2020八年级数学上册 第14章 勾股定理复习教案2 (新版)华东师大版

直角三角形的判定
教学目标
知识与技能处理习题，巩固学生的基础知识，培养学生综合复习问题的
能力。

过程与方法核对答案，复习疑难问题，归纳总结知识。

情感态度与价值观完善自我，建立学生的自信心。

教学重点巩固基础知识，提高学生综合应用知识的能力。

教学难点了解学生的不足，建立完整的知识体系。

教学内容与过程教法学法设计
一.复习提问，回顾知识，请看下面的问题：
直角三角形我们都学习了哪些知识？
二.导入课题，研究知识：
今天我们一起处理课后的复习题。

三.归纳知识，培养能力：
勾股定理的相关知识
四.运用知识，分析解题：
首先，看教材117页的习题和练习册
然后，利用幻灯片给出问题
五.课堂练习：见练习册
六.课后小结：勾股定理的应用
七.课后作业：.整理这一部分知识和方法.
1．带领学生核对基础知识练习的答案，鼓励学生总结每题所用的知识，并说出知识是怎样利用的。

2．引导学生做中等难度的练习，鼓励学生总结每题所用的知识。

3．引导学生分组讨论做出较难的练习，并鼓励学生在做题时能从多个侧面、多个出发点考虑问题，从而开阔学生的思路。

建立学生的自信心。

4．引导学生做部分练习，做到进一步的巩固。

教学反思。

《勾股定理》教学设计一、地位与作用：这节课所用的教材是华东师大版本《义务教育课程标准实验教科书》，本课讲授的是第十四章《勾股定理》的内容。

勾股定理的内容是全章内容的重点、难点，它的地位作用体现在以下三个方面：1、勾股定理是学习锐角三角函数与解直角三角形的基础，学生只有正确掌握了勾股定理的内容，才能熟练地运用它去解决生活中的测量问题。

2、本章“勾股定理”的内容在本册书中占有十分重要的地位，它是学习斜三角形、三角函数的基础，在知识结构上它起到了承上启下的作用，为学生的终生学习奠定良好的基础。

3、“勾股定理”的内容在航空、航海、工程建筑、机械制造、工农业生产等各个方面都有着广泛的应用，并与生活息息相关。

二、教学目标：1、理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理根据直角三角形的两条边求第三条边，并能解决简单的生活、生产实践中的问题，能设计不同的情境验证勾股定理的正确性。

2、体验勾股定理的探索过程，通过勾股定理的应用培养方程的思想和逻辑推理能力以及解决问题的能力。

3、通过对实际问题的有目的的探索和研究，体验勾股定理的探索活动充满创造性和可操作性，并敢于面对数学活动中的困难，运用已有知识和经验解决问题，激发学好数学的自信心。

三、教学重点：勾股定理的证明及应用四、教学难点：学生数学语言的运用五、教学媒体的选择与使用：多媒体课件六、课前准备：学生准备好四个全等的直角三角形。

七、分课时教学过程设计：§直角三角形三边的关系【教学目标】一、知识目标1.在探索基础上掌握勾股定理。

2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。

二、能力目标1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。

2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。

3.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式。

三、情感态度目标学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。

【重点难点】重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。

勾股定理教学目标知识与技能处理习题，巩固学生的基础知识，培养学生综合复习问题的能力。

过程与方法核对答案，复习疑难问题，归纳总结知识。

情感态度与价值观完善自我，建立学生的自信心。

教学重点巩固基础知识，提高学生综合应用知识的能力。

教学难点了解学生的不足，建立完整的知识体系。

教学内容与过程教法学法设计一. 复习提问，回顾知识，请看下面的问题：（一．）（基础知识）直角三角形的相关知识：1.应该掌握的数学名称和相关的方法；2.直角三角形的定义和性质；3.怎样判定应该三角形是直角三角形？4.直角三角形与一般三角形在知识上的相同点和不同点.二. 导入课题，研究知识：今天我们一起处理课后的复习题。

引导学生见识不同类型的练习，学生自主探究，合作讨论问题，完成对本章习题的处理，在应用中巩固基础知识，提高学生综合应用解决问题的能力。

从习题中了解学生对知识的掌握程度，完善学生的不足。

1．带领学生核对基础知识练习的答案，鼓励学生总结每题所用的知识，并说出知识是怎样利用的。

2．引导学生做中等难度的练习，鼓励学生总结每题所用的知识。

3．引导学生分组讨论做出较难的练习，并三.习题内容见练习册和教材的复习题：1.核对答案2.了解学生的不足3.分析解决问题4..归纳知识5.完善学生的知识体系6.鼓励学生，建立学生的自信心。

课后小结：直角三角形的知识. 课后作业：做好复习，迎接考试.励学生在做题时能从多个侧面、多个出发点考虑问题，从而开阔学生的思路。

建立学生的自信心。

4．引导学生做部分练习，做到进一步的巩固。

教学反思。

勾股定理的应用教学目标知识与技能能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题．过程与方法经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件．情感态度与价值观培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情教学重点勾股定理及逆定理的应用教学难点勾股定理及逆定理的应用教学内容与过程教法学法设计一. 复习提问，回顾知识，请看下面的问题：1.直角三角形两个锐角的和是多少度？2.直角三角形的性质定理是（勾股定理）3.直角三角形的判定定理是（勾股定理的逆定理）4.如图，说出图形中的相关知识.二. 导入课题，研究知识：本节课我们利用知识解决相关的问题---------勾股定理的应用.面向全体学生提出相关的问题。

