】二面角的定义PPT课件 -

＝62＋42＋82＋2× 6× 8× cos120○
＝62＋42＋
82－
2×
6×
1
8×2
＝68
∴|CD |＝2 17
例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求 二解： 面（角方法A一1－） BD－C1 的大小。
由正方 体的 面对 角线 长都相 等可 知， △A1BD 与△ C1BD 是全等的正三角形， 取 BD 的中点 O，连结 A1O、C1O，则 A1O⊥BD，C1O ⊥BD，
2
∴OA1⊥BD，OC1⊥BD，
∴＜OA 1 ，OC 1 ＞就是二面角 A1－BD－C1 的平面角。
∴cos＜OA 1 ，OC 1 ＞＝
OA • OC
1
1
| OA | • | OC |
1
1
1
＝
2 6•
1 6 ＝3 。
22
例3、如图，设E、F、G是正方体相应棱的
中点，求二面角E－FG－A的大小。
解：如图，过点A作AH交CF的延长线于点H，
1
2
3
1 1
1
2
3
2
1
2
2
3
1
2
3
3分钟
1
1
2
3
3分钟
1
1
2
3分钟
1
1
3
3
3
2
3分钟
3
1
3
3
2
1
3分钟 + 3分钟
3
ok
1
3分钟 + 3分钟
ok
3
ok
ok
1
3分钟 + 3分钟
3
1

三、二面角12其、、的逆找证定到明平理或1面作中作出的出角来角二：就面是角所的3求平、的面它小二角角的来面平度角面量的角大的小大用
四、二面角3、的计算平所面求的角角的作法：
五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
22
数学广角
沏茶前要做些什么事呢？
怎样才能让客人尽快喝上茶？
①
②
③
④
⑤
⑥
数学家,中国科学院院士 华罗庚
解：① 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，
连AD 则由三垂线定理得 AD⊥ l
∴②∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角
A ③∵ AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离
∴AO=2 3 ，AD=4 在Rt△ADO中，
D
O
l
∵sin∠ADO=AAOD 2
∴ ∠ADO=60°
∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ，
∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO
CCOD2 ACC2O AO2DO2AO AC14C8OS11260214841
2
2
19
二 面 角 二 面 角 －AB－
二 面 角 C－AB－ D
l
5
A
B
O
B
A
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的范围
[00，1800]
3
角
二面角
图形
顶点
A 边
O
边B
从一点出发的两
定义 条射线所组成的

2．用空间向量求二面角的大小 如果 n1，n2 分别是平面 α1，α2 的一个法向量，设 α1 与 α2 所成角的 大小为 θ．则 θ＝〈n1，n2〉或 θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝_s_in_〈__n_1_，__n_2_〉．
【初试身手】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二面角的范围是0，π2．(
则nn11··AA→→BE1＝＝00，，
x1＋z1＝0， 即x1＋12y1＝0，
令 y1＝2，则 x1＝－1，z1＝1，所以 n1＝(－1,2,1)． 设平面 AD1F 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··AA→→DF＝1＝00，，
y2＋z2＝0， 即12x2＋y2＝0.
令 x2＝2，则 y2＝－1，z2＝1．所以 n2＝(2，－1,1)．
【合作探究】
类型一 用定义法求二面角 【例 1】 如图，设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆周上，若△PAB 是边长为 2 的正三角形，且 CO⊥AB， 求二面角 P-AC-B 的正弦值．
[解] 如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD， ∵PO⊥底面，∴PO⊥AC， ∵OA＝OC，D 为 AC 的中点， ∴OD⊥AC，又 PO∩OD＝O， ∴AC⊥平面 POD，则 AC⊥PD， ∴∠PDO 为二面角 P-AC-B 的平面角．
1 3
[如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，
则 D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，D→A1＝(1,0,1)，D→B＝(1,1,0)．
设 n＝(x，y，z)是平面 A1BD 的一个法向量， 则nn··DD→→BA1＝＝00，， 即xx＋＋zy＝＝00，， 令 x＝1，则 y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面 BC1D 的一个法向量 m＝(1，－1,1)， 则 cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝13， 所以二面角 A1-BD-C1 的余弦值为13．]

