离散数学第1-3章_习题解答-简化

离散数学~习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。

⑴中国有四大发明。

⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。

⑷21+3＜5。

⑸老王是山东人或河北人。

⑹2与3都是偶数。

⑺小李在宿舍里。

⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。

⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。

⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。

⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。

解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。

2. 将下列复合命题分成若干原子命题。

⑴李辛与李末是兄弟。

⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。

⑶天正在下雨或湿度很高。

⑷刘英与李进上山。

⑸王强与刘威都学过法语。

⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。

⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。

⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。

解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。

3. 将下列命题符号化。

⑴他一面吃饭，一面听音乐。

⑵3是素数或2是素数。

⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。

⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。

⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。

⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。

解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。

离散数学第3版习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。

离散数学的应用广泛，涉及到计算机科学、信息技术、通信工程等领域。

在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。

本文将为大家提供《离散数学第3版》习题的答案，希望能对学习者有所帮助。

第一章：命题逻辑1.1 习题答案：1. (a) 真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(b) 命题“p ∧ q”的真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(c) 命题“p ∨ q”的真值表如下：p | q | p ∨ qT | T | TT | F | TF | T | TF | F | F(d) 命题“p → q”的真值表如下：p | q | p → qT | T | TT | F | FF | T | TF | F | T1.2 习题答案：1. (a) 命题“¬(p ∧ q)”等价于“¬p ∨ ¬q”。

