高三数学二轮复习 高考大题专攻练 2 三角函数与解三角形(B组) 理 新人教版

专练24 高考大题专练(二) 三角函数与解三角形的综合运用1．[2022·全国乙卷(理)，17]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C sin (A －B )＝sin B sin (C －A ).(1)证明：2a 2＝b 2＋c 2；(2)若a ＝5，cos A ＝2531，求△ABC 的周长．2．[2022·新高考Ⅱ卷，18]记△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1，S 2，S 3，已知S 1－S 2＋S 3＝32，sin B ＝13.(1)求△ABC 的面积； (2)若sin A sin C ＝23，求b .3．[2022·新高考Ⅰ卷，18]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A 1＋sin A＝sin2B1＋cos2B.(1)若C＝2π3，求B；(2)求a2＋b2c2的最小值．4．[2020·全国卷Ⅱ]△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．5．[2022·江西省南昌市模拟]如图，锐角△OAB 中，OA ＝OB ，延长BA 到C ，使得AC ＝3，∠AOC ＝π4，sin∠OAC ＝223.(1)求OC ； (2)求sin∠BOC .6．[2022·江西省重点中学盟校联考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：b sinB ＋C2＝a sin B ，条件②：b ＝a cos C ＋12c ，条件③：b tan A ＝(2c －b )tan B 这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A ；(2)若AB →·AC →＝3，求a 的最小值．专练24 高考大题专练(二) 三角函数与解三角形的综合运用1．解析：(1)证明：∵sin C sin (A －B )＝sin B sin (C －A )， ∴sin C sin A cos B －sin C cos A sin B ＝sin B sin C cos A －sin B cos C sin A ， ∴sin C sin A cos B ＝2sin B sin C cos A －sin B cos C sin A . 由正弦定理，得ac cos B ＝2bc cos A －ab cos C . 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22＝b 2＋c 2－a 2－a 2＋b 2－c 22.整理，得2a 2＝b 2＋c 2. (2)由(1)知2a 2＝b 2＋c 2. 又∵a ＝5，∴b 2＋c 2＝2a 2＝50. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即25＝50－5031bc ，∴bc ＝312.∴b ＋c ＝b 2＋c 2＋2bc ＝50＋31＝9， ∴a ＋b ＋c ＝14.故△ABC 的周长为14.2．解析：(1)∵边长为a 的正三角形的面积为34a 2， ∴S 1－S 2＋S 3＝34(a 2－b 2＋c 2)＝32. 结合余弦定理，得ac cos B ＝1，即cos B ＝1ac.由sin B ＝13，得cos B ＝223，∴ac ＝324，故S △ABC ＝12ac sin B ＝12×324×13＝28.(2)由正弦定理，得b 2sin 2B ＝a sin A ·c sin C ＝ac sin A sin C ＝32423＝94，故b ＝32sin B ＝12. 3．解析：(1)由已知条件，得sin2B ＋sin A sin2B ＝cos A ＋cos A cos2B .所以sin2B ＝cos A ＋cos A cos2B －sin A sin2B ＝cos A ＋cos (A ＋2B )＝cos [π－(B ＋C )]＋cos [π－(B ＋C )＋2B ]＝－cos (B ＋C )＋cos [π＋(B －C )]＝－2cos B cos C ，所以2sin B cos B ＝－2cos B cos C ， 即(sin B ＋cos C )cos B ＝0.由已知条件，得1＋cos2B ≠0，则B ≠π2，所以cos B ≠0，所以sin B ＝－cos C ＝12.又0＜B ＜π3，所以B ＝π6.(2)由(1)知sin B ＝－cos C ＞0，则B ＝C －π2，所以sin A ＝sin (B ＋C )＝sin (2C －π2)＝－cos2C .由正弦定理，得a 2＋b 2c 2＝sin 2A ＋sin 2B sin 2C ＝cos 22C ＋cos 2C sin 2C ＝（1－2sin 2C ）2＋（1－sin 2C ）sin 2C＝2＋4sin 4C －5sin 2C sin 2C ＝2sin 2C＋4sin 2C －5≥22sin 2C·4sin 2C －5＝42－5， 当且仅当sin 2C ＝22时，等号成立，所以a 2＋b2c 2的最小值为42－5.4．解析：(1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .① 由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A .②由①②得cos A ＝－12.因为0<A <π，所以A ＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BCsin A ＝23，从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin (π－A －B )＝3cos B －3sin B ．故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin (B ＋π3).又0<B <π3，所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3.5．解析：(1)在△OAC 中，由正弦定理知OC sin∠OAC ＝ACsin∠AOC ，所以，OC ＝3sin∠OACsinπ4＝4.(2)设∠OAB ＝α，则α为锐角，sin α＝sin (π－∠OAC )＝sin∠OAC ＝223，所以，cos α＝1－sin 2α＝13，所以sin∠AOB ＝sin (π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝429，则cos∠AOB ＝cos (π－2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝79，所以sin∠BOC ＝sin (∠AOB ＋π4)＝sin∠AOB cos π4＋cos∠AOB sin π4＝22×429＋22×79＝8＋7218. 6．解析：(1)若选条件①，由正弦定理得sin B sin π－A 2＝sin A sin B ，∵B ∈(0，π)⇒sin B >0，∴sin π－A 2＝sin A ，∴cos A 2＝2sin A 2cos A2，又A 2∈(0，π2)，∴cos A 2≠0，∴sin A 2＝12， ∴A 2＝π6⇒A ＝π3； 若选条件②，△ABC 中，b －a cos C ＝c 2，由正弦定理知sin B －sin A cos C ＝12sin C ，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴sin A cos C ＋cos A sin C －sin A cos C ＝12sin C ，∴cos A sin C ＝12sin C ，因为sin C >0， ∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3；若选条件③，由b tan A ＝(2c －b )tan B ， 得sin B sin A cos A ＝(2sin C －sin B )sin Bcos B，B ∈(0，π)，所以sin B >0，∴sin A cos B ＝2sin C cos A －sin B cos A ， ∴sin (A ＋B )＝2sin C cos A ， ∴sin C ＝2sin C cos A ，∵C ∈(0，π)，∴sin C >0，∴cos A ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)由(1)及AB →·AC →＝3得bc ＝6，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝6， 当且仅当b ＝c ＝6时取等号，所以a 的最小值为 6.。

