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第七章、反比例函数 (1)一、反比例函数知识要点点拨 (1)二,、典型例题 (2)三、反比例函数中考考点突破 (8)四、达标训练 (10)(一)、基础.过关 (10)(二)、综合.应用 (11)五、分类解析及培优 (13)(一)、反比例函数k的意义 (13)(二)、反比例函数与三角形合 (14)(三)、反比例函数与相似三角形 (15)(四)、反比例函数与全等三角形 (15)(五)、反比函数图像上四种三角形的面积 (15)(六)、反比例函数与一次函数相交题 (19)1、联手演绎无交点 (20)2、联手演绎已知一个交点的坐标 (20)3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布 (20)4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标 (20)(七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 (21)(八)、与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧 (23)六、拓展练习 (26)练习(一) (26)练习（二） (28)练习(三) (32)本章参考答案 (35)第七章、反比例函数反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。
由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。
一、反比例函数知识要点点拨1、反比例函数的图象和性质：图象性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠． ②当0k >时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小．①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠．②当0k <时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．2、反比例函数与正比例函数(0)y kx k =≠的异同点：函数 正比例函数反比例函数解析式 (0)y kx k =≠(0)ky k x=≠ 图象 直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围全体实数0x ≠的一切实数图象的位置当0k>时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．性质当0k>时，y 随x 的增大而增大； 当0k<时，y 随x 的增大而减小．当0k >时，y 随x 的增大而减小； 当0k<时，y 随x 的增大而增大．二,、典型例题例 1下面函数中，哪些是反比例函数？（1）3x y -=；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.81=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）．说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，xky =)0(≠k ，它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式，（4），（5）就是这两种形式．xyOxyO例 2在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）；(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）；(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）；(9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 （ ）； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）．答：说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义． 例 3 已知反比例函数62)2(--=ax a y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式．分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题． 解 因为62)2(--=ax a y 是反比例函数，且y 随x 的增大而减小，所以⎩⎨⎧>--=-.02,162a a 解得⎩⎨⎧>±=.2,5a a所以5=a ，解析式为xy 25-=． 例4 （1）若函数22)1(--=mx m y 是反比例函数，则m 的值等于（ ）A ．±1B ．1C ．3D ．－1（2）如图所示正比例函数0(>=k kx y ）与反比例函数xy 1=的图像相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ．若ABC∆的面积为S ，则：A ．1=SB ．2=SC ．3=SD ．S 的值不确定解：（1）依题意，得⎩⎨⎧-=-≠-,12,012m m 解得1-=m ．故应选D ． （2）由双曲线xy 1=关于O 点的中心对称性，可知：OBC OBA S S ∆∆=．∴12122=⋅=⨯⨯==∆AB OB AB OB S S OBA ． 故应选A ．例5 已知21y y y +=，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，当1=x 时，4=y ；当3=x 时，5=y ，求1-=x 时，y 的值．分析 先求出y 与x 之间的关系式，再求1-=x 时，y 的值． 解 因为1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，所以)0(,212211≠==k k xk y x k y ． 所以xkx k y y y 2121+=+=．将1=x ，4=y ；3=x ，5=y 代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.5313,42121k k k k 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.821,81121k k 所以xx y 821811+=． 所以当1-=x 时，4821811-=--=y ． 说明 不可草率地将21k k 、都写成k 而导致错误，题中给出了两对数值，决定了21k k 、的值．例 6 根据下列表格x 与y 的对应数值．x …… 1 2 3 4 5 6 … y … 6 3 2 1.5 1.2 1 …（1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．解：（1）图像如右图所示．（2）根据图像，设)0(≠=k xky ，取6,1==y x 代入，得16k=． ∴6=k ． ∴函数解析式为)0(6>=x xy ． 说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性． 例 7（1）一次函数1+-=x y 与反比例函数xy 3=在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）（2）一次函数12--=k kx y 与反比例函数xky =在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（ ）解：1+-=x y 的图像经过第一、二、四象限，故排除B 、C ；又xy 3=的图像两支在第一、三象限，故排除D ．∴答案应选A ．（2）若0>k ，则直线)1(2+-=k kx y 经过第一、三、四象限，双曲线xky =的图像两支在第一、三象限，而选择支A 、B 、C 、D 中没有一个相符；若0<k ，则直线)1(2+-=k kx y 经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有C 正确．应选C ．例8， 已知函数24231-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=m xm y 是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，y随x 的增大而减小，求反比例函数的解析式．解：因为y 是x 的反比例函数，所以1242-=-m ，所以21=m 或.21-=m 因为此函数图像在每一象限内，y 随x 的增大而减小 ，所以031>+m ，所以31->m ，所以21=m ，所以反比例函数的解析式为.65xy =说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数xky = )0(≠k ，当0>k 时，y 随x 增大而减小，当0<k 时，y 随x 增大而增大．例 9 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米．（1）写出用高表示长的函数关系式；（2）写出自变量x 的取值范围； （3）当3=x 厘米时，求y 的值； （4）画出函数的图像．分析 本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式． 解 （1）因为长方体的长为y 厘米，宽为5厘米，高为x 厘米，所以1005=xy ，所以xy 20=．（2）因为x 是长方体的高．所以0>x ．即自变量x 的取值范围是0>x ． （3）当3=x 时，326320==y （厘米） （4）用描点法画函数图像，列表如下：x … 0.5 2 5 10 15 …y … 40 10 4 2 311 …描点画图如图所示．例 10 已知力F 所作用的功是15焦，则力F 与物体在力的方向通过的距离S 的图象大致是（ ）．说明 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系．解 据S F W ⋅=，得15=S F ⋅，即S F 15=，所以F 与S 之间是反比例函数关系，故选（B ）．例11 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.32如果如下图所示放在桌上，对桌面的压强是Pa 200，翻过来放，对桌面的压强是多少？解：由物理知识可知，压力F ，压强p 与受力面积S 之间的关系是.SFp =因为是同一物体，F 的数值不变，所以p 与S 成反比例． 设下底面是0S ，则由上底面积是032S ，由SFp =，且0S S =时，200=p ，有.20020000S S pS F =⨯==因为是同一物体，所以0200S F =是定值．所以当032S S =时，).Pa (3003220000===S S SF p 因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是300帕．说明：本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的．例12 如图，P 是反比例函数xky =上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式．分析 求反比例函数的解析式，就是求k 的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解．解 设P 点坐标为),(y x ．因为P 点在第二象限，所以0,0><y x ． 所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为y x ,-．又2=-xy ，所以2-=xy ．因为xy k =，所以2-=k ． 所以这个反比例函数的解析式为xy 2-=． 说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于xky =中的k ． 例13. 当n 取什么值时，122)2(-++=n nx n n y 是反比例函数？它的图像在第几象限内？在每个象限内，y 随x 增大而增大还是减小？分析 根据反比例函数的定义)0(≠=k xky 可知，122)2(-++=n n x n n y 是反比例函数，必须且只需022≠+n n 且112-=-+n n ．解 122)2(-++=n nx n n y 是反比例函数，则⎪⎩⎪⎨⎧-=-+≠+,11,0222n n n n ∴⎩⎨⎧-==-≠≠.10,20n n n n 或且即 1-=n ． 故当1-=n 时，122)2(-++=n nx n n y 表示反比例函数：xy 1-=．01<-=k ， ∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．三、反比例函数中考考点突破1、（2010甘肃兰州）已知点（-1，1y ），（2，2y ），（3，3y ）在反比例函数x k y 12--=的图像上. 下列结论中正确的是A ．321y y y >> B ．231y y y >> C ．213y y y >> D ． 132y y y >>2、（2010 嵊州市）如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线xy 2-=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为( )xyBA oA.-5B.-10C.5D.10 3、（2010四川眉山）如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为A ．12B ．9C ．6D ．4DBAyxOC4、（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数)0(>=x xky 的图像上。
第十七章 反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如xk y =（为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x ky =还可以写成kx y =2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1. ⑵比例系数0≠k⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，x ky =（为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为k 。
4．反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限 函数的增减性o k > 一、三象限 在每个象限内，值随的增大而减小 o k <二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数222-+=k kkx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xky =，（0≠k ）即kx y =（0≠k ）又在第二，四象限内，则0<k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=0211k k k 或1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为xy 1-=【例2】在反比例函数x y 1-=的图像上有三点，，，，， 。
