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第7讲立体几何中的向量方法1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e或与01共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直02无数个．(2)平面的法向量如果表示向量n03垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．04无数个，且它们是05共线向量．(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥m06a∥b⇔07a＝k b，k∈R；l⊥m08a⊥b⇔09a·b＝0；l∥α10a⊥u⇔11a·u＝0；l⊥α12a∥u⇔13a＝k u，k∈R；α∥β14u∥v⇔15u＝k v，k∈R；α⊥β16u⊥v⇔17u·v＝0.2．空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ| 18|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是(0°，90°])．(2)直线与平面所成角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝19|e ·n ||e ||n |，φ的取值范围是[0°，90°]．(3)求二面角的大小如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝20〈AB→，CD →〉.如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉，取值范围是[0°，180°]．确定平面法向量的方法(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量． (2)待定系数法：取平面内的两个相交向量a ，b ，设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0，解方程组求得．1．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．重合答案 C解析 由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．2．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，－33B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33答案 D解析 AB→＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．单位法向量为±n |n |＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，33. 3. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．MN 在平面BB 1C 1C 内答案 B解析 MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN →＝13BA 1→＋A 1A →＋13AC →＝13(B 1A 1→－B 1B →)＋B 1B →＋13(AB →＋AD →)＝23B 1B →＋13B 1C 1→，∴MN →，B 1B →，B 1C 1→共面．又MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C ．4. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 与FD 1所成角的余弦值等于( )A ．105B ．155C ．45D ．23答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则O (1，1,0)，E (0,2,1)，F (1，0,0)，D 1(0,0,2)，∴FD 1→＝(－1,0,2)，OE →＝(－1,1,1)．∴cos 〈FD 1→，OE →〉＝FD 1→·OE→|FD1→||OE →|＝1＋0＋25×3＝155.故选B ．5．如图，已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点．若∠PDA ＝45°，则EF 与平面ABCD 所成的角的大小是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°答案 C解析 设AD ＝a ，AB ＝b ，因为∠PDA ＝45°，P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AD ，P A ＝AD ＝a .以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0，0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a 2，所以EF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.易知AP →＝(0,0，a )是平面ABCD 的一个法向量．设EF 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AP →，EF →〉|＝|AP →·EF →||AP →||EF →|＝22.所以θ＝45°.6. (2020·广东华侨中学高三模拟)如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则点M 的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1答案 C解析 设AC 与BD 相交于点O ，连接OE ，∵AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ，又O 是正方形ABCD 对角线的交点，∴M 为线段EF 的中点．在空间直角坐标系中，E (0,0,1)，F (2，2，1)．由中点坐标公式，知点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.考向一 利用空间向量证明平行、垂直例1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 所成的角为30°.求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明 以点C 为坐标原点，分别以CB ，CD ，CP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角． ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4.∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP→＝(0，－1,2)，DA→＝(23，3,0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32. (1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，得⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0. 令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM→＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →.又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD . (2)如图，取AP 的中点E ，连接BE ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)．∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A ．又BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE→⊥DA →，∴BE ⊥DA ． 又P A ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面P AD . 又BE ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面P AD . 1.用向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示面面平行①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题线线垂直 问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直 问题 直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直 问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直1. 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直，M 为AA 1的中点，N 为BC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面A 1B 1C 1； (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C ．证明 由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设正方形AA 1C 1C 的边长为2，则A (0,0,0)，A 1(2,0,0)，B (0,2,0)，B 1(2,2,0)，C (0,0,2)，C 1(2,0,2)，M (1,0,0)，N (1,1,1)．(1)因为几何体是直三棱柱， 所以侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1.因为AA 1→＝(2,0,0)，MN →＝(0,1,1)，所以MN →·AA 1→＝0，即MN →⊥AA 1→.因为MN ⊄平面A 1B 1C 1，故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为MB →＝(－1,2,0)，MC 1→＝(1,0,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →＝0，n 1·MC 1→＝0，即⎩⎨⎧－x 1＋2y 1＝0，x 1＋2z 1＝0， 令x 1＝2，则平面MBC 1的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C ． 多角度探究突破考向二 利用空间向量求空间角 角度1 求异面直线所成的角例2 (1) (2020·汕头模拟)如图，正四棱锥P －ABCD 的侧面P AB 为正三角形，E 为PC 的中点，则异面直线BE 和P A 所成角的余弦值为( )A ．33B ．32C ．22D ．12答案 A解析 连接AC ，BD ，交于点O ，连接PO ，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则OA ＝OB ＝OP ＝1，A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，P (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1，12，P A →＝(1,0，－1)，设异面直线BE 和P A 所成角为θ，则cos θ＝|BE →·P A →||BE →||P A →|＝132×2＝33. ∴异面直线BE 和P A 所成角的余弦值为33.故选A ．(2) 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线D 1E 和A 1F 所成角的余弦值等于________.答案 25解析 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系．则A 1(2,0,2)，F (1,0,0)，D 1(0，0,2)，E (0，2,1)， 则A 1F →＝(－1,0，－2)，D 1E →＝(0,2，－1)， cos 〈D 1E →，A 1F →〉＝D 1E →·A 1F →|D 1E →||A 1F →|＝25×5＝25， ∴异面直线D 1E 和A 1F 所成角的余弦值等于25.(1)求异面直线所成角的思路①选好基底或建立空间直角坐标系； ②求出两直线的方向向量v 1，v 2；③代入公式cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解(θ为两异面直线所成角)．(2)两异面直线所成角的关注点两异面直线所成角θ的范围是(0°，90°]，两向量的夹角α的范围是[0°，180°]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，该角就是异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．2.(多选)(2020·山东潍坊5月模拟)已知在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，H 分别是AB ，DD 1，BC 1的中点，下列结论中正确的是( )A ．D 1C 1∥平面CHDB ．AC 1⊥平面BDA 1C ．三棱锥D －BA 1C 1的体积为56 D ．直线EF 与BC 1所成的角为30° 答案 ABD解析 如图1所示，因为D 1C 1∥DC ，D 1C 1⊄平面CHD ，DC ⊂平面CHD ，所以D 1C 1∥平面CHD ，A 正确；建立空间直角坐标系，如图2所示．由于正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则AC 1→＝(－1,1,1)，BD →＝(－1，－1,0)，DA 1→＝(1,0,1)，所以AC 1→·BD →＝1－1＋0＝0，AC 1→·DA 1→＝－1＋0＋1＝0，所以AC 1→⊥BD →，AC 1→⊥DA 1→，所以AC 1⊥平面BDA 1，B 正确；三棱锥D －BA 1C 1的体积为V 三棱锥D －BA 1C 1＝V 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1－4V 三棱锥A 1－ABD ＝1－4×13×12×1×1×1＝13，所以C 错误；E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，12，BC →1＝(－1,0,1)，所以cos 〈EF →，BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝1＋0＋1232×2＝32，所以直线EF 与BC 1所成的角是30°，D 正确．故选ABD.角度2 求直线与平面所成的角例3 (2020·山东高考) 如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面P AD 与平面PBC 的交线为l .(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．解 (1)证明：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ， 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC ，又因为AD ⊂平面P AD ，平面P AD ∩平面PBC ＝l ， 所以AD ∥l .因为在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 所以AD ⊥DC ，所以l ⊥DC ，又PD ⊥平面ABCD ，所以AD ⊥PD ，所以l ⊥PD . 因为DC ∩PD ＝D ，所以l ⊥平面PDC ． (2)如图，建立空间直角坐标系Dxyz .因为PD ＝AD ＝1，所以D (0,0,0)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，P (0，0,1)，B (1,1,0)， 设Q (m,0,1)，则有DC→＝(0,1,0)，DQ →＝(m,0,1)，PB →＝(1,1，－1)．设平面QCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧DC →·n ＝0，DQ →·n ＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，mx ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝－m ，所以平面QCD 的一个法向量为n ＝(1，0，－m )， 则cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝1＋0＋m 3·m 2＋1. 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，知直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值等于|cos 〈n ，PB→〉|＝ |1＋m |3·m 2＋1＝33·1＋2m ＋m 2m 2＋1＝33·1＋2m m 2＋1≤33·1＋2|m |m 2＋1≤33·1＋1＝63， 当且仅当m ＝1时取等号，所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为63.利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角．提醒：在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则在垂线上取两个点可构成一个法向量．3.(2019·浙江高考)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．解解法一：(1)证明：如图1，连接A1E.因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．又因为平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F.又因为A1E∩A1F＝A1，所以BC⊥平面A1EF.因为EF⊂平面A1EF，所以EF⊥BC．(2)如图1，取BC的中点G，连接EG，GF，连接A1G交EF于点O，则四边形EGF A1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGF A1为矩形．由(1)，得BC⊥平面EGF A1，所以平面A1BC⊥平面EGF A1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)．不妨设AC ＝4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ＝23，EG ＝ 3. 由于O 为A 1G 的中点，故EO ＝OG ＝A 1G 2＝152， 所以cos ∠EOG ＝EO 2＋OG 2－EG 22EO ·OG＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35. 