(b) 命题“¬(p ∨ q)”等价于“¬p ∧ ¬q”。

(c) 命题“¬(p → q)”等价于“p ∧ ¬q”。

(d) 命题“¬(p ↔ q)”等价于“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。

1.3 习题答案：1. (a) 命题“p → q”的否定是“p ∧ ¬q”。

(b) 命题“p ∧ q”的否定是“¬p ∨ ¬q”。

(c) 命题“p ↔ q”的否定是“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。

(d) 命题“p ∨ q”的否定是“¬p ∧ ¬q”。

1.4 习题答案：1. (a) 命题“p → q”与命题“¬p ∨ q”等价。

第一章 命题逻辑习题与解答⒈ 判断下列语句是否为命题，并讨论命题的真值。

⑴ 2x 3 = 0。

⑵ 前进！⑶ 如果8 + 7 > 20，则三角形有四条边。

⑷ 请勿吸烟！⑸ 你喜欢鲁迅的作品吗？⑹ 如果太阳从西方升起，你就可以长生不老。

⑺ 如果太阳从东方升起，你就可以长生不老。

解 ⑶,⑹,⑺表达命题，其中⑶,⑹表达真命题，⑺表达假命题。

⒉ 将下列命题符号化： ⑴ 逻辑不是枯燥无味的。

⑵ 我看见的既不是小张也不是老李。

⑶ 他生于1963年或1964年。

⑷ 只有不怕困难，才能战胜困难。

⑸ 只要上街，我就去书店。

⑹ 如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐。

⑺ 如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视。

⑻ 三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。

⑼ 我进城的必要条件是我有时间。

⑽ 他唱歌的充分必要条件是心情愉快。

⑾ 小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆不开门。

解 ⑴ p ：逻辑是枯燥无味的。

“逻辑不是枯燥无味的”符号化为p 。

⑵ p ：我看见的是小张。

q ：我看见的是老李。

“我看见的既不是小张也不是老李”符号化为q p ⌝∧⌝。

⑶ p ：他生于1963年。

q ：他生于1964年。

“他生于1963年或1964年”符号化为p q 。

⑷ p ：害怕困难。

q ：战胜困难。

“只有不怕困难，才能战胜困难”符号化为q p 。

⑸ p ：我上街。

q ：我去书店。

“只要上街，我就去书店”符号化为p q 。

⑹ p ：小杨晚上做完了作业。

q ：小杨晚上没有其它事情。

r ：小杨晚上看电视。

s ：小杨晚上听音乐。

“如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐”符号化为s r q p ∨→∧。

⑺ p ：林芳在家里。

q ：林芳做作业。

r ：林芳看电视。

“如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为r q p ∨→。

⑻ p ：三角形三条边相等。

q ：三角形三个角相等。

（完整版）洪帆《离散数学基础》（第三版）课后习题答案第1章集合1、列举下列集合的元素 (1) ⼩于20的素数的集合 (2) ⼩于5的⾮负整数的集合 (3) 2{|,10240515}i i I i i i ∈--<≤≤且答：(1) {1,3,5,7,11,13,17,19}(2) {0,1,2,3,4} (3) {5,6,7,8,9,10,11}2、⽤描述法表⽰下列集合 (1) 12345{,,,,}a a a a a 答：{|,15}i a i I i ∈≤≤ (2) {2,4,8,}L 答：{2|}i i N ∈ (3) {0,2,4,100}L答：{2|,050}i i Z i ∈≤≤3、下⾯哪些式⼦是错误的？ (1) {}{{}}a a ∈答：正确 (2) {}{{}}a a ? 答：错误 (3) {}{{},}a a a ∈答：正确 (4) {}{{},}a a a ? 答：正确4、已给{2,,{3},4}S a =和{{},3,4,1}R a =，指出下⾯哪些论断是正确的？哪些是错误的？ (1) {}a S ∈错误(2) {}a R ∈正确 (3) {,4,{3}}a S ? 正确 (4) {{},1,3,4}a R ? 正确 (5)R S = 错误 (6) {}a S ? 正确 (7) {}a R ?错误 (8) R φ?正确 (9) {{}}a R φ?? 正确 (10) {}S φ?错误 (11) R φ∈错误 (12) {{3},4}φ?正确5、列举出集合,,A B C 的例⼦，使其满⾜A B ∈，B C ∈且A C ?答：{}A a =，{{}}B a =，显然A B ∈，{{{}}}C a =，显然B C ∈，但是A C ?。

6、给出下列集合的幂集 (1) {,{}}a b答：幂集{,{},{{}},{,{}}a b a b φ (2) {,,{}}a a φ答：幂集{,{},{},{{}},{,},{,{}},{,{}},{,,{}}}a a a a a a a a φφφφφ 7、设{}A a =，给出A 和2A 的幂集答：2{,{}}A a φ= 22{,{{}},{{}},{,{}}}Aa a φφφ=8、设128{,,,}A a a a =L 由17B 和31B 所表⽰的A 的⼦集各是什么？应如何表⽰⼦集2,67{,}a a a 和13{,}a a 答：170001000148{,}B B a a ==310001111145678{,,,,}B B a a a a a ==2,670100011070{,}a a a B B ==，1310100000160{,}a a B B ==9、设{1,2,3,4,5}U =，{1,4}A =，{1,2,5}B =，{2,4}C =，确定集合： (1) A B '? (2) ()A B C '?? (3) ()A B C ?? (4)()()A B A C (5) ()A B '? (6) A B ''? (7) ()B C '? (8)B C ''? (9) 22A C - (10)22A C ? 答：(1) {3,4}B '=，{4}A B '?=(2) {1}A B ?=，{1,3,5}C '=，(){1,3,5}A B C '??= (3) {2}B C ?=，(){1,2,4}A B C ??=(4) {1,2,4,5}A B ?=，{1,2,4}A C ?=，()(){1,2,4}A B A C = (5) (){2,3,4,5}A B '?= (6) {2,3,5}A '=，{2,3,4,5}A B ''?= (7){1,2,4,5}B C ?=，(){3}B C '?= (8) {3,4}B '=，{1,3,5}C '=，{3}B C ''?=(9) 2{,{1},{4},{1,4}}A φ=，2{,{2},{4}{24}}C φ=，，，22{{1},{1,4}}A C -= (10) 22{,{4}}A C φ?=10、给定⾃然数集N 的下列⼦集：{1,2,7,8}A =，2{|50}B i i =<，{|330}C i i i =≤≤可被整数，0{|2,,06}k D i i k Z k ==∈≤≤求下列集合： (1) (())A B C D 答：{1,2,3,4,5,6,7}B =，{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}C =，{1,2,4,8,16,32,64}D =(()){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64}A B C D = (2) (())A B C D φ=(3) ()B A C -?解：{0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30}A C ?=，(){4,5}B A C -?= (4) ()A B D '??解：{3,4,5,6}A B B A '?=-=，(){1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}A B D '??=11、给定⾃然数集N 的下列⼦集{|12}A n n =<，{|8}B n n =≤，{|2,}C n n k k N ==∈，{|3,}D n n k k N ==∈ {|21,}E n n k k N ==-∈将下列集合表⽰为由,,,,A B C D E 产⽣的集合：(1) {2,4,6,8} (2){3,6,9} (3){10} (4){|369}n n n n ==≥或或 (5) {|109}n n n n n ≤>是偶数且或是奇数且 (6) {|6}n n 是的倍数答：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}A =，{1,2,3,4,5,6,7,8}B ={2,4,6,8,}C =L ，{3,6,9,12,}D =L ，{1,3,5,7,}E =L {2,4,6,8}B C =? {3,6,9}=A D ? {10}=(())A B D E ---(4){|369}n n n n ==≥=或或{3}{6}{9,10,11,12,}??L{3,6,9,10,11,12,}()A D B '==??L(5) {2,4,6,8,10,11,13,15,}(()())(())A E E B A D B =-?--?-L (6) {|6}{6,12,18,24,30}n n ==L 是的倍数C D ?12、判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。