反比例函数知识点归纳和典型例题知识点概括（一）反比率函数的观点1．（）能够写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决相关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也能够写成xy=k 的形式，用它能够快速地求出反比率函数解析式中的 k，进而获得反比率函数的分析式；3．反比率函数的自变量，故函数图象与x 轴、 y 轴无交点．（二）反比率函数的图象在用描点法画反比率函数的图象时，应注意自变量x 的取值不可以为 0，且 x 应付称取点（对于原点对称）．（三）反比率函数及其图象的性质1．函数分析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的曲折度越小，曲线越平直．越小，图象的曲折度越大．（2）图象的地点和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， y 随 x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大．（3）对称性：图象对于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象对于直线对称，即若（ a， b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲4． k 的几何意义线的另一支上．如图 1，设点 P（a，b）是双曲线PB⊥y轴于 B 点，则矩形 PBOA 的面积是上随意一（三角形 PAO点，作 PA⊥x轴于 A 点，和三角形PBO 的面积都是）．如图 2，由双曲线的对称性可知，形 PQC 的面积为．P 对于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥ PA的延伸线于C，则有三角图1图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比率函数的增减性时，要将两个分支分别议论，不可以混为一谈．（2）直线当当与双曲线的关系：时，两图象没有交点；时，两图象必有两个交点，且这两个交点对于原点成中心对称．（3）反比率函数与一次函数的联系．（四）实质问题与反比率函数1．求函数分析式的方法：（ 1）待定系数法；（2）依据实质意义列函数分析式．（五）充足利用数形联合的思想解决问题．例题剖析1．反比率函数的观点（ 1）以下函数中，y 是 x 的反比率函数的是（）．A ． y=3x B．C．3xy=1 D ．（ 2）以下函数中，y 是 x 的反比率函数的是（）．A．B．C．D．2．图象和性质（ 1）已知函数是反比率函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________ ．②若 y 随 x 的增大而减小，那么k=___________ ．（ 2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（ 3）若反比率函数经过点（， 2），则一次函数的图象必定不经过第 _____象限．（ 4）已知 a· b＜0，点 P（ a， b）在反比率函数的图象上，则直线A ．第一象限不经过的象限是（B．第二象限）．C．第三象限 D ．第四象限（ 5）若P（2，2）和Q（ m，）是反比率函数图象上的两点，则一次函数 y=kx+m A ．第一、二、三象限C．第一、三、四象限的图象经过（）．B．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限（ 6）已知函数和 （ k ≠ 0），它们在同一坐标系内的图象大概是（ ）．A ．B ．C ．D ．7、已知 k 1 0k 2 ，则函数 yk 1 x 和 yk 2的图象大概是（）xyyyyxxxxO OOO（ A ）（ B ）（C ）（ D ）3．函数的增减性（ 1）在反比率函数的图象上有两点，，且，则的值为（ ）．A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数（ 2）在函数（ a 为常数）的图象上有三个点 ， ， ，则函数值 、 、的大小关系是（ ）．A ． ＜ ＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜（ 3）以下四个函数中：①；②；③；④．y 随A ． 0个x 的增大而减小的函数有（B ．1个）．C ．2个D ．3个（ 4）已知反比率函数的图象与直线 y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点，则当x ＞ 0时，这个反比率函数的函数值y 随x 的增大而（填“增大”或“减小”）．5、 如图，一次函数与反比率函数的图像订交于A 、B两点，则图中使反比率函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（）．A ．x ＜－ 1B ． x ＞2C ．－ 1＜ x ＜ 0，或x ＞2D ．x ＜－ 1，或0＜x ＜2y4．分析式确实定32A1（ 1）若与成反比率，与－3 －2 －1 O123 x成正比率，则 y 是 z 的（ ）．－1A ．正比率函数B ．反比B －2例函数C ．一次函数D ．不可以确立－ 3第 4 题（ 6）若正比率函数 y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为（ 2， m ），则 m=_____ ，k=________ ，它们的另一个交点为 ________．（ 7）已知反比率函数的图象经过点 ，反比率函数 的图象在第二、四象限，求 的值．（ 8）为了预防“非典”， 某学校正教室采纳药薰消毒法进行消毒． 已知药物焚烧时， 室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间 x （分钟）成正比率，药物焚烧完后， y 与 x 成反比率（如下图），现测得药物 8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6毫克． 请依据题中所供给的信息解答以下问题：①药物焚烧时 y 对于 x 的函数关系式为 ___________，自变量 x 的取值范围是 _______________；药物焚烧后y 对于 x的函数关系式为 _________________．②研究表示，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，起码需要经事后，学生才能回到教室；_______分钟③ 研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且连续时间不低于 10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒能否有效？为何？5．面积计算（ 1）如图，在函数的图象上有三个点A 、B 、C ，过这三个点分别向x 轴、 y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为、 、，则（ ）．A ．B ．C ．D ．第（ 1）题图第（ 2）题图（ 2）如图， A 、 B 是函数的图象上对于原点O 对称的随意两点， AC2图，已知A(n ，-2)，B(1 ，4) 是一次函数y=kx+b的图象和反比率函数y= m 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．x(1) 求反比率函数和一次函数的关系式；(2) 求△AOC 的面积；m (3) 求不等式 kx+b-<0 的解集 ( 直接写出答案 ) ．xm7．如图，已知反比率函数y ＝ x 的图象经过点 A( － 1，3) ，一次函数 y ＝kx ＋b 的图象经过点 A 和点 C( 0， 4），且与反比率函数的图象订交于另一点 B ．( 1) 求这两个函数的分析式；( 2) 求点 B 的坐标．ym1( m 1) 的8、如下图，一次函数 yx m 和反比率函数 yA CxB图象在第一象限内的交点为P( a,3) ．xO⑴求 a 的值及这两个函数的分析式； ⑵依据图象，直接写出在第一象限内，使反 比率函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．6．综合应用（ 1）如图，一次函数 的图象与反比率数的图象交于 A 、 B 两点： A （，1）， B （1，n ）．① 求反比率函数和一次函数的分析式；②依据图象写出使一次函数的值大于反比率函数的值的x 的取值范围．（ 2）如下图，已知一次函数（ m≠ 0）的图象在第一象限交于C点，CD（ k ≠ 0）的图象与 x垂直于 x 轴，垂足为轴、 y 轴分别交于A、B 两点，且与反比率函数D ，若 OA=OB=OD=1．① 求点A、 B、D的坐标；② 求一次函数和反比率函数的分析式．3．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，一次函数与反比率函数的图象订交于轴交于点C．（ 1）分别求反比率函数和一次函数的分析式（关系式）；（ 2）连结 OA ，求△AOC 的面积．A （2， 1）、 B（﹣ 1，﹣ 2）两点，与x4．如图，一次函数y=x+1与反比率函数的图象订交于点A（ 2， 3）和点 B ．（1）求反比率函数的分析式；（2）求点 B 的坐标；（3）过点 B 作 BC⊥x 轴于 C，求 S△ABC．5．已知一次函数y=kx+b的图象与反比率函数的图象订交于A， B 两点，此中 A 点的横坐标与 B 点的纵坐标都是 2，如图：（ 1）求这个一次函数的分析式；（ 2）求△ AOB 的面积；（ 3）在 y 轴能否存在一点P 使△OAP 为等腰三角形？若存在，请在座标轴相应地点上用P；（尺规作图达成）若不存在，请说明原因．P1，P2，P3标出切合条件的点6．如图，反比率函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点 A （1， 3）， B（n，﹣ 1）．（ 1）求反比率函数与一次函数的函数关系式；（ 2）依据图象，直接回答：当x 取何值时，一次函数的值大于反比率函数的（ 3）连结 AO 、BO ，求△ ABO 的面积；（ 4）在反比率函数的图象上找点P，使得点 A ，O，P 组成等腰三角形，直接两个知足条件的点P 的坐标．值；写出7．如图，已知反比率函数的图象经过点，过点A 作 AB ⊥x 轴于点 B，且△ AOB的面积为．（1）求 k 和 m 的值；（2）若一次函数 y=ax+1 的图象经过点 A ，而且与 x 轴订交于点 C，求 |AO| ： |AC|的值；（ 3）若 D 为坐标轴上一点，使△ AOD是以AO为一腰的等腰三角形，请写出全部知足条件的 D 点的坐标．。
数学复习：反比例函数反比例函数从代数定义上来说非常简单，即ky x=或xy k =，从函数的图像上来看就是分布在不同像限的两条曲线，简称双曲线．随着近几年各地中考的各种变式题型出现，对反比例函数“数形结合”的数学思想考查越来愈多．每一次的命题设计，其背后都有隐藏的二级定理和二级结论．数学的学习，总是在思考中归纳总结从而得出结论，站在结论的平台向上展望，看清命题者的命题逻辑，很多问题将会大大简化．本专题从反比例函数的本质入手，通过寻找反比例函数的不变特性来进行分析，力争化繁为简，并能在平常的训练中找到思考和结论的平衡点．第一讲 反比例函数的本质系数m 与面积关系在之前对正比例函数和反比例函数的理解中，似乎只有k xy=和k xy =，翻译成语言文字就是，当自变量扩大m 倍，则因变量也随即扩大m 倍，此为正比例函数；同理当自变量扩大m 倍，而因变量随即缩小m1，则为反比例函数．函数是一个连续的曲线，不是只分析单一定点，所以引入比例系数m 对研究函数大有帮助，正比例函数由于过于单调的形式和结论，所以没有成为命题重难点，那么反比例函数呢？【例1】如图，反比例函数)0(>=k xky 的图像与矩形OABC 的AB 、BC 边分别交于点M 、N ，延长MN 分别交坐标轴于点D 、E ．（1）如图11-1-5，若2:1:=AB AM ，则=CB CN : ； （2）如图11-1-6，若4:1:=AB AM ，则=CB CN : ； （3）如图11-1-7，若n AB AM :1:=，则=CB CN : ；直线MN 与AC 的位置关系是 ，EN 与MD 的大小关系 ．图11-1-5 图11-1-6 图11-1-7【例2】（2020•九龙坡月考）如图11-1-8，ABC Rt △的顶点A 和斜边中点D 在反比例函数(00)k y k x x =≠>，的图像上，若5k =，则ABC △的面积为（ ） A．B．C ．4 D ．5xxx图11-1-8【例3】（2020•朝阳二模）如图11-1-11，在平面直角坐标系中，直线6y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与函数(00)k y k x x =>>，的图像交于点C 、D ．若12CD AB =，则k 的值为（ ）A ．9B ．8C ．427D ．6图11-1-11思考 前面分析了一条直线与反比例函数图像交于一个像限的情况，那么一条直线与反比例函数图像交于两个像限会有怎样的几何性质呢？ 【例4】（1）如图11-1-17，反比例函数)00(>>=x k xky ，的图像与直线DE 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于点A ，x NC ⊥轴于点C ，请探究直线MN 与AC 的位置关系，线段EN 与MD 的大小关系． （2）如图11-1-18，反比例函数)0(>=k xky 的图像与直线EF 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于点A ，x MC ⊥轴于点C ，y ND ⊥轴于点D ，x NB ⊥轴于点B ，请探究直线MN 与线段AB 、线段CD 的位置关系，以及线段ME 与FN 的大小关系．图11-1-17 图11-1-18【例5】如图11-1-19，一次函数b ax y +=的图像与x 轴，y 轴交于A 、B 两点，与反比例函数xky =的图像相交于C 、D 两点，分别过C 、D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E 、F ，连接CF 、DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S △△=；②FOE AOB ∽△△；③CDF DCE ≌△△；④BD AC =．其中正确的结论x是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）图11-1-19【例6】（1）如图11-1-26，BC AB =，AOB △的面积为3，则k 的值为 ． （2）如图11-1-27，点A ，C 在双曲线xky =上运动，x AB ⊥轴，BC AC =． ①在运动过程中，ABC △的面积是不是定值？答： ； ②若32=k ，且ABC △是正三角形，则点A 的坐标为 ．图11-1-26 图11-1-27【例7】（1）如图11-1-30， OABC 中，︒=∠60B ，3=OA ，双曲线经过点C 和AB 中点D ，则该双曲线的解析式为 ．（2）如图11-1-31，正AOB △的边长为5，双曲线xky =经过点C 、D ，且OB CD ⊥，则k 的值为 ．图11-1-30 图11-1-31【例8】如图11-1-34，反比例函数16(0)y x x=>的图像经过Rt △BOC 斜边上的中点A ，与边BC 交于点D ，连接AD ，则ADB △的面积为（ ） A ．12B ．16C ．20D ．24图11-1-34【例9】（2020·威海中考）如图11-1-36，点)1(，m P ，点)2(n Q ，-都在反比例函数xy 4=的图像上．过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M ，N ．连接OP ，OQ ，PQ ．若四边形OMPN 的面积记作1S ，POQ △的面积记作2S ，则（ ）图11-1-36 A ．3:2:21=S S B ．1:1:21=S S C ．3:4:21=S S D ．3:5:21=S S【例10】（2020•龙华二模）如图11-1-38，已知直线24y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线(0)ky x x=>交于C 、D 两点，且AOC ADO ∠=∠，则k 的值为 ．图11-1-38【例11】如图11-1-40，矩形OABC 的边2OA =，4OC =，点E 是边AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点E 的反比例函数(0)ky x x=>的图像与边BC 交于点F ．当四边形AOFE 的面积最大时，FC 的长度为（ ） A ．8.0B ．1C ．6.1D ．8.1图11-1-40【例12】如图11-1-41，A 、B 是函数x y 6=上两点，P 为一动点，作y PB //轴，x PA //轴，下列说法：①BOP AOP ≌△△；②BOP AOP S S △△=；③若OB OA =，则OP 平分AOB ∠；④若2=BOP S △，则4=ABP S △，正确有 ．（填序号）图11-1-41【例13】如图11-1-45，点)31(，A 为双曲线x ky =上的一点，连接AO 并延长与双曲线在第三像限交于点B ，M 为y 轴正半轴上一点，连接MA 并延长与双曲线交于点N ，连接BM 、BN ，已知MBN △的面积为233，则点N 的坐标为 ．图11-1-45【例14】如图11-1-47所示，PAB Rt △的直角顶点)43(，P 在函数(0)ky x x=>的图像上，顶点A 、B 在函数(00)ty x t k x=><<，的图像上，//PA y 轴，连接OP ，OA ，记OPA △的面积为OPA S △，PAB △的 面积为PAB S △，设OPA PAB w S S =-△△． ①求k 的值以及w 关于t 的表达式；②若用max w 和min w 分别表示函数w 的最大值和最小值，令max 2T w a a =+-，其中a 为实数，求min T ．图11-1-47【例15】如图11-1-49，已知平面直角坐标系中A 点坐标为)40(，，以OA 为一边在第一像限作平行四边形OABC ，对角线AC 、OB 相交于点E ，OA AB 2=．若反比例函数x ky =的图像恰好经过点C 和点E ，则k的值为 ．图11-1-49【同步训练】1．如图11-1-52，双曲线xky =与过原点的直线l 交于点A 、B ，点M 在双曲线上，直线AM 、BM 分别交y 轴于点P 、Q ． 若设PM m AM ⋅=，QM n BM ⋅=，则=-n m ．