解法二：(1)证明：如图2，连接A 1E .因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又因为平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，所以A 1E ⊥平面ABC ．以点E 为坐标原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz .不妨设AC ＝4，则E (0,0,0)，A 1(0,0，23)，B (3，1,0)，B 1(3，3,23)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，23，C (0,2,0)． 因此，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，23，BC →＝(－3，1,0)．由EF →·BC→＝0，得EF ⊥BC ．(2)由(1)可得BC →＝(－3，1,0)，A 1C →＝(0,2，－23)． 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0. 取n ＝(1, 3，1)，设直线EF 与平面A 1BC 所成的角为θ，故sin θ＝|cos 〈EF →，n 〉|＝|EF →·n ||EF →||n |＝45，所以cos θ＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35. 角度3 求二面角例4 (2020·济南一模)如图1，平面四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，AC ⊥CD ，E 为BC 的中点，将△ACD 沿对角线AC 折起，使CD ⊥BC ，连接BD ，DE ，AE ，得到如图2所示的三棱锥D －ABC ．(1)证明：平面ADE ⊥平面BCD ；(2)已知直线DE 与平面ABC 所成的角为π4，求二面角A －BD －C 的余弦值． 解 (1)证明：在三棱锥D －ABC 中，因为CD ⊥BC ，CD ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ，所以CD ⊥平面ABC ． 又AE ⊂平面ABC ，所以AE ⊥CD .因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ． 又BC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面BCD . 又AE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCD .(2)由(1)可知∠DEC 即为直线DE 与平面ABC 所成的角，所以∠DEC ＝π4. 在Rt △ABC 中，由勾股定理得BC ＝2，故CD ＝CE ＝1.作EF ∥CD 交BD 于点F ，由(1)知EA ，EB ，EF 两两垂直，以E 为原点，EA ，EB ，EF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则E (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，D (0，－1,1)， 易知平面BCD 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)， 又AB→＝(－1,1,0)，AD →＝(－1，－1,1)， 设平面ABD 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB →＝－x ＋y ＝0，n 2·AD →＝－x －y ＋z ＝0，令x ＝1，解得n 2＝(1,1,2)， cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝66.由图可知，该二面角为锐角， 所以二面角A －BD －C 的余弦值为66.利用向量法确定二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量夹角的大小就是二面角的大小．4. (2020·青岛模拟)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiàn dǔ)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑(biē nào)指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ．(1)求证：四棱锥B －A 1ACC 1为阳马；(2)若C 1C ＝BC ＝2，当鳖臑C 1－ABC 体积最大时，求锐二面角C －A 1B －C 1的余弦值．解 (1)证明：∵A 1A ⊥底面ABC ，AB ⊂面ABC ， ∴A 1A ⊥AB ．又AB ⊥AC ，A 1A ∩AC ＝A ， ∴AB ⊥面ACC 1A 1. 又四边形ACC 1A 1为矩形， ∴四棱锥B －A 1ACC 1为阳马．(2)∵AB ⊥AC ，BC ＝2，∴AB 2＋AC 2＝4. 又C 1C ⊥底面ABC ，∴VC 1－ABC ＝13·C 1C ·12AB ·AC ＝13·AB ·AC ≤13·AB 2＋AC 22＝23，当且仅当AB ＝AC ＝2时，＝13·AB ·AC 取最大值．∵AB ⊥AC ，A 1A ⊥底面ABC ，∴以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (2，0,0)，C (0，2，0)，A 1(0，0,2)，C 1(0，2，2)，A 1B →＝(2，0，－2)，BC →＝(－2，2，0)，A 1C 1→＝(0，2，0)．设面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·BC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－2z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0，令z 1＝1，得n 1＝(2，2，1)． 同理得面A 1BC 1的一个法向量为n 2＝(2，0,1)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝155，∴二面角C －A 1B －C 1的余弦值为155.用向量法探究点的位置如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．解 (1)证明：因为平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥PD .又因为P A ⊥PD ，P A ∩AB ＝A ，所以PD ⊥平面P AB ． (2)如图，取AD 的中点O ，连接PO ，CO .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD . 又因为PO ⊂平面P AD ， 平面P AD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD . 因为CO ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥CO .因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD . 建立空间直角坐标系Oxyz .由题意得，A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，P (0，0,1)，PB →＝(1,1，－1)，PC→＝(2,0，－1)，PD →＝(0，－1，－1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0. 令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2，所以n ＝(1，－2,2)． 又PB→＝(1,1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB→|＝－33，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.(3)假设在棱P A 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP→.因此点M (0,1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ)． 因为BM ⊄平面PCD ，所以当且仅当BM →·n ＝0时，BM ∥平面PCD ，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0，解得λ＝14. 所以在棱P A 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14. 答题启示对于点的探究型问题，要善于根据点的位置结合向量的有关定理灵活设出未知量，尽量使未知量个数最少．对点训练(2020·滨州二模) 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝60°，直角梯形ADFE 所在的平面垂直于平面ABCD ，且∠EAD ＝90°，EA ＝AD ＝2DF ＝2CD ＝2.(1)证明：平面ECD ⊥平面ACE ；(2)点M 在线段EF 上，试确定点M 的位置，使平面MCD 与平面EAB 所成的二面角的余弦值为34.解 (1)证明：因为平面ABCD ⊥平面ADFE ，平面ABCD ∩平面ADFE ＝AD ，EA ⊥AD ，EA ⊂平面ADFE ，所以EA ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以EA ⊥CD ， 在△ADC 中，CD ＝1，AD ＝2，∠ADC ＝60°， 由余弦定理得，AC ＝ 1＋4－2×1×2cos60°＝3， 所以AC 2＋CD 2＝AD 2，所以CD ⊥AC ．又EA ⊥CD ，EA ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面ACE ， 又CD ⊂平面ECD ，所以平面ECD ⊥平面ACE . (2)以C 为坐标原点，以CA ，CD 所在直线分别为x 轴、 y 轴，过点C 且平行于AE 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0，D (0,1,0)，E (3，0,2)，F (0,1,1)，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，0，AE →＝(0,0,2)，CD→＝(0,1,0)，FE →＝(3，－1,1)，CF →＝(0,1,1)，设FM →＝λFE →＝(3λ，－λ，λ)(0≤λ≤1)，则CM→＝CF →＋FM →＝(3λ，1－λ，1＋λ)．设平面EAB 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧－32x 1－12y 1＝0，2z 1＝0，取x 1＝1，得m ＝(1，－3，0)．设平面MCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CM →＝0，得⎩⎨⎧y 2＝0，3λx 2＋(1－λ)y 2＋(1＋λ)z 2＝0，令x 2＝1＋λ，得n ＝(1＋λ，0，－3λ)，因为平面MCD 与平面EAB 所成的二面角的余弦值为34，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝|1＋λ|24λ2＋2λ＋1＝34， 整理得8λ2－2λ－1＝0，解得λ＝12或λ＝－14(舍去)，所以点M 为线段EF 的中点时，平面MCD 与平面EAB 所成的二面角的余弦值为34.一、单项选择题1．直线l 的方向向量a ＝(1，－3,5)，平面α的法向量n ＝(－1,3，－5)，则有( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α斜交D ．l ⊂α或l ∥α答案 B解析 因为a ＝(1，－3,5)，n ＝(－1,3，－5)，所以a ＝－n ，a ∥n .所以l ⊥平面α.选B ．2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90° 答案 C解析 ∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12＝22，∴〈m ，n 〉＝45°.∴二面角为45°或135°.故选C ．3. 如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是上底面A 1B 1C 1D 1和侧面ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．135°答案 B解析 以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，DC →＝(0,1,0)，∴cos 〈EF →，DC →〉＝EF →·DC →|EF →||DC →|＝－22，∴〈EF →，DC →〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角是45°.故选B ．4．如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝4，则直线BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( )A ．13B ．33C ．63D ．223答案 A解析 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz .则A (2,0,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,4)，B (2,2,0)，B 1(2,2,4)，AC →＝(－2,2，0)，AD 1→＝(－2,0,4)，BB 1→＝(0,0,4)． 设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋2y ＝0，－2x ＋4z ＝0， 取x ＝2，则y ＝2，z ＝1，故n ＝(2,2,1)是平面ACD 1的一个法向量，设直线BB 1与平面ACD 1所成的角是θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BB 1→〉|＝|n ·BB 1→||n ||BB 1→|＝49×4＝13.故选A ．5．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B ．41C ．4D ．2 5答案 A解析 ∵A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，∴AB→＝(4，－5,0)，AC →＝(0,4，－3)．∵点D 在直线AC 上，∴设AD →＝λAC →＝(0,4λ，－3λ)，由此可得BD→＝AD →－AB →＝(0,4λ，－3λ)－(4，－5,0)＝(－4,4λ＋5，－3λ)．又BD →⊥AC →，∴BD →·AC →＝－4×0＋(4λ＋5)×4＋(－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝－45.因此BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125.可得|BD→|＝ (－4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝5.6. (2020·安徽六安一中质检)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．22答案 A解析 分别以CA ，CB ，CC 1所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，设AD ＝a ，则点D 坐标为(1,0，a )，CD →＝(1,0，a )，CB 1→＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB 1→＝0，n ·CD →＝0，得⎩⎨⎧2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0，令z ＝－1，得n ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为m ＝(0，1,0)．所以cos60°＝m ·n |m ||n |，得1a 2＋2＝12，解得a ＝2，故选A ．7. (2021·湖南湘潭高三月考)在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1)C ．(1,1,1)D ．(2，－2,1)答案 A解析 P A →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎨⎧ x －2＝0，－x ＋y ＝0.解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.∴n ＝(2,2,1)．又⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，∴A 正确．8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A ．12 B ．23 C ．33 D ．22答案 B解析 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0，1,0)，∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D →＝0，n 1·A 1E →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)．又平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23.故选B ．二、多项选择题9．(2020·海口高考调研) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝23AB ＝2，AB ⊥AC ，点D ，E 分别是线段BC ，B 1C 上的动点(不含端点)，且EC B 1C ＝DCBC .则下列说法正确的是( )A ．ED ∥平面ACC 1B ．该三棱柱的外接球的表面积为68πC ．异面直线B 1C 与AA 1所成角的正切值为32 D ．二面角A －EC －D 的余弦值为413 答案 AD解析 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是矩形，因为ECB 1C ＝DC BC ，所以ED ∥BB 1∥CC 1，所以ED ∥平面ACC 1，A 正确；因为AA 1＝AC ＝23AB ＝2，所以AB ＝3，因为AB ⊥AC ，所以BC ＝22＋32＝13，所以B 1C ＝13＋4＝17，易知B 1C 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫1722＝17π，B 错误；因为AA 1∥BB 1，所以异面直线B 1C 与AA 1所成的角为∠BB 1C ．