第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。

并且，如果3是无理数，则2也是无理数。

另外6能被2整除，6才能被4整除。

”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。

19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q) ⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p) ⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p)) ⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1) (2) 主合取范式为： ⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1 ⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)xF∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。

《离散数学》习题一参考答案第一节 集合的基数1.证明两个可数集的并是可数集。

证明：设A ，B 是两可数集，},,,,,{321 n a a a a A =，},,,,,{321 n b b b b B = ⎪⎩⎪⎨⎧-→j b i a N B A f j i 212: ，f 是一一对应关系，所以|A ∪B|=|N|=0ℵ。

2．证明有限可数集的并是可数集证：设k A A A A 321,,是有限个可数集，k i a a a a A in i i i i ,,3,2,1),,,,,(321 ==⎪⎩⎪⎨⎧+-→==i k j a N A A f ij k i i )1(:1，f 是一一对应关系，所以|A|=| k i i A 1=|=|N|=0ℵ。

3.证明可数个可数集的并是可数集。

证：设 k A A A A 321,,是无限个可数集， ,3,2,1),,,,,(321==i a a a a A in i i i i⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+→=∞=i j i j i a N A A f ij i i )2)(1(21:1 ， 所以f 是一一对应关系，所以|A|=| ∞=1i i A |=|N|=0ℵ。

4.证明整系数多项式所构成的集合是可数集。

证明：设整系数n 次多项式的全体记为}|{1110Z a a x a x a x a A i n n n n n ∈++++=--则整系数多项式所构成的集合 ∞==1N n A A ；由于k x 的系数k a 是整数，那么所有k x 的系数的全体所构成的集合是可数集，由习题2“有限个可数集的并是可数集”可得n A 是可数集，再又习题4“可数个可数集的并是可数集”得出整系数多项式所构成的集合 ∞==1N n A A 也是可数集。

5.证明不存在与自己的真子集等势的有限集合.证明：设集合A 是有限集，则|A|=n ，若B 是A 的真子集，则|B|≤|A|=n ，A-B ≠φ，即|A-B|=|A|-|AB|＞0；又A=（A-B ）∪B ，（A-B ）B=φ，所以，，就是|A|＞|B|，即得结论。

第一章命题逻辑内容：命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。

教学目的：1. 熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。

2. 熟练掌握常用的基本等价式及其应用。

3. 熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。

4. 熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。

5. 熟练掌握形式演绎的方法。

教学重点：1 .命题的概念及判断2 .联结词，命题的翻译3. 主析（合）取范式的求法4. 逻辑推理教学难点：1. 主析（合）取范式的求法2. 逻辑推理1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。

1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母 A , B,…，Z或带下标的大写字母或数字表示,如A i, [10], R等，例如A1：我是一名大学生。

A1：我是一名大学生.[10]:我是一名大学生。

R：我是一名大学生。

1.2命题联结词1.2.1否定联结词「P1.2.2合取联结词A1.2.3 析取联结词V1.2.4 条件联结词—125126 与非联结词T性质：(1)P T P=「( PAP)二「P；(2)(P T Q)T( P T Q) -「( P T Q) - PAQ；(3)( P T P)T( Q TQ) -「P T「Q= P V Q。

127 或非联结词J性质:(1) P J P=「( P V Q) =「P;(2)( P J Q )；( P J Q) =「( P J Q) = P V Q;(3)( P J P)J( Q J Q) =「P Q=P V-Q) = PAQ1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2 ）如果P是公式，则「P是公式；（3）如果P、Q是公式,则PAQ、PVQ、P > Q、P Q都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用（1）、（2）、（3）所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。

