线性代数 第五章第二节

于是有 Aα i = λiα i ( i = 1, 2, L , n.)
可 见 λ i 是 A的 特 征 值 , 而 P 的 列 向 量 α i 就 是 A 的 对 应 于 特 征 值 λ i的 特 征 向 量 . 由 P 可 逆 ， 则 α 1 , α 2 , L , α n 线 性 无关.
5
充分性: 设α1 , α 2 ,L , α n是A的n个线性无关特征向量,
可对角化 .即存在可逆矩阵P , 使得P −1 AP与一个对角 矩阵Λ相等。
2．定理 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是
A有n个线性无关的特征向量.
证明 ⇒ ：设A ~ Λ , 其中Λ = diag(λ1 , λ2 ,L , λn )
即存在可逆阵P , 使P −1 AP = Λ .
令 P = (α 1 , α 2 , L , α n ) .
9
定理 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是
A有n个线性无关的特征向量.
推论：如果 阶矩阵A 个特征值互不相等， 推论：如果n 阶矩阵 的n 个特征值互不相等， 则A与 与 对角阵相似． 对角阵相似． 将一个可对角化矩阵进行对角化的步骤： 将一个可对角化矩阵进行对角化的步骤：
i）求A的所有特征值λ1 , λ2 ,L , λn
得( E − A) x = 0的同解方程组x1 + 2x2 = 0
解得基础解系 ξ1 = ( −2 1 0) , ξ2 = ( 0 0 1) . 16
T
T
当λ3 = −3时, 解齐次线性方程组( −3 E − A) x = 0
−6 −6 0 1 1 0 3 0 → 0 1 −1 −3 E − A = 3 3 6 −3 0 0 0
3 −1 2 1 0 1 5 −2 3 → 0 − 2 −2 −1 0 −1 0 −1 −1
x1 + x3 = 0 得同 解方 程 x2 + x3 = 0
解得基础解系 ξ = (−1, −1,1) ,
T
不能化为对角矩阵. 故A 不能化为对角矩阵
由P −1 AP = Λ , 得AP = P Λ ,
4
λ1 λ2 即 A(α1 , α 2 ,L , αn ) = (α1 , α 2 ,L , αn ) O λn
= (λ1α1 , λ2α 2 , L , λnα n ).
又 A(α1 , α 2 , L , α n ) = ( Aα1 , Aα 2 , L , Aα n ) ∴ ( Aα1 , Aα 2 , L , Aα n ) = (λ1α1 , λα 2 , L , λα n )
解得基础解系 α 1 = (1, −1,1)T
12
当λ2 = −2时, 解齐次线性方程组 ( − 2 E − A)x = 0
1 0 − 1 4 −2 −1 0 −2 E − A = 0 −2 −1 → 0 1 1 2 6 11 4 0 0 0 x1 − 1 x3 = 0 4 得( −2 E − A) x = 0的同解方程组 x2 + 1 2 x3 = 0
3）AT ∼ BT ; 4）若A可逆,则B可逆, 且A−1 ~ B −1 .
证明 1）kB = k ( P −1 AP ) = P −1 ( kA) P
2）B m = ( P −1 AP )m = ( P −1 AP )( P −1 AP )L ( P −1 AP3 = P −1 Am P 14444444444442 444444444444)
解得基础解系 α 3 = (1, −3, 9)T
14
1 1 1 若令 P = (α 1 , α 2 , α 3 ) = − 1 − 2 − 3 , 1 4 9
则
−1 0 0 −1 P AP = Λ = 0 −2 0 0 0 −3
ii）求出A的属于λ1 , λ2 , L , λn的n个线性无关的特征向量α1 , α 2 , L , α n
iii）P −1 AP = Λ，其中P = (α1 , α 2 ,L , α n ) ，Λ = diag (λ1 , λ2 ,L , λn ).
10
1 0 0 4 6 0 例2 设(1) A = 0 0 1 ,(2) A = −3 −5 0 −6 −11 −6 −3 −6 1
7
3．例题分析
−2 1 −2 例1 判断A = −5 3 −3 能否对角化? 1 0 2
λ+2
解
λE − A =
5 −1
2 −1 3 λ −3 3 = (λ − 1) 0 λ −2
所以A的特征值为 λ1 = λ2 = λ3 = 1.