明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。

.留给学生一定的思考和回顾知识的时间。

为学生创设表现才华的平台。

三.运用知识，分析解题：问题1.如图14-2-1所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一点妈蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（ 的值取3）（1）自制一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路最短呢？图14-2-1(a)所示．（2）如图14-2-1(b)，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到B点的最短线路是什么？你画对了吗？．四.课堂练习：训练题请见勾股定理的应用课件1五.课后小结：勾股定理的应用.六.课后作业: 复印给学生.在复习基础知识的基础上运用知识解决问题.将知识和实际问题相结合.教学反思。

14.2 勾股定理的应用（2）教学目标知识与技能：准确运用勾股定理及逆定理．过程与方法：经历探究勾股定理的应用过程，掌握定理的应用方法，应用“数形结合”的思想来解决．情感态度与价值观：培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用价值．重点、难点、关键重点：掌握勾股定理及其逆定理．难点：正确运用勾股定理及其逆定理．关键：应用数形结合的思想，从实际问题中，寻找出可应用的Rt△，然后再有针对性解决．教学准备教师准备：投影仪，补充资料制成投影片，直尺、圆规．学生准备：直尺、圆规，复习前面知识．教学过程一、创设问题情境，激发学生兴趣展示投影教师道白：在一棵树的10m高的D处有两只猴子，•其中一只猴子爬下树走到离树20m 处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处，•如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？评析：如图所示，其中一只猴子从D→B→A共走了30m，另一只猴子从D→C→A也共走了30m，且树身垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决．教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生分析问题、明确题意，用化归的思想解决问题．学生活动：积极思考，讨论，运用数学手段来理出思路，解决问题．解：设DC=xm，依题意得：BD+BA=DC+CACA=30-x，BC=10+x在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2即（30-x）2=202+（10+x）2解之x=5所以树高为15m．媒体使用：投影显示．二、范例学习例3 如课本P59图14．2．5在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，•请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为2；（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．ADC B教师活动：分析例3，•本题只需要利用勾股定理看一看哪一个矩形的对角线满足要求．如课本图14．2．6可以求出AB的长度为，△ABC，△ABD是等腰三角形，•因为由勾股定理可以求得AC=BC，AD=BD．学生活动：参与例3的学习，动手画图，交流、讨论，弄清理由．例4 如课本P59图14．2．7，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m，求图中阴影部分的面积．教师分析：课本图14．2．7中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此，•我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形式，这是方向，同学们要记住．实际上S阴=S△ABC-S△ACD，•现在只要明确怎样计算S△ADC和S△ABC了，由题目中的条件可知CD=6m，AD=8m，而∠ADC=90°，因此，S△ADC =12×AD×CD=24m2，由BC=24m，AB=26m，是无法计算S，但是，我们可以求出AC=10m，而102+242=262，说明10，24，26是一组勾股数，可以推出∠ACB=90°（勾股逆定理），因此，S△ABC =12AC·BC=120m2，最后可求出S阴=96m2．评析：这题应总结出两种思想方法：一是求不规则图形的面积方法“将不规则化成规则”；二是求面积中，要注意其特殊性．学生活动：参与讲例，积极思考，提出自己的看法，归纳总结解题思路．三、随堂练习课本P60练习第1，2题．探研时空：1．已知：如图所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上任意一点．求证：2AD2=BD2+CD2ABE D C思路点拨：要证的结论中，AD，BD，CD都是平方项，•而勾股定理中能找到有关线段的平方项，因此，应该构造直角三角形，由勾股定理中去寻找答案．作AE⊥BC•于E，•则BE=CE=AE，BD=BE+ED，CD=CE-ED，则BD2+CD2=（BE+ED）2+（CE-ED）2，然后，通过一系列代数变换，可证得结论．