在Rt △B 1BC 中，BB 1＝2，BC ＝13，所以tan ∠BB 1C ＝BC BB 1＝132，C 错误；二面角A －EC －D 即二面角A －B 1C －B ，以A 为坐标原点，以AB →，AC →，AA 1→的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面AB 1C 的一个法向量为(2,0，－3)，平面BB 1C 的一个法向量为(2,3,0)，故二面角A －EC －D 的余弦值为2×213×13＝413，D 正确．10. (2020·山东模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列说法正确的是( )A ．直线A 1G 与平面AEF 平行B ．直线D 1D 与直线AF 垂直C ．平面AEF 截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为98 D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 答案 AC解析 如图，连接AD 1，D 1F ，因为A 1G ∥D 1F ，且A ，E ，F ，D 1在同一平面内，所以A 1G ∥平面AEF ，故A 正确；因为AF 与C 1C 相交且不垂直，D 1D 与C 1C 平行，所以直线D 1D 与直线AF 不垂直，故B 错误；平面AEF 截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面为等腰梯形AEFD 1，作EH ⊥AD 1，交AD 1于点H ，连接D 1E ，DE ，可得AE ＝52，AD 1＝2，D 1E ＝1＋54＝32，所以在△AD 1E中，cos ∠D 1AE ＝1010，所以sin ∠D 1AE ＝31010，所以EH ＝52×31010＝324，所以等腰梯形AD 1FE 的面积S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22×324＝98，故C 正确；以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，连接AG ，AC ，则可得平面AEF 的一个法向量为n ＝(2,1,2)，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC →＝(－1,1,0)，所以点G 到平面AEF 的距离d 1＝|AG →·n ||n |＝23，点C 到平面AEF 的距离d 2＝|AC →·n ||n |＝13，故D 错误．故选AC ．三、填空题11. 如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为________.答案60°解析∵CD→＝CA→＋AB→＋BD→，∴|CD→|＝(CA→＋AB→＋BD→)2＝ 36＋16＋64＋2CA→·BD→＝ 116＋2CA→·BD→＝217.∴CA→·BD→＝|CA→||BD→|cos〈CA→，BD→〉＝－24.∴cos〈CA→，BD→〉＝－12.又所求二面角与〈CA→，BD→〉互补，∴所求的二面角为60°.12. 正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________.答案 π6解析 以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，得下列坐标：A (2，0,0)，C 1(0，0，22)．点C 1在侧面ABB 1A 1内的射影为点C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，22.所以AC 1→＝(－2,0,22)，AC 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，22，设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则cos θ＝AC 1→·AC 2→|AC1→||AC 2→|＝1＋0＋823×3＝32.又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以θ＝π6.13．(2020·山西大同高三模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，且A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________.答案 平行解析 MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN →＝13BA 1→＋A 1A →＋13AC →＝13(BA →＋AA 1→)＋A 1A →＋13(AB →＋BC →)＝23A 1A →＋13BC →＝23B 1B →＋13BC →.∴MN →与B 1B →，BC →共面．又MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C ．14．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值为________.答案23解析 如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，设DA ＝1，由已知条件得A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，23， 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，由图知θ为锐角，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，则z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－3)，平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0，－1)，cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝31111，tan θ＝23.四、解答题15．(2020·山东省模拟考) 如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形．SA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AD ，SC 的中点，EF 与平面ABCD 所成的角为45°.(1)证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF ＝12BC ，求二面角B －SC －D 的余弦值．解 (1)证明：以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .设D (0，b,0)，S (0,0，c )，则C (1，b,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2，c 2，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，c 2，AS →＝(0,0，c )，AD→＝(0，b,0)． 因为EF 与平面ABCD 所成的角为45°，所以EF →与平面ABCD 的法向量AS →的夹角为45°.所以AS →·EF →＝|AS →||EF →|cos45°， 即c 22＝22×c ×14＋c 24，解得c ＝1，故EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，SC →＝(1，b ，－1)， 从而EF →·SC →＝0，EF →·AD →＝0，所以EF ⊥SC ，EF ⊥AD .因此EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线． (2)由B (1,0,0)，BC →＝(0，b,0)， |EF→|＝12|BC →|得b ＝ 2. 于是F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，12，C (1，2，0)，连接FB ，故FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－22，－12，SC →＝(1，2，－1)，从而FB →·SC→＝0，即FB ⊥SC ．取CF 的中点G ，连接GD ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，324，14，GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，24，－14，从而GD →·SC→＝0，即GD ⊥SC ．因此〈FB→，GD →〉等于二面角B －SC －D 的平面角．cos 〈FB →，GD →〉＝FB →·GD →|FB →||GD →|＝－33.所以二面角B －SC －D 的余弦值为－33.16. (2020·全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .(1)证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO ＝AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值．解 (1)证明：∵M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点， ∴MN ∥BB 1.又AA 1∥BB 1，∴AA 1∥MN .∵△A 1B 1C 1为等边三角形，N 为B 1C 1的中点， ∴A 1N ⊥B 1C 1.又侧面BB 1C 1C 为矩形，∴B 1C 1⊥BB 1. ∵MN ∥BB 1，∴MN ⊥B 1C 1.又MN ∩A 1N ＝N ，MN ，A 1N ⊂平面A 1AMN ， ∴B 1C 1⊥平面A 1AMN .又B 1C 1⊂平面EB 1C 1F ， ∴平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)解法一：连接NP ，∵AO ∥平面EB 1C 1F ，平面AONP ∩平面EB 1C 1F ＝NP ， ∴AO ∥NP .∵三棱柱上下底面平行，平面A 1AMN ∩平面ABC ＝AM ，平面A 1AMN ∩平面A 1B 1C 1＝A 1N ，∴ON ∥AP .∴四边形ONP A 是平行四边形． ∴ON ＝AP ，AO ＝NP . 设△ABC 边长是6m (m ＞0)， 则NP ＝AO ＝AB ＝6m .∵O 为△A 1B 1C 1的中心，且△A 1B 1C 1的边长为6m ， ∴ON ＝13×6m ×sin60°＝3m .∴ON ＝AP ＝3m . ∵BC ∥B 1C 1，B 1C 1⊂平面EFC 1B 1， ∴BC ∥平面EFC 1B 1.又BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面EFC 1B 1＝EF ， ∴EF ∥BC ，∴AP AM ＝EP BM ，∴3m 33m ＝EP 3m ，解得EP ＝m .在B 1C 1截取B 1Q ＝EP ＝m ，连接PQ ，故QN ＝2m . ∵B 1Q ＝EP 且B 1Q ∥EP ，∴四边形B 1QPE 是平行四边形，∴B 1E ∥PQ . 由(1)可知B 1C 1⊥平面A 1AMN ，故∠QPN 为B 1E 与平面A 1AMN 所成角． 在Rt △QPN 中，根据勾股定理可得PQ ＝QN 2＋NP 2＝(2m )2＋(6m )2＝210m ， ∴sin ∠QPN ＝QN PQ ＝2m 210m＝1010.∴直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值为1010. 解法二：由(1)知平面A 1AMN ⊥平面ABC ，作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC ．由已知得AM ⊥BC ，以Q 为坐标原点，QA→的方向为x 轴正方向，QN →的方向为z 轴正方向，|MB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Qxyz ，设QM ＝a ，则AB ＝2，AM ＝ 3.连接NP ，则四边形AONP 为平行四边形， ∴NP ＝AO ＝AB ＝2，∴PQ ＝233－a ，NQ ＝ NP 2－PQ 2＝ 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a2， ∴B 10,1,4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a 2 ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a ，13，0，故B 1E →＝233－a ，－23，－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a2，|B 1E →|＝2103.又n ＝(0，－1,0)是平面A 1AMN 的一个法向量， 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－〈n ，B 1E →〉＝cos 〈n ，B 1E →〉＝n ·B 1E →|n ||B 1E →|＝1010.∴直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值为1010.17．(2020·泰安三模)在四棱锥P －ABCD 中，△P AB 为等边三角形，四边形ABCD 为矩形，E 为PB 的中点，DE ⊥PB ．(1)证明：平面ABCD ⊥平面P AB ；(2)设二面角A －PC －B 的大小为α，求α的取值范围．解 (1)证明：连接AE ，因为△P AB 为等边三角形，所以AE ⊥PB ． 又DE ⊥PB ，AE ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面ADE ，所以PB ⊥AD . 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥AB ，且AB ∩PB ＝B ， 所以AD ⊥平面P AB ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面P AB ．(2)以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，不妨设PB ＝AB ＝P A ＝1，C (0,1，n )，则A (0,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，B (0，1,0)，由空间向量的坐标运算可得PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，n ，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0.设平面BPC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PC →＝0，m ·BP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32x 1＋12y 1＋nz 1＝0，32x 1－12y 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝3，z 1＝0，所以m ＝(1，3，0)． 设平面P AC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32x 2＋12y 2＋nz 2＝0，32x 2＋12y 2＝0，令x 2＝1，则y 2＝－3，z 2＝3n ，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，3n .二面角A －PC －B 的大小为α，由图可知，二面角α为锐二面角， 所以cos α＝|m ·n ||m ||n |＝|1－3|1＋3×1＋3＋3n 2＝14＋3n 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. 18．(2020·山东平邑一中模拟)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①AB ⊥BC ；②FC 与平面ABCD 所成的角为π6；③∠ABC ＝π3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ＝2，PD 的中点为F .(1)在线段AB上是否存在一点G，使得AF∥平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；(2)若________，求二面角F－AC－D的余弦值．解(1)在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG.证明如下：如图所示．设PC的中点为H，连接FH，GH，∵FH∥CD，FH＝12CD，AG∥CD，AG＝12CD，∴FH∥AG，FH＝AG，∴四边形AGHF为平行四边形，则AF∥GH，又GH⊂平面PCG，AF⊄平面PCG，∴AF∥平面PCG.(2)选择①AB⊥BC：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，由题意，知AB，AD，AP两两垂直，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵P A＝AB＝2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，F(0，1,1)，P(0,0,2)，∴AF→＝(0,1,1)，CF→＝(－2，－1,1)，设平面F AC 的一个法向量为μ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧μ·AF →＝y ＋z ＝0，μ·CF →＝－2x －y ＋z ＝0，取y ＝1，得μ＝(－1,1，－1)， 平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)， 设二面角F －AC －D 的平面角为θ， 由图可知，二面角θ为锐二面角， 则cos θ＝|μ·v ||μ||v |＝33，∴二面角F －AC －D 的余弦值为33. 选择②FC 与平面ABCD 所成的角为π6：∵P A ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连接AE ，取AD 的中点M ，连接FM ，CM ，则FM ∥P A ，且FM ＝1，∴FM ⊥平面ABCD ， FC 与平面ABCD 所成角为∠FCM ， ∴∠FCM ＝π6，在Rt △FCM 中，CM ＝3，又CM ＝AE ，∴AE 2＋BE 2＝AB 2，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2，∴A (0,0,0)，B (3，－1,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，F (0,1,1)，P (0,0,2)，∴AF→＝(0,1,1)，CF →＝(－3，0,1)， 设平面F AC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AF →＝y ＋z ＝0，m ·CF →＝－3x ＋z ＝0，取x ＝3，得m ＝(3，－3,3)，平面ACD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，设二面角F －AC －D 的平面角为θ，由图可知，二面角θ为锐二面角，则cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝217.∴二面角F －AC －D 的余弦值为217.选择③∠ABC ＝π3：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，取BC 中点E ，连接AE ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是正三角形，∵E 是BC 的中点，∴BC ⊥AE ，∴AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2，∴A (0,0,0)，B (3，－1,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，F (0,1,1)，P (0,0,2)，∴AF→＝(0,1,1)，CF →＝(－3，0,1)， 设平面F AC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AF →＝y ＋z ＝0，m ·CF →＝－3x ＋z ＝0，取x ＝3，得m ＝(3，－3,3)，平面ACD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 设二面角F －AC －D 的平面角为θ，由图可知，二面角θ为锐二面角，则cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝217.∴二面角F －AC －D 的余弦值为217.。