第2讲 三角变换与解三角形【高考考情解读】 1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在X 围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密，有利于考查考生的各种能力，因而成了高考命题的一大热点.2.分析近年考情可知，命题模式一般为1～2题，其中，选择(填空)题多为低档题，解答题则一般为与其他知识(尤其是三角函数、向量)交汇的综合题或实际应用题，难度中等．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解.考点一 三角变换例1 (2013·某某)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ，又cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725＋2425＝1725.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果． 化简常用技巧：①常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；②项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； ④弦、切互化：一般是切化弦．(1)(2013·某某)设sin 2α＝－si n α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．(2)(2012·某某)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．答案 (1) 3 (2)17250解析 (1)∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0 即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.(2)∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 考点二 正、余弦定理例2 (2013·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破． 几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径；(3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且(2b －3c )cos A＝3a cos C . (1)求角A 的大小；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．解 (1)∵(2b －3c )cos A ＝3a cos C ， ∴(2sin B －3sin C )cos A ＝3sin A cos C . 即2sin B cos A ＝3sin A cos C ＋3sin C cos A . ∴2sin B cos A ＝3sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝32， ∵0<A <π，∴A ＝π6.(2)由(1)知A ＝B ＝π6，所以AC ＝BC ，C ＝2π3，设AC ＝x ，则MC ＝12x .又AM ＝7，在△AMC 中，由余弦定理得AC 2＋MC 2－2AC ·MC cos C ＝AM 2， 即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－2x ·x2·cos 120°＝(7)2，解得x ＝2，故S △ABC ＝12x 2sin 2π3＝ 3.考点三 正、余弦定理的实际应用例3 (2013·某某)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么X 围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝si n[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)， 由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)X 围内． 应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．在南沙某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如 果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？解 由题意，得轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟． 又船始终匀速前进，所以BC ＝4EB . 设EB ＝x ，则BC ＝4x .由已知，得∠BAE ＝30°，∠EAC ＝150°. 在△AEC 中，由正弦定理，得EC sin∠EAC ＝AEsin C，所以sin C ＝AE ·sin∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin 120°＝ABsin C，∴AB ＝BC ·sin Csin 120°＝4x ·12x 32＝433.在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos 30°＝163＋25－2×433×5×32＝313，故BE ＝313. 所以船速v ＝BE t＝31313＝93(km/h)．所以该船的速度为93 km/h.1．求解恒等变换的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”． (3)再次观察代数式的结构特点． 2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sinA ，sin A ＝a2R(其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．1．在△ABC 中，已知tanA ＋B2＝sin C ，给出以下四个结论：①tan Atan B＝1； ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2A ＋cos 2B ＝1； ④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C .其中一定正确的是( )A ．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 答案 D解析 依题意，tan A ＋B2＝sinA ＋B 2cosA ＋B2＝2sin A ＋B2cos A ＋B22cos2A ＋B2＝sin A ＋B 1＋cos A ＋B＝sin C1＋cos A ＋B＝sin C .∵sin C ≠0，∴1＋cos(A ＋B )＝1，cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2，即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形． 对于①，由tan Atan B ＝1，得tan A ＝tan B ，即A ＝B ，不一定成立，故①不正确； 对于②，∵A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)，∴1<sin A ＋sin B ≤2，故②正确； 对于③，∵A ＋B ＝π2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝sin 2A ＋sin 2A ＝2sin 2A ， 其值不确定，故③不正确； 对于④，∵A ＋B ＝π2，∴cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故④正确． 2．已知函数f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4.(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值X 围．解 (1)f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. 由f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos[π－(π3＋x )]＝－cos(π3＋x )＝2sin 2(x 2＋π6)－1＝－12. (2)由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3， 所以0<B <2π3，所以π6<B 2＋π6<π2，所以f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255 D.55或525答案 A解析 根据α、β都是锐角，且cos α＝55，sin 2α＋cos 2α＝1， 得sin α＝255⇒π4<α<π2，又∵sin(α＋β)＝35，∴cos(α＋β)＝－45.又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝2525，故选A. 