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人教版数学八年级上册教学设计13.1《轴对称》一. 教材分析人教版数学八年级上册第13.1节《轴对称》是初中数学中的重要内容，主要让学生理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，并能够运用轴对称解决实际问题。
本节内容通过具体的实例，引导学生探究轴对称的性质，培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了平面几何的基本概念，对图形的性质有一定的了解。
但轴对称作为一个全新的概念，对学生来说还是有一定难度的。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，从生活实例出发，引导学生理解轴对称的概念，逐步掌握轴对称的性质。
三. 教学目标1.了解轴对称的概念，能够识别生活中的轴对称现象。
2.掌握轴对称的性质，能够运用轴对称解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.轴对称的概念和性质。
2.运用轴对称解决实际问题。
五. 教学方法1.采用情境教学法，从生活实例出发，引导学生发现轴对称现象。
2.采用探究教学法，让学生通过合作交流，自主发现轴对称的性质。
3.采用实践教学法，让学生动手操作，巩固对轴对称的理解。
4.采用问题教学法，引导学生运用轴对称解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件，展示生活中的轴对称现象。
2.准备一些实际的例子，用于引导学生发现轴对称的性质。
3.准备一些练习题，用于巩固学生对轴对称的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的轴对称现象，如剪纸、衣服的折叠等，引导学生发现并理解轴对称的概念。
2.呈现（10分钟）呈现一些实际的例子，让学生观察并探讨轴对称的性质。
如：轴对称图形的大小、形状、位置关系等。
3.操练（10分钟）让学生分组进行操作，通过实际动手，发现并验证轴对称的性质。
可以让学生剪出一些轴对称的图形，观察并总结其性质。
4.巩固（10分钟）让学生解决一些实际问题，运用轴对称的知识。
如：设计一个轴对称的图案，或解决一些与轴对称相关的几何问题。
13．1 轴对称工欲善其事，必先利其器。
《论语·卫灵公》翰皓学校陈阵语13.1.1 轴对称(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念．2．能识别简单的轴对称图形及其对称轴．【过程与方法】通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习以及动手操作，让学生关注生活，学会观察，增强交流．【情感态度与价值观】通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动，体会图形的美，同时感悟数学来源于生活又用于生活．二、重难点目标【教学重点】轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念以及区别和联系．【教学难点】轴对称的性质．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P58～P60的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.3．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.4．图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．5．下列体育运动标志中，不是轴对称图形的有1个．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个图形是否是轴对称图形？如何找轴对称图形的对称轴？【解答】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．则(1)(3)(5)6)(9)不是轴对称图形，(2)(4)(7)(8)(10)是轴对称图形．(2)(4)(8)有1条对称轴；(7)有4条对称轴；(10)有2条对称轴．【互动总结】(学生总结，老师点评)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．【例2】如图，△ABC和△AED关于直线l对称，若AB＝2 cm，∠C＝95°，则AE＝________，∠D＝________.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据轴对称的性质，有AE＝AB＝ cm，∠D＝∠C＝95°.【答案】2 cm 95°【互动总结】(学生总结，老师点评)根据成轴对称的两个图形全等及全等的性质得到对应线段相等，对应角相等．活动2 巩固练习(学生独学)1．下图中的轴对称图形有( B )A．(1)(2) B．(1)(4)C．(2)(3) D．(3)(4)2．如图，一种滑翔伞的形状是左右轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是( A )A．130°B．150°C．40°D．65°3．画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，正多边形的边34567…数对称轴的条数4567…n条对称轴．解：如图．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．可用折叠法判断是否为轴对称图形．2．多角度、多方法思考对称轴的条数．3．对称轴是一条直线，一条垂直于对应点连线的直线．4．轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的形．请完成本课时对应练习！13.1.2 线段的垂直平分线的性质第2课时线段垂直平分线的性质和判定一、基本目标【知识与技能】探索并理解线段垂直平分线的性质及判定．【过程与方法】经历探索轴对称图形性质及判定的过程，发展空间观念，培养学生认真探究、积极思考的能力．【情感态度与价值观】通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．二、重难点目标【教学重点】掌握线段垂直平分线的性质及判定．【教学难点】运用其性质及判定解答相关问题．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P61～P62的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？答：直线MN垂直平分线段AA′、BB′、CC′.2．垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等.3．垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.4．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是( C ) A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分∠AMB环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)△DBC 的周长为35 cm ，求BC →需求BC ＋DC 的长，利用AD ＝BD (垂直平分线的性质)→BC ＋DC ＝AC .【解答】∵△DBC 的周长＝BC ＋BD ＋CD ＝35 cm ，DE 垂直平分AB ， ∴AD ＝BD ，故BC ＋AD ＋CD ＝35 cm. ∵AC ＝AD ＋DC ＝20 cm ， ∴BC ＝35－20＝15(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【例2】如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的关系．【互动探索】(引发学生思考)先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，从而找出AD 与EF 的关系．【解答】AD 垂直平分EF .∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF .在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，∵⎩⎨⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ， ∴AE ＝AF ，∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上，即直线AD 垂直平分线段EF . 【互动总结】(学生总结，老师点评)证线段垂直平分线的方法1即定义，证垂直平分，方法2即线段垂直平分线的判定定理．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA ＝5，则线段PB 的长度为( B )A．6 B．5C．4 D．32．到平面内不在同一直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有1个．3．如图，在△ABC中，D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连结DF，交AC于点E，连结BE，∠A＝∠ABE.(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．(1)证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB.∵AD＝DB，∴DF是线段AB的垂直平分线．(2)解：∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝21°，∠F＝90°－∠ABC＝23°.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC ＝AD ； (2)AB ＝BC ＋AD .【互动探索】(1)根据AD ∥BC 可知∠ADC ＝∠ECF ，再根据E 是CD 的中点可证△ADE ≌△FCE ，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB ＝BF 即可．【解答】(1)∵AD ∥BC ， ∴∠ADC ＝∠ECF . ∵E 是CD 的中点， ∴DE ＝EC .又∵∠AED ＝∠CEF ，∴△ADE ≌△FCE ， ∴FC ＝AD .(2)∵△ADE ≌△FCE ， ∴AE ＝EF . ∵BE ⊥AE ，∴BE 是线段AF 的垂直平分线， ∴AB ＝BF ＝BC ＋CF . ∵AD ＝CF ， ∴AB ＝BC ＋AD .【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)线段垂直平分线⎩⎨⎧性质：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等判断：与线段两个端点距离相等的点在这 条线段的垂直平分线请完成本课时对应练习！第3课时线段垂直平分线的有关作图一、基本目标【知识与技能】理解并掌握线段垂直平分线的有关作图．【过程与方法】经历探索线段垂直平分线的有关作图的过程，发展空间观念，培养学生认真探究、积极思考的能力．【情感态度与价值观】通过作轴对称图形的对称轴，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与操作的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力，同时培养学生动手操作的意识及能力．二、重难点目标【教学重点】理解作轴对称图形的对称轴的方法．【教学难点】能解决有关线段垂直平分线的作图题．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P62～P63的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．2．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．3．下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴．解：它们都是轴对称图形，第一幅图的对称轴是中间的水平直线，第二、三幅图的对称轴是中间的竖着直线．4．作线段AB的垂直平分线．解：作法：(1)分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点；(2)作直线EF，EF即为所求的直线．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例题】找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来．【互动探索】(引发学生思考)如何作轴对称图形的对称轴？【解答】所画对称轴如下所示：【互动总结】(学生总结，老师点评)对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．活动2 巩固练习(学生独学)1．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？解：图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称，整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴．2．观察图中的图形，是轴对称图形的画出所有的对称轴．略环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)作对称轴的步骤：先找出任意一对对应点，再作出对应点所连线段的垂直平分线．请完成本课时对应练习！【素材积累】指豁出性命，进行激烈的搏斗。
八年级数学上册 13.1 轴对称 13.1.1 轴对称教学设计（新版）新人教版一. 教材分析《新人教版八年级数学上册》第13.1节介绍了轴对称的概念和性质。
本节内容是学生对几何图形变换的一次重要学习，它不仅巩固了学生对平面几何图形的认识，而且为后续学习其他几何变换打下基础。
教材通过丰富的实例，引导学生认识轴对称，探索轴对称的性质，提高学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的几何知识，具备一定的观察、分析和推理能力。
但轴对称概念较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，教师应注重引导学生通过具体实例去发现和探索轴对称的性质，让学生在实践中掌握知识。
三. 教学目标1.让学生了解轴对称的概念，理解轴对称的性质。
2.培养学生观察、分析和推理的能力。
3.引导学生运用轴对称的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.轴对称的概念及性质。
2.如何运用轴对称的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。
通过生动有趣的实例，引导学生发现轴对称的性质，激发学生的学习兴趣。
在小组合作学习中，培养学生团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.准备与轴对称相关的实例图片和练习题。
2.准备课件，展示轴对称的性质和应用。
3.准备黑板，用于板书重要知识点。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活中常见的实例，如剪纸、折纸等，引导学生发现这些实例中存在一种对称现象。
提问：“这种现象叫做什么？”让学生回答，引出本节课的主题——轴对称。
2. 呈现（10分钟）展示轴对称的定义和性质。
通过PPT呈现轴对称的图片，让学生观察并总结轴对称的性质。
同时，教师在黑板上画出轴对称的图形，标注出对称轴，让学生更直观地理解轴对称。
3. 操练（15分钟）让学生分组讨论，每组找出生活中的一个实例，运用轴对称的性质进行解释。
讨论结束后，每组选代表进行分享。
教师对每组的分享进行点评，指出优点和需要改进的地方。