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第2节空间点、直线、平面的位置关系考试要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；2.了解四个公理和一个定理.知识梳理1.平面的基本性质(1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
（2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（3）公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2。
空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥b a∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号a,b是异面直线a⊂α语言3.平行公理(公理4）和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4。
异面直线所成的角(1)定义:设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角).(2)范围：错误!.[微点提醒]1。
考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理[微点提醒]1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修2P66练习改编)已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A.b⊂αB.b∥αC.b⊂α或b∥αD.b与α相交答案 C3.(必修2P67练习2改编)已知P为△ABC所在平面外一点，且P A，PB，PC两两垂直，有下列结论：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④解析如图，因为P A⊥PB，P A⊥PC，PB∩PC＝P，且PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以P A⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以P A⊥BC，同理可得PB⊥AC，PC⊥AB，故①②③正确.答案 A4.(2019·上海静安区质检)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A.α⊥β且m⊂αB.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC解析如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1⊂平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案 C6.(2018·安阳二模)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是()A.若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bB.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC.若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥βD.若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β解析对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，故a∥b，故A正确；对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，∴存在直线m⊂α，使得m∥b，又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正确；对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，所以b⊂β或b∥β，故C错误；对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确.答案 C考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC 的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.(1)证明因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH 的长为点C 到平面POM 的距离. 由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l ⊥a ，l ⊂β⇒l ⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】 (2019·青岛调研)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC 的体积为312，求线段CE 的长. (1)证明 ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴AB ⊥BC 1，在△CBC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝60°，由余弦定理得BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos ∠BCC 1＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，∴BC 1＝3， ∴BC 2＋BC 21＝CC 21，∴BC ⊥BC 1，又AB ，BC ⊂平面ABC ，BC ∩AB ＝B ， ∴BC 1⊥平面ABC .(2)解 ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴V E －ABC ＝V A －EBC ＝13S △BCE ·AB ＝13S △BCE ·1＝312，∴S △BCE ＝34＝12CE ·BC ·sin ∠BCE ＝12CE ·32，∴CE＝1.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，P A⊂平面P AD，∴P A⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，且P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，∴CD⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】 (2018·泸州模拟)如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AD ＝SD ，BC ＝CD ＝12AB ，侧面SAD ⊥底面ABCD .(1)求证：平面SBD ⊥平面SAD ；(2)若∠SDA ＝120°，且三棱锥S －BCD 的体积为612，求侧面 △SAB 的面积. (1)证明 设BC ＝a ，则CD ＝a ，AB ＝2a ，由题意知△BCD 是等腰直角三角形，且∠BCD ＝90°， 则BD ＝2a ，∠CBD ＝45°， 所以∠ABD ＝∠ABC －∠CBD ＝45°， 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋DB 2－2AB ·DB ·cos 45°＝2a ， 因为AD 2＋BD 2＝4a 2＝AB 2，所以BD ⊥AD ，由于平面SAD ⊥底面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面SAD ，又BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SAD .(2)解 由(1)可知AD ＝SD ＝2a ，在△SAD 中，∠SDA ＝120°，SA ＝2SD sin 60°＝6a . 作SH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ， 则SH ＝SD sin 60°＝62a ， 由(1)知BD ⊥平面SAD ，因为SH ⊂平面SAD ，所以BD ⊥SH . 又AD ∩BD ＝D ，所以SH ⊥平面ABCD ， 所以SH 为三棱锥S －BCD 的高， 所以V S －BCD ＝13×62a ×12×a 2＝612，解得a ＝1.由BD ⊥平面SAD ，SD ⊂平面SAD ，可得BD ⊥SD ， 则SB ＝SD 2＋BD 2＝2＋2＝2. 又AB ＝2，SA ＝6， 在等腰三角形SBA 中， 边SA 上的高为4－64＝102， 则△SAB 的面积为12×6×102＝152.考点三 平行与垂直的综合问题多维探究角度1 多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】 (2018·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面P AB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .证明 (1)因为P A ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD . 所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形， 所以AB ⊥AD .又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以AB ⊥平面P AD . 所以AB ⊥PD .又因为P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ，所以PD ⊥平面P AB .又PD ⊂平面PCD ， 所以平面P AB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 中点G ，连接FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG . 所以四边形DEFG 为平行四边形. 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 角度2 平行与垂直关系中的探索性问题【例3－2】 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在点M ，求出PMMC 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题知AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32，由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P －ABC 的高.又P A ＝1，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.故存在满足条件的点M ，且PM MC ＝13.规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点. 角度3 空间位置关系与几何体的度量计算【例3－3】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.(1)解 如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD ⊥平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， 所以AD ⊥PD .在Rt △PDA 中，由已知，得AP ＝AD 2＋PD 2＝5， 故cos ∠DAP ＝AD AP ＝55.所以，异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55. (2)证明 由(1)知AD ⊥PD ， 又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC . 又PD ⊥PB ，BC ∩PB ＝B ， 所以PD ⊥平面PBC .(3)解 过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角.因PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角. 由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1. 由已知，得CF ＝BC －BF ＝2. 又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC .在Rt △DCF 中，可得DF ＝CD 2＋CF 2＝2 5. 在Rt △DPF 中，可得sin ∠DFP ＝PD DF ＝55.所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55. 规律方法 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AD ∥BC ，AD ⊥PD ，得PD ⊥BC ，进而利用线面垂直的判定定理证明PD ⊥平面PBC .2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可. (1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.【训练3】 如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB .(1)证明：PE ⊥FG .(2)求二面角P －AD －C 的正切值.(3)求直线P A 与直线FG 所成角的余弦值. (1)证明 因为PD ＝PC 且点E 为CD 的中点， 所以PE ⊥DC .又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD ， 又FG ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥FG .(2)解 由(1)知PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥AD ， 又AD ⊥CD ，PE ∩CD ＝E ， ∴AD ⊥平面PDC ，∴AD ⊥PD ，∴∠PDC 为二面角P －AD －C 的平面角， 在Rt △PDE 中，PD ＝4，DE ＝3，∴PE ＝16－9＝7，∴tan ∠PDC ＝PE DE ＝73.故二面角P －AD －C 的正切值为73. (3)解 如图，连接AC ，∵AF ＝2FB ，CG ＝2GB ，∴AC ∥FG .∴直线P A 与FG 所成角即直线P A 与AC 所成角∠P AC . 在Rt △PDA 中，P A 2＝AD 2＋PD 2＝25，∴P A ＝5.又PC ＝4. AC 2＝CD 2＋AD 2＝36＋9＝45，∴AC ＝3 5. 又cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝25＋45－162×5×35＝925 5.所以直线P A 与直线FG 所成角的余弦值为9525.[思维升华]1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β；2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 3.转化思想：三种垂直关系之间的转化[易错防范]1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.直观想象、逻辑推理——立体几何中的动态问题1.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.2.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等.3.一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(理科还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程).【例1】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分解析 把MN 平移到平面A 1B 1C 1D 1中，直线D 1P 与MN 所成角为θ，直线D 1P 与MN 所成角的最小值是直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角，即原问题转化为：直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为π3，点P 在平面A 1B 1C 1D 1的投影为圆的一部分，因为点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，所以点P 的轨迹是椭圆的一部分.故选B.答案 B【例2】 (2018·石家庄一模)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝4，M 是PB 上的一个动点(不与P ，B 重合)，过点M 作平面α∥平面P AD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面P AD 之间的距离为x ，则函数y ＝f (x )的图象是( )解析 过M 作MN ⊥AB ，交AB 于N ，则MN ⊥平面ABCD ，过N 作NQ ∥AD ，交CD 于Q ，过Q 作QH ∥PD ，交PC 于H ，连接MH ，则平面MNQH 是所作的平面α， 由题意得2－x 2＝MN 4，解得MN ＝4－2x ，由CQ CD ＝QHPD.