部设备的说法哪一个是不正确的（）。

A、计算机外部设备的扩展成本极有可能远远超出主机价格B、现在火热的VR设备属于典型的显示输出设备C、计算机上有些软件必须结合相应的外部设备才能运行D、计算机外部设备同样要遵循相应的接口标准参考答案： B2(5分)、信息载体的人为指派这种行为以下说话哪一个是正确的（）。

A、在信息采集到人的大脑后，由人来指派信息的物质载体B、信息本体仍旧需要与信息载体发生直接的相互作用C、自动化的信息处理机器在处理信息的过程中不需要人为指派这种行为发生D、人为指派信息载体后，信息载体必须由人工改变状态参考答案： A3(5分)、21世纪往往被人们称之为（）时代。

A、农业时代B、工业时代C、机械时代D、信息时代参考答案： D4(5分)、下列有关于计算机器采用的进制方面的说法哪一个是不正确的（）。

A、采用较低基的进制需要的信息载体的状态越少B、二进制算盘比十进制算盘要复杂C、电子数字式计算机比如ENIAC采用的就有十进制D、采用非十进制工作方式的计算机器往往在输入输出端为了方便使用要进行进制转换参考答案： B5(5分)、下列关于总线的说法哪一个不正确（）。

A、总线一般不能够被控制B、总线的主要作用就是信息往来的通道C、总线一般都要遵循一定的标准来实现D、总线不仅仅就是整机机箱内，也能够延伸很长，与物理距离较远的设备通讯参考答案： A6(5分)、下列关于整机系统的说法哪一个不正确（）。

A、现代计算机器中，可以将弗洛伊曼型计算机的五大部件集中于一块芯片制造出来B、整机系统中必须带操作系统C、现代计算机中扩展的板卡如显卡、声卡、网卡等也可以当作一个小型专用的整机系统看待D、理解一个整机系统，从其五大部件去分析是一个很好的切入点参考答案： B7(5分)、下列关于计算机病毒的说法哪一个是不正确的（）。

A、计算机病毒如果没有计算机硬件缺陷这个条件的前提下，是不能够直接破坏硬件的B、计算机病毒能够破坏存储设备中的文件C、计算机病毒能够窃取计算机中的信息D、非联网的计算机不会感染病毒参考答案： D8(5分)、量子计算机采用的信息物理载体有可能是下列哪一种（）。

计算机数学基础（2）模拟试题（6）一、填空题:15 分，每题03 分1、,它的五位有效数字的近似值x=2、设取x=0.1667，则x 的准确位数是．3、用列主元消去法解线性方程组第1 次选主元a21=5 进行消元后，第2 次选主元.4、以勒让德多项式的零点为高斯点的高斯型求积公式称为求积公式．5、求积公式具有次代数精度二、单选题:15 分，每题03 分6、＝3.141592653…的五位有效数字，它的绝对误差限是的左起第五位的半个单位，即绝对误差限是( )．A 0.0005B 0.000005C 0.00005D 0.00000057、以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )ABCD8、设线性方程组X＝BX＋f，n 阶矩阵B 的特征根为，对任意初始向量X(0)及f，对应此方程组的迭代格式X(k+1)＝BX(k)＋f, k=1,2,…都收敛的充分必要条件是( )ABCD9、用迭代法解线性方程组,迭代解是收敛的，如果该线性方程组的迭代矩阵的特征根满足()．ABCD10、过n+1 个互异节点(x k,y k)，k=0,1,2,…,n 的拉格朗日n 次插值多项式,其中插值基函数l k(x)(k=0,1,2,…,n)满足的条件是( ).ABCD三、中型计算题:40 分，每题08 分11、用高斯顺序消去法解线性方程组参考答案：回代求解12、设数据对如下试用直线拟合这组数据．保留 4 位小数．参考答案：计算列表如下13、已知函数值f(1.1)=0.9091，f(1.3)=0.7692，(1) 求f(1.1)的近似值．保留4 位小数．(2) 若三点求导公式为(k=1,2,…,n－1) 用三点求导公式求f(1.2)的近似值．保留4 位小数参考答案：(1) 二点求导公式为h=0.2，(2) 因为求中间点的导数，用第二个公式，h=0.1，有14、用四阶龙格－库塔法求解初值问题取步长h=0.2，求y(x1)的近似值．已知四阶龙格－库塔法公式其中保留4 位小数．参考答案：h=0.2,x0=0，y0=1，15、用欧拉法解初值问题在〔0，1.5〕上的数值解，取h=0.5．保留4 位小数．(要求写出迭代公式)参考答案：欧拉法的公式为四、填空题(主观):10 分，每题02 分16、雅可比迭代法解线性方程组AX=b 的矩阵形式的迭代公式是X(k+1)= ．参考答案：+D－1b17、已知那么用线性插值求的近似值的计算公式为．(只要求写出公式，不写公式不得分)参考答案：18、已知数据(1,3.8),(2,7.2),(3,10)，用拟合曲线拟合这些点，计算得法方程组为．参考答案：19、已知当n=4 时，科茨系数为，等分区间[a,b],分点为a=x0<x1< x2< x3< x4=b,那么科茨求积公式是参考答案：20、用等距节点，步长为h，解初值问题的四阶龙格－－库塔法的计算公式用斜率1,2,3,4表示，为y k+1= (1+22+23+4)．(请将公式填写完整)参考答案：五、证明题:20 分，每题10 分21、证明解线性方程组AX=b 的雅可比迭代收敛，其中参考答案：证明：由该线性方程组的系数矩阵A 得其雅可比迭代矩阵为。

22秋学期（高起本1709-1803、全层次1809-2103）《大学计算机基础》在线作业二一、单选题共25题，50分1（）是显示器的最重要指标。

A对比度B分辨率C亮度D尺寸大小答案：B2、数据库中表的组成内容包括（）。

A查询和报表B字段和记录C报表和窗体D窗体和字段答案：B3、Excel中，对工作表使用“重命名”命令后，则下面说法正确的是( )。

A只改变工作表的名称B只改变它的内容C既改变名称又改变内容D既不改变名称又不改变内容答案：A4、将桌面作为一幅图片复制到剪贴板中的快捷键是（）。

A PrtSCB PrtSc+AltC Alt+TabD Ctrl+Tab答案：A5、用什么算法求解鸡兔同笼问题最合适（）。

A枚举法B递推法C递归法答案：A6、在对PowerPoint中进行自定义动画设置时，可以改变的是（）。

A幻灯片中某一对象的动画效果B幻灯片的背景C幻灯片切换的速度D幻灯片的页眉与页脚答案：A7、一个汉字的机内码与国标码之间的差别是（）。

A前者各字节的最高位二进制值各为1，而后者为0B前者各字节的最高位二进制值各为0，而后者为1C前者各字节的最高位二进制值各为1、0，而后者为0、1D前者各字节的最高位二进制值各为0、1，而后者为1、0答案：A8、Windows提供的用户界面是（）。

A交互式的问答界面B交互式的图形界面C交互式的字符界面D显示器界面答案：B9、将高级语言的源程序翻译成机器指令的翻译方式有两种，包括（）。

A编译和解释B翻译和解释C编译和连接D解释和连接答案：A10、-72的原码是（）。

A01001000B11001000C10110111答案：B11、在微机中I/O设备是指（）。

A控制设备B输入输出设备C输入设备D输出设备答案：B12、关于典型算法说法错误的是（）。

A迭代法是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题的过程B分治法的基本思想是把一个规模为n的问题划分为若干个规模较小、且与原问题相似的子问题，因此和递归问题相同C递归法是利用函数直接或间接地调用自身来完成某个计算过程D回溯法先选择某一种可能情况向前探索，当发现所选用的试探性操作不是最佳选择，需退回一步（回溯），重新选择继续进行试探，直到找到问题的解或证明问题无解答案：B13、Word中段落的对齐方式不包括（）。