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235C ．－45D.45答案 C解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝453，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.3．(2013·某某)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.4．锐角三角形ABC 中，若C ＝2B ，则AB AC的X 围是( )A ．(0,2)B ．(2，2)C ．(2，3)D ．(3，2) 答案 C解析 设△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，则有AB AC ＝c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B .又∵C ＝2B <π2，∴B <π4.又A ＝π－(B ＋C )＝π－3B <π2，∴B >π6，即π6<B <π4，∴22<cos B <32，2<2cos B < 3. 5．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32B.3－1 C ．2 D ．2－ 3 答案 D解析 由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B ＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－3，故选D.6．(2013·某某)4cos 50°－tan 40°等于( )A.2B.2＋32C.3D ．22－1 答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin 50°＋30°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.二、填空题7．(2013·某某)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．答案3解析 sin∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos∠BAD ，∴cos∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.8．(2013·某某)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A＝5sin B ，则角C ＝________. 答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.答案 －255解析 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.10．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________.答案11解析 依题意，利用三角形面积相等有： 12×AB ×h ＝12×AC ×BC ·sin 60°， ∴12×3×43＝12×AC ×BC ·sin 60°， ∴AC ×BC ＝83.利用余弦定理可知cos 60°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC，∴cos 60°＝AC 2＋BC 2－32×83，解得：AC 2＋BC 2＝173.又因(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ×BC ＝173＋163＝11， ∴AC ＋BC ＝11. 三、解答题11．已知函数f (x )＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，2a ＝b ＋c ，bc＝18，求a 的值．解 (1)f (x )＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)由f (A )＝12，得sin(2A ＋π6)＝12.∵π6<2A ＋π6<2π＋π6，∴2A ＋π6＝5π6. ∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc . 又2a ＝b ＋c ，bc ＝18，∴a 2＝4a 2－3×18，即a 2＝18，a ＝3 2.12．(2013·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2A －B2cos B －sin(A－B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 解 (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得 [cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.13．(2013·某某)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上，(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时， △OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解 (1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22， 由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2×OP ×MP ×cos 45°， 得MP 2－4MP ＋3＝0， 解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°， 在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin∠OPM ＝OPsin∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°sin 45°＋α，同理ON ＝OP sin 45°sin 75°＋α.故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin∠MON＝14×OP 2sin 245°sin45°＋αsin 75°＋α＝1sin45°＋αsin 45°＋α＋30°＝1sin45°＋α[32sin45°＋α＋12cos45°＋α]＝132sin 245°＋α＋12sin 45°＋αcos 45°＋α＝134[1－cos 90°＋2α]＋14sin 90°＋2α＝134＋34sin 2α＋14cos 2α ＝134＋12sin 2α＋30°.因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)取最大值1，此时△OMN 的面积取到最小值，即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.。

高考数学二轮复习提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题附解析一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立．现将函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数066g x g x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()g x 相邻的对称轴距离为πC ．函数23g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】ABCD 【分析】先利用已知条件求出()f x 的周期T π=，即可得2ω=，再利三角函数图象的平移伸缩变换得()g x 的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】因为对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立 所以()12f x f x π=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()12f x f x ππ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭， 所以()()()11f x f x f x ππ=-=+-+对于R x ∀∈都成立， 可得()f x 的周期T π=，所以22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得 2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于选项A:()2sin 2sin 2sin 2sin 0666666g x g x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；对于选项B ：函数()g x 周期为221T ππ==，所以相邻的对称轴距离为2Tπ=，故选项B正确；对于选项C ：222sin 2sin 2cos 3362g x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是偶函数，故选项C 正确； 对于选项D ：当63x ππ≤≤，066x ππ≤-≤，所以函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 正确， 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭恒成立得出 ()()f x f x π=+可得ω的值，求出()f x 的解析式.2．