C
B
投影
变题2：
长为如a图，，E正为A方D体1的A 中点B ， 求A 平C 1 B 面1 C 1 AD D C1中E与，面其A棱D1
所成二面角的正切值。
D
AF
C1
D 1 D1
E D1
A 1 EA1
C
D
E
1
B A1
D
D
AA
C1 B1
C
B
三垂线
练习1：
如图，在平面角为60 的二面角l内有一
点P，P到, 的距离分别为PC=2cm PD=3cm
A
C
B
Dl
B
A
二面角C－AB－ E
F
E
A
B
D
C
二面角
二、二面角的平面角
1、定义
以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个 l
面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条 P
射线所成的角叫做二面角的平面角
P1
B A
B1
A1
二面角的大小用它的平面角的大小来度量
注意: 二面角的平面角必须满足：
∠APB= ∠A1P1B1
D1 A1
C1 B1
D
C
A
O B
变题2：
长为如a图，，E正为A方D体1的A 中点B ， 求A 平C 1 B 面1 C 1 AD D C1中E与，面其A棱D1
所成二面角的正切值。
D
E
1
A1
C1 B1
D
A
C
B
投影
变题2：
长为如a图，，E正为A方D体1的A 中点B ， 求A 平C 1 B 面1 C 1 AD D C1中E与，面其A棱D1
P

∴AO=2 3 ，AD=4
D
O
l
在Rt△ADO中，
∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
3 2
∴ ∠ADO=60°
2020年10月2日
∴二面角 － l－ 的大小为60 ° 13
17
例1、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到
的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4；求二面角 － l－
AO
二面角—l—的平面角，即 ∠OAC ＝120，
∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ，
∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO
∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
∴C 2 A O 2 A C 2 2 O A A O C C 1 O 2 7S 0
做二面角的的大面小。与 其顶点
二、二面3、角借的助三表垂示线定方理法或 ： 在棱上的位置无关
三、二面角12其、、的逆找证定到明平理或1面作中作出的出角来角二：就面是角所的3求平、的面它小二角角的来面平度角面量的角大的小大用
四、二面角3、的计算平所面求的角角的作法：
五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3
2020年10月2日
15
19
例 2 如图，已知A、B是120的二面角
—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别 在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2， BD=1，AB=3，求线段CD的长。
E
l
B
C
D
解：在平面内，过A作AO⊥l ，使 AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是

方法二：三垂线法， 内一点P向 引垂线PO， 方法二：三垂线法，过 α 内一点 向 β 引垂线 ，再 做PA⊥l于A，连AO，由三垂线定理知，AO ⊥PA，从而 ⊥于 ， ，由三垂线定理知， ， 为二面角的平面角。 ∠PAO为二面角的平面角。 为二面角的平面角
方法三：二面角两个平面的垂线所成角的补角。 方法三：二面角两个平面的垂线所成角的补角。
例4：把等腰直角三角形ABC，沿斜边BC上的高AD折成一个直二面角，若BC=2， （1）求证：BD⊥CD,（2）求∠BAC.
面面垂直
线面垂直
例2：1、若两个平面都和第三个平面垂直，则这两个平面平行。（ ） 2、若 α ⊥ β ,α ∩
β =l, P∈ α
, Q∈ l,则PQ⊥ l
PQ⊥ β 。（ ）
例3、120°的二面角 α -l-β 内有一点A，AB⊥α 于B，AD⊥ β 于D，AD=6, AB=8, (1)求证：面ADB⊥ α , 面ADB⊥β , l⊥面ADB.（2）求DB的长。
1、二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。 、二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。 范围： ° 范围： 0°≤
α ≤90° °
度量： 度量：二面角的平面角 平面角：以二面角棱上任意一点为端点， 平面角：以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
例1：在60°的二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的 ： °的二面角的一个面内有一个点， 距离是15cm，求它到棱的距离。 距离是 ，求它到棱的距离。
1、定义：若二面角 α -l- β 是直二面角，则称 α 和 、定义： 是直二面角，