习题一一、用适当内容填空1. 【机器】语言是计算机唯一能够识别并直接执行的语言。

2. 标准ASCⅡ字符集总共有【128】个编码。

3. 在计算机内用【2】个字节的二进制数码代表一个汉字。

4. 第一台电子计算机ENIAC诞生于【1946】年。

5. 对存储器而言有两种基本操作：【读操作】和【写操作】。

6. 【多媒体】技术是处理文字、声音、图形、图像和影像等的综合性技术。

7. 执行一条指令的时间称为机器周期，机器周期分为【取指令】周期和【执行指令】周期。

8. 用于传送存储器单元地址或输入/输出接口地址信息的总线称为【地址总线】。

9. 用计算机高级语言编写的程序，通常称为【源程序】。

10. 计算机软件系统由【系统软件】和【应用软件】两部分组成。

11. 八进制数整数（从右数）第三位的位权是【64】。

12. 二进制数10110转换为十进制数是【22】。

13. 一个指令规定了计算机能够执行一个基本操作，它的组成包括【操作码】和【地址码】。

14. 对于R进制数来说，其基数（能使用的数字符号个数）中最大数是【R-1】。

15. 3位二进制数可以表示【8】种状态。

16. 在计算机内部，数字和符号都用【二进制】代码表示。

17. 第三代电子计算机采用的电子器件是【中小规模集成电路】。

18. 按相应的顺序排列、使计算机能执行某种任务的指令集合是【程序】。

19. 操作系统是一种【系统】软件，它是【用户】和【计算机】的接口。

20. 计算机内存的存取速度比外存储器【快】。

21. 计算机硬件中最核心的部件是【CPU（中央处理器）】。

22. 计算机由【控制器】、【运算器】、【存储器】、【输入设备】和【输出设备】五部分组成，其中【控制器】和【运算器】组成CPU。

23. 计算机在工作时,内存储器用来存储【现行程序的指令和数据】。

24. KB、MB、GB都是存储容量的单位，1GB=【1024×1024】KB。

25. 计算机系统软件中的核心软件是【操作系统】。

计算机数学基础（第三版）习题参考答案第1-3章习题1.11．（1）D （2）A （3）A （4）D （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C 2．（1）]14,6[],3,2[-=-=f fR D ; （2）];1,0[],1,1[=-=f fR D（3）);,0[),,(+∞=+∞-∞=f fR D （4）);,0[),,(+∞=+∞-∞=f fR D（5）]1,1[),,(-=+∞-∞=f fR D3．（1）（2）不同；（3）（4）相同。

4．（1）];2,2[-=fD （2）),1()1,(+∞-∞= fD（3）RDf= （4）},,01|),{(R y R x y x y x Df∈∈>++= 5．（1）2010+-=h T （2）斜率10-=k （3）C ︒-5 6．（1）有界，]3,1[=fR ； （2）有界，]56,25.0[-=fR；（3）无界，),0(+∞=fR； （4）有界，)1,0(=fR。

7．（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）偶函数。

8．（1）周期函数，周期为π2；（2）不是周期函数；（3）周期函数，周期为π； 9．（1）1；（2）2。

10．（1）);,(,15))(()(23+∞-∞=-+=++g f R x xx g f);,(,1))(()(23+∞-∞=+-=--g f R x x x g f );,(,263))(()(2345+∞-∞=+-+=fg R x x x x x fg),33()33,33()33,(,132))(/()/(223+∞---∞=-+= g f R x x x x g f（2）]1,1[,11))(()(-=-++=++g f R x x x g f]1,1[,11))(()(-=--+=--g f R x x x g f]1,1[,1))(()(2-=-=fg R x x fg)1,1[,11))(/()/(-=-+=g f R xxx g f11．（1）),(,62118))(()(2+∞-∞=++=g f R x xx g f),(,236))(()(2+∞-∞=+-=f g R x x x f g),(,88))(()(234+∞-∞=+--=f f R x x x x x f f),(,89))(()(+∞-∞=+=g g R x x g g（2）),0()0,(,21))(()(3+∞-∞=+= g f R xxx g f),0()0,(,21))(()(3+∞-∞=+=f g R x xx f g),0()0,(,))(()(+∞-∞== f f R x x f f),(,410126))(()(3579+∞-∞=++++=g g R x x x x x x g g12．（1）9,)(5-==x u uu F （2）xu u u F ==,sin )(（3）1,ln )(2+==x u u u F （4）3,1)(+==x u u u F13．（1）xx x f2351)(1+-=-； （2）2)(11-=--x e x f； （3）xx x f -=-1log )(21；（4）⎩⎨⎧<≤--≤≤--=-.01,01,1)(1时当时当x x ；x x x f14．（1）由ue y =，x u arctan =复合而成； （2）由x v v u u y ln ,ln ,ln ===复合而成； （3）由x v v u u y sin ,,ln 3===复合而成。

《计算机数学基础(2)》辅导第9章 数值分析中的误差 (2002级(秋季)用) 中央电大 冯 泰 《计算机数学基础》是中央广播电视大学开放本科教育计算机科学与技术专业教学中重要的核心基础课程，它是学习专业理论不可少的数学工具. 通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法以及计算机上常用数值分析的构造思想和计算方法. 同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力.本学期讲授数值分析部分，包括数值分析中的误差、线性方程组的数值解法、函数插值和最小二乘拟合、数值积分与微分、方程求根和常微分方程的数值解法. 通过本课程的学习，使学生熟悉数值计算方法的基本原理，掌握常见数值计算的方法. 依据教学大纲，我们对本学期的教学内容，逐章进行辅导，供师生学习参考.第9章 数值分析中的误差一、重点内容绝对误差－设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差). 绝对误差限―绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界，即ε≤-=*x x e . 相对误差e r ―绝对误差e 与精确值x *的比值，***-==xx x xe e r .常用xe e r =计算.相对误差限r ε―相对误差e r 绝对值的一个上界，r r e ≥ε，常用xε计算.绝对误差限的估计式：)()()(2121x x x x εεε+=±)()()(122121x x x x x x εεε+≈22122121+=x x x x x x x )()()(εεε相对误差限的估计式：⎪⎪⎭⎫⎝⎛≠-±±≤±21212212121121)()()(x x x x x x x x x x x x x x r r r 时εεε112221)()()(x x x x x x r r r εεε+≤，221121)()()(x x x x x x r r r εεε+≤有效数字―如果近似值x 的绝对误差限ε是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字.关于有效数字的结论有： (1)设精确值x *的近似值x ，若mn a a a x 10.021⨯±=a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0，n l x x l m ≤≤110⨯50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字.(2)设近似值mn a a a x 10.021⨯±= 有l 位有效数字，则其相对误差限111021+-⨯≤l r a ε(3) 设近似值m n a a a x 10.021⨯±= 的相对误差限不大于1110)1(21+-⨯+l a则它至少有l 位有效数字.(4) 要求精确到10－k(k 为正整数)，则该数的近似值应保留k 位小数. 二、实例例1 设x *= π=3.1415926…，求x *的近似值及有效数字.解 若取x *的近似值x =3.14＝0.314×101, 即m =1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有31105.06592001.0-*⨯≤=- x x ，即l =3，故近似值x =3.14有3位有效数字．或x ＝3.14的绝对误差限0.005，它是x *的小数后第2位的半个单位，故近似值x =3.14准确到小数点后第2位，有3位有效数字． 若取近似值x =3.1416，绝对误差是0.0000074…，有5-1*10⨯50≤00000740=-.. x x ，即m =1,l ＝5，故近似值x =3.1416有5位有效数字．或x ＝3.1416的绝对误差限0.00005，它是x *的小数后第4位的半个单位，故近似值x =3.1416准确到小数点后第4位，亦即有4位有效数字．若取近似值x =3.1415，绝对误差是0.0000926…，有 0000926.0=-*x x 41105.0-⨯≤，即m =1,l ＝4，故近似值x =3.1415只有4位有效数字．或x ＝3.1415的绝对误差限0.0005，它是x *的小数后第3位的半个单位，故近似值x =3.1415准确到小数点后第3位．注意：这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字．若末位数不是四舍五入得到的，那末它就不一定有s 位有效数字，必须用其绝对误差限来确定．绝对误差限是哪一位的半个单位，也就是精确到该位，从而确定有效数字． 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00解 因为x 1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×101―5，即m =1,l =5,故x =2.000 4有5位有效数字. a 1=2，相对误差限025000.01021511=⨯⨯=-a r εx 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，l =3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr =3110221-⨯⨯=0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, l =4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝4110921-⨯＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，l =6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝6110921-⨯＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解 精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.693例4 数值x *＝2.197224577…的六位有效数字的近似值x =2.19722，而不是2.19723．注意：取一个数的近似数，若取5位有效数字，则只看该数第6位数，采取四舍五入的方法处理．与第7位，第8位的数值大小无关．本例取6位有效数字，左起第6个数是2，而第7个数是4，故应舍去，得到x=2.19722．本例第8个数，第9个数都是大于或等于5的数，再入上去，就得到x=2.19723，是不对的． 我们计算一下它们的误差． 取x=2.19722，e=x －x*=－0.000 004 577…，∣e ∣=∣x －x*∣=0.000 004 577…<0.000 005=0.5×101－6取x=2.19723，e=x －x*=0.000 005 423…，∣e ∣=∣x －x*∣=0.000 005 423…<0.000 05=0.5×101－5 即x=2.19723只有五位有效数字． 例5 设近似值x 1,x 2满足ε(x 1)=0.05，ε(x 2)=0.005，那么ε(x 1x 2)=？解 已知x 1,x 2的绝对误差限，求x 1x 2的绝对误差限．由绝对误差限的传播公式)()()(211221x x x x x x εεε+=＝1221005.005.0)(x x x x +=ε注：该传播公式也可以用于多个数的积， 213312321321)()()()(x x x x x x x x x x x x εεεε++=)(3)(),(2)(232x x x x x x εεεε==等．三、练习题1.下列各数中，绝对误差限为0.000 05的有效近似数是( B ) (A)－2.180 (B) 2.1200 (C) －123.000 (D) 2.120 2. 数8.000033的5位有效数字的近似值是多少？ 答案：8.000 03. 若误差限为0.5×10－5，那么近似数0.003400有( B )位有效数字. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 64. 若近似值x 的绝对误差限为ε＝0.5×10－2，那么以下有4位有效数字的x 值是( B ).(A) 0.934 4 (B) 9.344 (C) 93.44 (D)934.4 5. 已知准确值x *与其有t 位有效数字的近似值x ＝0.0a 1a 2…a n ×10s (a 1≠0)的绝对误差∣x *－x ∣≤( A )． (A) 0.5×10 s －1－t (B) 0.5×10 s －t (C) 0.5×10s ＋1－t (D) 0.5×10 s ＋t6. 已知x *1=x 1±0.5×10－3，x *2=x 2±0.5×10－2，那么近似值x 1，x 2之差的误差限是多少？答案：0.55×10－2． 7. 设近似值x =－9.73421的相对误差限是0.0005，则x 至少有几位有效数字． 答案：38. 用四舍五入的方法得到近似值x =0.0514，那么x 的绝对误差限和相对误差限各是几？ 答案：0.000 05，0.0019. 设近似值x 1,x 2满足ε(x 1)=0.05，ε(x 2)=0.005，那么ε(x 1+x 2)=？ 答案：0.05510. 设近似值x =±0.a 1a 2…a n ×10m ，具有l 位有效数字，则其相对误差限为( B )．(A) 1110121+-⨯+l a (B)1110)1(21+-⨯+l a(C)111021+-⨯l a (D) la -⨯1021111. 测量长度为x =10m 的正方形，若ε(x )＝0.05m ，则该正方形的面积S 的绝对误差限是多少？答案：1(m)12.数值x*＝2.197224577…的六位有效数字的近似值x=( B ).(A) 2.19723 (B) 2.19722 (C) 2.19720 (D) 2.19722513. 将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差. (1) 2.1514 (2) －392.85 (3) 0.00392214. 已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：(1) 13267 e r=0.1% (2) 0.896 e r=10%四、练习题答案1. B2. 8.000 03. B4. B .5. A6. 0.55×10－2．7. 38. 0.000 05，0.0019. 0.05510. B11. 1(m)12. B13. (1)2.15, e=－0.001 4, e r=－0.000 65；(2) －393 , e=－0.15, e r=－0.00038；(3)0.00392, e=－0.000 002, e r=0.0005114. (1) e=0.13×102 (2) 0.9×10－1。