图11-1-522．如图11-1-53，在矩形OABC 中，)01(，A ，)20(，C ，双曲线)20(<<=k xky 分别交AB 、BC 于点E 、F ，连接OE 、OF 、EF ，BEF OEF S S △△2=，则k 的值为 ．图11-1-53 图11-1-543．如图11-1-54，在平面直角坐标系xOy 中，OAB △的顶点A 在x 轴的正半轴上，AC BC 2=，点B 、C 在反比例函数)0(>=x xky 的图像上．若OBC △的面积等于12，则k 的值为 ． 4．如图11-1-55，1P 、2P 是反比例函数xy 4=的图像上任意两点，过点1P 作y 轴的平行线，过点2P 作x 轴的平行线，两线相交于点N ．若点)(n m N ，恰好在另一个反比例函数)00(>>=x k xky ，的图像上，且221=⋅NP NP ，则=k ．图11-1-55 图11-1-565．（2020•江阴一模）如图11-1-56，在AOB ∆中，OC 平分AOB ∠，43OA OB =，反比例函数(0)ky k x=<图像经过点A 、C 两点，点B 在x 轴上，若AOB ∆的面积为7，则k 的值为（ ） A ．4-B ．3-C ．215-D ．73-6．（2019•莲湖期末）如图11-1-57，双曲线k y x =经过Rt BOC △斜边上的点A ，且满足12AO AB =，与BC 交于点D ，4BOD S =△，则k 的值为（ ） A ． 19B ．1C ．2D ．8图11-1-577．（2019•武侯模拟）双曲线x k y =1和)0(32>=k xky 在第一像限的图像如图11-1-58所示，过2y 上的任意一点A 作x 轴的平行线交1y 于B ，交y 轴于C ，过A 作x 轴的垂线交1y 于D ，交x 轴于E ，连结BD ，CE ，则有下列结论：①CE BD //； ②k S ABOD 2=四边形；③5:4:=BDEC ABD S S 四边形△；④DE CB =； 图11-1-58 ⑤2:1:=BOD ABD S S △△．其中正确的有 （填番号）．8．（2019•杭州一模）一次函数b ax y +=的图像分别与x 轴、y 轴交于点M ，N ，与反比例函数xky =的图像相交于点A ，B ．过点A 分别作x AC ⊥轴，y AE ⊥轴，垂足分别为C ，E ，过点B 分别作x BF ⊥轴，y BD ⊥轴，垂足分别为F ，D ，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．对于下述结论： ①CFBK AEDK S S 四边形四边形=；②BM AN =；③CD AB //； 不论点A ，B 在反比例函数xky =的图像的同一分支上 （如图11-1-59），还是点A ，B 分别在反比例函数xky =的图像的不同分支上（如图11-1-60），都正确的是（ ） 图11-1-59 图11-1-60 A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③9．（2020•长春期末）如图11-1-61，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点A 、B 在函数)0(>=x xmy 的图像上，顶点C 、D 在函数)0(>=x xny 的图像上，其中n m <<0，对角线y BD //轴，且AC BD ⊥于点P ．已知点B 的横坐标为4． （1）当4=m ，20=n 时，①点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ，BD 的长为 ． ②若点P 的纵坐标为2，求四边形ABCD 的面积． ③若点P 是BD 的中点，请说明四边形ABCD 是菱形．（2）当四边形ABCD 为正方形时，直接写出m 、n 之间的数量关系． 图11-1-61第二节 反比例函数的面积关系特殊到一般的转化上一讲提到了以原点为顶点的三角形面积转化，如果不过原点呢？答案还是要找准特殊的模特三角形，然后进行面积的转化．【例1】如图11-2-1，在平面直角坐标系中，A 是第一像限内一点，过A 作//AC y 轴交反比例函数(0)ky x x =>的图像于B 点，E 是y 轴上一点，AE 交反比例函数的图像于点D ，若B 是AC 的中点，:3:2DE AD =，且BDE △的面积为94，则k 的值为（ ） A ．7 B ．215 C ．8 D ．217图11-2-1【例2】如图11-2-3，点A 、B 是反比例函数(0)ky k x=≠图像上的两点，延长线段AB 交y 轴于点C ，且点B 为线段AC 中点，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，点E 为线段OD 的三等分点，且OE DE <．连接AE 、BE ，若7ABE S =△，则k 的值为（ ） A ．12-B ．10-C ．9-D ．6-图11-2-3【例3】（2021·成都嘉祥）如图11-2-6，在直角坐标系中，已知)40(，A 、)42(，B ，C 为x 轴正半轴上一点，且OB 平分ABC ∠，过B 的反比例函数xky =交线段BC 于点D ，E 为OC 的中点，BE 与OD 交于点F ，若记BDF △的面积为1S ，OEF △的面积为2S ，则=21S S ．图11-2-6前篇所有的面积和比值问题都来自辅助矩形和辅助比例系数m ，但不是每一个题目都是来自矩形的变x形，最近几年以平行四边形和反比例交点和面积问题也开始频繁出现，平行四边形和菱形上的两点与反比例函数相交，到底隐藏了多少秘密呢？【例4】（2017•南通）如图11-2-11，四边形OABC 是平行四边形，点C 在x 轴上，反比例函数(0)ky x x=>的图像经过点(512)A ，，且与边BC 交于点D ．若AB BD =，则点D 的坐标为 ．图11-2-11【例5】（2020•孝南二模）如图11-2-15，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OC 在x 轴正半轴上，四边形OABC 为平行四边形，反比例函数k y x =的图像经过点A ，与BC 交于点D ，若154ABC S =△，2CD BD =，则k = ．图11-2-15【例6】（2020•沙坪坝月考）如图11-2-18，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点D 在对角线2:3OB y x =上，且满足OD =(00)ky k x x==>>，的图像经过C 、D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是203，则点B 的坐标为 ．图11-2-18【例7】（2020•两江模拟）如图，双曲线(0)ky x x=>经过平行四边形OABC 的顶点A ，交边BC 于点D ，交对角线AC 于点E ，连接OE ．若2BD CD =且OAE △的面积为163，则k 的值为（ ） A．B ．12C ．10D．图平移问题小试牛刀【例8】（2020•西藏）如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与反比例函数4(0)y x x=>的图像交于点A ，将直线y x =沿y 轴向上平移b 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图像于点C ．若2OA BC =，则b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【例9】（2018•锦江区模拟）已知如图， 直线23y x =分别与双曲线(0,0)my m x x=>>、双曲线(0,0)n y n x x =>>交于点A ，点B ，且23BA OA =，将直线23y x =向左平移 6 个单位长度后， 与双曲线ny x=交于点C ，若4ABC S ∆=，则mn 的值为 ．【同步训练】1．（2018•九龙坡区校级期末）如图，Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，90ACB ∠=︒，点A 、C 在双曲线(0)ky k x=≠的图像上，//AB x 轴，AC 交x 轴于点F ，满足23AF CF =，10AC =，BC 交双曲线于点E ，连接AE ，则ACE ∆的面积为( )A ．BCD ．2．（2020•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OC 在x 轴正半轴上，四边形OABC 为平行四边形，反比例函数ky x=的图像经过点A 与边BC 相交于点D ，若15ABC S ∆=，2CD BD =，则k = ．3．（2020•苏州）如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点(3,2)D 在对角线OB 上，反比例函数(0,0)k y k x x =>>的图像经过C 、D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是152，则点B 的坐标为()A ．8(4,)3B ．9(2，3)C ．10(5,)3D ．24(5，16)54．（2020•相城区期末）如图，Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，6OB =，反比例函数(0)ky k x=≠的图像经过点B ，将Rt OAB ∆沿着x 轴向右平移6个单位，得到Rt CDE ∆，反比例函数图像恰好经过CE 的中点F ，则k 的值为( )A B ．C ．D ．5．（2020•宁波模拟）如图，点A ，B 是反比例函数6(0)y x x=>图像上的两点，延长线段AB 交x 轴于点C ，且点B 为线段AC 中点，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，点E 为线段OD 上的点，且2DE OE =．连结AE ，BE ，则ABE ∆的面积为 ．第三讲反比例函数隐藏的等角等边关系在反比例函数的背景下，隐藏了比值关系，我们在前两节已经给到了探讨和证明，那么反比例函数还有哪些矩形圈不住的性质呢？或者说不以比值系数m 相关的等量关系呢？下面我们来探讨一些等角和等边的性质．【例1】（2020•武汉模拟）如图，在平面直角坐标系中，(1,0)A ，(0,2)B -，将线段AB 平移得到线段CD ，当13AE AC =时，点C 、D 同时落在反比例函数(0)ky k x=<的图像上，则k 的值为 ．【例2】（2018•十堰中考）如图1，直线x y -=与反比例函数xky =的图像交于A ，B 两点，过点B 作x BD //轴，交y 轴于点D ，直线AD 交反比例函数xky =的图像于另一点C ，求CB CA 的值．图1【例3】（2019•长沙）如图，函数(ky k x=为常数，0)k >的图像与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一像限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①ODM ∆与OCA ∆的面积相等；②若BM AM ⊥于点M ，则30MBA ∠=︒；③若M 点的横坐标为1，OAM ∆为等边三角形，则2k =+；④若25MF MB =，则2MD MA =．其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）x【例4】（2018•武汉模拟）如图，直线112y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，将线段AB 绕点M 旋转180︒得到线段CD ，双曲线(0)ky k x=>恰好经过C 、D 、M 三点，则k 的值为( )A ．43B ．1C ．98D ．89【例5】已知双曲线x y 4=与直线x y 41=交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．如图，点P 是第一像限内双曲线上一动点，AP BC ⊥于C ，交x 轴于F ，PA 交y 轴于E ，则2224EF BF AE +的值是_________．【例6】如图1，AB OA =，双曲线经过点C 、D 、E ，求证：AE AC AD ⋅=2．图1【同步训练】1．如图，点A ，B 在双曲线xky =上，AB 经过原点O ，过点A 作x AC //∥轴，连接BC 并延长，交双曲线于点D ．①求证：CD AD =； ②求BD AD :的值．2．如图所示，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 位于反比例函数xky =第一像限的图像上，点C 、D 分别位于x 轴正半轴和y 轴正半轴上． 证明：21∠=∠，43∠=∠．3．如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB BC 2=，A 、B 两点的坐标分别是)01(，-和)20(，，C 、xxD 两点在反比例函数xky =长的图像上，则=k ．4．如图所示，点A 在反比例函数)0(1>=x x k y 的图像上，点B 在反比例函数)0(2<=x xky 的图像上，124k k =，且直线AB 经过坐标原点，点C 在y 轴的正半轴上，直线CA 交x 轴于点E ，直线CB 交x 轴于点F ．若3=AE AC ，则=CFBF．5．如图1，已知平行四边形ABCD ，A 、B 在反比例函数xky =上，C 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴，且反比例图像经过平行四边形对角线的交点E ，已知平行四边形ABCD 面积为6，则=k ．图1xxx6．（2020•宁德二模）如图，点A，B，C在反比例函数4yx=-的图像上，且直线AB经过原点，点C在第二像限上，连接AC并延长交x轴于点D，连接BD，若BOD∆的面积为9，则ACCD=．第四节 反比例函数的特殊等量关系和叠罗汉模型 一、平方关系二、乘积关系三、多个三角形矩形问题【例1】如图1，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形，90ACO ADB ∠=∠=︒，反比例函数8y x=在第一像限的图像经过点B ，则OAC ∆与BAD ∆的面积之差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4图1【例2】如图1，在第一像限内，动点P 在反比例函数ky x=的图像上，以P 为顶点的等腰OPQ ∆，两腰OP 、PQ 分别交反比例函数my x=的图像于A 、B 两点，作PC OQ ⊥于点C ，BE PC ⊥于点E ，AD OQ ⊥于点D ，则以下说选正确的个数为( )个①AO PQ 为定值；②若4k m =，则A 为OP 中点；③2PEB k mS ∆-=；④222OA PB PQ +=；图1A ．4B ．3C ．2D ．1【例3】如图47所示，直线b x y +-=交y 轴于点B ，与双曲线)0(<=x xky 交于点A ．若622=-OB OA ，则=k ．图47【例4】如图49所示，点A 、B 为直线x y =上的两点，过A 、B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线)0(1>=x xy 于点C 、D ．若AC BD 2=，则224OD OC -的值为 ．图49【例5】如图51所示，直线52-=x y 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，点M 是反比例函数)0(>=x xky 的图像上位于直线上方的一点，x MC //轴交AB 于点C ，MC MD ⊥交AB 于点D ．已知5=⋅BD AC ，则k 的值为 ．图51【例6】（2020•鄂州）如图53，点A 1，A 2，A 3…在反比例函数y ＝（x ＞0）的图像上，点B 1，B 2，B 3，…B n 在y 轴上，且∠B 1OA 1＝∠B 2B 1A 2＝∠B 3B 2A 3＝…，直线y ＝x 与双曲线y ＝交于点A 1，B 1A 1⊥OA 1，B 2A 2⊥B 1A 2，B 3A 3⊥B 2A 3…，则B n （n 为正整数）的坐标是（ ）图53A ．（2，0）B ．（0，）C ．（0，）D ．（0，2）【例7】如图54，在y 轴的正半轴上，自O 点开始依次间隔相等的距离取点1A ，2A ，3A ，4A ，⋯，n A ，分别过这些点作y 轴的垂线，与反比例函数2(0)y x x=-<的图像相交于点1P ，2P ，3P ，4P ，⋯，n P ，作2111P B A P ⊥，3222P B A P ⊥，4333P B A P ⊥，⋯，111n n n n P B A P ---⊥，垂足分别为1B ，2B ，3B ，4B ，⋯，1n B -，连接12P P ，23P P ，34P P ，⋯，1n n P P -，得到一组Rt △112PB P ，Rt △223P B P ，Rt △334P B P ，⋯，Rt △11n n n P B P --，它们的面积分别记为1S ，2S ，3S ，⋯，1n S -，则12S S += ，1231n S S S S -+++⋯+= ．