教师活动：分析思路，讲清方法，特别是如何作辅助线，为什么这么做辅助线做出分析，实际上是为了构建直角三角形，利用勾股定理，才作的辅助线．证明：如图所示，作AE⊥BC于E．∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴BE=CE=AE∴BD2+CD2=（BE+ED）2+（CE-ED）2=BE2+2BE·ED+ED2+CE2-2CE·ED+ED2=2AE2+2DE2=2AD2学生活动，小组合作，讨论．听取教师的启发，完成本道题．评析：这是一道通过引辅助线，构造直角三角形，运用勾股定理的典型题目，从求证结论的需要，应作BC上的高，而从已知条件看，等腰三角形的首选辅助线也是应在BC上做高线，可见，对典型辅助线的作用一定要予以高度重视，可以说这是“经验辅助线”．蚂蚁沿图中所示的折线由A点爬到了D点，蚂蚁一共爬行了多少cm？（图中小方格的边长代表1cm）思路点拨：由勾股定理分别求得AB，BC，CD的长，则折线的长为28cm．教师活动：先独立思考，然后在班上交流，最后得到正确的结论．媒体使用：投影显示“探研时空”，展示学生的练习．教学形式：师生互动，生生互动．3．如图所示，小明为了测出电视塔到学校的距离，他把手表的12•点指向正北，此时学校在2点所指的方向，电视塔在11点所指的方向，水塔在正东方向，•且位于学校正南2000米处，已知电视塔距小明3000米，那么电视塔距学校多远呢？教师活动：操作投影仪，显示题目，引导学生独立思考，巡视，关注“学困生”．学生活动：先独立思考，再与同伴交流，踊跃上讲台“板演”．媒体使用：投影显示．参考答案：电视塔距学校5000米．四、课堂总结此课时是运用勾股定理和判定直角三角形的勾股逆定理来解决实际问题，解决这类问题的关键是画出正确的图形，通过数形结合，构造直角三角形，碰到空间曲面上两点间的最短距离问题，一般是化空间问题为平面问题来解决，即将空间曲面展开成平面，然后利用勾股定理及相关知识进行求解，遇到求不规则面积问题，通常应用化归思想，将不规则问题转换成规则问题来解决．解题中，注意辅助线的使用，特别是“经验辅助线”的使用．五、布置作业1．课本P60习题14．2第4，5，6题．2．选用课时作业设计．六、课后反思（略）第二课时作业设计一、填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，中线BE=13，另一条中线AD2=331，则AB=______．2．在△ABC中，AC=8cm，∠C=30°，BC=6cm，则S△ABC=_____．3．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD=3cm，则它的周长为_______．4101，另一条直角边的长为________．5．从张村到李村、王村的公路都是笔直的，并且成90°角，到这两个村庄的距离都是1千米，从李村到王村的距离大约是_______．（精确到0.1千米）6．如果a2+b2=c2，那么（ka）2+（kb）2=（________）2，由此，并由勾股定理的逆定理知，•如果三边长分别为a，b，c的三角形是直角三角形，并且三边长分别为ak，bk与____•的三角形也是直角三角形．7．△ABC中，如果AC=3，BC=4，AB=5，那么，△ABC一定是_____角三角形，•并且可以判定∠_____是直角，如果AC，BC的长度不变，而AB的长度由5增大到5.1，•那么原来的∠C被“撑成”的角是______角．二、选择题8．分别以下列四组为一个三角形的三边的长：（1）6，8，10；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）7，8，9其中能构成直角三角形的有（）．A．四组 B．三组 C．二组 D．一组9．等腰三角形底边上高是8，周长为32，则这个等腰三角形的面积为（）．A．56 B．48 C．40 D．30三、解答题10．求出下列直角三角形中未知边的长度，如图（a～b）所示．11．如图所示，太阳能热水器的支架AB长为90cm，与AB垂直的BC长120cm，太阳能真空管AC有多长？12．如图所示，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AD=13，CD=12，求AB的长．13．一艘轮船以16海里/时的速度向东南方向航行，•另一艘轮船在同地同时以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口1.5小时后相距多远？14．如图所示，在3米高的柱子顶端有一只老鹰，•它看到一条蛇从距柱脚9米外向柱脚的蛇洞游来，老鹰立即扑去，如果它们的速度相等，问老鹰在距蛇洞多远处捉住蛇？15．如图所示，正方形ABCD的边长为4，正方形ECFG的边长为8，•求阴影部分的面积和周长．（精确到0.1）16．如图所示，起重机吊运物体，已知BC=6m，AC=18m，求AB的长．（•精确到0.1m）17．要修一个如图所示的育苗棚，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．（•精确到0.1m 2）18．如图所示，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系呢？你能说一说你的判断吗？与同伴交流．答案:一、1．20 2．12cm 2 3．18cm 4．3 5．1.4千米 6．kc kc 7．直 C 钝二、8．B 9．B三、10．10 12 11．利用勾股定理 12．AB=4 13．相距30海里 14．4米15．利用勾股定理 16．运用勾股求22AC BC 17．利用勾股求塑料薄膜的宽18．•两直角边上的半圆面积之和等于斜边上半圆面积．。