13.1轴对称知识要点：1.轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．2.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．3.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．4.判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若P A=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．一、单选题1．如图所示，哪一个选项中的左边图形与右边图形成轴对称( )A．B．C．D．【答案】C2．下列图形中，不一定是轴对称图形的是( )A．圆B．正方形C．三角形D．线段【答案】C3．下列选项中的图形均为正多边形，其中恰有4条对称轴的是( )A．B．C．D．【答案】B4．如果一个三角形有三条对称轴，那么它一定是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】A5．如图，是由四个四条边都相等的四边形组成的商标图案，在图中用虚线画出的6条直线中，是这个图案的对称轴的直线是( )A．①①①①①①B．①①C．①①①D．①①①【答案】B6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在①A，①B两内角平分线的交点处【答案】C7．如图，已知直角三角形ABC中，①ACB=90°，E为AB上一点，且CE=EB，ED①CB 于D，则下列结论中不一定成立的是（）A．AE=BE B．CE=12AB C．①CEB=2①A D．AC=12AB【答案】D8．已知①ABC与①A1B1C1关于直线MN对称，且BC与B1C1交直线MN于点O，则（）A．点O是BC的中点B．点O是B1C1的中点C．线段OA与OA1关于直线MN对称D．以上都不对【答案】C9．如图，在3×2的正方形网格中，已有两个小正方形被涂上了阴影，再将图中其余小正方形任意一个涂上阴影，使整个阴影部分构成一个轴对称图形的涂法有()A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】C10．下列图形中,轴对称图形的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B11．如图，①ABC中，AD①BC于点D，且BD=DC，E是BC延长线上一点，且点C在AE的垂直平分线上．有下列结论：①AB=AC=CE；①AB+BD=DE；①AD=12AE；①BD=DC=CE．其中，正确的结论是（）A．只有①B．只有①②C．只有①②③D．只有①④【答案】B12．如图，在①ABC中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若①ADC的周长为7cm，AC=2cm，则BC的长为（）cm．A．4B．5C．3D．以上答案都不对【答案】B13．如图,在①ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于12AB长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;①作直线MN交BC于点D,连接AD.若AD=AC,①B=25°,则①C=( )A．70°B．60°C．50°D．40°【答案】C14．如图，在①ABC中，①C＝90°，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若AB＝13，AC＝5，则①ACD的周长为( )A．18B．17C．20D．25【答案】B二、填空题15．如图，在①ABC中，①C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若①CBD : ①DBA ＝3:1，则①A的度数为________．【答案】18°16．在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人在如图23－6－9所示的藏宝图中找到了两个标志点A(2，3)，B(4，1)，A，B两点到“宝藏”点的距离相等，则“宝藏”点的可能坐标是________(填一个即可)．【答案】如(0，－1)或(1，0)或(2，1)或(3，2)或(4，3)或(5，4)或(6，5)等17．如图所示，不是轴对称图形的有_____(只写序号)．【答案】⑥⑥⑥18．如图，①ABC与①DEF关于直线l对称，若①C＝40°，①B＝80°，则①F＝______．【答案】40°19．①ABC与①A′B′C′关于直线l对称，如果①ABC的周长为38cm，①A′B′C′的面积为55 cm2，那么①A′B′C′的周长为__________cm，①ABC的面积为__________cm2.【答案】38 55三、解答题20．如图：AD为①ABC的高，①B=2①C，用轴对称图形说明：CD=AB+BD．证明：在CD上取一点E使DE=BD，连接AE.⑥BD=DE，且⑥AED为⑥AEC的外角，⑥B=2⑥C，⑥⑥B=⑥AED=⑥C+⑥EAC=2⑥C，⑥⑥EAC=⑥C，⑥AE=EC；则CD=DE+EC=AB+BD.21．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格：根据上表，猜想正n边形有________条对称轴．解：如图．故表格中依次填3，4，5，6，7；猜想正n边形有n条对称轴．22．如图，在Rt①ABC中，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且①APM＝①A.求证：点M在BN的垂直平分线上．证明：⑥⑥B＋⑥A＝90°，⑥N＋⑥CPN＝90°，又⑥⑥CPN＝⑥MPA＝⑥A，⑥⑥B＝⑥N，⑥BM＝MN，⑥点M在BN的垂直平分线上．23．如图，在四边形ABCD中，AC①BD于点E，BE＝DE，已知AC＝10 cm，BD＝8 cm，求阴影部分的面积．⑥AC⑥BD ，BE ＝DE ，⑥点B ，D 关于直线AC 对称，又⑥点E 在AC 上，⑥⑥BEF 与⑥DEF 关于直线AC 对称， ⑥⑥BEF⑥⑥DEF ，⑥S 阴影＝S ⑥ABC ，又⑥BD ＝8，⑥BE ＝4，⑥S ⑥ABC ＝12AC·BE ＝12×10×4＝20(cm 2)24．ABC V 在平面直角坐标系中的位置如图所示． ()1在图中画出ABC V 与关于y 轴对称的图形111A B C V ，并写出顶点1A 、1B 、1C 的坐标；()2若将线段11A C 平移后得到线段22A C ，且()()2222A a C b ，，，-，求a b +的值．解：（1）如图所示：A1（2，3）、B1（3，2）、C1（1，1）．（2）⑥A1（2，3）、C1（1，1），A2（a，2），C2（-2，b）．⑥将线段A1C1向下平移了1个单位，向左平移了3个单位．⑥a=-1，b=0．⑥a+b=-1+0=-1。
第十三章轴对称13．1轴对称13．1.1轴对称1．理解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．2．了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点．3．掌握线段垂直平分线的概念．4．理解和掌握轴对称的性质．重点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．难点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系．一、作品展示1．让部分学生展示课前的剪纸作品．2．小组活动：(1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的？为什么要这样？(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点？二、概念形成(一)轴对称图形1．在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”．2．结合教材图13.1－1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置．3．学生举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子．4．概念应用：(1)教材第60页练习第1题．(2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，它们的对称轴是什么？(二)两个图形关于某条直线对称1．观察教材中的图13.1－3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点？2．两个图形成轴对称的定义．观察右图：把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，则称△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，简称“轴对称”，点A与点A′对应，点B与B′对应，点C与C′对应，称为对称点，直线l叫做对称轴．3．举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？4．讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别．(三)轴对称的性质观察教材中图13.1－4，线段AA′与直线MN有怎样的位置关系？你能说明理由吗？引导学生说出如下关系：PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°.