浙江省十校联合体高三数学期初联考

2023学年第一学期江浙高中（县中）发展共同体高三年级10月联考数学考生须知：1.本试卷共4页，22小题.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上；3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效；4.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹签字笔或钢笔描黑.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}41,,21,M xx k k Z N x x k k Z ==-∈==-∈∣∣，则（）A.M N ⋂=∅B.M N N ⋂=C.M N N ⋃=D.M N Z⋃=2.已知复数z 满足i 2i z =+，则z =（）A.12i- B.12i+ C.2i- D.2i+3.在()61()x x y --的展开式中，含43x y 项的系数为（ ）A.-20B.20C.-15D.154.若函数()ln f x a x bx =+有极大值，则（ ）A.0,0a b >> B.0,0a b ><C.0,0a b <> D.0,0a b <<5.已知向量,a b满足,,|2|||6a b a b a b π〈〉=-=+ ，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.2b C.12b 6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若63254,8S S a a =+=，则8a =（）A.6B. C. D.187.漏刻是中国古代的一种计时系统，“漏”是指计时器——漏壶，“刻”是指时间，《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器，如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0，当最上层漏水壶中水全部漏完时，浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5：3，则当最上层漏水壶水面下降到其高度的一半时，浮箭刻度约为（）（四舍五入精确到个位）A.38B.60C.61D.628.将函数()sin f x x ω=的图象向右平移3π个单位后得到函数()y g x =的图象，若函数()y f x =和()y g x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上都恰有两个极值点，则正整数ω的最小值为（ ）A.7B.8C.9D.10二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.袋中有3个大小､形状完全相同的小球，其中1个黑球2个白球.从袋中不放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为X ；从袋中有放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为Y ，则（ ）A.随机变量X 的可能取值为0或1B.随机变量Y 的可能取值为0或1C.随机事件{}1X =的概率与随机事件{}1Y =的概率相等D.随机变量X 的数学期望与随机变量Y 的数学期望相等10.已知正三棱柱1111,,,ABC A B C AB D E -=分别为棱11,A B BC 的中点，则（）A.1AD C E ∥B.DE ∥面11AA C CC.11DE A B ⊥ D.1A B ⊥面1AC D11.已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为A .直线():00l x by a b -+=≠与C 没有公共点，直线m 经过点(),B a b .则（）A.12BA AF ⋅<-B.m 与C 有两个公共点C.以BF 为直径的圆与y 轴相离D.BAF ∠小于4512.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，233f ⎛⎫=⎪⎝⎭，设函数()()2cos 2g x x f x π⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()1g x +是偶函数，则（）A.()20g =B.()()721g f =C.453f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D.201233k k f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.设圆22:(1)(1)2C x y -+-=，直线l 经过原点且将圆C 分成1:3两部分，则直线l 的方程为__________.14.在ABC 中，AC BC ⊥，3sin 5A =，以,A C 为焦点且经过点B 的椭圆离心率记为1e ，以,B C 为焦点且经过点A 的椭圆离心率记为2e ，则12e e =__________. 15.已知()2tan 2cos 0,cos sin 3αβαβα=≠-=，则sin β=__________. 16.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）为研究农药A 对农作物成长的功效，在甲､乙两块试验田播种同一种农作物，甲试验田喷洒农药A ，乙试验田没有喷洒农药A ，经过一段时间后，从甲､乙两块试验田各随机选取100株幼苗，统计200株幼苗高度（单位：cm ）如下表：幼苗高度[)6,8[)8,10[)10,12[]12,14甲试验田10 15 55 20 乙试验田10354510（1）分别求甲､乙两块试验田中幼苗的平均高度的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；（2）分别统计样本中甲､乙两块试验田幼苗高度小于10cm 和不小于10cm 的株数，完成下列联表，并依据小概率0.01α=的独立性检验，分析是否喷洒农药A 与幼苗生长的高度有关联？高度10cm <高度10cm ≥喷洒农药A 没有喷洒农药A 附：α0.050 0.010 0.001x α3.841 6.635 10.828()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d=+++18.（本题满分12分）记n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11,0n a a =≠，且*141,N n n n a a S n +=+∈.（1）记2n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求20S .19.（本题满分12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,a b ，c ，且有()()sin sin sin sin 2a b A B c C A a b-++=-，求（1）C ；（2）22sin sin A B +的最大值.20.（本题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面,BCD E 是空间中一点，且AE ⊥平面ABC .（1）证明：AE ∥平面BCD ；（2）若,BD CD AB BD CD ⊥==，求平面CAE 与平面DAE 的夹角的余弦值.21.（本题满分12分）已知函数()()1e ln xf x x a x =-+.（e 为自然对数的底）（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线e x y =也相切，求a ；（2）()()1,,0x f x ∞∀∈+>，求a 的取值范围.22.（本题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，右顶点A 到C 的一条渐近（1）求C 的方程；（2）,D E 是y 轴上两点，以DE 为直径的圆M 过点()3,0B -，若直线DA 与C 的另一个交点为P ，直线EA 与C 的另一个交点为Q ，试判断直线PQ 与圆M 的位置关系，并说明理由.2023学年第一学期江浙高中（县中）发展共同体高三年级10月联考数学参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C【解析】因为|2|||a b a b -=+，所以222||||cos ||||6b a b a b a b π=⋅=⋅⨯=⋅ ，所以||||b a =，所以向量a 在向量b 上的投影向量为1cos 62b a b b π⋅⋅=∣，故选C.6.【答案】D【解析】设公比为q ，则()33314q SS +=，显然30S ≠，所以33q =，因为()32522148a a a q a+=+==，所以22a =，所以6822918a a q ==⨯=.7.【答案】D【解析】由题意，最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为5a ，3a ，高为h ，则体积为222149(5)(3),33V a a h a h πππ⎡=⋅+⋅⋅=⎣当最上层漏水壶水面下降到高度的一半时，设此时浮箭刻度为x ，因为已漏水体积2221161(5)(4),326h V a a a h πππ⎡=⋅+⋅+⋅=⎣所以，2261616,1006249100983a hx x a h ππ==⨯≈8.【答案】B【解法1】当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,4x ωπω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为曲线()y f x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个极值点，所以35242πωππ<≤，解得610ω<≤.当7ω=时，()7sin 73g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7777,3312x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，在77,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内只有一个极值点32π-，不合；当8ω=时，()8sin 83g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以8828,333x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，在77,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内有两个极值点：53,22ππ--，满足题意.所以选B. 【解法2】当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,4x ωπω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为曲线()y f x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个极值点，所以35242πωππ<≤，解得610ω<≤.① 由题意，()sin 3g x x ωπω⎛⎫=-⎪⎝⎭，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,3312x ωπωπωπω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，由①知，5,1262ωπππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭，又函数()y g x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个极值点，所以75232πωππ-≤-<-，解得152122ω<≤.② 由①和②得，ω的取值范围是15,102⎛⎤⎥⎝⎦.选B. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】AD 10.【答案】BD【解析】对于A ，显然AD 与CE 异面，故A 错误；对于B ，取11B C 中点F ，连结,DF EF ，易证面DEF ∥面11AA C C ，所以DE ∥面11AA C C ，故B 正确；对于C ，假设11DE A B ⊥，则DE 垂直平分11A B ，设1AA =，则2AB =，易算得11A E B E ==，因为11A E B E ≠，这与DE 垂直平分11A B 矛盾，故C 错误；对于D ，可证11AA B A DA ~ ，所以1A B AD ⊥，又1C D ⊥面11AA B B ，所以11C D A B ⊥，所以1A B ⊥面1AC D ，故D 正确.