一．课后习题参考答案1．（P30,第1题）求下列极限：（1）2223lim 321x x x x x →∞++++； （2）x x x x x x ++++∞→23221lim ； （3）()143lim 22++→x x x ； （4）11lim 21+++→x x x x ； （5）2x →； （6）39lim 23--→x x x ；（（7）20x →； （8）201lim sin .x x x →解：（1）22221123232lim lim 32131132x x x x x x x x x x →∞→∞⎛⎫++ ⎪++⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭； （2）x x x x x x ++++∞→23221lim .01011.21111lim 232==⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→x x x x x x ； （3）().2112423143lim 222=+⨯+⨯=++→x x x ；（4）.3211lim21=+++→x x x x ； （5）20x →==； （6）39lim 23--→x x x ()()333lim3-+-=→x x x x ().63lim 3=+=→x x ；（7）221x x x →→=((221lim lim 12x x x x→→+==-+=--；（8）因为20lim 0,x x →= 且1sin1x ≤ ，所以201lim sin 0.x x x→=2．（P30,第2题）求下列极限：（1）()0tan 3lim x x x →；（2）()lim 2sin 02nn n x x →∞≠；（3）()10lim 12x x x →+；（4）2lim 1.xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭解：（1）()()00tan 3sin 31lim3lim .31133cos3x x x x x x x→→==⨯⨯=；（2）sin2lim 2sin lim.22n n n n n nxx x x x→∞→∞==； （3）()()211220lim 12lim 12xx x x x x e →→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦； （4）22222lim 1lim 1.xxx x e x x ---→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3．（P38,第1题）设()33522---=x x x x f ，求极限()x f x 3lim →，指出()x f 的间断点，能否补充定义使之连续.解：()3352lim lim 233---=→→x x x x f x x ()()3123lim3-+-=→x x x x ().712lim 3=+=→x x函数()x f 在3=x 处无定义，但在3=x 附近有定义，故3=x 就是()x f 的间断点. 若补充()73=f ，则能使()x f 在3=x 处连续.4．（P39,第2题）求下列函数的间断点，并指出间断点的类型. （1）()221+x ；（2）23122+--x x x ；（3）2sin x x；（4）⎩⎨⎧>-≤-=;1,3,1,1x x x x y ；（5）⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=.0,12,0,0,0,12x x x x x y解：（1）函数()221+x 在2-=x 处无定义，但在2-=x 的附近有定义，故2-=x 为()221+x 的间断点。

计算机数学基础（2）期末复习指导Ⅰ、计算机数学基础(2)考核说明数值分析部分1．《计算机数学基础》是开放教育本科计算机科学与技术专业学生必修的一门专业基础课程，是学习专业理论必不可少的数学工具。

通过本课程数值分析部分内容的学习，使学生掌握数值分析的基本概念和基本方法，进一步提高使用计算机进行科学和工程计算的能力。

课程的结业考核，考核合格水准应达到高等学校该专业本科教育的要求。

本考核说明是以本课程的教学大纲和指定的参考教材任现淼主编、吴裕树副主编的《计算机数学基础(下册)一数值分析与组合数学}(中央广播电视大学出版社出版)为依据制定的。

2．考核对象开放教育试点计算机科学与技术专业(试卷代号：4012)学生。

3．考核要求分三个层次，有关概念、性质和定理等理论方面的要求从高到低为理解。

了解和知道：有关方法、公式和法则等的要求从高到低为熟练掌握，掌握和会。

4．本课程的结业考核实行形成性考核和期末结业性考试。

形成性考核占结业考核成绩的20％，即形成性考核的成绩满分为20分；期末结业性考试成绩占结业考核成绩的80％，即期末考核成绩满分80分。

结业考核成绩满分100分，60分为合格。

5．试题题型一、单项选择题（15分左右）、二、填空题（15分左右）、三、计算题(每小题15分，共60分)、四、证明题(本题10分)。

Ⅱ、考核内容与考核要求第9章数值分析中的误差考核知识点1．误差的来源与基本概念2．数值计算中的若干准则考核要求1．了解误差分析的基本意义及其重要性。

2．知道产生误差的主要来源。

3．了解误差的基本概念：绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限、有效数学等。

4．了解数值计算中应注意的几条原则。

第10章线性方程组的数值解法考核知识点1．高斯消去法2．迭代法考核要求1．了解线性方程组高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。

