湖北省武汉市部分市级示范高中高三数学十月联考试题 文

2024年湖北云学部分重点高中联盟高三年级10月联考数学试卷（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年10月8日15：00-17：00时长：120分钟满分：150分一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}2log 1A xy x ==-∣，集合{}2xB y y -==∣，则A B ⋂=（）A.()0,1 B.()1,2 C.()1,∞+ D.()2,∞+2.若tan 2θ=，则sin cos2sin cos θθθθ=+（）A.65-B.25-C.25D.653.数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，若918S =且346,,a a a 成等比数列，则3a =（）A.13B.23C.53D.24.已知函数()()π3sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对任意的x ∈R ，都有()()30f x f x ++=成立，则ω的可能取值是（）A.π4B.π2C.π6D.π35.对于平面凸四边形ABCD ，若()()4,3,1,2AC BD ==，则四边形ABCD 的面积为（）A.52B.53C.2D.大小不确定6.已知函数()cos f x x ax =-在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.1,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B.3,2∞⎛- ⎝⎦C.1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D.3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎪⎣⎭7.在平面直角坐标系中，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F A 为双曲线右支上一点，连接1AF 交y 轴于点B ，若2AB AF =，且12AF AF ⊥，则双曲线的离心率为（）8.已知函数()1ln f x x a x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有两个极值点12,x x ，则()12f x x +的取值范围是（）A.30,ln24⎛⎫-⎪⎝⎭B.3ln2,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C.30,2ln22⎛⎫-⎪⎝⎭D.3ln2,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知事件,A B 发生的概率分别为()()11,23P A P B ==，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()23P A B +=B.若A 与B 相互独立，则()23P A B +=C.若()13P AB =，则A 与B 相互独立D.若B 发生时A 一定发生，则()16P AB =10.已知a b c >>，且20a b c ++=，则（）A.0,0a c >< B.2c aa c+<-C.0a c +> D.21a ca b+<-+11.设,αβ是锐角三角形的两个内角，且αβ>，则下列不等式中正确的有（）A.sin sin 1αβ+>B.tan tan 1αβ⋅<C.cos cos αβ+<D.()1tan tan 22αβαβ-->三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z 满足2i izz =-+，则z =__________.13.若()ππsin 3sin 63f x a x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，则实数a 的值为__________.14.在如图所示的直角梯形ABCD 中，AB ∥,1,2,.CD AB BC CD AB BC P ===⊥为梯形ABCD 内一动点，且1AP =，若AP AB AD λμ=+ ，则2μλ+的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2,1n S a =且()*12n n S S n n +=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()2log 1n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T .求2341111n T T T T ++++ .16.（15分）在ABC 中，三个内角A B C ､､所对的边分别为a b c ､､.设向量()()2,cos ,,cos m a c C n b B =-=，且m ∥n.（1）求角B 的大小；（2）设D 是边AC 上的一点，使得ABD 的面积是DBC 面积的2倍，且sin sin 14ABD DBC a c ∠∠+=，求线段BD 的长.17.（15分）已知,a b 为实数，函数()e 1xf x ax b =-+-（其中e 2.71828= 是自然对数的底数）.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意的(),0x f x ∈≥R 佰成立，求a b +的最小值.18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，1,AD AC BC AP PA ====⊥底面ABCD ，90CAD ACB ∠∠== ，平面PBC 与平面PAD 的交线为l .（1）求证：l ⊥平面PAC ；（2）设M 为PCD 内一动点，且79MC MD ⋅=- ，求线段PM 长度的最小值；（3）在（2）的条件下，当线段PM 的长最小时，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值.19.（17分）在信息论中，熵（entropy ）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X 的所有取值为()()*1,2,3,,,i n n P X i p ∈==N ，定义信息熵：()12211(),,,log ,1,1,2,,nnn n i i i i i H X H p p p p p p i n====-==∑∑ （1）若2n =，且12p p =，求随机变量X 的信息熵；（2）若121111,,2,2,3,,222k k n n p p p p k n +=+=== ，求随机变量X 的信息熵；（3）设X 和Y 是两个独立的随机变量，求证：()()()H XY H X H Y =+.参考答案：题号1234567891011答案CA DA DABBABABDAD12.312-13.314.96.解析：4,PA PB PC PQ ===⊥ 面ABC 且Q 是ABC 外心，222464π232,(23)4,,4π33PQ QA QB QC R R R S R ====-+====7.解析：四边形ACBM 面积21||12S MC AB MA AC MC ==⋅=-，222||1121||MC AB MC MC -==-，()()()222222||(1)e ,(1)e ,212e x x x MC x f x x f x x =-+=--+'+=单增，又()()2min min min 00,()02,|2,|2f f x f MC AB ====='，2min2ππ22S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭8.解析：11223311,11,11x x x x x x =+≥=+≥=+≥'''，则1233,4,.15x x x ++=⋯⋯'''，所以有22232232314331415C C C C C C C 455++⋯⋯+=++⋯⋯+==9.解析：函数()sin f x x x =的定义域为R ，有()()()()sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=∣，即函数()f x 是偶函数，又()()()()πsin ππsin f x x x x x f x +=+++=+=，则π是函数()f x 的一个周期，也是最小正周期，A 正确当π02x ≤≤时，()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，显然函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，π02x -≤≤时，由偶函数的性质知，函数()f x 在ππ,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上递增，在π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，即当π02x ≤≤时max min ππ()2,()162f x f f x f ⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值集合为[]1,2，从而函数()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值集合为[]1,2，即在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2，因此函数()f x 在R 上的值域为[]1,2，B 正确；如图：()f x 不关于直线π6x =对称，所以不关于直线7π6x =对称，故C 错()f x 在5ππ,62⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调性同ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦，所以递减，故D 对.11.解析：对()()2221fx f x =+两边求导得()()()422f x f x f x ''=即()()()22f x g x g x =，故A 对()()()22210,21g x f x f x =-≥≥，即恒成立，()()()()212001,01,02f f f f =+==-（舍），故B 错.()g x 是奇函数，()f x 是偶函数，()()()1,1,f x g x g x ≥'≥为增函数，()f x '为增函数，又()00f '=，故C 错.()()36x F x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()()221122x x F x g x f x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭'，()()()F x f x x g x x -'=='-'为增函数，()()()()()()00,00,00F x F F x F F x F '>'=>=>'='，故D 对.14.解析：如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.设π,02BAQ ∠θθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，则π2ABQ ∠θ=-.过A 作AC 垂直内侧墙壁于C ，B 作BD 垂直内侧墙壁于D ，则π3,,2AC BD CPA BAQ DPB ABQ ∠∠θ∠∠θ======-.在直角三角形ACP 中，sin sin ACCPA AP∠θ==，所以3sin sin AC AP θθ==.同理：3πcos sin 2BD BP θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以33π,0sin cos 2AB AP BP U θθ⎛⎫=+=+<< ⎪⎝⎭.因为333sin cos AB θθ=+≥⨯（当且仅当sin cos θθ=且π4θ=时等号成立）.所以AB ≥.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为9m ===15.解析：（1）在ABCD 中，π2,4AB BC ABC ∠===，由余弦定理得2222cos 2AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⋅=，则222AB AC BC +=，有AB AC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF ⋂平面ABCD AC =，,AF AC AF ⊥⊂平面ACEF ，则AF ⊥平面ABCD ，直线,,AB AC AF 两两垂直，以点A 为原点，直线,,AB AC AF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则())()0,0,0,,A BC ，()()(),,0,0,1D E F设()0,,1,0M t t ≤≤则()),AE DM t ==，由AE DM ⊥，得10AE DM t ⋅=+=，解得2t =，即12FM FE =，所以当AE DM ⊥时，点M 为线段EF 的中点.（2）由（1）可得(),1,2BM BC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设平面MBC 的法向量为(),,m x y z =，则02m BM y z mBC ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取2y =，得(m = ，平面ECD 的法向量为()0,1,0n =，设平面MBC 与平面ECD 的夹角为θ，则cos cos ,5m n m n m nθ⋅=<>==，所以平面MBC 与平面ECD 的夹角的余弦值为105.16.解析：（1）易知函数()()0e x axf x a =≠的定义域为R .所以()()1e xa x f x -='，当0a >时，由()0f x '>，得1x <，由()0f x '<，得1x >.所以()f x 的单调增区间为(),1∞-，单调减区间为()1,∞+；当0a <时，由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得1x <.所以()f x 的单调增区间为()1,∞+，单调减区间为(),1∞-.（2）()ln 1xf x x mx ++≤即31ln e x x x m x x≥++在()0,x ∞∈+上恒成立，令()31ln e x x xh x x x=++，易知函数()h x 的定义域为()0,∞+.所以()()2222313e 3e 11ln ln .e e x x x xx x x xh x x x x'---=-+=-当01x <<时，()231ln 0,0e x x x x -><，故()0h x '>；（11分）当1x >时，()231ln 0,0e x x x x -<>，故()0h x '<.（13分）所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以1x =时，()h x 在()0,∞+上取得最大值()311e h =+.所以31e m ≥+，所以实数m 的取值范围是31,e ∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭.17.解析：（1）由m n‖可得，()()()sin sin sin b a A b c B C -=+-，由正弦定理该式化为()()()b a a b c b c -=+-，整理得：222b ac ab +-=，即：222122b ac ab +-=，即1cos 2C =，因为C 为三角形的内角，所以π3C =.（2）令CD x = ，由题意：2CD CA CB =+，平方得：2224x b a ab =++，由正弦定理sin sin sin 3a b C A B C ===，则：sin ,33a Ab B ==，代入上式得：2224444sin sin sin sin 333x B A A B=++⋅2242π442πsin sin sin sin 33333A A A A ⎛⎫⎛⎫=-++⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4π1cos 2441cos242π3sin sin 323233A A A A ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎝⎭=⋅++⋅ ⎪⎝⎭42π5cos 2333A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为三角形是锐角三角形，所以π0πππ2ππ222ππ62333032A A A A ⎧<<⎪⎪⇒<<⇒-<-<⎨⎪<-<⎪⎩，2π142π57cos 2,1,cos 2,3323333A A ⎛⎫⎛⎤⎛⎫⎛⎤∴-∈∴-+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎥⎝⎭⎝⎦⎝⎭⎝⎦，即274,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，,62x ⎛∴∈ ⎝⎦，因此，CD的取值范围为,62⎛ ⎝⎦.18.解析：（1）由题意，有2233a b a c ⎧=⋅⎪⎨⎪+=⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩221143x y +=（2）设过点R 的切线方程为()()122y k x kx k =-+=+-()222222(2)y k x k k x k =+-+-联立2234120x y +-=，有()()22243824(2)120k x k k x k ++-+--=由于想切，令Δ0=，()(222224(2)43,(2)343k k k k k -=+--+()223433(2)k k +=-23410k k +-=即求得1213k k =-（3）设()()000,0,R x y y RK >延长线交x 轴于K '点，P Q ､两点处切线斜率分别是1k 和2k ，有0022x IK AK JK BK x +=='-'，设椭圆上P 或Q 两点切线方程为()00y k x x y =-+联立有，()()000022143y k x x y kx kx y x y ⎧=-+=--⎪⎨+=⎪⎩()()()22200004384120k x k kx y x kx y +--+--=()()()22220000Δ0,64443412k kx y k kx y ⎡⎤=-=+--⎣⎦有()22200004230x k x y k y --+-=20001212220023,44x y y k k k k x x -+==--()()10020022I J y k x y y k x y ⎧=--+⎪⎨=-+⎪⎩要证明IK AI JK BJ=，需证明()()100002002222k x y x x k x y --++=--+即要证()()()()22200010004242k x y x k x y x -++=-+-，()()212001042k k x y k k x ++=+()()21200042k k x x y +-=其中，00122024x y k k x +=-显然，即证IK AI JK BJ=（17分）19.（1）①()()(),1,,1,,3a c c ②处于位置(),3c 时，得3分，21124⎛⎫= ⎪⎝⎭，处于位置(),1a 时，得1分，21124⎛⎫= ⎪⎝⎭，处于位置(),1c 时，得分1分，211222⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以最终得分的分布列为：得分X 的期望()31313 1.5442E X =⨯+⨯==.X13P 3414（2）将棋盘按如图所示编号：123456789123456789将棋子可以去的区域用箭头连接起来，如从3可以连接4或8，记做：438--；从8可以连接3或1，记做：381--；然后将他们串联起来：4381---.依次类推，可以串联出环状回路：438167294----------，如下图所示：则棋子等价于在这个环状回路中运动，问题（2）可以转化为将两个棋子放在环形回路中的3号､7号位置，每回合3号､7号棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率各为14为了转化问题，现规定d =“两棋子之间的最短节点数”，例如：特别规定两棋子重合时，0d =.并统计四种运动模式下d 会如何改变假设3号棋子顺时针走过x 个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过y 个节点也可以与之重合.为了简化问题，不妨假设x y ≤，于是有下表：（顺，顺）（顺，逆）（逆，顺）（逆，逆）d =0d =1d =1d =0d =1d =1d =0d =3d =1d =3d =3d =1d =1d =3d =设n p =“n 回合后，0d =的概率”，n q =“n 回合后，1d =的概率”，n R =“n 回合后，3d =的概率”，则有111111111241111,22221142n n n n n n n n n n p p q q p q R R q R -------⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩1111111,28424n n n n p p p p --⎛⎫∴=+-=- ⎪⎝⎭显然，11110,44p p =-=-，所以1111442n n p -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，所以解得：11142n n p +=-.。