教材习题解答第一章 集合及其运算8P 习题3. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。

解：2210x x ++=的根为1x =-，故所求集合为{1}- 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈；b)对每个集A ，A φ⊆； c)对每个集A ，{}A A ∈；d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆；f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆； i)对每个集A ，{}2A A ⊆；j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ⊆； m)对每个集A ，{}A A =；n){}φφ=；o){}φ中没有任何元素；p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈；r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈；t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈； 答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证： 12n A A A ===证明：由1241n A A A A A ⊆⊆⊆⊆⊆，可得12A A ⊆且21A A ⊆，故12A A =。

同理可得：134n A A A A ====因此123n A A A A ====6.设{,{}}S φφ=，试求2S ？解：2{,{},{{}},{,{}}}S φφφφφ=7.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。

证明：（1）当n ＝0时，0,2{},212S S S φφ====，命题成立。

（2）假设当(0,)n k k k N =≥∈时命题成立，即22S k =（S k =时）。

那么对于1S ∀（11S k =+），12S 中的元素可分为两类，一类为不包含1S 中某一元素x 的集合，另一类为包含x 的集合。

华南理工大学网络教育学院《离散数学》练习题参考答案第一章命题逻辑一填空题（1）设：p：派小王去开会。

q：派小李去开会。

则命题：“派小王或小李中的一人去开会”可符号化为：(p∨⌝q) ∧ (⌝p∨q) 。

（2）设A，B都是命题公式，A⇒B，则A→B的真值是T。

（3）设：p：刘平聪明。

q：刘平用功。

在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：p∧q。

（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为A → B⇔⌝A∨B。

（5）设，p：径一事；q：长一智。

在命题逻辑中，命题：“不径一事，不长一智。

”可符号化为：⌝ p→⌝q 。

（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德•摩根律为⌝（A ∧ B）⇔⌝A ∨⌝B）。

（7）设，p：选小王当班长；q：选小李当班长。

则命题：“选小王或小李中的一人当班长。

”可符号化为：(p∨⌝q) ∧ (⌝p∨q) 。

（8）设，P：他聪明；Q：他用功。

在命题逻辑中，命题：“他既聪明又用功。

”可符号化为：P∧Q 。

（9）对于命题公式A，B，当且仅当 A → B 是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A⇒B。

（10）设：P：我们划船。

Q：我们跑步。

在命题逻辑中，命题：“我们不能既划船又跑步。

”可符号化为：⌝ (P∧Q) 。

（11）设P , Q是命题公式，德·摩根律为：⌝（P∨Q）⇔⌝P∧⌝Q）。

（12）设P：你努力。

Q：你失败。

在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。

”可符号化为：⌝P→Q。

（13）设p：小王是100米赛跑冠军。

q：小王是400米赛跑冠军。

在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军。

”可符号化为：p∨q。

（14）设A，C为两个命题公式，当且仅当A→C为一重言式时，称C可由A逻辑地推出。

二．判断题1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A→B⇔⌝A∧B。

（⨯）2.命题公式⌝p∧q∧⌝r是析取范式。

（√）3.陈述句“x + y > 5”是命题。

第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。

第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。

分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。

本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。

其次，（4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。

又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。

（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。

这里的“且”为“合取”联结词。

在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是… … ”、“不仅……，而且… … ”、“一面……，一面… … ”、“……和… … ”、“……与……”等。

但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。

例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。

1．2 （1）p : 2是无理数，p 为真命题。

（2）p : 5能被2 整除，p 为假命题。

（6）p →q 。

其中，p : 2是素数，q：三角形有三条边。

由于p 与q 都是真命题，因而p →q 为假命题。

（7）p →q ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。

由于p 为假命题，q 为真命题，因而p →q 为假命题。

（8）p : 2000年10 月1 日天气晴好，今日（1999 年2 月13 日）我们还不知道p 的真假，但p 的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。