2．掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯——赛德尔迭代法。

3．知道线性方程组迭代解的收敛概念和上述两种迭代法的收敛性。

计算机数学基础》课后习题解答(一)(总59页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题 单项选择题（1） 函数 ()29x x f -=的定义域是（D ） A. {}3|±≤x x B. ()[)+∞-∞-,33, C. {}33|<<-x x D. {}33|≤≤-x x （2） 函数 ()43lg 2-+=x x y 的定义域是（A ） A. {}{}1|4|>-<x x x x B. {}14|<<-x x C. {}{}4|1|>-<x x x x D. {}41|<<-x x （3）.下列各组函数中表示同一个函数的是（A ）. A. x y =与2x y = B. x y =与2x y =C. x y =与xx y 2= D. x y =与x a a y log =（4）.下列函数中值域为R 的是（D ）. A. 132+-=x x y ； B. 21x y =； C. x y -=5； D. x y 21log =.（5）.下列函数中在区间()1,0上是增函数的是（D ）. A. 23-=xy ； B. x y 32log =；C. xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=32； D. xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=23.（6）.下列函数是偶函数的为（C ）.A. x y 2=；B. x y 2log =；C. 1=y ；D. x x y sin cos +=.（7）.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=43sin πx y 的最小正周期是（C ）.A. π2；B.3π； C. 32π； D. 23π.（8）.下列函数在定义域中既是奇函数又是单调增函数的是（D ）. A. x y tan =； B. x y 3=； C. x y 3log =； D. 31x y =. （9）.函数x y 8=的反函数是（C ）.A. )0(log 32>=x x y ；B. x y -=8；C. )0(log 312>=x x y ； D. )0(8>-=x y x .2.求下列函数的定义域和值域.（1） ()32,46≤≤--=x x x f ； （2） ()21x x f -=； （3） ()x x x f +=； （4） ()12-=x x f ；（5） ()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin x x xx f ； 解：（1）定义域为[]3,2-；值域为[]14,6-； （2）定义域为[]1,1-；值域为[]1,0； （3）定义域为()+∞∞-,；值域为[)+∞,0； （4）定义域为()+∞∞-,；值域为[)+∞,0； （5）定义域为()+∞∞-,；值域为[]1,1-. 3.下列各题中的函数f 和g 是否相同为什么 （1）()2ln x x f =，()x x g ln 2=；解：()x f 定义域为()()+∞∞-,00, ，而()x g 定义域为()+∞,0，故f 和g 不相同.（2）()12++=x x x f ，()113--=x x x g ；解：()x f 定义域为()+∞∞-,，而()x g 定义域为()()+∞∞-,11, ，故f 和g 不相同.（3）()2x x f =，()2t t g =；解：()x f ，()x g 定义域均为()+∞∞-,，且对应法则相同，故f 和g 相同. （4）()x x f =，()33x x g =；解：()x f ，()x g 定义域均为()+∞∞-,，且对应法则相同，故f 和g 相同. 4.求下列函数的定义域（1） ()24x x f -=； （2） ()112--=x x x f ；（3） ()⎩⎨⎧>+≤=.0,1,0,x x x x x f ； （4） ()).1ln(,-+=y x y x f ；解：（1）的定义域为[]2,2-； （2）的定义域为()()+∞∞-,11, ； （3）的定义域为()+∞∞-,； （4）的定义域为(){}.01|,>-+y x y x5.干燥空气上升时体积膨胀变冷，若地面温度是C 020，高km 1处的温度是C 010.（1）假定温度T （单位：C 0）是高度h （单位：km 1）的线性函数，试写出这个函数；（2）画出此函数的草图； （3）求处在高度为km 5.2处的温度. 解：（1）假设.b ah T +=由题意知 ()().101,200==T T 即.10,20-==a b 所以 .2010+-=h T（2）草图略（3）高度为km 5.2处的温度为()().5205.2105.20C T -=+⨯-= 6.试确定下列函数在指定区间上是有界函数还是无界函数？ （1）()[]π100,0,2sin ∈+-=x x x f ；解：因为当[]π100,0∈x 时，1sin 1≤≤-x ，故()31≤≤x f ，因此()x f 为有界函数.（2）()(]8,2,2∈-=x x x x f ；解： ()(]8,2,22∈+-=x x x x f 为单调增加函数，故当(]8,2∈x 时，()()()82f x f f ≤≤，即 ().562≤≤x f 因此()x f 为有界函数. （3）()()+∞∈=,0,1x xx f ；解：因为()x f 没有上界，故()x f 为无界函数.（4）().8,0),2tan(⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πx x x f解：因为()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=8,0),2tan(πx x x f 为单调增加函数，故当⎪⎭⎫⎝⎛∈8,0πx 时，()()⎪⎭⎫⎝⎛<<80πf x f f ，即 ().10<<x f 因此()x f 为有界函数.7.试判断下列函数的奇偶性（1）()x x x f +=2； （2）()x x x f -=3；（3）()()221x x x f -=； （4）()2xx e e x f -+=.解：（1）为非奇非偶函数；（2）为奇函数；（3）为偶函数；（4）为偶函数. 8.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出它的周期（最小正周期）. （1）())2cos(-=x x f ； （2）()x x x f cos =；（3）().sin 2x x f =解：（1）为周期函数，且周期为π2； （2）非周期函数（可用反证法证明）； （3）()22cos 1sin 2xx x f -==，故为周期函数，且周期为π. 9.已知函数()()x g x f ,分别由下表给出：（1）求()[]1g f 的值；（2）求满足()[][])(x f g x g f >的x 的值. 解：（1）()[]1)3(1==f g f ；（2）因为()[]1)3(1==f g f ；()[]3)2(2==f g f ；()[]1)1(3==f g f ； 而 ()[]3)1(1==g f g ；()[]1)3(2==g f g ；()[]3)1(3==g f g . 故满足()[][])(x f g x g f >的x 的只能是.2=x 10.求 g f ±、g f .和g f ，并求其定义域. （1）()232x x x f +=，()132-=x x g ； 解：1523-+=+x x g f ；123+-=-x x g f ；()()234522326313.2.x x x x x x x g f --+=-+=；.132223-+=x x x g f （2）()x x f +=1，()x x g -=1.解：x x g f -++=+11；x x g f --+=-11；211.1.x x x g f -=-+=；.11xx g f -+=11.求g f 、f g 和g g ，并求其定义域. （1）()x x x f -=22，()23+=x x g ； （2）()xx f 1=，()x x x g 23+=. 解：（1）()()x g f =()[]()()()62118232322322++=+-+=+=x x x x x f x g f ，定义域是 ()+∞∞-,；()()x f g =()[]()()2312122232234222++-=+-=-=x x x x x x x g x f g ，定义域是()+∞∞-,；()()x g g =()[]()()89223323+=++=+=x x x g x g g ，定义域是()+∞∞-,.（2）()()x g f =()[]()xx x x f x g f 21233+=+=，定义域是()()+∞∞-,00, ； ()()x f g =()[]⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x g x f g 12113，定义域是()()+∞∞-,00, ；()()()[]()x x g x g g x g g 23+== ()()x x x x x x x x x 410662223479333++++=+++=，定义域是()+∞∞-,.12.把下列函数分解成g f 的形式（1）()()59-=x x F ； （2）()x x F sin =；（3）()()1ln 2+=x x F ； （4）().31+=x x F 解：（1）9,5-==x u u F ； （2）x u u F ==,sin ；（3）1,ln 2+==x u u F ； （4）.3,1+==x u uF 13.求下列函数的反函数 （1）()xxx f 2531-+=； （2）()()2ln 1++=x x f ； （3）()122+=x x x f ； （4）()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤≤-=.01,,10,122x x x x x f解：（1）由x x y 2531-+=解得yy x 2315+-=，互换x 和y 得 .2315xx y +-=此即所求之反函数. （2）由()2ln 1++=x y 解得21-=-y e x ，互换x 和y 得 21-=-x e y 此即所求之反函数.（3）由122+=x x y 解得y y x -=12，即y yx -=1log 2，互换x 和y 得xxy -=1log 2，此即所求之反函数. （4）当10≤≤x 时，由12-=x y 解得01,1≤≤-+=y y x ； 当01<≤-x 时，由2x y =解得.10,≤<-=y y x ； 故⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=.10,,01,1y y y y x互换x 和y 得⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=.10,,01,1x x x x y此即所求之反函数.14.下列函数是由哪些基本初等函数复合而成？ （1）x e y arctan =； （2）x y ln ln ln =； （3）x y 3sin ln =.解：（1）x u e y u arctan ,==； （2）x v v u u y ln ,ln ,ln ===；（3）x v v u u y sin ,,ln 3===.15.设 ()⎩⎨⎧≥<=.0,,0,2x x x x x f ()⎩⎨⎧≥-<=.0,3,0,5x x x x x g 求()[][])(,x f g x g f . 