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈，即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确；由()02cos 6f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y B 正确； 由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.3．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.4．已知函数()22sin cos f x x x x =+，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的图象是由y= 2sin2x 的图象向左移3π个单位得到的 B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的对称中心的坐标是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．函数()()g x f x =[]0,10内共有8个零点 【答案】BCD 【分析】A.化简得()2sin(2)3f x x π=+，利用函数的图象变换得该选项错误；B.利用复合函数的单调性原理分析得该选项正确；C. 由2,3x k k Z ππ+=∈得该选项正确；D.解方程sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得该选项正确. 【详解】()2π2sin cos sin 222sin 22sin 236f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位，得到()f x ，所以选项A 不正确; 设23t x π=+，则t 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增， ,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,,33t ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦又sin y t =在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以选项B 正确;由2,3x k k Z ππ+=∈得对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以选项C 正确；由sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2233x k πππ+=+或222,33x k k Z πππ+=+∈ 解得x k π=或,6x k k Z ππ=+∈，又[]0,10,x ∈0,1,2,3k ∴=时，713190,,,,2,,3,6666x πππππππ=，共8个零点，所以选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：函数的零点问题的研究，常用的方法有：（1）方程法（解方程即得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 得()()g x h x =，再分析函数(),()g x h x 的图象得解）. 要根据已知条件灵活选择方程求解.5．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期 B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x < C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-， 对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；6．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图像关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点【答案】ABD 【分析】借助于()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证：对于A ：利用2T πω=求周期；对于B ：利用图像观察，也可以根据()26f π=判断；对于C ：利用图像观察，也可以根据()13f π=否定结论；对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】对于A ：函数()y f x =的周期222T πππω===故A 正确； 对于B ：∵ ()2sin 22666f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的图像关于直线6x π=对称，故B 正确；对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫⎪⎝⎭也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间(0,)π上有两个零点，故D 正确.故选：ABD 【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：（1）画出图像，利用图像分析性质；（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.7．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC 【分析】首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+-⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误；故选：AB【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.9．已知函数)()lg 1( 2.7)x x f x x e e e -=+-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ）A ．1B C ．3 D ．4 【答案】CD【分析】令)()lg x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可.【详解】令)()lg x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+， ()g x 的定义域为R ，))()()lg lg x x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=， 所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lg y x =单调递增， x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lg x x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lgx x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lg x x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4，故选：CD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.10．已知函数()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f xC ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称【答案】BD【分析】首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项.【详解】由题意，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2π，故A 错误；函数()f x B 正确；函数()f x 的图象是由()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误； 由7012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知D 正确， 故选：BD .【点睛】思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，并且知道函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.。