类似的，点B和点B′，点C和点C′是否有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？结合学生发表的观点，教师总结并板书．对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．在这个基础上，教师给出线段的垂直平分线的概念，然而把上述规律概括成图形轴对称的性质．上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也有同样的关系？从而得出：类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一个对应点所连线段的垂直平分线．三、归纳小结主要围绕下列几个问题：(1)概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点；(2)找轴对称图形的对称轴．四、布置作业教材习题13.1第1，2，3题．数学教学应该选在牵一发而动全身的关键之处进行，轴对称图形的认识的教学就是要抓住“对折”与“完全重合”两个关键之处．不然就是隔靴搔痒. 当“部分重合”与“完全重合”理解了，轴对称图形的概念也会在学生脑海中留下深刻的印象．13．1.2线段的垂直平分线的性质(2课时)第1课时线段的垂直平分线的性质与判定掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它．二、探究新知(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB.证明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(二)线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法．已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：P点在AB的垂直平分线上．证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC ≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．证法三过P点作∠APB的平分线．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．证法四过P作线段AB的垂直平分线PC.∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分线上．四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．”师生共析：如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 外一点C.(如下图) 求作：AB 的垂线，使它经过点C.作法：(1)任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁． (2)以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和点E.(3)分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F.(4)作直线CF.直线CF 就是所求作的垂线．师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF 就是所求作的垂线？请与同伴进行交流．生：从作法的第(2)(3)步可知CD ＝CE ，DF ＝EF ，∴C ，F 都在AB 的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)．∴CF 就是线段AB 的垂直平分线(两点确定一条直线)．师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB 的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点．三、课堂练习教材第62页练习第1，2题．四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线．五、布置作业1．教材习题13.1第6题． 2．补充题：(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA ＝PB ，PO ⊥AB ，则必有AO ＝BO ，为什么？(2)如左下图，△ABC 中，AC ＝16 cm ，DE 为AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为26 cm .求BC 的长．(3)有A ，B ，C 三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等．第2课时 画对称轴会画轴对称图形的对称轴．重点轴对称图形的对称轴的画法． 难点轴对称图形的对称轴的画法．一、提出问题如果两个平面图形成轴对称，你能用什么办法验证？不经过折叠，你能用什么方法画出它的对称轴？ 二、探究新知 我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可，如何作线段的垂直平分线呢？例1 如图(1)，已知点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？分析：我们只要连接点A 和点B ，作出线段AB 的垂直平分线，就可以得到点A 和点B 的对称轴，为此作出到点A ，B 距离相等的两点，即线段AB 的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB 的垂直平分线．教师具体分析画法、写出画法，根据画法作出图形． 学生模仿教师的画法，边写画法，边画图．作法：如图(2)．(1)分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧(想一想，为什么)，两弧相交于C ，D 两点；(2)作直线CD.CD 就是所求作的直线．这个作法实际上就是线段的垂直平分线的尺规作图． 教师引导学生思考：(1)在作法中为什么有CA＝CB，DA＝DB?(2)可以用这种方法找线段的中点吗？四等分点呢？三、举例分析例2如图(1)，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．教学方法：启发学生把问题转化为已解决问题，只要画出点A、点A′连线的垂直平分线即可，如图(2)．例3图(1)是一个五角星，请画出它的对称轴．教学方法：引导学生思考五角星有几条对称轴，点A可以和哪些点成对应点？最后化归到例2，由学生自己完成．四、巩固练习教材第64页练习第1，2，3题．五、课堂小结本节课你有什么收获？还有哪些不懂的地方吗？六、布置作业教材习题13.1第7，8题．通过前两节的学习，这节画对称轴的习题课就可以全部交由学生自己完成．画轴对称图形的对称轴就是利用两个对称点找到对称轴，即画出这对对应点连线的垂直平分线，让学生用尺规作图，独立完成．13．2画轴对称图形(2课时)第1课时作轴对称图形通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法．重点能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．难点较复杂图形的轴对称图形的画法．一、问题导入我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法．二、探究新知[活动]在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？(成轴对称)对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP′是什么关系？(直线l垂直平分线段PP′)[思考1]如何画一个点的对称图形？例1画出点A关于直线l的对称点A′.画法：(1)过点A作对称轴l的垂线，垂足为B；(2)延长AB到A′，使得BA′＝AB.点A′就是点A关于直线l的对称点．[思考2]如何画一条直线的对称图形？例2已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段．画法：(1)画出点A关于直线l的对称点A′.(2)画出点B关于直线l的对称点B′.(3)连接点A′和点B′成线段A′B′.线段A′B′即为所求．[思考3]如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？