武汉市部分学校十月联考数学试卷一．选择题（每小题3分，共30分）1、下列计算正确的是（ ） A 、532=+ B 、2222=+Ｃ、353233=+ D 、942188+=+ 2、若函数1-=x y 在实数范围内有意义，则x 的取值范围为（ ）A 、x ＞1B 、 x ≥1 Ｃ、x ≠1 D 、x ≥0且x ≠1 3、如果2(1)10x +-=，则x 的值为（ ） A 、±1B 、±2C 、0或2D 、0或-24、若关于x 的方程240x x m -+=有一根为1，则m 的值为（ ） A 、－1 B 、3 C 、－3 D 、以上都不对 5、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A 、平行四边形 B 、等边三角形 Ｃ、等腰梯形 D 、圆 6、把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少 为（ ）时，旋转后的五角星能与自身重合A 、300B 、450C 、600D 、7207、已知关于x 的方程mx ²—(2m —2）x+m=0有实数根，则m 的取值范围是（ )A m ≥½B m ≤½C m ≥½且m ≠0D m ≤½且m ≠08、神龙架旅游产业发展良好，2008年为640万元，2010年为1000万元，2011年增长率与2008年至2010年年平均增长率相同，则2011年旅游收入为（ ） A 、1200万元 B 、1250万元 C 、1500万元 D 、1000万元9、如图，在等腰Rt △ABC 的斜边上取两点M , N ，使∠MCN=45°，记AM=m ，BN=n ，则以线段x ，m ，n 为边长的三角形的形状是( )A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、随x ，m ，n 值变化AC B MN xmn10、如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于X 轴，Y 轴，若双曲线xky =(k ≠0)与ΔABC 有交点，则k 的取值范围是（ ） A 、1<k<2 B 、1≤k ≤3 C 、1≤k ≤4 D 、1≤k<4二．填空题（每小题3分，共18分） 11、已知31=+x x ,则xx 1+的值为 12、在下图中每个正方形都是由边长为1的小正 方形组成，依此规律，第6个图案中所有黑色 的小正方形的周长和为13 、一块铁皮长30cm,宽20cm,在它的四角各截去一个正方形，再把四边折起来，做成一个无盖的盒子。

湖北武汉中学2021届高三10月月考数学〔文〕试题考生注意：说明：本试卷总分值150分；答题时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、、班级、考号填写在答题纸密封线内相应位置．选择题每题选出答案后，请将答案填在答题卡中相应位置，非选择题答案写在答题纸指定位置，不能答在试题卷上，考试结束后，将答题纸交回，一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项 符合题目要求的． 1．“α是锐角〞是“cos α= A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．点(1,1),(2,),(1,2),//A B y a AB a -=点向量若，那么实数y 的值为A ．5B ．6C ．7D ．83．设等比数列25{},80n n a n S a a +=的前项和为若，那么以下式子中数值不能确定的是A ．53a a B ．53S S C ．1n na a + D ．1n nS S + 4．黑板上有一道解答正确的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一局部擦去了，现在只能看到：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为n 、6、c ，a=2，…，解得b =据以上信息，你以为下面哪个选项可以作为这个习题的其余条件A ．A=30°，B=45°B ．11,cos 3c C ==C ．B=60°，c=3D ．C=75°，A=45°5．函数()f x 的局部图象如以下列图，那么()f x 的解析式可能为 A ．()2sin()26xf x π=-B．())4f x x π=+C ．()2cos()23x f x π=- D ．()2sin(4)6f x x π=+6．α、β均为锐角，且cos sin tan ,tan()cos sin ααβαβαα-=++则的值为A ．—1B ．1C D ．不存在7．实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且函数ln(2),y x x x b =+-=当时取到极大值c ，那么ad 等于 A ．—1B ．0C ．1D ．28．数列{},{}n n n a n S a 的前项和是若数列的向假设按如下规律排列：11212312341,,,,,,,,,,,,23344455556假设存在正整数k ，使110,10,k k k S S a +<≥则=A ．17B ．67C ．57D ．379．()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数,a b R ∈满足**(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n n f f f a b af b bf a f a n N b n N n ⋅=+==∈=∈ 考察以下结论：①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列。

2023—2024学年湖北省武汉市部分高中高三上学期10月联考数学试卷一、单选题1. 已知集合，则（）A．B．C．D．2. 已知复数满足，则的虚部为（）A．B．C．D．3. 在中，，则（）A．B．C．D．24. 将函数的图象向右平移个单位后，得到一个关于轴对称的图象，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．5. 在正项等比数列中，，则的最小值是（）A．12B．18C．24D．366. 如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．7. 北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（）A．B．C．D．8. 在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题9. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（）A．剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变B．C．剩下18个数据的分位数大于原样本数据的分位数D．10. 某高中一年级有3个班级，（1）班、（2）班、（3）班的学生人数之比为.在某次数学考试中，（1）班的及格率为，（2）班的及格率为，（3）班的及格率为，从该校随机抽取一名高一学生.记事件“该学生本次数学为试及格”，事件“该学生在高一（i）班”，则（）A．B．与均不相互独立C．D．若从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率最大11. 已知函数定义域为，且的图象关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（）A．为奇函数B．C．D．12. 在中，内角的对边分别为，则下列说法中正确的有（）A．若，则面积的最大值为B．若，则面积的最大值为C．若角的内角平分线交于点，且，则面积的最大值为3D．若为的中点，且，则面积的最大值为三、填空题13. 写出一个满足条件“函数的图象与坐标轴没有交点，且关于轴对称”的幂函数： ________ .14. 的展开式中含项的系数为 ________ .15. 在等比数列中，，则________ .16. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为 ________ ．四、解答题17. 数列的满足，，．(1)求数列的通项公式；(2)将数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求数列的前50项和．18. 在中，内角的对边分别为.(1)求角的大小；(2) 为边上一点，，求边的长.19. 如图1，为等边三角形，边长为4，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图2.(1)设平面与平面的交线为，证明：平面；(2)求二面角的余弦值.20. 2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解亚运会项目”，“学生为女生”，据统计，(1)根据已知条件，填写下列列联表，并依据的独立性检验，能否推断该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关？了解不了解合计(2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解亚运会项目的学生的人数为，求使得取得最大值时的值.附：.0.0500.0100.0013.84121. 已知函数，其中.(1)讨论函数的单调区间；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.22. 设抛物线的焦点为上点满足.(1)求抛物线的方程；(2)已知正方形有三个顶点在抛物线上，求该正方形面积的最小值.。

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.【解析】因为图中阴影部分表示的集合为，由题意可知{}{}02,1A x x B x x =<<=<，所以{}{}021x x x x =<<≥，故选 2.【解析】依题意得，当时，()3c o s 30f x x ππ'=-<-<，函数是减函数，此时()()03s i n 000f x f π<=-⨯=，即有恒成立，因此命题是真命题，应是“()000,,02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭”.综上所述，应选 3.【解析】由()()()()224f x f x f x f x -=+⇒=+，因为，所以，，所以 ()()()22224log 20log 2044log 20log 15f f f f ⎛⎫=-=--=-=- ⎪⎝⎭.故选 4. 【解析】由题意知，代入回归直线方程得，故选 5.【解析】tan 11tan 41tan 2πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，，，，则22sin sin cos 2sin sin 2cos 42αααααπα++=⎛⎫-⎪⎝⎭105⎛=-=- ⎝⎭，故选 6.【解析】因为，则函数即图象的对称轴为，故可排除；由选项的图象可知，当时，，故函数()323a f x x ax cx =++在上单调递增，但图象中函数在上不具有单调性，故排除本题应选 7. 【解析】依题意得，故，所以sin 2sin 108842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， sin 2444f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称.故选8.【解析】过点作于点，在中，易知， 梯形的面积()115221122S =++⨯=,扇形的面积221244S ππ=⨯⨯=，则丹顶鹤生还的概率12152415102S S P S ππ--===-，故选 9. 【解析】由()()cos sin 0f x x f x x '+>知()0cos f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以在上是增函数，所以，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，得，所以不正确；易知，即()03cos 0cos 3f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，得，所以不正确；易知，即()04cos 0cos 4f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，得，所以不正确；易知，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以正确.故选 10.【解析】因为，依题意，得()()()00,1230,24120,f c f b c f b c '=>⎧⎪'=++<⎨⎪'=++>⎩则点所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中，，.()22132T b c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭表示点到点的距离的平方，因为点到直线的距离d ==，又()22214.563252PA ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭，所以，故选二、填空题：（7题，每题5分）11. 11【解析】由2201520140x x -+<，解得，故.由，解得，故.由，可得，因为101121024,22048==，所以整数的最小值为11.12. 【解析】由于()()13134x x x x ++-≥+--=，则有，即，解得，故实数的取值范围是.13.（1）0.0125；（2）72【解析】（1）由频率分布直方图知()201200.0250.00650.0030.003x =-⨯+++，解得.（2）上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有名学生可以申请住宿.14.【解析】()sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，平移后得到函数 ，则由题意得,,66t k t k k Z ππππ+==-∈，因为，所以的最小值为.15.1 【解析】由题意得()()()222cos sin 2cos sin 12cos sin sin x x x x x y x x''----'==，在点处的切线的斜率1212cos2 1.sin 2k ππ-==又该切线与直线垂直，直线的斜率，由，解得16.【解析】若命题为真，则216402a a ∆=-<⇒>或.若命题为真，因为，所以.因为对于，不等式恒成立，只需满足，解得或.命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假.①当真假时，可得22,2616a a a a ><-⎧⇒<<⎨-<<⎩或；②当时，可得22,2116a a a a -≤≤⎧⇒-≤≤-⎨≤-≥⎩或. 综合①②可得的取值范围是.17.【解析】由，解得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故该函数的最小值为()ln2ln 22ln 222ln 2.f e a a =-+=-+因为该函数有零点，所以，即，解得故的取值范围是.三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.【解析】（1）2)6cos()6sin(3)(++++=ππx x x f +2…2分+2………………4分 =1 ……………………………………………………… 6分（2）………………… 7分13sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx …………………8分 从而当时，即时…………………………………… 10分而当时，即时…………………12分19.【解析】（1）根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分平均数的估计值为：(82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.02)5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ …………………………6分（2）从图中可知，体能测试成绩在的人数为（人），分别记为；体能测试成绩在人数为（辆），分别记为，从这人中随机抽取两人共有种情况：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B ，，，，，，，.……………………9分抽出的人中体能测试成绩在的情况有共6种，………………………………………………………１１分故所求事件的概率.…………………………………12分20.【解析】（1）∵，，∴，∴ a x a x x f 3)1(323)(2++-=' ……………………………………1分∵ ∴∴ ……………………2分∴，显然在附近符号不同，∴是函数的一个极值点 ………………………………………3分∴ 即为所求 ………………………………………………………4分（2）∵，，∴，若函数在不单调， 则03)1(323)(2=++-='a x a x x f 应有二不等根 …………………………5分∴ 036)1(122>-+=∆a a ∴ ……………………………7分∴或………………………………… ……………8分（3）∵，∴x x x x x m x f 33-3)()(32-=+=，∴，设切点，则纵坐标，又，∴ 切线的斜率为1253)1(3003020-+-=-x x x x ，得……10分设，∴由0，得或，∴在上为增函数，在上为减函数，∴ 函数的极大值点为，极小值点为，∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=021)1(021)0(g g ∴ 函数有三个零点 ……………12分 ∴ 方程有三个实根∴ 过点可作曲线三条切线 ……………………………13分21.【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，sin 9sin309sin 510AC BCA ABC AB ∠︒∠===.………………………………7分 （Ⅱ）∵，∴， 9sin sin(180)sin 10BAD ABC ABC ∠=︒-∠=∠=， 在中，由正弦定理，得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠， ∴95sin sin AB BAD BD ADB⨯∠===∠分 22.【解析】（Ⅰ）=1﹣x+lnx ，求导得：，由，得.当时，；当时，.所以，函数在上是增函数，在上是减函数.…………5分(Ⅱ) 令2)1(ln 2ln )(2)()(++-=-+-=-+-=x m x mx x x x g x x G x h 则因为，所以，由得当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数. 所以，在上的最大值为()1()1ln 101h m m=-+?+，解得 所以当时恒成立. ………………………10分 （Ⅲ）由题意知， .由（Ⅰ）知()ln 1(1)f x x x f =-+?，即有不等式. 于是 l n 21221b a a a a a =++?++=+ 即 ………14分。