综上，本题选BD.11.【答案】ACD【解析】联立直线0x by a -+=与抛物线C 方程，消去x 得，2220y by a -+=，因为直线0x by a -+=与C 没有公开点，所以()2Δ420b a =-<，所以22b a <，故点B 位于抛物线C 内部.对于A ，因为11,0,,022A F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0a >，所以()111,1,0222BA AF a b a ⎛⎫⋅=---⋅=--<- ⎪⎝⎭，故A正确；对于B ，当直线m 平行于x 轴时，m 与C 有唯一公共点；当直线l 与x 轴不平行时，l 与C 有两个公共点，故B 错误；对于C ，延长FB 交C 于点Q ，则以QF 为直径的圆M 与y 轴相切，因为以BF 为直径的圆N 与圆M 内切，切点为F ，且圆N 半径较小，所以圆N 与y 轴相离，故C 正确；对于D ，过点A 与C 相切的切线斜率为1，倾斜角为45 ，又点B 是位于C 内部的一点，所以BAF ∠小于45 ，故D 正确.综上，本题选ACD.12.【答案】AC【解析】因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，且()g x 也是R 上的奇函数，因为()1g x +是偶函数，所以()()2g x g x -=，所以()g x 是以4为周期的周期函数.因为2cos 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭周期为4，所以()f x 也是以4为周期的周期函数.对于A ，因为()()()4g x g x g x -=-=-，令2x =得()20g =，故A 正确；对于()()()()7B,7cos 2721212g f f f π⎛⎫⎛⎫=+⋅=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 对于C ，42215cos 233332g g f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以4435232cos 3g f π⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭+，故C 正确； 对于D ，因为()()()()()()4,4200g x g x g x g g g -=-=-===，故()()420f f ==；8483354432cos 2cos 33g g f ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===- ⎪⎝⎭++；同理10210333;5532cos 2cos 33g g f ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===- ⎪⎝⎭++ 所以61224810(2)(4)0,33333k k f f f f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，所以201238402430833333k k f f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故D 错误. 综上，本题选AC .三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.【答案】0x =，或0y =14.【答案】32【解析】设3,4,5BC AC AB ===，则141532AC e AB BC ===++，231543BC e AB AC ===++，所以1232e e =.15.【答案】16【解析】因为tan 2cos 0αβ=≠，所以1cos cos sin 2αβα=， 又()2cos cos cos sin sin sin 3αβαβαβα-=+=，所以12sin sin sin sin 23ααβα+=，因为sin 0α≠，所以1sin 6β=.16.【答案】336【解析】分两种情形：①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种两个，另一种一个，有12132424C A C ⋅⋅=种排法；其次，后排有222A =种排法，故共有48种不同的排法； ②前排含有三种不同名称的吉祥物，有1113322233288C C C A A ⋅⋅⋅⋅=种排法. 因此，共有336种排法.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.解析：（1）样本平均数为：()11071595511201310.7100x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯=甲，()11073594511101310.1.100x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯=乙所以估计甲块试验田中幼苗的平均高度为10.7cm ；估计乙块试验田中幼苗的平均高度为10.1cm . （2）列联表为：高度10cm <高度10cm ≥ 合计喷洒农药25 75 100 没有喷洒农药45 55 100 合计70130200零假设为0H ：喷洒农药A .根据列联表中数据，可得220.01200(75455545)8008.791 6.635,130********x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为喷洒农药A 与幼苗生长的高度有关联，此推断犯错的概率不大于0.01. 18.解析：因为141n n n a a S +=+，① 所以12141n n n a a S +++=+，② ②-①得，()1214n n n n a a a a +++-=，因为0n a ≠，所以24n n a a +-=，所以数列{}n a 的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列，（1）令1n =代入141n n n a a S +=+，得12141a a S =+，由111a S ==，得25a =，所以1212225,4n n n n b a b b a a ++==-=-=，所以数列{}n b 是公差为4，首项为5的等差数列，其通项公式为4 1.n b n =+（2）当n 为奇数时，21n a n =-，当n 为偶数时，21n a n =+， 所以()()2013192320S a a a a a a =+++++++ ()()15375941=+++++++ 190230=+ 420=19.解：（1）因为()()sin sin sin sin 2a b A B c C A a b-++=-，所以()()22a b a b c a a b-++=-，化简得222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==.又因为0C π<<， 所以3C π=.（2）法一：221cos21cos2sin sin 22A BA B --+=+()11cos2cos22A B =-+141cos2cos 223A A π⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111cos222A A ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 226A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭由（1）可知，203A π<<，所以72666A πππ-<-<，所以2213sin sins 1sin 2262A B A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭…，当3A π=时，223sin sin 2A B +=， 所以22sin sins A B +的最大值为32.法二：由余弦定理得：223sin sin sin sin 4A B A sB +-=， 由基本不等式得：()222213sin sins sin sins 24A B A B +-+…，当且仅当sin sins A B =，等号成立，所以223sin sins 2A B +…，所以22sin sins A B +的最大值为32.20.（1）证明：过D 点作DF BC ⊥，垂足为F ， 因为AB ⊥面,BCD DF ⊂面BCD ，所以AB DF ⊥，因为,AB BC ⊂面,ABC AB BC B ⋂=，所以DF ⊥面ABC ，因为AE ⊥面ABC ，所以AE DF ∥，因为DF ⊂面,BCD AE ⊄面BCD ，所以AE ∥面BCD .（2）解：设2AB BD CD ===，以B 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,2,0,1,1,0A B D C F ，又()()()2,2,2,0,2,2,1,1,0AC AD FD =-=-=- ，由（1）设(),,0,0AE FD λλλλ==-≠ ，设平面CAE 的一个法向量(),,m x y z =，则00,22200m AE x y x y z m AC λλ⎧⋅=-+=⎧⎪⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩ ，令1x =，则1,2y z ==，所以()1,1,2m = ，同理可求得平面DAE 的一个法向量()1,1,1n = ，设平面CAE 与平面DAE 的夹角为α，则cos cos ,m n m n m nα⋅===⋅ ，所平面CAE 与平面DAE. 21.解析：（1）因为()()10,e x a f f x x x='=+，所以()1e f a '=+，所以曲线()y f x =在1x =处的切线l 的方程为()()e e y a x a =+-+设直线l 与与曲线e x y =切于点()00,ex x ， 则直线l 方程为：()000e e x x y x x =-+，即()000e 1e x x y x x =+-所以()()000e e 1e e x x a x a ⎧=+⎪⎨-=-+⎪⎩()()0e 20a x +-=， 因为0e e 0x a +=>，所以202,e e x a ==-.综上，a 的值为2e e -（2）因为()2e e x xa x a f x x x x +=+='，当e a ≥-时，()()'0,fx f x > 在()1,∞+上递增，()()10f x f >=；满足题意；当e a <-时，设()2e ,1xg x x a x =+>，因为()()22e 0x g x x x =+>'，所以()g x 在()1,∞+上递增，又()()1e 0,10,g a g a =+<=->所以存在()01,x ∞∈+，使得()00g x =，当()01,x x ∈时，()0g x <，即()()0,f x f x '<递减.所以()()010f x f <=，故e a <-不符合.所以a 的取值范围为[)e,∞-+.22.【解析】（1）因为C222c a a b c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，所以2a b =，渐近线方程20x y ±=，因为点(),0A a=，解得2,1a b ==， 所以C 的方程为2214x y -=.（2）直线PQ 与圆M 相交，理由如下：设()()120,,0,D y E y ，则()()123,,3,BD y BE y == ，因为点B 在以DE 为直径的圆M 上，所以BD BE ⊥， 所以()()12123,3,90BD BE y y y y ⋅=⋅=+= ，即129y y =-，由（1）得()2,0A ，直线AD 方程为：()122y y x =--与双曲线C 方程联立，消去x 得，2211121y y y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为直线,DA EA 与C 都有除A 以外的公共点，所以211y ≠， 所以()2112211212,11P P y y y x y y +==---，即()2112211212,11y y P y y ⎛⎫+ ⎪- ⎪--⎝⎭，同理当221y ≠时，()2222222212,11y y Q y y ⎛⎫+ ⎪- ⎪--⎝⎭. ()()()12221212122222121212221221114211211P Q PQ P Q y y y y y y y y y y k x x y y y y y y y y ⎛⎫- ⎪--+--⎝⎭===-=-+⎛⎫-++-- ⎪--⎝⎭，所以直线PQ 方程为：211221211222411y y y x y y y y ⎛⎫+=++ ⎪+--⎝⎭，令0y =得，()()2211121222111512225141221y y y y y x y y y -++=-⋅-==---，即直线PQ 经过定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为1212552511,,02244ND NE y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以N 点在圆M 内，故直线PQ 与圆M 相交.。

