双曲线定义(带动画)

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双曲线定义(带动画)

cx a2 a (x c)2 y2
F1
(c2 a2 )x2 a2y2 a2(c2 a2)
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
y
M
o
双曲线的标准方程
y
M
y M
F
1
OF
2
x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
(a 0，b 0)
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点是在X轴上还是Y轴上？
三、例题选讲
例1 已知两定点 F1 5,0, F25,0 ,动点 P 满
足 PF1 PF2 6 ,求动点P 的轨迹方程
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
判断：x2
16
y2 9
1与
y2 9
x2 16
1的焦点位置？
结论：看 x2 , y 2前的系数，哪一个为正，则
焦点在哪一个轴上。
双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
课堂巩固
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则
3 5 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______

双曲线及其标准方程(带动画)很好

x
方程
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
焦点 a.b.c 的关系
c a b
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2－a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
y
M
焦点在y轴上
y
F2
M x
F
1
O
F
2
x
O
F1
2 2 x y y x 2 1 2 1 2 2 a b a b 2 2 2 (a 0，b 0)并且c =a b
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
F1
椭
定义方程
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b

三种圆锥曲线统一定义及动画演示

说明：若动点M到两定点的距离之差的绝对值为2a ，| F1 F2| = 2c 当c > a >0时，动点M的轨迹是双曲线; 当a = c>0时，动点M的轨迹是两条射线；当 0 < c < a时，动点M无轨迹
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线.
(2)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点和一条准线
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M ,有 MF=d（d为动点M到
直线L的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ离）
抛物线的定义：
▪ 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l (F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
说明：(1)点F不能在直线l上，否则其轨迹是过点F且与l垂直的直线
关于椭圆、双曲线、抛物线你了解多少? 在我们的实际生活中有这些曲线吗? 它们分别给我们什么印象?
椭圆？
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆．
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
椭圆
双曲线
抛物线
椭圆的定义
平面内到两定点 F1 ，F2的距离之和为常数(大于F1 F2 距离）的点的轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
说明：若动点M到的距离之和为2a ， | F1 F2| = 2c 则当a>c>0时，动点M的轨迹是椭圆; 当a = c>0时，动点M的轨迹是线段F1 F2 ；当 0 < a < c时，动点M无轨迹
双曲线的定义：

双曲线定义与方程(带动画)

(1)F1F2延长线和反向延长线(两条射线) (2)轨迹不存在 (3)线段F1F2的垂直平分线
F
1
M
o
F
2
3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴，如何求这优美的曲线的方程？线段F1F 2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式． |MF1|
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a （小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距. 注意
M
(1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
|MF1| - |MF2| = 2a
F
1
o
F2
x2 y2 2.已知方程 1 9k k 3 3 k 9且 k 6； (1)方程表示椭圆，则 k的取值范围是 __________ ______
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2－a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O

椭圆、双曲线、抛物线的统一定义以及动画演示

双曲线的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
说明：若动点M到两定点的距离之差的绝对值为2a ，| F1 F2| = 2c 当c > a >0时，动点M的轨迹是双曲线; 当a = c>0时，动点M的轨迹是两条射线；当 0 < c < a时，动点M无轨迹
关于椭圆、双曲线、抛物线你了解多少? 在我们的实际生活中有这些曲线吗? 它们分别给我们什么印象?
椭圆？
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆．
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶

椭圆定点 F1 ，F2的距离之和为常数(大于F1 F2 距离）的点的轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
的点的轨迹叫做抛物线.
· N M
定点F叫做抛物线的焦点.
·F
定直线l 叫做抛物线的准线.
即:
若
︳MF ︳MN
︳︳ 1,
则点M的
轨迹
是
抛物线
。
椭圆的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
说明：若动点M到的距离之和为2a ， | F1 F2| = 2c 则当a>c>0时，动点M的轨迹是椭圆; 当a = c>0时，动点M的轨迹是线段F1 F2 ；当 0 < a < c时，动点M无轨迹
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线.