三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为___________________________． 答案22－333．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )， 减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 答案 45°6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 答案 ④ 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 答案1258．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________． 答案 ④9．几个向量常用结论：①P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心；②P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；④|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误例1 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)． 错解 右 π4或右 π12找准失分点 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )． 右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12得到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位．答案 左π12易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误例2 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求cos β.错解 由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π，则cos(α＋β)＝±1114.由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝437.故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝7198或12.找准失分点 由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝5314<32，∴0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，又cos α＝17<12，∴π3<α<π2，即α＋β∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，∴cos(α＋β)＝－1114. 正解 ∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝12，∴π3<α<π2，又0<β<π2， ∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32， ∴2π3<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，sin α＝1－cos 2α＝437. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.易错点3 忽视向量共线致误例3 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0， ∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 找准失分点 θ为锐角，故0<cos θ<1，错解中没有排除cos θ＝1即共线且同向的情况． 正解 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.2．(2014·大纲全国)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .3．已知sin θ＋cos θ＝43 (0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13答案 B解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－23. 4．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 ∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2， ∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． 又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3答案 B解析 由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.7．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析 已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16. 8．(2014·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 答案 π6解析 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ω＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其部分图象如图所示．若横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，记∠MNP ＝θ，则cos 2θ的值是________． 答案 －725解析 由图可知，A ＝1，f (x )的最小正周期T ＝8， 所以T ＝2πω＝8，即ω＝π4.又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π2，所以－π4<φ＋π4<3π4，即φ＋π4＝π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝sin π4(x ＋1)．因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝－1， 所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)．所以NM →＝(－2，－1)，NP →＝(4，－2)，NM →·NP →＝－6，|NM →|＝5，|NP →|＝25， 则cos ∠MNP ＝NM →·NP →|NM →|·|NP →|＝－35，即cos θ＝－35.于是cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。