解：（1）当0<x 时，05<x ， ()[]()()x x x f x g f 105.25===； 当0≥x 时，03≤-x ，()[]()()x x x f x g f 63.23-=-=-=.故 ()[]⎩⎨⎧≥-<=.0,6,0,10x x x x x g f （2）当0<x 时，02<x ， ()[]()()x x x g x f g 102.52===； 当0≥x 时，()[]()x x g x f g 3-==.故 ()[]⎩⎨⎧≥-<=.0,3,0,10x x x x x f g 习题 单项选择题1.写出下列数列的通项并在数轴上通过观察判断下列数列是否收敛若收敛，极限是多少（1）, (11)9,97,75,53,31---解：(),...)2,1(1212.1=+--=n n n x n n ，无极限. （2） (6)7,51,45,31,23,1解：,...)2,1(2)1(11=-++=n n x nn ,无极限. （3）, (6)1,0,41,0,21,0解：,...)2,1()1(1=-+=n nx nn 收敛，且极限为0. 2.单项选择题（1）⎪⎩⎪⎨⎧=-,,10,17为偶数当为奇数，当n n n x n 则（D ）A. 0lim =∞→n n x ； B. 710lim -∞→=n n x ；C. ⎩⎨⎧=-∞→.,10,0lim 7为偶数为奇数，n n x nn D. n n x ∞→lim 不存在. （2）下列数列中收敛的是（B ） A. ()n n x nn 11--= ； B. 1+=n nx n ； C. 2sinπn x n = ； D. ().1n n n x --= （3）()x f 在0x x =处有定义是()x f x x 0lim →存在的（D ）A. 充分条件但非必要条件；B.必要条件但非充分条件；C. 充分必要条件 ；D.既不是充分条件也不是必要条件. （4）()=-→x f x x 0lim ()x f x x +→0lim 是()x f x x 0lim →存在的（C ）A. 充分条件但非必要条件；B.必要条件但非充分条件；C. 充分必要条件；D.既不是充分条件也不是必要条件. 3.填空题 （1）=+∞→211limx x 0 ； （2）()=-→53lim 2x x 1 ；（3）=→x x cos lim 01 ； （4）=-∞→x x e lim 0 . 4.判定极限xx x 0lim→的存在性.解：因为 ()x xf x -→=-0lim 001lim 0-=-=→x x x ；()xx f x +→=+0lim 001lim 0==→x xx ； ()≠-00f ()00+f ，所以xx x 0lim→不存在.5.设().,1,21,13⎩⎨⎧<>-=x x x x x f ，求（1）()x f x 1lim →；（2）()x f x 2lim →；（3）()x f x 0lim →.解：（1）()22lim 011==--→x f x ；()()213lim 011=-=++→x f x ，因为()=-01f ()201=+f ，所以()2lim 1=→x f x .（2）()x f x 2lim →()513lim 2=-=→x x .（3）()x f x 0lim →.02lim 0==→x x6.设函数().353xx x x x f -+=求（1）()x f x +∞→lim ；（2）()x f x -∞→lim ；（3）()x f x +→0lim ；（4）()x f x -→0lim .解：（1）()x f x +∞→lim 2353lim=-+=+∞→xx xx x ；（2）()x f x -∞→lim ()41353lim=---=-∞→x x x x x ；（3）()x f x +→0lim 2353lim 0=-+=+→xx xx x ；（4）()x f x -→0lim .41)(353lim 0=---=-→x x x x x7.设().,3,133,⎩⎨⎧≥-<=x x x x x f ，试画出()x f 的图形并求单侧极限()x f x -→3lim 和()x f x +→3lim . 解：图略.()x f x -→3lim 3lim 3==-→x x ；()x f x +→3lim ().813lim 3=-=+→x x 习题1.是非判断题（1）零是无穷小（√）； （2）x1是无穷小（×）； （3）在同一自变量的变化过程中，两个无穷小之和仍为无穷小（√）；（4）在同一自变量的变化过程中，两个无穷小之积仍为无穷小（√）； （5）无界变量必为无穷大量（×）. 2.单项选择题（1）若x 是无穷小，下面说法错误的是（C ） A. 2x 是无穷小 ； B. x 2是无穷小 ； C. 0001.0-x 是无穷小 ； D. x -是无穷小 . （2）下面命题中正确的是（D ）A. 无穷大是一个非常大的数 ；B. 有限个无穷大的和仍为无穷大 ；C. 无界变量必为无穷大；D.无穷大是无界变量. （3）下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的一组是（ ） （4）当0→x 时，下列变量中是无穷大量的是（C ） A. x 2 ； B. x -2 ； C. x cot ； D. x tan . 3.当0→x 时，下列变量中哪些是无穷小量？.cos ,2,sin ,3,01.0,2,,10022x x xx x x x x x x解：x xx x x sin ,3,01.0,1002是无穷小量. 4.试证当∞→x 试，x 21=β与x1=α是同阶无穷小. 解：因为0212lim lim ≠==∞→∞→x x x x αβ，故当∞→x 试，x 21=β与x1=α是同阶无穷小.习题1.是非判断题 （1）0lim ...2lim 1lim ...321lim2222=+++=++++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n （×）； 解：().2111lim 21121lim ...321lim 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++++∞→∞→∞→n n n n n n n n n （2）01sin lim .lim 1sinlim 000==→→→xx x x x x x 是无穷小（×）；解：01sin lim 0=→x x x （无穷小乘以有界量仍为无穷小）. （3）1sin lim=∞→x xx （×）； 解：=∞→xx x sin lim0sin .1lim =∞→x x x （无穷小乘以有界量仍为无穷小）. （4）111lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n （×）；解：.11lim e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→（5）().1lim 10∞=+→x x x （×）解：().1lim 10e x xx =+→2.单项选择题（1）下列极限中，极限值不为0的是（D ） A. x x x arctan lim∞→ ； B. xxx x cos 3sin 2lim +∞→；C. x x x 1sin lim 20→ ； D. 2420lim xx x x +→ （2）若()()1122--=x x x f ，()11+-=x x x f ，则（C ） A. ()()x g x f = ； B. ()()x g x f x =→1lim ； C. ()()x g x f x x 11lim lim →→= ； D. 以上等式都不成立.（3）100011lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+n n n 的值是（A ）A. e ；B. 1000e ；C. 1000.e e ；D. 其它值.解：100011lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+n n n .11lim n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→.111lim 1000e e n n =⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→（4）=→xxx sin tan limπ（B ） A. 1 ； B. 1-； C. 0 ； D. ∞ 解：=→x x x sin tan limπ()()=---→x x x πππsin tan lim .1lim-=---→x x x πππ （5）=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x sin 11sin lim 0（A ）A. 1- ；B. 1；C. 0 ；D. 不存在解：=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x sin 11sin lim 0x x x 1sin lim 0→.110sin lim0-=-=-→x x x （6）下列函数中，当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小的是（ ） A. x sin ； B. 2x x +； C. x ； D. x cos 1-解：因为=-→20cos 1lim x xx 021lim 20=→x xx ，故当0→x 时，x cos 1-与x 相比是高阶无穷小.（7）当0→x 时，下列变量中与x 等价的无穷小量是（C ） A.xx sin ； B. x sin 2； C. )1ln(x + ； D. )1ln(2x +解：因为()11ln lim0=+→xx x ，故当0→x 时，)1ln(x +与x 是等价无穷小.（8）当1→x 时，下列变量中不是无穷小量的应该是（C ）A. 12-x ；B. ()12+-x x ；C. 1232--x x ；D. 1242+-x x 解：因为()3124lim 21=+-→x x x ，故当1→x 时，1242+-x x 不是无穷小量.3.计算下列极限：（1）35lim 22-+→x x x ；解： 9325235lim222-=-+=-+→x x x . （2） x x x 21lim 0+→ ；解；x x x 21lim 0+→()=+=→xx x 121lim ().21lim 22210e x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→ （3）112lim 221-+-→x x x x ； 解：112lim 221-+-→x x x x ()()()111lim21+--=→x x x x .011lim 1=+-=→x x x （4）121lim 22---∞→x x x x ；解：121lim 22---∞→x x x x .2111211lim 22=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x （5）13lim 2420+-+→x x xx x ；解：.01013lim 2420==+-+→x x x x x （6）4586lim 224+-+-→x x x x x ；解：4586lim 224+-+-→x x x x x ()()()()4142lim 4----=→x x x x x .3212lim 4=--=→x x x （7）⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x ； 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++=→33211311lim x xx x x 32112lim x x x x --+=→()()()()211121limx x x x x x ++-+-=→.112lim 21-=+++-=→x x x x（8）()11lim 22--+∞→x x x .