高三数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合，逻辑，函数，导数，不等式，数列，向量，三角函数（不含解三角形）.一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复数2i1i z =-+，则其共轭复数z =（）A.2i +B.2i- C.12i+ D.12i-【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算法则、共轭复数的定义运算即可得解.【详解】解：由题意：()()()21i 2i=i=12i 1i 1i 1i z -=---++-，∴由共轭复数的定义得12i z =+.故选：C.2.已知全集U =R ，{}223A x x x =+<，20x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则()U A B = ð（）A.{}30x x -<< B.{}30x x -<≤ C.{}32x x -<< D.{}01x x ≤<【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合,A B ，再利用补集、交集的定义求解作答.【详解】解不等式223x x +<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，即{|31}A x x =-<<，解不等式20x x-≤，得02x <≤，即{|02}B x x =<≤，{|0U B x x =≤ð或2}x >，所以(){}30U A B x x ⋂=-<≤ð.故选：B3.命题“()1,2x ∀∈，20x a ->”为真命题的一个必要不充分条件是（）A.1a ≤B.1a <C.a<0D.2a <【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合恒成立问题可知1a ≤，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断.【详解】因为20x a ->，即2x a >，且()1,2x ∈，则()21,4x ∈，由题意可得1a ≤，选项中只有选项D 满足{}|1a a ≤是{}|2a a <的真子集，所以命题“()1,2x ∀∈，20x a ->”为真命题的一个必要不充分条件是2a <.故选：D.4.如图所示，向量OA a = ，OB b = ，OC c =，,,A B C 在一条直线上，且2AB CB =- ，则（）A.1433c a b=-+B.1322c a b=-+C.5322c a b=-D.3122c a b=-【答案】B 【解析】【分析】根据向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：()33132222=+=+=+-=-+uuu r uu r uuu r uu r uu u r uu r uu u r uu r uu r uuu r OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB ，即1322c a b =-+ .故选：B.5.已知曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，则k 的值为（）A.4B.2C.3- D.6-【答案】B 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线斜率为12+k，结合垂直关系运算求解即可.【详解】因为11'=++k y x ，可得1|12='=+x k y ，即曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线斜率为12+k ，且直线20x y +=的斜率为12-，由题意可得：11122⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭k ，解得2k =.故选：B.6.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，当12x <<时，()2log 1f x x =+，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2log 3B.2log 31- C.2log 3- D.2log 31--【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得4为()f x 的周期，根据题意结合周期性运算求解.【详解】因为()()2f x f x +=-，则()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，可知4为()f x 的周期，且20231425322=⨯-，可得222023133log 1log 32222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f .故选：C.7.已知π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭-的结果是（）A.αB.αC.αD.α【答案】A 【解析】【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.【详解】因为πcos2sin4ααα⎛⎫===-=-⎪⎝⎭，且π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π4π,4α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，可得πsin04α⎛⎫->⎪⎝⎭，)π2sin sin cos4ααα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭；α=，且π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得cos0α<，α=；)sin cosαααα=-=.故选：A.8.已知向量()22sinm x x=，()cos,2n x=-，若关于x的方程12m n⋅=在()0,π上的两根为()1212,x x x x<，则()12sin x x-的值为（）A.14- B.4- C.12- D.2【答案】B【解析】【分析】利用数量积的坐标运算、正弦型函数的图象与性质、同角三角函数基本关系式运算即可得解.【详解】解：由题意，)22sin cos sin21cos2m n x x x x x⋅=-=-+1π12sin2cos22sin22232x x x⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可得：π1sin234x⎛⎫-=⎪⎝⎭，设()πsin23f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，()0,πx∈当0πx<<时，ππ5π2333x-<<-.且由ππ232x-=，得()f x在()0,π上的对称轴为5π12x=.∵方程12m n⋅=-()0,π上的两根为()1212,x x x x<，∴()11π1sin 234f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()22π1sin 234f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且由125π212x x +=得125π6x x +=，∴215π6x x =-.∴()12115ππsin sin 2cos 263x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵当0πx <<时，1π1sin 2034x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴1π203x ->，即有1π6x >.又∵12x x <，∴1π5π612x <<，则1ππ0232x <-<，∴由1π1sin 234x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：1πcos 234x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()12115ππsin sin 2cos 2634x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：B.【点睛】三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和求法：1.思路：函数()sin y A ωx φ=+图象的对称轴和对称中心可结合sin y x =图象的对称轴和对称中心求解.2.方法：利用整体代换的方法求解，令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈，可解得对称轴方程；令πx k ωϕ+=，Z k ∈，可解得对称中心横坐标，纵坐标为0.对于()cos y A x ωϕ=+、()tan y A x ωϕ=+，可利用类似方法求解（注意()tan y A x ωϕ=+的图象无对称轴）.二、多选题（本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求）9.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1432a a ⋅=，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A.数列246,,,S S S 是等比数列B.2q =C.6126S = D.数列(){}lg 2n S +是等差数列【答案】BCD 【解析】【分析】根据等比数列的性质得到231432a a a a ==，即可得到关于2a 和3a 方程组，结合条件解得1a 和q ，从而得到n S ，再逐一分析各个选项，即可求解.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，则231432a a a a ==，由23233212a a a a =⎧⎨+=⎩，解得：2348a a =⎧⎨=⎩或2384a a =⎧⎨=⎩，则322a q a ==或12，又q 为整数，所以2q =，且24a =，38a =，所以B 选项正确；又212a a q ==，所以()12122212n n n S +-==--，则32226S =-=，542230S =-=，7622126S =-=，所以C 选项正确；因为6424S S S S ≠，所以246,,,S S S 不是等比数列，所以A 选项错误；又有()()211lg 2lg 2lg 2lg 2211n n n n S S n n ++++-+=-=+--=，所以数列(){}lg 2n S +是公差为1的等差数列，所以D 选项正确；故选：BCD.10.已知实数x ，y ，z 满足23x =，34y =，45z =，则下列结论正确的是（）A.43y <B.2xyz > C.y z<D.x y +>【答案】BD 【解析】【分析】根据指数和对数的转化得到2log 3x =，3log 4y =，4log 5z =，对于A 选项，根据3443>即可判断；根据对数的换底公式得到2log 5xyz =，即可判断；对于C 选项，利用作差法和换底公式结合基本不等式即可判断；对于D 选项：根据基本不等式即可判断.【详解】因为23x =，34y =，45z =，所以2log 3x =，3log 4y =，4log 5z =，对于A 选项：因为3443>，则3433log 4log 3>，即33log 44>，所以34log 43y =>，故A 选项错误；对于B 选项：23422log 3log 4log 5log 5log 42xyz =⋅⋅=>=，故B 选项正确；对于C 选项：()234lg 4lg 3lg 5lg 4lg 5log 4log 5lg 3lg 4lg 3lg 4y z --=-=-=，因为0lg3lg 4lg5<<<，所以22lg 3lg 5lg15lg 3lg 522+⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()22522lg 4lg16lg15lg 4222⎛⎫⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2lg 4lg 3lg 50->，即0y z ->，所以y z >，故C 选项错误；对于D 选项：因为2log 31x =>，3log 41y =>，所以23log 3log 4x y +=+>==，故D 选项正确；故选：BD.11.函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π<ϕ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.2π3ϕ=-B.函数()f x 的零点为ππ,032k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z C.若()()124f x f x ⋅=，则12π2k x x -=，k ∈ZD.若00π37π232122x x f f ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎝⎭⎝⎭，则0sin 13x =【答案】ACD 【解析】【分析】根据正弦函数的图象与性质求得A 和ω，代入点7π,212⎛⎫⎪⎝⎭，求得ϕ，从而得到()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦的函数的性质判断ABC 选项，对于D 选项：利用三角恒等变换得到()0x θ+=，其中3tan 2θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再结合同角三角函数关系即可求解.【详解】对A ：由函数图象得2A =，且函数()f x 的周期T 满足：37ππ3π41264T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，解得：2ω=，即()()2sin 2f x x ϕ=+，代入点7π,212⎛⎫⎪⎝⎭得：7ππ22π122k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，解得：2π2π,3k k ϕ∈=-+Z ，又π<ϕ，所以2π3ϕ=-，故A 选项正确；则()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对B ：令()0f x =，得2π2π3x k -=，k ∈Z ，解得：ππ32k x =+，k ∈Z ，所以函数()f x 的零点为ππ32k x =+，k ∈Z ，故B 选项错误；对C ：因为()[]2π2sin 22,23f x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，又()()124f x f x ⋅=，即()12f x =，且()22f x =，则21π22T k x x k -=⋅=，k ∈Z ，所以C 选项正确；对D ：又00π37π232122x x f f ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎝⎭⎝⎭，即00π2π37π2π2sin 22sin 223321223x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⨯--=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则0000π2sin 3sin 2sin 3cos 2x x x x ⎛⎫+--=+= ⎪⎝⎭()0x θ+=，其中3tan 2θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故213cos 13θ=，所以0π2π2x k θ+=+，k ∈Z ，即0π2π2x k θ=+-，k ∈Z ，则0π213sin sin 2πcos 213x k θθ⎛⎫=+-==⎪⎝⎭，所以D 选项正确；故选：ACD.12.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()11nn n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和n T 满足22n T tn n >-对任意*n ∈N 恒成立，则下列命题正确的是（）A.21n a n =-B.当n 为奇数时，2322n T n n =-+-C.2284n T n n =+ D.t 的取值范围为(),2-∞-【答案】AC 【解析】【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥可判断A ；求出n b ，分n 为奇数、n 为偶数，求出n T 可判断BC ；分n 为奇数、为偶数，利用22n T tn n >-分离t ，再求最值可判断D.【详解】当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，适合上式，所以21n a n =-，故A 正确；所以()()()()1122111nnn n n b n a a n +=---+=，当n 为奇数时，123n nT b b b b =++++ ()()()()1335577923212121n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯++----+ ()()2437112341n n =⨯++++---⎡⎤⎣⎦()2323144122n n n +--=⨯⨯--2221n n =--+，故B 错误；当n 为偶数时，123n nT b b b b =++++ ()()()()1335577923212121n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯+---+-+ ()4371121n =⨯++++-⎡⎤⎣⎦ 321422n n+-=⨯⨯()22222n n n n =+=+，所以()()222222284n T n n n n =+=+，故C 正确；当n 为奇数时，n T =2221n n --+，若22n T tn n >-，则222212tn n n n ->-+-，即2222112-+=-+<t n n n，所以2min 12t n ⎛⎫<-+⎪⎝⎭，而2122n-+>-，即(],2t ∞∈--；当n 为偶数时，则22n T tn n >-得22222>-+n tn n n ，即2442+=+<t n n n ，而422n+>，即(],2t ∞∈-，综上所述，(],2t ∞∈--，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是分类讨论、分离参数求最值．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知平面向量()1,2a =-r ，()3,4b = ，那么b 在a上的投影向量坐标为______.【答案】()1,2-【解析】【分析】利用向量的运算和投影向量的计算公式即可.【详解】()3,4b =，所以5b == ，同理可得：a ==且13245a b =⨯-⨯=-r r g，·cos ,5a b a b a b==-，b 在a上的投影向量为：()cos ,1,2a b a b a a⨯⨯=-=- 故答案为：()1,2-14.已知函数()21e 12xf x ax =+-在()0,∞+上是增函数，则a 的最小值是______.【答案】e -【解析】【分析】由于()21e 12xf x ax =+-在()0,∞+上是增函数，则()e 0x f x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，可得以()e 0xf x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，即e x a x ≥-在()0,∞+上恒成立，令()e x h x x =-，求导确定单调性即可得最值从而可得a 的取值范围，即可得所求.【详解】因为函数()21e 12x f x ax =+-在()0,∞+上是增函数，所以()e 0xf x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，即e xa x≥-在()0,∞+上恒成立，令()e xh x x =-，()0,x ∈+∞，则()()2e 1x x h x x=-'-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，函数()h x 递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 递减，则()()max 1e h x h ==-，故e a -≥，所以a 的最小值是e -.故答案为：e -.15.购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则______种购物策略比较经济.【答案】乙【解析】【分析】设第一次和第二次购物时价格分别为12,p p ，每次购n kg ，根据条件，求得按甲策略购买的平均价格x ，若按第二种策略，设每次花钱m 元钱，则可求得按乙策略购买的平均价格y ，利用作差法，即可比较x ，y 的大小，进而可求得答案.【详解】设第一次和第二次购物时价格分别为12,p p ，按甲策略，每次购n kg ，按这种策略购物时，两次的平均价格121222p n p n p p x n ++==，按乙策略，第一次花m 元钱，能购物1kg m p 物品，第二次仍花m 元钱，能购物2kg m p 物品，两次购物的平均价格121222=11++m y m m p p p p =，比较两次购物的平均价格1212121212221122+p p p p p p x y p p p p ++-=-=-+221212121212()4()02()2()p p p p p p p p p p +--==≥++，因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，故答案为：乙.16.已知函数()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩若关于x 的方程()1f x a x =-，a ∈R 有4个不同的实数根，则a 的取值范围为______.【答案】(](61,3- 【解析】【分析】作出()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩与()1f x a x =-的图象，即可判断【详解】作出()2222ln ,1ln ,01ln ,0,43,1043,0,43,3143,3x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x ⎧>⎧⎪⎪-<≤⎪⎪>⎪⎪==++-<<⎨⎨++≤⎪⎪----≤≤-⎪⎪++<-⎪⎪⎩⎩的图象，因为,11,1ax a x y a x a ax x ->⎧=-=⎨-≤⎩的图象是过定点(1,0)，并且是绕着该点旋转的两条关于1x =对称的的射线.当0a =时，1y a x =-为x 轴，两函数图象只有3个交点，不符合题意.当a<0时，1y a x =-的是两条向下的射线，两图象只有1个交点，不符合题意.故0a >，先考虑[1,)+∞时两图象的交点情形，当1a =时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩,与|ln |y x =刚好只交于(1,0)点.证明如下：当1x ≥时，在点(1,0)处，由ln y x =，故1y x '=，令1x =，则1k =，所以切线方程为：1y x =-；当01x <≤时，在点(1,0)处，由ln y x =-，故1y x'=-，令1x =，则1k =-，所以切线方程为：1y x =-；所以当1a =时在(0,)+∞，两图象只有一个交点，此时考虑(,0)x ∈-∞，当3x <-，两函数图象必有一个交点，当0x =时，21|01|0403-<+⋅+，所以两函数图象在(1,0)-有一个交点，当31x -≤≤时，联立得221,340,Δ916043y x x x y x x =-⎧∴++==-<⎨=---⎩，无解，所以没有交点；所以当1a =时，只有3个交点，不合题意.当1a >时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩，两射线更加陡峭，两函数图象在1x >时，没有交点，在(0,1)有一个交点，则在(0,)+∞有两个交点，另外两个交点要在(,0)-∞取得，当2|01|0403a -<+⋅+，即3a ≤时，在(1,0)-和(,3)-∞-各一个交点；故在(1,3]a ∈时，两图象有4个交点.当1a <时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩，两射线趋于平缓，则两函数图象在(1,)+∞有一个交点，在(0,1)没有交点，则在(0,)+∞有2个交点，另两个必须在(,0)-∞取得，若y a ax =-与243y x x =---相切，则联立得222,(4)(3)0,Δ(4)4(3)043y a ax x a x a a a y x x =-⎧∴+-++==--+=⎨=---⎩，21240,642,1,642a a a a a ∴-+=∴=±<∴=- ；此时两函数图象在(,0)-∞有三个公共点.所以在6421a -<<时，两函数图象在(0,)+∞有2个交点，在(,0)-∞也有2个公共点，符合题意；当0642a <<-，两函数图象在(0,)+∞有2个交点，在(,0)-∞也有3个公共点，不符合题意；综上所述，a 的取值范围为(](642,1)1,3- .故答案为：(](642,1)1,3-四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数()3f x ax bx =+在1x =处有极值2.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[]2,3-上的最值.【答案】（1）1a =-，3b =（2）最小值是18-，最大值是2.【解析】【分析】（1）利用极值和极值点列方程求解即可；（2）根据导数求出函数的单调区间，然后比较极值和端点处函数值的大小即可.【小问1详解】()3f x ax bx =+，()23f x ax b '=+.∵函数()3f x ax bx =+在1x =处取得极值2，∴()12f a b =+=，()130f a b '=+=，解得1a =-，3b =，∴()33f x x x =-+，经验证在1x =处取得极大值2，故1a =-，3b =.【小问2详解】()()()311f x x x '=-+-，令()0f x ¢>，解得11x -<<，令()0f x '<，解得1x >或1x <-，因此()f x 在[)2,1--上单调递减，在()1,1-上单调递增，在(]1,3上单调递减，()()3181f f =-<-，故函数()f x 的最小值是18-，()()221f f -==，故函数()f x 的最大值是2.18.设函数()()π2πcos 12f x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的值域和单调递增区间；（2）当()135f α=，且π2π63α<<时，求cos 2α的值.【答案】（1）[]51,32,266k k ππππ⎡⎤--++⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z .（2）750-【解析】【分析】（1）根据辅助角公式和三角函数的图象与性质即可得到答案；（2）代入得4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再求出3cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式即可得到答案.【小问1详解】()πsin 12sin 13f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域是[]1,3-.令πππ2π2π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，解得5ππ2π2π66k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .【小问2详解】由()π132sin 135f αα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π2π63α<<，所以πππ23α<+<，所以π3cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2πππ4324sin 22sin cos 23335525ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⨯⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以222ππ37cos 22cos 12133525αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2π2π2π12π7cos 2cos 2cos 2sin 233323250αααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+⨯-++⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦19.已知0a >且1a ≠，函数()x x x x a a f x b a a---=++在R 上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 为奇函数；②()315f =-；③()315f -=-.（1）从中选择的两个条件的序号为______，依所选择的条件求得=a ______，b =______.（2）在（1）的情况下，关于x 的方程()4xf x m =-在[]1,1x ∈-上有两个不等实根，求m 的取值范围.【答案】（1）选择①②，12a =，0b =（2）172,20⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）通过单调性分析可知一定满足①②，进而结合奇偶性和()315f =-列方程求解即可；（2）参变分离可得()241241x x m =++-+，[]1,1x ∈-，41x r =+，换元转化为22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，进而结合对勾函数的单调性求解即可.【小问1详解】因为()x xx xa a f xb a a ---=++在R 上是单调递减函数，故②()315f =-，③()315f -=-不会同时成立，故函数一定满足①函数()f x 为奇函数.因为函数的定义域为R ，所以()00f =，则()10f <，()10f ->，故一定满足②.选择①②，()()0x x x xx x x x a a a a f x f x b b a a a a-------+=+++=++，即0b =，而()11315a a fb a a ---=+=-+，解得12a =.【小问2详解】由（1）可得()111422141122x xx x x x f x --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝=⎝⎭⎭，由()4x f x m =-，则14414x x x m -=-+，即()14244121441x x x x x m -=+=++-++，令41x r =+，因为[]1,1x ∈-，所以5,54r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，显然，函数()22g t t t =+-在54⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，所以()min 2g t g==，又517420g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1755g =，要使22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，则17220m -<≤，所以m的取值范围是172,20⎛⎤- ⎥⎝⎦.20.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，a =，2b =，且cos sin 3a C c A b +=.（1）求ABC ∠的正弦值；（2）BC ，AC 边上的两条中线AD ，BE 相交于点G ，求DGE ∠的余弦值.【答案】（1）7（2）266-【解析】【分析】（1）运用正弦定理对cos sin 3a C c Ab +=进行转化，得出角A ，再由正弦定理解出ABC ∠的正弦值；（2）运用余弦定理以及向量知识求出c 、BE 、AD 的值，根据题意得到G 为重心，从而得出AG 、BG ，进而得出DGE ∠的余弦值.【小问1详解】解：因为3cos sin 3a C c Ab +=，由正弦定理可得，sin cos sin sin sin 3A C C A B +=，即sin cos sin sin sin cos cos sin 3A C C A A C A C +=+，整理得sin sin cos sin 3C A A C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以sin cos 3A A =，即tan A =.又因为()0,πA ∈，所以π3A =.由正弦定理sin sin a b A B =，得32sin 212sin 7b A ABC a ⨯∠===.【小问2详解】由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，即22212222c c =+-⨯⨯⨯，所以3c =.在ABE 中，由余弦定理得22213213cos 607BE =+-⨯⨯⨯︒=，则BE =.在ABC 中，2AB AC AD += ，所以222219223421922444AB AB AC AC AB AC AD +⨯⨯⨯++⋅+⎛⎫+==== ⎪⎝⎭，解得192AD =.由AD ，BE 分别为边BC ，AC 上的中线可知G 为ABC 的重心，可得233BG BE ==，233AG AD ==.在ABG中，由余弦定理得222cos 2266GA GB AB AGB GA GB +-∠==-⋅，又因为AGB DGE ∠=∠，所以cos cos 266DGE AGB ∠=∠=-.21.数列{}n a 满足1231111123n n a a a a a n+++++=-L ，*n ∈N ，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设121321n n n n n S a a a a a a a a --=⋅+⋅+⋅++⋅ ，13n n b S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2024n m T <对任意*n ∈N 都成立的最小正整数m .（参考公式：()()22221211236n n n n ++++++=，*n ∈N ）【答案】（1）n a n=（2）1012【解析】【分析】（1）先写出12311111231n n a a a a a n -++++=-- ，结合题中条件的式子，两式相减可得出n a 与1n a +之间的递推关系，从而解决问题；（2）先分析出121321n n n n n S a a a a a a a a --=⋅+⋅+⋅++⋅ 中各项所满足的通项公式，根据通项公式求解出n S ，裂项求解出n T ，从而求解出满足题意m 的值.【小问1详解】解：1231111123n n a a a a a n+++++=-L ，当2n ≥时，12311111231n n a a a a a n -++++=-- ，作差，得11n n n a a a n +=-，即11n n a a n n +=+.因为11a =，22a =，所以2121a a =，满足11n n a a n n +=+，即n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，即1n a n =，n a n =.【小问2详解】由题意，()()121321n S n n n n =⋅+⋅-+⋅-++⋅ ，即()()()12123131n S n n n n n n =⋅+⋅+-+⋅+-++⋅+- .设()21k d k n k kn k k =+-=+-，1,2,3,,k n = ，则()()()222121231212n n S d d d n n n n =+++=++++++++-+++ ()()()()()()11121122266n n n n n n n n n n n ++++++=⋅+-=，()()()()()1211312112n n b S n n n n n n n ===-+++++，()()()()()111111111122323341122122n T n n n n n n =-+-++=-<⨯⨯⨯⨯+++++ .因为2024n m T <对任意*n ∈N 都成立，所以120242m ≥，即1012m ≥，m 的最小值为1012.22.设函数()e x f x ax =-，a ∈R ，()cos sin e xx x g x -=.（1）讨论()g x 在区间()0,π上的单调性；（2）若()()2f x g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增（2）(],2-∞.【解析】【分析】（1）求导得到()2cos ex x g x -'=，再分别解不等式()0g x '<和()0g x '>，即可得到()g x 在区间()0,π上的单调性；（2）根据条件得到0x ≥时，2sin cos e 20e x x x x ax -+-≥，构造函数()2sin cos e 2e x x x x h x ax -=+-（0x ≥），求导得到()22cos 2e 2ex x x h x a '=+-，再利用导数研究函数的单调性，从而得到()h x '在[)0,∞+上单调递增和()()042h x h a ''≥=-分类讨论2a ≥和2a <即可求解.【小问1详解】由题意得：()2cos e xx g x -'=，()0,πx ∈.由()0g x '<，得π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()0g x '>，得π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.【小问2详解】由0x ≥时，()()2f x g x ≥，得2cos sin e 2e x x x x ax --≥，即2sin cos e 20ex x x x ax -+-≥.设()2sin cos e 2e x x x x h x ax -=+-，0x ≥，则()22cos 2e 2ex x x h x a '=+-，设()()x h x ϕ='，则()32π4e 2sin 2cos 44e e e x x x xx x x x ϕ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭'=+=当[)0,x ∈+∞时，34e 4x ≥，π4x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭()0x ϕ'>，所以()x ϕ即()h x '在[)0,∞+上单调递增，则()()042h x h a ''≥=-.①当2a ≤时，则()()0420h x h a ''≥=-≥，所以()h x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00h x h ≥=恒成立，符合题意.②当2a >时，则()0420h a '=-<，且x →+∞时，()h x '→+∞，则必存在正实数0x 满足当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 在()00,x 上单调递减，此时()()000h x h <=，不符合题意.综上，a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】关键点睛：利用导数证明不等式时，一般需要对结论进行合适的转化，本题转化为只需证明()2sin cos e 2e x xx x h x ax -=+-在[)0,∞+上的最小值大于0即可，对不等式适当变形，构造函数是解决问题的第二个关键所在，一般需利用导数研究函数的单调性及最值，.。

湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考数学试题（文）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集I=R，集合A=，B=，则A∩B等于( )A. {x|0≤x≤2 }B. {x|x≥-2 }C. {x|-2≤x≤2}D. {x|x≥2}【答案】A【解析】根据二次函数值域得集合A，解一元二次不等式得集合B，即可求得A∩B。

集合A=集合B={x|0≤x≤2}所以A∩B={x|0≤x≤2 }所以选A2.命题：“x>1, x2>l”的否定为( )A. x>1, x2<1B. x<1, x2<1C. x>l, x2 1D. x<1, x2≤1【答案】C【解析】含有一个量词的否定形式，将任意改成存在，结论改成否定形式即可。

全称命题的否定形式为特称命题：x>l, x2 1所以选C3.函数f(x)= ln|x+1|的图像大致是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可。

当x=0时，f(x)=0，排除D选项当时，排除C选项根据定义域可排除B选项所以A选项为正确选项所以选A4.已知函数y= 4cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b-a的值是( )A. 4B.C. 6D.【答案】C【解析】根据定义域，结合余弦函数的图像，即可求得值域，进而求得b-a的值。

当定义域为时，函数y=cos x的值域结合图像可知为所以y= 4cos x的值域为所以b-a=6所以选C5.已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x）=x3+x2+2，则f(1)+g(1)=( )A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】D【解析】根据函数奇偶性及f(x)，g(x)的关系，求得各自的解析式，进而将1代入求得f(1)+g(1)的值。