8
3 x1 − x2 + 2 x3 = 0 把λ = 1代入(λ E − A) x = 0, 即 5 x1 − 2 x2 + 3 x = 0 − x − x = 0 3 1
证明 1）A与B相似， 即存在可逆阵P , 使得P −1 AP = B
∴ λ E − B = λ E − P −1 AP = P −1 ( λ E − A ) P
= P −1 λ E − A P = λ E − A
2）由于相似矩阵有相同的特征值，故迹相同。 ）由于相似矩阵有相同的特征值，故迹相同。
3） B = P −1 AP = P −1 A P = A
即：矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置 矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． 要相互对应．
A能否对角化？若能对角化 , 则求出可逆矩阵 P , 能否对角化？ 能否对角化 使 P −1 AP 为对角阵 . 解
λ −1 (1) λ E − A = 0 λ
0
−1 = (λ + 1)(λ + 2)(λ + 3) 6 11 λ + 6
所以A的全部特征值为 λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = −3.
P称为把A变成B的相似变换矩阵.
注: 1）相似关系是一种等价关系：反身性，对称性，传递性 ）
2） 两 个 矩 阵 相 似 ， 则 这 两 个 矩 阵 等 价 .
1

2．性质
定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则 1）A与B的特征多项式相同, 即A与B的特征值相同； 2）A与B的迹相同，即tr ( A) = tr ( B ). 3）A与B的行列式相同，即 A = B ; 4） 与B的秩相等，即r ( A) = r ( B )； A
λ1 λ1 = P O = (α1 , α 2 ,L , α n ) O λn λn
两边左乘P −1 ,得P −1 AP = Λ ,即A ~ Λ .
6
注：
1）此定理的结论给出了：判断一个矩阵是否可对角化的方法 此定理的结论给出了： 2）此定理的证明给出了：将一个可对角化矩阵进行对角化的 此定理的证明给出了： 步骤： 步骤： i）求A的所有特征值λ1 , λ2 ,L , λn
m
3）BT = ( P −1 AP )T = P T AT ( P −1 )T = P T AT ( P T )−1
4）若A可逆,则 A ≠ 0, 即 B ≠ 0, 所以B可逆. 且B −1 = ( P −1 AP )−1 = P −1 A−1 P
3
二、矩阵的相似对角化 1．定义 若n 阶方阵 A , 可与一个对角阵相似, 则称矩阵A
解得基础解系 α 2 = (1, −2, 4)T
13
当λ3 = −3时, 解齐次线性方程组 ( − 3 E − A)x = 0
1 0 − 1 9 −3 −1 0 −3 E − A = 0 −3 −1 → 0 1 1 3 6 11 3 0 0 0 x1 − 1 x3 = 0 9 得( −3 E − A) x = 0的同解方程组 x2 + 1 3 x3 = 0
它们对应的n个特征值为λ1 , λ2 , L , λn ,
即Aα i = λiα i ,令P = (α1 , α 2 ,L , α n )，则P可逆.
AP = A(α1 , α 2 ,L , α n ) = ( Aα1 , Aα 2 ,L , Aα n )
= (λ1α1 , λ2α 2 ,L , λnα n )
第二节
矩阵的相似对角化
本节重点： 本节重点：1、掌握相似矩阵的定义和性质 掌握矩阵可对角化的条件， 2、掌握矩阵可对角化的条件，并依此判断一个具体的矩阵 是否可相似对角化 3、掌握矩阵相似对角化的方法及应用
一、相似矩阵的定义和性质 1．定义 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P , 使
P −1 AP = B , 则称B是A的相似矩阵, 或称矩阵A与B相似.记作:A ~ B 由A到B = P −1 AP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵
4) 因为 可逆，故 P −1 , P 都可写成初等矩阵的乘积， 因为P可逆， 都可写成初等矩阵的乘积， 可逆 初等变换不改变矩阵的秩， 初等变换不改变矩阵的秩，所以r ( A) = r ( B ).
2
定理 2 n阶矩阵A, B , 若A ∼ B , 则 1）kA ∼ kB; 2） m ∼ B m ( m为正整数 ) ; A
ii）求出A的属于λ1 , λ2 , L , λn的n个线性无关的特征向量α1 , α 2 , L , α n
iii）P −1 AP = Λ，其中P = (α1 , α 2 ,L , α n ) ，Λ = diag(λ1 , λ2 ,L , λn ).
推论：如果 阶矩阵A 个特征值互不相等， 推论：如果n 阶矩阵 的n 个特征值互不相等， 则A与 与 对角阵相似． 对角阵相似． 的特征方程有重根， 如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 个线性无关的特征向量， 对角化，若此时存在n个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量， 对角化，若此时存在 个线性无关的特征向量， A 则可以对角化． 则可以对角化．