解：()11lim 22--+∞→x x x .0112lim22=-++=∞→x x x4.计算下列极限：（1）xxx 20sin lim → ；解：x x x 20sin lim→x x x 20lim →=.0lim 0==→x x （2）x xx 3tan lim0→；解：xx x 3tan lim0→.33lim 0==→x xx （3）xx xx sin 2cos 1lim 0-→；解：x x xx sin 2cos 1lim 0-→().2.221lim 20==→xx x x（4）xx x 1sin lim 20→；解：因为20lim 0,x x →= 且1sin1x≤ ，所以201lim sin 0.x x x →=（5）()xx x 121lim +→；解：()=+→xx x 1021lim ().21lim 22210e x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→ （6）()xx x 101lim -→；解：()xx x 101lim -→()[].1lim 1110---→=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=e x x x （7）xx x x 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→；解：xx x x 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→.11lim 22e x x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→ （8）xx x 3211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→.解：xx x 3211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→=.111lim 0322==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---∞→e x xx x5.已知22lim 222=--++→x x bax x x ①，求常数a 和.b 解：因为()02lim 22=--→x x x ，故()b a b ax x x ++=++=→24lim 022即 42--=a b ② 将②代入①得()242lim2222----++=→x x a ax x x ()()()()1222lim 2+-++-=→x x a x x x 3412lim2ax a x x +=+++=→ ③ 由③解得 .2=a 代入②得 .8-=b6.已知111lim 23=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ①，求求常数a 和.b 解：由于.01lim=∞→xx 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=∞→b ax x x x x 11.1lim 023a x b a x x x x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=∞→11.1lim 33 ② 由②立得 .1=a 代入①，则有=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∞→x x x b x 11lim 23.011lim 2=+-∞→x xx 补充练习题：1.计算下列极限（1）2223lim 321x x x x x →∞++++；（2）2x →3）20x →解：（1）22221123232lim lim 32131132x x x x x x x x x x →∞→∞⎛⎫++ ⎪++⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭； （2）0x →==； （3）221x x x→→=((221limlim 12x x x x→→==-+=--；2.求下列极限：（1）()0tan 3lim x x x→；（2）()lim 2sin 02nn n x x →∞≠；（3）()10lim 12x x x →+；（4）2lim 1.xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解：（1）()()00tan 3sin 31lim3lim .31133cos3x x x x x x x→→==⨯⨯=；（2）sin2lim 2sin lim .22n n n n n nxx x x x →∞→∞==；（3）()()211220lim 12lim 12xx x x x x e →→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦； （4）22222lim 1lim 1.xxx x e x x ---→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦习题1.是非判断题（1）()x f 、()x g 在0x x =连续，()()()()x g x g x f x f 322-+在0x x =也连续.（√）； （2）()xe xx x f sin =在()+∞∞-,连续.（√）； （3）()x f 在其定义域()b a ,内一点0x 处连续的充要条件是()x f 在0x 处既左连续又右连续（√）；（4）()x f 在0x 有定义，且()x f x x 0lim →存在，则()x f 在0x 处连续（×）；（5）()x f 在其定义域()b a ,内一点0x 处连续，则()x f x x 0lim →⎪⎭⎫ ⎝⎛=→0lim x x x f .（√）； （6）()x f 在0x 处无定义，则()x f 在0x 处不连续（√）；（7）()x f 在()b a ,内连续，则()x f 在()b a ,内一定有最大值和最小值.（×）； （8）()x f 在()b a ,上连续且单调，()()0.<b f a f ，则()x f 在()b a ,内有且仅有一个零点. （√）；（9）()x f 在()b a ,上连续，则在()b a ,上有界.（×）； （10）因为014tan >=π，0143tan<-=π，所以x tan 在⎪⎭⎫⎝⎛43,4ππ内必有零点（×）. 2.单项选择题（1）()x f 在0x 处有定义是()x f 在0x 处连续的（A ）A. 必要条件而非充分条件；B.充分条件而非必要条件；C. 充分必要条件 ；D.无关条件.（2）()()00lim x f x f x x =→是()x f 在0x x =处连续的（C ）A. 必要条件而非充分条件；B.充分条件而非必要条件；C. 充分必要条件 ；D.无关条件.（3）0=x 是()xx x f 1sin.sin =的（A ） A. 可去间断点； B. 跳跃间断点；； C. 可振荡间断点； ； D. 无穷间断点；（4）函数()x f 在[]b a ,上有最大值和最小值是()x f 在[]b a ,上连续的（A ） A. 必要条件而非充分条件； B.充分条件而非必要条件； C. 充分必要条件 ； D.既非充分条件又非必要条件.（5）()x f 在[]b a ,上连续，()()0.<b f a f ，b x x x x x x a <<<<<<<654321，且()()()1631===x f x f x f ，()()042==x f x f ，()15-=x f ，则应判断()x f 在()b a ,内零点个数不小于（D ）A. 3； ； C. 5 ； D. 6. （6）下列命题错误的是（C ）A. ()x f 在[]b a ,上连续，则存在[]b a x x ,,21∈，使()()()21x f x f x f ≤≤；B.()x f 在[]b a ,上连续，则存在常数M ，使得对任意[]b a x ,∈，都有()M x f ≤；C. ()x f 在[]b a ,内连续，则在()b a ,内定没有最大值；D. ()x f 在[]b a ,内连续，则在()b a ,内可能既没有最大值也没有最小值. 3，求下列函数的间断点，并指出间断点的类型： （1） ()221+=x y ； （2） 23122+--=x x x y ；（3） 2sin x xy =； （4） ⎩⎨⎧>-≤-=.1,3,1,1x x x x y ；（5） ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=.0,12,0,0,0,12x x x x x y 解：（1）()221+=x y 在点2-=x 处无定义，从而2-=x 是其间断点.又因为()∞=+-→2221limx x ，所以，2-=x 是第二类无穷型间断点.（2）23122+--=x x x y 在点11=x 及22=x 处无定义，从而点11=x 及22=x 均为其间断点.因为=+--→231lim 221x x x x ()()()()=--+-→2111lim 1x x x x x 221lim 1-=-+→x x x ，故11=x 是第一类的可去间断点；又因为=+--→231lim 222x x x x ∞，故22=x 是第二类无穷型间断点. （3）2sin x xy =在点0=x 处无定义，从而0=x 是其间断点.又因为 =→20sin lim x x x =→20lim x x x ∞=→xx 1lim 0，所以，0=x 是第二类无穷型间断点. （4）()()==--→x f f x 1lim 01()01lim 1=--→x x ；()()==++→x f f x 1lim 01()23lim 1=-+→x x . 因为()≠-01f ()01+f ，所以故1=x 是第一类的跳跃间断点.（5）()()==--→x f f x 0lim 00()112lim 0=+-→x x ；()()==++→x f f x 0lim 00()112lim 1-=-+→x x . 因为()≠-00f ()00+f ，所以故0=x 是第一类的跳跃间断点. 4.研究下列函数的连续性，并画出图象.（1）()⎩⎨⎧≤<-≤≤=.21,2,10,2x x x x x f （2）()⎩⎨⎧><≤≤-=.11,1,11,x x x x x f 或解：（1）因为当[)1,0∈x 时，()2x x f =是初等函数，且[)1,0是其定义区间，故由基本结论知，()x f 在[)1,0上连续；同理，()x f 在(]2,1上也连续.又()()==--→x f f x 1lim 011lim 21=-→x x ；()()==++→x f f x 1lim 01()12lim 1=-+→x x ，且()11=f .故()=-01f ()()101f f =+，所以()x f 在1=x 处连续.综上分析知，()x f 在[]2,0上连续.（2）因为x 是初等函数，且[)1,1-是其定义区间，故由基本结论知，当[)1,1-∈x 时，()x x f =在[)1,1-上连续；同理，()x f 在()1,-∞-及(),,1+∞上也连续.又()()==----→x f f x 1lim 0111lim 1=--→x ；()()==+-+-→x f f x 1lim 011lim 1-=+-→x x ，因为()≠--01f ()01+-f ，故1-=x 是第一类的跳跃间断点.又()()==--→x f f x 1lim 011lim 1=-→x x ；()()==++→x f f x 1lim 0111lim 1=+→x ，因为 ()≠-01f ()()101f f =+，故()x f 在1=x 处连续. 5.