2024-2025学年度十月月度检测数学试题（答案在最后）时限：120分钟满分：150分命题人：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{1,1}-B.{(1,1),(1,1)}- C.(0,)+∞ D.(0,1)【答案】B 【解析】【分析】先解方程组，得出点的坐标即可得出交集.【详解】,1y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得1,1x y =⎧⎨=⎩，或1,1x y =-⎧⎨=⎩，所以{(1,1),(1,1)}A B =- ，故选：B ．2.已知函数()*(2),nf x x n =-∈N ，则“1n =”是“()f x 是增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由当21,n k k =+∈N 时，′≥0，可得()(2)nf x x =-是增函数，即可得到答案.【详解】由()(2)nf x x =-，得()1(2)n f x n x --'=，则当21,n k k =+∈N 时，′≥0，()(2)nf x x =-是增函数，当1n =时，可得()f x 是增函数；当()f x 是增函数时，21,n k k =+∈N ，故“1n =”是“()f x 是增函数”的充分不必要条件.3.函数()sin cos f x a x b x =+图像的一条对称轴为π3x =，则a b =（）A.B. C.3D.3-【答案】A 【解析】【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出a b.【详解】由()()sin cos 0f x a x b x ω=+>的图象关于π3x =对称，可知：2π(0)(3f f =，即sin0cos0=s 3o 2π3i 2πn c s a b a b ++，则a b=故选：A ．4.已知随机变量()2~2,N ξσ，且(1)()P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a xa x+<<-的最小值为（）A.5B.112 C.203D.163【答案】D 【解析】【分析】根据正态分布的对称性求得a ，利用基本不等式求得正确答案.【详解】根据正态分布的知识得12243a a +=⨯=⇒=，则03,30x x <-，19119139(3)103333x x x x x a x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭1161033⎛≥+= ⎝，当且仅当393x x x x -=-，即34x =时取等.故选：D5.已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象关于原点对称，则()f x 的图象的对称轴可以为（）．A.π12x = B.π6x =C.π3x =D.5π12x =【答案】D【分析】根据题意找到函数的对称点得()π03f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，结合特殊值法计算得a =角公式化简得()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最后整体替换计算得到结果；【详解】由题意可得()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，即对任意x ∈R ，有()π03f x f x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，取0x =，可得()π300322a f f ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，即a =．故()πsin22sin 23f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，可得()f x 的图象的对称轴为5ππ122k x =+，k ∈Z ．故选：D ．6.设37a =，ln 2b =，3sin 7c =，则（）A.b c a >>B.a c b>> C.a b c>> D.b a c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()πsin (0)2f x x x x =-<<，利用导数探讨单调性并比较,a c ，再利用对数函数单调性比较大小即得.【详解】当π02x <<时，令()sin f x x x =-，求导得()1cos 0f x x '=->，则函数()f x 在π(0,)2上单调递增，有()(0)0f x f >=，即有sin x x >，因此33sin 77a c =>=，显然13ln 2ln 27b a =>=>=，所以b a c >>.故选：D7.已知函数()222cos (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=-->的图象关于直线π12x =轴对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】先由三角恒等变换化简解析式，再由对称轴方程解得36,2k k ω=+∈Z ，再由()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值得ω范围，建立不等式求解可得.【详解】()()2222cos sin 2sin cos cos f x x x x x x ωωωωω=--+22cos sin21cos2sin2x x x x ωωωω=+-=+π24x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于直线π12x =轴对称，所以πππ1264f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故ππππ,642k k ω+=+∈Z ，即36,2k k ω=+∈Z ，当ππ22π42x m ω+=-+，m ∈Z ，0ω>,即当3ππ,8m x m ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，当1m =时，5π8x ω=为y 轴右侧第1条对称轴.因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，故由3150628k <+≤，解得11416k -<≤，k ∈Z故0k =，得32ω=．故选：C.8.定义在R上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭，()12024e f =．若()()0f x f x '+->，则不等式()11e xf x +>的解集是（）A.()3,+∞ B.(),3-∞ C.()1,+∞ D.(),1-∞【答案】C【解析】【分析】由()f x 是奇函数，可得()f x '是偶函数，得到()()0f x f x +'>，令()()e xg x f x =，得到()0g x '>，得出()g x 在R 上单调递增，再由()302f x f x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，求得()f x 的周期为3的周期函数，根据()12024ef =，得到()2e g =，把不等式转化为()()12g x g +>，结合函数的单调性，即可求解.【详解】因为()f x 是奇函数，可得()f x '是偶函数，又因为()()0f x f x '+->，所以()()0f x f x +'>，令()()e x g x f x =，可得()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在R 上单调递增，因为()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭且()f x 是奇函数，可得()()23f x f x f x ⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭，则()()3333[()()222f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 的周期为3的周期函数，因为()()()12024674322e f f f =⨯+==，所以()212e e eg =⨯=，则不等式()11e xf x +>，即为()1e 1e xf x ++>，即()()12g x g +>，又因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，解得1x >，所以不等式()11ex f x +>的解集为()1,+∞．故选：C ．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列等式成立的是（）A.()21sin15cos152︒-︒=B.22sin 22.5cos 22.52︒-︒=-C.1cos28cos32cos62cos582︒︒-︒︒=-D.(3tan10cos502︒︒=-【答案】AB 【解析】【分析】应用倍角正余弦、和差角正余弦公式及诱导公式化简求值，即可判断各项的正误.【详解】A ：()21sin15cos1512sin15cos151sin 302︒-︒=-︒︒=-︒=，成立；B：22sin 22.5cos 22.5cos 452︒-︒=-︒=-，成立；C ：cos 28cos32cos62cos58cos 28cos32sin 28sin 32cos(2832)︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒+︒1cos602=︒=，不成立；D：(sin102sin 50cos50sin100tan10cos50cos50cos10cos10cos10︒-︒-︒︒-︒︒-︒=⋅︒=︒︒︒cos101cos10︒=-=-︒，不成立.故选：AB10.已知抛物线()2:20C y px p =>，过C 的焦点F 作直线:1l x ty =+，若C 与l 交于,A B 两点，2AF FB =，则下列结论正确的有（）A.2p =B.3AF =C.t =或-D.线段AB 中点的横坐标为54【答案】ABD 【解析】【分析】由直线:1l x ty =+，可知焦点1,0，得p 的值和抛物线方程，可判断A 选项；直线方程代入抛物线方程，由韦达定理结合2AF FB =，求出,A B 两点坐标和t 的值，结合韦达定理和弦长公式判断选项BCD.【详解】抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 在x 轴上，过F 作直线:1l x ty =+，可知1,0，则12p=，得2p =，A 选项正确；抛物线方程为24y x =，直线l 的方程代入抛物线方程，得2440y ty --=.设1,1，2,2，由韦达定理有124y y t +=，124y y =-，2AF FB =，得122y y=-，解得12y y =-=12y y ==，124y y t=+，则4t =或4t =-，C 选项错误；则1212,2x x ==，线段AB 中点的横坐标为121252242x x ++==，D 选项正确；12192222AB x x p =++=++=，2293332AF AB ==⨯=，B 选项正确.故选：ABD.11.已知()00,P x y 是曲线33:C x y y x +=-上的一点，则下列选项中正确的是（）A.曲线C 的图象关于原点对称B.对任意0x ∈R ，直线0x x =与曲线C 有唯一交点PC.对任意[]01,1y ∈-，恒有012x <D.曲线C 在11y -≤≤的部分与y 轴围成图形的面积小于π4【答案】ACD 【解析】【分析】将x ，y 替换为x -，y -计算即可判断A ；取0x =，可判断有三个交点即可判断B ；利用函数3y x x =-的单调性来得出300y y -的取值范围，再结合()3f x x x =+的单调性进行求解即可判断C ；利用图象的对称性和半圆的面积进行比较即可判断D ．【详解】A ．对于33x y y x +=-，将x ，y 替换为x -，y -，所得等式与原来等价，故A 正确；B ．取0x =，可以求得0y =，1y =，1y =-均可，故B 错误；C ．由330000x x y y +=-，[]01,1y ∈-，函数3y x x =-，故213y x '=-，令2130y x '=-=，解得：13x =±，在1,3x ⎡∈--⎢⎣⎦，,13⎤⎥⎣⎦时，0'<y ，函数单调递减，在,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，0'>y ，函数单调递增，所以300,99y y ⎡-∈-⎢⎣⎦，又因为()3f x x x =+是增函数，15289f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，所以有012x <，故C 正确；D ．当[]00,1y ∈时，3300000x x y y +=-≥，又320002x x x +≥，32000022y y y y -≤-，所以22000x y y ≤-．曲线22x y y =-与y 轴围成半圆，又曲线C 的图象关于原点对称，则曲线C 与y 轴围成图形的面积小于π4，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且πcos2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】π12-【解析】【分析】化简三角函数式，求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由πcos2cos 4αα⎛⎫=+⎪⎝⎭，得()22cos sin cos sin 2αααα-=-.因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，则cos sin 2αα+=，则1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.由π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得πππ,444α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，则ππ46α+=，解得π12α=-.故答案为：π12-.13.海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75︒，距离为A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30︒，距离为海里C 处，货轮由A 处向正北航行到D 处时看灯塔B 在东偏南30︒，则灯塔C 与D 处之间的距离为______海里．【答案】【解析】【分析】由正弦定理和余弦定理求解即可．【详解】如图：由题意75DAB ∠=︒，903060ADB ∠=-︒=︒，所以180756045DBA ∠=︒-︒-︒=︒，在ABD △中，由正弦定理sin sin AD AB ABD ADB =∠∠，即306sin 45sin 60AD =︒︒，所以60AD =，在ADC △中，30DAC ∠=︒，所以20CD =.故答案为：14.若存在实数m ，使得对于任意的[],x a b ∈，不等式2πsin cos 2sin 4m x x x m ⎛⎫+≤-⋅ ⎪⎝⎭恒成立，则b a -取得最大值时，sin2a b+=__________．【答案】2【解析】【分析】以m 为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得1sin 22x ≤，解不等式结合题意得[]()7ππ,π,π,1212a b k k k ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，由此可得答案.【详解】因为2πsin cos 2sin 4m x x x m ⎛⎫+≤-⋅ ⎪⎝⎭恒成立，即2π2sin sin cos 04m x m x x ⎛⎫--⋅+≤ ⎪⎝⎭恒成立，若存在实数m ，使得上式成立，则2πΔ4sin 4sin cos 04x x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，则πΔ22cos 22sin 222sin 22sin 224sin 202x x x x x ⎛⎫=---=--=-≥ ⎪⎝⎭，可得1sin 22x ≤，可得7ππ2π22π,66k x k k -≤≤+∈Z ，解得7ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，由[]()7ππ,π,π,1212a b k k k ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，则b a -取得最大值时()7πππ,π,1212a k bk k =-=+∈Z ，此时()7ππππ1212sin sin ,222k k a b k -+++==∈Z .故答案为：2.【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以m 为变量，转化为存在性问题分析求解.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数()π4sin cos 6f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .（1）求函数()f x 的单调减区间;（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】（1）π2ππ,π,63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）()min 2f x =-，()max 1f x =【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；（2）由x 的范围求得π26x +的范围，再根据正弦函数的性质即可得解.【小问1详解】解：()2π314sin cos 4sin cos sin cos 2sin 622f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1πcos212sin2cos212sin 21226x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ3π2π22π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π2πππ63k x k +≤≤+，所以函数()f x 的单调减区间为π2ππ,π,63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】解：因为π02x ≤≤，所以ππ7π2666x +≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，于是π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()21f x -≤≤，当且仅当π2x =时，()f x 取最小值()min π22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取最大值()max π16f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.16.已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx =---在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1-.（1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1b =（2）证明见解析（3）(,1]-∞【解析】【分析】（1）先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值；（2）求出导函数1()2ln 2f x x x x'=+--，再根据导函数求出()(1)10f x f ''≥=>即可证明单调性；（3）根据函数解析式分1x =和1x >两种情况化简转化为ln x x a -≥恒成立，再求()ln (1)h x x x x =->的单调性得出最值即可求出参数范围.【小问1详解】()f x 的定义域为1(0,),()2ln()2f x x bx x'+∞=+--，故(1)1ln f b '=-，又(1)0f =，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1ln )(1)y b x =--，将点(0,1)-代入得1ln 1b -=，解得1b =．【小问2详解】由（1）知2()(1)ln f x x x x x =---，则1()2ln 2f x x x x'=+--，令1()()2ln 2g x f x x x x '==+--，则22221121(1)(21)()2x x x x g x x x x x---+'=--==，当01x <<时，()0,()g x g x <'单调递减；当1x >时，()0,()g x g x >'单调递增，所以()(1)10f x f ''≥=>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．【小问3详解】对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，即对1,(1)(1)ln (1)x x x x x a x ∀≥---≥-恒成立，当1x =时，上式显然恒成立；当1x >时，上式转化为ln x x a -≥恒成立，设()ln (1)h x x x x =->，则11()10x h x x x'-=-=>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增；所以()(1)1h x h >=，故1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞．17.在ABC V 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．（1）2b a =+，4c a =+，是否存在正整数a *N ，且ABC V 为钝角三角形？若存在，求出a ；若不存在，说明理由．（2）若4,a b c D ===为BC 的中点，E ，F 分别在线段,AB AC 上，且90EDF ︒∠=，CDF θ∠=()090θ︒︒<<，求DEF 面积S 的最小值及此时对应的θ的值．【答案】（1）存在,4a =（2）12-【解析】【分析】（1）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值；（2）由正弦定理可得出()sin 60DF θ=+︒，()sin 150DE θ=︒-，再利用三角形的面积公式和两角和与差的正弦公式化简即可求得结果.【小问1详解】假设存在正整数a 满足题设．ABC V 为钝角三角形，因为a b c <<，所以C 为钝角，根据题设，2b a =+，4c a =+，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=,所以()222(2)(4)1cos 022a a a C a a ++-+-<=<+，得24120a a --<，解得26a -<<．因为**a ∈N N ，所以1a =或4a =，当1a =时，ABC V 不存在，故存在4a =满足题设．所以4a =【小问2详解】如图，因为()90,090EDF CDF θθ∠=︒∠=︒<<︒，所以90BDE θ∠=︒-．在CDF V 中，因为()2sin60sin 60DF θ=︒+︒，所以()3sin 60DF θ=+︒在BDE V 中，因为()2sin 60sin 150DE θ=︒︒-，所以()sin 150DE θ=︒-．所以()()132sin 60sin 150S θθ=⨯+︒︒-，设()()()sin 60sin 150f θθθ=+︒︒-，()090θ︒<<︒，所以11()sin cos cos sin 2222f θθθθθ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭2213cos cos sin 444θθθθ+=++化简可得：()1sin 242f θθ=+所以1122S =-当45θ=︒时，S取得最小值12-18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率22e =，点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ 的边PQ上的中线长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程；（3）直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=（2）220x y -+-或220x y ++=（3）8【解析】【分析】（1）根据POQ △的边PQ上中线为2得PQ ==，再联立2222,2c e a b c a ===+即可求解；（2）设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立直线AB 与椭圆方程得1212,x x x x +，再由11AF BF ⊥，即110AF BF ⋅= ，最后代入即可求解；（3）设直线1l 的方程为(1)y k x =+,则直线2l 的方程为1(1)2y x k =-+，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.【小问1详解】由题意，因为(,0),(0,)P a Q b ，POQ △为直角三角形，所以PQ ==.又2222,2c e a b c a ===+，所以1,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】由（1）知，1(1,0)F -,显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，2222(12)8820k x k x k +++-=，所以22222(8)4(12)(82)8(12)0k k k k ∆=-+-=->，即2102k <<.且22121222882,1212k k x x x x k k-+=-=++，因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅= ，所以1122(1,)(1,)0x y x y ------=，即12121210x x x x y y ++++=，所以1212121(2)(2)0x x x x k x k x +++++⋅+=，整理得2221212(12)()(1)140k x x k x x k ++++++=，即22222228(1)(82)(12)()1401212k k k k k k k +-+-+++=++，化简得2410k -=，即12k =±满足条件，所以直线AB 的方程为1(2)2y x =+或1(2)2y x =-+，即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=.【小问3详解】由题意，2(1,0)F ,设直线1l 的方程为(1)y k x =+,3344(,),(,)C x y D x y ，则直线2l 的方程为1(1)2y x k=-+，5566(,),(,)E x y F x y ，联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以22343422422,1212k k x x x x k k -+==++所以23422,212M x x k x k +==+2(1)12M M k y k x k =-=-+所以2222(,)1212k k M k k -++，同理联立22121(1)2x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得222(12)2140k x x k +-+-=，所以2565622214,1212k x x x x k k -+==++所以5621,212N x x x k +==+21(1)212N N k y x k k =--=+所以221(,)1212k N k k ++，即MN 的中点1(,0)2T .所以221121||11||||||12412212282||||OMN M N k k S OT y y k k k k =-==⨯=⨯+++ ，当且仅当12||||k k =，即22k =±时取等号，所以OMN的面积最大值为8.【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线12,l l 与椭圆方程，求出,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式得到面积的最值..19.正整数集{}1,2,3,,3A m m m m n =++++ ，其中,m n +∈∈N N .将集合A 拆分成n 个三元子集，这n 个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合A 是“三元可拆集”.（1）若1,3m n ==，判断集合A 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；（2）若0,6m n ==，证明：集合A 不是“三元可拆集”；（3）若16n =，是否存在m 使得集合A 是“三元可拆集”，若存在，请求出m 的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.【答案】（1）是，拆法见解析（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､；（2）三元可拆集”中所有元素和为偶数，A 中所有元素和为19181712⨯=，与和为偶数矛盾；（3）可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ，利用等差数列求和得到1231616648a a a a m ++++≤+ ，结合1231624588a a a a m ++++=+ ，得到不等式，求出152m ≤，当7m =时写出相应的集合A 以及具体拆法，得到答案.【小问1详解】是，{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､；【小问2详解】对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数，则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而{}1,2,3,4,,18A = ，A 中所有元素和为19181712⨯=，与和为偶数矛盾，所以集合A 不是“三元可拆集”；【小问3详解】{}1,2,3,,48A m m m m =++++ 有48个元素，可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ，则()()()()1231648474633a a a a m m m m ++++≤++++++++ ()28116166482m m +⨯==+；另一方面，A 中所有元素和为()249484811762m m +⨯=+，所以212316481176245882m a a a a m +++++==+ ，所以2458816648m m +≤+，解得152m ≤，即7m ≤；当7m =时，{}8,9,10,,55A = ，可拆为{}{}55,40,1554,38,16､､{}{}{}{}{}{}53,39,1452,35,1751,31,2050,37,1349,25,2448,26,22､､､､､､{}{}{}{}{}{}47,29,1846,27,1945,34,1144,23,2143,33,1042,30,12､､､､､､{}{}41,32,9,36,28,8（拆法不唯一）；综上所述，m 的最大值是7.【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，数列知识等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.。