图54【例8】（2015•贵港）如图55，已知点1A ，2A ，⋯，n A 均在直线1y x =-上，点1B ，2B ，⋯，n B 均在双曲线1y x =-上，并且满足：11A B x ⊥轴，12B A y ⊥轴，22A B x ⊥轴，23B A y ⊥轴，⋯，n n A B x ⊥轴，1n n B A y +⊥轴，⋯，记点n A 的横坐标为(n a n 为正整数）．若11a =-，则2015a = ．图55【例9】如图56所示，等腰三角形△11OA B ，△122B A B ，△233B A B ，⋯，△1(n n n B A B n -为正整数）的一直角边在x 轴上，双曲线ky x=经过所有三角形的斜边中点1C ，2C ，3C ，⋯，n C ，已知斜边1OA =点n A 的坐标为 ．图56【同步训练】1．（2019秋•龙岗区校级期中）如图，BOD ∆是等腰直角三角形，过点B 作AB OB ⊥交反比例函数(0)ky x x=>于点A ，过点A 作AC BD ⊥于点C ，若3BOD ABC S S ∆∆-=，则k 的值为 ．2．（2020•海门市二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,)P a a ，过点P 作OP 的垂线交(0)ky x x=>的图像于点Q ．若2212OP PQ -=，则k 的值为( )A ．12B ．9C ．6D ．33．（2018•越秀区二模）如图， 点A ，B 为直线y x =上的两点， 过A ，B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线2(0)y x x=>于C ，D 两点 ． 若3BD AC =，则229OC OD -的值为( )A ． 16B ． 27C ． 32D ． 484．（2017•十堰）如图， 直线6y =-分别交x 轴，y 轴于A ，B ，M 是反比例函数(0)ky x x=>的图像上位于直线上方的一点，//MC x 轴交AB 于C ，MD MC ⊥交AB 于D ，43AC BD =k 的值为( )A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-5．（2013秋•洞头县期中）如图，△11POA 、△212P A A 、△323P A A 、⋯、△10099100P A A 是等腰直角三角形，点1P 、2P 、3P 、⋯、100P 在反比例函数4y x=的图像上，斜边1OA 、12A A 、23A A 、⋯、99100A A 都在x 轴上，则点100A 的坐标是 ．6．如图，已知反比例函数1y x =的图像，当x 取1，2，3，n ⋯时，对应在反比例图像上的点分别为1M 、2M 、3n M M ⋯，则11222311P M M P M M Pn Mn MnSSS--++⋯= ．7．（2015•威海一模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线:1l y x =--，双曲线1y x=，在直线l 上取点1A ，过点1A 作x 轴的垂线交双曲线于点1B ，过点1B 作y 轴的垂线交直线l 于点2A ，过点2A 作x 轴的垂线交双曲线于点2B ，过点2B 作y 轴的垂线交直线l 于点3A ⋯，这样依次得到直线l 上的点1A ，2A ，3A ，4A ，⋯，n A ，⋯若点1A 的横坐标为2，则点2015A 的坐标为 ．8．（2019•淄博）如图，△11OA B ，△122A A B ，△233A A B ，⋯是分别以1A ，2A ，3A ，⋯为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点11(C x ，1)y ，22(C x ，2)y ，33(C x ，3)y ，⋯均在反比例函数4(0)y x x=>的图像上．则1210y y y ++⋯+的值为( )A ．B ．6C ．．达标训练1．如图所示，矩形ABCO 的顶点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，反比例函数)0(≠=x xky 的图像分别与BC 、BA 的延长线交于E 、F 两点，连接AC ． 证明：（1）EF AC //；（2）FH GE =．2．如图所示，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 位于反比例函数xky =第一像限的图像上，点C 、D 分别位于y 轴负半轴和x 轴负半轴上，AD 交y 轴于点H ，BC 交x 轴于点G ． 证明：（1）21∠=∠，43∠=∠；（2）四边形CDHG 是菱形．3．如图所示，A 、B 为反比例函数xky =第一像限图像上任意两点，连接OA 并延长交反比例函数图像另一支于点C ，连接BC 交x 轴于点G 、交y 轴于点F ，连接AB 并向两侧延长分别交x 轴于点E 、交y 轴于点D ．证明：21∠=∠，43∠=∠．4．如图所示，□ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是)01(，-A 、)20(-，B ，顶点C 、D 在双曲线xky =上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是ABE △的面积的5倍，则=k ．5．如图所示，矩形ABCD 的顶点C 、D 在反比例函数)00(>>=x k xky ，的图像上，顶点A 在y 轴上，顶点B 在x 轴上，连接OD ．若︒=∠60ODC ，则=ADAB．6．如图，函数1(0)y x x =>和3(0)y x x=>的图像分别是1l 和2l ．设点P 在2l 上，//PA y 轴交1l 于点A ，//PB x轴，交1l 于点B ，PAB ∆的面积为( )A ．12B ．23 C ．13D ．347．（2020•崇川一模）如图，直线y kx b =+与曲线3(0)y x x=>相交于A 、B 两点，交x 轴于点C ，若2AB BC =，则AOB ∆的面积是( ) A ．3B ．4C ．6D ．8yxAC BE D O y xBADCO8．（2019•双峰一模）如图，ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是(1,0)A -，(0,3)B -，顶点C 、D 在双曲线ky x=上， 边AD 交y 轴于点E ，且ABCD 的面积是ABE ∆面积的 8 倍， 则k = ．8题图 9题图9．（2019•如东期末）如图，AOB ∆的顶点B 在x 轴上，点C 在AB 边上且2AC BC =，若点A 和点C 都在双曲线(0)ky x x=>上，AOC ∆的面积为4，则k 的值为 ．10．（2017•孝义二模）如图，点A 是反比例函数(0)k y x x =>的图像上一点，OA 与反比例函数1(0)y x x=>的图像交于点C ，点B 在y 轴的正半轴上，且AB OA =，若ABC ∆的面积为6，则k 的值为 ．11．（2017•慈溪模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，平行四边形ABOC 的对角线交于点M ，双曲线(0)ky x x=<经过点B 、M ．若平行四边形ABOC 的面积为12，则k = ．12．（2016•青羊月考）如图，已知点(4,3)P -是双曲线11(0k y k x=<，0)x <上一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线221(0||)k y k k x=<<于E 、F 两点．记PEF OEF S S S ∆∆=-，则S 的取值范围是 ．13．（2020•雨花期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt AOB ∆的边OA 在y 轴上，OB 在x 轴上，反比例函数(0)ky k x=≠与斜边AB 交于点C 、D ，连接OD ，若:1:2AC CD =，14OBD S ∆=，则k 的值为 ．14．（2020•常熟期末）如图，在平面直角坐标系中，ABO ∆的边AB 平行于y 轴，反比例函数(0)ky x x=>的图像经过OA 中点C 和点B ，且OAB ∆的面积为6，则k = ．x15．（2020•随州中考）如图，直线AB 与双曲线(0)ky k x =>在第一像限内交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，点B 为线段AC 的中点，连接OA ，若AOC ∆的面积为3，则k 的值为 ．16．（2020•平湖二模）如图，已知OAB ∆中，AB OB ⊥，以O 为原点，以BO 所在直线为x 轴建立坐标系．反比例函数的图像分别交AO ，AB 于点C ，D ，已知32OC AC =，ACD ∆的面积为169，则该反比例函数的解析式为 ．17．如图所示，双曲线)0(4>=x xy 与直线EF 交于点A 、B ，且BF AB AE ==，线段AO 、BO 分别与双曲线)0(2>=x xy 交于点C 、D ，则： （1）AB 与CD 的位置关系是；（2）四边形ABDC 的面积为 ．18．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，AO BC //，AO AB ⊥，过点C 的反比例函数)0(>=x x k y 的图像交OB 于点D ，且21=DB OD ．若16=OBC S △，k 的值是__________．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在反比例函数)0(4>=x xy 的图像上，延长AB 交x 轴于点C ，且21=AB BC ，连接OA 交反比例函数)0(1>=x xy 的图像于点D ，则=ABD S △ ．19题图 20题图20．（2019•鼓楼期末）如图，A 、B 是反比例函数ky x=图像上的两点，过点A 作AC y ⊥轴，垂足为C ，交OB 于点D ，且D 为OB 的中点，若ABO ∆的面积为4，则k 的值为 ．21．（2017•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一像限，点C 在线段AB 上，点D 在AB 的右侧，OAB ∆和BCD ∆都是等腰直角三角形，90OAB BCD ∠=∠=︒，若函数6(0)y x x=>的图像经过点D ，则OAB ∆与BCD ∆的面积之差为( )A ．12B ．6C ．3D ．222．（2020•广西）如图，点A ，B 是直线y x =上的两点，过A ，B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线xy CB AD O1(0)y x x=>于点C ，D ．若AC ，则223OD OC -的值为( )A ．5B ．C ．4D ．23．（2020•宁乡市一模）如图，点M 为双曲线1y x=上一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线2y x m =-+于D 、C 两点，若直线2y x m =-+交y 轴于A ，交x 轴于B ，则AD BC 的值为 ．24．如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点1A 、2A 、3A 、4A 、5A 分别作x 轴的垂线与反比例函数(0)4y x x=≠的图像相交于点1P 、2P 、3P 、4P 、5P ，得直角三角形11OP A 、122A P A ，233A P A ，344A P A ，455A P A ，并设其面积分别为1S 、2S 、3S 、4S 、5S ，则10S = ．(1n 的整数）25．如图，在AOC ∆中，90OAC ∠=︒，AO AC =，2OC =，将AOC ∆放置于平面直角坐标系中，点O 与坐标原点重合，斜边OC 在x 轴上．反比例函数(0)ky x x=>的图像经过点A ．将AOC ∆沿x 轴向右平移2个单位长度，记平移后三角形的边与反比例函数图像的交点为1A ，2A ．重复平移操作，依次记交点为3A ，4A ，5A ，6A ⋯分别过点A ，1A ，2A ，3A ，4A ，5A ⋯作x 轴的垂线，垂足依次记为P ，1P ，2P ，3P ，4P ，5P ⋯若四边形11APP A 的面积记为1S ，四边形2233A P P A 的面积记为2S ⋯，则n S = ．（用含n 的代数式表示，n 为正整数）26．如图所示，点1A ，2A ，3A ⋯⋯．n A 在x 轴上，且1121n n OA A A A A -==⋯⋯=，分别过点1A ，2A ，3A ⋯，n A ⋯作y 轴的平行线，与反比例函数8(0)y x x =>的图像分别交于点1B ，2B ，3n B B ⋯，分别过点1B ，2B ，3B ⋯⋯，．n B 作x 轴的平行线交y 轴交于点1C ，2C ，3:C ⋯⋯．n C ，连接1OB ，2OB ，3n OB OB ⋯，得到△11OB C ，△222D B E ．△333D B E ⋯⋯△n n n D B E ，则△201820182018D B E 图面积等于 ．27．（2016•抚顺模拟）如图，点11(P x ，1)y ，点22(P x ，2)y ，⋯，点(n nP x ，)n y 在函数1(0)y x x=>的图像上，△1POA ，△212P A A ，△323P A A ，⋯，△1n n n P A A -都是等腰直角三角形，斜边1OA ，12A A ，23A A ，⋯，1n n A A -都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数）．若△11POA 的内接正方形1111B C D E 的周长记为1l ，△212P A A 的内接正方形的周长记为2l ，⋯，△1n n n P A A -的内接正方形n n n n B C D E 的周长记为n l ，则123n l l l l +++⋯+= （用含n 的式子表示）．28．（2019•鞍山一模）如图，直线4y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数(0)ky x x=>，图像上位于直线4y x =-+下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F ，并且4AF BE = （1）求k 的值； （2）若反比例函数ky x=与一次函数4y x =-+交于C 、D 两点，求三角形OCD 的面积．29．（2013秋•龙湾区校级月考）如图，点1P 、2P 、n P ⋯是反比例函数16y x=在第一像限图像上，点1A 、2n A A ⋯在x 轴上，若△11POA 、△212P A A ⋯△1n N N P A A -均为等腰直角三角形，则： （1）1P 点的坐标为 ； （2）求点2A 与点2P 的坐标； （3）直接写出点n A 与点n P 的坐标．30．（2018•景德镇二模）如图，四边形111OP A B 、1222A P A B 、2333A P A B 、⋯⋯、1n n n n A P A B -都是正方形，对角线1OA 、12A A 、23A A 、⋯⋯、1n n A A -都在y 轴上(2)n ，点11(P x ，1)y ，点22(P x ，2)y ，⋯⋯，点(n n P x ，)n y 在反比例函数(0)ky x x=>的图像上，已知1(1,1)B -． （1）反比例函数解析式为 ； （2）求点3P 和点2P 的坐标；（3）点n P 的坐标为( )（用含n 的式子表示），△n n P B O 的面积为 ．31．（2020•江夏区模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数(0)ky x x=>的图像经过菱形OACD 的顶点D 和边AC 上的一点E ，且2CE AE =，菱形的边长为8，则k 的值为 ．32．（2018•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 的边OB 在x 轴上，过点(3,4)C 的双曲线与AB 交于点D ，且2AC AD =，则点D 的坐标为 ．。
《反比例函数》期末复习题一．选择题。