14.2勾股定理的应用（2）教学目标：1.会用勾股定理解决较综合的问题.2.树立数形结合的思想.教学重点勾股定理的综合应用.教学难点勾股定理的综合应用.教学过程一、课前预习1.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______．解：设底边长为2x，则腰长为16-x，有（16-x）2=82+x2，x=6，∴S=×2x×8=48．2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）使三角形的三边长分别为3.、（在图甲中画一个即可）；（2）使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．甲乙二、合作探究问题探究1：边长为无理数例1：如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）画出所有从点A出发，另一端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为的线段；（2）画出所有的以（1）中所画线段为腰的等腰三角形.教师分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．解：（1）如下图中，AB.AC.AE.AD的长度均为．（2）如下图中△ABC.△ABE.△ABD.△ACE.△ACD.△AED就是所要画的等腰三角形．问题探究2：不规则图形面积的求法例2：如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求图中阴影部分的面积．解：在Rt△ADC中，AC＝AD＋CD＝6＋8＝100（勾股定理），∴AC＝10m.∵AC＋BC＝10＋24＝676＝AB，∴△ACB为直角三角形（如果三角形的三边长A.B.c有关系：a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形），∴S阴影部分＝S△ACB－S△ACD＝×10×24－×6×8＝96（m）．三、课堂巩固（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开．大会会标如图甲，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积；（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．解：（1）设较长直角边为b，较短直角边为a，则小正方形的边长为：a-b．而斜边即为大正方形边长，且其平方为13，即a2+b2=13①，由a+b=5，两边平方，得a2+b2+2ab=25．将①代入，得2ab=12．所以（b-a）2=b2+a2-2ab=13-12=1．即小正方形面积为1；（2）由（2）题中矩形面积为6.5×2=13与（1）题正方形面积相等，仿照甲图可得，算出其中a=2，b=3，如图．四、课堂小结1.我们学习了什么？2.还有什么疑惑吗？五、课后作业习题。