即2－x 2＝QH25，解得QH ＝5(2－x )， 过H 作HE ⊥NQ ，在Rt △HEQ 中，EQ ＝HQ 2－HE 2＝2－x ， ∴NE ＝2－(2－x )＝x ，∴MH ＝x . ∴y ＝f (x )＝（x ＋2）（4－2x ）2＝－x 2＋4(0<x <2).∴函数y ＝f (x )的图象如图.故选C.答案 C【例3】 如图，在棱长为2的正四面体A －BCD 中，E 、F 分别为直线AB 、CD 上的动点，且|EF |＝ 3.若记EF 中点P 的轨迹为L ，则|L |等于________(注：|L |表示L 的测度，在本题，L 为曲线、平面图形、空间几何体时，|L |分别对应长度、面积、体积).解析 如图，当E 为AB 中点时，F 分别在C ，D 处，满足|EF |＝3，此时EF 的中点P 在EC ，ED 的中点P 1，P 2的位置上；当F 为CD 中点时，E 分别在A ，B 处，满足|EF |＝3，此时EF 的中点P 在BF ，AF 的中点P 3，P 4的位置上，连接P 1P 2，P 3P 4相交于点O ，则四点P 1，P 2，P 3，P 4共圆，圆心为O ，圆的半径为12，则EF 中点P 的轨迹L 为以O 为圆心，以12为半径的圆，其测度|L |＝2π×12＝π.答案 π【例4】 已知ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，且AB ＝1，AD ＝CD ＝2，ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足MB ，MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为( ) A.43B.163C.49π D.83π 解析 根据题意，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图1所示，则B (2，1，0)，C (0，2，0)，设M (x ，0，z )，易知直线MB ，MC 与平面ADEF 所成的角分别为∠AMB ，∠DMC ，均为锐角，且∠AMB ＝∠DMC ，所以sin ∠AMB ＝sin ∠DMC ⇒AB MB ＝CDMC，即2MB ＝MC ，因此2（2－x ）2＋12＋z 2＝x 2＋22＋z 2，整理得⎝⎛⎭⎫x －832＋z 2＝169，由此可得，点M 在正方形ADEF 内的轨迹是以点O ⎝⎛⎭⎫83，0，0为圆心，半径为43的圆弧M 1M 2，如图2所示，易知圆心角∠M 1OM 2＝π3，所以lM 1M 2＝π3×43＝49π，故选C.答案 C基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n解析 因为α∩β＝l ，所以l ⊂β，又n ⊥β，所以n ⊥l . 答案 C2.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( ) A.若m ⊂α，则m ⊥β B.若m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n C.若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α D.若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α解析 对于A ：若m ⊂α，则m 与平面β可能平行或相交，所以A 错误；对于B：若m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行、相交或异面，所以B错误；对于C：若m⊄α，m⊥β，则m∥α，C正确；对于D：α∩β＝m，n⊥m，则n不一定与平面α垂直，所以D错误.答案 C3.(2019·泉州模拟)在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()解析如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意，故选D.答案 D4.(2019·济南一模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥nB.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n解析若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误.答案 B5.(2018·赣州模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在()A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部解析连接AC1，如图.∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC在平面ABC内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上.故选B.答案 B二、填空题6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有____________；与AP垂直的直线有____________.解析因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面P AC，又因为AP⊂平面P AC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案AB，BC，AC AB7.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可).解析 连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD .又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，所以BD ⊥PC .所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD .答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC )8.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为________.解析 连接A 1C 1，则∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角. 因为AB ＝BC ＝2，所以A 1C 1＝AC ＝22， 又AA 1＝1，所以AC 1＝3， 所以sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13.答案 13三、解答题9. (2019·石家庄摸底)如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点.(1)求证：BF ∥平面ADP ；(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.证明(1)如图，取PD的中点为G，连接FG，AG.∵F是CE的中点，∴FG是梯形CDPE的中位线，∵CD＝3PE，∴FG＝2PE，FG∥CD.∵CD∥AB，AB＝2PE，∴AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，∴BF∥AG，又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，∴BF∥平面ADP.(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM.∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，∴四边形ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE，∴FM∥PD.∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM⊥BD，∵AM∩FM＝M，∴BD⊥平面AMF，∴BD⊥平面AOF.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面P AC；(2)求证：平面P AB⊥平面P AC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得P A∥平面CEF？说明理由.(1)证明因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面P AC.(2)证明因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面P AC.又AB⊂平面P AB，所以平面P AB⊥平面P AC.(3)解棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EF∥P A.又因为P A⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，所以P A∥平面CEF.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·唐山一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有()A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，B正确.∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确.∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确.由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确.答案 B12.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A.2B.3C.4D.5解析设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC.∵D1E⊂平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC.∵D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1.又BC⊂平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1.∵BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，∴AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BCD1.∴共有3对平面相互垂直.故选B.答案 B13.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________.解析设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF，由已知可得A1B1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又12×2×2＝12×h 22＋(2)2， 所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66. 由面积相等得12×66×x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝12×22x ， 得x ＝12. 答案 1214.如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图②所示的几何体.(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面ADE 的距离.(1)证明 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BD ⊥DC ，DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABD .因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB ，又因为AD ⊥AB ，且DC ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC .(2)解 由(1)知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ，即∠DAC 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角.依题意得tan ∠DAC ＝CD AD＝6， 因为AD ＝1，所以CD ＝6，设AB ＝x (x >0)，则BD ＝x 2＋1，因为△ABD ∽△DCB ，所以AB AD ＝DC BD ，即x 1＝6x 2＋1，解得x ＝2，故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝3.由于AB ⊥平面ADC ，AC ⊂平面ADC ，所以AB ⊥AC ，又E 为BC 的中点，所以由平面几何知识得AE ＝BC 2＝32， 因为BD ⊥DC ，E 为BC 的中点，所以DE ＝BC 2＝32， 所以S △ADE ＝12×1×⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫122＝22. 因为DC ⊥平面ABD ，所以V A －BCD ＝V C －ABD ＝13CD ·S △ABD ＝33. 设点B 到平面ADE 的距离为d .则由13d ·S △ADE ＝V B －ADE ＝V A －BDE ＝12V A －BCD ＝36，得d ＝62，即点B 到平面ADE 的距离为62. 新高考创新预测15.(多选题)在三棱锥P －ABC 中，已知P A ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，E ，F 分别是线段PB ，PC 上的动点，则下列说法正确的是( )A.当AE ⊥PB 时，△AEF 一定为直角三角形B.当AF ⊥PC 时，△AEF 一定为直角三角形C.当EF ∥平面ABC 时，△AEF 一定为直角三角形D.当PC ⊥平面AEF 时，△AEF 一定为直角三角形解析 因为AP ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AP ⊥BC ，又AB ⊥BC ，且P A 和AB 是平面P AB 内两条相交直线，则BC ⊥平面P AB ，又AE ⊂平面P AB ，所以BC ⊥AE ，又PB ∩BC ＝B ，当AE ⊥PB 时，AE ⊥平面PBC ，又EF ⊂平面PBC ，则AE ⊥EF ，△AEF 一定是直角三角形，A 正确；当EF ∥平面ABC 时，EF 在平面PBC 内，平面PBC 与平面ABC 相交于BC ，则EF ∥BC ，则EF ⊥AE ，△AEF 一定是直角三角形，C 正确；当PC ⊥平面AEF 时，又AE ⊂平面AEF ，AE ⊥PC ，又AE ⊥BC ，PC ∩BC ＝C ，则AE ⊥平面PBC ，又EF ⊂平面PBC ，所以AE ⊥EF ，△AEF 一定是直角三角形，D 正确；B 中结论无法证明.答案 ACD。
7．6 空间向量及运算[知识梳理]1．空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式①设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则|AB |②设点P (x ，y ，z )，则与坐标原点O 之间的距离为 |OP |(2)中点公式设点P (x ，y ，z )为P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，z ＝z 1＋z 22.2．空间向量的数量积 a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b〉． 3．空间向量的坐标运算a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)(a ，b 均为非零向量)：[诊断自测] 1．概念思辨(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．( ) (2)在向量的数量积运算中(a·b )·c ＝a ·(b·c )．( )(3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( )(4)对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB→＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(选修A2－1P 97A 组T 2)如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c答案 A解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .故选A. (2)(选修A2－1P 98T 4)如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：①EF →·BA →； ②EF →·DC →； ③EG 的长．解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°.①EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA→＝－a ，DC →＝b －c ， EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.②EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c )＝12(b ·c －a ·b －c 2＋a ·c )＝－14. ③EG→＝EB →＋BC →＋CG → ＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22.所以EG 的长为22.3．小题热身(1)在空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案 B解析 由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴A B →＝－3C D →，∴A B →与C D →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .故选B.(2)O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB→＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________. 答案 18解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18.