双曲线ppt

谢谢
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程 F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
双曲线ppt
演讲人
一般的，双曲线（希腊语“Υπερβολία” ，字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。
名称定义
播报
编辑
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于 |F1F2|）的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线。
即：||PF1|-|PF2||=2a
定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线的情况下，渐近线是两个坐标轴。

双曲线的定义和性质

双曲线的定义和性质
双曲线（Hyperbolic Curve）是数学中一种特殊的曲线，它具有两条反曲线（Hyperbolic curve），沿着直线封闭，它被认为是一种极限曲线，可以收敛到两个不同
的焦点。

虽然双曲线也称为平行双曲线，但它们可以按照任意方向曲折，但不会超过可以
认为是一个自治空间内的某个最大距离。

双曲线常用来描述流动的几何形状，可以用来解
释力的重力学传播效应。

（1）双曲线的最重要的性质就是它收敛到两个焦点，且这两个焦点之间的距离可以
通过一个称为双曲线的焦距的值来衡量。

（2）另外，双曲线完全由两个反曲线（Hyperbolic curves）组成，沿着直线封闭，
且双曲线具有节点，这些节点与直线联系在一起，称为切点，切点与双曲线的凹角相关联。

（3）此外，双曲线还具有两个定点，它们位于曲线上，且称为双曲线的交点，即双
曲线截止点。

双曲线的曲率（Curvature）取决于双曲线的焦距，曲率越大，双曲线的弯
曲越明显。

（4）双曲线的面积是负的，这意味着它的形状并不完全似圆，而是更加具有弯曲性，因此它在空间中形状更复杂。

（5）双曲线具有相反性，也就是说，当它在一个方向运行时，它会在相反的方向运行。

（6）另外，双曲线的拉伸性也很高，可以曲折的的角度和弯曲程度要比普通圆弧更大，这也使它具有很多实用价值。

（7）双曲线可以用于许多不同的几何计算，如极限几何的计算，倒立曲线的计算以
及复杂的曲面的几何计算。

双曲线的定义及其基本性质

双曲线的定义及其基本性质
一、双曲线的定义：
（1）到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜
2
1F F ）的点的轨迹。

两定点叫双曲线的焦点。

a PF PF 221=-＜2
1F F
（2）动点P 到定点F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数e （e ＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的方程：双曲线标准方程的两种形式：
①
12
222=-b y a x ，2
2b a c +=，
F 1(-c,0),F 2(c,0) 三、双曲线的性质：
（1）焦距F 1F 2=2c,实轴长A 1A 2=2a,虚轴长（2）双曲线的离心率为e=a
c
，e>1（3）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b （4）有两条准线，c a x l 21:-=x l 2:=四、双曲线的渐近线：
（1）若双曲线为12222=-b y a x ⇒渐近线方程为x a
b
y ±=，
（2）若已知某双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则可设此双曲线为λ=-22
22b
y a x ，
（3）特别地当a=b 时⇔2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y =±x ，此时双曲线为等轴双曲线
五、共轭双曲线：
双曲线A 的实轴为双曲线B 的虚轴，双曲线A 的虚轴为双曲线B 的实轴，即11
122=+B
A e e 。

2.3.1双曲线及其标准方程(自带动画不需另下,绝对好)

双曲线标准方程的推导
5
一、建立坐标系；设动点为 P(x,y)
P(x,y)
注：设两焦点之间的距离为 2c(c>0), 即焦点F 1(c,0),F 2(-c,0)
-5
F1(-c,0)
F2(c,0)
5
二、根据双曲线的定义找出P点满足的几何条件。
-5
| PF1 | | PF2 | 2a 0 a c
y
M
M F2
焦点在Y轴上
y
图象
F1 o F2
x
F1
x
方程
焦点
a.b.c 的关系
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2 2
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2
2
2
c a b
椭定义方程
圆 y2
b2
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
x2
a2
+
=1
y2 x2 =1 2 + 2 a b
椭圆以大小论长短
y2 a2
x2 = 1 2 b
F（±c，0） F（0，±c）
双曲线以正负定实虚
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c的关系
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
三、将几何条件化为代数条件:
根据两点的间的距离公式得：
( x c) y
2
2

双曲线的性质课件(PPT 15页)

y
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
y C3C2 C1
O
x
焦点在x轴上的双曲线图像
y 渐进线方程： b x a
Y x2 y2 1 a2 b2
B2
F1
A1
A2 F2 X B1
离心率对双曲线形状的影响
焦点在y轴上的双曲线图
像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
2、对称性：关于x轴，y轴，
原点对称。 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
F1 A1 O
A2 F2
x
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
B1
|A1A2|=2ca,|B1B2|=2b 5、离心率：e= a
根据以上几何性质能够
根据以上几何性质能否
较准确地画出椭圆的图形？较准确地画出双曲线的图形呢？
双曲线标准方程：y 2 x 2 1 双曲线性质： a 2 b2
Y
1、范围：y≥a或y≤-a
F2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
A2
3、顶点 A1（0，-a），A2（0，a）
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2 B1
5、渐近线方程： y a x
o
b
6、离心率：e=c/a
A1
F2
B2 X
Y
F1
B2
F’1 A1 o
B1
X
A2 F’2
F2
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x2 a2
y2 b2
1