勾股定理的应用活动一：创设情境导入新课观看图片，引出问题：咱们学校的长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园中硬是走出一条“路”，花草被无情的践踏.图14－2－问题1：各位同学，你知道他们为什么不走寻常路吗？问题2：假设入口到拐角4米，拐角到健身器材3米，你能计算出小草受伤的代价是你少走几步吗？(假设2步为1米)用生活实例引入并提出问题，不仅提高学生积极性，又进行德育教育．既复习了本节课需要用到的公理——两点之间线段最短和勾股定理的计算，又为下一环节奠定良好的课堂氛围基础.活动二：实践探究交流新知【探究】如右图，蚂蚁在点A处观察到点B处有食物，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近呢？回忆圆柱的展开图，并尝试利用“两点之间线段最短”找出最短路线.勾股定理的实际应用(1)勾股定理实际应用常见题型框架图式总结，更容易形成知识网络【教学反思】①[授课流程反思]兴趣是最好的老师－－－学生只有对数学感兴趣，才想学、乐学，最后学会、学好．这就要求老师从“入趣点”着手，通过学生身边熟悉的问题引入，本节课的“入趣点”为“咱们学校”－－－亲切熟悉的环境，“不走寻常路”－－－学生中流行的广告词，这样做可以引起学生的情感共鸣，拉近与学生的距离，激发学生的学习兴趣.②[讲授效果反思]学生对知识的形成需要一个过程，甚至是几次的反复，本节课知识容量大，如果仅仅将解题过程投放在屏幕上，学生根本来不及思考，所以在教学中板书必不可少，它既能给学生的思维增添时间和空间，又可以规X学生解题的格式.③[师生互动反思]______________________________________________________ __________________ 反思，更进一步提升.。

第14章 勾股定理 复习一、预备知识1.二次根式的基本性质：① a ≥0（a ≥0） ② ( a )2＝a （a ≥0）③ a · b ＝ab （a ≥0，b ≥0）④ab ＝ a · b （a ≥0，b ≥0）2.有理数或字母与根式相乘，乘号省略不写，先写有理数，再写无理数，字母最后 3× 5 ＝3 5 2× a ＝2 a 2 ×4a ＝4 2 a 23 ×5a ＝25a 33. (a b )2＝a 2·( b )2=a 2b （b ≥0） 4. 1 =12 ≈1.4143 ≈1.7324 =25 ≈2.236 8 =2 2 9 =312 =2 316 =418 =3 220 =2 55.用代数式表示a 、b 两数的平方和___________________ 和的平方_______________6.在Rt ⊿ABC 中，一般地，如果∠C=90°，那么用小写字母_______表示斜边，用小写 字母a 表示直角边________，用小写字母__________表示直角边AC.其中，____最长.7. 大于0度小于90度的角叫锐角；90度的角叫直角；大于90度小于180度的角叫钝 角；180度的角叫平角；大于180度小于360度的角叫优角；360度的角叫周角.8. 和为90度的两个角叫互为余角，和为180度的两个角叫互为补角.直角三角形中两锐角互余.9. 一个三角形中最多有一个直角，最多有一个钝角，至少有两个锐角.10. 三边构成三角形的前提是小的两边之和大于第三边；三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.第三边范围在另两边和差之间.平角钝角直角锐角aA CBCC11. 直角三角形中斜边最长.12.两种比较特殊的直角三角形①有一个角是30°的直角三角形三边的长度关系(30°角所对的边是斜边的一半)a :b :c = 1 : 2 : 3 （记牢此比例关系）a =12c b = 3 ac = 2a②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形CA = CB AB = 2 CA = 2 CB (正方形的对角线是边长的 2 倍！！)二、定理及其逆定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2.公式的证明方法有数百种：最常见的是以下两种，直角三角形斜边构成的正方形面积等于两条直角边构成的正方形的面积之和.3.公式及变形：a2+b2=c2c=a2+b2a=c2-b24.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，据此也可以判断锐角三角形或者钝角三角形.5.常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；()()2222222102441002250115017,176b bb bb bbb bb++=++=++=++=+=±+=-=舍去8，15，17；9，40，41三、直角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边.如图所示: h =abch是斜边c上的高h =abc四、已知直角三角形的两边，求第三边的长.3，4，（5或7 ）五、比例系数的运用Rt△ABC中，∠C=90°1. a:b = 8:15 , c = 34 ,求a、b2. a:b = 3:4 ，周长为24 ，求面积3. a:b = 4:5 ，面积为20 ，求周长4.∠A=30°, c = 8 ,求斜边上的高5.∠A=12∠C ， c = 6 ，求周长6.a比b大2 ，c = 10 ，求面积：7.斜边长为2 ，周长为2＋7 ，求面积：8.斜边比直角边大2，另一直角边为6，求斜边长四、等边三角形的面积为34a2（a表示边长）五、三边分别为多项式时，证明三角形是直角三角形1.当n为自然数时，试说明以a=2n2+2n , b=2n+1 , c=2n2+2n+1为三边的三角形是直角三角形.2.a=n2-1 , b=2n , c=n2+1(n>1)3. 若ΔABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断ΔABC的形状.六、已知锐角三角形的两边，求第三边的范围七、在方格中画指定边长的三角形（正方形的对角线是边长的 2 倍）八、直角三角形斜边上的高的平方等于高所分斜边两段的乘积.h2 = mn。