例3如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．画法：(1)过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，A′就是点A 关于直线l的对称点．(2)同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′.(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．三、课堂练习1．教材第68页练习第1，2题2．下列图形中，点P与P′关于直线MN对称的图形是()四、小结与作业1．归纳：几何图形都可以看成由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到图形的对称图形．2．作业：教材习题13.2第1题．几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．第2课时用坐标表示轴对称1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．重点用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．难点找对称点的坐标之间的关系．一、问题导入教材图13.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？二、探究新知【探究1】(1)在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(0，－3)；(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格；(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．【探究2】在同一平面直角坐标系内描出以上各点关于y轴的对称点并写出坐标，观察关于y轴对称的两个点的坐标有什么规律？【归纳】关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．【探究3】按以上规律，说出点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标，再说出P1关于y轴的对称点P2坐标．观察点P经过两次轴对称所得点P2的坐标有什么规律？【归纳】一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．在以后学了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称．三、举例分析【例1】已知A(2，a)，B(－b，4)，分别根据下列条件求a，b的值．(1)A，B关于y轴对称；(2)A，B关于x轴对称；(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称．【解析】(1)A，B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反，a＝4，b＝2；(2)A，B关于x轴对称，说明横坐标相同，纵坐标相反，a＝－4，b＝－2；(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称，说明A，B经过x轴、y轴两次对称变换，即关于原点对称，横、纵坐标各互为相反数，a＝－4，b＝2.【例2】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．学生独立完成，教师用多媒体出示出正确答案并讲评．四、课堂巩固1．平面直角坐标系中，点P(4，－5)关于x轴的对称点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知点P(－2，3)关于y轴对称点为Q(a，b)，则a＋b的值为()A．1B．－1C．5D．－53．点P(a，b)关于x轴对称的点为P1，点P1关于y轴的对称点为P2，则P2的坐标为() A．(a，b) B．(a，－b)C．(－a，b) D．(－a，－b)4．若点(a，b)与点(m，n)满足a＋m＝0，b－n＝0，则这两点关于()对称．A．x轴B．y轴C．x轴或y轴D．不确定五、拓展思维如图，点A(1，4)，B(4，1)，l为第一、三象限角∠xOy的平分线．(1)求证：l垂直平分AB；(2)A，B关于l成轴对称吗？(3)如果点A，B的坐标分别为(6，8)和(8，6)，它们还关于l对称吗？(4)如果你发现了对称点的坐标规律，写出点P(m，n)关于第一、三象限角平分线的对称点Q的坐标．六、小结与作业小结：(1)点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．(2)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)即横坐标互为相反数，纵坐标相等．作业：教材习题13.2第3，4题．本节课通过学生熟悉、向往的北京城内天安门、长安街、东直门等的方位引入新课，能强烈地吸引学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣．其中归纳规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤，并通过一系列的练习培养学生思维的流畅性，也使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标．13．3等腰三角形13．3.1等腰三角形(2课时)第1课时等腰三角形的性质和应用1．理解并掌握等腰三角形的性质．2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．3．观察等腰三角形的对称性、发展形象思维．重点等腰三角形的性质及应用．难点等腰三角形的性质的证明．一、情境导入【活动1】教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等．让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形．引入今天所要讲的课题——等腰三角形．我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形．二、探究新知如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？学生活动：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝AC.教师活动：让学生回顾等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．如下图．在△ABC 中，若AB ＝AC ，则△ABC 是等腰三角形，AB ，AC 是腰，BC 是底边，∠A 是顶角，∠B 和∠C 是底角．【活动2】把活动1中剪出的△ABC 沿折痕AD 对折，找出其中重合的线段，填入下表：重合的线段重合的角从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．教师活动：引导学生归纳．性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．【活动3】你能用所学知识验证上述性质吗？如图，在△ABC 中，AB ＝AC.求证：∠B ＝∠C.学生活动：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B ＝∠C ，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可．于是可以作辅助线构造两个三角形，作BC 边上的中线AD ，证明△ABD 和△ACD 全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．教师活动：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．证明：作BC 边上的中线AD ，如图．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，所以△ABD ≌△ACD(SSS )，所以∠B ＝∠C. 这样，就证明了性质1.类比性质1的证明你能证明性质2吗？由△ABD ≌△ACD ，还可得出∠BAD ＝∠CAD ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°.从而AD⊥BC，这也就证明了等腰△ABC底边上的中线平分顶角∠A并垂直于底边BC.添加辅助线的方法多样，让学生再去讨论、交流，即用类似的方法可以证明性质2.