高考二轮复习数学（理）第四章 三角函数、解三角形 B 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，且(cos 1)2cos b A B +=，则ABC 周长的取值范围是（） A ．(2,4)B ．(4,6)C ．(2,6)D．2,6)2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a =cos 3sin A a B =，则ABC 面积的最大值是（）A．B． C． D．3．在ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若6A π∠=，ABC，则AM AN ⋅取最小值时，BC =（）A ．2B ．4C．12D4- 4．在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1c =，且cos cos 1a C A -=，则2sin A C -的取值范围是（）A．(0,2 B．()1C．(1-D．()5．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a Bb A=，则ABC ∆形状是（ ） A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形7.已知θ为锐角,1cos 211cos 22θθ-=+,则sin()3πθ+的值为（ ）A.4 B.4C.36+ D 238.设0απ<<，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（） A .34B .34-C .43D .43-9.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，0,0,2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则使()()0f a x f a x +--=成立的a 的最小正值为（）A .3π B .4π C .6π D .12π10.在△ABC 中，若11112sin sin tan tan ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭A B A B ，则（） A .C 的最大值为3π B .C 的最大值为23π C .C 的最小值为3π D .C 的最小值为6π 11.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 3c a B b A -=，则cos cos cos a B a A b B +的最大值为（）ABCD12.已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ）A .54πB .34π C .2π D .3π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

温馨提示：高考大题专攻练2.三角函数与解三角形(B组)(1)若△BCD的面积为，求CD.(2)若AC=，求∠DCA.(2)分别在△ADC和△BDC中用正弦定理，结合角的范围可求解.【解析】(1)因为△BCD的面积为，所以BC·BD·sinB=，又B=，BD=1，所以BC=4.在△BCD中，由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosB，即CD2=16+1-2×4×1×=13，解得CD=.(2)在△ADC中，DA=DC，可设∠A=∠DCA=θ，则∠ADC=π-2θ，又AC=，由正弦定理，有=，所以CD=.在△BDC中，∠BDC=2θ，∠BCD=-2θ，由正弦定理得，=，代入化简可得cosθ=sin，于是sin=sin，因为0<θ<，所以0<-θ<，-<-2θ<，所以-θ=-2θ或-θ+-2θ=π，解得θ=或θ=，故∠DCA=或∠DCA=.2.设a∈R，函数f(x)=cosx(asin x-cosx)+cos2(+x)满足f=f(0).世纪金榜导学号92494438(1)求f(x)的单调递减区间.(2)设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，求f(A)的取值范围.【解题导引】(1)根据f=f(0)，求出a的值.然后进行三角函数化简即可.(2)先用余弦定理，再用正弦定理化简即可求解.【解析】(1)f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(+x)=sin2x-cos2x，由f=f(0)，得-+=-1，所以a=2，所以f(x)=sin2x-cos2x=2sin.由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z.即2sinAcosB=sin(B+C)=sinA，所以cosB=，因为0<B<，所以B=.因为△ABC为锐角三角形，所以<A<，<2A-<，所以f(A)=2sin的取值范围为(1，2].关闭Word文档返回原板块。

高考数学二轮复习三角函数与解三角形多选题复习题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD 【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③， 由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而2711162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=-=-+≠- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若32a π=，则21911162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=+-=-+≠-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.2．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>；若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<，此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.3．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的周长为10+B ．ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列C ．ABC 的外接圆半径为3D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =ABCS =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2C =，则π3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据2sin c R C =即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos B =，再根据cos B =求出CD 长，D 错误. 【详解】A 项：设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =设2a t =，3b t =，()0c t =>，因为ABCS =△，所以=解得2t =，则4a =，6b =，c =故ABC 的周长为10+A 正确；B 项：因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；C 项：因为π3C =，所以sin C =由正弦定理得2sin 3c R C ===，3R =，C 错误；D 项：由余弦定理得222cos214a cb B ac +-===，在BCD △中4BC =，BD =由余弦定理得2cos14B ==，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222cos 2a c b B ac+-=，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.4．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<C ．753A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆【答案】ABD 【分析】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2A =-，cos 0AC AB bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1sin 2ABC S bc A ∆=，可判定D【详解】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753,,222a kb kc k === ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；又222222259491444cos 5322222k k kb c a A bc k k +-+-===-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误；若8+=b c ，则2k =，故5,3,120ob c A ===，所以1sin 24ABC S bc A ∆==，D 选项正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题6．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（ ）A ．2A =B ．点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 C ．