第14章勾股定理小结与复习教学目标知识与技能：掌握直角三角形的边角之间分别存在着的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题．过程与方法：经历复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，掌握勾股定理及逆定理的应用．情感态度与价值观：培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值．重点、难点、关键重点：熟练运用勾股定理及其逆定理．难点：正确运用勾股定理及其逆定理．关键：运用数形结合的思想，将问题化归到能够应用勾股定理（逆定理）的路上来．教学准备教师准备：投影仪，补充资料．学生准备：写一份单元复习小结．教学设计教学过程一、回顾与交流1．重点精析勾股定理，Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．应用范围：勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长．2．例题精讲例在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为p厘米，斜边长为q厘米，求这个三角形的面积．教师分析：因为Rt△的面积等于12ab，所以只要求出ab就可以完成本道题．•分析已知条件可知a+b=p，c=q，再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p，a2+b2=q2，求出ab．解：∵a+b=p，c=q，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=p2a2+b2=q2（勾股定理）∴2ab=p2-q2∴S Rt△ABC=12ab=（14p2-q2）（厘米2）学生活动：参与教师讲例，理解勾股定理的运用，提出自己的见解．媒体使用：投影显示例题．教学形式：师生互动．3．课堂演练演练一：如图所示，带阴影的矩形面积是多少？思路点拨：应用勾股定理求矩形的长，答案51厘米．演练二：如图所示，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽为多少m．思路点拨：应用Rt△ABC中的三边关系，AC=520m，BC=200m，以勾股定理求出AB．参考答案：480m．演练三，在Rt△ABC中，a=3，c=5，求b．思路点拨：此题利用勾股定理求边长，习惯于把c当作斜边，只求b=4，但本道题以b当作斜边也是可以的，因此应注意两解问题．参考答案：b=或34．演练四：如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，•你能算出水池的深度吗？思路点拨：对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，•然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，•BC=x米，AC=（x+1）米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理，得x2+22=（x+1）2解得x=1.5．4．难点精析勾股逆定理：勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形，判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：（1）先确定最大边（如c）；（2）验证c2与a2+b2是否相等，若c2=a2+b2，则∠C=90°；若c2≠a2+b2，则△ABC•不是直角三角形．此时情况有两种：（1）当a 2+b 2>c 2时，三角形为锐角三角形；（2）当a 2+b 2<c 2时，三角形为钝角三角形． 5．范例精讲例 如图所示，△ABC 中，AB=26，BC=20，BC 边上的中线AD=24，求AC ．教师分析：要求AC 的长度，首先确定AC 所在的△ACD ，而关键是要判断出△ADC•是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线AD=24，•所以可以先通过勾股定理判断出△ABD 是Rt △，这样就可以得到∠ADC=90°，•从而再应用勾股定理求出AC 的长．解：因为AD 是边BC 上的中线，且BC=20， 所以BD=DC=12BC=10 因为AD 2+BD 2=576+100=676，AB 2=262=676，AD 2+BD 2=AB 2所以∠ADB=90°，即AD ⊥BC ．（勾股逆定理） 在Rt △ADC 中 AC=22222410AD DC +=+=26（勾股定理）评析：本道题运用了勾股定理和逆定理，也可以运用别的方法计算，可以得到AD 垂直平分BC ，所以AC=AB=26． 6．课堂演练演练一：在数轴上作表示-5的点．思路点拨：在数轴上的点-2位置上作垂直于数轴的线段且这个长度为1，连接原点到这条线段的端点A ，以O （原点）为圆心，OA 为半径画弧交数轴于一点，这一点就是-．演练二：下列三角形（如图14-3-5所示）是直角三角形吗？为什么？思路点拨：充分应用勾股定理逆定理进行判定，计算122+92=？；152=？；62+42=？；72=？演练三：设△ABC 的3条边长分别是a ，b ，c ，且a=n 2-1，b=2n ，c=n 2+1． （1）填表：n a b c a2+b2c2△ABC是不是直角三角形2 3 4 5 25 253456…………………（2）当n取大于1的整数时，以表中各组a，b，c•的值为边长构成的三角形都是直角三角形吗？为什么？（3）3、4、5是一组勾股数，如果将这3个数分别扩大2倍，所得3•个数还是勾股数吗？扩大3倍、4倍和n倍呢？为什么？（4）还有不同于上述各组数的勾股数吗？演练四：如图所示，古代建筑师把12段同样长的绳子相互连成环状，•把从点B到点C之间的5段绳子拉直，然后在点A将绳子拉紧，便形成直角，•工人按这个“构形”施工，就可以将建筑物的拐角建成直角，你认为这样做有道理吗？教师活动：操作投影仪，引导学生运用勾股定理、逆定理求解，可以请部分学生上台演示．学生活动：合作、讨论，提出自己的看法，巩固勾股定理、逆定理的应用．媒体使用：投影显示“演练题”．教学形式：师生互动交流，讲练结合，以训促思，达到提升知识，构建知识系的目的．二、构筑知识系A.B.三、随堂练习课本P62复习题第4，7，10，11题． 四、布置作业1．课本P62复习题第1，3，6，8，9，12题． 2．选用课时作业设计． 五、课后反思（略）课时作业设计一、填空题1．在△ABC 中，∠C=90°．（1）已知a=2．4，b=3．2，则c=_______．（2）已知c=17，b=15，则△ABC 面积等于_______．（3）已知∠A=45°，c=18，则a 2=______．2．直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_______．3．△ABC 的周长为40cm ，∠C=90°，BC ：AC=15：8，则它的斜边长为______． 4．直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，•两直角边分别为________． 二、选择题5．在下列说法中是错误的（ ）．A ．在△ABC 中，∠C=∠A-∠B ，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，则△ABC 为直角三角形 C ．在△ABC 中，若a=35c ，b=45c ，则△ABC 为Rt △ D ．在△ABC 中，若a ：b ：c=2：2：4，则△ABC 为直角三角形6．直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）． A ．6cm B ．5cm C ．3060.1313cm D cm 7．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）． A ．a=6，b=8，c=10 B ．a=1，b=2，c=6C ．a=54，b=1，c=34D ．a=2，b=3， 8．有四个三角形：（1）△ABC 的三边之比为3：4：5；（2）△A ′B ′C ′的三边之比为5：12：13； （3）△A ″B ″C ″的三个内角之比为1：2：3；（4）△CDE 的三个内角之比为1：1：2，其中直角三角形的有（ ）． A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（1）（2）（3）（4） 三、解答题9．如果3条线段的长a ，b ，c 满足c 2=a 2-b 2，那么这3•条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？10．如图所示，AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC•是直角吗？请说明理由．11．在图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米，求正方形CDEF•的面积．12．如图所示，为得到湖两岸A点和B点间的距离，一个观测者在C点设桩，•使△ABC为直角三角形，并测得AC长20米，BC长16米，A、B两点间距离是多少？四、探究题13．如图所示，在一块正方形ABCD•的布料上要裁出四个大小不同的直角三角形做彩旗，裁剪师傅用画粉在CD边上找出中点F，在BC边上找出点E，使EC=14BC，•然后沿着AF、EF、AE裁剪，你认为裁剪师傅的裁剪方案是否正确？若正确，给予证明，若不正确，请说明理由．14．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，•使点D与点B 重合．求：（1）折叠后DE的长；（2）以折痕EF为边的正方形面积．C 'DCBA FE D CB A答案:一、1．（1）4 （2）60 （3）162 2．6 8 10 3．17cm 4．4.8 6和8 二、5．B 6．D 7．B 8．D ()三、9．是直角三角形 10．利用勾肌定理 11．169厘米2•12．12米 四、13．方案正确，理由:裁剪师的裁剪方案是正确的，设正方形的边长为4a ，则DF=FC=2a ，EC=a ．在Rt•△ADF 中，由勾股定理，得AF 2=AD 2+DF 2=（4a ）2+（2a ）2=20a 2；在Rt △ECF 中，EF 2=（2a ）2+a 2=5a 2；在Rt △ABE 中，AE 2=AB 2+BE 2=（4a ）2+（3a ）2=25a 2．∴AE 2=EF 2+AF 2，由勾股定理逆定理，得∠AFE=90°， ∴△AFE 是直角三角形．14．提示：设DE 长为xcm ，则AE=（9-x ）cm ，BE=xcm ，那么在Rt △ABE 中，∠A=90°，∴x 2-•（9-x ）2=32， 故（x+9-x ）（x-9+x ）=9，即2x=10，那么x=5，即DE 长为5cm ，连BD 即BD 与EF•互相垂直平分，即可求得：EF 2=12cm 2，∴以EF 为边的正方形面积为144cm 2．。