三、应用提高例1如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．学生活动：小组合作，分组讨论、交流．教师活动：引导学生分析图形中关于角的数量关系．(三角形的内角、外角，等腰三角形的底角)发现：(1)∠ABC＝∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；(2)∠A＝∠ABD；(3)∠A＋2∠C＝180°.若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角的度数．四、小结与作业请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？师生活动：学生思考后，用自己的语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：小结：(1)等边对等角；(2)等腰三角形的三线合一；(3)等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线)．作业：教材习题13.3第1，3，7题．本节课重点要让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出等腰三角形“两个底角相等”、“三线合一”的性质．设计理念是让学生通过感官认识、折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目的．第2课时等腰三角形的判定1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算．重点等腰三角形的判定方法．难点等腰三角形的判定方法的证明．一、提出问题出示教材第77页“思考”．学生思考，回答后教师提问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 学生猜想它们所对的边相等．即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 如何证明？ 二、解决问题教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证． 已知：在△ABC 中，∠B ＝∠C.求证：AB ＝AC.与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：高、顶角平分线、底边上的中线．让学生逐一尝试，发现可以作AD ⊥BC ，或AD 平分∠BAC ，但不能作BC 边上的中线．学生口头证明后，选一种方法写出证明过程．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，作△ABC 的角平分线AD.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，∴△BAD ≌△CAD(AAS )，∴AB ＝AC.归纳等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”． 三、应用举例 1．出示教材例2.引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等边对等角”来证明． 学生讨论后，自己完成证明过程．例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1＝∠2，AD ∥BC.(如图所示)求证：AB ＝AC.分析：要证明AB ＝AC.可先证明∠B ＝∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B ，∠C 与∠1，∠2的关系．证明：∵AD ∥BC ，∴∠1＝∠B(______________________)，∠2＝∠C(______________________)．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C.∴AB＝AC(______________)．2．出示教材例3.让学生自学例3.例3已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法：(1)作线段AB＝a.(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C，使DC＝h.(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．四、课堂小结1．等腰三角形的判定方法是什么？2．等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？五、布置作业教材习题13.3第2，8，10题．学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算．发展学生的动手、归纳猜想能力；发展学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想．13．3.2等边三角形(2课时)第1课时等边三角形的性质和判定1．掌握等边三角形的定义．2．理解等边三角形的性质与判定．重点等边三角形的性质和判定．难点等边三角形的性质的应用．一、问题引入在等腰三角形中，如果底边与腰相等，会得到什么结论？。
13.1 轴对称13.1.1 轴对称教学目标（一）教学知识点1．在生活实例中认识轴对称图．2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．（二）能力训练要求1．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．2．经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力．（三）情感与价值观要求通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高．教学重点轴对称图形的概念．教学难点能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．教学方法启发诱导法．教具准备师：1．天安门、蝴蝶、窗花、脸谱等图片．2．多媒体课件．3．投影仪．生：剪刀、小刀、硬纸板．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课[师]我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！从这节课开始，我们来学习第十二章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．Ⅱ．导入新课[师]我们先来看几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征．[生甲]这些图形都是对称的．[生乙]这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．[师]对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，•甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．[生丙]我们的黑板、课桌、椅子等．[生丁]我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．[师]同学们回答得真好，大家举了这么多对称的例子，现在我们来看一下下面的问题，我们来研究一下什么是轴对称图形．（演示多媒体课件）观察如图12．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），•再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花和图12．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？（学生讨论、探究）[生甲]窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．[生乙]不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图12．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合．[生结论]这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．[师]太好了!我们把这样的图形叫做轴对称图形．