【备战2021】(新课标Ⅱ版)高考数学分项汇编 专题11 排列组合、二项式定理(含解析)理

2021最新命题题库大全2021-2021年高考试题解析数学〔文科〕分项专题11 排列组合、二项式定理2021年高考试题 一、选择题:1．(2021年高考卷文科7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数一共有〔 〕A ．20B ．15C ．12D ．10【答案】A【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有15C 种选法，再从这个侧面的4个顶点中任意选一个顶点有14C 种选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的一共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有12C 种方法，但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，所以最后还要乘以,21所以这个正五棱柱对角线的条数一共有2021121415=•••C C C ,所以选择A.2.〔2021年高考全国卷文科9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，那么恰有2人选修课程甲的不同选法一共有〔A 〕12种 〔B 〕24种 〔C 〕30种 〔D 〕36种二、填空题:3.〔2021年高考卷文科16)给定*k N ∈，设函数**:f N N →满足：对于任意大于k 的正整数n ，()f n n k =-〔1〕设1k =，那么其中一个函数f 在1n =处的函数值为 ；〔2〕设4k =，且当4n ≤时，2()3f n ≤≤，那么不同的函数f 的个数为 。

答案：〔1〕()a a 为正整数，〔2〕16[解析：〔1〕由题可知*()f n N ∈，而1k =时，1n >那么*()1f n n N =-∈，故只须*(1)f N ∈，故(1)()f a a =为正整数。

〔2〕由题可知4k =，4n >那么*()4f n n N =-∈，而4n ≤时，2()3f n ≤≤即(){2,3}f n ∈，即{1,2,3,4}n ∈，(){2,3}f n ∈，由乘法原理可知，不同的函数f 的个数为4216=。

排列组合和二项式定理一、排列组合1.1 排列排列是指从一组元素中选取一部分进行操作，按照一定的顺序进行排列。

在排列中，每个元素只能使用一次。

例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行排列，可以得到以下6个排列： 12、13、21、23、31、32。

排列的数目可以用符号P表示，表示从n个元素中选取r 个进行排列。

排列数的计算公式如下所示： P(n, r) = n! / (n - r)!其中，!表示阶乘，例如4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。

1.2 组合组合是指从一组元素中选取一部分进行操作，不考虑元素的顺序。

与排列不同，组合中的元素只有选择与不选择两种情况。

例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行组合，可以得到以下三个组合： 12、13、23。

组合的数目可以用符号C表示，表示从n个元素中选取r 个进行组合。

组合数的计算公式如下所示： C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)二、二项式定理二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开任意幂的二项式。

二项式定理公式如下所示： (a + b)^n = C(n, 0) × a^n × b^0 + C(n, 1) × a^(n-1) × b^1 + C(n, 2) × a^(n-2) × b^2 + … + C(n, n) × a^0 × b^n其中，C(n, r)表示组合数，表示从n个元素中选取r个进行组合。

a和b表示两个变量，n表示幂。

在二项式定理中，展开后的式子包含了各个组合数和变量的乘积，这些乘积的和即为二项式定理的展开结果。

二项式定理在代数学中有着广泛的应用，它可以用于计算各种复杂的代数表达式的展开结果。

二项式定理也是高中数学课程中常见的内容，通过学习二项式定理，可以帮助学生更好地理解代数学中的概念。

排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。

排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。

排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。

对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。

排列主要有两种情况：1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。

此时，P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。

此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。

对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。

组合的计算公式为：C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。

它用于展开一个二项式的幂。

二项式定理的公式为：(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。

三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。

在展开式中，每一项的系数就是对应的组合数。

举例说明，当n=3时，展开式为：(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后，得到：(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出，展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。