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,0,1,2,3,230A B x x x =-=+->，则A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}2,3C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,1,2-2．已知复数2i 1iz +=-，则2z z +在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC △中，13BD BC =uuu ruuu r ，若,AB a AC b ==uuu r uuu r r r ，则AD =uuu r （ ）A ．2133a b +r r B ．1233a b +r r C ．1233a b -r r D ．2133a b-r r 4．已知函数()22log y ax x =-在区间()1,2上单调递增，则a的取值范围为（ ）A ．10,2æöç÷èøB ．1,12æöç÷èøC ．1,2æö+¥ç÷èøD ．()1,+¥5．抛物线24y x =的焦点为F ，过点)M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点C．若3BF =，则BCAC=（ ）A ．34 B ．45 C ．56 D ．676．某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（ ）A ．124 B ．246 C ．114 D ．1087．已知函数()()sin f x A x w j =+的图象如图所示，M N 、是直线1y =-与曲线()y f x =的两个交点，且29MN p =，则()f p 的值为（ ）AB ．1-C ．D ．8．已知四面体ABCD 中，2,120AD BD BCD ==Ð=°，直线AD 与BC 所成的角为60°，且二面角A CDB --为锐二面角．当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）A ．323pB ．163p C ．16p D ．8p二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．9．下列命题成立的是（ ）A ．已知()0,1N x ~，若(1)P p x >=，则()1102P px -££=-B ．若一组样本数据()(),1,2,3,,i i x y i n =L 的对应样本点都在直线23y x =-+上，则这组样本数据的相关系数r 为1-C ．样本数据64，72，75，76，78，79，85，86，91，92的第45百分位数为78D ．对分类变量X 与Y 的独立性检验的统计量2c 来说，2c 值越小，判断“X 与Y 有关系”的把握性越大10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 为平面ABC 内一动点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点P 在棱AD 上运动，则1A P PC +的最小值为2+B ．若点P 是棱AD 的中点，则平面1PBC 截正方体所得截面的周长为C ．若点P 满足11PD DC ^，则动点P 的轨迹是一条直线D ．若点P在直线AC上运动，则P到棱1BC 的最小距离为311．设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x ¢和()g x ¢，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ¢¢=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A ．()10g =B ．函数()g x ¢的图象关于()1,0对称C ．()f x 的周期为4D ．20231()0k g k ==å12．已知数列{}n a 是公比为q的等比数列，且10a >，则下列叙述中正确的是（ ）A ．若1423a a a a +=+，则1q =B ．若213ln ln a a a =+，则0q <C ．若1232a a a e e =+，则1q > D ．若101a <<，且()1231234ln a a a a a a a ++=+++，则1q >非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知函数()()()41,,12log ,1,xx f x x x ìæöÎ-¥ïç÷=íèøïÎ+¥î，则()1f x >的解集为__________．14．若过点()2,1的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为__________．15．已知F是椭圆22:143x y C +=的左焦点，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为__________．16．已知不等式ln ln x x m x x n -³+对0x ">恒成立，则当n m取最大值时，m =__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知()()sin sin f x x x x =．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ．若()3,22f A a ==，求2b c +的取值范围．18．（本题满分12分）已知四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为等腰梯形，,4,2AB DC AB AD DC ===∥，4,BE ADE =△为等边三角形．（1）求证：平面ADE^平面ABCD；（2）是否存在一点F，满足(01)EF EBl l=<<uuu r uuu r，使直线AF与平面BDE所成的角为60°？若存在，求出l的值；若不存在，请说明理由．19．（本题满分12分）设数列{}na的前n项和为nS，已知()()*1312n nS a n=-ÎN．（1）求{}na的通项公式；（2）设,,nnnn a nbn a n+ì=í×î为奇数为偶数，求数列{}nb的前2n的项和2nT．20．（本小题满分12分）某科研所研究表明，绝大部分抗抑郁抗焦虑的药物都有一个奇特的功效，就是刺激人体大脑多巴胺（Dopamine）的分泌，所以又叫“快乐药”．其实科学、合理、适量的有氧运动就会增加人体大脑多巴胺（Dopamine）的分泌，从而缓解抑郁、焦虑的情绪．人体多巴胺（Dopamine）分泌的正常值是107.2246.6μg/24h-，定义运动后多巴胺含量超过400μg/24h称明显有效运动，否则是不明显有效运动．树人中学为了了解学生明显有效运动是否与性别有关，对运动后的60名学生进行检测，其中女生与男生的人数之比为1∶2，女生中明显有效运动的人数占12，男生中明显有效运动的人数占34．（1）根据所给的数据完成上表，并依据0.100a =的独立性检验，能否判断明显有效运动与性别有关？并说明理由．（2）若从树人中学所有学生中抽取11人，用样本的频率估计概率，预测11人中不明显有效运动的人数最有可能是多少？附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d c -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：21．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为,A B P 、为双曲线上异于A 、B 的任意一点，直线PA PB 、的斜率乘积为13．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为1．（1）求双曲线C 的方程；（2）设不同于顶点的两点M N 、在双曲线C 的右支上，直线AM BN 、在y 轴上的截距之比为1:3．试问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()2e (1)xf x a e x =--有两个极值点()1212,x x x x <．其中,a eÎR 为自然对数的底数．（1）求实数a 的取值范围；（2）若()()()()121222111ex e x e x x l +-+-³--恒成立，求l 的取值范围．2023学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．三、填空题：本大题共4小题，单空题4分，多空题6分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．()(),04,-¥+¥U 14．515．27416．e四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）化简得()1cos21sin2sin 22226x f x x x p -æö=-=-+ç÷èø令3222,262k x k k p p p p p +£+£+ÎZ ，得到2,63k x k k p p p p +££+ÎZ所以()f x 的增区间为2,,63k k k p p p p éù++ÎêúëûZ（2）由()32f A =，得sin 216A p æö+=-ç÷èø，由于132666A p p p <+<，所以3262A p p +=得到23A p =()2sin 2sin sin 2sin 4cos sin 33a b c B C B B B A p æöæö+=+=+-=ç÷ç÷èøèø由于()0,24cos 2,43B b c B p <<+=Î18．解：（1）等腰梯形ABCD 中，4,2AB AD DC ===，得到BD AD ^，BD =由22216BD DE BE +==，得到BD DE ^，且AD DE D =I ，因此BD ^平面ADE ，又因为BD Ì平面ABCD ，故平面ADE^平面ABCD（2）方法一：由（1）知BD ^面ADE ，得到面BDE ^面ADE ．作AHDE ^于H 点，有AH ^面BDE ．AFH Ð即为直线AF 与面BDE 所成角在直角三角形AHF 中，由AH =和60AFH Ð=°，得到1FH =由1,60EH FH HEF ==Ð=°得1FE =，又4EB =，所以存在14l =．方法二：以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．其中()()()(0,0,0,2,0,0,,D A B E得到()(,DB DE ==uuu r uuu r ，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r 由00n DB n DE ì×=ïí×=ïîuuu r r uuu r r，得00x ì=ïí+=ïî，不妨设1z =-，则取)1n =-r又((),,EB EF EB l l =-==-uuu r uuu r uuur(()(),AF AE EF l l =+=-+-=---uuu r uuu r uuu r则cos ,sin 602AF n AF n AF n ×===°=uuu r r uuu r r uuu r r ，0l =（舍去）或14所以，14l =19．解：（1）由231n n S a =-，得()112312n n S a n --=-³，两式相减得()132n n a a n -=³．令11,1,n a ==\数列{}n a 成等比数列，13n n a -\=（2）由于113,3,n n n n n b n n --ì+=í×î为奇数为偶数()()024222911352133338n n S n n --=++++-+++++=+L L 奇数项1352123436323n S n -=×+×+×++×L 偶数项①，则35721923436323n S n +=×+×+×++×L 偶数项②，①-②得：()()13212121319823332322319n n n n S n n -++×--=+++-×=-×-L 偶数项()22433332n n S -×+=偶数项()()2222224333241319183232nn n n n n T n n -×++×--\=++=+20．