第14章勾股定理14.1 勾股定理1.直角三角形三边的关系【基本目标】1.体验勾股定理的探索.2.会用勾股定理求直角三角形的边长.【教学重点】用勾股定理求直角三角形的边长.【教学难点】用拼图法证明勾股定理.一、创设情景，导入新课目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各类图形等.我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前，是非常了不起的成就.让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？二、师生互动，探究新知1.勾股定理的证明.【活动】方法一：如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明.【分析】左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.【教学说明】以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长.【活动】出示习题：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=____；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=____；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是____.【答案】（1）13（2）15（3）10或7【教学说明】先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，按8为直角边或斜边.最后教师板书：在Rt△ABC中，∠C=90°，三、随堂练习,巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.四、典例精析，拓展新知例如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高.解：设BD=x，则DC=14-x,由勾股定理得：AB2-BD2=AC2-CD2,即132-x2=152-(14-x)2,解得x=5,∴AD=132-52=12.【教学说明】引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边，也可以为建立三边之间联系提供依据.设BD=x，可否建立方程关系.五、运用新知，深化理解完成教材P112习题第1、2题.【教学说明】第2题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲有所不同，新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课教师从引导构造的图形入手，用面积法证明勾股定理难度不大，但面积法在教材中首次用到，基于此教师在教学过程中应给予适当的引导，让学生体会成功的快乐.2.直角三角形的判定【基本目标】1.理解勾股定理的逆定理的证明方法.2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.【教学重点】用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.【教学难点】勾股定理逆定理的证明.一、创设情景，导入新课【实验观察】实验方法：用一根打上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起，然后用角尺量出最大角的度数.（90°），可以发现这个三角形是直角三角形.【显示投影片1】二、师生互动，探究新知【教师活动】古埃及人曾经用过这种方法来得到直角，这个三角形三边长分别为多少？（3,4,5）.这三边满足了怎样的条件呢？（32+42=52），是不是只有三边长为3,4,5的三角形才能构成直角三角形呢？请同学们动手画一画，如果三角形的三边分别为2.5cm,6cm,6.5cm,满足关系式“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为5cm,12cm,13cm 或8cm,15cm,17cm呢？【学生活动】动手画图，体验发现，得到猜想.【教师活动】操作投影仪，提出探究的问题，引导学生思考，然后再提问个别学生.【学生活动】拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟：（1）它们完全重合；（2）理由是在△A′B′C′中，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2，因为a2+b2=c2，因此，A′B′=c,从△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′B′，推出△ABC ≌△A′B′C′，所以∠C=∠C′=90°，可见△ABC是直角三角形.【教师归纳】如果一个三角形的三边长a、b、c有关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角.【教学说明】采用实验、观察、比较的教学方法，突破难点.出示习题：（投影显示）1.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A.5,6,7B.10,8,4C.7,25,24D.9,17,152.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（）【教学说明】引导学生用勾股定理的逆定理判别直角三角形的方法.两小边的平方和等于第三边的平方.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.四、典例精析，拓展新知例某港口位于东西方向的海岸线上，“远航号”和“海天号”轮船同时离开港口，各自沿固定的方向航行，“远航号”每小时行16海里，“海天号”每小时行12海里，它们离开港口1.5小时后相距30海里，如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？解：由题意画出示意图，如图，由“远航号”沿东北方向，知道“海天号”沿西北方向航行.【教学说明】引导学生画出正确的示意图，体现数学建模思想.五、运用新知，深化理解若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.【教学说明】根据所给条件，只有从关于a,b,c的等式入手，找出a,b,c三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+(b-12)2+(c-13)2=0，求出a=5,b=12,c=13,∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.这节课在勾股定理的基础上，让学生学会如何从三边的关系来判定一个三角形是直角三角形，即“勾股定理的逆定理”.在证明它时，学生可能有些困难，因此课堂教学时先动手操作观察，进而得出用勾股定理证明A′B′=AB.教案中设计题型前呼后应，使知识有序推进，有助于学生理解与掌握；通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究的兴趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.3.反证法【基本目标】1.理解反证法.2.会用反证法证明较简单的题.【教学重点】用反证法证明几何命题.【教学难点】反证法中渗透“正难则反”的思想.一、创设情景，导入新课出示多媒体，展示《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题.二、师生互动，探究新知活动1反证法的步骤.教师给出问题：如果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断正确吗？学生讨论交流，选代表发言.如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就没有这么多李子.教师出示，若a2+b2≠c2（a≤b≤c）,则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才五戎的方法推理吗？学生活动，代表展示.若∠C是直角，则a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC 不是直角三角形.【教师归纳】先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.即：一、反设；二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正确.活动2用反证法证明.教材P116例5.【教师活动】原命题结论的反向是什么？按照假设可以得到矛盾吗？【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.教材P116例6.【教师活动】△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么？按照假设可以推出矛盾吗？【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.【教学说明】在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时，直接不易证明，可考虑反证法.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分,教师巡视并及时点评，主要是证明格式是否规范.四、典例精析，拓展新知例求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.【教师活动】（1）你首选的是哪一种证明方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？