（9）p：太阳系外的星球上的生物。

它的真值情况而定，是确定的。

第一章 命题逻辑 习题与解答1. 判断下列语句是否为命题，并讨论命题的真值。

(1) 32−x 。

(2) 前进！(3) 如果2078>+，则三角形有四条边。

(4) 请勿吸烟！(5) 你喜欢鲁迅的作品吗？(6) 如果太阳从西方升起，你就可以长生不老。

(7) 如果太阳从东方升起，你就可以长生不老。

解 (3), (6), (7) 表达命题，其中 (3), (6) 表达真命题，(7) 表达假命题。

2. 将下列命题符号化：(1) 逻辑不是枯燥无味的。

(2) 我看见的既不是小张也不是老李。

(3) 他生于1963年或1964年。

(4) 只有不怕困难，才能战胜困难。

(5) 只要上街，我就去书店。

(6) 如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐。

(7) 如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视。

(8) 三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。

(9) 我进城的必要条件是我有时间。

(10) 他唱歌的充分必要条件是心情愉快。

(11) 小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆不开门。

解(1) 逻辑是枯燥无味的。

:p“逻辑不是枯燥无味的”符号化为p ¬。

(2) 我看见的是小张:p我看见的是老李:q“我看见的既不是小张也不是老李”符号化为q p ¬∧¬。

(3) 年他生于 1963 :p年他生于 1964 :q“他生于1963年或1964年”符号化为q p ⊕。

(4) 害怕困难:p战胜困难:q“只有不怕困难，才能战胜困难”符号化为p q ¬→。

(5) 我上街:p我去书店:q“只要上街，我就去书店”符号化为q p →。

(6) 小杨晚上做完了作业:p小杨晚上没有其它事情:q小杨晚上看电视:r小杨晚上听音乐:s“如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐”符号化为s r q p ∨→∧。

(7) 林芳在家里:p林芳在做作业:q林芳在看电视:r“如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为r q p ∨→。

<><><>100;{[];;} ;( *S){>1;}( * x){(>1){("\n !"); 0;}>;>[>];1;}( *S){(>1);}( * *x){((S)){("\n !");0;}*>[>];>;1;}( N){e;*(*)(());(S); (N){(2);2;}((S)){();(" ");}}(){ n;("请输入待转换的值n：\n");("");(n);}习题1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？(1)离散数学是计算机专业的一门必修课。

(2)李梅能歌善舞。

(3)这朵花真美丽！(4)３＋２＞６。

(5)只要我有时间，我就来看你。

(6)x＝５。

(7)尽管他有病，但他仍坚持工作。

(8)太阳系外有宇宙人。

(9)小王和小张是同桌。

(10)不存在最大的素数。

解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。

(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。

其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。

其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。

2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？(1)(P(P∨Q))。

(2)(P Q)(Q P)))。

(3)((P Q)(Q P))。

(4)(Q R∧S)。

(5)(P∨)S。

(6)((R(Q R)(P Q))。

解 (1)是命题公式。

(2)不是命题公式，因为括号不配对。

(3)是命题公式。

(4)是命题公式。

(5)不是命题公式，因为没有意义。

(6)不是命题公式，因为R(Q R)(P Q) 没有意义。

3.将下列命题符号化：(1)我们不能既划船又跑步。

(2)我去新华书店，仅当我有时间。

《离散数学》题库答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是4.答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝Q→⌝（2）QP⌝→（3）Q5.答：（1）6.答：2不是偶数且-3不是负数。

7.答：（2）8.答：⌝P ，Q→P9.答：P(x)∨∃yR(y)10.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))11、a、(P→Q)∧R解：(P→Q)∧R⇔(⌝P∨Q )∧R⇔(⌝P∧R)∨(Q∧R) （析取范式）⇔(⌝P∧(Q∨⌝Q)∧R)∨((⌝P∨P)∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔m3∨ m1∨m7 （主析取范式）⇔m1∨ m3∨m7⇔M0∧M2∧M4∧M5∧M6 （主合取范式）b、Q→(P∨⌝R)解：Q→(P∨⌝R)⇔⌝Q∨P∨⌝R⇔M5（主合取范式）⇔ m0∨ m1∨ m2∨m3∨ m4∨m6 ∨m7 （主析取范式）c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式)12、a、P→Q，⌝Q∨R，⌝R，⌝S∨P=>⌝S证明：(1) ⌝R 前提(2) ⌝Q∨R 前提(3)⌝Q （1），（2）析取三段论(4) P→Q 前提(5)⌝P （3），（4）拒取式(6)⌝S∨P 前提(7) ⌝S （5），（6）析取三段论b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理c、A，A→B， A→C， B→(D→⌝C) => ⌝D证明：（1） A 前提（2） A→B 前提（3） B (1)，(2) 假言推理（4） A→C 前提（5） C (1)，(4) 假言推理（6） B→(D→⌝C) 前提（7） D→⌝C (3)，(6) 假言推理（8）⌝D (5)，(7) 拒取式d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提（2） P→⌝Q 前提（3）⌝Q （1），（2）假言推理（4） Q∨⌝R 前提(5) ⌝R （3），（4）析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提（7） R （6）化简（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取所以该推理正确13.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。