解：（1）因为对60名学生明显有效运动是否与性别有关的调查，其中女生与男生的人数之比为1:2，女生中明显有效运动的人数占12，男生中明显有效运动的人数占34，得到下面的列联表：给定假设0H ：明显有效运动与性别没有关系．由于()()()()()222() 3.75 2.7060.100n ad bc P a b c d a c b d c c -==>=³++++，则根据小概率值0.100a =的2c 独立性检验，有充分的证据推断假设0H 不成立，因此认为明显有效运动与性别存在差异．（2）由样本数据可知，不明显有效运动的频率为13，用样本的频率估计概率，所以不明显有效运动的概率为13，设11人不明显有效运动的人数为X ，则111,3X B æö~ç÷èø所以()()11111110,1,2,1133k k k P x k C k -æöæö==-=ç÷ç÷èøèøL 假设11人中不明显有效运动的人数最有可能是k ，则1111011111111121111111111133331111113333k k k k k k k k k k k k C C C C -+-+----ìæöæöæöæö-³-ïç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøíæöæöæöæöï-³-ç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøî得34k ££所以11人中不明显有效运动的人数最有可能是3或4．21．解：（1）设()22000022,,1x y P x y a b -=，则2220022y x a b a-=，又()(),0,,0A a B a -，2200022200013PA PB y y y b k k x a x a x a a \×=×===+--，又焦点到其一条渐近线0bx ax +=1b ==，解得：1a b ==．所以双曲线C 的方程：2213x y -=（2）设直线MN 的方程为()()1122,,,,x my t M x y N x y =+．由2233x my t x y =+ìí-=î得()2222121222233230,,33mt t m y mty t y y y y m m --++-=\+=-=--()),A B，直线:AM y x =+，则直线AM 在y轴上的截距为，直线:BN y x =-，则直线BN 在y，=，又13AM BM k k ×==，所113x y -=．所以11x y =(12120x x y y --+=，(()(()22121212120,1(0my t my t y y m y y t m y y t \+-+-+=\++-++-=，()(22222321(033t mt m t m t m m --\+×+-×+-=--，化简得：t =或t =．若t =，直线MN 过顶点，舍去．t \=．则直线MN的方程为x my =+，所以直线MN过定点()E ．22．解：（1）由于()()e 21x f x a e x ¢=--，由题知()0f x ¢=有两个不同实数根，即()21x e x a e-=有两个不同实数根．令()()21x e x g x e -=，则()()220x e x g x e-¢=³，解得2x £，故()g x 在(],2-¥上单调递增，在[)2,+¥上单调递减，且()()()2lim ,lim 0,2x x g x g x g e®-¥®+¥=-¥==，故()g x的图象如图所示，当20,e a æöÎç÷èø时，()f x ¢有两个零点12,x x 且12x x <．则()100f x x x ³Û<£¢或2x x ³，故()f x 在(]10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +¥上单调递增，()f x 的极大值点为1x ，极小值点为2x ．故()2e (1)x f x a e x =--有两个极值点时，实数a 的取值范围为20,e æöç÷èø．（2）由于()()()()()()()()()12121212e 2211112111ex x e x x e x e x x x l l +-+-³--Û-+--³--若设()1122121,10t x t x t t =-=-<<，则上式即为()12122et e t t t l +-³×由（1）可得1212e 20e 20t t a t a t ì=>í=>î，两式相除得2121e t t t t -=，即2211ln 0t t t t -=>，由()12122et e t t t l +-³×得()()221121212ln t t t et e t t t t l -+-³éùëû所以()2112212e 2e ln t t t t t t l +--×£，令()()21221,(1)ln e e t t t t h t t t t +--=>=>，则()h t l £在()1,+¥恒成立，由于()()()22222ln 22ln e t e t t e t e h t t téù-+---+û=¢ë，令()()()222ln 22t e t e t t e t e j éù=-+---+ëû，则()()()22ln 22e t e t t e t t j =----+¢，()()()222ln 222e t e t e e t j =-+---¢+¢，显然()t j ¢¢在()1,+¥递增，又有()()1120,e 3e 60ej j =-<¢-¢-¢=>¢，所以存在()01,t e Î使得()00t j ¢¢=，且易得()t j ¢在()01,t 递减，()0,t +¥递增，又有()()210,e e 2e 10j j ==--¢>¢，所以存在()11,e t Î使得()10t j =，且易得()t j 在()11,t 递减，()1,t +¥递增，又()()1e 0j j ==，则1e x <<时，()()0,0,e t h t x j <¢<>时，()()0,0t h t j ¢>>，所以易得()h t 在()1,e 上递减，在()e,+¥上递增，则()2min ()e (e 1)h t h ==-，所以l 的取值范围为(2,(1)e ù-¥-û．。

浙江省十校联盟2023届高三第三次联考数学参考答案1．【答案】A【解析】{}{}310x B x x x =<=<，因此，{}2,1A B =−−.2．【答案】B【解析】1212z z z z =⋅==3．【答案】B【解析】图象过点(1,0),(2,0),0x ≥时，()0f x ≥ 4．【答案】C 【解析】()2222||219210a ba b a b a b a b −=−=+−⋅=+−⋅=，则0a b ⋅=．又222|3|9618a b a b a b −=+−⋅=，因此332a b −=．5．【答案】D【解析】11231,2,,n n n T T a a a a ===则1(2)n n n T a n T −=≥，代入111n n T a +=，化简得：11n n T T −−=，则101,11n T n T =+=，故选D.6．【答案】D 【解析】当4π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππππ,4444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， ()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，πππ442ω∴+≤，解得：1ω≤，即01ω<≤，πππ3π4244ω∴<+≤，ππ5ππ444ω<+≤，πππππ2π2244ωω⎛⎫⎛⎫<+++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则由()ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得：ππππ=π244ωω⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：13ω=.当13ω=时，()1πsin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足题目要求7．【答案】C【解析】A 菜有2人选用有23C 种，比如甲、乙选用了A 菜，①甲、乙之中有1人选用了B 菜，有12C 种，比如甲用了B 菜，则乙从,,C D E 中任意选用1 种，有13C 种，丙从,,C D E 中任意选用2种，有23C 种，故共有23C 12C 13C 23C 54= ②丙选用了B 菜，丙再从,,C D E 中任意选用1种，有13C 种，甲、乙再从,,C D E 中各任意选用1种，有13C 13C 种，故共有23C 13C 13C 13C 81=由①②可知所有情形是5481135+=8．【答案】 A【解析】由(2)()2,(4)()4f x f x f x f x −+=−+=，知函数关于(1,1),(2,2)点对称。

2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟：2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1A x x =≥,{}22530B x x x =--<∣则A B =∪（ ）A ．{}1x x ≥12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C ．312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}13x x ≤<2．已知复数z 满足5382i z z +=-，则z =（ ）A ．1B ．2C D ．3．已知等比数列{}n a 的前2项和为12，136a a -=, 则公比q 的值为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．34．已知平面向量,m n 满足：2m n == ，且m 在n上的投影向量为12n，则向量m 与向量n m - 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足π1,3f ⎛⎫=⎪⎝⎭最小正周期为π，函数()sin2g x x =，则将()f x 的图象向左平移（ ）个单位长度后可以得到()g x 的图象A ．π12B ．π6C ．5π6D ．11π126．已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（）A ．7π4B ．2πC ．9π4D ．5π27．已知,A B 是椭圆22143x y +=与双曲线22143x y -=的公共顶点，M 是双曲线上一点，直线,MA MB 分别交椭圆于,C D 两点，若直线CD 过椭圆的焦点F ，则线段CD 的长度为（ ）A ．32B ．3C ．D8．正三棱台111ABC A B C -中，11122AB A B AA ===，点D 为棱AB 中点，直线l 为平面111A B C 内的一条动直线．记二面角C l D --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（ ）A ．0B ．18C D ．17二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．已知随机变量X 服从正态分布()2,,N μσσ越小，表示随机变量X 分布越集中B ．数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C ．线性回归分析中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越弱D ．已知随机变量17,,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭则()72E X =10．设函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()2f x '+为偶函数，()()110f x f x +--=，则（）A ．()()11f x f x +='-'B ．()30f '=C ．()20250f '=D ．()()()2222f x f x f ++-=11．已知正项数列{}n a 满足()()()*121211,,n n n n n n a a a a a a a n N ++++=-=-∈记12231n n n T a a a a a a +=+++ ，124T =． 则（ ）A ．{}n a 是递减数列B ．202462029a =C ．存在n 使得43n T =D ．100110ii a=>∑非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．13．已知正实数a 满足a<a 的取值范围是______．14．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足,a a c =>，()()sin cos cos ;A B C B C ++=-（1）求角C 的值；（2）若ABC △的面积为14，求ABC △的周长。