1. 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A 、 1)1(=-y xB 、11+=x y C 、21x y = D 、x y 31-= 2.下列各点中，在函数xy 2-=的图像上的是（ ）A 、（2，1）B 、（-2，1）C 、（2，-2）D 、（1，2） 3.反比例函数y ＝x n 5+图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）． A 、－2 B 、－1 C 、0 D 、14.若反比例函数y ＝xk （k ≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）． A 、（2，－1） B 、（－21，2） C 、（－2，－1） D 、（21，2） 5.已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ）6.若y 与x 成正比例，x 与z成反比例，则y 与z 之间的关系是（）．A 、成正比例B 、成反比例C 、不成正比例也不成反比例D 、无法确定7.一次函数y ＝kx －k ，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数y ＝xk满足（ ）．A 、当x ＞0时，y ＞0B 、在每个象限内，y 随x 的增大而减小C 、图象分布在第一、三象限D 、图象分布在第二、四象限8.已知反比例函数y ＝xm21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时， y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）． A 、m ＜0 B 、m ＞0 C 、m ＜21 D 、m ＞21 9. 若M(12-,1y )、N(14-,2y )、P(12,3y )三点都在函数ky x=（k>0）的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是 （ ）A 、132y y y >>B 、312y y y >>C 、213y y y >>D 、123y y y >> 10．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k 与(0)ky k x=≠的图象大致是（ ）11. 已知反比例函数的图象经过点（a ，b ），则它的图象一定也经过（ ） （A ）(－a ,－b ) （B ）(a ,－b ) （C ）(－a ，b ) （D ）（0，0） 12．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围 是（ ）．A 、x ＜－1B 、x ＞2C 、－1＜x ＜0或x ＞2D 、x ＜－1或0＜x ＜2二．填空题。
八上数学总复习各章知识点总结及整理.doc八年级上册数学总复习各章知识点总结及整理引言随着学期的结束，对八年级上册数学知识点进行全面的复习和整理是十分必要的。
这不仅有助于学生巩固已学知识，还能帮助他们为即将到来的考试做好准备。
以下是对八年级上册数学各章节知识点的详细总结及整理。
第一章：实数1.1 实数的概念理解实数的分类：有理数和无理数。
掌握实数的性质和运算规则。
1.2 算术平方根学习如何计算一个数的算术平方根。
理解平方根的性质。
1.3 平方根掌握平方根的概念和计算方法。
了解平方根与算术平方根的区别。
第二章：代数基础2.1 代数式理解代数式的定义和基本运算。
学习合并同类项的方法。
2.2 一元一次方程掌握一元一次方程的解法。
学习方程的应用问题。
2.3 因式分解学习因式分解的基本方法：提公因式法和公式法。
理解因式分解在解方程中的应用。
第三章：几何初步3.1 线段、角学习线段的性质和角的概念。
掌握角度的分类和计算。
3.2 相交线与平行线理解相交线的性质。
学习平行线的判定和性质。
3.3 三角形掌握三角形的基本性质。
学习三角形的分类和内角和定理。
第四章：函数4.1 函数的概念理解函数的定义和表示方法。
学习函数的三种表示形式：解析式、列表和图形。
4.2 一次函数掌握一次函数的性质和图象。
学习一次函数的解析式和应用问题。
4.3 反比例函数理解反比例函数的概念和性质。
掌握反比例函数的图象和解析式。
第五章：统计与概率5.1 数据的收集与处理学习数据收集的方法和数据的整理。
掌握数据的描述性统计指标。
5.2 概率初步理解概率的基本概念。
学习概率的计算方法。
复习策略系统复习：按照章节顺序，系统地复习每个知识点。
重点强化：针对重点和难点进行强化训练。
习题练习：通过大量的习题练习，巩固知识点。
错题回顾：对错题进行总结和回顾，避免重复错误。
模拟测试：定期进行模拟测试，检验复习效果。
结语通过对八年级上册数学各章知识点的总结及整理，学生可以更加清晰地掌握每个章节的核心内容，为期末考试和未来的学习打下坚实的基础。
八年级数学反比例函数知识点11、定义：形如y=(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数。
2、其他形式xy=k(k为常数，k≠0)都是。
3、图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和y=-x。
对称中心是：原点3、性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x 值的增大而减小。
当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
4、|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
初中数学同底数幂的乘法1、n个相同因式(或因数)a相乘，记作an，读作a的n次方(幂)，其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：am﹒an=am+n。
4、此法则也可以逆用，即：am+n=am﹒an。
5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
初中数学旋转的相关知识点1、旋转的定义：把一个图形绕着某一O转动一个角度的图形变换叫做旋转。
点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点。
2、旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前后的图形全等。
3、作图：在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素。
确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心;确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角。
作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心;(2)把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角);(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点;(4)连接所得到的各对应点。
八年级数学下册第11章《反比例函数》常考题一，单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，图象是双曲线且经过点（2，－4）的是（ ） A ．2y x =-B ．4y x=-C ．8y x=-D ．6y x =-2．下列关系中，成反比例函数关系的是（ ）A ．在直角三角形中，30度角所对的直角边y 与斜边x 之间的关系B ．在等腰三角形中，顶角y 与底角x 之间的关系C ．圆的面积S 与它的半径r 之间的关系D ．面积为2019的菱形，其中一条对角线y 与另一条对角线x 之间的关系 3．在双曲线3m y x-=每一分支上，y 都随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞－3 B ．m ＜－3C ．m ＞3D ．m ＜34．反比例函数y ＝3x图象上三个点的坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3），若x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 （ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 25．关于x 的函数y kx k =-和()0ky k x=-≠在同一坐标系中的图像大致是（ ）． A ． B ．C ．D ．6．如图，双曲线y 1＝kx与直线y 2＝ax 相交于A ，B 两点，点A 的坐标为（2，m ），若y 1＜y 2，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞2或﹣1＜x ＜0B ．﹣2＜x ＜0或0＜x ＜2C ．x ＞2或﹣2＜x ＜0D ．x ＜﹣2或0＜x ＜27．如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S +=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点О在原点，A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，反比例函数()0ky k x=>图象交AB 边于点D ，交BC 边于点E ，连接EO 并延长，交()0ky k x=>的图象于点F ，连接DE ，DO ，DF ，若:1:2CE BE =，8DOF S =△，则k 的值等于（ ）A ．3B ．4.6C ．6D ．89．在压力一定的情况下，压强()P pa 与接触面积S （2m ）成反比例，某木块竖直放置与地面的接触面积20.3S m =时，20000P pa =，若把木块横放，其与地面的接触面积为22m ，则它能承受的压强为（ ） A ．1000paB ．2000paC ．3000paD ．4000pa10．如图，已知动点P 在函数1(0)2y x x=>的图象上运动，PM x ⊥轴于点M ，PN y ⊥轴于点N ，线段PM 、PN 分别与直线AB ：1y x =-+交于点E ，F ，则AF BE⋅的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．点(3,)a 在反比例函数6y x=-的图象上，则a 的值为_________．12．在平面直角坐标系中，反比例函数ky x=-的图象经过点(,4)A m ，(B .则m 的值是____．13．对于函数2y x=，当2x ≤时，y 的取值范围是_______________ 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 和函数y =4x (x >0)的图象交于A 、B 两点．利用函数图象直接写出不等式4x <kx +b(x >0)的解集是____________.15．已知1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 都在反比例函数6y x=的图象上．若124x x =-，则12y y 的值为___．16．如图，设点P 在函数y ＝m x的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交函数y ＝nx 的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交函数y ＝nx的图象于点B ，若四边形PAOB 的面积为8，则m ﹣n ＝_____．17．如图，过原点的直线与反比例函数()0ky k x=>的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点C 在x 轴正半轴上，连结AC 交反比例函数图象于点D ．AE 为∠BAC 的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连结DE ，若AC ＝3DC ，△ADE 的面积为6，则k 的值为_____．三、解答题（本大题共6小题,18，19.20题各7分，21题8分,22,23题各10分，共49分） 18．已知一次函数y kx b =+的图象经过点(1,5)A --，且与正比例函数12y x =的图象相交于点(2, )B a （1）求a 的值；（2）求出一次函数的解析式； （3）求AOB ∆的面积．19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x-4的图象与反比例函数ky x=的图象交于A(1，n)，B(m ，2).(1)求反比例函数关系式及m 的值(2)若x 轴正半轴上有一点M ，满足ΔMAB 的面积为16，求点M 的坐标； (3)根据函数图象直接写出关于x 的不等式24k x x--＜的解集20．函数y=（m ﹣1）21m m x --是反比例函数（1）求m 的值 （2）判断点（12，2）是否在这个函数的图象上．21．李叔叔驾驶小汽车从A 地匀速行驶到B 地，行驶里程为480km ，设小汽车的行驶时间为()t h ，行驶速度为()v km h ，且全程速度限定不超过120km h ． （1）求v 与t 之间的关系式；（2）李叔叔上午8点驾驶小汽车从A 地出发，需要在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B 地，求小汽车行驶速度v 的范围．22．在平面直角坐标系平面中，直线12y x =经过点(),2A m ，反比例函数()0ky k x=≠的图像经过点A 和点()8,B n ． （1）求反比例函数的解析式；（2）在x 轴上找一点C ，当AC BC =时，求点C 的坐标； （3）在（2）的条件下，求ACB ∆的面积．23．如图，一次函数1y ＝ax+b 与反比例函数2y ＝kx的图象相交于A （2，8），B （8，2）两点，连接AO ，BO ，延长AO 交反比例函数图象于点C ．（1）求一次函数1y 的表达式与反比例函数2y 的表达式； （2）当1y ＜2y 时，直接写出自变量x 的取值范围为 ； （3）求AOBS的值（4）点P 是x 轴上一点，当PACS ＝45AOBS 时，请求出点P 的坐标．一，单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，图象是双曲线且经过点（2，－4）的是（ ） A ．2y x =- B ．4y x=-C ．8y x=-D ．6y x =-【答案】C 【分析】设双曲线的解析式为：,ky x=再把()2,4-代入函数解析式，可得答案． 【详解】解：设双曲线的解析式为：,k y x=4,2k ∴-=8,k ∴=-∴双曲线的解析式为：8, yx =-故选：.C【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，反比例函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．2．下列关系中，成反比例函数关系的是（）A．在直角三角形中，30度角所对的直角边y与斜边x之间的关系B．在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系C．圆的面积S与它的半径r之间的关系D．面积为2019的菱形，其中一条对角线y与另一条对角线x之间的关系【答案】D【分析】根据题意分别写出各个选项中的函数关系式，根据反比例函数的定义判断．【详解】A、在直角三角形中，30度角所对的直角边y与斜边x之间的关系：y＝12x，不是反比例函数关系；B、在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系：y＝180°﹣2x，不是反比例函数关系；C、圆的面积S与它的半径r之间的关系：S＝πr2，不是反比例函数关系；D、面积为2019的菱形，其中一条对角线y与另一条对角线x之间的关系：y＝4038x，是反比例函数关系；故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数的定义、直角三角形的性质、三角形内角和定理、菱形的面积计算，掌握反比例函数的定义是解题的关键.3．在双曲线3myx-=每一分支上，y都随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞－3 B．m＜－3 C．m＞3 D．m＜3【答案】D【分析】根据反比例函数的图象与性质即可求出k的范围．【详解】解：由题意可知：m-3＜0， ∴m ＜3 故选：D ． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．4．反比例函数y ＝3x图象上三个点的坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3），若x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 （ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 2【答案】B 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据x 1＜x 2＜0＜x 3即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数y ＝3x中，k ＝3＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小． ∵x 1＜x 2＜0＜x 3，∴（x 1，y 1）、（x 2，y 2）在第三象限，（x 3，y 3）在第一象限， ∴y 2＜y 1＜0＜y 3． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征：当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号． 5．关于x 的函数y kx k =-和()0ky k x=-≠在同一坐标系中的图像大致是（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】D 【分析】首先根据反比例函数图象所经过的象限判断出k 的符号；然后由k 的符号判定一次函数图象所经过的象限，图象一致的选项即为正确选项． 