湖北省部分重点中学2022-2023学年高三年级10月联考数学试卷命题学校：恩施高中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合{}2430,{230}A x x x B x x =-+<=->∣∣，则A B ⋃=（ ） A. (1,3)B. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭D. (1,)+∞2. 已知命题2:,230p x R ax x ∀∈++>.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. 13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣B. 103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣C. 13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣D. 13a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣3. 在ABC 中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数3222x xx y -=+在[6,6]-的图像大致为（ ）A. B. C. D.5.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rI t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R T 、近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出0 3.28,6R T ==.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln 20.69)≈（ ）A. 1.8天B. 2.4天C. 3.0天D. 3.6天6.设函数()2()1()ln 31f x g x ax x ==-+，若对任意1[0,)x ∈+∞，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的最大值为（ ）A.2B.94C.92D.47.如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为4π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记POC α∠=，矩形ABCD 的面积最大值为（ ）A.12B.12C.2D.328.已知()f x 满足248,0()1(2),02x x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若在区间(1,3)-内，关于x 的方程()()f x kx k k =+∈R 有4个根，则实数k 的取值范围是（ ） A.104k <≤或8k =- B.104k <≤C.08k <≤-D.104k <<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知0,0x y >>且3210x y +=，则下列结论正确的是（ ） A.xy 的最大值为625C.32x y +的最小值为52D.22x y +的最大值为1001310.函数()sin cos (0)f x a x b x ab =+≠的图象关于6x π=对称，且()085f x a =，则（ ）A.b =B.04cos 65x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ C.024cos 2325x π⎛⎫-=⎪⎝⎭D.07sin 2625x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 11.设函数()f x 定义域为,(1)f x -R 为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1]x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A.7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.(7)f x +为奇函数C.()f x 在(6,8)上为减函数D.方程()lg 0f x x +=恰有6个实数解12.已知函数112222,0()log ,0x xx f x x x +--⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则（）A.121x x +=-B.341x x =341x x ≤<<≤ D.123402x x x x <+++≤三、填空题：本题共4小題，每小题5分，共20分. 13.已知3,log a ba b b a==，则3a b +=_______. 14.函数2()2cos sin 21f x x x =-+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增区间是________. 15.已知偶函数()f x 定义域为,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其导函数是()f x '.当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为________.16.函数()3sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，已知33f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且对于任意的x ∈R 都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为_______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 17.（本题满分10分）设集合{}2{lg(1)30A x y x B x x x a ==-=-+=∣∣. （1）若2a =时，求A B ⋂；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围. 18.（本題满分12分）党的十九大以来，恩施州深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化对接帮扶，州委州政府派恩施高中到杨家庄村去考察和指导工作.该村较为䏌困的有200户农民，且都从事农业种植，据了解，平均每户的年收入为0.3万元.为了调整产业结构，恩施高中和杨家庄村委会决定动员部分农民从事白茶加工，据估计，若能动员(0)x x >户农民从事白杀加工，则㔞下的继续从事农业种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事白杀加工的农民平均每户收入将为30.3(0)50x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事白茶加工后，要使从事农业种植的农民的总年收入不低于动员前从事农业种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事白杀加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的农民的总收入，求a 的最大值.19.（本题满分12分） 已知函数2()4sin sin (cos sin )(cos sin )142x f x x x x x x π⎛⎫=+++--⎪⎝⎭. （1）求()f x 及其对称中心；（2）若函数1()(2)()122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，求a 的值. 20.（本题满分12分）已知()e 1,()(1)1(0,xf x a axg x a x a e =-+=-+≠为自然对数的底数). （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()()h x g x f x =-有两个不同零点12,x x ，求证：122x x +>. 21.（本题满分12分）已知ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边，sin sin 2A Ca b A +=，且1a =. （1）求B ；（2）若AC BC =，在ABC ∆的边,AB AC 上分别取,D E 两点，使ADE ∆沿线段DE 折叠到平面BCE 后，顶点A 正好落在边BC （设为点P ）上，求此情况下AD 的最小值. 22.（本题满分12分）已知函数()log x a f x a e x e =--，其中1a >.（e 为自然对数的底数） （1）讨论()f x 的极值点的个数； （2）当2e a e ≤≤时，证明：()0f x ≥.湖北省部分重点中学高三年级10月联考数学学科（参考答案）一、选择题：二、选择题：三、填空题： 13. 14. 3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭；（注：3,82ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭也正确） 15.,00,44ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16. 5 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 17.【详解】（1）由题意得(){{}lg11A x y x x x ==-=>， 因为2a =，所以{}{}23201,2B x x x =-+==，则{}2AB =.（2）因为AB A =，所以B A ⊆.①当B =∅时，由题意得940a -，解得94a >； ②当B ≠∅时，由题意得312394012a ->+⎧⎪-≥⎪⎨>⎪⎪⎪⎪⎩， 解得924a <≤. 综上，a 的取值范围为()2,+∞. 18.【详解】（1）动员x 户农民从事白茶加工后，要使从事农业种植的农民的总年收入不低于动员前从事农业种植的农民的总年收入.则[](200)0.3(10.04)2000.3x x -⨯⨯+≥⨯，解得0175x <≤.（2）由于从事白茶加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的农民的总收入，则[]()30.3(200)0.3(10.04)017550x a x x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+<≤ ⎪⎝⎭，化简得2000.027(0)a x a x≤++>.由于2000.027711x x ++≥=，当且仅当2000.02x x=，即100x =时等号成立， 所以011a <≤，所以a 的最大值为11. 19.【详解】（1）22()21cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-+⋅+--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin (22sin )12sin 12sin x x x x =++--=.对称中心为(),0k π，k Z ∈.（2）1()sin 2sin cos 12g x x a x a x a =+---， 令sin cos x x t -=，则2sin 21x t =-，∴22211112242a a y t at a t a ⎛⎫=-+--=--+- ⎪⎝⎭，∵sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴1t ≤≤.①当2a <a <-22max 22422a a a a y ⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭.令222a --=，解得a =.②当12a≤≤时，即2a -≤≤时， 2max42a ay =-，令2242a a -=，解得2a =-或4a =（舍）.③当12a >时，即2a >时，在1t =处max 12ay =-，由122a-=，得6a =.因此2a =-或6. 20.【详解】（1）解：()()1xxf x ae a a e '=-=-，0x >，1x e >；0x <，1x e <，当0a <时，()1xf x ae ax =-+在(),0-∞上是增函数，在()0,+∞上是减函数；当0a >，()1xf x ae ax =-+在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是增函数.（2）方法一：证明：()h x 有两个不同零点1x ，2x ，则11x x ae =，12x x ae =， 因此()1212xx e x x a e-=-，即1212x x e x x a e -=-.要证122x x +>，只要证明()122x x a ee +>，即证()1212122x x x x e e e x x e +->-，不妨设12x x >，记12t x x =-，则0t >，1te >，因此只要证明121t t e e t +⋅>-，即()220t t e t -++>.记()(2)2tm t t e t =-++，()()11tm t t e '=-+，令()()11tt t e ϕ=-+，则()tt te ϕ'=，当0t >时，()0tt te ϕ'=>，所以函数()()11tt t e ϕ=-+在()0,+∞上递增，则()()00t ϕϕ>=，即()()00m t m ''>=，则()m t 在()0,+∞上单调递增， ∴()()00m t m >=，即()220tt e t -++>成立，∴122x x +>.方法二：本题可用对数平均不等式或者指数平均不等式证明，但需证明所用不等式，阅卷时可酌情给分. 21.【详解】（1）解：因为sinsin 2A Ca b A +=， 所以由正弦定理边角互化得sin sin sin sin 2A CA B A +=， 因为()0,A π∈，sin 0A ≠，A C B π+=-，所以sin sin 22B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 2B B =，所以cos2sin cos 222B B B=， 因为()0,B π∈，所以0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 02B ≠，所以1sin22B =，所以26B π=，即3B π=. （2）解：因为AC BC =，3B π=，所以ABC △为等边三角形，即1AC BC AB ===，如图，设AD m =，则1BD m =-，PD m =， 所以在BPD △中，由余弦定理得222222(1)1cos 22(1)2BP BD PD BP m m B BP BD BP m +-+--===⋅⋅-，整理得222(1)(1)BP m m BP m +--=⋅-，设BP x =，01x ≤≤，所以221(2)3(2)3323222x x x x m x x x x-+---+===-+----，由于01x ≤≤，故122x ≤-≤，所以32332m x x =-+-≥-，当且仅当322x x-==-所以AD 的最小值为3.方法二：本题其他方法，阅卷时可酌情给分. 22.【详解】（1）方法1：由题意知，函数(f x 的定义域为()0,+∞，2ln ()ln ln ln x xxa a ef x a a e x a x a-'=-=， 设()2ln xg x xa a e =-，1a >，显然函数()g x 在()0,+∞上单调递增，()g x 与()f x '同号，①当a e >时，()00g e =-<，()21ln 0g a a e =->，所以函数()g x 在()0,1内有一个零点，所以函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点； ②当a e =时，()xg x xe e =-，()10g =，所以函数()g x 有且仅有一个零点，所以函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点；③当1a e <<时，211ln a >，21ln 21ln a g a e a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为21ln 2ln 1ln 1ln ln a a a a a ==>，所以21lnaa e >，210ln g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又2(1)ln 0g a a e =-<，所以函数()g x 在211,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有一个零点， 所以函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点； 综上所述，函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.（1）方法2：（因教材给出了用极限判断正负，）()2ln xg x xa a e =-，1a >，当x →+∞，()g x →+∞；()0g e =-，()00,x ∃∈+∞，()00g x =，进而判断对应单调性， 所以函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.（若有此解法，阅卷时酌情给分）（2）由（1）知，当2e a e ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点，也是最小值点，设()0f m '=，0m >，则函数()f x 的最小值为()f m ， 由()0f m '=可得2ln 0mma a e -=，即2ln ma m e a =，所以2ln ln ln mae a m =， 即ln 1ln 2ln(ln )m a m a =--，所以ln 1ln 2ln(ln )m m a a =--，所以2ln 2ln(ln )()ln ln e em a e a ef m e m a +-=+[]{}222ln 2ln(ln )ln 1ln 1ln e m a m a a a m a +--+=， 设ln t a =，则12t ≤≤，[]2222ln 2ln(ln )ln 1ln 1(2ln 1)1m a m a a a m t mt t t +--+=+--+，对于函数22(2ln 1)1y m t mt t t =+--+，22222(2ln 1)4(2ln 1)4t t t t t t t ⎡⎤∆=---=---⎣⎦，设()2ln 1p t t t =--，12t ≤≤，则()2210p t t tt-=='-≥恒成立， 所以函数()p t 在[]1,2上单调递增，所以()()()12p p t p ≤≤，所以()22ln 230p t -≤≤-<， 所以()204p t <≤⎡⎤⎣⎦，所以2(2ln 1)40t t ---≤，所以0∆≤，所以22(2ln 1)10y m t mt t t =+--+≥，所以()0f m ≥，所以()0f x ≥.。