2010-2023历年浙江省十校联合体高三上学期期初联考文科数学试卷（带解析）第1卷一.参考题库(共20题)1.2.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．3.设集合≤x≤2},B=,则=（）A．［1,2］B．［0,2］C．［1,4］D．［0,4］4.函数的最大值记为g(t)，当t在实数范围内变化时g(t)最小值为5.已知函数.(1)求的单调区间；(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.6.已知P为曲线C上任一点，若P到点F的距离与P到直线距离相等（1）求曲线C的方程；（2）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点A、B，（I）若，求直线l的方程；（II）试问在x轴上是否存在定点E(a,0)，使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．7.袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为8.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为（）A．-3B．2C．4D．59.A为三角形的内角，则的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10.将圆平分的直线的方程可以是（）A．B．C．D．11.（1）若，求;（2）若函数对应的图象记为（3）求曲线在处的切线方程？（II）若直线为曲线的切线，并且直线与曲线有且仅有一个公共点，求所有这样直线的方程？12.已知{a n}是等比数列，,则公比q=（）A．B．-2C．2D．13.若恒成立，其中（）A．B．C．D．14.若正数满足,则的最大值是（）A．B．C．2D．15.在16.设（是虚数单位），则=（）A．B．C．D．17.在中，角，，的对边分别为，且，，成等差数列. （1）若，求的值；（2）求sinA＋sinC的最大值.18.以C：的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为19.5000辆汽车经过某一雷达测速区，其速度频率分布直方图如右图所示，则时速超过70km/h的汽车数量为20.已知在递增等差数列中，，成等比数列数列的前n项和为S n，且.（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前和．第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：2.参考答案：B3.参考答案：B4.参考答案：105.参考答案：(1) 函数的单调递增区间为，单调递减区间为(2)6.参考答案：（1）（2）（I）或（II）a=0定值为-17.参考答案：8.参考答案：C9.参考答案：A10.参考答案：D11.参考答案：（1）=2或0（2）（3）y=212.参考答案：D13.参考答案：A14.参考答案：C15.参考答案：916.参考答案：C17.参考答案：（1）c=2（2）18.参考答案：19.参考答案：50020.参考答案：（1），（2）。

宁波“十校”2024届高三3月联考数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．725 13．16 14 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本题共13分）解：（1）由题意：()()sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin A B A B C B A C A C -=⋅-，------------2分整理得()()cos cos sin sin cos cos sin 0A B C B C A C B ⋅-=⋅-=， 故cos 0A =或()sin 0C B -=，当cos 0A =时，π2A =，ABC 为直角三角形，----------------------------------------------3分 当()sin 0CB -=时，B C =，ABC 为等腰三角形．---------------------------------------5分 （2）由正弦定理sin sin a bA B =得sin sin 1a B b A ==，-------------------------------------------7分 ∴1,sin a B =∴222112sin sin 22B A a b c ++=+-----------------------------------------------9分又,πB C A B C =++=，22sin sin 1cos2sin21)4B A B B Bπ∴+=-+=+-，---------------------------11分因为ABC 为锐角三角形，所以π02π0π22B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得ππ42B <<，∴当242B ππ-=时，即38B π=1.1.----------------------------------------------------------------------------13分16．（本题共15分）解： （1）证明：由四边形ABCD 是直角梯形，BC=2AD=2，AB ⊥BC ，可得DC =2，∠BCD =3π，从而△BCD 是等边三角形，BD=2，BD 平分∠ADC. ∵E 为CD 的中点，∴DE=AD=1，∴BD ⊥AE ，-----------------------------------3分 又∵PB ⊥AE ，PB ∩BD=B ，∴AE ⊥平面PBD.又∵AE ⊂平面ABCD ∴平面PBD ⊥平面ABCD.----------------------------------------------6分 （2）在平面PBD 内作PO ⊥BD 于O ，连接OC ，又∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD=BD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角，则∠PCO=3π∴易得OP =3.-----------------------------------------------------------------------------------------8分又OC PB=PD ，PO ⊥BD ，所以O 为BD 的中点，OC ⊥BD.以OB ,OC ,OP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，C （）D (-1,0,0)，P (0,0,3)----------------------------------------------------------------------------------10分设PN PD PC λμ=+，易得(,3(1))N λλμ--+-由00BN PC BN PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得56,1313λμ==，满足题意，所以N 点到平面ABCD 的距离为63(1)13λμ-+-=--------------------------------------15分 17．（本题共15分）解：（1）()1l 1e n x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()1222e 1()(1)11xxx f x k e k x xx x x ⎛⎫'=-+=⋅- -⎪-⎝⎭------1分 当0k >时，1()0f x '=的两根为11x =，2ln x k =.①若e k =，()1f x 在(0,)+∞上单调递增；-------------------------------------------------2分 ②若e k >，则21ln 1x k x =>=，则()1f x 在(0,1)上单调递增，在(1ln )k ，上单调递减，在(ln ,)k +∞上单调递增；---------------------------------------------------------4分③若0e k <<，则21ln 1x k x =<=，则()1f x 在(0,ln )k 上单调递增，在(ln ,1)k 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.综上，当e k =时，无单调减区间，单调增区间为(0,)+∞； 当e k >时，单调减区间为(1ln )k ，，单调增区间为(0,1)和(ln ,)k +∞；当0e k <<时，单调减区间为(ln ,1)k ，单调增区间为(0,ln )k 和(1,)+∞.-------------6分 （2）根据题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，则()()232264e 133e 3e x x xf x k x x x k x x x x x ⎛⎫'=--+⋅-⋅- -=⎭⋅⎪⎝， 由函数()f x 有三个极值点123,,x x x 可知()()2403e x x f x x x k '-=⋅=-在()0,∞+上至少有三个实数根；显然()30f '=，则需方程24e 0x kx x -=， 也即2e 0x kx -=有两个不等于3的不相等的实数根；--------------------------------------8分由2e 0x kx -=可得2e x k x=，()0,x ∈+∞，令()()2e ,0,xg x x x =∈+∞，则()()()3e 2,0,x x g x x x -'=∈+∞，-----------------------------10分显然当()0,2x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,2上单调递减； 当()2,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()2,+∞上单调递增；所以()()2e 24g x g ≥=，----------------------------------------------------------------------------12分画出函数()()2e ,0,xg x x x =∈+∞与函数y k =在同一坐标系下的图象，由图可得2e 4k >且3e 9k ≠时，2e xk x=在()0,∞+上有两个不等于3的相异的实数根，经检验可知当233e e e ,,499k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，导函数()()2403e x x f x x x k '-=⋅=-在123,,x x x 左右符号不同，即123,,x x x 均是()0f x '=的变号零点，满足题意；因此实数k 的取值范围是233e e e ,,499k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-------------------------------------------15分（注：未去掉3e 9，扣1分）18．（本题共17分）解：（1）依题意，21~5,X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则521(0)132P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，4511522321(1)C P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 322511105(2)C 223216P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，52331(3)C 152216P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4451522321(4)C P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，5211(5)32P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故X----------------------------------------------5分故2(5)215E X =⨯=．