【详解】解：A 、反比例函数()0ky k x=-≠的图象经过第一、三象限，则-k ＞0，即k ＜0，所以一次函数y ＝kx−k 的图象经过第一、二、四象限，故本选项错误； B 、反比例函数()0ky k x=-≠的图象经过第一、三象限，则-k ＞0，即k ＜0，所以一次函数y ＝kx−k 的图象经过第一、二、四象限，故本选项错误； C 、反比例函数()0ky k x=-≠的图象经过第二、四象限，则-k ＜0，即k ＞0，所以一次函数y ＝kx−k 的图象经过第一、三、四象限，故本选项错误； D 、反比例函数()0ky k x=-≠的图象经过第一、三象限，则-k ＞0，即k ＜0．所以一次函数y ＝kx−k 的图象经过第一、二、四象限，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点：①反比例函数()0ky k x=≠的图象是双曲线；②当k ＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；③当k ＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 6．如图，双曲线y 1＝kx与直线y 2＝ax 相交于A ，B 两点，点A 的坐标为（2，m ），若y 1＜y 2，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞2或﹣1＜x ＜0B ．﹣2＜x ＜0或0＜x ＜2C ．x ＞2或﹣2＜x ＜0D ．x ＜﹣2或0＜x ＜2【答案】C 【分析】根据点A 和点B 关于原点对称，即得到点B 的横坐标，结合函数图象，即可得到答案． 【详解】∵点A 的坐标为：（2，m ），由题意知：点A 和点B 关于原点中心对称， ∴点B 的坐标为：（-2，-m ）， 根据图象可知：x 的取值范围为：-2＜x ＜0或x ＞2． 故选：C ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是正确掌握数形结合的思想． 7．如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S +=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【分析】先根据反比例函数系数k 的几何意义得S 1+S 阴影及S 2+S 阴影的值，进而可得出S 1+S 2的值． 【详解】解：∵点A 、B 是双曲线3y x=上的点， ∴S 1+S 阴影=S 2+S 阴影=3，∵S 阴影=1∴S 1=S 2=3-S 阴影=3-1=2，∴12224S S +=+=．故选A ．【点睛】 本题考查反比例函数系数k 的几何意义，是常考点，需要学生熟练掌握．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点О在原点，A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，反比例函数()0k y k x =>图象交AB 边于点D ，交BC 边于点E ，连接EO 并延长，交()0k y k x=>的图象于点F ，连接DE ，DO ，DF ，若:1:2CE BE =，8DOF S =△，则k 的值等于（ ）A ．3B ．4.6C ．6D ．8 【答案】C【分析】 由反比例函数()0k y k x=>图象的中心对称性质，则OE=OF ，由四边形OABC 为正方形，可得OA=OC ，∠OCA=∠OAB=90°由点E ，D 在反比例函数图像上，可证CE=AD ，可证△OCE ≌△OAD （SAS ）可得OE=OD=OF ，由中线性质S △ODE =S △ODF =8，由:1:2CE BE =，可知CE 13BC =，BE=23BC 设正方形的边长为m ，利用正方形面积构造方程，求出2=18m 进而求 211=633k m m m ⋅==即可． 【详解】解：由反比例函数()0k y k x=>图象的中心对称性质， 则OE=OF ， ∵四边形OABC 为正方形，∴OA=OC ，∠OCA=∠OAB=90°，由点E ，D 在反比例函数图像上，∴CE=AD==k k OA OC， 在△OCE 和△OAD 中，OC OA OCE OAD CE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCE ≌△OAD （SAS ），∴OE=OD=OF ，∴S △ODE =S △ODF =8，∵:1:2CE BE =，∴CE=()11+33CE BE BC =，BE=23BC ， 设正方形的边长为m ，S 正方形OABC =2S △OCE +S △BED +S △OED ，即m 2=2×21112·82323m m m ⎛⎫⨯++⨯ ⎪⎝⎭， ∴2=18m ，∵点E 在反比例函数图像上E （1,3m m ）， ∴211633k xy m m m ==⋅==． 故选择：C ．【点睛】本题考查反比例函数性质，正方形性质，三角形中线性质，掌握反比例函数性质，正方形性质，三角形中线性质，掌握关键是抓住正方形面积构造方程．9．在压力一定的情况下，压强()P pa 与接触面积S （2m ）成反比例，某木块竖直放置与地面的接触面积20.3S m =时，20000P pa =，若把木块横放，其与地面的接触面积为22m ，则它能承受的压强为（ ）A ．1000paB ．2000paC ．3000paD ．4000pa 【答案】C【分析】利用压强与接触面积和物体重量的关系进而得出答案．【详解】解：设p=F S， 把（0.3，20000）代入得：F=20000×0.3=6000，故P=6000S， 当S=2m 2时， P=60002=3000pa ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，正确记忆压强与接触面积和物体重量的关系是解题关键．10．如图，已知动点P 在函数1(0)2y x x=>的图象上运动，PM x ⊥轴于点M ，的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12 【答案】C【分析】由于P 的坐标为1,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且PN OB ⊥，PM OA ⊥，那么N 的坐标和M 点的坐标都可以a 表示，那么BN 、NF 的长度也可以用a 表示，接着F 点、E 点的也可以a 表示，然后利用勾股定理可以分别用a 表示AF ，BE ，最后即可求出AF BE ⋅．【详解】解：作FG x ⊥轴， P 的坐标为1,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且PN OB ⊥，PM OA ⊥， N ∴的坐标为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 点的坐标为(),0a ， 112BN a∴=-， 在直角三角形BNF 中，45(1NBF OB OA ∠=︒==，三角形OAB 是等腰直角三角形)，112NF BN a∴==-， F ∴点的坐标为111,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 同理可得出E 点的坐标为(),1a a -，2222111(11)()222AF a a a∴=-++=，2222()()2BE a a a =+-=， 22221212AF BE a a∴⋅=⋅=，即1AF BE ⋅=． 故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、勾股定理，解题的关键是通过反比例函数上的点P 坐标，来确定E 、F 两点的坐标，进而通过勾股定理求出线段乘积的值．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．点(3,)a 在反比例函数6y x =-的图象上，则a 的值为_________． 【答案】2-．【分析】直接把点(3,)a 代入反比例函数6y x =-，求出a 的值即可． 【详解】 解：点(3,)a 在反比例函数6y x=-图象上， 623a ∴=-=-． 故答案为：2-．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12．在平面直角坐标系中，反比例函数k y x =-的图象经过点(,4)A m ，(B .则m 的值是____． 【答案】32-【分析】将点B 的坐标代入反比例函数解析式，得出k 的值，再将点A 的纵坐标代入即可得出m 的值．【详解】解：将点B 的坐标代入反比例函数解析式，得出：=，将点A的纵坐标代入可得，64m=-，解得，32m=-．故答案为：32 -．【点睛】本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标，属于基础题目，易于掌握．13．对于函数2yx=，当2x≤时，y的取值范围是_______________【答案】y≥1或y＜0【分析】分为x＜0和0＜x≤2两部分来求解．【详解】解：对于函数2yx=，当x＜0时，y＜0；当0＜x≤2时，y≥1；故当x≤2时，y的取值范围是y≥1或y＜0，故答案为：y≥1或y＜0．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意kyx=（k≠0）中k的取值．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b和函数y=4x(x>0)的图象交于A、B两点．利用函数图象直接写出不等式4x<kx+b(x>0)的解集是____________.【答案】1<x<4【解析】【分析】不等式4x<kx+b(x>0)的解集实际上是反比例函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围，根据图象可以直接得出答案．解：不等式4x <kx +b(x >0)的解集实际上是反比例函数值小于一次函数值的自变量x 的取值范围，根据图象得：1＜x ＜4．故答案为：1＜x ＜4．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，理清不等式的解集与两个函数的交点坐标之间的关系是解决问题的关键．15．已知1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 都在反比例函数6y x =的图象上．若124x x =-，则12y y 的值为___．【答案】-9．【分析】根据反比例函数上点的特征得到1y 、2y 分别与1x 、2x 的关系，再把它们相乘，最后把12=4x x -代入即可．【详解】将点A 和B 代入反比例函数得：116y x =，226y x =， 所以12121266363694y y x x x x ====--． 故答案为-9【点睛】 本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，图像为双曲线，图像上点的横、纵坐标的积是定值． 16．如图，设点P 在函数y ＝m x的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交函数y ＝n x 的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交函数y ＝n x 的图象于点B ，若四边形PAOB 的面积为8，则m ﹣n ＝_____．【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义求出四边形PCOD 的面积为m ，△OBD 和△OAC 的面积为12n ，根据四边形PAOB 的面积＝S 四边形PCOD ﹣S △OBD ﹣S △OAC ＝8求解即可． 【详解】解：根据题意，S 四边形PCOD ＝m ，S △BOD ＝12n ，S △AOC ＝12n ， ∴四边形PAOB 的面积＝S 四边形PCOD ﹣S △OBD ﹣S △OAC ＝m ﹣12n ﹣12n ＝8， ∴m ﹣n ＝8．故答案为：8．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，熟知过双曲线上任意一点分别向两条坐标轴作垂线，围成的矩形面积为∣k ∣是解答的关键．17．如图，过原点的直线与反比例函数()0k y k x=>的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点C 在x 轴正半轴上，连结AC 交反比例函数图象于点D ．AE 为∠BAC 的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连结DE ，若AC ＝3DC ，△ADE 的面积为6，则k 的值为_____．【答案】92【分析】 连接OE ，在Rt △ABE 中，点O 是AB 的中点，得到OE=12AB=OA ，根据角平分线的定义得到∠OAE=∠DAE ，得到∠OEA=∠DAE ，过A 作AM ⊥x 轴于M ，过D 作DN ⊥x 轴于N ，易得S 梯形AMND =S △AOD ，△CAM ∽△CDN ，得到S 梯形AMND =S △AOD =S △ADE =6，求得S △AOC =9，延长CA 交y 轴于P ，易得△CAM ∽△CPO ，设DN=a ，则AM=3a ，推出S △CAM ：S △AOM =3：1，于是得到结论．解：连接OE，在Rt△ABE中，点O是AB的中点，∴OE＝12AB＝OA，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠OAE＝∠DAE，∴∠OEA＝∠DAE，∴AD∥OE，∴S△ADE＝S△AOD，过A作AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，易得S梯形AMND＝S△AOD，△CAM∽△CDN，∵CD：CA＝1：3，S梯形AMND＝S△AOD＝S△ADE＝6，∴S△AOC＝9，延长CA交y轴于P，易得△CAM∽△CPO，设DN＝a，则AM＝3a，∴ON＝ka，OM＝3ka，∴MN＝23ka，CN＝3ka，∴CM：OM＝3：1，∴S△CAM：S△AOM＝3：1，∴S△AOM＝94，∴k＝92．故答案为92．本题考查反比例函数k 的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE 的面积转化为△AOC 的面积是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题,18，19.20题各7分，21题8分,22,23题各10分，共49分） 18．已知一次函数y kx b =+的图象经过点(1,5)A --，且与正比例函数12y x =的图象相交于点(2, )B a（1）求a 的值；（2）求出一次函数的解析式；（3）求AOB ∆的面积．【答案】（1）1（2）23y x =-（3）92 【解析】【分析】（1）将点B 代入正比例函数12y x =即可求出a 的值； （2）将点A 、B 代入一次函数y kx b =+，用待定系数法确定k ，b 的值即可； （3）可将AOB ∆分割成两个三角形求其面积和即可.【详解】（1）依题意，点(2,)B a 在正比例函数12y x =的图象上， 所以，1212a =⨯= （2）依题意，点A 、B 在一次函数图象上，所以，521k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得：23k b =⎧⎨=-⎩，. 一次函数的解析式为：23y x =-，（3）直线AB 与y 轴交点为(0,3)-，AOB ∆的面积为：1193132222⨯⨯+⨯⨯=【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求一次函数解析式是解题的关键，对于一般的三角形不易直接求面积时，可将其分割成多个易求面积的三角形.19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x-4的图象与反比例函数k y x=的图象交于A(1，n)，B(m ，2).(1)求反比例函数关系式及m 的值(2)若x 轴正半轴上有一点M ，满足ΔMAB 的面积为16，求点M 的坐标；(3)根据函数图象直接写出关于x 的不等式24k x x --＜的解集【答案】(1) 反比例关系式为:6y x =-，m=-3； (2)点M(2，0) ；(3)x<-3或0<x<1 【分析】（1）把A （1，n ），B （m ，2）代入y=-2x-4即可求得m 、n 的值，从而得到A （1，-6），然后利用待定系数法即可即可求得反比例函数的表达式；（2）设M （m ，0），因为△MAB 的面积为16，直线AB 交x 轴于（-2，0），可得12|m+2|×8=16，解方程即可；（3）根据图象，结合A 、B 的坐标即可求得．【详解】解：(1) ∵一次函数y=-2x-4的图象过点A （1，n ），B （m ，2）∴n=-2-4，2=-2m-4∴n=-6，m=-3，∴点A(1，-6).把A （1，-6）代入k y x=得，k=-6， ∴反比例关系式为:6y x =-； (2)设直线AB 交x 轴于点N ，则N(-2，0)，设M （m ，0），m ＞0，当M 在x 轴正半轴时ABM BMN AMN S S S ∆∆∆=+112622MN MN =⨯+⨯ =12|m+2|×8=16 ∴m=2或-6（不合题意舍去），∴点M(2，0) ；(3) 由图象可知：不等式在k x＜-2x-4的解集是x ＜-3或0＜x ＜1． 