题型1 空间向量的线性运算典例如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋( a ＋c ＋12b )＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a . ∴MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .方法技巧用已知向量表示某一向量的方法1．用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．2．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．3．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．冲关针对训练(2018·郑州模拟)如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN→，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝______.答案 56解析 设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA → ＝12b ＋12c －12a ，OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN → ＝12a ＋23⎝⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c ，又OG→＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 所以x ＝16，y ＝13，z ＝13， x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.题型2 共线向量与共面向量定理的应用典例已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．证明 (1)如图，连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →) ＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF→＋EH →， 由共面向量定理的推论知： E ，F ，G ，H 四点共面．(2)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG ，如图所示，由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH→＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形． 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分． 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG → ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(OC →＋OD →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 方法技巧证明三点共线和空间四点共面的方法共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．冲关针对训练1．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA→，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解 (1)由已知OA→＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA→－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA→＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA→，MB →，MC →共面． (2)由(1)知，MA →，MB →，MC →共面且MA ，MB ，MC 过同一点M ， ∴M ，A ，B ，C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内． 2．如图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 在PD 上，N 在AC 上，若DM MP ＝CNNA ，用向量法证明：直线MN ∥平面P AB .证明 建立如图所示的空间坐标系，设C (a,0,0)， A (0，b,0)，P (m ，n ，p )，则 D (a ，b,0)，∴BP→＝(m ，n ，p )，BA →＝(0，b,0)， CA→＝(－a ，b,0)，DP →＝(m －a ，n －b ，p )，DC →＝(0，－b,0)， ∵DM MP ＝CN NA ，∴DM DP ＝CN CA ， 设DM DP ＝CNCA ＝λ，则DM→＝λDP →＝(mλ－aλ，nλ－bλ，pλ)， CN→＝λCA →＝(－aλ，bλ，0)． ∴MN→＝－DM →＋DC →＋CN →＝(－mλ，2bλ－nλ－b ，－pλ)， ∴MN→＝－λBP →＋(2λ－1)BA →. ∵BP ⊂平面P AB ，BA ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，∴MN ∥平面P AB .题型3 空间向量的数量积及应用典例如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． 解 (1)证明：设AB→＝p ，AC →＝q ，AD →＝r . 由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°.MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2) ＝12(a 2cos60°＋a 2cos60°－a 2)＝0. ∴MN→⊥AB →，即MN ⊥AB . 同理可证MN ⊥CD .(2)设向量AN→与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )， MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p . ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60° ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ， ∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22. ∴cos θ＝23，∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23， 因此异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23. 方法技巧利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题1．a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 2．|a |＝a 2.3．cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |.冲关针对训练(2018·湛江期末)如图，在四面体S －ABC 中，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是棱SA ，BC ，AB ，SC ，AC ，SB 的中点，且EF ＝GH ＝MN ，求证：SA ⊥BC ，SB ⊥AC ，SC ⊥AB .证明 如图，设SA →＝r 1，SB →＝r 2，SC →＝r 3，则SE →，SF →，SG →，SH →，SM →，SN →分别为12r 1，12(r 2＋r 3)，12(r 1＋r 2)，12r 3，12(r 1＋r 3)，12r 2. 由条件EF ＝GH ＝MN 得⎝ ⎛⎭⎪⎫－r 1＋r 2＋r 322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1＋r 2－r 322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1－r 2＋r 322，展开得r 1·r 2＝r 2·r 3＝r 1·r 3， ∴r 1·(r 2－r 3)＝0， ∵r 1≠0，r 2－r 3≠0， ∴r 1⊥(r 2－r 3)，即SA ⊥BC . 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB .1.(2014·广东高考)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1,1,0)B ．(1，－1,0)C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)答案 B解析 经检验，选项B 中向量(1，－1,0)与向量a ＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为60°.故选B.2．(2017·成都模拟)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2u －1,2λ)，若a ∥b ，则λ与u 的值可以是( )A ．2，12 B ．－13，12 C ．－3,2 D ．2,2答案 A解析 由题意知(λ＋1)·2λ＝2×6，可得λ＝－3或2，由0·2λ＝2(2u －1)得u ＝12.故选A.3．(2018·西安质检)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF→的值为( ) A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2D.34a 2答案 C解析如图，设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三个向量两两的夹角为60°.AE →＝12(a ＋b )， AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.故选C.4. (2017·包头模拟)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．答案 (1,1,1)解析 由已知得D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)， 设P (0,0，a )(a >0)，则E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，a 2， 所以DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2，|DP →|＝a .|AE→|＝ (－1)2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝2＋a 24＝8＋a 22. 又cos 〈DP →，AE →〉＝33，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪0×(－1)＋0×1＋a 22a ·8＋a 22＝33，解得a 2＝4，即a ＝2，所以E (1,1,1).[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( )A.OA →B.OB →C.OC →D.OA→或OB → 答案 C解析 根据题意得OC →＝12(a －b )，所以OC →，a ，b 共面．故选C.2．有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP→＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ①正确；②中，若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立；③正确；④中，若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP→＝xMA →＋yMB →不正确．故选B. 3．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋2yBC →－3zCC ′→，则x ＋y ＋z ＝( )A ．1 B.76 C.56 D.23 答案 B解析 ∵AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AD →＋AB →＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝xAB →＋2yBC →－3zCC ′→，∴x ＝1，y ＝12，z ＝－13， ∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.故选B.4．已知四边形ABCD 满足AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB→>0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．平面四边形 D ．空间四边形答案 D解析 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．故选D.5. (2018·北京东城模拟)如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则|PC→|等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144答案 C解析 ∵PC →＝P A →＋AB →＋BC →， ∴PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →， ∴|PC →|2＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144， ∴|PC→|＝12.故选C. 6．(2017·舟山模拟)平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8答案 A解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，|AC 1→|2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→|＝5.故选A. 7．(2017·南充三模)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，下列命题： ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角为60°； ④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|， 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．①②③ C ．①④ D ．①②④ 答案 A解析 设正方体边长为单位长为1，建立空间直角坐标系，如图． A 1A →＝(0,0,1)，A 1D 1→＝(1,0,0)，A 1B 1→＝(0,1,0)，A 1C →＝(1,1,1)，AD 1→＝(1,0，－1)，所以对于①，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝(1,1,1)·(1,1,1)＝3＝3A 1B 1→2，故①正确；对于②，A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，故②正确； 对于③，因为AD 1→·A 1B →＝(1,0，－1)·(0,1,1)＝－1，向量AD 1→与向量A 1B →的夹角为120°，故③错误； ④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →||AA 1→|·|AD →|，但是|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④错误．故选A.8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP →＝xOA →＋yOB→＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时， 即OP→＝2OA →－3OB →＋2OC →， 则AP→－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →)，即 AP→＝－3AB →＋2AC →，根据共面向量定理，知P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理AP →＝mAB →＋nAC→， 即OP→－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)， 即OP→＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →， 即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2. 故是充分不必要条件．故选B.9．(2018·福州质检)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN→|为( ) A.216aB.66aC.156aD.153a答案 A解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )， ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，∴|MN→|＝ ⎝⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a .故选A.10．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直答案 B解析 如图所示，在图1中，易知AE ＝CF ＝63，BE ＝EF ＝FD ＝33.在图2中，设AE→＝a ，EF →＝b ，FC →＝c ， 则〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝90°，设〈a ，c 〉＝θ， 则AC→＝a ＋b ＋c ，BD →＝3b ， 故AC →·BD→＝3b 2＝1≠0， 故AC 与BD 不垂直，A 不正确；AB→＝AE →＋EB →＝a －b ，CD →＝CF →＋FD →＝b －c ， 所以AB →·CD →＝－a ·c －b 2＝－23cos θ－13.当cos θ＝－12，即θ＝2π3时，AB →·CD →＝0，故B 正确，D 不正确； AD→＝AE →＋ED →＝a ＋2b ，BC →＝BF →＋FC →＝2b ＋c ， 所以AD →·BC →＝a ·c ＋4b 2＝23cos θ＋43＝23(cos θ＋2)， 故无论θ为何值，AD →·BC →≠0，故C 不正确．