那么BAC为等边三角形,
所以BAC 600 .
解:(略)
课堂小结
1、二面角的定义 2、二面角的平面角
*转化思想 —降维
3、二面角的平面角的作法 *类比思想
4、数学思想
角与二面角的比较
图形
角
顶点 O
A 边
边B
二面角
A 棱l
B
面
面
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
段模,型DH, 就如是图所所求示的. 本 高题 度要 .作求HG“⊥升A高B,了垂多足少为米G？, ” 即
那是么求点DGD⊥到A水B,平∠面DGH 就的是距坡离面DH和.已地知平二面面所角成-AB- 是60度, 只要过D点在平面内作DGAB , G是垂
A
的足二, 再 面连 角结 的H平G,面则角根,据所三以垂∠线DG定H=理 60,0 可 . 得HGAB ,
D’
C’
A’
B’
D A
C B
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二 面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D A
C B
寻找二面角的平面角
在正方寻体找A二B面C角D-的A平’面B角’C’D’中，找出下列二 面角的平面角：
A
l
o
B
o
B
A
ll
A
o
B
l
3．画二面角
3．画二面角 ⑴ 平卧式：
A
l

2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1 的大小为__4_5_°_，二面角B-AA1-D的大小为___9_0_°_，二 面角C1-BD-C的正切值是_______.
西：～｜邮～｜打了个～。③名装东西的口袋：书～｜把零碎东西装进～儿里◇病～儿｜坏～儿｜淘气～儿。④量用鼓起来的疙瘩：树干上有个大～｜腿上起了个～。⑥毡制的圆顶帐篷：蒙古～。⑦动围绕；包围：火苗～住了锅台｜骑兵分两路～过去。 ⑧动容纳在里头；总括在一起：～含｜～罗｜无所不～。⑨动把整个任务承担下来，负责完成：～医｜～教｜～片儿（负责完成一定地段或范
要点·疑点·考点
1. 二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面 角，其大小通过二面角的平面角来度量.
2. 二面角的平面角： (1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角. (2)范围：[0，π ]
（多用来洗衣服）。②指外行（多用于戏剧界）。 【棒喝】动比喻促人醒悟的警告：一声～。参看页〖当头棒喝〗。 【棒球】名①球类运动项目之一，规则 和用具都像垒球而稍有不同，场地比垒球的大。②棒球运动使用的球，较垒球小而硬。 【棒儿香】名用细的竹棍或木棍做芯子的香。 【棒针】名一种编织毛 线衣物的用具，较粗，多用竹；配资平台：https:/// ； 子削制而成。 【棒子】?名①棍子（多指粗而短的）。②〈方〉玉米：～面。 【棒子面】?〈方〉名玉米面。 【棓】〈书〉同“棒”。 【傍】①动靠；靠近：船～了岸｜依山～水。②临近（指时间）：～晚。③动依靠；依附：～人门 户。 【傍边儿】∥〈方〉动靠近；接近。 【傍黑儿】〈方〉名傍晚：一早出的门，～才回家。 【傍角儿】〈方〉①动为主角配戏或伴奏。②名指为主角配戏 或伴奏的人。 【傍亮儿】〈方〉名临近天明的时候：天刚～他们就出发了。 【傍明】〈方〉名临近天明的时候：～，雨停了。 【傍人门户】比喻依附别人， 不能自主。 【傍晌】（～儿）〈方〉名临近正午的时候。 【傍晚】名时间词。临近晚上的时候。 【傍午】名时间词。临近正午的时候：～时分，突然下起 了大雨。 【傍依】ī动靠近；挨近：住宅小区～碧波荡漾的太平湖。 【谤】（謗）〈书〉诽谤：毁～｜～议｜～书。 【谤书】〈书〉名诽谤人的信件或书籍。 【谤议】〈书〉动诽谤议论。 【塝】〈方〉田边土坡；沟渠或土埂的边（多用于地名）：张家～（在湖北）。 【搒】（榜）〈书〉摇橹使船前进；划船。 【蒡】见页〖牛蒡〗。 【稖】［稖头］（）〈方〉名玉米。 【蜯】〈书〉同“蚌”。 【膀】见页〖吊膀子〗。 【磅】①量英美制质量或重量单位，符号。 磅等于盎司，合。千克。②名磅秤：过～｜搁在～上称一称。③动用磅秤称轻重：～体重。［英］ 【磅秤】名台秤?。 【镑】（鎊）名英国、埃及等国的本 位货币。［英］ 【艕】〈书〉船和船相靠。 【包】①动用纸、布或其他薄片把东西裹起来：～书｜～饺子｜头上～着一条白毛巾。②（～儿）名包好了的东