6π=ϕ D ．直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴【答案】ABD 【分析】由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.【详解】因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2ϕ=.又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故C 错误；()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，k ∈Z ，解得62πk πx =-+，k ∈Z ， 所以()f x 图像的对称轴方程为62πk πx =-+， 令1k =，则3x π=，D 正确；令232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得122k x ππ=+，k ∈Z ， 令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系数法求解.7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.8．下列结论正确的是（ ）A ．在三角形ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+ 【答案】ABD 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2A B π+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=，得sin sin A B >，A 正确；在锐角三角形ABC 中，222222cos 0,02b c a A b c a bc+-=>∴+->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,022A B ππ∴>>->,sin sin 2A B π⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.9．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【分析】利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin 3ϕ=3sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误； 因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确； 将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔ 将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确.故选：BCD.【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通常用最大值或最小值；(2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.10．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（ ）A ．()f x 的图象的对称轴方程为()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭ D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC【分析】首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间.【详解】 cos 2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向下平移1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 对于A ，令23x k ππ+=，解得,62k x k Z ππ=-+∈，函数的对称轴是,62k x k Z ππ=-+∈，故A 正确； 对于B ，令232x k πππ+=+，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心,1,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭，故B 不正确； 对于C ，令2223k x k ππππ-+≤+≤，解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭也正确，故C 正确； 对于D ，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得：63k x k ππππ-+≤≤+，所以函数单调递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 不正确. 故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.。

高考数学二轮复习三角函数与解三角形多选题复习题附解析一、三角函数与解三角形多选题1．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】由()23sin 22cos2f =+，结合3224ππ<<，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++， 可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+ 因为3224ππ<<，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确； 由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππππππ≤≤+⎧=+=∈⎨-+≤≤+⎩，作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示， 可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,)2ππ上单调递增， 又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2ππ--上单调递增， 所以B 是正确的；由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+， 所以C 不正确； 又由2223ππ<<，所以1cos 202-<<，则02cos21<-<， 令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<C ．753A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆153【答案】ABD 【分析】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2A =-，cos 0AC AB bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1sin 2ABC S bc A ∆=，可判定D【详解】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753,,222a kb kc k === ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；又222222259491444cos 5322222k k kb c a A bc k k +-+-===-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误； 若8+=b c ，则2k =，故5,3,120ob c A ===，所以1153sin 24ABC S bc A ∆==，D 选项正确故选：ABD 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题3．函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．1()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数 D ．函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称【答案】ACD 【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A 正确； 求出213263x πππ--得到函数在[],ππ-上不是增函数，得选项B 错误；求出图象变换后的解析式得到选项C 正确； 求出函数的对称轴方程，得到选项D 正确. 