武汉市部分中学高三年级十月联考文科数学（试题）一、选择题1．已知R 为实数集，集合A ＝{x|x 2－2x≥0}，B ＝{x|x ＞1}，则()R A B =ð（）A ．（0，1）B ．（0，1]C ．（1，2）D ．（1，2]2．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，回归直线l 的方程为y bx a =+，则下列说法正确的是（ ）A ．0a >，0b <B ．0a >，0b >C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >3．复数z 1＝3＋2i ，z 1＋z 2＝1＋i ，则复数z 1·z 2＝（ ） A ．－4－7iB．－2－iC．1＋iD．14＋5i4．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．5．若双曲线C：2221yxb-=（b＞0）的离心率为2，则b＝（）A．1BCD．26．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为（）A．1︰1B．2︰1C．2︰3D．3︰27．设x，y满足约束条件10103x yx yx-+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≥≤，则z＝2x－3y的最小值是（）A．－7B ．－6C ．－5D ．－38．函数||xxa y x（a ＞1）的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D．9．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x－2），且f （1）＝1，则f（2016）＋f（2015）＝（）A．－2B．1C．0D．－110．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．6B．2log23＋1C ．2log 23＋3D ．log 23＋111．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 3C =，bcosA ＋acosB ＝2，则△ABC 的外接圆面积为（ ） A ．4π B ．8π C ．9π D ．36π12．设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（ ） A ．[－1，1] B ．[12-，12] C ．[]D ．[2-，2]二、填空题13．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =，且a b ⊥，则tanθ的值是________．14．曲线f （x ）＝lnx －3x 在点（1，f （1））处的切线方程为________． 15．已知α∈（0，π2），tanα＝2，则πcos()________4α-=． 16．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为________． 三、解答题17．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }满足b 1＝－3，b 2＝－6，a n ＋1＋b n ＝n （n ∈N *）．（1）求a 2和a 3的值以及{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和为S n ．18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PC ==E是PB 的中点，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，BC ＝2CD＝2AD ＝2．（1）求证：AE ∥平面PCD ；（2）设F 是线段CD 上的点，若13CF CD =，求三棱锥F －PAB 的体积．19．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在（195，210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．表1：（1）根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的众数、中位数；（2）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（3）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85％的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量）20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在椭圆上，有|MF 1|＋|MF 2|＝4，椭圆的离心率为12e =； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）己知N （4，0），过点N 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆交于A ，B 不同两点，线段AB 的中垂线为l′，记l′的纵截距为m ，求m 的取值范围．21．已知函数f （x ）＝2e x －（x －a ）2＋3，a ∈R ．（1）若函数y ＝f （x ）的图象在x ＝0处的切线与x 轴平行，求a 的值；（2）若x≥0时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos()4ρθ+=（Ⅰ）将曲线C的参数方程与直线l的极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）过曲线C上一点作平行于直线l的直线m，求直线m与直线l之间的最大距离．武汉市部分中学高三年级十月联考文科数学参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．13. 14．210x y++=15.1016.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

湖北省高三数学10月联考试卷(文科)湖北省2021年高三数学10月联考试卷(文科)考生留意：1、本试卷分第一卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两局部，共150分，考试时间120分钟2、请将各题答案填在卷前面的答案卡上.3、本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数(60%);三角函数与平面向量(40%)一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的)1、集合，那么等于A. B. C. D.2、的值为A. B. C. D.3、是函数在区间上只要一个零点的充沛不用要条件，那么的取值范围是A. B. C. D.4、为第三象限角，且，那么的值为A. B. C. D.5、定义在R上的奇函数，当时，，那么等于A. B. C.1 D.6、非零向量，满足，且与的夹角为，那么的取值范围是A. B. C. D.7、设，那么之间的大小关系是A. B. C. D.8、给出以下命题，其中错误的选项是A.在中，假定，那么B.在锐角中，C.把函数的图象沿x轴向左平移个单位，可以失掉函数的图象D.函数最小正周期为的充要条件是9、，函数在处于直线相切，那么在定义域内A.有极大值B.有极小值C.有极大值D.有极小值10、函数是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，假定方程恰有三个不相等的实数根，那么实数的取值范围是A. B. C. D.第二卷二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上11、函数的定义域为12、化简的结果为13、设为锐角，假定，那么14、函数，设，假定，那么的取值范围是15、关于的方程有两个不等的负实数根;关于的方程的两个实数根，区分在区间与内(1)假定是真命题，那么实数的取值范围为(2)假定是真命题，那么实数的取值范围为16、如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上(1)假定点F是CD的中点，那么(2)假定，那么的值是17、在中，角的对边区分为，且，假定的面积为，那么的最小值为三、解答题：本大题共5小题，总分值65分，解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤18、(本小题总分值12分)在中，角的对边区分为，满足 .(1)求角的大小;(2)假定，且的面积为，求的值.19、(本小题总分值12分)向量 .(1)假定，且，求的值(2)假定，求在上的最大值和最小值.20、(本小题总分值13分)2021世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此时期销售一种商品，依据市场调查，当每套商品售价为x元时，销售量可到达万套，供货商把该产品的供货价钱分为来那个局部，其中固定价钱为每套30元，浮动价钱与销量(单位：万套)成正比，比例系数为，假定不计其它本钱，即每套产品销售利润=售价-供货价钱(1)假定售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润;(2)假定，求销售这套商品总利润的函数，并求的最大值.21、(本小题总分值14分)函数是定义在R上的奇函数.(1)假定，求在上递增的充要条件;(2)假定对恣意的实数和正实数恒成立，务实数的取值范围.22、(本小题总分值14分)为常数，在处的切线为 .(1)求的单调区间;(2)假定恣意实数，使得对恣意的上恒有成立，务实数的取值范围.要多练习，知道自己的缺乏，对大家的学习有所协助，以上是查字典数学网为大家总结的2021年高三数学10月联考试卷，希望大家喜欢。

湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三年级10月联考数学试题（答案在最后）命题学校：一､单项选择题：（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}(){}3390,lg 3A x x x B x y x =+-≤=∈=-N ∣∣，则集合A B ⋂的子集个数为（）A.2B.4C.8D.162.若复数z 满足1i34i z-=+，则z =（）A.5B.25C.5D.23.在ABC V 中，G 为ABC V 的重心，设,BA a BC b == ，则CG =（）A.1233a b - B.2133a b-+C.1233a b -+D.2133a b - 4.已知集合()(){}210,21102x A xB x x a x a a x ⎧⎫-=≤=-+++≤⎨⎬+⎩⎭∣，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.3a ≤-或1a ≥B.3a ≤-或1a >C.3a <-或1a ≥ D.3a <-或1a >5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到2079mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.4mg /mL .如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：lg20.3010≈）A.5B.4C.3D.26.已知实数(),1,0a b ∈-，且满足cos πcos πa b >，则下列一定正确的是（）A.sin sin a b <B.3355ab-->C.sin sin a a b b->- D.4433a b<7.已知函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，则下列一定正确的是（）A.()20221f =B.()()2f x f x =+C.()3f x +为奇函数D.()2024f x +为奇函数8.在ABC V 中，记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222c a b ab =++，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，且12CD =，则49a b +的最小值为（）A.252B.25C.254D.24二､多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量)(),0,1a m b ==，则下列说法正确的是（）A.若2= a ，则1a b ⋅= B.不存在实数m ，使得a∥bC.若向量()4a a b ⊥-，则1m =或3m =D.若向量a 在b 向量上的投影向量为b - ，则,a b的夹角为2π310.已知函数()π3πsin cos 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.()f x 的图像可由y x =的图像向左平移π4个单位得到B.()f x 图像关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 在[]0,π上值域为[]1,1-D.若()π,0,5cos22f ααα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，则2cos275α=11.已知函数()ln ,()e ln x f x x x g x a x a =-=-+，则下列说法正确的是（）A.()f x 有极大值为1-B.()0g x ≥对于x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是12[e ,)-+∞C.当1a =时，过原点与曲线()()1y g x f x =--相切的直线有2条D.若关于x 的方程()()f x g x =有两个不等实根，则实数a 的取值范围是1(0,)e三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()sin2g x x =，若()()2lg 1f x g x a x ⎛⎫=⋅+⎪-⎝⎭为偶函数，则实数a =__________.13.已知ABC V 的外心为O ，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且::5:6:5a b c =.若7BA BC ⋅=，则BO BA ⋅=__________.14.定义：如果集合A 存在一组两两不交（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()12,,,,2m A A A m m ∈≥N ，且12m A A A A ⋃⋃⋃= ，那么称无序子集组12,,,m A A A 构成集合A 的一个m 划分.若使函数()()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个零点的ω的取值集合为A ，则集合A 的所有划分的个数为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.对于任意两个非零向量,a b，定义新运算：2a b a b b ⋅⊕= .（1）若向量()()1,5,3,4a b =-=，求()2a b b -⊕ ；（2）若两个单位向量,a b 满足()()5323a b a b +⊕-=- ，求a b + 与b夹角的余弦值.16.已知ABC V 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若1a =，点D 满足2AD DB =，且3CD =，求ABC V 的面积；17.已知函数()2ln f x x ax a =-+.（1）若1x =是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）若存在()1,x ∈+∞，使得()0f x >，求实数a 的取值范围.18.已知函数()()()2log 20,1a f x x x a a =++>≠在1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，集合()[]{}1,0,2A y y f x x ==+∈∣.（1）求a 的值，并用区间的形式表示集合A ；（2）若()()221xx x x g x a a m a a --=+-++，对1x A ∀∈，都[]20,1x ∃∈，使得()12x g x =，求实数m 的值.19.（1）当[]0,πx ∈时，求证：（i ）sin x x ≥；（ii ）21e 12xx x ≥++（2）已知函数()e sin 1xf x mx x x =+--.（i ）当1m =时，求()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（ii ）讨论函数()y f x =在[]0,π上的零点个数.湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三年级10月联考数学试题命题学校：一､单项选择题：（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二､多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】ABD三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1【13题答案】【答案】252【14题答案】【答案】14四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）925（2）10【16题答案】【答案】（1）23π（2）334【17题答案】【答案】（1）12a =，单调增区间为()0,1；单调减区间为()1,+∞（2）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【18题答案】【答案】（1）2，[]2,4A =（2）12.【19题答案】【答案】（1）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析；（2）（i ）0y =；（ii ）答案见解析。