-----------------------------------------------------------------7分（2）事件“Y n =”表示前n 1-次试验只成功了1次，且第n 次试验成功，故122112112()C ()()33393n n n n P Y n ----==⨯⨯⨯=⨯，-------------------------------------------9分 当n 为偶数时，所以0221()(2)(4)()[1()3()(1)()]2223339n P AB P P P n n -=+++=⋅+⋅+-⋅………+，令022222331()3()(1)()3n n S n -=⋅+⋅+-⋅…+则24341()3()(922(23))31n n S n =⋅+⋅+-⋅…+， 两式相减得：242512[()()2222333()](1)()93n n n S n -=+++--⋅…+ -----------------------13分则11721179()()253255n n S n =-⋅+．即131312()()()252553n P AB n =-+⋅.当n 为奇数时，同理可得023111318()(2)(4)(1)[1()3()2222333(2)()]()()9255325n n P AB P P P n n n --=+++-=⋅+⋅+-⋅=-+⋅………+综上，11318()(),25525()13113()(),255522233n n n n P AB n n -⎧-+⋅⎪⎪=⎨⎪-+⋅⎪⎩为奇数为偶数--------------------------------------------17分（注：只考虑n 是奇数或偶数，且答案正确扣2分）19．（本题共17分）解：（1）由双曲线方程222214x y a a -=-，则2240a a ⎧>⎪⎨->⎪⎩，得到(0,2)a ∈， 联立抛物线与双曲线方程222221444x y a a y x ⎧⎪⎨⎪=--=⎩-，得到2224(4)40a x a x a --+=，-----2分记222422()(4)4[(2)][(2)]f x a x a x a a x a a x a =--+=+---，可知()0f x =有两个根22a a +和22a a-，其中212a a <+，则212a a >-，解得(1,2)a ∈.-----------------------------6分 又直线AF 分别交12,C C 于,C D （不同于,A B 点），即,,A B F 三点不共线，当2x =时，代入抛物线方程得到(2,2)A ，将(2,2)A 代入双曲线方程得到224414a a-=-，解得26a =-，故1a =.综上，1)1,2)a ∈⋃------------------------------------------------------------------7分（2）由()()1122,,,A x y C x y 是直线AF 与抛物线21:44C y x =-的两个交点，显然直线AF 不垂直y 轴，点()2,0F ，故设直线AF 的方程为2x my =+，由2244x my y x =+⎧⎨=-⎩消去x 并整理得2440y my --=，所以124y y =-为定值. 设()11,B x y -，直线BC 的斜率21212221212144444y y y y y y x x y y ++==++---，方程为()11214y y x x y y +=--，令0y =，得点P 的横坐标()2121112440444P y y y y y y x -++=+==，-------------10分设()33,D x y ，由2222214x my x y a a =+⎧⎪⎨-=⎪-⎩消去x 得22222222(444(40)())m m a a y m a y a --+-+-=， 2222222222222222240Δ16(4)4(4)(4)4(1)(4)0m m a a m a a m m a a a m a ⎧--≠⎨=-----=+->⎩， 222222222221313,44(4())44y m a a m m a a m m a a y y y ----+==---，而直线BD 的方程为113131()y y y y x x x x ++=--，依题意0m ≠，令0y =，得点Q 的横坐标13113111313133113113(()())Q y x x y x x x y y y x y x x x y y y y y y --+++=+==+++ 2222222222213113132131322223)2()(2)(4842)22()444(4()4m a m a y y y y my y y y m m m a a m m a a m a y y y y a m m m a ---++++----===-+-++-+-22(4)4122a a --==-，----------------------------------------------------------------------13分因此21||22QF a =-，21||2PQ a =.联立抛物线与双曲线方程222224414x x y a a y ⎧⎪⎨⎪---=⎩=，得到2224(4)40a x a x a --+=，解得点A的坐标2(2a a -，由124y y =-，214y y -=. 根据123S S =，则121||||231||||2A CQF y S S PQ y ⋅==⋅，代入得到21221(2)||231||2a y a y -⋅=⋅，即221212(4)3||a y a y y -⋅=⋅，化简得22(2)(1)(4)4122a a a a a+--⋅=-解得34a =，故a 分。

十校联合体2013届高三上学期期初联考数学文试题(完卷时间：120分钟， 满分：150分，本次考试不得使用计算器)一．选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分．1.设集合{|1A x =-≤x ≤2},B=},04|{2R x x x x ∈>-,则)(B C A R ⋂= （ ）A.［1,2］B.［0,2］C. ［1,4］D.［0,4］2.设i z -=1（i 是虚数单位），则22z z+= （ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +3. 已知{a n }是等比数列，21,474==a a ,则公比q= （ ）A.21-B.-2C.2D.214.设变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数x y z 32-=的最大值为 （ ）A ．-3B ．2C ．4D ．55.将圆024:22=-++y x y x C 平分的直线的方程可以是（ ）A ．01=-+y xB ．03=++y xC ．01=+-y xD ． 03=+-y x [6.若正数y x ,满足3039422=++xy y x ,则xy 的最大值是（ ）A ．34 B ．35 C ．2D ．45 7.A 为三角形的内角，则23cos 21sin <>A A 是的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知抛物线x y 42=的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为 （ ）A. 23- B1 C ．21D ．229.若]2,0[0)sin()32cos(πϕωπ∈≤+⋅-x x x 对恒成立，其中=⋅-∈>ϕωππϕω则),,[,0（ ） A. 35π-B ．32π-C ．32π D. 34π10.以下四个命题（1） 在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且B a A b cos sin =，则4π=B（2）设b a ,是两个非零向量且→→→→=⋅b a b a ，则存在实数λ，使得a b λ=； （3）方程0sin =-x x 在实数范围内的解有且仅有一个； （4）b a a b b a R b a >->-∈则且33,33；其中正确的个数有 （ ）A.1个B. 2个C. 3D.4个二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分 11.f (x )为偶函数且)3(log 2)(02++=≥x x f x x时， 则f (－1)＝12. 5000辆汽车经过某一雷达测速区， 其速度频率分布直方图如右图所示，则时速超过70km/h 的汽车数量为 13.==+θθπ2cos ,31)2sin(则14.以C ：15422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为 [15.在=⋅=∆AC AB B AB ABC为直角，则中，,3 16.已知袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是109，从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概为17.函数|3|)(23t x x x f --= ]4,0[,∈x 的最大值记为g(t)，当t 在实数范围内变化时g(t)最小值为三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2024届浙江省“温州十校联合体”高三数学试题第一次统练（一模）试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．12．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 4．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值5．在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P ，渐近线方程为2y x =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=6．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432B ．576C ．696D ．9607．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=的2，则E 的离心率为( ) A 3B ．12C ．22D ．238．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．19．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-10．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件11．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ）A ．10B ．16C ．20D ．2412．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科命题：春晖中学 舟山中学 审核：丽水中学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,0,1,2,3,230A B x x x =-=+->，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}2,3C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,1,2- 2．已知复数2i1iz +=-，则2z z +在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．在ABC △中，13BD BC =，若,AB a AC b ==，则AD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b + C ．1233a b - D ．2133a b - 4．已知函数()22log y ax x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞5．抛物线24y x =的焦点为F ，过点)M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点C ．