【详解】 A, 如图所示：1732422T πππ=-=， 6T π∴=，∴2163πωπ==，(2)2f π=，∴2(2)2sin()23f ππϕ=+=，即2sin()13πϕ+=， ∴22()32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴2()6k k Z πϕπ=-∈，||ϕπ<，∴6πϕ=-，∴1()2sin()36f x x π=-，故选项A 正确；B, 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数12sin()26y x π=-，[x π∈-，]π，∴213263x πππ--，∴12sin()26y x π=-在[π-，]π上不单调递增，故选项B 错误；C, 把()y f x =的图象向左平移2π个单位，则所得函数12sin[()]2sin 3223xy x ππ=-+=，是奇函数，故选项C 正确； D, 设1,,32,362x k k Z x k πππππ-=+∈∴=+当24k x π=-⇒=-，所以函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称，故选项D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.4．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.5．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==，所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确； 对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．6．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-， 对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；7．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.8．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A ．tan ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到 【答案】ABC 【分析】首先得到()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可. 【详解】解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2)sin(2)cos 2224223F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ；对于A ，tan tan63πϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误.故选：ABC . 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.二、数列多选题9．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n a a +-=，21n n n b a nb ⋅+=，且11a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，则下列结论正确的有（ ）A ．m +∃∈N ，55m m a a a +=+B ．n +∀∈N ，33314n a n +≥C ．m +∃∈N ，16m b =D ．n +∀∈N ，113n S ≤< 【答案】BD 【分析】用累加法得到222n n n a -+=，代入21n n n b a nb ⋅+=，得11212n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 代入5m a +5m a a =+求出m 可判断A ；代入33n a n+求最值可判断B ； 令1121612m b m m ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭解出m 可判断C ；裂项相消后可求出n S 的范围可判断D.【详解】因为1n n n a a +-=，所以211a a -= 322a a -=11(2)n n n a a n -=-≥-以上各式累加得1121(1)2n a a n n n =+++-=--，所以(1)12n n n a -=+，当1n =时，11a =成立， 所以2(1)2122n n n n a n --+=+=，由21n n n b a nb ⋅+=，得112112(1)1222(1)(2)12n n b a n n n n n n n n ⎛⎫====- ⎪+++++⎝-+⎭+，对于A ，()()5254922122m a m m m m ++++++==，25(1)5(51)2411222m a a m m m m -⨯--+=+++=+ ， 当55m m a a a +=+时，222492222m m m m -+++=，得15m +=∉N ，A 错误； 对于B，(1)1(13333343411)22222n n n n a n n n n n ++==+=+-≥--+， 当且仅当268n =取等号，因为n +∀∈N ，所以8n =时，8333184a +=， 所以B 正确；对于C，令1121612mbm m⎛⎫=-=⎪++⎝⎭得，215308m m++=，解得m+=N，所以C错误；对于D，n+∀∈N，1231111112233412nS b b bn n⎛⎫=+++=-+-++-⎪++⎝⎭112211222n n⎛⎫=-=-<⎪++⎝⎭，可以看出n S是关于n递增的，所以1n=时有最小值13，所以113nS≤<，D正确.故选：BD.【点睛】本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和，关键点是用累加法求出n a，然后代入求出n b，考查了学生的推理能力、计算能力.10．已知数列{}n a，{}n b满足：12n n na a b+=+，()*1312lnn n nnb a b n Nn++=++∈，11a b+>，则下列命题为真命题的是（）A．数列{}n na b-单调递增B．数列{}n na b+单调递增C．数列{}n a单调递增D．数列{}n b从某项以后单调递增【答案】BCD【分析】计算221122ln2a b a b a b-=--<-，知A错误；依题意两式相加{}ln+-n na b n是等比数列，得到()1113ln-+=+⋅+nn na b a b n，知B正确；结合已知条件，计算1n na a+->，即得C正确；先计算()11113ln(1)2lnnn nb b a b n n-+-=+⋅++-，再结合指数函数、对数函数增长特征知D正确.【详解】由题可知，12n n na a b+=+①，1312lnn n nnb a bn++=++②，①-②得，1131lnn n n nna b a bn+++-=--，当1n=时，2211ln2a b a b-=--，∴2211-<-a b a b，故A错误．①+②得，()113ln(1)3lnn n n na b a b n n+++=+++-，()11ln(1)3lnn n n na b n a b n+++-+=+-，∴{}ln+-n na b n是以11a b+为首项，3为公比的等比数列，∴()111ln 3-+-=+⋅n n n a b n a b ，∴()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，③又110a b +>，∴B 正确．将③代入①得，()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+，∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>，故C 正确．将③代入②得，()()11113311ln 3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n -+++=+++=++⋅++，∴()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-．由110a b +>，结合指数函数与对数函数的增长速度知，从某个()*n n N∈起，()1113ln 0n a b n -+⋅->，又ln(1)ln 0n n +->，∴10n n b b +->，即{}n b 从某项起单调递增，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】判定数列单调性的方法：（1）定义法：对任意n *∈N ，1n n a a +>，则{}n a 是递增数列，1n n a a +<，则{}n a 是递减数列；（2）借助函数单调性：利用()n a f n =，研究函数单调性，得到数列单调性.。