故选B. 二、填空题11．(2017·银川模拟)已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB→，则|PD →|的值是________． 答案773解析 设P (x ，y ，z )，∴AP→＝(x －1，y －2，z －1)． PB →＝(－1－x ，3－y ，4－z )，由AP →＝2PB →，得点P 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－13，83，3，又D (1,1,1)，∴|PD →|＝773. 12．如图，已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，若P A →＝xPO→＋yPQ →＋PD →，则x ＋y ＝________.答案 0解析 P A →－PD →＝DA →＝OA →－OD → ＝－OC→－OD →＝－(OC →＋OD →) ＝－2OQ→＝－2(PQ →－PO →)＝2PO →－2PQ →. ∵P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →，∴P A →－PD →＝xPO →＋yPQ →， ∴2PO→－2PQ →＝xPO →＋yPQ →. ∵PQ→与PO →不共线，∴x ＝2，y ＝－2，∴x ＋y ＝0. 13．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB→取最小值时，点Q 的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83解析 由题意，设OQ→＝λOP →，即OQ →＝(λ，λ，2λ)， 则QA→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当λ＝43时有最小值，此时Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 14．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．答案 25解析 以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AQ 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形ABCD 和ADPQ 的边长为2，则E (1,0,0)，F (2,1,0)，M (0，y,2)(0≤y ≤2)．所以AF→＝(2,1,0)，EM →＝(－1，y,2)． 所以AF →·EM →＝－2＋y ，|AF →|＝5，|EM →|＝5＋y 2. 所以cos θ＝|AF →·EM →||AF →||EM →|＝|－2＋y |5·5＋y 2＝2－y 5·5＋y 2. 令2－y ＝t ，则y ＝2－t ，且t ∈[0,2]．所以cos θ＝t 5·5＋(2－t )2＝t 5·9－4t ＋t 2. 当t ＝0时，cos θ＝0.当t ≠0时，cos θ＝15·9t 2－4t ＋1＝15·9⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －292＋59，由t ∈(0,2]，得1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，所以9⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －292＋59≥ 9×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－292＋59＝52. 所以0<cos θ≤25，即cos θ的最大值为25. 三、解答题15．(2018·唐山模拟)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB→，b ＝AC →. (1)求a 和b 夹角的余弦值； (2)设|c |＝3，c ∥BC→，求c 的坐标．解 (1)因为A B →＝(1,1,0)，AC →＝(－1,0,2)，所以a ·b ＝－1＋0＋0＝－1，|a |＝2，|b |＝ 5.所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝－12×5＝－1010.(2)BC→＝(－2，－1,2)，设c ＝(x ，y ，z )， 因为|c |＝3，c ∥BC→， 所以x 2＋y 2＋z 2＝3，存在实数λ使得c ＝λBC →， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2λ，y ＝－λ，z ＝2λ，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1，z ＝2，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，z ＝－2，λ＝－1，所以c ＝±(－2，－1,2)．16．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)证明：AA 1⊥BD .解 (1)如图所示，设AB→＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝1，|c |＝2.a ·b ＝0，a ·c ＝b ·c ＝2×1×cos120°＝－1. ∵AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝1＋1＋22－2－2＝2. ∴|AC 1→|＝ 2.即AC 1长为 2. (2)∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，A 1D →＝b －c ， ∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c ) ＝a ·b －a ·c ＋b 2－b ·c ＋b ·c －c 2 ＝1＋12－22＝－2.又|A 1D →|2＝(b －c )2＝b 2＋c 2－2b ·c ＝1＋4＋2＝7， ∴|A 1D →|＝7.∴cos 〈AC 1→，A 1D →〉＝AC 1→·A 1D →|AC 1→||A 1D →|＝－22×7＝－147.∴异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1→＝c ，BD →＝b －a ， ∴AA 1→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝－1－(－1)＝0. ∴AA 1→⊥BD →，即AA 1⊥BD .。
第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算[基础达标]一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则DE与D1F的位置关系是()A.平行B.相交且垂直C.异面且垂直D.既不平行也不垂直1.C【解析】建立空间直角坐标系后,求得=0,所以,即DE与D1F垂直且DE与D1F是异面直线.2.两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则是a∥b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.A【解析】a∥b且一个坐标为0是不能得到,所以必要性不满足,即是a∥b的充分不必要条件.3.已知空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N是BC的中点, =a,=b, =c,则=() A. a+b-c B.- a+b+cC. a-b+cD. a+b-c3.B【解析】∵点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点, +()++()+)=-,∵=a, =b, =c,∴=-a+b+c.4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是()A.B.C.D.4.D【解析】选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,可得AD1⊥B1C,此时有=0;选项B,当四边形ABCD为正方形时,可得AC⊥BD,可得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此时有=0;选项C,由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1,可得AB⊥AD1,此时必有=0;选项D,由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1,可得BC⊥CD1,△BCD1为直角三角形,∠BCD1为直角,故BC与BD1不可能垂直,即≠0.5.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点,则||为() A.B.C.D.5.D【解析】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,则F,C1(0,1,1),G.因为H是C1G的中点,所以H,所以=-,则||=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量a=(-4,2,4),b=(-6,3,-2),则a·b=;|a|=.6.226【解析】a·b=(-4)×(-6)+2×3+4×(-2)=22,|a|==6.7.已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10),D(8,4,a),如果四边形ABCD为梯形,则实数a的值为.7.9【解析】因为=(4,-8,2), =(8,5,7), =(2,-4,10-a), =(10,1,a-1),四边形ABCD为梯形,则,解得a=9,此时不平行.8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1B1上任意一点,则DP与BC1始终.8.垂直【解析】因为=()·=()·=0,所以,即DP与BC1始终垂直.三、解答题(共20分)9.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中点,H为平面EDB内一点,=(2m,-2m,-m)(m<0),证明:HC1⊥平面EDB.9.【解析】设正方体的棱长为a,则=(a,a,0),所以=(2m,-2m,-m)·=0,=(2m,-2m,-m)·(a,a,0)=0,所以,又DE∩DB=D,所以HC1⊥平面EDB.10.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AB,PC的中点,若ABCD是平行四边形.求证:MN∥平面PAD.10.【解析】取DP的中点E,连接AE,EN,则,所以,所以共面,且MN不在平面PAD上,所以MN∥平面PAD.[高考冲关]1.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),该四面体的体积为()A.B.C.1 D.21.A【解析】在空间直角坐标系中作出四面体的四个顶点,可知该四面体是棱长为的正四面体,所以体积为.2.(5分)设P(2,3,4)在三个坐标平面上的射影分别为P1,P2,P3,则向量:①(6,-3,-4);②(4,-3,-4);③(0,-3,4);④(2,-6,4).其中与平面P1P2P3平行的向量有().A.1个B.2个C.3个D.4个2.C【解析】由题意可知,P1,P2,P3的坐标分别为(2,3,0),(2,0,4),(0,3,4),可以求得平面P1P2P3的一个法向量为(6,4,3),①不与该法向量垂直,所以不与平面P1P2P3平行,②③④与该法向量垂直,所以与平面P1P2P3平行.3.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN 与平面BB1C1C的位置关系是() A.在平面上B.相交C.平行D.以上都不正确3.C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则点M a,,N,所以=-,0,-与平面BB1C1C的法向量=(0,a,0)垂直,且MN不在平面BB1C1C上,所以MN与平面BB1C1C的位置关系是平行.4.(5分)已知空间四边形ABCD中, =a-2c, =5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则=.4.3a+3b-5c【解析】=3a+3b-5c.5.(5分)已知空间图形A-BCD,E,F,G,H,M,N分别是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中点,求证:EG,FH,MN交于一点且互相平分.5.【解析】设P1,P2,P3分别为EG,FH,MN的中点,又设=a, =b, =c,则)=)=(a+b+c).同理可证 (a+b+c),(a+b+c),∴P1,P2,P3三点重合.从而原命题得证.6.(10分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M是棱AA1的中点,点O是对角线BD1的中点.(1)求证:BD1⊥AC;(2)求证:OM是异面直线AA1与BD1的公垂线.6.【解析】(1)以D为原点,DC,DA,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),M,O.∴=(-1,-1,1), =(1,-1,0),∴=(-1)×1+(-1)×(-1)+1×0=0,∴,即BD1⊥AC.(2) =(0,0,1), =(-1,-1,1),∵=0, =0,∴OM⊥AA1,OM⊥BD1,即OM是异面直线AA1与BD1的公垂线.7.(10分)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.在直线CC1上是否存在一点N,使得MN⊥AB1?若存在,请你求出它的位置;若不存在,请说明理由.7.【解析】假设在直线CC1上存在一点N,使得MN⊥AB1.如图,建立空间直角坐标系,有A(0,0,0),B,M,0,N(0,1,z),B1,∴.∵,∴=-+2z=0,解得z=,N,即CN=时,AB1⊥MN.。
考试要求 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.知 识 梳 理1.空间向量的有关概念2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).[微点提醒]1.在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点. 2.在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a ·b ＝b ·a ，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 成立，但不满足结合律，即(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立.4.若向量α的投影向量是γ，则向量α－γ与向量γ垂直，当向量γ与向量α起点相同时，终点间的距离最小.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面.( )(2)对任意两个空间向量a ，b ，则a ·b ＝0，则a ⊥b .( )(3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量.( ) (4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( )解析 对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a ，b ，c 中有一个是0，则a ，b ，c 共面，所以(3)不正确；对于(4)，若〈a ，b 〉＝π，则a ·b <0，故(4)不正确. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2.(选修2－1P97A2改编)如图所示，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA →1＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB →1＋B 1M →＝AA →1＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 答案 A3.(选修2－1P118A6改编)已知a ＝(cos θ，1，sin θ)，b ＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________.解析 a ＋b ＝(cos θ＋sin θ，2，cos θ＋sin θ)， a －b ＝(cos θ－sin θ，0，sin θ－cos θ)，∴(a ＋b )·(a －b )＝(cos 2 θ－sin 2 θ)＋(sin 2 θ－cos 2 θ)＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )，则a ＋b 与a －b 的夹角是π2.答案π24.(2018·济宁一中月考)在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A.垂直 B.平行C.异面D.相交但不垂直解析 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)， ∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点. ∴AB ∥CD . 答案 B5.(2019·北京四中月考)已知a ＝(2，3，1)，b ＝(－4，2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________.解析 a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0，∴x ＝2， ∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6. 答案 2 66.(2019·杭州二中月考)O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________.解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18.答案 18考点一 空间向量的线性运算【例1】 如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→.解 (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， 所以MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .规律方法 (1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.【训练1】 在三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →)＝12OA →＋23⎣⎡⎦⎤12（OB →＋OC →）－OA →＝－16OA →＋13OB →＋13OC →OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 考点二 共线定理、共面定理的应用【例2】 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .证明 (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知E ，F ，G ，H 四点共面.(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，因为E ，H ，B ，D 四点不共线， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .规律方法 (1)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①P A →＝λPB →(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1). (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ③PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →).(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.【训练2】 如图所示，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1).(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？ 解 (1)因为AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →， 所以MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→ ＝AB →－k (AA 1→＋A 1B →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，所以由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面. (2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合， MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内， 又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面， 所以MN ∥平面ABB 1A 1.考点三 空间向量的数量积及其应用 多维探究角度1 数量积的坐标运算【例3－1】 已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5). (1)求以AB ，AC 为边的平行四边形的面积；(2)若向量a 分别与AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求a 的坐标. 解 (1)∵AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)， 设〈AB →，AC →〉＝θ，则cos θ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋614·14＝12，θ＝60°，所以以AB ，AC 为边的平行四边形的面积 S ＝AB ·AC sin θ＝7 3.(2)设a 的坐标为(x ，y ，z )，则a ·AB →＝(x ，y ，z )·(－2，－1，3)＝0，a ·AC →＝(x ，y ，z )·(1，－3，2)＝0，x 2＋y 2＋z 2＝3，解得a ＝(1，1，1)，或a ＝(－1，－1，－1). 角度2 数量积的线性运算典例迁移【例3－2】 (经典母题)如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EG →·BD →； 解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ，EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14， (2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a ) ＝12⎝⎛⎭⎫－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12 ＝12. 【迁移探究1】 本例的条件不变，求证：EG ⊥AB . 证明 由本例知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )，所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2)＝12⎝⎛⎭⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0. 故EG →⊥AB →，即EG ⊥AB .【迁移探究2】 本例的条件不变，求EG 的长. 解 由本例知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22.【迁移探究3】 本例的条件不变，求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值. 解 由本例知AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos AG →，CE →＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.规律方法 1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题. (1)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0； (2)|a |＝a 2；(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.【训练3】 如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值. (1)解 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC →1|＝6，即AC 1的长为 6. (2)证明 ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ， ∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c＝b ·c －a ·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0. ∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD .(3)解 BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.[思维升华]1.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.2.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算. [易错防范]1.在利用MN →＝xAB →＋yAC →①证明MN ∥平面ABC 时，必须说明M 点或N 点不在面ABC 内(因为①式只表示MN →与AB →，AC →共面).2.求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化.3.找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·烟台模拟)已知向量a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，则a ·b ＝2，则x 的值为( ) A.3B.4C.5D.6解析 因为a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，所以a ·b ＝－3＋2x －5＝2，解得x ＝5. 答案 C2.(2019·黄冈模拟)已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A.32B.－2C.0D.32或－2 解析 ∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m ，解得m ＝－2.答案 B3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( ) A.a 2B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 解析 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案 C4.如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为( )A.3－225B.2－26C.12D.32解析 因为BC →＝AC →－AB →， 所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24. 所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.答案 A5.若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且向量p ＝x a ＋y b ＋z c ，则(x ，y ，z )叫向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标. 已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( ) A.(4，0，3) B.(3，1，3) C.(1，2，3)D.(2，1，3)解析 设p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为x ，y ，z .则 p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，① 因为p 在{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)， ∴p ＝4a ＋2b ＋3c ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，z ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，z ＝3，即p 在{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(3，1，3). 答案 B 二、填空题6.如图所示，在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示).解析 OE →＝OA →＋AE →＝a ＋12AD →＝a ＋12(OD →－OA →)＝12a ＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14b ＋14c .答案 12a ＋14b ＋14c7.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为________. 解析 如图建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体棱长为2，则易得CM →＝(2，－2，1)，D 1N →＝(2，2，－1)，∴cos 〈CM →，D 1N →〉＝CM →·D 1N →|CM →||D 1N →|＝－19，∴sin 〈CM →，D 1N →〉＝1－⎝⎛⎭⎫－192＝459. 答案4598.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为________. 解析 |EF →|2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2. 答案2三、解答题9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c . (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值.解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， ∴c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )， ∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2). (2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，∴a ·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 10.如图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .(1)写出点E ，F 的坐标； (2)求证：A 1F ⊥C 1E ；(3)若A 1，E ，F ，C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.(1)解 E (a ，x ，0)，F (a －x ，a ，0). (2)证明 ∵A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )， ∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )， ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0， ∴A 1F →⊥C 1E →，∴A 1F ⊥C 1E .(3)证明 ∵A 1，E ，F ，C 1四点共面， ∴A 1E →，A 1C 1→，A 1F →共面.选A 1E →与A 1C 1→为在平面A 1C 1E 上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →， 即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a ，0)＋λ2(0，x ，－a ) ＝(－a λ1，a λ1＋x λ2，－a λ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－a λ1，a ＝a λ1＋x λ2，－a ＝－a λ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面；④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.4解析 ①正确；②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立；③正确；④中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确. 答案 B12.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )A.(1，1，1)B.⎝⎛⎭⎫23，23，1C.⎝⎛⎭⎫22，22，1 D.⎝⎛⎭⎫24，24，1解析 设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，由AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ，又O 是正方形ABCD 对角线交点， ∴M 为线段EF 的中点.在空间坐标系中，E (0，0，1)，F (2，2，1). 由中点坐标公式，知点M 的坐标⎝⎛⎭⎫22，22，1. 答案 C13.(2019·郑州调研)已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是__________.解析 ∵点Q 在直线OP 上，∴设点Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23. 即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23.此时OQ →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83. 答案 ⎝⎛⎭⎫43，43，8314.如图，正△ABC 的边长为4，CD 为AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BPBC 的值；如果不存在，请说明理由.解 (1)AB ∥平面DEF ，理由如下：在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF ∥AB . 又因为AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ， 所以AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，故DE →＝(0，3，1).假设存在点P (x ，y ，0)满足条件，则AP →＝(x ，y ，－2)，AP →·DE →＝3y －2＝0， 所以y ＝233.又BP →＝(x －2，y ，0)，PC →＝(－x ，23－y ，0)，BP →∥PC →， 所以(x －2)(23－y )＝－xy ，所以3x ＋y ＝2 3.把y ＝233代入上式得x ＝43，所以BP →＝13BC →，所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE ，此时BP BC ＝13.新高考创新预测15.(多填题)已知空间向量P A →，PB →，PC →的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°.点G 为△ABC 的重心，若PG →＝xP A →＋yPB →＋zPC →，x ，y ，z ∈R ，则x ＋y ＋z ＝________.|PG →|＝________.解析 因为A ，B ，C ，G 四点共面，所以x ＋y ＋z ＝1，则z ＝1－x －y ，PG →＝xP A →＋yPB →＋zPC →＝xP A →＋yPB →＋(1－x －y )PC →，则PG →－PC →＝x (P A →－PC →)＋y (PB →－PC →)，即CG →＝xCA →＋yCB →，即CG →＝x (CG →－AG →)＋y (CG →－BG →)，所以xAG →＋y BG →＝(x ＋y －1)CG →＝(x ＋y －1)·(－AG →－BG →)＝(1－x －y )AG →＋(1－x －y )BG →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－x －y ，y ＝1－x －y ，解得x ＝y ＝13，则z ＝13，则PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)，|PG →|＝13（P A →＋PB →＋PC →）2＝13×（PC →2＋PB →2＋PC →2＋2PC →·PB →＋2P A →·PC →＋2PB →·PC →）＝53. 答案 1 53。