双曲线知识点图表总结

双曲线知识点图表总结双曲线是一种常见的曲线形状，它在数学、物理、工程和其他领域中都有广泛的应用。

双曲线有许多重要的性质和特征，本文将对双曲线的定义、性质、公式、图形以及在不同领域中的应用进行详细的总结和分析。

1. 双曲线的定义双曲线是平面上的一种曲线形状，其数学定义是一个平面上的一组点，它们满足以下方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。

其中a和b分别为双曲线的两个参数，双曲线可以是水平、垂直或者倾斜的。

2. 双曲线的性质双曲线有许多重要的性质，其中一些最重要的包括：- 双曲线有两条渐近线，分别是x=a和x=-a。

- 双曲线关于x轴和y轴对称。

- 在双曲线的右支部分，x>0，y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，y>0。

- 在双曲线的左支部分，x<0，y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，y>0。

3. 双曲线的公式双曲线的标准方程是x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为双曲线的两个参数。

可以通过调整a和b的值来改变双曲线的形状和大小。

另外，还有其他形式的双曲线方程，如y=a*sinh(x)和x=a*cosh(y)，它们也可以表示双曲线。

4. 双曲线的图形在坐标系中，双曲线通常呈现出一种开口向左或向右的形状，双曲线的形状会随着参数a和b的变化而变化。

双曲线的图形可以通过绘制其标准方程或其他形式的方程来显示。

5. 双曲线在数学中的应用双曲线在数学中有许多重要的应用，其中一些包括：- 双曲线是解析几何中的重要对象，它在描述曲线的形状和性质时有着重要的作用。

- 双曲函数sinh(x)和cosh(x)分别是双曲线的正弦和余弦函数，在微积分和其他数学领域中有广泛的应用。

6. 双曲线在物理中的应用双曲线在物理中也有许多重要的应用，其中一些包括：- 双曲线是描述电磁场和引力场中的曲线轨迹的重要工具，在物理学中有重要的应用。

- 双曲线的性质和特征常常用于描述波动、震荡和振动等现象。

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画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
一、双曲线定义（类比椭圆）
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
F1
x
方程焦点
a.b.c 的关
系
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
c a b
2
作业：
1、课本第61页A组1、2；
2、一线精炼第11课时的选择题和填空题（其中选择题涂卡）。
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
方程
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 说明：
0<2a<2c
；
思考：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹（3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
新乐一中
刘焕
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 2. 引入问题平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？
返回拉链实验
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
反比例函数的图像
冷却塔
罗兰导航系统原理
即
(x+c)2 + y2 -
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
y
M F1
o
cx a2 a (x c)2 y2
(c a ) x a y a (c a )
随堂练习
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程 ①a=4,b=3，焦点在 x轴上； 2 y x2 16 9 ②焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5) y2 x2 20 16

1

1
2.已知方程
x 2 m
2

y2 m1
1
表示焦点在y轴的
m＜－2 双曲线，则实数m的取值范围是______________ （变式）：上述方程表示双曲线，则m的取值范围是 m＜－2或m＞－1 __________________
x2 y2 y2 x2 1与判断： 1 的焦点位置？ 16 9 9 16
结论：看
x , y 前的系数，哪一个为正，则
2Байду номын сангаас
2
焦点在哪一个轴上。
双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2－a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
F1
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
(a 0，b 0)
判断总结下列方程表示双曲线的焦点位置，并说出其中的a=___;b=____;c=_____
3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式． |MF1|
F1
y
M
o
F2
x
- |MF2|= 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = +
典型例题
例：已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则 (1) a=_______ 3 , c =___
5
_ ,
b =_______ 4
(2) 双曲线的标准方程为______________
变式1：把上面点改为（0，-5），（0,5）变式2：把上面的绝对值去掉方程会有什么变化？

双曲线定义(带动画)

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