二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。

专题11 排列组合、二项式定理一．基础题组1. 【2014新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 【答案】122. 【2010全国2，理14】若(x －a x)9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. [答案]：13. 【2006全国2，理13】在(x 4+x1)10的展开式中常数项是 .(用数字作答)【答案】:45二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理5】已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【答案】：D2. 【2011新课标，理8】51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40【答案】D【解析】3. 【2010全国2，理6】将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A．12种 B．18种 C．36种 D．54种【答案】：B4. 【2005全国3，理3】在8)1x的展开式中5x的系数是（）-x(+)(1A．－14 B．14 C．－28 D．28【答案】B【解析】三．拔高题组1. 【2012全国，理11】将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】A【解析】如图由于每行、每列的字母都互不相同，故只须排好1,2,3号格即可，显然1号格有3种选择，2,3号格均有两种选择，所以不同的排法共有3×2×2＝12种．2. 【2005全国3，理11】不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A．3个B．4个C．6个D．7个【解析】3. 【2012全国，理15】若(x ＋1x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__________．【答案】：564. 【2005全国2，理15】在由数字0, 1, 2, 3, 4, 5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_____________个．【答案】192 【解析】首先由这6个数构成的四位数个数为(千位不为0)：P(5,1)×P(5,3)=300，能被5整除的尾数为0或5，尾数为0的一共有：P(5,3)=60，尾数为5的千位不能为0，一共有：P(4,1)*P(4,2)＝4×4×3＝48，所以不能被5整除的数共有：300－60－48＝192个.5. 【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．。

2021年高考数学试题分项版解析专题11 排列组合、二项式定理理（含解析）1.【xx高考陕西，理4】二项式的展开式中的系数为15，则（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式的展开式的通项是．2.【xx高考新课标1，理10】的展开式中，的系数为( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60【答案】C【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.3.【xx高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个【答案】B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.4.【xx高考湖北，理3】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A. B．C．D．【答案】D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式中奇数项的二项式系数和为.【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等.5、【xx高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【xx高考重庆，理12】的展开式中的系数是________(用数字作答).【答案】【解析】二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为.【考点定位】二项式定理【名师点晴】的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.7.【xx高考广东，理9】在的展开式中，的系数为 .【答案】．【解析】由题可知，令解得，所以展开式中的系数为，故应填入．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第项为：．8.【xx高考四川，理11】在的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）.【答案】.【解析】，所以的系数为.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【xx高考天津，理12】在的展开式中，的系数为 .【答案】【解析】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【xx高考安徽，理11】的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）【答案】【解析】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【xx高考福建，理11】的展开式中，的系数等于．（用数字作答）【答案】【解析】的展开式中项为，所以的系数等于．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【xx高考北京，理9】在的展开式中，的系数为．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式，准确计算指定项的系数.13.【xx高考新课标2，理15】的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．【答案】【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【xx高考湖南，理6】已知的展开式中含的项的系数为30，则（）A. B. C.6 D-6【答案】D.【解析】试题分析：，令，可得，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握的二项展开式的通项第项为，即可建立关于的方程，从而求解.【xx高考上海，理11】在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C xx x x⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以项只能在展开式中，即为，系数为【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【xx高考上海，理8】在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．27669 6C15 氕vJ40087 9C97 鲗L35622 8B26 謦28031 6D7F 浿37770 938A 鎊40002 9C42 鱂29902 74CE 瓎29455 730F 猏^25521 63B1 掱。