（3）能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）.【学生活动】讨论交流后独立完成.五、运用新知，深化理解.完成教材P117练习第1、2题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍：1.思维方向的转换，不能总用直接法；2.证明步骤存在障碍；3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法，应积极引导学生克服上述思维上的障碍，并通过有关题目训练，使学生掌握反证法.教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时，应穷举；“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次.14.2勾股定理的应用第1课时勾股定理的应用（1）【基本目标】1.会用勾股定理解决较综合的问题.2.树立数形结合的思想.【教学重点】勾股定理的综合应用.【教学难点】勾股定理的综合应用.一、创设情景，导入新课如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数.二、师生互动，探究新知如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上运动，量的滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑竿顶端A下滑多少米？【分析】滑竿在下滑中它的长度是不变的，先在直角三角形ACB中利用勾股定理求出AC的长，然后再在直角三角形ECD中利用勾股定理求出CE的长，即可求出AE的长.【教师点拨】勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，他的前提是直角三角形，在求解时常运用题目中的条件构造直角三角形，而构造直角三角形方式有两种：一是根据已知条件中的直角构造，二是作垂线构造.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知例如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离.【分析】显然△ABC是直角三角形，根据示意图可求出AC和BC的长，从而根据勾股定理可以求出AB的长.解：由示意图可知AC=150－60=90(mm)，BC=180-60=120(mm)答：两圆孔中心A和B的距离为150mm.五、运用新知，深化理解.完成教材P123习题14.2中的第5题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系.第2课时勾股定理的应用（2）【基本目标】1.会用勾股定理解决简单的实际问题.2.树立数形结合的思想.【教学重点】勾股定理的应用.【教学难点】实际问题向数学问题的转化.一、创设情景，导入新课从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性.二、师生互动，探究新知例1如右图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．【分析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图），得到矩形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长．（精确到0.01cm）解：如下图，在Rt△ABC中，BC＝底面周长的一半＝10cm，∴ AC＝Ab2+Bc2＝42+102＝116≈10.77（cm）（勾股定理）.答：最短路程约为10.77cm．三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如右图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【分析】由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于H．解：在Rt△OCD中，由勾股定理得CH＝0.6＋2.3＝2.9（米）＞2.5（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.五、运用新知，深化理解.完成教材P123习题14.2中的第5题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系.本章复习【基本目标】进一步理解勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题.【教学重点】用勾股定理及逆定理解决问题.【教学难点】用勾股定理的逆命题证明几何问题.一、知识框图，整体建构二、知识梳理，快乐晋级本章通过问题的形式来梳理知识，以加深对基础知识的理解，对基本方法的把握.问题1：勾股定理与逆定理的内容是什么？问题2：勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的，它们各体现什么样的数学思想？你是怎样理解的？问题3：如何判定一个三角形是直角三角形？问题4：反证法的步骤是什么？【教学说明】教师提出的问题以小组竞赛的形式回答，教师根据回答的情况，做必要的讲解与说明.三、典例精析，升华旧知例1（1）下列命题中正确的是（）A.1.5, 2, 2.5是勾股数B.至少有一个角大于60°的反面是至多有一个角大于60°C.边长为3a,4a,5a的三角形是直角三角形D.直角三角形的两边是3和4，它的面积是6（2）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC=_________.（3）如图，长方形ABCD 中，AB=15cm,点E 在AD 上，且AE=9cm,连结EC 将长方形沿BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A ′处，则A ′C=____cm.【答案】（1）C（2）45°提示：连结AC ，由勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，AB=BC=5即可.（3）8 由条件知△BA ′C ≌△CDE,∴A ′C=DE ，在Rt △CDE 中，设A ′C=x ，∵A ′E=AE ，∴CE=9+x ，∵CE 2=CD 2+DE 2，∴（9+x ）2=x 2+152，解得x=8(cm).例2如图圆柱形的玻璃杯，高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm 的C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是多少厘米？解：画出全半侧面的展开图，如图，则EF=9cm,AE=4cm,CM=4cm,取点A 关于直线EF 的对称点A ′，则A ′E=4cm,连结A ′C 交EF 于P ，则PA+PC 最短，作GC ⊥EN 于G ，在Rt △A ′GC 中，22912 =15(cm).【教学说明】本例是“将军饮马”的数学模型与用勾股定理求立体图形表面两点间最短距离的有机融合.注意以处理这两个数学模型的方法讲解.例3在Rt △ABC 中，已知两直角边a 与b 的和为pcm ，斜边长为qcm ，求这个三角形的面积.【教学说明】因为Rt△ABC的面积等于12ab，所以只要求出ab就可以完成本道题.分析已知条件可知a+b=p,c=q,再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p,a2+b2=q2，求出ab.例4如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？【教学说明】对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，BC=x米，AC=(x+1)米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得x2+22=(x+1)2解得x=1.5.例5如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC.解：因为AD是边BC上的中线，且BC=20，所以∠ADB=90°，即AD⊥BC.(勾股逆定理)【教学说明】要求AC的长度，首先确定AC所在的△ACD，而关键是要判断出△ADC是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线AD=24，所以可以先通过勾股定理判断出△ABD是Rt△，这样就可以得到∠ADC=90°，从而再应用勾股定理求出AC的长.例6已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD于点D,且CD2+AD2=2AB2.(1)求证AB=BC;(2)当BE⊥AD于点E时，试证明：BE=AE+CD.解：由条件CD2+AD2=2AB2，并结合图形，有CD2+AD2=AC2，又AC2=AB2+BC2（连结AC），从而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB（勾股定理功不可没）；（2）过C作CF⊥BE于F,由AB=BC,∠ABE=∠BCF,∠AEB=∠CFB,知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE,∴BE=BF+EF=AE+CD.【教学说明】本题将全等三角形与勾股定理有机结合，注意由其平方条件联想勾股定理.四、师生互动，课堂小结这节课你有什么收获？还有什么疑惑？复习到哪些数学思想方法？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结归纳.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本章复习应紧紧围绕“勾股定理”为中心，师生共同建构知识网络，回顾各个知识考点、落实四基.在教学过程中发现的疑惑应及时解答.此外教案中的六个例题应试着让学生解答，教师再予以点拨，以达到复习提升的效果.。