求下列函数的连续区间，并求出指定的极限：（1）()633223-+--+=x x x x x x f ，求().lim 0x f x →（2）()⎩⎨⎧≤<≤≤-=.31,3,10,12x x x x x f ，求().lim 2x f x →（3）()32231+-=x x x f 求().lim 0x f x →（4）())2ln(x x f -=，求().lim 7x f x -→解：（1）当062=-+x x ，即2=x 或3-=x 时，()633223-+--+=x x x x x x f 无定义，故函数的定义域为()()()+∞--∞-,22,33, .由于()x f 是初等函数，因此由基本结论：一切初等函数在其定义区间内都连续，知()x f 的连续区间为()3,-∞-或()2,3-或()+∞,2.因为()2,30-∈，故()x f 在0=x 处连续，所以有0lim →x ()633lim 2230-+--+=→x x x x x x f x ().210==f （2）因为12-x 是初等函数，且[)1,0是其定义区间，故由基本结论知，当[)1,0∈x 时，()12-=x x f 在[)1,1-上连续；同理，()x f 在()3,1上也连续.又()()==--→x f f x 1lim 01()112lim 1=--→x x ；()()==++→x f f x 1lim 0133lim 1=+→x x ，因为 ()≠-01f ()01+f ，故1=x 是第一类的跳跃间断点. 综上分析，()x f 的连续区间为[)1,1-或()3,1. 因为()3,12∈，故()x f 在2=x 处连续，所以有 2lim →x ()x x f x 3lim 2→=().62==f（3）当0232=+-x x ，即1=x 或2=x 时，()32231+-=x x x f 无定义，故函数的定义域为()()()+∞∞-,22,11, .由于()x f 是初等函数，因此由基本结论：一切初等函数在其定义区间内都连续，知()x f 的连续区间为()1,∞-或()2,1或()+∞,2.因为()1,0∞-∈，故()x f 在0=x 处连续，所以有 0lim →x ()320231lim+-=→x x x f x ().2103==f（4）())2ln(x x f -=的定义域是()2,∞-，故()x f 的连续区间为()2,∞-. 因为()2,7∞-∈-，故()x f 在7-=x 处连续，所以有 7lim -→x ())2ln(lim 7x x f x -=-→().9ln 7=-=f6.设函数()⎩⎨⎧≥+<=.0,,0,x x a x e x f x 应当怎样选择常数a ，使()x f 成为()+∞∞-,内的连续函数？解：当()0,∞-∈x 时，()x e x f =为初等函数，则当()0,∞-∈x 时，()f x 为连续函数；当()+∞∈,0x 时，()x a x f +=为初等函数，则当()+∞∈,0x 时，()f x 为连续函数.要使得()x f 成为()+∞∞-,内的连续函数，只须()f x 在0x =处也连续.因()()==--→x f f x 0lim 001lim 0=-→x x e ；()()==++→x f f x 0lim 00a x a x =+-→)(lim 0故只有当()()()0lim lim 0x x f x f x f -+→→==，即1=a 时，()x f 在0x =处也连续.7.证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间. 证明：设()135--=x x x f ，()f x 在[]2,1上连续，又()031<-=f ，()0252>=f ，故由闭区间上连续函数的零点定理知，至少存在一点()2,1∈c ，使()0.f c =从而方程135=-x x 至少有一个根c 介于1和2之间.习题1某顾客向银行存入本金p 元，n 年后他在银行的存款额是本金及利息之和.设银行规定年利率为r ，根据下述不同的结算方式计算顾客年后的最终存款额. （1）每年结算一次； （2）每月结算一次，月利率为12r； （3）每年结算m 次，每个结算周期的利率为mr ； （4）当m 趋于无穷大时，结算周期为无穷小，这意味着银行连续不断的结算、付利息，这种存款方法称为连续复利.试计算在该情况下顾客n 年后的最终存款额.解：（1）n r p )1(+；（2）n r p 12)121(+；（3）mn mrp )1(+；（4）nr pe （1）设n 年后顾客在银行的最终存款额为y （元），则 y2.空气通过盛有2CO 吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收2CO 的量与2CO 的浓度及吸收厚度成正比.今有2CO 含量为%8的空气通过厚度为10cm 的吸收层后，其2CO 的含量为%2.问：（1）若通过的吸收层的厚度为cm 30，出口处空气中2CO 的含量是多少？（2）若要使出口处空气中2CO 的含量%1,其吸收层的厚度应该为多少？解：将吸收层分成n 层逐层考虑，然后考虑∞→n 时出口处2CO 含量的极限，得到出口处2CO 含量y 与吸收层厚度d 之间的函数关系.第一层吸收量：n kd %8，剩余量：)1%(8n kd-； 第二层吸收量：)1(%8n kd n kd -，剩余量：2)1%(8nkd-；……第n 层吸收量：1)1(%8--n n kd n kd ，剩余量：n nkd)1%(8-； ∞→n 时得到出口处2CO 含量kd n n e nkdy -∞→=-=%8)1%(8lim .由已知，cm d 10=时，%2=y ，所以52ln =k（1）cm d 30=时，%125.0=y ； （2）%1=y 时，cm d 15=（1）设当空气中2CO 的浓度为(%)a ，吸收层的厚度为()cm b 时，对应吸收2CO 的量为(%).c 根据题意，可设b kac .= )0(>k ① 由题意，可得k 1086⨯= ② 由①可得 .403=k 故 b a c .403=③ 若吸收层的厚度为cm 30，即30=b ，则由③式解得()%18308403=⨯⨯=c ， 所以出口处空气中2CO 的含量为（2）若出口处空气中2CO 的含量%1,则吸收的2CO 的量为(%)a复习题一1.选择题：（1）函数()x x x f 21-=的定义域是（B ）A. []1,1-B. [)(]1,00,1 -C. (]1,-∞-D. [)+∞,1 （2）.已知下列四组函数：①()112--=x x x f 与()1+=x x g ； ② ()32x x f -=与()x x x g 2-=；③()122-+=x x x f 与()122-+=t t t g ；④()⎩⎨⎧<<-<<-+=.,10,1,01,1x x x x x f 与()()x f x g 1-=.其中表示同一函数的（C ）A. ①③B. ②④C. ③④D. ①④（3）.设定义在R 上的函数()x x x f =，则()x f 是（A ） A. 奇函数又是增函数 B. 偶函数又是增函数 C. 奇函数又是减函数 D. 增函数又是减函数（4）.已知⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=0,10,0,0)(x x x x f ππ，则()[]{}x f f f 的值是（A ） A. 1+π B. 0 C. 1 D. π 解：当0<x 时，()[]{}()[]()10+===ππf f f x f f f ； 当0=x 时，()[]{}()[]()110+=+==πππf f f f f f ； 当0>x 时，()[]{}()[]().111+=+=+=πππf f f x f f f（5）若函数()x f 的反函数图像过点()5,1，则函数()x f y =的图像必过点（C ） A. ()1,1 B. )5,1( C. ()1,5 D. ()5,5 （6）下列极限中，值为1的是（C ） A. x xx sin .2limπ∞→ B. x xx sin .2lim 0π→C. xxx sin .2lim2ππ→D. x xx sin .2lim ππ→（7）=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x sin 11sin lim 0（A ）A. 1-B. 1C. 0D. 不存在 解：01sinlim 0=→x x x ；1sin .1lim 0=→x x x ，所以.110sin 11sin lim 0-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x（8）下列函数中，① )1ln(+x ② x xe 2- ③ x1arctan ④ )sgn(x x 在()+∞∞-,上连续的是（B ）A. ①③；B. ②④；C. ③④；D. 不存在解：注意到.)sgn(x x x =2.试证，1→x 时，31x -是1-x 的高阶无穷小.证明：因为=--→11lim 31x x x ()=---+-→1111lim 31x x x 311)1(31lim 1-=---→x x x ，所以1→x 时，31x -是1-x 的同阶无穷小.原题有误.3.设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<+≤+=.1,2,10,1,0,232x xx x x x x f 请分别讨论0→x 及1→x 时()x f 的极限是否存在.解：（一）()()==---→x f f x 0lim 00()223lim 0=+--→x x ；()()==++-→x f f x 0lim 00()11lim 20=++-→x x ；因为()()0000+≠-f f ，所以()x f x 0lim -→不存在.（二）()()==---→x f f x 1lim 01()21lim 21=+--→x x ；()()==++-→x f f x 1lim 0122lim 0=+-→xx ； 因为()()0101+≠-f f ，所以().2lim 1=-→x f x4.计算下列极限：（1）35lim 22-+→x x x ； （2）4586lim 224+-+-→x x x x x ； （3）121lim 22---∞→x x x x .（4）x x x 20sin lim →； （5）⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x ； （6）x x x 21lim 0+→. 解：（1）.935lim22-=-+→x x x ； （2）4586lim 224+-+-→x x x x x ()()()()4142lim 4----=→x x x x x 3212lim 4=--=→x x x ；（3）121lim 22---∞→x x x x 2111211lim 22=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x ； （4）x x x 20sin lim→001.sin lim 220=⨯==→x xxx ； （5）⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x 32112lim x x x x --+=→()()()2111)2(1lim x x x x x x ++-+-=→ 112lim21=+++-=→x x x x ；（6）x x x 21lim 0+→()xx x 1021lim +=→()2221021lim e x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→. 5.已知22lim 222=--++→x x bax x x ①，求常数a 和.b 解：因为()02lim 22=--→x x x ，故()b a b ax x x ++=++=→24lim 022即 42--=a b ② 将②代入①得()242lim2222----++=→x x a ax x x ()()()()1222lim 2+-++-=→x x a x x x 3412lim2ax a x x +=+++=→ ③ 由③解得 .2=a6.