若3BF =，则BCAC=（ ） A ．34 B ．45 C ．56 D ．676．某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（ ） A ．124 B ．246 C ．114 D ．1087．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，M N 、是直线1y =-与曲线()y f x =的两个交点，且29MN π=，则()f π的值为（ ）A B ．1- C ． D ．8．已知四面体ABCD 中，2,120AD BD BCD ==∠=︒，直线AD 与BC 所成的角为60︒，且二面角A CDB --为锐二面角．当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）A ．323π B ．163πC ．16πD ．8π 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．9．下列命题成立的是（ ）A ．已知()0,1N ξ~，若(1)P p ξ>=，则()1102P p ξ-≤≤=- B ．若一组样本数据()(),1,2,3,,i i x y i n =的对应样本点都在直线23y x =-+上，则这组样本数据的相关系数r 为1-C ．样本数据64，72，75，76，78，79，85，86，91，92的第45百分位数为78D ．对分类变量X 与Y 的独立性检验的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“X 与Y 有关系”的把握性越大 10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 为平面ABC 内一动点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点P 在棱AD 上运动，则1A P PC +的最小值为2+B ．若点P 是棱AD 的中点，则平面1PBC 截正方体所得截面的周长为C ．若点P 满足11PD DC ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线D ．若点P 在直线AC 上运动，则P 到棱1BC11．设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A ．()10g =B ．函数()g x '的图象关于()1,0对称C ．()f x 的周期为4D ．20231()0k g k ==∑12．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且10a >，则下列叙述中正确的是（ ） A ．若1423a a a a +=+，则1q = B ．若213ln ln a a a =+，则0q <C ．若1232aaa e e =+，则1q > D ．若101a <<，且()1231234ln a a a a a a a ++=+++，则1q >非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知函数()()()41,,12log ,1,xx f x x x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪∈+∞⎩，则()1f x >的解集为__________． 14．若过点()2,1的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为__________．15．已知F 是椭圆22:143x y C +=的左焦点，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为__________．16．已知不等式ln ln x x m x x n -≥+对0x ∀>恒成立，则当nm取最大值时，m =__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知()()sin sin f x x x x =-． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ．若()3,22f A a ==，求2b c +的取值范围． 18．（本题满分12分）已知四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为等腰梯形，,4,2AB DC AB AD DC ===∥，4,BE ADE=△为等边三角形．（1）求证：平面ADE ⊥平面ABCD ；（2）是否存在一点F ，满足(01)EF EB λλ=<<，使直线AF 与平面BDE 所成的角为60︒？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 19．（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()()*1312n n S a n =-∈N ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设,,n n n n a n b n a n +⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 的项和2n T ．20．（本小题满分12分）某科研所研究表明，绝大部分抗抑郁抗焦虑的药物都有一个奇特的功效，就是刺激人体大脑多巴胺（Dopamine ）的分泌，所以又叫“快乐药”．其实科学、合理、适量的有氧运动就会增加人体大脑多巴胺（Dopamine ）的分泌，从而缓解抑郁、焦虑的情绪．人体多巴胺（Dopamine ）分泌的正常值是107.2246.6μg/24h -，定义运动后多巴胺含量超过400μg/24h 称明显有效运动，否则是不明显有效运动．树人中学为了了解学生明显有效运动是否与性别有关，对运动后的60名学生进行检测，其中女生与男生的人数之比为1∶2，女生中明显有效运动的人数占12，男生中明显有效运动的人数占34．（1）根据所给的数据完成上表，并依据0.100α=的独立性检验，能否判断明显有效运动与性别有关？并说明理由．（2）若从树人中学所有学生中抽取11人，用样本的频率估计概率，预测11人中不明显有效运动的人数最有可能是多少？附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：21．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为,A B P 、为双曲线上异于A 、B 的任意一点，直线PA PB 、的斜率乘积为13．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线C 的方程；（2）设不同于顶点的两点M N 、在双曲线C 的右支上，直线AM BN 、在y 轴上的截距之比为1:3．试问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 22．（本小题满分12分）已知函数()2e (1)x f x a e x =--有两个极值点()1212,x x x x <．其中,a e ∈R 为自然对数的底数． （1）求实数a 的取值范围；（2）若()()()()121222111ex e x e x x λ+-+-≥--恒成立，求λ的取值范围．2023学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．三、填空题：本大题共4小题，单空题4分，多空题6分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．()(),04,-∞+∞ 14 15．274 16．e四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）化简得()1cos21sin 2226x f x x x π-⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ 令3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，得到2,63k x k k ππππ+≤≤+∈Z 所以()f x 的增区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）由()32f A =，得sin 216A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由于132666A πππ<+<，所以3262A ππ+=得到23A π=()2sin 2sin sin 2sin 4cos sin 3a b c B C B B B A π⎫⎛⎫+=+=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由于()0,24cos 2,43B b c B π<<+=∈18．解：（1）等腰梯形A B C D 中，4,2A B A D D C ===，得到B D A D⊥，BD =．由22216BD DE BE +==，得到BD DE ⊥，且ADDE D =，因此BD ⊥平面ADE ，又因为BD ⊂平面ABCD ，故平面ADE ⊥平面ABCD（2）方法一：由（1）知BD ⊥面ADE ，得到面BDE ⊥面ADE ．作AH DE ⊥于H 点，有AH ⊥面BDE ．AFH ∠即为直线AF 与面BDE 所成角在直角三角形AHF 中，由AH =60AFH ∠=︒，得到1FH =由1,60EH FH HEF ==∠=︒得1FE =，又4EB =，所以存在14λ=． 方法二：以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．其中()()()(0,0,0,2,0,0,,D A B E 得到()(0,23,0,DB DE ==，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =由00n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，不妨设1z =-，则取()3,0,1n =-又()()1,23,3,,EB EFEB λλ=--==-(()(),AF AE EF λλ=+=-+-=--则cos ,sin 60216AF n AF n AF nλ⋅===︒=，0λ=（舍去）或14所以，14λ=19．解：（1）由231n n S a =-，得()112312n n S a n --=-≥，两式相减得()132n n a a n -=≥． 令11,1,n a ==∴数列{}n a 成等比数列，13n n a -∴=（2）由于113,3,n n n n n b n n --⎧+=⎨⋅⎩为奇数为偶数()()024222911352133338n n S n n --=++++-+++++=+奇数项1352123436323n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅偶数项①，则35721923436323n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅偶数项②，①-②得：()()13212121319823332322319n nn n S n n -++⋅--=+++-⋅=-⋅-偶数项()22433332n n S -⋅+=偶数项()()2222224333241319183232n n nn n n T n n -⋅++⋅--∴=++=+20．解：（1）因为对60名学生明显有效运动是否与性别有关的调查，其中女生与男生的人数之比为1:2，女生中明显有效运动的人数占12，男生中明显有效运动的人数占34，得到下面的列联表：给定假设0H ：明显有效运动与性别没有关系．由于()()()()()222() 3.75 2.7060.100n ad bc P a b c d a c b d χχ-==>=≥++++， 则根据小概率值0.100α=的2χ独立性检验，有充分的证据推断假设0H 不成立，因此认为明显有效运动与性别存在差异．（2）由样本数据可知，不明显有效运动的频率为13，用样本的频率估计概率，所以不明显有效运动的概率为13， 设11人不明显有效运动的人数为X ，则111,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以()()11111110,1,2,1133kkk P x k C k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭假设11人中不明显有效运动的人数最有可能是k ，则1111011111111121111111111133331111113333k k k kk k k k k kk k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得34k ≤≤所以11人中不明显有效运动的人数最有可能是3或4．