故答案为：(1) 反比例关系式为:6y x =-， m=-3； (2)点M(2，0) ；(3)x<-3或0<x<1 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会构建方程解决问题．20．函数y=（m ﹣1）21mm x --是反比例函数（1）求m 的值 （2）判断点（12，2）是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) m=0；（2）点（12，2）不在这个函数图象上． 【解析】试题分析：()1根据反比例函数的定义得到2101 1.m m m -≠⎧⎨--=-⎩即可求出m 得值. ()2把12x =代入反比例函数1y x=-，求得y 的值，即可判断. 试题解析：()1由题意得：2101 1.m m m -≠⎧⎨--=-⎩解得0m =．（2）∵反比例函数1y x =-，当122x y ==-，， ∴点122⎛⎫⎪⎝⎭，不在这个函数图象上． 21．李叔叔驾驶小汽车从A 地匀速行驶到B 地，行驶里程为480km ，设小汽车的行驶时间为()t h ，行驶速度为()v km h ，且全程速度限定不超过120km h ．（1）求v 与t 之间的关系式；（2）李叔叔上午8点驾驶小汽车从A 地出发，需要在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B 地，求小汽车行驶速度v 的范围．【答案】（1）()4804v t t =≥；（2）小汽车行驶速度v 的范围为80100v ≤≤ 【分析】（1）根据速度乘以时间等于路程，得到v 与t 之间的关系式；（2）根据题意得出时间的范围，代入（1）中的关系式得到速度的范围．【详解】解：（1）∵480vt =，且全程速度限定不超过120km h ，∴v 与t 之间的关系式为()4804v t t=≥． （2）∵8点至12点48分的时间长为4.8h ，8点至14点的时间长为6h ，∴将6t =代入480v t=中，得80v =， 将 4.8t =代入480v t=中，得100v =． ∴小汽车行驶速度v 的范围为80100v ≤≤． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是列出反比例函数解析式进行求解． 22．在平面直角坐标系平面中，直线12y x =经过点(),2A m ，反比例函数()0k y k x=≠的图像经过点A 和点()8,B n ．（1）求反比例函数的解析式；（2）在x 轴上找一点C ，当AC BC =时，求点C 的坐标；（3）在（2）的条件下，求ACB ∆的面积．【答案】（1）8y x =；（2）C (458，0)；（3）5116 【分析】 （1）先把(),2A m 代入12y x =求出m ，再把(),2A m 代入k y x=求出k 即可； （2）先求出点B 的坐标，设C (x ，0)，根据两点间的距离公式求出x 即可；（3）连接AC ，BC ，作AE ⊥x 轴于E ，作BF ⊥x 轴于F ，根据S △ABC =S 梯形ABFE -S △ACE -S △BCF求解即可；【详解】解：（1）把(),2A m 代入12y x =，得 122m =， ∴m =4，把()4,2A 代入k y x=，得 24k =， ∴k =8， ∴8y x=； （2）把()8,B n 代入8y x =，得 818n ==， ∴()8,1B ，设C (x ，0)，∵AC BC =，=∴458x =， 经检验45x 8=是原方程的根， ∴C (458，0)； （3）连接AC ，BC ，作AE ⊥x 轴于E ，作BF ⊥x 轴于F ，∵()4,2A ，()8,1B ，C (458，0)， ∴AE =2，BF =1，EF =8-4=4，CE =458-4=138，CF =8-458=198， ∴S △ABC =S 梯形ABFE -S △ACE -S △BCF =()11131191242122828⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯ =5116．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，以及割补法求图形的面积等知识，求出反比例函数解析式是解答本题的关键．23．如图，一次函数1y ＝ax+b 与反比例函数2y ＝k x的图象相交于A （2，8），B （8，2）两点，连接AO ，BO ，延长AO 交反比例函数图象于点C ．（1）求一次函数1y 的表达式与反比例函数2y 的表达式；（2）当1y ＜2y 时，直接写出自变量x 的取值范围为 ；（3）求AOB S 的值（4）点P 是x 轴上一点，当PAC S ＝45AOB S 时，请求出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝﹣x+10，y ＝16x ；（2）x ＞8或0＜x ＜2；（3）30；（4）P （3，0）或P （﹣3，0）.【分析】(1)利用待定系数法确定解析式即可；(2)利用数形结合思想，根据交点的横坐标确定解集即可；(3)利用图形分割法表示所求图形的面积即可；(4)用点P 的横坐标表示三角形的面积求解即可.【详解】解：（1）将A （2，8），B （8，2）代入y ＝ax+b得2882a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得110a b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数为1y ＝﹣x+10，将A （2，8）代入2y ＝kx ，得8＝2k，解得k ＝16，∴反比例函数的解析式为y ＝16x； （2）由图象可知，当1y ＜2y 时，x ＞8或0＜x ＜2，故答案为x ＞8或0＜x ＜2；（3）设直线AB 与x 轴的交点为D ，把y ＝0代入1y ＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x ＝10，∴D （10，0），∴AOB S ＝AOD S ﹣DOB S ＝11082⨯⨯-11022⨯⨯ =30，（4）由题意可知点A 与点C 对称，所以C （-2，-8），∵PAC S ＝45AOB S =45×30＝24， ∴2×12A PO y ⨯⨯＝24，即2×182PO ⨯⨯＝24， ∴OP ＝3， ∴P （3，0）或P （﹣3，0）.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式确定，函数值确定的不等式解集，图形的面积，动点问题，熟记待定系数法，图形面积的分割法，动点表示面积是解题的关键.。
1八年级(下)反比例函数复习练习一．选择题1.某反比例函数的图象经过点（－1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ） A. （－3,2） B. （3,2） C. （2，3） D. （6,1）2.关于反比例函数4y x=的图象，下列说法正确的是（ ） A ．必经过点（1，1）B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．两个分支关于原点成中心对称3.函数2y x =与函数1y x-=在同一坐标系中的大致图像是（ ）4.若双曲线21k y x-=的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是（ ） A.k ＞21 B. k ＜21 C. k =21D. 不存在5.如图，反比例函数y 1=k 1x和正比例函数y 2=k 2x 的图象交于A （－1，－3）、B （1，3）两点，若k 1x ＞k 2x ，则x 的取值范围是( )A.－1＜x ＜0B.－1＜x ＜1C.x ＜－1或0＜x ＜1D.－1＜x ＜0或x ＞1 6.若函数xm y 2+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是 ( )A ．2->mB ．2-<mC ．2>mD ．2<m 7.如图，函数11y x =-和函数22y x=的图象相交于点 M (2，m )，N (－1，n )，若12y y >，则x 的取值范围是（ ） A ．102x x <-<<或 B ．12x x <->或 C ．1002x x -<<<<或 D ．102x x -<<>或28.如图，反比例函数xmy =的图象与一次函数b kx y -=的 图象交于点M ，N ，已点M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐标 为－1，根据图象信息可得关于x 的方程xm=b kx -的解为（ ） A. －3,1 B. －3,3 C. －1,1 D.3，－19.已知如图,A 是反比例函数xky =的图像上的一点,AB ⊥x 轴于点B ,且△ABO 的面积是3,则k 的值是( )A.3B.－3C.6D.－6 10.如图，直线y =x +2与双曲线y =xm 3-在第二象限有两个交点， 那么m 的取值范围在数轴上表示为（ ）二．填空题11.已知反比例函数ky x=的图象经过（1，－2）．则k = 12.若点A (m ，－2)在反比例函数4y x=的图像上，则当函数值y ≥－2时，自变量x 的取值范围是_________ 13.过反比例函数y=xk(k≠0)图象上一点A ，分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为B ,C ，如果⊿ABC 的面积为3.则k 的值为 14.若点12(1,),(2,)A y B y 是双曲线3y x=上的点，则1y 2y （填“>”,“<”“=”）. 15.如图.所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A 在此曲线上，则该反比例函数的解析式为________16.在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数2(0)ky k x =≠满足：当0x <时，y 随x 的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y x =-都经过点P，且OP =k =________三．解答题第9题317.如图，函数b x k y +=11的图象与函数xk y 22=（0>x ）的图象交于A 、B 两点，与y 轴 交于C 点，已知A 点坐标为（2，1），C 点坐标为（0，3）． （1）求函数1y 的表达式和B 点的坐标；（2）观察图象，比较当0>x 时，1y 与2y 的大小.18.已知一次函数2y x =+与反比例函数ky x=，其中一次函数2y x =+的图象经过点P (k ，5)．①试确定反比例函数的表达式；②若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标19.如图，正比例函数12y x =的图象与反比例函数ky x=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.20.如图，已知直线12y x =-经过点P （2-，a ），点P 关于y2k y x=（0≠k ）的图象上．（1）求点P ′的坐标； （2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y 2<2时自变量x21.如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （－3，0）。
反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据．一、反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例，就是xy k =，或表示为ky x =，其中k是不等于0的常数．2、解析式形如ky x=（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数．3、反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数．反比例函数知识结构模块一：反比例函数的概念知识精讲内容分析【例1】下列变化过程中的两个变量成反比例的是（）A ．圆的面积和半径B ．矩形的面积一定，它的长与宽C ．完成一项工程的工效与完成工期的时间D ．人的身高及体重【难度】★【答案】【解析】【例2】（1）已知：y 与x 成反比例，且1x =-时，2y =，则它的函数解析式是_________;（2）已知y 与2x 成反比例，且当2x =-时，14y =-，则当13x =时，y =_________.【难度】★【答案】【解析】【例3】下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是，为什么?（1）3x y =；（2）12y x -=；（3）1(0)y k kx =≠；（4）2xy =-；（5）21y x=+．【难度】★【答案】【解析】【例4】（1）如果21(1)kk y k x --=-是反比例函数，则k 的值是_________；（2）已知函数210(3)my m x -=-是反比例函数，则m =_________.【难度】★★【答案】【解析】例题解析【例5】下列说法中正确的有（）个．（1）当10k y kx≠=时，是反比例函数；（2）如果2213y y x x=，那么与成反比例；（3）如果211m y m x-=+-是反比例函数，则1m =±；（4）如果x 、y 成正比例，y 与z 成反比例，则x 与z 成反比例．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】【解析】【例6】已知某反比例函数，且当1x =时，2y =-，当3x y m =-=时，求m 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例7】已知21y x +-与成反比例，且当13x y =-=-时，当3x =时，y 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例8】已知一梯形的面积是30，上底长是下底长的12，设下底长为x ，高为y ，求y 关于x 的函数关系式并写出这个函数的定义域．【难度】★★【答案】【解析】【例9】已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，它的横坐标x 和纵坐标y 是方程2280x x --=的两个根，求：（1）k 的值；（2）点A 到y 轴的距离．【难度】★★【答案】【解析】【例10】设1212k ky y x x==和，当2x =时，121213y y y y +=-=，，求12k k 、的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例11】已知122y y y =-，若1y 与x 成反比例，2y 与3x +成正比例，且当1x =时10y =，当1x =-时2y =；（1）求y 与x 间的函数关系式；（2）求当12y =时，x 的值．【难度】★★★【答案】【解析】师生总结1.反比例函数的定义域有限制吗？请说明二、反比例函数的图像1、反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像叫做双曲线，它有两支．三、反比例函数的性质1、当0k >时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小．2、当0k <时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大．3、图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交．【例12】（1）已知反比例函数2a y x-=图像在第二、四象限，则a 的取值范围是_______；（2）已知(0)ky k x=≠图像上有一点P （3，2），那么这个反比例函数的解析式为_________.【难度】★【答案】【解析】【例13】已知反比例函数(0)ky k x=≠的图像经过经过点（1，2-），则这个函数解析式是______________；当x ＜0时，y 的值随着x 的增大而________．【难度】★【答案】【解析】知识精讲例题解析模块二：反比例函数的图像及性质【例14】当m =_______时函数231(2)mm y m x --=-是反比例函数，且当0x >时，y 值随x的值增大而减小．【难度】★【答案】【解析】【例15】已知（3，4）是反比例函数221m m y x+-=图像上的一点，则函数图像必过点（）．A ．（2，6-）B ．（6-，2）C ．（3，4-）D ．（3-，4-）【难度】★【答案】【解析】【例16】（1）已知函数1y x -=是反比例函数，则k 的取值范围是________；（2）已知反比例函数1k y x+=，点1122()()x y x y ，、，为其图像上的两点，若当12120x x y y <<>时，，则k 的取值范围是___________．