即（点击课件、屏幕显示）：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）•对称．[师]了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．（屏幕显示）取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，•将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．（学生操作、讨论，教师指导）[生]我们经过操作、讨论、交流得知：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．[师]很好，由此我们进一步了解了轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条，•大家请看屏幕．（点击课件）你能找出它们的对称轴吗？分小组讨论．学生讨论得出结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．[师]大家回答得很好，看屏幕．（演示折叠过程）(1) (2) (3) (4) (5)接下来，大家想一想，你发现了什么？（屏幕显示）[生甲]这些图形都是轴对称图形．[生乙]可是轴对称图形指的是一个图形，而这些图形每组都是两个图形，能不能说两个图形成轴对称呢？[师]乙同学的观察能力很强，提的问题非常好．像这样，•把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，•这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．（屏幕显示上图中的两个成轴对称图形的对称点）好，接下来我们做练习来巩固所学内容．Ⅲ．随堂练习（一）下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能指出它的对称轴吗？（图略）（学生口答）[生甲]图（1）是轴对称图形，它的对称轴是过蝴蝶头和尾的直线．[生乙]图（2）也是轴对称图形．它的对称轴是过第一架飞机头和尾的直线．[生丙]图（3）是轴对称图形．它的对称轴是中间那条竖直的线．[生丁]图（4）不是轴对称图形．图（5）是轴对称图形，它有四条对称轴．[师]大家回答得很好，看来同学们已能判断轴对称图形并找出它的对称轴了．（二）下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．答案：图（1）（3）（4）中的两个图案是轴对称的，图（2）不是．•其对称轴及对称点如图．Ⅳ．课时小结这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．Ⅴ．课后作业课本习题．Ⅵ．活动与探究成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？过程：（学生操作）在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合．再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，•再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合．结论：成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，•如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．。
13．1轴对称第1课时轴对称教学目标1．理解轴对称图形轴对称及线段垂直平分线的概念，并能作出它们的对称轴．2．了解轴对称图形和轴对称的区别和联系．3．掌握轴对称的性质．教学重点轴对称图形和轴对称的概念及轴对称的性质．教学难点轴对称图形和轴对称的区别和联系．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标我们生活在丰富多彩的图形世界里，许多美丽的事物往往与图形的对称联系在一起，如：中外各种风格的著名建筑、动植物、艺术作品、图标、日常生活用品等等，都和对称密不可分，我们可以根据自己的设想创造出对称的作品，装点和美化生活．就让我们一起走进轴对称的世界去感受它的奇妙和美丽吧！观察上图和教科书中的图片，你有什么感受？二、自主学习，指向目标1．自学教材第58至60页．2．请完成“《学生用书》”相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一轴对称图形和轴对称的概念活动一：阅读教材P58～59展示点评：1.图13.1－1，有什么共同特点？什么叫轴对称图形？对称轴是什么？请举出轴对称图形的实例．2．图13.1－3有什么共同特点？什么叫两个图形关于一条直线对称？请举出成轴对称图形的实例．小组讨论：轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别和联系？反思小结：1.判断一个图形是不是轴对称图形，关键是抓住轴对称的本质，即图形是否有“存在直线——将其折叠——互相重合”的图形特征．2．判断两个图形是否成轴对称，关键是是否有“存在直线——将其折叠——互相重合”的图形特征．跟踪训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 轴对称的性质 活动二：观察教材图13.3－4.展示点评：1.完成“思考”中的问题；2．一对对称点所连线段与对称轴在位置上有什么关系？ 3．什么叫线段的垂直平分线？请用符号语言表示． 小组讨论：图形轴对称有什么性质？它有什么作用？ 反思小结：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．它可以用来证明线段相等．跟踪训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标1．本节课学习了哪些主要内容？2．轴对称图形和轴对称的区别与联系是什么？3．成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有什么性质？我们是怎么探究这些性质的？实际问题―→⎩⎪⎨⎪⎧轴对称图形―→轴对称图形的性质轴对称 ―→ 轴对称的性质五、达标检测，反思目标1．下列图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是( A )2．下列说法错误的是( D )A ．关于某直线对称的两个三角形一定全等B ．轴对称图形至少有一条对称轴C ．正方形的一条对角线把它所分成的两个三角形成轴对称D ．角的对称轴是角的平分线3．如图，△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，若AB ＝2 cm ，∠C ＝55°，则DE ＝__2_cm __，∠F ＝__55°__．4．判断下列各种图形是不是轴对称图形？若是，画出它的对称轴．答：(1)(2)(3)(5)是轴对称图形．5．图中任意一个正方形与哪些正方形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？答：整个图形是轴对称图形，有4条对称轴．●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业教科书习题13.1第1、3、4题．2．课后作业见《学生用书》．第2课时线段的垂直平分线的性质(一)教学目标1．掌握线段垂直平分线的性质和判定．2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．教学重点线段垂直平分线的性质．教学难点线段垂直平分的性质的运用．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是直线l上的点，请猜想并验证点P1，P2，P3…到点A与点B的距离之间的数量关系？二、自主学习，指向目标1．自学教材第61页至62页．2．请完成“《学生用书》”相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一线段垂直平分线的性质活动一：1.完成教材P61探究栏目中的问题．2．线段垂直平分线的性质是什么？展示点评：请用推理的方法证明线段垂直平分的性质．(根据右图，写出已知，求证和证明)小组讨论：线段垂直平分线的性质在解题中有哪些应用？反思小结：线段垂直平分线的性质是证明线段相等的简捷的方法，运用它解题能省时省力．探究点二线段垂直平分线的判定活动二：1.反过来，如果PA＝PB，那么P是否在线段AB的垂直平分线上？2．由此，我们可以得到什么结论？3．请写出以上结论的证明过程．展示点评：你能再找一些到线段两端的距离相等的点吗？能找多少个这样的点？这些点能组成什么几何图形？