21．解：（1）设()22000022,,1x y P x y a b-=，则2220022y x a ba-=，又()(),0,,0A a B a -， 2200022200013PA PBy y y b k k x a x a x a a ∴⋅=⋅===+--， 又焦点到其一条渐近线0bx ax +=1b ==，解得：1a b ==．所以双曲线C 的方程：2213x y -=（2）设直线MN 的方程为()()1122,,,,x my t M x y N x y =+．由2233x my t x y =+⎧⎨-=⎩得()2222121222233230,,33mt t m y mty t y y y y m m --++-=∴+=-=--()),A B，直线:AM y x =+，则直线AM 在y轴上的截距为，直线:BN y x =-，则直线BN 在y，=13AM BM k k ⋅==1=所以11x y =，则(12120x x y y -+=，(()(()22121212120,1(0my t my t y y m y y t m y y t ∴+-++=∴++-++-=， ()(22222321(033t mtm t m t m m --∴+⋅+-⋅+=--，化简得：t =t =若t =MN过顶点，舍去．t ∴=则直线MN的方程为x my =+，所以直线MN过定点()E ． 22．解：（1）由于()()e 21x f x a e x '=--， 由题知()0f x '=有两个不同实数根，即()21xe x a e -=有两个不同实数根． 令()()21xe x g x e-=，则()()220x e x g x e -'=≥，解得2x ≤，故()g x 在(],2-∞上单调递增，在[)2,+∞上单调递减，且()()()2lim ,lim 0,2x x g x g x g e→-∞→+∞=-∞==，故()g x 的图象如图所示，当20,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x '有两个零点12,x x 且12x x <．则()100f x x x ≥⇔<≤'或2x x ≥，故()f x 在(]10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，()f x 的极大值点为1x ，极小值点为2x ． 故()2e (1)x f x a e x =--有两个极值点时，实数a 的取值范围为20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）由于()()()()()()()()()12121212e 2211112111ex x e x x e x e x x x λλ+-+-≥--⇔-+--≥-- 若设()1122121,10t x t x t t =-=-<<，则上式即为()12122et e t t t λ+-≥⋅由（1）可得1212e 20e 20t t a t a t ⎧=>⎨=>⎩，两式相除得2121e t tt t -=，即2211ln 0t t t t -=>，由()12122et e t t t λ+-≥⋅得()()221121212lnt t t et e t t t t λ-+-≥⎡⎤⎣⎦ 所以()2112212e 2e lnt t t t t t λ+--⋅≤，令()()21221,(1)ln ee t t t t h t t t t+--=>=>，则()h t λ≤在()1,+∞恒成立，由于()()()22222ln 22ln e t e t t e t e h t t t⎡⎤-+---+⎦='⎣， 令()()()222ln 22t e t e t t e t eϕ⎡⎤=-+---+⎣⎦，则()()()22l n 22et e t t e t tϕ=----+'，()()()222ln 222et e t e e tϕ=-+---'+'，显然()t ϕ''在()1,+∞递增， 又有()()1120,e 3e 60eϕϕ=-<'-'-'=>'，所以存在()01,t e ∈使得()00t ϕ''=，且易得()t ϕ'在()01,t递减，()0,t +∞递增，又有()()210,e e 2e 10ϕϕ==--'>'，所以存在()11,e t ∈使得()10t ϕ=，且易得()t ϕ在()11,t 递减，()1,t +∞递增，又()()1e 0ϕϕ==，则1e x <<时，()()0,0,e t h t x ϕ<'<>时，()()0,0t h t ϕ'>>，所以易得()h t 在()1,e 上递减，在()e,+∞上递增，则()2min ()e (e 1)h t h ==-，所以λ的取值范围为(2,(1)e ⎤-∞-⎦．。

浙江省温州市十校联合体2021届高三数学上学期期初联考试题 文（含解析）【试卷综评】命题把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题中必需把握的核心观念、思想方式、大体概念和经常使用技术。

试卷对中学数学的核心内容和大体能力，专门是对高中数学的骨干知识进行较为全面地考查。

注重了知识之间的内在联系，重点内容重点考，没有片面追求知识及大体思想、方式的覆盖面，反映了新课程的理念.一、选择题：本大题有10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，那么()U C A B=（ ）A ．{}4 B ．{}3,4 C ．D ．{}3【知识点】集合及其运算.A1 【答案解析】A 解析：因为全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，因此2,4U C A，故4U C AB ，应选A.【思路点拨】依照已知条件先求出U C A，然后再求()U C A B即可.【题文】2．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,()21,f x x x =+ 那么()1f -= （ ） A.2-B. 0C. 1D. 2【知识点】奇函数的性质;考查函数的求值. B1 B4【答案解析】A 解析：∵函数()f x 为奇函数,且当0x >时,()21,f x x x =+ ∴112f f ，应选A ．【思路点拨】利用奇函数的性质11f f ，即可求得答案．【题文】3．假设有直线m 、n 和平面α、β，以下四个命题中，正确的选项是 （ ） A ．若//m α，//n α，那么//m nB ．若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβC ．若αβ⊥，m α⊂，那么m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，那么//m α【知识点】面面平行的判定定理;线面平行的定理; 面面垂直的性质定理.G4 G5【答案解析】D 解析：A 不对，由面面平行的判定定理知，m 与n 可能相交，也可能是异面直线；B 不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C 不对，由面面垂直的性质定理知，m 必须垂直交线；故选D ．【思路点拨】由面面平行的判定定理和线面平行的定理判定A 、B 、D ；由面面垂直的性质定理判定C ． 【题文】4．"等式sin()sin 2αγβ+=成立"是",,αβγ成等差数列 "的 （ ） A ．充分不必要条件 B. 充要条件 C ．必要不充分条件 D. 既不充分也没必要要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判定．A2【答案解析】A 解析：假设等式sin()sin 2αγβ+=成立，那么()12kk αγπβ+=+-⋅，此时,,αβγ不必然成等差数列，若,,αβγ成等差数列，那么2βαγ=+，等式sin()sin 2αγβ+=成立，因此“等式sin()sin 2αγβ+=成立”是“,,αβγ成等差数列”的．必要而不充分条件． 故选A ．【思路点拨】由正弦函数的图象及周期性和等差数列进行双向判定即可．【题文】5．直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直，那么实数m 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2D ．-1或0【知识点】直线的一样式方程;直线的垂直关系．H1 H2【答案解析】D 解析：∵直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直， ∴3m+m （2m-1）=0，解得m=0或m=-1．应选：D ．【思路点拨】此题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．【题文】6．如以下图①对应于函数f(x)，那么在以下给出的四个函数中，图②对应的函数只能是（ ） A ．y=f(|x|) B ．y=|f(x)| C ．y=f(－|x|) D ．)(x f y -=【知识点】函数的图象;函数的图象与图象转变.B8【答案解析】C 解析：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，故B 错误，且当x ＞0时，对应的函数图象右边与左侧关于y 轴对称，而y 轴左侧图象与（1）中的图象对应的函数y=f （x ）的图象相同，故当x ＞0时，对应的函数是y=f （-x ），得出A 、D 不正确．应选C.【思路点拨】由题意可知，图2函数是偶函数，与图1对照，y 轴左侧图象相同，右边与左侧关于y 轴对称，对选项一一利用排除法分析可得答案． 【题文】7．若{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且S15 =π10,那么tan 8a 的值为( )A ．3B ． 3-C ． 3±D ．33-【知识点】等差数列的性质. D2【答案解析】B 解析：由等差数列{an}的前n 项和的性质，158S 15a 10，∴82a 3∴8tana 3,应选B ．【思路点拨】由等差数列{an}的前n 项和的性质，n 为奇数时，12n n s na ＝，求出8a ，进而依照特殊角的三角函数值求出结果．【题文】8．过点（，0）引直线l 与曲线21y x =-交于A,B 两点 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）33B.33C.33D. 3【知识点】直线的斜率；直线与圆的关系. H1 H4【答案解析】B 解析：由21y x =-x2+y2=1（y ≥0）．所以曲线21y x =-x 轴上方的部份（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合， 则-1＜k ＜0，直线l 的方程为y-0=2)，即2k ＝0．则原点O 到l 的距离d=221kk，l 被半圆截得的半弦长为222221 1()11k k k k ＝．则S △ABO ＝2222222212(1)•1(1)1kk k k k k k=22222222 2(1)6(1)4462(1)(1)1k k k k k ．令211t k＝，那么S △ABO ＝2462t t ，当t ＝34，即21314k ＝时，S △ABO 有最大值为12．现在由213 14k ＝，解得k=33-．应选B ．【思路点拨】由题意可知曲线为单位圆在x 轴上方部份（含与x 轴的交点），由此可取得过C 点的直线与曲线相交时k 的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方式转化为求二次函数的最值．【题文】9．当x>3时，不等式x+11-x ≥a 恒成立，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞,3] B ．[3,+∞) C ．[72,+∞) D ．(－∞, 72]【知识点】函数的单调性；不等式恒成立问题；大体不等式.B3 E6【答案解析】D 解析：因为不等式x+11-x ≥a 恒成立，因此有1111ax x 恒成立，令1t x ，32x t ，即11a tt 在2,恒成立，而函数11f t tt 在2,上是增函数，故722af ，应选D.【思路点拨】先依照已知条件把原式转化为11a tt 在2,恒成立的问题，再借助于函数的单调性即可.【题文】10．如图，南北方向的公路l ,A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 东偏北300方向23 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路l 和到A 地距离相等。