于是，人们又把狼“请”了回来。狼还是吃
鹿，为了避免让狼捉到，狼一来鹿就跑，在这 种相互竞争中，鹿的数目不但没有减少，反而 更强壮了。
自然界就是这样的奇妙，狼成了鹿的医生了。
问题 为什么动物的数量不能无限增长呢？
生物与生物之间是相互依赖的，相 互制约的关系。
草
兔
问题1 兔子为什么要吃草
问题2 草（植物）中的营养物质从哪而来
麻雀啄食和糟蹋农作物，曾被 列为主要害鸟。20世纪50～60 年代，我国开展了一场轰轰烈 烈的“剿灭麻雀”的全民运动。
“成果”：
仅一天，上海就消灭麻雀194432只！ 据不完全报道：从3月到11月上旬， 8个月的时间中全国捕杀麻雀19.6亿 只！
通过以上资料的分析，你认为人类能否 随意灭杀某种动物吗？为什么？ 人为的破坏动物的种类和数量，会导致 整个生态系统失去平衡
2、在300二面角的一个面内有一点，它到另 一个面的距离是10cm，求它到棱的距离。
解：如图所示，过点A作AH⊥β，垂足为H， 由题意AH=10cm.
过点H作HO⊥EF，垂足为O，连OA，
则OA⊥EF，OA就是点A到棱EF的距离。
所以
A
∠ AOH 就 是 二 面 角 αEF-β的一个
α
F
β 平 面 角 ，
二氧化碳
光 合 作 用
有机物
光 合 作 用
有机物
动物促进生态系统中的物质循环
据估计：在开花植物中，约有84％ 的植物是通过昆虫来帮助它们授粉 的
动物和植物的关系
自然界中的动物和植物在长期生存与发 展的过程中，形成了相互适应、相互依存 的关系
植物： 为各种动物制造营养物质， 并提供栖息场所
动物： 帮助植物更好地繁衍 给植物的生长提供肥料 对植物造成危害

它们的共同特征都是将三维空间的角转化 为二维空间的角,即平面角。
讲授新课
一条直线上的一个点把这条直线分成两部分, 其中的每一部分都叫做射线。
平面内的一条直线把平面分成两部分, 其中的 每一部分都叫做半平面。
l
A
l
二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角, 这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做 二面角的面。
二面角的大小的范围: 0 180
平面角是直角的二面角叫做直二面角. 相交成直二面角的两个平面, 叫做互相垂 直的平面。
二面角的平面角的作法: 1.定义法
2.三垂线定理法
二面角的计算:
1.找到或作出二面角的平面角 2.证明 1中的角就是所求的角 3.计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
表示法
∠AOB
二面角—a— 或二面角—AB—
二面角的画法
(1) 半卧式
l
F A
D
E B
C
α β l
(2) 直立式
l
α
β
β l
α
二面角的度量
B
B
O
l
A
O内分别作垂直于棱的两条射 线, 这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角。
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上, 2.线在面内, 3.与棱垂直
∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。
C M
A PO
B
D N
例5、如图所示，DB、EC都垂直于正ΔABC所在的平
面，且EC=BC=2BD，求平面ADE与平面ABC所成二 面角的大小。
E
D
B
C
F
G
A