2018年秋季武汉市部分市级示范高中高三十月联考数学文科试卷考试时间：2018年10月12日上午8：00-10: 00试卷满分：150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设全集I=R，集合A=B=，则A∩B等于( )A、{x|0≤x≤2) B. {x|x≥-2) c、{x|-2≤x≤2) D. {x|x≥2)2、命题：“x>l, x2>l”的否定为( )A、x>l, x2<1B、x<l, x2<1C、x>l, x2 <1D、x<l, x2≤13、函数f(x)= ln|x+1|的图像大致是( )4、已知函数y= 4cosx的定义域为，值域为[a，b]，则b-a的值是( )A、4B、4-2C、6D、4+25、已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)一g(x）=x3+x2+2，则f(1)+g(1)=( )A、-2B、-1C、1D、26、己知函数f(x) =x3-ax2 +x+l在（一∞，+∞）是单调函数，则实数口的取值范围是( )A、B、C、D、7、要得到函数g(x)= 的图像，只需将f(x)= cos2x的图像( )A、向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）B、向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）C、向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）D、向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）8、设a,b都是不等于l的正数，则“a>b>l”是“log a3<log b3”的( )条件A、充分必要B、充分不必要C、必要不充分D、既不充分也不必要9.化简√1-2sin(π- 2)-cos(π-2) = ( )A. sin2+cos2 B、sin2-cos2 C. cos2-sin2 D. +(cos2-sin2)10、如图，己知函数f(x)= 的图象关于点M(2，0)对称，且f(x)的图象上相邻的最高点与最低点之间的横向距离为2，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象；则下列是g(x)的单调递增区间的为( )A、B、C、D、11.已知f(x)= 2sinx-cosx，f(x)的最大值为f(θ)，则cosθ=( )A、一B、C、-D、12、设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1；当x∈(0，π)且x≠ 时，则函数y=f(x)-|sinx|在区间上的零点个数为( )A、4B、6C、7D、8二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．13、若2a=5b =100，则14、己知函数f(x)= 2e x sinx，则曲线f(x)在点(0，0)处的切线方程为．15、函数y= sinx+cosx+2sinxcosx的最大值为__________。

高三数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：集合，逻辑，函数，导数，不等式，数列，向量，三角函数(不含解三角形)。

密封线内不要答题一、单选题(本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项),则其共轭复数z=1.复数D .1—2iC .1+2iA .2+iB .2-i },则A N (@B )=2.已知全集U =R ,A ={x |x ²+2x <3},B .{x |-3<x ≤0}A .{x |-3<x <0}D .{x |O ≤x <1}C .{x |-3<r <2}3.命题“Vx∈(1,2),α²-a>0”为真命题的一个必要不充分条件是D .a <2C .a <0A .a ≤1B .a <14.如图所示，向量O A =a ,O B =b ,式=c ,A ,B ,C 在一条直线上，且A B =-2 C B ,则5.已知曲线y =x +k l n (1+x )在x =1处的切线与直线z +2y =0垂直，则k 的值为C .-3D .-6A .4B .26.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+2)=-f(x),当1<r<2时，f(x)=logzx+1,则D .-l o g z 3-1A .l o g z 3B .l o g z 3-1C .-l o g 237.已知),化简√2-2sin 2a-√1+cos 2a的结果是B .-√2s i n D .一√2c os aa A .√2s i n a 【高三数学“第1页(共4页)C .√2 c os a 】3在(0,π)上8.已知向量m =(2s in x,V3cos²x),n=(cosx,-2),若关于x 的方程的两根为x ),X 2(x i <x₂),则s i n (x i -x 2)的值为C .A .D .二、多选题(本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求)9.在公比q 为整数的等比数列(a ,}中，S ,是数列(a n }的前n 项和，若a 1·a s =32,a z +a y =12,则下列说法正确的是B .q =2A.数列Sz,S,S6,…是等比数列 D.数列(lg (S,+2)}是等差数列C .S ₆=12610.已知实数x ,y ,z 满足2⁴=3,3⁹=4,4*=5,则下列结论正确的是D .x +y >2√2C .y <x B .x y z >2A .11.函数f (x )=A s i n (w x +p )(其中A >0,w >0,l y l <x)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是A .B .函数f (x )的零点为(,0),k ∈ZC .若I f (x i )·f (x ₂)I =4,则,k ∈Z,则D .若12.已知数列{a n }的前n 项和S ,=n ²,b ,=(-1)°a ,a n +l ,数列(b n )的前n 项和T 。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设2:log f x x →是集合A 到对应的集合B 的映射，若{}1,2,4A =，则A B 等于（ ）A.{}1B.{}2C.{}1,2D.{}1,42.已知函数()()()()cos 0260x x f x f x x ππ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩，则()5f -等于（ ） A.12 B.12-C.2D.2-3.设平面向量()2,6a =-，()3,b y =，若//a b ，则2a b+等于（ ）A.()4,24B.()8,24-C.()8,12-D.()4,12-4.若函数()tan y x N ωω*=∈的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为 （ ）A.2B.3C.6D.95.已知向量a 、b 满足1a =，7a b +=，,3a b π=，则b 等于（ ）A.2B.3C.D.46.已知命题:p x R ∃∈，2lg x x ->，命题:q x R∀∈，sin x x <，则 （ ）A.命题p q ∨是假命题B.命题p q ∧是真命题C.命题()p q ⌝∧是真命题 D.命题()p q ⌝∨是假命题7.,42ππα⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，()log cos sin x παα=，()log sin cos y παα=，则x 与y 的大小关系为 （ ）A.x y >B.x y <C.x y =D.不确定8.在ABC ∆中，“()()sin cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是 “ABC ∆是直角三角形”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件定为直角，也可能为锐角，则sin B 不一定取到最大值1，即不一定有()()sin cos cos sin A B B A B B -+-sin 1B =≥，故“()()sin cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是 “ABC ∆是直角三角形”的充分不必要条件，故选A.考点：1.两角和的正弦公式；2.充分必要条件9.已知函数()323f x x tx x =-+，若对于任意的[]1,2a ∈，(]2,3b ∈，函数()f x 在区间(),a b 上单调递减，则实数t的取值范围是（ ）A.(],3-∞B.(],5-∞C.[)3,+∞D.[)5,+∞A.14B.10C.7D.3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中的横线上.11.23sin 702cos 10-=- .12.函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是 . 【答案】()0,3 【解析】试题分析：由于函数()22x f x a x =--在()1,2上单调递增，且函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则有()10f a =-<且()230f a =->，解得03a <<. 考点：1.函数的单调性；2.零点存在定理13.已知a 、b 为正实数，函数()32xf x ax bx =++在[]0,1上的最大值为4，则()f x 在[]1,0-上的最小值为 .14.在锐角ABC ∆中，1BC =，2B A =，则cos ACA的值等于 ； AC 的取值范围为 .15.已知()12bx f x x a +=+，其中a 、b 为常数，且2ab ≠，若()1f x f k x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭为常数，则k 的值为 .16.如图3，矩形ORTM 内放置5个大小相同的正方形，其中A 、B 、C 、D 都在矩形的边上，若向量BD x AE y AF =+，则22x y += .图3MRTOF E DCBAH G MRTOF E DC BA考点：平面向量的基底表示17.若函数12y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，且()()1g x f x =+，则()()1f x f x -+= ；122013201420142014g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.三、解答题 （本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知集合2331,,224A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，{}21B x x m =+≥，:p x A ∈，:q x B ∈，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.【解析】（1）试确定函数()f x的解析式；（2）若123fαπ⎛⎫=⎪⎝⎭，求2cos3πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【解析】试题分析：（1）先根据图象的最值求出A ，然后根据图象信息求出最小正周期T ，利用周期公式2T πω=求出ω的值，再根据顶点或对称中心点并结合ϕ的取值范围求出ϕ的值，最终确定()f x 的解析式；（2）先由123f απ⎛⎫=⎪⎝⎭求出sin 62πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，并确定角32πα-与角62πα+之间的关系，并将sin 62πα⎛⎫+⎪⎝⎭转化为cos 32πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，最后利用二倍角公式求出2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.（2）123f απ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即12sin 2sin 26263απαπππ⎛⎫⎛⎫⋅+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 266απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，20.已知函数()2xf x a x =+，()lng x x a =，1a >.（1）求证：函数()()()F x f x g x =-在()0,+∞上单调递增； （2）若函数()233y F x b b =---有四个零点，求b 的取值范围.【解析】试题分析：（1）直接利用导数证明函数()()()F x f x g x =-在()0,+∞上单调递增，在证明过程中注意导函数()F x '的单调性；（2）将函数()233y F x b b =---的零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题处理，但需注意将式子中的绝对值符号去掉，并借助函数()F x 的最值出发，构造有关参数b 的不等式组，再求解参数b 的取值范围.（2）故函数()F x 在0x =处取得极小值，亦即最小值，即()()0max 0200ln 1F x F a a ==+⨯-⨯=，21.如图5所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥. （1）设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.图5NMPODCBA22.设函数()xf x e ax a =--.（1）若0a >，()0f x ≥对一切x R ∈恒成立，求a 的最大值； （2）设()()x ag x f x e=+，且()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠是曲线()y g x =上任意两点，若对任意1a ≤-，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围.【解析】试题分析：（1）当0a >时，将不等式()0f x ≥对一切x R ∈恒成立等价转化为()min 0f x ≥来处理，利用导数求处函数()f x 的最小值，进而建立有关参数a 的不等式进行求解，以便确定a 的最大值；（2）先根据题意得到()()1212g x g x m x x ->-，假设12x x <，得到()()1212g x g x mx mx -<-，进而得到()11g x mx -<()22g x mx -，并构造新函数()()x g x mx ϕ=-，利用函数()x ϕ在R 上为单调递增函数并结合基本不等式法求出m 的取值范围.则有x x am e a e≤--在在R 上恒成立，。

武汉市部分市级示范高中高三年级秋季十月联考数学文科试卷一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集I=R，集合A=，B=，则A∩B等于( )A. {x|0≤x≤2 }B. {x|x≥-2 }C. {x|-2≤x≤2}D. {x|x≥2}【答案】A【解析】【分析】根据二次函数值域得集合A，解一元二次不等式得集合B，即可求得A∩B。

【详解】集合A=集合B={x|0≤x≤2}所以A∩B={x|0≤x≤2 }所以选A【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，属于基础题。

2.命题：“x>l, x2>l”的否定为( )A. x>l, x2<1B. x<l, x2<1C. x>l, x2 1D. x<l, x2≤1【答案】C【解析】【分析】含有一个量词的否定形式，将任意改成存在，结论改成否定形式即可。

【详解】全称命题的否定形式为特称命题：x>l, x2 1所以选C【点睛】本题考查了含有量词的否定形式，属于基础题。

3.函数f(x)= ln|x+1|的图像大致是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可。

【详解】当x=0时，f(x)=0，排除D选项当时，排除C选项根据定义域可排除B选项所以A选项为正确选项所以选A【点睛】本题考查了根据解析式判断函数的图像，从特殊值、单调性、奇偶性等方面考虑，属于基础题。

4.已知函数y= 4cosx的定义域为，值域为[a，b]，则b-a的值是( )A. 4B.C. 6D.【答案】C【解析】【分析】根据定义域，结合余弦函数的图像，即可求得值域，进而求得b-a的值。

【详解】当定义域为时，函数y=cosx的值域结合图像可知为所以y= 4cosx的值域为所以b-a=6所以选C【点睛】本题考查了三角函数图像及其简单的性质，属于基础题。

“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟〞2021届高三数学10月联考试题 文创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1. 集合{}{}|1,|20A y y x B x x ==+=-≤，那么A B =A. []1,2B. []0,2C. (],1-∞D. [)2,+∞2. 在平面直角坐标系中，点22(cos ,sin )55P ππ是角α终边上的一点，假设[0,)απ∈，那么α= A.5πB.25π C.35π D.310π 3. 函数|2|y x a =-在[1,)-+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是 A. (,1]-∞-B. (,2]-∞-C.(,1]-∞D.(,2]-∞4. 设0.1323,log 2,log 3a b c ===，那么,,a b c 的大小关系为 A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<5. 函数()f x 满足2(1)f x x x -=-，那么()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是A. 20x y +-=B. 30x y -=C. 310x y --=D. 20x y -=6. 函数()()ln xxf x e e x -=+的图象大致为①命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，那么非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x > ②在ABC ∆中，假设sin 2sin 2A B =，那么角A 与角B 相等③命题：“假设tan x =3x π=〞的逆否命题是假命题以上正确的命题序号是 A.①②③B.①②C.①③D.②③8. 假设奇函数()f x 满足当[0,)x ∈+∞时，2()log (2)f x x x b =+++，那么不等式()3f x ≥成立的一个充分不必要条件是A. 2x ≥B. 3x ≥C. 1x ≥D. 3x <9. ?九章算术?是我国古代的数学巨著，其中?方田?章给出了计算弧田面积所用的经历公式为：弧田面积12=⨯〔弦×矢+矢2〕，弧田〔如图阴影局部所示〕是由圆弧和弦围成，公式中的“弦〞指圆弧所对的弦长，“矢〞等于半径长与圆心到弦的间隔 之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是A. 12C.D. 10. 在ABC ∆中，,BD DC E =是AD 的中点，那么EB =A. 2133AB AC - B. 2133AB AC -+C. 3144AB AC -+D. 3144AB AC -11. 函数23()123x x f x x =+-+，假设()(2020)h x f x =-的零点都在(,)a b 内，其中,a b均为整数，当b a -取最小值时，那么b a +的值是 A. 4039B. 4037C. 1D. 1-12. 函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，假设()f x 在[0,)x t ∈时所求函数值中没有最小值，那么实数t 的范围是 A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．5,36ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．向量(1,1),(2,)a b y ==，假设()a a b ⊥-，那么实数y = ．14．函数2,(0,2]()1(1),(2)22x xf x x f x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩那么(8)f = ．15. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.假设24m n +=，那么2＝ ．〔用数字答题〕16．定义min{,}a b =,,a a bb a b≤⎧⎨>⎩，假设{}()min 1,3f x x x =+-，那么使不等式(2)(2)f x f x ≤-成立的x 的取值范围是 ．三、解答题：一共70分。