“排列、组合、二项式、概率、统计”复习资料一、基础知识和方法梳理 （一）排列组合 1．计数两原理：分类计数原理：完成一件事情，有n 类方法，在第1类方法中又有m 1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类方法中，又有m 2种方式，……第n 类方法中有m n 种方式可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N +++= 21分步计数原理：完成一件事情，需要分成n 步完成，在第1步中，有m 1种不同的方式可以完成这一步，在第2步中，有m 2种方式，……第n 步中，有m n 种方式可以完成这一步，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N ⨯⨯⨯= 21 2．排列：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列数)!(!)1()1(m n n m n n n A mn -=+--=3．组合：从n 个不同的元素中不重复选取m 个元素组成一组，与顺序无关； 组合公式：)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C mn -=+--=；组合数性质：m n n m n C C -=，mn m n m n C C C 11+-=+4．排列组合常用方法：分类讨论法：将0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的五位偶数？间接法：100件产品含有5件次品，从中任取5件，则至少含有一件次品的取法有多少种？ 捆绑、插空法：将3本语文书，3本数学书，2本英语书排成一排，数学书必须排在一起，英语书不能相邻，则有多少中排列方式？特殊元素特殊位置优先考虑法：例如，将0,1,2,3可以组成多少个无重复数字的四位数 分组法：将5个苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少一个苹果，有多少种分配方案？ 隔板法：例如，将10个相同的小球装入3个编号为1,2,3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少盒子的编号数,这样的装法总数有多少种？ 等可能性法：六个字母a 、r 、r 、r 、b 、c 排成一排，有多少种排列方式？（二）二项式定理1．二项式定理：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(，其中rn C 为第1+r 项的二项式系数，=-nb a )(2．通项公式：rr n r n r b a C T -+=1,),1,0(n r =3．二项式定理的性质： （1）对称性，二项式系数是关于2n对称 （2）增减性与最大值，当n 为偶数时，二项式系数最大项为第12+n项，最大值为2nn C当n 为奇数时，二项式系数最大项为第121+-n 项和第121++n 项，最大值为2121+-=n n n n C C （3）二项式系数之和nn n n n C C C 210=+++奇数项与偶数项的二项式系数之和相等131202-=++=++n n n n n C C C C（三）概率1．概率的定义：在大量重复进行同一试验时事件A 发生的频率nm总是接近于某个常数p ，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做)(A P ．2．事件的和A+B ：表示事件A 和B 至少有一个发生； 事件的积A ×B ：表示事件A 和B 同时发生B A B A B A B A ⋅=++=⋅,3．常见的几种类型的概率计算：（1）等可能事件：可预知的有限个结果，且每个结果出现的可能性相同 计算方法：nm A P =)( （2）互斥事件：在一次试验中，事件A 发生了，则事件B 一定不会发生，事件B 发生了，事件A 不可能发生互斥事件有一个发生的概率计算方法：)()()(B P A P B A P +=+， 特殊的，对立事件：1)()(=+A P A P（3）相互独立事件：在一次试验中，事件A 发生与否对事件B 发生的概率没有影响，同理，事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，若A 与B 是独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 都是独立事件 独立事件同时发生的概率的计算方法：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅（4）n 次独立重复事件恰有k 次发生的概率：kn k k n n p p C k P --=)1()(4．关于两个事件常见的概率计算：（若21)(,)(p B P p A P ==）5．注意事项（1）等可能事件的概率中，基本事件数目的计算可以分化得细致一点或粗略一点，这样虽然形式上有所差别，结果往往是一样的，通常有这样一些不同考虑：“整体考虑或局部考虑” 、“元素可辨或不可辨” 、“元素放回或不放回” 、“元素有序或无序”.（2）重视几种概率类型的混合，注意概率加法、乘法的混合运算，适当注意概率类型的突破. （3）准确理解文字（生活）语言，如“至少”、“至多”、“都”、“不都”、“都不”、“恰有几个”、“有几个”，“只有第几次”、“第几次”，“直到第几次”等等，然后等价转化为数学（概率）语言，并注意表述规范.（四）统计1．离散型随机变量的定义：若随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量叫做随机变量。

高中数学排列组合与二项式定理知识
1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。

3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简
单的应用问题。

4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。

5. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。

6. 了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事
件的概率。

7. 了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立
事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。

8. 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
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2021年高三数学知识点汇总 专题 排列、组合、二项式、概率一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。