【难度】★★【答案】【解析】【例17】下列函数1135y x y x y y x x=-===-，，，中，每个象限内y 的值随x 的增大而减小的有（）个A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★★【答案】【解析】【例18】下列函数21()a y a x--=是常数的图像上有三点A 13y （-，）、B 21y （-，）、C 32y （，），则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<【难度】★★【答案】【解析】【例19】（1）已知P （1，2+1m ）在双曲线ky x=上，则双曲线的图像在第_______象限内，当x <0时，y 的值随x 的减小而________；（2）设反比例函数15510y x x -=-≤≤，当时，函数的最大值是______________．【难度】★★【答案】【解析】【例20】（1）平面直角坐标系中，点A (725)m m --，在第二象限，且m 为整数，求过点A 的反比例函数解析式；（2）若反比例函数3k y x -=的图像位于第二、四象限内，正比例函数2(1)3y k x =-过一、三象限，求整数k 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例21】函数122(4)m y m m x=+可能是正比例函数或者是反比例函数吗?为什么?【难度】★★★【答案】【解析】【例22】已知反比例函数(0)ky k x=≠，当自变量x 的取值范围为84x ≤≤--时，相应的函数取值范围是12y ≤≤--1，求这个反比例函数解析式．【难度】★★★【答案】【解析】师生总结2.反正比例函数的性质是什么？反比例函数和几何图形的综合【例23】已知反比例函数图像上有一点P ，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，如果△POH的面积为6，则反比例函数的解析式为_____________.【难度】★【答案】【解析】【例24】如图，x 轴上一点C 的坐标是（-3，0）．点P 从原点出发，沿y 轴向上运动，过点P 作x 轴的平行线，分别与反比例函数42y y x x =-=和的图像交于点A 、B ，在点P 从下向上移动过程中，三角形ABC 的面积（）A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．先增大，到一定程度后减小【难度】★★【答案】【解析】知识精讲例题解析ABC OPxy模块三：反比例函数的综合【例25】如图，矩形ABCD 的边CD 在x 轴上，顶点A 在双曲线1y x=上，顶点B 在双曲线3y x=上，求矩形ABCD 的面积．【难度】★★【答案】【解析】【例26】过原点作直线交双曲线(0)ky k x=>于点A 、C ，过A 、C 两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD ，如图所示．（1）已知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；（2）若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．【难度】★★【答案】【解析】A B CDE OxyyABCDOx【例27】正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数(0)ky k x =>的图像上，已知正方形OAPB 的面积是16．（1）求k 的值和直线OP 的函数解析式；（2）求正方形ADEF 的边长．【难度】★★★【答案】【解析】【例28】如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐原点，A 在x 轴上，C 在y 轴上，B 在函数(00)k y k x x =>>，的图像上，点P （m ，n ）在(00)ky k x x =>>，的图像上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积是S ．（1）求点B 的坐标；（2）当92S =时，求点P 的坐标；（3）写出S 关于m 的函数解析式．【难度】★★★【答案】【解析】A BC PE FyOxyABPFOxE【习题1】下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是?为什么?（1）13y x =-；（2）4xy =；（3）15y x=-；（4）2(0)ay a a x =≠为常数，；（5）1y xπ=；（6）21y x =.【难度】★【答案】【解析】【习题2】已知1y x -与成反比例，当x =1时，y =3；当x =8时，y =________．【难度】★【答案】【解析】【习题3】（1）反比例函数22(2)my m x -=-的图像在第二、四象限，则m =________；（2）若反比例函数230k y x x-+=<，当时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是____________．【难度】★【答案】【解析】随堂检测【习题4】在函数(0)ky k x=>图像上有三点112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，，如果1230x x x <<<，试比较123y y y ，，大小关系___________.【难度】★★【答案】【解析】【习题5】反比例函数2121k y k x+=+-的图像经过第二、四象限，求这个函数的解析式.【难度】★★【答案】【解析】【习题6】作出反比例函数12y x=的图像，并根据图像解答下列问题：（1）当4x =时，求y 的值；（2）当2y =-时，求x 的值；（3）当2y >时，求x 的范围．【难度】★★【答案】【解析】【习题7】点P 在反比例函数1y x=(x ＞0)的图像上，且横坐标为2．若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点'P ．求在第一象限内，经过点'P 的反比例函数图像的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】已知函数12y y y =+，1y 与x 成反比例，2y 与(2)x -成正比例，当1x =时，1y =-；当3x =时，5y =，求当6x =时，y 的值．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】（1）若P 是反比例函数3ky x=图像上的一点，PQ ⊥y 轴，垂足为点Q ，若2POQ s ∆=，求k 的值；（2）已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，过A 点向x 轴，y 轴分别做垂线，垂足分别为点B C ，，且四边形ABOC 的面积为15，求这个反比例函数解析式．【难度】★★【答案】【解析】【习题10】如图，点A 、B 在反比例函数(0)ky k x=>的图像上，且A 、B 横坐标分别是a 、2a (0)a >．AC ⊥x 轴，垂足为C ，三角形AOC 的面积为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点12(2)a y a y (-，)、-，也在反比例函数的图像上，试比较12y y ，的大小．【难度】★★★【答案】【解析】A BG D EFCOxy【习题11】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数3y x =与反比例函数图像交于第一象限内的点A ，AB ⊥x 轴于点B ，AB =6．（1）求反比例函数的解析式；（2）在直线AB 上是否存在点P ，使点P 到正比例函数直线OA 的距离等于点P 到点B 的距离?若存在，求点P 坐标，若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【习题12】已知反比例函数4y x=与正比例函数相交与点A ，点A 的坐标是（1，m ）．（1）求此正比例函数解析式；（2）若正比例函数14y x =与反比例函数4y x=的图像在第一象限内相交与点B ，过点A 和点B 分别做x 轴的垂线，分别交x 轴与点C 和点D ，AC 和OB 相交与点P ，求梯形PCDB 的面积；（3）联结AB ，求AOB ∆面积．【难度】★★★【答案】【解析】ABOxy【习题13】如图，在反比例函数2(0)y x x=>的图像上，有点1234P P P P ，，，，他们的横坐标为1，2，3，4．分别过这些点往x 轴和y 轴上作垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左向右依次是123123S S S S S S ++，，，求的值．【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】判断下列问题中两个变量是不是反比例函数关系?为什么?（1）三角形的面积S 一定时，它的一条边长a 和这条边长上的高h ；（2）存煤量Q 一定时，平均每天的用煤量m 与可用天数t ；（3）货物的总价A 一定时，货物的单价a 与货物的数量x ；（4）车辆所行使的路程S 一定时，车轮的直径d 和车轮的旋转周数n ．【难度】★【答案】【解析】【作业2】已知反比例函数(0)ky k x=<，当0x <时，它的图像在第______象限．【难度】★【答案】【解析】课后作业1234xyO 1P 2P 3P 4P 3S 2S 1S【作业3】（1）已知函数63k y x-=，如果在每个象限内y 随x 的增大而减小，那么k 的取值范围是______________；（2）如果双曲线2m y x +=位于第一，三象限，那么m 的取值范围是______________．【难度】★【答案】【解析】【作业4】已知点11()x y ，，22()x y ，在反比例函数2k y x-=图像上，当120x x >>时，12y y <，求k 的取值范围．【难度】★【答案】【解析】【作业5】作出反比例函数xy 4-=的图像，结合图像回答：（1）当2x =时，y 的值；（2）当14x <≤时，y 的取值范围；（3）当14y ≤<时，y 的取值范围．【难度】★★【答案】【解析】【作业6】已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，过A 点向x 轴做垂线，垂足分别为点B ，且AOB ∆的面积为15，求这个反比例函数解析式．【难度】★★【答案】【解析】【作业7】已知函数12y y y =-，且1y 为x 的反比例函数，2y 为x 的正比例函数，且312x x =-=，时，y 的值都是1．求y 关于x 的函数关系式．【难度】★★【答案】【解析】【作业8】在反比例函数ky x=的图像上有一点A ，它的横坐标x 和纵坐标y 是方程290x -=的两个根．求：（1）k 的值；（2）点A 到y 轴的距离；（3）点1(27)3P -，是否在该反比例函数图像上?【难度】★★【答案】【解析】【作业9】等腰直角POA 的直角顶点P 在反比例函数4y x=(0)x >的图像上，A 点在x 轴正半轴上，求A 点坐标．【难度】★★【答案】【解析】【作业10】已知，如图点P 是双曲线24y x=上的一点，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA 、PB 分别交双曲线11y x=于点D 、C ．求△PCD 的面积．【难度】★★★【答案】【解析】【作业11】如图已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点A 、B 的坐标分别为（1，0）和（0，2）．双曲线(0)ky x x=>经过点D ．（1）求双曲线的函数解析式；（2）将正方形ABCD 沿x 轴向左平移多少个单位长度，可以使点C 正好落在双曲线上．【难度】★★★【答案】【解析】A BCDOP yxyABCDEF Ox。
八年级数学反比例函数综合一、反比例函数与几何综合1、如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.2、如图所示，()()111222P x y P x y ，，，，……，()n n n P x y ，在函数()90y x x=>11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．3、如图，如果函数y x =-与4y x=-的图像交于A ，B 两点，过点A 作AC 足为点C ，求BOC ∆的面积.4、如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像交于(21)(1)A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB ∆的面积．5、如图，直线y kx b =+与反比例函数()0k y x x =<′的图象相交于点A 点C ，其中点A 的坐标为()24-，，点B 的横坐标为4-．（1）试确定反比例函数的关系式； （2）求AOC ∆的面积．6、如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+于()()143A B m ，，，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）求AOB ∆的面积．7、两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论： ①ODB ∆与OCA ∆的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是8、如图，点A 、B 在反比例函数k y x =(0k >)的图象上，且点A 2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； （3）求AOB ∆的面积．9、已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，反比例函数8y x=的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、OC正半轴上，:2:1OA OC =．（1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标； （2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值．11、两个反比例函数1k y x =和()2120ky k k x=>>在1k y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交2ky x=的图象于点A ，交2k y x=的图象于点B ． ⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值； ⑵当23PA PC =时，求DBBP的值； ⑶若点P 的坐标为()52，，OAB ABP ∆∆，的面积分别记为O A B S ∆、ABP S ∆，设ABP OAB S S S ∆∆-=．①求1k 的值；②当2k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？k 2x12、如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数ky x=(0k >，0x >)的图像上，点P (m ，n )为其双曲线上的任一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．⑴求B 点的坐标和k 的值；⑵当92S =时，求P 点坐标；⑶写出S 关于m 的函数关系式．13、若一次函数21y x =-和反比例函数2ky x=的图象都经过点（1，1）． （1）求反比例函数的解析式；（2）已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标； （3）利用（2）的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A O B P ，，，为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．14、如图，点()1A m m +，，()31B m m +-，都在反比例函数ky x=的图象上． （1）求m k ，的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．15、已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点． （1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．16、如图，已知反比例函数12y x=的图象和一次函数7y kx =-求这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形ABCD 的顶点A B ，点C D ，在这个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和2a +，求a 的值。