设函数()[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-=≤-=.0,)ln(ln 1,0,,0,cos 1sin 2x x x x xx b x x axx f 问b a ,为何值时，()x f 在()+∞∞-,内连续.解：当()0,∞-∈x 时，()xax x f cos 1sin -=为初等函数，故当()0,∞-∈x 时，()f x 为连续函数；当()+∞∈,0x 时，()[])ln(ln 12x x x xx f +-=为初等函数，故当()+∞∈,0x 时，()f x 为连续函数.要使得()x f 成为()+∞∞-,内的连续函数，只须()f x 在0x =处也连续.因()()==--→x f f x 0lim 00=--→xax x cos 1sin lim 0⎪⎭⎫ ⎝⎛---→2sin 211sin lim 20x ax x2sin2sin lim 0xax x -=-→a xax x 22.2lim 0-=-=-→；()()==++→x f f x 0lim 00-→0lim x [])ln(ln 12x x x x +--→=0lim x xx x x +-2ln 1-→=0lim x ().11ln -=+-xx故只有当()()()0lim lim 0x x f x f x f -+→→==，即12-=-a 时，亦即22=a 时，()x f 在0x =处也连续，从而()x f 在()+∞∞-,内连续. 7.已知()32231+-=x x x f ，求函数的连续区间，并求().lim 0x f x →解： ()32231+-=x x x f 是初等函数，其定义域为()()()+∞⋃⋃∞-,22,11..因()1.∞-是()x f 的定义区间，故由基本结论知，当()1,∞-∈x 时，()32231+-=x x x f 在()1,∞-上连续；同理，()x f 在()2,1及()+∞,2上也连续.综上()x f 的连续区间是()1,∞-、()2,1及()+∞,2. 因为()1,0∞-∈，故()x f 在0=x 处连续，所以有 0lim →x ()0lim→=x x f 32231+-x x ().2103==f8.若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，()a a f <，()b b f >，证明：至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()ξξ=f .证明：设()()x x f x F -=，则()x F 在[]b a ,上连续，又()()0<-=a a f a F ，()()0>-=b b f b F ，故由闭区间上连续函数的零点定理知，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξF ，即()ξξ=f .习题1.是非判断题（1）()()[]'='00x f x f .（×）；（2）若()x f 在0x 处不连续，则()0x f '必不存在.（√）； （3）若()x f 在0x 处不可导，则在0x 处必不连续（×）； （4）若曲线()x f y =在0x 处存在切线，则()0x f '必存在（×）； （5）函数在一点处的导数就是该曲线在该点处的切线的斜率.（√）； 2.单项选择题：（1）当自变量x 的由0x 改变到x x ∆+0时，()x f y =的改变量=∆y （C ） A. ()x x f ∆+0 B. ()x x f ∆+'0 C. ()()00x f x x f -∆+ D. ()x x f ∆0（2）.函数()x f 在0x x =处连续是()x f 在0x 处可导的（A ） A. 必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 （3）.若函数()x f 在0x x =处可导，则()x f 在0x x =处（A ） A. 可导 B. 不可导 C. 连续但未必可导 D. 不连续解：因为()()x fx f 2=，由求导法则知()x f 在0x x =处也可导.3.用定义求x y =在4=x 处的导数，并求在相应点处曲线的切线方程. 解：()42lim44--='→x x y x ()()244lim4+--=→x x x x .4121lim 4=+=→x x 曲线x y =在4=x 处的切线为).4(412-=-x y 4.设()00=f ，()0f '存在，求().limxx f x →解：()=→x x f x 0lim()()().000lim 0f x f x f x '=--→5.讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 2x x xx y 解：（一）连续性因为()=→x f x 0lim ()001sinlim 20f xx x ==→，故函数在0=x 处的连续.（二）因为()()=--→00lim0x f x f x 01sin lim 0=→xx x ，故函数在0=x 处可导，且()00='f . 6.假设下列各题中的()()x f x f ''',在0x 的某邻域内都存在，按照导数的定义观察，A 表示什么？ （1）()()A xx f x x f x =∆-∆-→∆000lim，则=A ()0x f '-；解：()()=∆-∆-→∆x x f x x f x 000lim()()()()0000lim .1x f x x f x x f x '-=∆--∆--→∆.（2）()A xx f x =→0lim，其中()00=f ，且()0f '存在，则=A ()0f '；（3）()()A hh x f h x f x =--+→∆000lim，则=A ()02x f '；解：()()hh x f h x f x --+→∆000lim()()[]()()[]hx f h x f x f h x f x 00000lim----+=→∆()()h x f h x f x 000lim-+=→∆()()()()()()0000002lim x f x f x f hx f h x f x '='+'=---++→∆. （4）()()A hx f h x f x ='-+'→∆000lim，则=A ()02x f ''.解：()()()0000limx f hx f h x f x ''='-+'→∆.7.由导数的定义，求x y ln =的导函数. 解：()()x x f x x f y x ∆-∆+='→∆0lim()xxx x x ∆-∆+=→∆ln ln lim 0 x x x x ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=→∆1ln lim 0（等价替换）.1lim 0xx x x x =∆∆=→∆8.设一质点作变速直线运动，它的运动方程是322++=t t s ，求其瞬时速度().t v 解：()().22+='=t t s t v习题1.是非判断题（1）若()x f 、()x g 在0x x =处可导，则()()x g x f +在0x x =处可导.（√）； （2）若()x f 、()x g 在0x x =处均不可导，则()()x g x f +在0x x =亦不可导.（×）；（3）设()x x x f cos .sin =，则()()()()x x x x x f sin .cos cos .sin -=''='（×）；（4）若()x f 、()x g 可导，且()()2x f x g =，则必有()()2x f x g '='（×）； （5）初等函数在其定义域内是可导的（×）；（6）设()2xe xf x =，则().2x e x f x='（×）. 2.单项选择题：（1）曲线x x y 33-=上切线平行于x 轴的点是（C ） A. ()0,0 B. ()2,2-- C. ()2,1- D. ()2,2 解：令0332=-='x y ，解得1±=x ，故选C. （2）设()()x f x e e f y .=，且()x f '存在，则='y （D ） A. ()()+'x f x e e f .()()x f x e e f . B. ()()()x f e e f x f x ''.. C. ()()x f x e e f .' D. ()()+'x f x e e f .()()()x f e e f x f x '..解：()()x f x e e f y .=()[]()()()[]'+'=x f x x f x e e f e e f ..()[]()()()[]'+'=x f x x f x e e f e e f ..()()()()()()[]x f e e f e e e f x f x x f x x '+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=... ()()+'=x f x x e e e f ..()()()x f e e f x f x '... 此题有误，没有正确选项. （3）设()()x g x f ='，则()=x f dxd2sin （ ） A. ()x x g sin 2()()x f x e e f . B. ()x x g 2sin C. ()x g 2sin D. ()x x g 22sin .sin 解：()=x f dxd 2sin ()()''x x f 22sin sin ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=x x x f sin .sin 2sin 2()[]x x x f cos .sin 2sin 2'=()x x f 2sin sin 2'=()x x g 2sin sin 2=. 此题有误，没有正确选项.（4）设x x y sin 21-=，则=dydx（D ） A. y cos 21- B. x cos 21-C.ycos 22- D. x cos 22-解：因为x dx dy cos 211-=，所以=dy dx.cos 22cos 21111x x dx dy -=-= （5）.已知a 是大于零的常数，()()x a x f 21ln -+=，则()0f '应是（A ）A. a ln -B. a lnC. a ln 21D. 21解：()()'++='--x x a a x f 22111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-+=--x a a a x x 2.ln 1122.1ln 222x xaa a --+-=；().ln 0a f -='（6）已知()()()()()d x c x b x a x x f ----=，且()()()()d a c a b a x f ---='0，则=0x （ ）A. a x =0B. b x =0C. c x =0D. d x =0 解：()()()()()d x c x b x a x x f -+-+-+-=ln ln ln ln ln 上式两边关于x 求导得()()dx c x b x a x x f x f -+-+-+-='1111.1 所以 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+-='d x c x b x a x x f x f 1111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+-----=d x c x b x a x d x c x b x a x 1111).)()((()))()(())()(())(())()((c x b x a x d x b x a x d x c x a x d x c x b x ---+---+---+---=所以()()()()d a c a b a a f ---='. 3.求导数：。