由此我们可以得以什么结论．小组讨论：线段垂直平分线的性质与判定之间有何联系与区别？反思小结：线段垂直平分线的性质与判定之间题设和结论正好相反，是互逆定理． 跟踪训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．本节课学习了哪些内容？2．线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？ 3．如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？实际问题―→⎩⎪⎨⎪⎧线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的判定实际应用五、达标检测，反思目标1．如图，CD 垂直平分AB ，若AC ＝1.6 cm ，BD ＝2.3 cm ，则四边形ACBD 的周长为( B )．,第1题图) ,第2题图)A ．3.9 cmB ．7.8 cmC ．3.2 cmD ．4.6 cm 2．如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( C )．A ．在边AC 、BC 两条高的交点处B ．在边AC 、BC 两条中线的交点处 C ．在边AC 、BC 两条垂直平分线的交点处D ．在∠ABC 、∠ACB 两条角平分线的交点处 3．如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD⊥OB ，垂足分别为C ，D ，下列结论不一定成立的是( D )．,第3题图) ,第4题图),第5题图)A ．PC ＝PDB ．PO 平分∠CPDC．OC＝OD D．CD垂直平分OP4．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交AB于点E，若△ABC的周长为10 cm，BC ＝4 cm，求△ACE的周长．解：△ACE的周长6 cm.5．如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．解：BE＝CE∵AB＝AC，DB＝DC.∴AD是BC的垂直平分线．∴点E是AD上一点．∴BE＝CE.●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业教科书习题13.1第6、9题．2．课后作业见《学生用书》．第3课时线段的垂直平分线的性质(二)教学目标1．能用尺规过直线外一点作已知直线的垂线和线段的垂直平分线．2．了解作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．3．运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．教学重点用尺规作过直线外一点作已知直线的垂线和作线段的垂直平分线．教学难点理解作图的依据和用数学语言描述作图过程．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标教师用多媒体显示几幅轴对称的图形．问题轴对称的性质是什么？追问：说一说线段垂直平分线的性质，如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？二、自主学习，指向目标 1．自学教材第62至63页．2．请完成“《学生用书》”相应部分． ●合作探究 达成目标探究点一 尺规作图：经过直线外一点作已知直线的垂线 活动一：已知：直线和直线外一点C. 求作：AB 的垂线，使它经过点C.展示点评：作法：小组讨论：为什么直线CF 就是所求作的直线．变式：尺规作图，已知：直线AB 和AB 上一点C ，求作AB 的垂线，使它经过点C.反思小结：过已知直线外一点作已知直线的垂线的依据是线段垂直平分线的性质的逆定理．跟踪训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 作线段的垂直平分线活动二：1.思考教材P 62页“思考”栏目中的问题．例2 如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？展示点评：求作的这条直线与线段AB 之间有什么关系？变式练习：作出五角星的一条对称轴，和同学比较一下，所作出的对称轴一样吗？小组讨论：用尺规作图的方法怎样作出线段的中点？这种作法的依据什么？ 反思小结：用尺规作线段垂直平分线的依据是线段垂直平分线的性质和两点确定一条直线，用尺规作图的方法作线段的垂直平分线，它与线段的交点就是线段的中点．五角星有5条对称轴，作轴对称图形的对称轴的方法是：找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．跟踪训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．本节课学习了哪些内容？2．作线段的垂直平分线的依据是什么？举例说明这种作法有哪些运用？ 3．如何用尺规作轴对称图形的对称轴？过直线外一点作已知直线的垂线―→作线段的垂直平分线――→应用画轴对称图形的对称轴 五、达标检测，反思目标1．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD.若△ADC 的周长为10，AB ＝7，则△ABC 的周长为( C )A ．7B ．14C ．17D ．202．为了推进农村新型合作医疗制度，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇所属A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等(A 、B 、C 不在同一直线上，地理位置如下图)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：不写作法，保留作图痕迹．提示：连接直线AB 、BC ，作AB ，BC 的垂直平分线交点即为所求． ●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业 教科书习题13.1第2，10，12题． 2．课后作业 见《学生用书》．。
13.1 轴对称（第3课时）
一、学习目标
1、会依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴；
2、掌握作出轴对称图形的对称轴的方法，即线段垂直平分线的尺规作图。
二、温故知新（口答）
1、下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴。
2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 所连 的 线.
3、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。
三、自主探究 合作展示
【问题】
1、 如果我们感觉两个图形是成轴对称的，你准备用什么方法去验证？
2、 两个成轴对称的图形，不经过折叠，你有什么方法画出它的对称轴？
归纳：
作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对 ，作出连接它们的 的 线，就可以得到这两个图形的对称轴．
【新知应用】
例题1：如图（1），点A 和点B 关于某条直线成轴对称，
你能作出这条直线吗?
1、请同学们按照以下作法在图（1）中完成作图。
作法：
（1）分别以点A 、B 为圆心，以 的长为半径作弧，两弧相交于C 和D 两点；
（2）作直线CD ．
直线CD 即为所求的直线．
2、思考：（1）在上述作法中，为什么要以“大于
12
AB 的长”为半径作弧？
（2）在上面作法的基础上，连接AB ， 直线CD 是线段AB 的垂直平分线吗？并说明理由．
图（1）
例题2：如图（2），在五角星上作出它的一条对称轴。
例题反思：
四、双基检测
1、如图（3），下面的虚线中，哪些是图形的对称轴，哪些不是?
2、如图（4），画出图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们画的对称轴一样吗?
3、如图（5），角是轴对称图形吗?如果是，画出它的对称轴。
4、如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．
5、下面是我们学过的一些几何图形，说出下面图形是不是轴对称图形，并完成下表。
五、学习反思
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
图 形 长方 形
正方 形 三角
形 等腰 三角 形 等边 三角 形 平行 四边 形 任意 梯形 等腰 梯形 圆 对称轴的条数
图（3） 图（4） 图（5）
图（2）。