二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。

（2）排列数、组合数：排列数的公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=+---= 注意：①全排列：；②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质： ①（将从个不同的元素中取出个元素，分两步完成：第一步从个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下个元素中选出个排在余下的个位置上）②（将从个不同的元素中取出个元素，分两类完成：第一类：个元素中含有，分两步完成：第一步将排在某一位置上，有不同的方法。

第二步从余下个元素中选出个排在余下的个位置上）即有种不同的方法。

第二类：个元素中不含有，从个元素中取出个元素排在个位置上，有种方法。

组合数的公式：)()!(!!!)1()2)(1(n m m n m n m m n n n n A A C m m n m n≤-=+---== 组合数的性质：①（从个不同的元素中取出个元素后，剩下个元素，也就是说，从个不同的元素中取出个元素的每一个组合，都对应于从个不同的元素中取出个元素的唯一的一个组合。

2021年高考数学总复习专题11排列组合二项式定理分项练习含解析理(I)一．基础题组1. 【xx新课标，理13】的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.2. 【xx全国2，理14】若(x－)9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.答案]： 1解析]：T r＋1＝x9－r(－)r＝(－1)r a r x9－2r，令9－2r＝3，∴r＝3.∴x3的系数为(－1)3a3＝－84.∴a3＝1.∴a＝1.3. 【xx全国2，理13】在(x4+)10的展开式中常数项是 .(用数字作答)【答案】:45【解析】设T r+1项为常数项,∴T r+1=C r10(x4)10-r·()r=C r10x40-4r·x-r.∴40-4r-r=0.∴r=8.∴T9=45.二．能力题组1. 【xx课标全国Ⅱ，理5】已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )．A．－4 B．－3 C．－2 D．－1【答案】：D2. 【xx新课标，理8】的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A．－40 B．－20 C．20 D．40【答案】D【解析】3. 【xx全国2，理6】将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A．12种 B．18种 C．36种 D．54种【答案】：B4. 【xx全国3，理3】在的展开式中的系数是（）A．－14 B．14 C．－28 D．28【答案】B【解析】5. 【xx课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种．故选D．【考点】排列与组合、分步乘法计数原理【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．三．拔高题组1. 【xx全国，理11】将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12种 B．18种 C．24种 D．36种2. 【xx全国3，理11】不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）A．3个B．4个C．6个D．7个【答案】D【解析】3. 【xx全国，理15】若(x＋)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为__________．【答案】：56【解析】：∵，∴n＝8.T r＋1＝x8－r()r＝x8－2r，令8－2r＝－2，解得r＝5.∴系数为.4. 【xx全国2，理15】在由数字0, 1, 2, 3, 4, 5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_____________个．5. 【xx 高考新课标2，理15】的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．【答案】【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故的展开式中x 的奇数次幂项分别为，，，， ，其系数之和为，解得．【考点定位】二项式定理．6.【xx 高考新课标2理数】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9【答案】B【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．。

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专题１1 排列组合、二项式定理1. 【２0０５高考北京理第7题】北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每4人,每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ）A.484121214C C C ﻩB ．484121214A A C C ．33484121214A C C C ﻩ D.33484121214A C C C 【答案】Ａ考点:排列组合。

2. 【2００6高考北京理第3题】在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有（ ) (A ）36个ﻩ ﻩﻩﻩ ﻩ（B)2４个 （Ｃ)18个 ﻩ （D)6个【答案】B【解析】依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）３个数字都是奇数,有33A 种方法(２)3个数字中有一个是奇数，有1333C A ,故共有33A +1333C A ＝24种方法，故选B3. 【2００7高考北京理第5题】记者要为5名志愿者和他们帮助的２位老人拍照，要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有（ ） A.１44０种ﻩﻩﻩＢ．960种 ﻩ Ｃ．720种ﻩﻩ D ．48０种【答案】Ｂ试题分析:5名志愿者先排成一排，有种方法,2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有种不同的排法,选B.【考点】有限制条件的排列,相邻问题的排列4. 【2009高考北京理第6题】若5(12)2(,a b a b +=+为有理数),则a b += ( ）A ．45 Ｂ.55 C.70 D ．80 【答案】C 【解析】 试题分析: ∵()()()()()()()51234501234555555512222222CCC CC C+=+++++15220202204241292=+++++=+， 由已知,得412922a b +=+，∴412970a b +=+=.故选C 。

2021年高考数学分项汇编专题11 排列组合、二项式定理（含解析）理一．基础题组1. 【xx全国，理2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A．12种 B．10种 C．9种 D．8种【答案】A2. 【2011全国新课标，理8】的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A．－40 B．－20 C．20 D．40【答案】D3. 【2011全国，理7】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种 B．10种 C．18种 D．20种【答案】：B4. 【xx全国卷Ⅰ，理5】甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A.150种B.180种C.300种D.345种【答案】：D5. 【xx课标Ⅰ，理14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为__________【答案】A6. 【xx全国，理15】安排7位工作人员在5月1日至5月7日值勤班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。

不同的安排方法共有种。

（用数字作答）【答案】24007. 【xx全国1，理13】的展开式中，常数项为 .（用数字作答）【答案】6728. 【xx高考新课标1，理10】的展开式中，的系数为( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60【答案】C【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.二．能力题组1. 【xx课标全国Ⅰ，理9】设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】：B2. 【xx课标Ⅰ，理13】的展开式中的系数为________.（用数字填写答案）【答案】3. 【xx全国卷Ⅰ，理13】(x－y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于_________.【答案】:-240三．拔高题组1. 【xx全国1，理12】如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48【答案】B.2. 【xx全国，理12】设集合选择的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中的最大的数，则不同的选择方法共有（）（A）50种（B）49种（C）48种（D）47种【答案】B3. 【xx全国1，理11】过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对 B．24对 C．30对 D．36对【答案】D36629 8F15 輕28508 6F5C 潜D#~27253 6A75 橵536545 8EC1 軁 Az27615 6BDF 毟24127 5E3F 帿@32888 8078 聸。

高考数学备战专题专题突破训练排列组合二项式定理理2021届高三数学理一轮复习专题突破训练排列组合二项式定理一、排列组合 1、（2021年上海高考）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表示）． 2、（闵行区2021届高三二模）从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有( )(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种.3、（长宁、嘉定区2021届高三二模）．现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________．64、（奉贤区2021届高三上期末）在二项式?2x?1?的展开式中，系数最大项的系数是（）A．20 B．160 C．240 D．192 5、（金山区2021届高三上期末）用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数有( ▲ )． (A) 60个 (B) 48个 (C) 36个 (D) 24个6、（金山区2021届高三上期末）若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是( ▲ )．(A)8 (B)9 (C)26 (D)277、（青浦区2021届高三上期末）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有种. ．．8、（闸北区2021届高三上期末）用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有个9、将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（） A．12种 B．10种 C．?种 D．?种10、若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有（）A．60种 B．63种 C．65种 D．66种11、两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有（） A．10种 B．15种 C．20种 D．30种12、现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（） A．232 B．252 C．472 D．484二、二项式定理1、（2021年上海高考）在（1+x+）的展开式中，x项的系数为 45 （结果用数值表示）．910211??2、（静安、青浦、宝山区2021届高三二模）在?x?2?的展开式中，3的系数是．xx??3、（闵行区2021届高三二模）设二项式(3x?1)n的展开式的二项式系数的和为p，各项系数的和为q，且12p?64?q，则n的值为1??24、（浦东新区2021届高三二模）已知?x2??展开式中二项式系数之和为1024，则含x项的系x??数为 210 .5、（普陀区2021届高三二模）在(x?2n)(n?N*)的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数2xn之比为56：3，则展开式中的常数项是（ B ） A.第2项 B.第3项C.第4项 D.第5项6、（徐汇、松江、金山区2021届高三二模）执行如图所示的程序框图，输出的结果为a，二项式a1??32x的展开式中项的系数为mx?，则常数m? ??2x??47、（长宁、嘉定区2021届高三二模）若(a?x)8?a0?a1x?a2x2?...?a8x8（a?R），且a5?56，则a0?a1?a2?...?a8?_______________． 8、（静安区2021届高三上期末）设(1?x)8?a0?a1x???a7x7?a8x8，则a0?a1???a7?a8? 9、（浦东区2021届高三上期末）二项式(2x?x)4的展开式中，含x3项系数为感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021年高考试题分项版解析数学〔理科〕专题11 排列组合、二项式定理〔学生版〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。

一、选择题:1.(2021年高考新课标全国卷理科2)将2名老师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会理论活动，每个小组由1名老师和2名学生组成，不同的安排方案一共有〔 〕()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种3．(2021年高考卷理科6)假设从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，那么不同的取法一共有〔 〕A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种5. (2021年高考卷理科5)一排9个座位坐了3个三口之家，假设每家人坐在一起，那么不同的坐法种数为〔 〕(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！6.(2021年高考卷理科5)在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为〔 〕 〔A 〕10 〔Ｂ〕-10 〔Ｃ〕40 〔Ｄ〕-407.(2021年高考卷理科7)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是〔 〕()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 38.(2021年高考卷理科10)6位同学在毕业聚会活动中进展纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进展交换的两位同学互赠一份纪念品，6位同学之间一共进展了13次交换，那么收到4份纪念品的同学人数为〔 〕()A 1或者3 ()B 1或者4 ()C 2或者3 ()D 2或者49. (2021年高考卷理科5)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，假设512021+a 能被13整除，那么a=( ) 11.(2021年高考卷理科1)7(1)x +的展开式中2x 的系数是〔 〕A 、42B 、35C 、28D 、2112. (2021年高考卷理科11)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不一样，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线一共有〔 〕A 、60条B 、62条C 、71条D 、80条 14.(2021年高考卷理科4)812x x +的展开式中常数项为〔 〕 A.1635 B.835 C.435二、填空题:1. (2021年高考卷理科10)261()x x +的展开式中3x 的系数为______.〔用数字答题〕2. (2021年高考卷理科11)4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，那么实数=a _________.3．(2021年高考卷理科5)在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 . 4. (2021年高考卷理科13) ( 2x -1x)6的二项展开式中的常数项为 .〔用数字答题〕 5. (2021年高考卷理科12)5()a x +展开式中2x 的系数为10， 那么实数a 的值是 ．制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

一．基础题组1. 【2013上海,理5】设常数a ∈R .若25()a x x +的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______. 【答案】－2【解析】T r ＋1＝255C ()()r r r a x x-,2(5－r )－r ＝7⇒r ＝1，故15C a ＝－10⇒a ＝－2. 2. 【2012上海,理5】在(x －2x )6的二项展开式中，常数项等于__________． 【答案】－160【解析】(x －2x )6的二项展开式中的常数项为36C ·(x )3·(－2x)3＝－160. 3. 【2008上海,理12】【答案】D4. 【2005上海,理4】在10)(a x -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =__________.【解析】7x 的系数2181)(15)(33710-=⇒=-⇒=-⨯a a a C 5.【2016高考上海理数】在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．【答案】112由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为2n ，即2256n =，所以8n =，又二项展开式的通项为8483331882C ()()(2)C r r r r r r r T x x x --+=-=-，令84033r -=，所以2r =，所以3112T =，即常数项为112. 【考点】二项式定理【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项进行求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.6.【2015高考上海理数】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【考点定位】排列组合7、【2015高考上海理数】在10201511xx⎛⎫++⎪⎝⎭的展开式中，2x项的系数为（结果用数值表示）．【考点定位】二项展开式。